投资学 第 8章投资理论（ 4）：套利定价理论（ APT）
8.1 概述
在上一章，为了得到投资者的最优投资组合，要求知道：
回报率均值向量
回报率方差 -协方差矩阵
无风险利率
估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加
引入因子模型可以大大简化计算量
由于因子模型的引入，使得估计 Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。
因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点
一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。
CAPM与 APT
建立在均值 -方差分析基础上的 CAPM是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！
除 CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由
Stephen Ross在 1976年建立的套利定价理论
（ Arbitrage pricing theory,APT），从另一个角度探讨了资产的定价问题。
市场均衡条件下的最优投资组合理论 =CAPM
无套利假定下因子模型 =APT
CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括 Harry
Markowitz建立均值 -方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是 同质性假设 。
相反,APT所作的假设少得多。 APT的基本假设之一是,个体是非满足,而不需要风险规避的假设！
每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。
只要一个人套利，市场就会出现均衡！
8.2 因子模型 （ Factor model）
定义,因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动（ 相对数 ）或者指标的运动有关的经济模型。
因子模型是 APT的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。
依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。
8.2.1 单因子模型
引子
若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。
假设,（ 1） 证券的 回报率 仅仅取决于该 指数的变化 ；（ 2）除此以外的因素是公司特有风险 —— 残余风险
则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。
例如,GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素 。
例 1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中
=在给定的时间 t，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场因子 m的相对数
=截距项
=证券 i对因素 m的敏感度
=随机误差项，
i t i i m m t i tr a b r e
itr
mtr
ia
imb
ite
[ ] 0,c o v (,) 0,c o v (,) 0i t i t m t i t j tE e r
因子模型回归年份 IGDPt（ %） 股票 A收益率（ %）
1 5.7 14.3
2 6.4 19.2
3 8.9 23.4
4 8.0 15.6
5 5.1 9.2
6 2.9 13.0
4%
tr
tGDPI
6 1 3,0 %r?
6 3.2%e?
6 2,9 %GDPI?
图中，横轴表示 GDP的增长率，纵轴表示股票 A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票 A的回报率与 GDP增长率。
通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然估计）
4 % 2t G D P t tr I e
从这个例子可以看出,A在任何一期的回报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分 a
2.依赖于 GDP的预期增长率,每一期都不相同的部分 b× IGDPt
3.属于特定一期的特殊部分 et。
通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间 t的任何证券 i有时间序列
其中：
ft是 t时期公共因子的预测值；
rit在时期 t证券 i的回报；
eit在时期 t证券 i的特有回报
ai零因子
bi证券 i对公共因子 f的敏感度 (sensitivity),或因子载荷 （ factor loading）
it i i t itr a b f e
（ 8.1）
为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标 t，从而（ 8.1）式变为并且假设
( 1 ) c o v (,) 0ief?
( 2 ) c o v (,) 0ijee?
[ ] 0iEe?
i i i ir a b f e
（ 8.2）
假设 (1)：因子 f具体取什么值对随机项没有影响，即因子 f与随机项是独立的,这样保证了因子 f是回报率的唯一因素。
若不独立，结果是什么？
假设 (2)：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子 f所致。
如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。
对于证券 i,由 （ 8.2） 其回报率的均值 （ 期望值 ） 为其回报率的方差
2 2 2 2
i i f e ib
因子风险非因子风险对于证券 i和 j而言，它们之间的协方差为
2
c o v (,) c o v (,)ij i j i i i j j j
i j f
r r a b f e a b f e
bb
i i ir a b f
（ 8.3）
单因子模型的优点
1,单因子模型能够大大简化我们在均值 -方差分析中的估计量和计算量。假定分析人员需要分析 n种股票，则
均值－方差模型,n个期望收益,n个方差，
(n2-n)/2个协方差
单因子模型,n个期望收益,n个 bi,n个残差,一个因子 f方差,共 3n＋ 1个估计值。
若 n＝ 50，前者为 1325，后者为 151。
2ei? 2
f?
单因子模型具有两个重要的性质
2,风险的分散化
分散化导致因子风险的平均化
分散化缩小非因子风险
2
1
2 2 2
l im l im ( ( ) )
l im
n
p i i i i
nn
i
p f e p
n
D w a b f e
b
2 2 2
11
nn
p i i e p i e i
ii
b w b w
其 中,,
假设残差有界，即
22ei s
且组合 p高度分散化，即 wi充分小，则对于资产 i成立
/iwn
则有
2 2 2 2 2
2
1
11n
ep
i
ss
nn
从而
2 2 2 2 2 2l i m l i m
p p f e p p fnn bb
单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化,GDP增长率等。
例子：公用事业公司与航空公司，前者对 GDP
不敏感，后者对利率不敏感。
单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。
8.2.2 多因子模型两因子模型
若只考虑一期的模型,则可以省略表示时间的下标,从而两因子模型方程为
1 1 2 2i i i i ir a b f b f e
[ ] 0,c ov (,) 0i i jE e e e其 中,
12c o v (,) 0,c o v (,) 0iie f e f
在两因子模型下,对于证券 i,其回报率的均值
1 1 2 2i i i ir a b f b f
其回报率的方差
12
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 c o v (,)i i f i f i i e ib b b b f f
对于证券 i和 j，其协方差为
1 1 2 2
1 1 2 2
c o v (,) c o v (,
)
i j i j i i i i
j j j j
r r a b f b f e
a b f b f e
221 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2( ) c o v (,)i j f i j f i j i jb b b b b b b b f f
证券 i对因子 1的敏感度
两因子模型同样具有单因子模型的重要优点：
有关资产组合有效边界的估计和计算量大大减少 （ 但比单因子增加 ）,若要计算均方有效边界,需要
n个期望收益,n个 bi1,n个 bi2,n个残差,2
个因子 f方差,1个因子间的协方差,共 4n＋ 3
个估计值 。
分散化导致因子风险的平均化 。
分散化缩小非因子风险 。
多因子模型对于 n种证券相关的 m（ m<n)个因子，证券 i的收益可以表示为
1
m
i i j j i
j
r a b f e
[ ] 0,c o v (,) 0
c o v (,) 0,
i i j
ik
E e e f
e e i k
1,.,,,; 1,.,,,i n j m其 中,
8.3 套利定价理论（ APT）
定义：套利 （ Arbitrage） 是同时持有一种或者多种资产的多头或空头,从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益 。
不花钱就能挣到钱,即免费的午餐 ！
两种套利方法：
当前时刻净支出为 0,将来获得正收益 （ 收益净现值为正 ）
当前时刻一系列能带来正收益的投资,将来的净支出为零 （ 支出的净现值为 0） 。
假设现在 6个月即期年利率为 10%（连续复利，下同）,1年期的即期利率是 12%。如果有人把今后 6个月到 1年期的远期利率定为 11%，则有套利机会。
套利过程是：
1,交易者按 10%的利率借入一笔 6个月资金（假设 1000万元）
2,签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按 11%的价格 6个月后从市场借入资金 1051万元（等于 1000e0.10× 0.5）。
3,按 12%的利率贷出一笔 1年期的款项金额为 1000万元。
4,1年后收回 1年期贷款，得本息 1127万元
（等于 1000e0.12× 1），并用 1110万元
（等于 1051e0.11× 0.5）偿还 1年期的债务后，交易者净赚 17万元（ 1127万元 -
1110万元）。
这是哪一种套利？
套利不仅仅局限于同一种资产 （ 组合 ）,
对于整个资本市场,还应该包括那些,相似,资产 （ 组合 ） 构成的近似套利机会 。
无套利原则 （ Non-arbitrage principle)：
根据一价定律 （ the law of one price）,两种具有相同风险的资产 （ 组合 ） 不能以不同的期望收益率出售 。
套利行为将导致一个价格调整过程,最终使同一种资产的价格趋于相等,套利机会消失 ！
APT的基本原理：由无套利原则,在因子模型下,具有相同因子敏感性的资产 （ 组合 ） 应提供相同的期望收益率 。
APT与 CAPM的比较
APT对资产的评价不是基于马克维茨模型,
而是基于无套利原则和因子模型 。
不要求“同质期望”假设,并不要求人人一致行动。 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。
不要求投资者是风险规避的！
8.3.1 APT的基本假设
1,市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的
（ Perfectly competitive and frictionless
capital markets）；
2,投资者是不知足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。
因此，不必对投资者风险偏好作假设？
3,资产的回报可以用因子表示
APT假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型
i i i ir r b f e 1( ) 0ttEf
未预期到的变化预期的回报
f是证券 i的某个因子的变化,基于有效市场理论,它是不可预测的。
要依靠“旧”的 f来获利是不可能的！
若市场有效，则 t-1时刻的信息集预测 t时刻的价格无效,这等价于 t-1时刻信息无法预测 t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向 —— 公平赌局（ Fair game）
从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测,也就是因子的变化不可预测,这些信息既有宏观的、也有微观的。
1( ) 0ttEf
8.3.2 构建套利组合（ Arbitrage
portfolio）
1,零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资
（ Self-financing）组合。
2,无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为 0。
3,正收益：套利组合的 期望收益 大于零。
用数学表示就是
1
1
1
0
0
0
n
i
i
n
ii
i
n
ii
i
w
bw
wr
11
1
2
1
( ) ( [ ]
= ( )
= ( ) ( )
nn
i i i i i i
ii
n
ii
i
n
ii
i
D w r D w r b f e
D w b f
D f w b
11
( ) 0,0
nn
i i i i
ii
D w r w b
若 要 则 要
（ 8.1）
（ 8.2）
（ 8.3）
8.3.3 套利定价模型
假设投资者构造这样的资产组合：（ 1）无风险利率借入 1元钱；（ 2） 1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。
0
0
( ) ( 1 ) ( ) 1
[ ( ) ] [ ( ) ]
p i i j j
i j j i j j
r w r b f w r b f
w r r r w b b b f
0 ij设 无 风 险 利 率 为,两 个 资 产 是 资 产 和 资 产,在 因 子模 型的假 定 下,套 利 组 合 的收 益 为 （忽 略 残差 ）
l
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为 0
j
p
ij
b
wr
bb
时,无 风 险根据条件（ 2）,( ) 0
i j jw b b b当,即
0( ) 0,
j
p i j j
ij
b
r r r r
bb
=
00
1
ji
ij
rr
bb
01iirb
1
m
i i ij j
j
r r b f
命题 8.1,假设 n种资产其收益率 m个因子决定
（ m<n），即其中,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,则
0
1
m
i i j j
j
rb
01,,.,,,j 为 常 数严格证明
证明：假设在资产 i上投资 wi，构造零投资且无风险的组合，即 wi满足下列条件
1
0
n
T
i
i
w
w1
1
1
22
1
1
0
0
0
n
T
ii
i
n
T
ii
i
n
T
i im m
i
wb
wb
wb
1
wb
wb
wb
零投资无风险 （ 8.5）
（ 8.4）
即,1,bj（ j=1,2,…,m) 线性无关。
如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（ 8.4）和（ 8.5）成立，则 蕴含 (followed)
,1,...,j jmw 1,w b
wr
这等价于,只要
1
0
n
ii
i
wr
Twr
对于任意的 W,必然 有
又由于非零向量 1,b1,b2,…,b m线性无关，则必定落在由 1,b1,b2,…,b m张成的向量空间 Rm+1中，也就是存在一组不全为零的数 使得
r
01,,..,,m
0 1 1 2 2,.,,,mmr 1 b b b
证毕。
理解,必须落在 Rm+1空间中，才能必然成立r
wr
1和 bj是该空间的一组基
a
b
C
d
在向量空间中，如果向量 a,b正交于 c,蕴含着 d正交与 c，则 d必须落在由 a和 b张成的二维空间上,d可以由 a,b线性表示！
0
示意图：向量空间错误的证明
1
0
n
T
i
i
w
w1
1
1
22
1
1
0
0
0
n
T
ii
i
n
T
ii
i
n
T
i im m
i
wb
wb
wb
1
wb
wb
wb
1
0
n
ii
i
wr
Twr
0 1 1 2 2,.,,,mmr 1 b b b
APT的意义
0
1
m
i i j j
j
rb
若 bij＝ 0，则上式退化为无风险资产，则意味着
0
1
m
f i f ij j
j
r r r b
若 bij≠ 0，则期望回报 随着 的增加而增大，
所以 是因子 的风险价格。
ijbir
j? if
自变量
1,1,...,i f ir r b i n在 单 因 子 条 件 下,有
12
1
12
,.,,,,
f f n f
n
r r r r r r
b b b
APT
1
对 于 所 有 风 险 资 产 则 有由 此 可 见,方 程 的 斜 率 实 际 上 是 因 子 1 的 风 险 价 格 。
结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，
则证券之间不存在套利。
APT的意义
0?
1?
ir
ib
hr
lr
h
l
hlbb?
若给定等投资额的证券 h多头和证券 l空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券 h,从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达 APT定价线 。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，
只要证券偏离 APT定价线就会有套利机会。
APT定价线
8.3.4 APT的另一种表达
1
1p
pf
bp
rr?
在 单 因 子 模 型 下,考 虑 一 个 使 的 （ 资 产 ） 组 合,
即,则 有
,
()
m
i f m f i
r
r r r r b
特 别 地,当 即 纯 因 子 组 合 为 市 场 组 合 时 有
1 pfrr
1
01
,
()
pf
i i f f i
rr
r b r r b
令 即 风 险 价 格,则则称该组合 p为纯因子组合 (类似于 CAPM的市场组合 )
在两因子模型下，我们有
1 1 2 2i f i ir r b b
1 1 2
1
1,0,iip b b
若 存 在 纯 因 子 组 合,使 得且 其 期 望 收 益 为 则
11ifrr
11 fr
即
2 1 2
2 2 2
0,1,
,
ii
f
p b b
r
同 理,若 存 在 纯 因 子 组 合,使 得其 期 望 收 益 为,则 = 从 而第 1因子的风险价格第 2因子的风险价格
1 1 2 2( ) )i f f i f ir r r b r b(
22 fr
这样可将 APT的表达式可以改写为在多因子模型下
0 1 1 2 2,..,,i i i m imr b b b
证券的期望收益率等于无风险收益率，加上 j个因素的风险补偿（风险价格 × 风险因子载荷）；
资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。
1 1 2 2( ) ),...,( )f f i f i m f imr r b r b r b（
j 1,...,j j m其 中,为 因 子 （ ） 的 纯 因 子 组 合 的 期 望 收 益
11
1
()
()
,A P T C A P M
i f i f f i
i f i m f
m i i
r r b r r b
r r r r
rb
显 然,若 纯 因 子 组 合 是 市 场 组 合即 代 表,则 与 一 致 。
8.4 APT与 CAPM的比较
APT与 CAPM的一致性
若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，
则当 APT与 CAPM均成立时有
命题 8.2,若纯因子组合不是市场组合,APT与 CAPM
可能不一致。
证明：只要证明存在一个反例
c ov (,) c ov (,)
c ov (,) c ov (,)
i i i i
i m i i i m
i m i i m
r a b f e
r r a b f e r
b f r b e r
由 单 因 子 模 型 可 得上式两边同除以 2
m? 并且定义
,2
c ov (,)m
fm
m
fr?
由于
2
co v (,)im
m
er
很小，不妨把它忽略，则有
,2
c o v (,)im
i f m i
m
rr b
如果 APT 也成立，且满足 CAPM，则
,
1
()i f i f m m f
i f i
r r b r r
r r b
1,()m f f mrr
得到若因素 f与市场组合正相关，那么
,2
c ov (,)c ov (,) 0 0m
m f m
m
frfr?
0,mfrr且 由 于 从 而
1,( ) 0m f f mrr
也就是，如果 CAPM成立，则必然要求上述条件成立，它构成了对 APT中 的约束。
1?
但是，如果 APT成立，不受 CAPM约束，即仅从 APT本身推断，必有
1 00fr或 者只有当
mr
才成立
1 0
反之，如果
mr,则 可 能 有
1 0fr
则对于证券 i的定价就会出现不同即如果纯因子组合不是市场组合,APT与 CAPM
可能不一致。
,( ) ( )i f i f m m fr C APM r b r r
( ) ( )i f i fr AP T r b r
,
,
0,0,0,
( ) 0 ( ) 0
i f m f
i f m m f i f
br
b r r b r
若
，
1,若纯因子组合不是市场组合，则 APT与
CAPM不一定一致,CAPM仅仅是 APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，
CAPM与 APT等价。
2,在 CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解），但 APT即使在没有市场组合条件下仍成立。
APT模型可以得到与 CAPM类似的期望回报 -
b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，
可以是任何风险分散良好的组合
CAPM与 APT的区别
1()
()
i f i f
i f i m f
r r b r
r r r r
注意二者并不一致由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，
在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可满足 APT。所以 APT的适用性更强！
3,CAPM属于单一时期模型，但 APT并不受到单一时期的限制。
4,APT的推导以无套利为核心,CAPM则以均值
－方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假设，但 APT无此假设。
5,在 CAPM中，证券的风险只与市场组合的 β相关，
它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来自何处。 APT承认有多种因素影响证券价格，
从而扩大了资产定价的思考范围（ CAPM认为资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。
8.5 APT对资产组合的指导意义
APT对系统风险进行了细分，使得投资者能够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确。例如，
基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。
APT的局限,决定资产的价格可能存在多种因素，模型本身不能确定这些因素是什么和因素的数量，实践中因素的选择常常具有经验性和随意性。
讨论：因子的选择
要利用 APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。
Pari和 Chen收集了 1975～ 1980年,2090
家公司股票月报酬回报率，以因子分析
（ Factor analysis）辨认重要因素，使模型的残差相互独立，以符合 APT的假设，
他们归纳了三类因素。
1,总体经济活动其强弱可以 GDP的增减来代表。
2,能源因素它影响消费者的消费能力，尤其是能源价格的变动，对通货膨胀具有显著的影响
3,利率变动它影响公司的资本成本，进而影响公司的发展。
例子使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无风险利率为 6％，该股票价格是低估还是高估了？解释原因。
1,0 0,5 0,75f I R crr
股票当前的预期收益率 E(r) = 15％ (因为所有因素的预期到的变动都定义为 0 )。基于风险的要求收益率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该股票定价过高。
也就是 15％的收益率是不满足无套利的，若无套利，
则收益率应该是 16％。
6 % 1 6 % 0,5 2 % 0,7 5 4 %
1 6 %
根据 APT，该股票的期望收益率为个人练习考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：
要素 因子载荷 风险溢价（％）
通货膨胀 1.2 6
行业生产 0.5 8
石油价格 0.3 3
（ a）短期国库券可提供 6%的收益率，如果市场认为该股票是公平定价的，那么请求出该股票的期望收益率。
（ b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下，
计算该股票修正后的期望收益率。
要素 预期变化率 (%) 实际变化率（％）
通货膨胀 5 4
行业生产 3 6
石油价格 2 0
8.1 概述
在上一章，为了得到投资者的最优投资组合，要求知道：
回报率均值向量
回报率方差 -协方差矩阵
无风险利率
估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加
引入因子模型可以大大简化计算量
由于因子模型的引入，使得估计 Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。
因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点
一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。
CAPM与 APT
建立在均值 -方差分析基础上的 CAPM是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！
除 CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由
Stephen Ross在 1976年建立的套利定价理论
（ Arbitrage pricing theory,APT），从另一个角度探讨了资产的定价问题。
市场均衡条件下的最优投资组合理论 =CAPM
无套利假定下因子模型 =APT
CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括 Harry
Markowitz建立均值 -方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是 同质性假设 。
相反,APT所作的假设少得多。 APT的基本假设之一是,个体是非满足,而不需要风险规避的假设！
每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。
只要一个人套利，市场就会出现均衡！
8.2 因子模型 （ Factor model）
定义,因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动（ 相对数 ）或者指标的运动有关的经济模型。
因子模型是 APT的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。
依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。
8.2.1 单因子模型
引子
若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。
假设,（ 1） 证券的 回报率 仅仅取决于该 指数的变化 ；（ 2）除此以外的因素是公司特有风险 —— 残余风险
则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。
例如,GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素 。
例 1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中
=在给定的时间 t，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场因子 m的相对数
=截距项
=证券 i对因素 m的敏感度
=随机误差项，
i t i i m m t i tr a b r e
itr
mtr
ia
imb
ite
[ ] 0,c o v (,) 0,c o v (,) 0i t i t m t i t j tE e r
因子模型回归年份 IGDPt（ %） 股票 A收益率（ %）
1 5.7 14.3
2 6.4 19.2
3 8.9 23.4
4 8.0 15.6
5 5.1 9.2
6 2.9 13.0
4%
tr
tGDPI
6 1 3,0 %r?
6 3.2%e?
6 2,9 %GDPI?
图中，横轴表示 GDP的增长率，纵轴表示股票 A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票 A的回报率与 GDP增长率。
通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然估计）
4 % 2t G D P t tr I e
从这个例子可以看出,A在任何一期的回报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分 a
2.依赖于 GDP的预期增长率,每一期都不相同的部分 b× IGDPt
3.属于特定一期的特殊部分 et。
通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间 t的任何证券 i有时间序列
其中：
ft是 t时期公共因子的预测值；
rit在时期 t证券 i的回报；
eit在时期 t证券 i的特有回报
ai零因子
bi证券 i对公共因子 f的敏感度 (sensitivity),或因子载荷 （ factor loading）
it i i t itr a b f e
（ 8.1）
为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标 t，从而（ 8.1）式变为并且假设
( 1 ) c o v (,) 0ief?
( 2 ) c o v (,) 0ijee?
[ ] 0iEe?
i i i ir a b f e
（ 8.2）
假设 (1)：因子 f具体取什么值对随机项没有影响，即因子 f与随机项是独立的,这样保证了因子 f是回报率的唯一因素。
若不独立，结果是什么？
假设 (2)：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子 f所致。
如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。
对于证券 i,由 （ 8.2） 其回报率的均值 （ 期望值 ） 为其回报率的方差
2 2 2 2
i i f e ib
因子风险非因子风险对于证券 i和 j而言，它们之间的协方差为
2
c o v (,) c o v (,)ij i j i i i j j j
i j f
r r a b f e a b f e
bb
i i ir a b f
（ 8.3）
单因子模型的优点
1,单因子模型能够大大简化我们在均值 -方差分析中的估计量和计算量。假定分析人员需要分析 n种股票，则
均值－方差模型,n个期望收益,n个方差，
(n2-n)/2个协方差
单因子模型,n个期望收益,n个 bi,n个残差,一个因子 f方差,共 3n＋ 1个估计值。
若 n＝ 50，前者为 1325，后者为 151。
2ei? 2
f?
单因子模型具有两个重要的性质
2,风险的分散化
分散化导致因子风险的平均化
分散化缩小非因子风险
2
1
2 2 2
l im l im ( ( ) )
l im
n
p i i i i
nn
i
p f e p
n
D w a b f e
b
2 2 2
11
nn
p i i e p i e i
ii
b w b w
其 中,,
假设残差有界，即
22ei s
且组合 p高度分散化，即 wi充分小，则对于资产 i成立
/iwn
则有
2 2 2 2 2
2
1
11n
ep
i
ss
nn
从而
2 2 2 2 2 2l i m l i m
p p f e p p fnn bb
单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化,GDP增长率等。
例子：公用事业公司与航空公司，前者对 GDP
不敏感，后者对利率不敏感。
单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。
8.2.2 多因子模型两因子模型
若只考虑一期的模型,则可以省略表示时间的下标,从而两因子模型方程为
1 1 2 2i i i i ir a b f b f e
[ ] 0,c ov (,) 0i i jE e e e其 中,
12c o v (,) 0,c o v (,) 0iie f e f
在两因子模型下,对于证券 i,其回报率的均值
1 1 2 2i i i ir a b f b f
其回报率的方差
12
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 c o v (,)i i f i f i i e ib b b b f f
对于证券 i和 j，其协方差为
1 1 2 2
1 1 2 2
c o v (,) c o v (,
)
i j i j i i i i
j j j j
r r a b f b f e
a b f b f e
221 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2( ) c o v (,)i j f i j f i j i jb b b b b b b b f f
证券 i对因子 1的敏感度
两因子模型同样具有单因子模型的重要优点：
有关资产组合有效边界的估计和计算量大大减少 （ 但比单因子增加 ）,若要计算均方有效边界,需要
n个期望收益,n个 bi1,n个 bi2,n个残差,2
个因子 f方差,1个因子间的协方差,共 4n＋ 3
个估计值 。
分散化导致因子风险的平均化 。
分散化缩小非因子风险 。
多因子模型对于 n种证券相关的 m（ m<n)个因子，证券 i的收益可以表示为
1
m
i i j j i
j
r a b f e
[ ] 0,c o v (,) 0
c o v (,) 0,
i i j
ik
E e e f
e e i k
1,.,,,; 1,.,,,i n j m其 中,
8.3 套利定价理论（ APT）
定义：套利 （ Arbitrage） 是同时持有一种或者多种资产的多头或空头,从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益 。
不花钱就能挣到钱,即免费的午餐 ！
两种套利方法：
当前时刻净支出为 0,将来获得正收益 （ 收益净现值为正 ）
当前时刻一系列能带来正收益的投资,将来的净支出为零 （ 支出的净现值为 0） 。
假设现在 6个月即期年利率为 10%（连续复利，下同）,1年期的即期利率是 12%。如果有人把今后 6个月到 1年期的远期利率定为 11%，则有套利机会。
套利过程是：
1,交易者按 10%的利率借入一笔 6个月资金（假设 1000万元）
2,签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按 11%的价格 6个月后从市场借入资金 1051万元（等于 1000e0.10× 0.5）。
3,按 12%的利率贷出一笔 1年期的款项金额为 1000万元。
4,1年后收回 1年期贷款，得本息 1127万元
（等于 1000e0.12× 1），并用 1110万元
（等于 1051e0.11× 0.5）偿还 1年期的债务后，交易者净赚 17万元（ 1127万元 -
1110万元）。
这是哪一种套利？
套利不仅仅局限于同一种资产 （ 组合 ）,
对于整个资本市场,还应该包括那些,相似,资产 （ 组合 ） 构成的近似套利机会 。
无套利原则 （ Non-arbitrage principle)：
根据一价定律 （ the law of one price）,两种具有相同风险的资产 （ 组合 ） 不能以不同的期望收益率出售 。
套利行为将导致一个价格调整过程,最终使同一种资产的价格趋于相等,套利机会消失 ！
APT的基本原理：由无套利原则,在因子模型下,具有相同因子敏感性的资产 （ 组合 ） 应提供相同的期望收益率 。
APT与 CAPM的比较
APT对资产的评价不是基于马克维茨模型,
而是基于无套利原则和因子模型 。
不要求“同质期望”假设,并不要求人人一致行动。 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。
不要求投资者是风险规避的！
8.3.1 APT的基本假设
1,市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的
（ Perfectly competitive and frictionless
capital markets）；
2,投资者是不知足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。
因此，不必对投资者风险偏好作假设？
3,资产的回报可以用因子表示
APT假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型
i i i ir r b f e 1( ) 0ttEf
未预期到的变化预期的回报
f是证券 i的某个因子的变化,基于有效市场理论,它是不可预测的。
要依靠“旧”的 f来获利是不可能的！
若市场有效，则 t-1时刻的信息集预测 t时刻的价格无效,这等价于 t-1时刻信息无法预测 t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向 —— 公平赌局（ Fair game）
从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测,也就是因子的变化不可预测,这些信息既有宏观的、也有微观的。
1( ) 0ttEf
8.3.2 构建套利组合（ Arbitrage
portfolio）
1,零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资
（ Self-financing）组合。
2,无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为 0。
3,正收益：套利组合的 期望收益 大于零。
用数学表示就是
1
1
1
0
0
0
n
i
i
n
ii
i
n
ii
i
w
bw
wr
11
1
2
1
( ) ( [ ]
= ( )
= ( ) ( )
nn
i i i i i i
ii
n
ii
i
n
ii
i
D w r D w r b f e
D w b f
D f w b
11
( ) 0,0
nn
i i i i
ii
D w r w b
若 要 则 要
（ 8.1）
（ 8.2）
（ 8.3）
8.3.3 套利定价模型
假设投资者构造这样的资产组合：（ 1）无风险利率借入 1元钱；（ 2） 1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。
0
0
( ) ( 1 ) ( ) 1
[ ( ) ] [ ( ) ]
p i i j j
i j j i j j
r w r b f w r b f
w r r r w b b b f
0 ij设 无 风 险 利 率 为,两 个 资 产 是 资 产 和 资 产,在 因 子模 型的假 定 下,套 利 组 合 的收 益 为 （忽 略 残差 ）
l
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为 0
j
p
ij
b
wr
bb
时,无 风 险根据条件（ 2）,( ) 0
i j jw b b b当,即
0( ) 0,
j
p i j j
ij
b
r r r r
bb
=
00
1
ji
ij
rr
bb
01iirb
1
m
i i ij j
j
r r b f
命题 8.1,假设 n种资产其收益率 m个因子决定
（ m<n），即其中,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,则
0
1
m
i i j j
j
rb
01,,.,,,j 为 常 数严格证明
证明：假设在资产 i上投资 wi，构造零投资且无风险的组合，即 wi满足下列条件
1
0
n
T
i
i
w
w1
1
1
22
1
1
0
0
0
n
T
ii
i
n
T
ii
i
n
T
i im m
i
wb
wb
wb
1
wb
wb
wb
零投资无风险 （ 8.5）
（ 8.4）
即,1,bj（ j=1,2,…,m) 线性无关。
如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（ 8.4）和（ 8.5）成立，则 蕴含 (followed)
,1,...,j jmw 1,w b
wr
这等价于,只要
1
0
n
ii
i
wr
Twr
对于任意的 W,必然 有
又由于非零向量 1,b1,b2,…,b m线性无关，则必定落在由 1,b1,b2,…,b m张成的向量空间 Rm+1中，也就是存在一组不全为零的数 使得
r
01,,..,,m
0 1 1 2 2,.,,,mmr 1 b b b
证毕。
理解,必须落在 Rm+1空间中，才能必然成立r
wr
1和 bj是该空间的一组基
a
b
C
d
在向量空间中，如果向量 a,b正交于 c,蕴含着 d正交与 c，则 d必须落在由 a和 b张成的二维空间上,d可以由 a,b线性表示！
0
示意图：向量空间错误的证明
1
0
n
T
i
i
w
w1
1
1
22
1
1
0
0
0
n
T
ii
i
n
T
ii
i
n
T
i im m
i
wb
wb
wb
1
wb
wb
wb
1
0
n
ii
i
wr
Twr
0 1 1 2 2,.,,,mmr 1 b b b
APT的意义
0
1
m
i i j j
j
rb
若 bij＝ 0，则上式退化为无风险资产，则意味着
0
1
m
f i f ij j
j
r r r b
若 bij≠ 0，则期望回报 随着 的增加而增大，
所以 是因子 的风险价格。
ijbir
j? if
自变量
1,1,...,i f ir r b i n在 单 因 子 条 件 下,有
12
1
12
,.,,,,
f f n f
n
r r r r r r
b b b
APT
1
对 于 所 有 风 险 资 产 则 有由 此 可 见,方 程 的 斜 率 实 际 上 是 因 子 1 的 风 险 价 格 。
结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，
则证券之间不存在套利。
APT的意义
0?
1?
ir
ib
hr
lr
h
l
hlbb?
若给定等投资额的证券 h多头和证券 l空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券 h,从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达 APT定价线 。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，
只要证券偏离 APT定价线就会有套利机会。
APT定价线
8.3.4 APT的另一种表达
1
1p
pf
bp
rr?
在 单 因 子 模 型 下,考 虑 一 个 使 的 （ 资 产 ） 组 合,
即,则 有
,
()
m
i f m f i
r
r r r r b
特 别 地,当 即 纯 因 子 组 合 为 市 场 组 合 时 有
1 pfrr
1
01
,
()
pf
i i f f i
rr
r b r r b
令 即 风 险 价 格,则则称该组合 p为纯因子组合 (类似于 CAPM的市场组合 )
在两因子模型下，我们有
1 1 2 2i f i ir r b b
1 1 2
1
1,0,iip b b
若 存 在 纯 因 子 组 合,使 得且 其 期 望 收 益 为 则
11ifrr
11 fr
即
2 1 2
2 2 2
0,1,
,
ii
f
p b b
r
同 理,若 存 在 纯 因 子 组 合,使 得其 期 望 收 益 为,则 = 从 而第 1因子的风险价格第 2因子的风险价格
1 1 2 2( ) )i f f i f ir r r b r b(
22 fr
这样可将 APT的表达式可以改写为在多因子模型下
0 1 1 2 2,..,,i i i m imr b b b
证券的期望收益率等于无风险收益率，加上 j个因素的风险补偿（风险价格 × 风险因子载荷）；
资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。
1 1 2 2( ) ),...,( )f f i f i m f imr r b r b r b（
j 1,...,j j m其 中,为 因 子 （ ） 的 纯 因 子 组 合 的 期 望 收 益
11
1
()
()
,A P T C A P M
i f i f f i
i f i m f
m i i
r r b r r b
r r r r
rb
显 然,若 纯 因 子 组 合 是 市 场 组 合即 代 表,则 与 一 致 。
8.4 APT与 CAPM的比较
APT与 CAPM的一致性
若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，
则当 APT与 CAPM均成立时有
命题 8.2,若纯因子组合不是市场组合,APT与 CAPM
可能不一致。
证明：只要证明存在一个反例
c ov (,) c ov (,)
c ov (,) c ov (,)
i i i i
i m i i i m
i m i i m
r a b f e
r r a b f e r
b f r b e r
由 单 因 子 模 型 可 得上式两边同除以 2
m? 并且定义
,2
c ov (,)m
fm
m
fr?
由于
2
co v (,)im
m
er
很小，不妨把它忽略，则有
,2
c o v (,)im
i f m i
m
rr b
如果 APT 也成立，且满足 CAPM，则
,
1
()i f i f m m f
i f i
r r b r r
r r b
1,()m f f mrr
得到若因素 f与市场组合正相关，那么
,2
c ov (,)c ov (,) 0 0m
m f m
m
frfr?
0,mfrr且 由 于 从 而
1,( ) 0m f f mrr
也就是，如果 CAPM成立，则必然要求上述条件成立，它构成了对 APT中 的约束。
1?
但是，如果 APT成立，不受 CAPM约束，即仅从 APT本身推断，必有
1 00fr或 者只有当
mr
才成立
1 0
反之，如果
mr,则 可 能 有
1 0fr
则对于证券 i的定价就会出现不同即如果纯因子组合不是市场组合,APT与 CAPM
可能不一致。
,( ) ( )i f i f m m fr C APM r b r r
( ) ( )i f i fr AP T r b r
,
,
0,0,0,
( ) 0 ( ) 0
i f m f
i f m m f i f
br
b r r b r
若
，
1,若纯因子组合不是市场组合，则 APT与
CAPM不一定一致,CAPM仅仅是 APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，
CAPM与 APT等价。
2,在 CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解），但 APT即使在没有市场组合条件下仍成立。
APT模型可以得到与 CAPM类似的期望回报 -
b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，
可以是任何风险分散良好的组合
CAPM与 APT的区别
1()
()
i f i f
i f i m f
r r b r
r r r r
注意二者并不一致由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，
在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可满足 APT。所以 APT的适用性更强！
3,CAPM属于单一时期模型，但 APT并不受到单一时期的限制。
4,APT的推导以无套利为核心,CAPM则以均值
－方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假设，但 APT无此假设。
5,在 CAPM中，证券的风险只与市场组合的 β相关，
它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来自何处。 APT承认有多种因素影响证券价格，
从而扩大了资产定价的思考范围（ CAPM认为资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。
8.5 APT对资产组合的指导意义
APT对系统风险进行了细分，使得投资者能够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确。例如，
基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。
APT的局限,决定资产的价格可能存在多种因素，模型本身不能确定这些因素是什么和因素的数量，实践中因素的选择常常具有经验性和随意性。
讨论：因子的选择
要利用 APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。
Pari和 Chen收集了 1975～ 1980年,2090
家公司股票月报酬回报率，以因子分析
（ Factor analysis）辨认重要因素，使模型的残差相互独立，以符合 APT的假设，
他们归纳了三类因素。
1,总体经济活动其强弱可以 GDP的增减来代表。
2,能源因素它影响消费者的消费能力，尤其是能源价格的变动，对通货膨胀具有显著的影响
3,利率变动它影响公司的资本成本，进而影响公司的发展。
例子使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无风险利率为 6％，该股票价格是低估还是高估了？解释原因。
1,0 0,5 0,75f I R crr
股票当前的预期收益率 E(r) = 15％ (因为所有因素的预期到的变动都定义为 0 )。基于风险的要求收益率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该股票定价过高。
也就是 15％的收益率是不满足无套利的，若无套利，
则收益率应该是 16％。
6 % 1 6 % 0,5 2 % 0,7 5 4 %
1 6 %
根据 APT，该股票的期望收益率为个人练习考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：
要素 因子载荷 风险溢价（％）
通货膨胀 1.2 6
行业生产 0.5 8
石油价格 0.3 3
（ a）短期国库券可提供 6%的收益率，如果市场认为该股票是公平定价的，那么请求出该股票的期望收益率。
（ b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下，
计算该股票修正后的期望收益率。
要素 预期变化率 (%) 实际变化率（％）
通货膨胀 5 4
行业生产 3 6
石油价格 2 0
