青岛科技大学 大学物理讲义
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一 电场强度与电势梯度 (gradient)
( ) dBA B B A AU V V E l? ? ? ? ?? vv
或写成
ddV E l? ? ? vv
由于
d d d dV V VV x y z
x y z
? ? ?? ? ?
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d ( ) ( d d d )x y zE l E i E j E k xi y j z k? ? ? ? ? ? ?v v vv v v v v
d d dx y zE x E y E z? ? ?
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d d dV V Vx y z
x y z
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d d dx y zE x E y E z? ? ?
,,x y zV V VE E E
x y z
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E i j k V
x y z
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vv vv
其中 i j kx y z
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vvv
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标量函数 f(x,y,z) 的梯度定义为：
f f fg r a d f f i j k
x y z
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vvv
E grad V V? ? ? ??v
电场强度等于电
势梯度的负值。
V V V
E i j k
x y z
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? ? ? ???
? ? ???
vv vv
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电场中某一点的 电场强度 沿 某一方向的分
量,等于这一点的电势沿该方向单位长度上 电
势变化率 的 负 值。
d d d dllV E l E e l E l? ? ? ? ? ?vvv v
d
dl
VE
l
??得到
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v v为电场强度沿 方向的分量lv
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V
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高
电
势
低
电
势
ne
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nld
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与 方向一致时，
有最大值 。由此可
知,电场强度 的方
向与电势变化率最大
的方向相反 。
lv Ev lEE
Ev
电场强度方向与等势
面垂直，由电势高的
等势面指向电势低的
等势面。
llE E e??
v v
d
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VE
l
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VkzVjyVixVE g ra d) ???????????? ???? （
VE ???? （ 电势梯度 ）
直角坐标系中
为求电场强度 提供了一种新的途径
E?
求 的三种方法
E?
利用电场强度叠加原理
利用高斯定理
利用电势与电场强度的关系
物理意义
（ 1） 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内
电势 的空间变化率,V
（ 2） 电场强度的方向恒指向电势降落的方向,
讨
论
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二 电场线和等势面的关系
1） 电场线与等势面处处 正 交,
（等势面上移动电荷，电场力不做功,）
2） 等势面 密 处电场强度 大 ；等势面 疏 处电场强度 小,
1） 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
2） 的地方,吗？
3） 相等的地方,一定相等吗？等势面上
一定相等吗？
0?V 0?E?
V E?E?
讨论
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例 1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度,
解
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y
x
z
o
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例 2 求电偶极子电场中任意一点 的电势和电场强度,A
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解
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3
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y ?? ?
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H
H
o
例 3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩
的电偶极子, 有一电子放在电
偶极矩的延长线、距电偶极矩中心 为
的点 上, 求电子的势能和作用在电子上的力,
mC102.6 30 ??? ?p
o
A
m105 10??
Ap
解
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J1057.3 20p ???E
C1060.1 19???e
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-16-11420 sm1057.1sm101057.1 ???????? ?atv
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k
E
T
与气体分子热运动能量比较
力虽很小，但电子获
得的加速度却很大。
即使作用时间为 10-14s，也能获得很大的速度
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E
三 外电场中的电偶极子
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pE
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匀强电场中
非匀强电场中
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稳定平衡
非稳定平衡0?M?
0????? ???? EqEqFFF ?????
F F F????v v v
0q E q E???vv
1,受到的力矩及取向
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2,电势能和平衡位置
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EpE ?????p
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π??
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EpE ???p 能量最低
EpE ??p
能量最高
哪种情况为稳
定平衡？
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+ +++++ +++
四 静电感应 (electrostatic induction)
感应电荷
导体 (conductor)与自由电子 (free electron)
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+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
0E
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00 ??? ＇EEE ???
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+
+
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+
+
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导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
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++ +
+
++
导
体
是
等
势
体
ne
?
τe
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静电平衡 (electrostatic equilibrium)条件
（ 1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（ 2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直,
E?
l?d
? 导体表面是等势面
0d ?????? lEU ??
?导体内部电势相等
0d ??? ?
ABAB
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A
B