青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
Q
Q?
+ + + + + + +
- - - - - - -
一 电介质 (dielectric)对电容的影响
r
0
?
EE ? 0rCC ??
0
r
1
UU
?
?
1r ??
相对电容率 电容率
r0??? ?
0U 0C
CU
r?
Q
Q?
+ + + + + + +
- - - - - - -
相对电容率 (relative permittivity)又称为
相对介电常数 (relative dielectric constant)
青岛科技大学 大学物理讲义
二 电介质的极化 (polarization)
无极 分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）
有极 分子电介质：（水、有机玻璃等）
取向极化 与 位移极化
青岛科技大学 大学物理讲义
三 电极化强度 (polarization)
p?,分子偶极矩:电极化强度P?
的 单位,2mC ??P?
在均匀介质内部，任作一个封闭曲面，面内电荷为
0。即极化电荷只分布在非均匀介质中或介质的分
界面上。
为了简化计算，假定每个分子的偶极矩都是,
即用平均值代替个体值，这对大量分子进行讨论
时是可以的。
pv
p
P
V
?
?
? vv
青岛科技大学 大学物理讲义
在均匀介质的表面，只
有表层分子对面电荷密
度有贡献。即只有在介
质厚度 内的分子
对面电荷密度有贡献。
lnv vg
在表面取面积,对面电荷密
度有贡献层的体积为,S l n? v vg
S?
该体积内的分子数为,N S l n? v vg
其中 N 为单位体积内的分子数。也即是该曲面内的极
化电荷为：
Q q N S l n? ?? v vg
lv
Evnv
青岛科技大学 大学物理讲义
于是得到介质表面极化电荷面密度：
()Q S N q l n Pn
SS
? ? ?? ? ? ?
??
v v v
g vg
表面 极化电荷面密
度也可以写成,nP?'?
ql p?v v注意到 以及 N p P? vv
Q q N S l n? ?? v vg
青岛科技大学 大学物理讲义
+ + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
d r
?
四 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
r
0
0 ' ?
E
EEE ???
0
r
r 1' EE
?
? ?
?
0
r
r 1' ?
?
?? ??
0
r
r 1' QQ
?
? ??
EP ?? 0??? '
/
/
r0
000
?
?
??
?
?
?
P
EE
E
0E
? 'E? E?
0r
00
r0
1' ( 1 )
r
r
P ??? ? ? ?
? ? ?
?? ? ? ?
r0( 1 )PE????
vv
：电极化率?
青岛科技大学 大学物理讲义
)(1d '0
0
QQSE
S
????
?
??
EED ??? ??? ?? r0
电位移矢量 （均匀各相同性介质）
0?
0??
'??
'? + + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
r?
S
r0
0d
??
QSE
S
???
??
有介质时的 高斯定理
?? ??
i
iS QSD 0d
??
电位移矢量 (the electric displacement vector)
电容率 0r? ? ??
' r
0
r
1QQ?
?
??
青岛科技大学 大学物理讲义
极化电荷面密度
n' P??
0rCC ?? r0 ?EE ?
电位移矢量 EPD
???
0???
（ 任何 介质）
ED ?? ??
（ 均匀 介质）
有介质时的高斯定理
?? ??
i
iS QSD 0d
??
电容率
r0??? ?
（ 均匀 介质）
有介质时先求 UED ?? ??注意
青岛科技大学 大学物理讲义
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -E
?C
Q
2
2
?
五 电容器的电能
2
2
e 2
1
2
1
2
CUQU
C
QW ???电容器贮存的电能
U
qd
+
U
QC ?
d d dqW U q q
C
??
0
1 dQW q q
C
? ?
211
22
W Q U CU??
青岛科技大学 大学物理讲义
六 静电场的能量 能量密度 (energy density)
2
e 2
1 CUW ?
物理意义 电场是一种物质，它具有能量,
电场空间所存储的能量
?? ?? VV VEVwW d21d 2ee ?
电场能量密度
EDEw
2
1
2
1 2
e ?? ?
2)(
2
1 Ed
d
S?? SdE 2
2
1 ??
青岛科技大学 大学物理讲义
例 1 把一块相对电容率 的电介质,放在极
板间相距 的平行平板电容器的两极板之间,
放入之前,两极板的电势差是, 试求两极板间
电介质内的电场强度,电极化强度,极板和电介
质的电荷面密度,电介质内的电位移,
3r ??
V1 0 0 0
E P
D
mm1?d
解
13161
30 mkV10mV10mV10
1 0 0 0 ???
? ??????? d
UE
12 mkV1033.3 ????
260r mC1089.5)1( -EP ????? ???
26000 mC1085.8 ?? ???? E??
26 mC1089.5' ?? ???? P?
26000r0 mC1085.8 -EED ?????? ?????
r0 ?EE ?
青岛科技大学 大学物理讲义
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
1d
2d
0??
0??
例 2 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和
的电介质，它们的相对电容率分别为 和,极板
面积为, 求（ 1） 电容器的电容； （ 2） 当极板上的
自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化
电荷面密度,
1d 2d
r1? r2?
S
0?
- - - - - -
+ + + + + +
'1??
'1??
+ + + + + +
- - - - - -
'2??
'2??
1S
10d SSDS ????
??
0??D
1E
?
2E
?
1r0
0
r10
1 ??
?
??
?? DE
r20
0
r20
2 ??
?
??
?? DE
解（ 1）
青岛科技大学 大学物理讲义
2211d dEdElEU l ???? ?
??
12r21r
2r1r00
dd
S
U
QC
??
???
?
??
0
r1
r1
1
1' ?
?
?? ??
+ + + + +
- - - - -+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
+ + + + + - - - - -1d
2d
0??
'1??
'1??
'2??
'2??
0??
1S
1E
?
2E
?
0
r2
r2
2
1' ?
?
?? ??
（ 2）
1r0
0
r10
1 ??
?
??
?? DE
r20
0
r20
2 ??
?
??
?? DE
0 12
0 r 1 r 2
()Q dd
S? ? ?
??
青岛科技大学 大学物理讲义
r
例 3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长
直圆柱导体和同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，
并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的
电介质,设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为
和, 求（ 1） 电介质中的电场强度、电位移和极
化强度； （２） 电介质内、外表面的极化电荷面密度；
（３） 此圆柱形电容器的电容．
??
1R
2R
r?
??
1R
2R
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
lSDS ???? ?? d
解（ 1）
lrlD ??π2
r
D
π2
??
r
DE
r0r0 π2 ??
?
??
??
)( 21 RrR ??
?
?
???
r
EP
r
r
0r π2
1)1( ????
1R
2R
r
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
（２） 由（ 1）得
1r
r10r1 π2)1()1(' RE ?
????? ????
2r
r20r2 π2)1()1(' RE ?
????? ????
1r0
1 π2 RE ??
?? )( 1Rr ?
2r0
2 π2 RE ??
?? )( 2Rr ?
r
DE
r0r0 π2 ??
?
??
??
1R
2R
r
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
真空圆柱形
电容器电容
（３） 由（１）可知
r
E
r0π2 ??
?? )( 21 RrR ??
?? ??? 2
1 r0π2
dd R
R r
rrEU
??
???
1
2
0
lnπ2 RR
r??
??
1
2
r0 lnπ2 R
Rl???U
QC ?
0r C??
1
2
r0 lnπ2 R
R
l
C ???单位长度电容
1R
2R
r
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
1R
2R
例 4 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为
和,所带电荷为,若在两球壳间充以电容率为
的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？ 2R
1R
Q? ?
解
r2π4
1 e
r
QE ??
?
?
r
rd
42
2
2
e π322
1
r
QEw
?
? ??
r
r
QVwW d
π8
dd 2
2
ee ???
)11(
π8
d
π8
d
21
2R
R 2
2
ee
2
1 RR
Q
r
rQWW ???? ??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
12
12
2
21
2
e
π42
1
)
11
(
π8
RR
RR
Q
RR
Q
W
?
???
??
C
QW
2
2
e ?
12
12π4
RR
RRC
?
? ?
（球形电容器电容）
讨 论
??2R
1
2
e π8 R
QW
?
?
（ 1）
（ 2）
（孤立导体球贮存的能量）
青岛科技大学 大学物理讲义
)(
π2 210
RrR
r
E ???
?
?
10
m a x
b π2 RE ?
??
1
2
00
lnπ2dπ2 2
1 R
R
r
rU R
R ?
?
?
? ?? ?
解
1?r?
例 5 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击
穿场强是,电容器外半径,
在空气不被击穿的情况下，内半径 可使电容器
存储能量最多,
-16b mV103 ???E m10
22 ??R
1 ?R
（ 空气 ）
1
2
0
2
e lnπ42
1
R
RUW
?
?? ??
单位长度的电场能量
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
青岛科技大学 大学物理讲义
1b0m a x π2 RE??? ??
1
22
1
2
b0e lnπ R
RREW ??
0)1ln2(π
d
d
1
2
1
2
b0
1
e ???
R
RRE
R
W ?
m1007.6m
e
10
e
3
2
2
1
?
?
???? RR
10
m a x
b π2 RE ?
??
1
2
0
2
e lnπ4 R
RW
?
??
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
V1010.9
e2
ln 32b
1
2
1bm a x ????
RE
R
RREU
青岛科技大学 大学物理讲义
Q
Q?
+ + + + + + +
- - - - - - -
一 电介质 (dielectric)对电容的影响
r
0
?
EE ? 0rCC ??
0
r
1
UU
?
?
1r ??
相对电容率 电容率
r0??? ?
0U 0C
CU
r?
Q
Q?
+ + + + + + +
- - - - - - -
相对电容率 (relative permittivity)又称为
相对介电常数 (relative dielectric constant)
青岛科技大学 大学物理讲义
二 电介质的极化 (polarization)
无极 分子电介质：（氢、甲烷、石蜡等）
有极 分子电介质：（水、有机玻璃等）
取向极化 与 位移极化
青岛科技大学 大学物理讲义
三 电极化强度 (polarization)
p?,分子偶极矩:电极化强度P?
的 单位,2mC ??P?
在均匀介质内部，任作一个封闭曲面，面内电荷为
0。即极化电荷只分布在非均匀介质中或介质的分
界面上。
为了简化计算，假定每个分子的偶极矩都是,
即用平均值代替个体值，这对大量分子进行讨论
时是可以的。
pv
p
P
V
?
?
? vv
青岛科技大学 大学物理讲义
在均匀介质的表面，只
有表层分子对面电荷密
度有贡献。即只有在介
质厚度 内的分子
对面电荷密度有贡献。
lnv vg
在表面取面积,对面电荷密
度有贡献层的体积为,S l n? v vg
S?
该体积内的分子数为,N S l n? v vg
其中 N 为单位体积内的分子数。也即是该曲面内的极
化电荷为：
Q q N S l n? ?? v vg
lv
Evnv
青岛科技大学 大学物理讲义
于是得到介质表面极化电荷面密度：
()Q S N q l n Pn
SS
? ? ?? ? ? ?
??
v v v
g vg
表面 极化电荷面密
度也可以写成,nP?'?
ql p?v v注意到 以及 N p P? vv
Q q N S l n? ?? v vg
青岛科技大学 大学物理讲义
+ + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
d r
?
四 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
r
0
0 ' ?
E
EEE ???
0
r
r 1' EE
?
? ?
?
0
r
r 1' ?
?
?? ??
0
r
r 1' QQ
?
? ??
EP ?? 0??? '
/
/
r0
000
?
?
??
?
?
?
P
EE
E
0E
? 'E? E?
0r
00
r0
1' ( 1 )
r
r
P ??? ? ? ?
? ? ?
?? ? ? ?
r0( 1 )PE????
vv
：电极化率?
青岛科技大学 大学物理讲义
)(1d '0
0
QQSE
S
????
?
??
EED ??? ??? ?? r0
电位移矢量 （均匀各相同性介质）
0?
0??
'??
'? + + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
r?
S
r0
0d
??
QSE
S
???
??
有介质时的 高斯定理
?? ??
i
iS QSD 0d
??
电位移矢量 (the electric displacement vector)
电容率 0r? ? ??
' r
0
r
1QQ?
?
??
青岛科技大学 大学物理讲义
极化电荷面密度
n' P??
0rCC ?? r0 ?EE ?
电位移矢量 EPD
???
0???
（ 任何 介质）
ED ?? ??
（ 均匀 介质）
有介质时的高斯定理
?? ??
i
iS QSD 0d
??
电容率
r0??? ?
（ 均匀 介质）
有介质时先求 UED ?? ??注意
青岛科技大学 大学物理讲义
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -E
?C
Q
2
2
?
五 电容器的电能
2
2
e 2
1
2
1
2
CUQU
C
QW ???电容器贮存的电能
U
qd
+
U
QC ?
d d dqW U q q
C
??
0
1 dQW q q
C
? ?
211
22
W Q U CU??
青岛科技大学 大学物理讲义
六 静电场的能量 能量密度 (energy density)
2
e 2
1 CUW ?
物理意义 电场是一种物质，它具有能量,
电场空间所存储的能量
?? ?? VV VEVwW d21d 2ee ?
电场能量密度
EDEw
2
1
2
1 2
e ?? ?
2)(
2
1 Ed
d
S?? SdE 2
2
1 ??
青岛科技大学 大学物理讲义
例 1 把一块相对电容率 的电介质,放在极
板间相距 的平行平板电容器的两极板之间,
放入之前,两极板的电势差是, 试求两极板间
电介质内的电场强度,电极化强度,极板和电介
质的电荷面密度,电介质内的电位移,
3r ??
V1 0 0 0
E P
D
mm1?d
解
13161
30 mkV10mV10mV10
1 0 0 0 ???
? ??????? d
UE
12 mkV1033.3 ????
260r mC1089.5)1( -EP ????? ???
26000 mC1085.8 ?? ???? E??
26 mC1089.5' ?? ???? P?
26000r0 mC1085.8 -EED ?????? ?????
r0 ?EE ?
青岛科技大学 大学物理讲义
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
1d
2d
0??
0??
例 2 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和
的电介质，它们的相对电容率分别为 和,极板
面积为, 求（ 1） 电容器的电容； （ 2） 当极板上的
自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化
电荷面密度,
1d 2d
r1? r2?
S
0?
- - - - - -
+ + + + + +
'1??
'1??
+ + + + + +
- - - - - -
'2??
'2??
1S
10d SSDS ????
??
0??D
1E
?
2E
?
1r0
0
r10
1 ??
?
??
?? DE
r20
0
r20
2 ??
?
??
?? DE
解（ 1）
青岛科技大学 大学物理讲义
2211d dEdElEU l ???? ?
??
12r21r
2r1r00
dd
S
U
QC
??
???
?
??
0
r1
r1
1
1' ?
?
?? ??
+ + + + +
- - - - -+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
+ + + + + - - - - -1d
2d
0??
'1??
'1??
'2??
'2??
0??
1S
1E
?
2E
?
0
r2
r2
2
1' ?
?
?? ??
（ 2）
1r0
0
r10
1 ??
?
??
?? DE
r20
0
r20
2 ??
?
??
?? DE
0 12
0 r 1 r 2
()Q dd
S? ? ?
??
青岛科技大学 大学物理讲义
r
例 3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长
直圆柱导体和同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，
并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的
电介质,设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为
和, 求（ 1） 电介质中的电场强度、电位移和极
化强度； （２） 电介质内、外表面的极化电荷面密度；
（３） 此圆柱形电容器的电容．
??
1R
2R
r?
??
1R
2R
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
lSDS ???? ?? d
解（ 1）
lrlD ??π2
r
D
π2
??
r
DE
r0r0 π2 ??
?
??
??
)( 21 RrR ??
?
?
???
r
EP
r
r
0r π2
1)1( ????
1R
2R
r
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
（２） 由（ 1）得
1r
r10r1 π2)1()1(' RE ?
????? ????
2r
r20r2 π2)1()1(' RE ?
????? ????
1r0
1 π2 RE ??
?? )( 1Rr ?
2r0
2 π2 RE ??
?? )( 2Rr ?
r
DE
r0r0 π2 ??
?
??
??
1R
2R
r
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
真空圆柱形
电容器电容
（３） 由（１）可知
r
E
r0π2 ??
?? )( 21 RrR ??
?? ??? 2
1 r0π2
dd R
R r
rrEU
??
???
1
2
0
lnπ2 RR
r??
??
1
2
r0 lnπ2 R
Rl???U
QC ?
0r C??
1
2
r0 lnπ2 R
R
l
C ???单位长度电容
1R
2R
r
??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
1R
2R
例 4 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为
和,所带电荷为,若在两球壳间充以电容率为
的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？ 2R
1R
Q? ?
解
r2π4
1 e
r
QE ??
?
?
r
rd
42
2
2
e π322
1
r
QEw
?
? ??
r
r
QVwW d
π8
dd 2
2
ee ???
)11(
π8
d
π8
d
21
2R
R 2
2
ee
2
1 RR
Q
r
rQWW ???? ??
??
青岛科技大学 大学物理讲义
12
12
2
21
2
e
π42
1
)
11
(
π8
RR
RR
Q
RR
Q
W
?
???
??
C
QW
2
2
e ?
12
12π4
RR
RRC
?
? ?
（球形电容器电容）
讨 论
??2R
1
2
e π8 R
QW
?
?
（ 1）
（ 2）
（孤立导体球贮存的能量）
青岛科技大学 大学物理讲义
)(
π2 210
RrR
r
E ???
?
?
10
m a x
b π2 RE ?
??
1
2
00
lnπ2dπ2 2
1 R
R
r
rU R
R ?
?
?
? ?? ?
解
1?r?
例 5 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击
穿场强是,电容器外半径,
在空气不被击穿的情况下，内半径 可使电容器
存储能量最多,
-16b mV103 ???E m10
22 ??R
1 ?R
（ 空气 ）
1
2
0
2
e lnπ42
1
R
RUW
?
?? ??
单位长度的电场能量
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
青岛科技大学 大学物理讲义
1b0m a x π2 RE??? ??
1
22
1
2
b0e lnπ R
RREW ??
0)1ln2(π
d
d
1
2
1
2
b0
1
e ???
R
RRE
R
W ?
m1007.6m
e
10
e
3
2
2
1
?
?
???? RR
10
m a x
b π2 RE ?
??
1
2
0
2
e lnπ4 R
RW
?
??
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
V1010.9
e2
ln 32b
1
2
1bm a x ????
RE
R
RREU
