实例,用某班所有学生的考试成绩的算术平均
值来描述这个班的成绩的概貌,
n
yyyy n???? 21 算术平均值公式
只适用于有限个数值
问题,求气温在一昼夜间的平均温度,
入手点,连续函数 在区间 上的平均值,)(xf ],[ ba
讨论思想,分割、求和、取极限,
一、函数的平均值
（ 1）分割,把区间 ],[ ba 分成 n 等分
,1210 bxxxxxa nn ??????? ??
每个小区间的长度 ;n abx ???
设各分点处的函数值为 nyyyy,,,,210 ?
函数 在区间 上的平均值近似为)(xf ],[ ba;1210 n yyyy n ???? ?
每个小区间的长度趋于零,
（ 2）求和：
（ 3）取极限：
,lim 1210 n yyyyy n
n
?
??
???? ?
函数 在区间 上的 平均值 为)(xf ],[ ba
n
ab
ab
yyyyy n
n
??
?
???? ?
??
1210lim ?? x??
?
?
??? ???
n
i
ix xyab
1
10l i m
1,)(lim1
1
10 ?
?
??? ???
n
i
ix xxfab
??? ba dxxfaby )(1 几何平均值公式
区间长度 yab )( ?? )()( ?fab ??
例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电 tIi m ?s i n? 在
一个周期上的功率的平均值 （简称 平均功率 ）,
解 设电阻为,R 则电路中的电压为
iRu ?,s in tRI m ??
功率 uip ?,s i n 22 tRI m ??
一个周期区间 ],2,0[ ??
平均功率 t dtRIp m ??
?
?
?
2
2
02
s i n1
2
??
tdtRIp m ??
?
?
?
2
2
02 s i n
1 2?? )(s i n
2
2
0
2
2
ttdRI m ??? ?
?
??
)()2c o s1(4
2
0
2
tdtRI m ??? ?
?
? ??
?
?
??
?
2
0
2
2
2s i n
4 ??
?
??
? ?? ttRI m
?? 24
2
?? RI m
2
2 RI
m?
.2 mmUI? )( RIU mm ?
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
通常交流电器上标明的功率就是平均
功率．交流电器上标明的电流值都是一种
特定的平均值，习惯上称为 有效值,
周期性非恒定电流 i （如正弦交流电）
的有效值规定如下：当 )( ti 在它的一个周
期 T 内在负载电阻 R 上消耗的平均功率，
等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功
率时，称这个值 I 为 )( ti 的有效值,
二、均方根
固定值为 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率为 RI 2,
电流 )( ti 在 R 上消耗的功率为 Rti )(2,
它在 ],0[ T 上的平均功率为,)(
1
0
2? T R dtti
T
,)(1 0 22 ?? T R dttiTRI按定义有
??? T dttiTI 0 22 )(1,)(1 0 2??
T dtti
TI
有效值计算公式的推导
即
正弦交流电 tIti m ?s i n)( ? 的有效值
tdtII m ??
?
?
?
2
0
2
2 s i n
1 2??
)(2 20
2 2
ttdinsI m ??? ?
?
??
?
?
??
?
2
0
2
2
2s i n
4 ??
?
??
? ?? ttI m,
2
mI?
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2
1
.)(1 2?? ba dxxfab函数 )( xf 在 ],[ ba 上的 均方根
函数的平均值
函数的有效值;)(1 ??? ba dxxfaby
.)(1 2?? b
a
dxxfab
（理解平均功率、电流的有效值等概念）
三、小结
思考题
有一根长为 a 的细棒，其上任一点 x （棒
的一端与原点重合）的密度 cbx ??
2?
，求
棒的平均密度,
思考题解答
棒的平均密度为密度函数在 上的平均值,],0[ a
? ??? a dxcbxa 0 2 )(01?
.31 2 cba ??
一、计算函数 xexy ?? 2 在 ? ?2,0 上的平均值,
二,某可控硅控制线路中，流过负载 R 的 )( ti电流 （如
教材 6-37 图）所示，即
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2
,s i n5
0,0
)(
0
0
ttt
tt
ti
?
，
0
t其中 称 为 触 发 时 间, 如 果 02.0?T 秒 ( 即
)100
2
?
?
? ?
?
?
（ 1 ） 当触发时间
0 0 2 5.0
0
?t
秒时，求
2
0
?
?? t 内电
流的平均值；
练 习 题
( 2 ) 当触发时 0t间为 时，求 ?
?
?
??
? ?
2
,0 内电流的平均值；
( 3 ) 要使
?2
15
?
平均
i 安和
?3
5
安，问相应的触发时间应
为多少？
三,算出正弦交流电流 tIi
m
?s i n? 经半波整流后得到
的电流
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2
,0
0,sin
t
ttI
i
m
的有效值,
一、
2
3
1
e
?,
二,(1), )
2
2
1(
5
?
?
( 安 ) ； (2 ), )1 0 0co s1(
5
0
t?
?
? ( 安 ) ；
(3),
3 0 0
1
( 秒 ),0,0 0 73 ( 秒 ).
三、
2
m
I
.
练习题答案