??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程
曲线上的点都满足
方程，满足方程的点都在
曲线上，不在曲线上的点
不能同时满足两个方程,
x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程
例 1 方程组 表示怎样的曲线？??
?
???
??
6332
122
zyx
yx
解 122 ?? yx 表示圆柱面，
6332 ??? zyx 表示平面，
?
?
?
???
??
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？?
?
?
?
?
???
???
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz ???
上半球面,
4)2(
2
22 ayax ??? 圆柱面,
交线如图,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
当给定 1tt ? 时，就得到曲线上的一个点
),,( 111 zyx,随着参数的变化可得到曲线上的全
部点,
空间曲线的参数方程
二、空间曲线的参数方程
动点从 A点出
发，经过 t时间，运动到 M点
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx ?? 上以
角速度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 （其中 ?, v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程．
A
?M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM ?
tax ?c o s?
tay ?s in?
vtz?t?
螺旋线的参数方程
取时间 t为参数，解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
si n
co s
),( ??? vbt ??
螺旋线的重要 性质,
,,00 ???? ??,,00 ??? bbbz ??
上升的高度与转过的角度成正比．
即
上升的高度 ?? bh 2 螺距?,2??
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),( ?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
设空间曲线的一般方程：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面,
投影柱面的 特征,
三、空间曲线在坐标面上的投影
如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线投影柱面
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线xoy
例 4 求曲线 在坐标面上的投影,?
?
?
?
?
?
???
2
1
1222
z
zyx
解 （ 1）消去变量 z后得
,4322 ?? yx
在 面上的投影为xoy
,
0
4
322
??
?
?
?
?
??
z
yx
所以在 面上的投影为线段,xoz;
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
x
y
z
（ 3）同理在 面上的投影也为线段,yoz
.
2
3
||,
0
2
1
?
??
?
?
?
?
?
y
x
z
（ 2）因为曲线在平面 上，21?z
例 5 求抛物面 xzy ?? 22 与平面 02 ??? zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
?
?
?
???
??
02
22
zyx
xzy
解
如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
?
?
?
?
????
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
?
?
?
?
????
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影,0
045 22
?
?
?
?
????
z
xxyyx
补充, 空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空
间
立
体
曲
面
例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影
求它在锥面所围成和
由上半球面设一个立体
xoyyxz
yxz
??
???
解 半球面和锥面的交线为
??
?
?
?
??
???
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 ?? yxz 得投影柱面消去
面上的投影为在则交线 x o yC
?
?
?
?
??
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 x o y?
.122 ?? yx
空间曲线的一般方程、参数方程．
四、小结
空间曲线在坐标面上的投影．
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
思考题 求椭圆抛物面 zxy ?? 222 与抛物柱面
zx ?? 22 的交线关于 x o y 面的投影柱面和
在 x o y 面上的投影曲线方程,
思考题解答
,
2
2
2
22
?
?
?
??
??
zx
zxy
交线方程为
消去 z 得投影柱面,122 ?? yx
在 面上的投影为xoy,0
122
?
?
?
?
??
z
yx
一,填空题：
1, 曲面 zyx 109
22
?? 与 y o z 平面的交线是 _____ ；
2, 通过曲线 162
222
??? zyx,0
222
??? yzx,且
母线平行于 y 轴的柱面方程是 ________ ____ ；
3, 曲线 01,03323
22
????????? zyzxyzzx 在
xoz 平面上的投影方程是 ___ ___ _ ___ __ ___ ；
4, 方程组
?
?
?
??
??
32
15
xy
xy
在平面解析几何中表示 ___ __ _ ；
5, 方程组
?
?
?
?
?
?
??
3
1
94
22
y
yx
在平面解析几何中表示 ___ __ __
___ ___,在空间解析几何中表示 ___ __ ___ __ __ _ _ _ ；
练 习 题
6,旋转抛物面
22
yxz ?? ( 40 ?? z )
在 xoy 面的投影为 _____ _____,
在 y o z 面的投影为 _____ _____ __,
在 z o x 面上的投影为 _____ _____,
二,画出下列曲线在第一卦限的图形：
1,
?
?
?
??
???
0
4
22
yx
yxz
2,
?
?
?
??
??
222
222
azx
ayx
三,将曲线
??
?
?
???
xy
zyx 9222 化为参数方程．
四,求螺旋线
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
sin
co s
在三个坐标面上的投影曲线
的直角坐标方程,
五,求 由 上 半 球 面
222
yxaz ???,柱面
0
22
??? axyx 及平面 0?z 所围成的立体，在
xoy 面和 xoz 面上的投影,
一,1,
?
?
?
?
?
?
?
0
9
10
2
x
zy； 2, 1623,163
2222
???? zxzy ；
3,
?
?
?
?
????
0
0324
22
y
xzx；
4,两直线的交点,两平面的交线；
5,椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 1
94
22
??
yx
与
其切平面
3?y
的交线；
6, 4,4,4
2222
?????? zxzyyx,
练习题答案
三、
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
sin3
co s
2
3
co s
2
3
,)20( ??? t,
四、
?
?
?
?
??
0
222
z
ayx
,
?
?
?
?
?
?
?
0
a r c s i n
x
a
y
bz
,
?
?
?
?
?
?
?
0
a r c c o s
y
a
x
bz
.
五、
0,0,;
2222
?????? zxaaxzaxyx
.