第七章 线性离散系统的分析与校正
7.1 离散系统的基本概念
目前,随着计算机性能和可靠性的不断提高,计算机越来越
多地参与系统的控制, 而计算机所能接收和输出的信号只能是数
字信号,数字信号是关于时间 t的离散信号, 简单来说这种系统叫
采样离散控制系统,其一般结构可由下图简单表示,
)(tr )(ty)(sG
)(sH
)(* te)(te
)(tb
S
图中,S是采样开关,它以周期 T开闭一次, 当连续信号 e(t)经过
采样开关 S后,得到一时间 t的离散信号 )(* te, 上图中的其它信号
都是时间 t的连续信号, 于是定义,在系统中只要有一处的信号是
时间 t的离散信号,即为时间 t的断续函数时,此系统就叫采样离
散系统,简称离散系统,
由于离散系统比连续系统多了采样开关,在系统中出现了离
散信号等特点,给对系统的研究带来一些新问题, 下面先从研究
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散
系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统
的思路与方法,
7.2 信号的采样与保持
7.2.1采样过程和离散信号的数学表达式
假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零
且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为
理想采样开关, 如果采样周期为 T的理想采样开关 S的输入为单
位阶跃信号,则其输出为一单位脉冲序列 )(t
T?
,见下图,
1
0 t
)(te )(tT?
t
0
1
T T2 nT
T
S
上图中
?
?
?
???????????
0
)()()2()()()(
n
T nTtnTtTtTttt ?????? ??
如理想采样开关的输入为任一连续信号 e(t),且当 t<0时,e(t)=0,
则理想采样开关的输出如下图所示,
T
S
0 t
)(te )(* te
t
0
)0(e
T T2 nT
)(Te
)2( Te
)(nTe
上图中
)1()()(
)()()2()2()()()()0()()()(
0
*
?
?
?
??
?????????
n
T
nTtnTe
nTtnTeTtTeTtTetettete
?
????? ??
)(* te 叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为,
? ? ? ?
?
?
?
???
??????
????????
0
**
)2()()()()0(
)()()()()()0()()(
n
n T sn T sTs
enTeenTeeTee
nTtnTeTtTeteLteLsE
??
?? ???
对离散信号也可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的
单位脉冲序列可展开成下面级数,
)3(1)()( ???
?
???
?
???
?
???
????
n
tjn
n
tjn
n
n
T
ss e
T
eCnTtt ????
式 (3)中, Tf
ss ??? 22 ??
叫采样角频率,Tf
s 1?
叫采样频率, 将式
(3)代入式 (1)得,
)4()(1)()()()()(
0
* ???
?
???
?
???
?
?
?????
n
tjn
nn
sete
TnTttenTtnTete
???
对式 (4)进行拉氏变换,
? ? ? ?
???
????
n
sjnsETsEsEteL )5()(
1)()()( * ??
令式 (5)中的 ?js ? 得
? ?? ?
???
??
n
snjETjE )6()(
1)(* ???
)(* te 的频谱表达式,
式 (2)和式 (5)是 )(* te 的两种不同形式的拉氏变换表达式,
式 (2)中的 与 )(
* sE )(* te
中的
)(nTe 建立了联系,而式 (5)变成式 (6)
后,式 (6)中的 )(* ?jE 是 )(* te 的频谱,并可证明 )(* ?jE 是
s?
的
周期函数, 前已交代过,采样前的连续信号 )(te 的拉氏变换式为 )(sE
其频谱表达式为
)( ?jE,因此式 (6)中的 )(* ?jE 与采样前的连续信 号的频谱建立了联系, 由于
)(* ?jE 是 s? 的周期函数,所以离散信
号频谱中每隔
s?
重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号
经过采样后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频谱的
幅值是采样前的连续信号频谱幅值的 1/T,因此式 (2)和式 (6)各有
各的使用场合, 式 (2)和式 (5)虽都是无穷级数,但通常可将式 (2)
写成闭合形式,而却不能将式 (5)写成闭合形式,下面举例说明
例, 设 )(1)( tte ?,求 )(* te 的拉氏变换式,
解, 先用式 (2)求,
Ts
TsTs
n
n T s
e
eeenTesE
nTen
?
??
?
?
?
?
???????
??
?
1
1
1)()(
1)(0
2
0
*
?
?
再用式 (5)求,
由上例可见,
? ?
??
?
???
?
??? ?
????
??
n
s
n
s
jnsT
jnsE
T
sE
s
tLsE
?
?
11
)(
1
)(
1
)(1)(
*
?
)(te
的拉氏变换式为
s
1,只有一个 s=0的极点,而 )(* te
的拉氏变换式为
Tse ??1
1,有无穷多个极点,这给分析离散系统带
来很多不便,为此需给离散信号另一种变换工具,这就是以后要
专门介绍 Z变换的原因,
一个离散系统往往有多个采样开关,各个采样开关最简单的
动作方式叫同步等周期采样方式,这种方式在工程上用的较普遍
对系统的分析也较方便, 以后讨论问题时,均以同步等周期采样
作为各个开关的动作方式
7.2.2 信号的复现和采样定理及保持器
实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外,常需将
离散信号转换成采样前的连续信号,如计算机控制系统中的 D/A
转换器就起这一作用, 问题是,经采样的离散信号能否复原成
采样前的连续信号? 如能,应具备什么条件,用何装置实现?
本小节就讨论这些问题,
由下图 可见,连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的
但离散信号所对应的连续信号却并不唯
一,而有无穷多个,请见左图,
)(* te
t
0
)0(e
T T2 nT
)(Te
)2( Te
)(nTe
)(te
图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连
连续信号,而经采样所得到的离散信号
是相同的,即一个离散信号可对应无穷
多个连续信号, 如果采样周期足够小,即采样点足够密,则离散
信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号,问题是采样周期
应小到什么程度?
香农采样定理, 要由离散信号完全复现出采样前的连续信
号,必须满足, 采样角频率
s?
大于或等于两倍的采样器输入连
续信号频谱中的最高频率 max?,即,
max2?? ?s
对香农采样定理举例说明,设有叫钟形波的连续信号,其
时域和幅频表达式为,
2
2
22 4
)()0()( ?
?
?
?
?
??
?
? ??? ejEete t
其幅频曲线如下图,
?
)( ?jE
max?? max?
0
??
max2?
由式 (6),离散的钟形波其幅频曲线如下图,
若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器 )( ?jF
其幅频特性表为,
??
?
?
?
?
?
?
20
21
)(
s
sjF
??
??
?,幅频曲线如上图,
)( ?jF
钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,仅剩下主频分量,主频
分量的波形与连续钟形波的波形一样,仅幅值为后者的 1/T.因此
可完全复现连续信号, 如采样角频率不满足采样定理,采样后钟
形波离散幅频谱见上图绿色波形,
则可将
可见,由于幅频谱各分量互相
搭接,既使采用理想带通滤波器,也无法复现原连续信号,
?
)(* ?jE
max?? max?
0
?? T
max2?
2s?2s??
s?
上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的,实践中常采用
零阶保持器串接在离散信号后,对离散信号进行低通滤波以近似
)(teh
)(* te)(te
S
T
零阶保持器 复现连续信号,如右图所示,
离散信号如下图,
t
)(* te
0
)0(e
T T2
)(Te
)2( Te
)3( Te
T3
)4( Te
T4
)5( Te
T5
)6( Te
T6
)(te
零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一
个采样时刻止,从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的
脉动序列,如上图, 再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线
连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚
线表示的原连续信号,且采样周期越小,复现精度越高,
)(teh
2T
)2( Tte ?
图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间
上滞后了 T/2,经上分析,可得零阶保持器的传递函数为,
? ?? ?
? ?
s
e
sE
sE
sG
s
e
sE
s
e
enTeteLsE
TntnTtnTete
Ts
h
h
Ts
n
Ts
n T s
hh
n
h
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
?????
?
?
1
)(
)(
)(
1
)()
1
()()()(
)1(1)(1)()(
*
*
0
0
?
其频率特性表达式为 s
j
s
s
s
T
j
Tj
h
ee
T
T
T
j
e
jG
?
????
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
s i n
2
2
2
s i n
1
)( 2
其频率特性曲线请见书上 P.285图 7-18,可见零阶保持器是一相位
滞后的低通滤波器,高频分量尚不能完全滤尽,因此它只能近似
地复原连续信号, D/A转换器就具有零阶保持器的作用,步近电
机也具有零阶保持器的作用, 零阶保持器还可用阻容网络实现,
7.3 Z变换理论
7.3.1 Z变换定义和求法
由离散信号的拉氏变换式
?
?
?
??
0
* )()(
n
n T senTesE 可见,其含有 nTse?
的超越函数,这给对离散系统的分析和计算带来很大困难,而应
用 Z变换可解决这一难题, 为此在上式中,令 Tsez ?,则定义
?
?
?
??
0
)()(
n
nznTezE
为 )(* te 的 Z变换,并以
? ? ? ? )1()()()()(
0
* ?
?
?
????
n
nznTenTeZteZzE
下面举例说明求一些简单离散函数的 Z变换,
1,幂级数法
例 1,求单位阶越函数的 Z变换,
表示,有时为书写方便,也将 ? ?)(* teZ 写成 ? ?
)(teZ
解,
? ?
11
11)(1)(1
1
0
4321
?
?
?
???????? ?
?
?
??????
z
z
z
zzzzznTtZ
n
n ?
由
的 Z变换,其中 te ?? ? 是常量, 例 2,求
? ?
TT
TT
n
nnTt
ez
z
ze
zezezeeZ
??
????
???
????
?
?
???
?
?
?
?
????? ?
1
221
0
1
1
1 ?解,
? ? ??????? ???? 43211)(1 zzzztZ 与 ??????? )2(1)(1)(1)(1 * TtTttt ???
比较可知,),,,2,1,0( ?? niz i ?? 表示相对时刻 0滞后 i个采样周期,
或称滞后 i拍,而 iz? 前的系数表示第 i个采样时刻的采样值, 这一
结论具有普遍性,
2,部分分式法
若 e(t)由其拉氏变换式 E(s)给出,且 E(s)是 s的有理函数并其分
母多项式便于分解因式时,可将 E(s)展开成部分分式,即,
?
? ?
?
n
i i
i
ps
aSE
1
)( 式中,ip? 是 E(s)各不相同的单极点,ia
是
ip?
的留数,而
i
i
ps
a
?
所对应的时间函数为
tp
i
iea ?
由例 2,上式的 Z变换式是,,因此,相应于 E(s)的像原
Tp
i
iez
za
??
函数 e(t)的 Z变换为 ? ? ? ?
? ?
??? ?????
n
i
n
i
Tp
i
Tp
i
ze
a
ez
zateZzE
ii1 1 11
)()(
例 3,求
)()( ?
?
?? sssE
的 Z变换式,
解,
))(1(
)1(
1
)(
11
)(1,1,0
2
1
2
1
2121
T
T
T
i
Tp
i
i
i
i
ezz
ez
ez
z
z
z
ez
za
zE
ssps
a
sEaapp
i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??????????
?
???
3,留数法
若 e(t)由其拉氏变换式 E(s)给出,且 E(s)是 s的有理函数并其所
有极点能较方便地求出,则还可根据拉氏变换中的 s域卷积定理
和复变函数中的留数定理求其 Z变换, 设
)2(
)()()()(
)(
)(
21
21
ri m
r
m
i
mm pspspsps
sQ
SE
????
?
??
式 (2)中, 表示 ),,3,2,1( rip
i ??? im
阶重极点,且 ?
?
?
r
i
imn
1
表示
)(sE 的阶数,
? ? ? ?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
r
i
i
pp
r
i
pT
C TpssT
T
R
ze
pEszE
dp
e
pE
je
sE
tteLteLsE
i
11
1
)(
*
**
1
1
)(Re)(
1
)(
2
1
1
1
)(
)()()()(
?
??
iR
为在极点
ip? 上的留数,当 ip? 为单极点时,留数为
??
?
??
?
?
??
?? sTipsi ez
z
sEpsR
i
)()(lim
当 为
ip? im 阶重极点时,留数为
??
?
??
?
?
?
?
? ?
?
?? sT
m
i
m
ps
i
i
ez
z
sEps
ds
d
m
R i
im
i
i
)()(lim
)!1(
1
1
1
需注意的是
im
阶重极点只对应一个留数,
例, 求 t 和 2t 的 Z变换,
解, ? ?
? ?
2
0
22
2
0
1
112
)1()(
1
lim
1,2,0,
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
?
? z
Tz
ez
z T e
ez
z
s
s
ds
d
RtZ
rmp
s
tLsE
s
sT
sT
sTs
?
? ?
? ?
3
2
0
3
2
3
3
2
2
0
1
2
113
2
)1(
)1(
)(
)2(2
lim
2
1
1,3,0,
2
)(
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
?
? Z
zzT
ez
ezezT
ez
z
s
s
ds
d
RtZ
rmp
s
tLsE
s
sT
sTsT
sTs
?
常用时间函数 )(te 的拉氏变换和 Z变换见书上 P.289表 7-2
7.3.2 Z变换性质
1,线性定理
? ? ? ? ? ? )()()()()()( 221122112211 zEazEateaZteaZtxatxaZ ?????
例, tshte ??)(,求它的 Z变换表达式,
解,
12
1)(
)(
2
1
)(
2
1
2
][
2
][
]2/)[()]([)(
2/)()(
2
2
??
?
???
?
?
?
?
?
?
??????
???
?
?
?
?
?
?
Tz c hz
Tzsh
eezz
eez
ez
z
ez
z
eZeZ
eeZteZzE
eetshte
TT
TT
TT
tt
tt
tt
?
?
?
??
??
??
??
??
??
?
2.实域位移定理
滞后定理
? ? ?
?
?
??
? ???? ?
?
?
k
n
nk nTezzEzkTteZ
1
)()()(
证明, 令 )()(
1 kTtete ??
,按定义有,
})()({
})(])1[()(
)()()0({
)()0(
])2[(])1[()(
])1[(
)()2()()0(
)()(
10
1
1
)1(
21
)1(
1
1
2
1
1
11
0
11
??
?
?
?
?
??
?
???
???
??
??
???
?
?
?
???
???????
?????
???
???????
???
?????
?
k
n
n
n
nk
kk
nk
kk
k
k
n
n
znTeznTez
zTezTkezkTe
znTezTeez
zTeze
zTkezTkekTe
zTke
zkTezTezTee
znTezE
?
??
??
?
?
即,
当
})()({)]([)]([
1
1 ?
?
? ?????
k
n
nk znTezEzkTteZteZ
0?t 时,有 0)( ?te,则上式为, )()]([ zEzkTteZ k???
超前定理, ? ?
??
?
??
? ??? ? ?
?
?
1
0
)()()(
k
n
nk znTezEzkTteZ
证明, 令 )()(
1 kTtete ??
,按定义有,
})()({
})2(])1[()({
)2(
])2[(])1[()(
)()2()()0(
)()(
1
00
2)1(
21
1
2
1
1
11
0
11
??
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
???
?
?
?
??
??????
??
??????
??????
?
k
n
n
n
nk
kkkk
k
k
n
n
znTeznTez
zkTezTkezkTez
zkTe
zTkezTkekTe
zkTezTezTee
znTezE
??
??
??
当 时,若 12,1,0 ?? kn ? 0)( ?nTe 则有 )()]([ zEzkTteZ k??
例, )(1)(
1 kTtte ??
求它的 Z变换,
解,
)1(
1
1
)](1[)](1[)]([)(
1
)](1[)(
1
11
?
?
?
?
?????
?
??
?
?
?
zzz
z
z
tZzkTtZteZzE
z
z
tZzE
k
k
k
?
例, )(
1 )(
Ttete ??? ? 求它的 Z变换,
解,
TT
tTt
T
t
ezez
z
z
eZzeZteZzE
ez
z
eZzE
??
??
?
?
??
?
????
?
?
?
?
?
?
????
?
??
1
][][)]([)(
][)(
1
1)(
11
?
3.复域位移定理
设 )()]([ zEteZ ? 则
)()]([ Tt zeEteeZ ?? ???
证明,
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
0
)(
00
)(
)()()]([
n
snT
n
n T snT
n
nnTt
enTe
enTeeznTeeteeZ
?
??? ???
?
令
zeeeze TTsTsT ??? ??? ??? 1)(
)()(
)()()]([
1
0
1
0
)(
zeEzE
znTeenTeteeZ
T
n
n
n
snTt
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??? ??
?
例, 求它的 Z变换, tete t ?? s in)(
1
??
解,
TT
T
TT
T
Tt
eTzez
Tze
Tzeze
Tze
zeEteZteZ
zE
Tzz
Tz
tZteZ
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
222
1
2
c o s2
s i n
1c o s2)(
s i n
)(]s i n[)]([
)(
1c o s2
s i n
][s i n)]([
??
?
?
??
?
??
?
???
?
??
???
4,初值定理,
)(lim)0( zEe z ???
5,终值定理, 若
)()1(lim)()1(lim)()(lim 111 zEzzEzenTe zzn ????? ??????
证明,
)0()(lim
)2()()0()()( 21
0
ezE
zTezTeeznTezE
z
n
n
??
?????
??
??
?
?
?
? ??
例, 求
1
)(
?
?
z
zzE 的原函数的初值,
解, 1
1
lim)(lim)0( ?
?
??
???? z
zzEe
zz
例, 求
Tez
zzE
????)(
的原函数的初值,
解, 1lim)(lim)0( ?
?
?? ?
???? Tzz ez
zzEe
?
)(nTe 均为有限值 ),,2,1,0( ?? ?n,则
终值定理的使用条件为, 的所有极点都在 Z平面上的 )()1( zEz ?
单位圆内,也即当 ??n 时 )(nTe 是收敛的,
证明, 按定义有
)1()()(
0
?
?
?
??
n
nznTezE
由超前定理,
)2()()]0()([
])()([)]([
0
11
0
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
n
n
n
n
zTnTeezEz
znTezEzTteZ
由式 (2)减式 (1)得,
)()()1(lim
)0()()]()([lim
)0()()1(lim)]0()()1[(lim
)]()([)0()()1(
1
0
1
11
0
???
??????
?????
?????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ezEz
eeznTeTnTe
ezEzzezEz
znTeTnTezezEz
z
n
n
z
zz
n
n
例,已知 求
2)()( T
T
ez
T z ezE
?
?
?
?
?
? )(?e
解, 0
)(
)1(lim)()1(lim)(
211 ??
?????
?
?
?? T
T
zz ez
zT z ezEze
?
?
6,复域微分定理, ? ?
dz
zdETztteZ )()( ??
证明, ? ?
)()()(
)()()(
00
0
)1(
0
zE
dz
d
TzznTe
dz
d
Tzz
dz
d
nTeTz
znTneTzznTn T etteZ
n
n
n
n
n
n
n
n
??????
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
例,求函数 tte ?? 的 z变换式,
解,设 tete ???)( 则
Tez
zzE
????)(
所以
2
2
)(
)(
][
T
T
T
T
T
t
ez
T z e
ez
e
Tz
ez
z
dz
d
TzteZ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
7,差分定理,
? ? )(1)()()1()( 1 zEzzzEzzEneneZ ?????? ?
前向差分 ? ?
)0()()1()()1( zezEzneneZ ?????
后向差分
8,叠分定理
)(1 1)(1)( 1
0
zEzzEz zreZ
k
r
?
? ?
????????? ?
证明,
)(
1
])([
)]([])([])([
)()()(
0
0
1
0
1
00
zE
z
z
reZ
keZreZzreZ
kerere
k
r
k
r
k
r
k
r
k
r
?
?
???
??
?
??
??
?
?
?
?
?
??
?
9.卷积定理
设 )( nTx 和 )( nTy 为两个离散函数,其离散卷积
定义为,
)(])[(
])()[()()(
0
0
kTyTknx
TknykTxnTynTx
k
k
?
?
?
?
?
?
??
???
则有 )()()]()([ zYzXnTynTxZ ??
证明,
? ?
?
?
?
?
?? ??
0 0
)()()()(
k n
nk znTyZYzkTxZX?
)1(])()[(
]})()[({)]()([
0 0
0
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
n
n
k
k
zTknykTx
TknykTxZnTynTxZ
令,则当 mkn ?? 0?n 时 km ??,代入式 (1)得,
)()(
)()()]()([
0)(,0
)()(
)()()]()([
00
0
)(
0
zYzX
zmTyzkTxnTynTxZ
mTym
zmTyzkTx
zmTykTxnTynTxZ
m
mk
k
km
mk
k
km
mk
k
?
???
??
?
??
??
??
? ?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
?
?
??
??
?
?
?
7.3.3 Z反变换
由 E(z)求出 e(nT)或 e*(t)叫 Z反变换,一般记为,
? ? ??
?
?? ???
0
1 )()()(,)()(
n
nTtnTetezEZnTe ?
需特别强调的是,由 E(z)经 Z反变换求出的是 e(nT)或 e*(t),而不
是 e(t),
1,幂级数法
当 E(z)是有理真分式或是有理严格真分式时,可采用长除法
将 E(z)展开成 z的幂级数,进而求得 e(nT)或 e*(t),
例, 求 的原函数 e*(t),
)2)(1()( ??? zz
zzE
解, ?? ?????
???
???? 4321
2 157323)( zzzzzz
zzE
232 ?? zz
123 ??? zz
z
1?z
123 ?? z
23 ?? z
21 693 ?? ?? zz
21 67 ?? ? zz
??
?
??????????? ? )4(15)3(7)2(3)()( TtTtTtTtte ????
采用幂级数法,对于稍复杂的 E(z)很难写出 e*(t)的通项式 e(nT),
所以也难写出 e*(t)的闭合形式
??
?
? ??
0
)()()(
n
nTtnTete ?
2.部分分式法
当 E(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式
便于分解成 z的一次因式时,可用部分分式法把 E(z)变成分式和的
形式,再由 z变换表求出 e(nT)或 e*(t),由于 z变换式中的分子一
般均含有 z因子,因此在对 E(z)进行部分分式前,先将 E(z)/z,再
对 E(z)/z进行部分分式,然后对 E(z)/z部分分式和中的各项再乘
以 z,最后得 E(z)的分式和,
如 E(z)/z含有 r个相同的极点,(k-r)个各不相同的极点,则
E(z)/z的部分分式和为如下形式,
)1(
)(
)(
11
??
?
?
? ?
?
?
?
r
j
j
j
j
rk
i
i
i
zz
b
zz
a
z
zE
式 (1)中,
iz
是 E(z)/z的单极点,
ia
是相应于
iz
的待定系数,
且 是 E(z)/z的 r重极点,r重极点有
,
)(
)(
izz
ii z
zE
zza
?
?? jz
r个待定系数
),2,1( rjb j ??
,且
jzz
r
jjr
jr
j
z
zE
zz
dz
d
jr
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)!(
1
从而
)2(
)(
)(
11
??
?
?
? ?
?
?
?
r
j
j
j
j
rk
i
i
i
zz
zb
zz
za
zE
例, 求
))(1(
)1()(
T
T
ezz
zezE
?
?
?
?
??
?? 的原函数,
解,
3,留数法
当 E(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于
分解成 z的一次因式时,可用留数法直接求出 e(nT)或 e*(t),如
)()1()(1)(
1
)(
1
1
1
))(1(
)1()(
0
nTteteenTe
ez
z
z
z
zE
ezzezz
e
z
zE
n
nTnT
T
TT
T
??????
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
jzz
i
ji
nr
jr
r
rk
i
zz
n
i
zz
n
rk
i
zz
n
zzEzz
dz
d
r
zzEzz
zzEszzEsnTe
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
)()(
)!1(
1
)()(
)(Re)(Re)( j
z
,(k-r)个各不相同的极点 含有 r个相同的极点,则
iz
1)( ?nzzE
需特别指出的是,r个相同的极点只对应一个留数,
例, 求
))(1(
)1()(
T
T
ezz
zezE
?
?
?
?
??
?? 的原函数,
解,
)()1()(
1
)1(
)1(
)(
)1(
))(1(
)1(
)(
))(1(
)1(
)1()(
))(1(
)1(
)(
0
1
1
1
nTtete
e
z
ze
ez
ze
ezz
ze
ez
ezz
ze
znTe
ezz
ze
zzE
n
nT
nT
eZ
nT
Z
T
nT
eZ
T
nT
T
Z
T
nT
T
nT
n
T
T
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
课外习题, P.346第 7-2题 (4)(5),第 7-3题 [用部分分式法
和留数法 ],第 7-4题,第 7-5题
7.4 离散系统的数学模型
1,脉冲传递函数 (Z传递函数 )的推导及定义
对于线性连续定常系统,可用传递函数作为数学模型来描述
系统的性能, 把这一方法推广到线性离散定常系统,则可用 Z传
递函数作为数学模型来描述系统的性能, 但由于离散系统中有
采样开关,以及出现离散信号,所以两者又有不同之处,
设一线性连续定常系统如下图所示,
)(sG
)(tr )(tc
)(tr
t
0
1
当 )()( ttr ?? 时,)()]([)(
10 tgsGLtc ?? ?,其曲线如上右图所示,
)(tc
t
0
)(tg
当 )()( kTttr ?? ? 时,
kT
)(])([)( 1 kTtgesGLtc k T sk ??? ??
kT
)( kTtg ?
当
?
?
?
??
0
)()(
k
kTttr ? 时,
T
?? ?
?
?
?
?
?
?
?? ????
00 0
1 )()(])([)(
k
k
k k
k T s tckTtgesGLtc
T
)( Ttg ?
)(tc
若如下图所示 为任意连续信号,)(tr
)(tr
t
0
其经过采样周期为 T的
理想采样开关后,
)(tr
)(* tr
)(sG )(tc
变成一串脉冲序列,
)(* tr
t
0 T kT
)(Tr
)(kTr
)0(r
即
?
?
?
??
0
* )()()(
k
kTtkTrtr ?
,当
作用于传递函数为 )(sG 的连续系统,输出
)()()( kTtgkTrtc k ?? 见上右图,
)(tc
t
0 T kT
)(tck
)(0 tc
)(1 tc
)()( kTtkTr ??
当输入 )(
* tr,则
?
?
?
??
0
)()()(
k
kTtgkTrtc
)(tc
,现假设输出端有一与输入端相同的
采样开关,
)(* tc
对输出连续信号 )(tc 采样,
)0(c
)(Tc
)(kTc
,则输出离散信号为
)2()()()(
0
* ?
?
?
??
n
nTtnTctc ?
当时刻 nTt ? 时
)1()()()(
0
?
?
?
??
k
kTnTgkTrnTc
对式 (2)进行 Z变换,
将式 (1)代入式 (3),
)3()()(
0
?
?
?
??
n
nznTczC
? ?
?
?
?
?
?
??
0 0
)()()(
n
n
k
zkTnTgkTrzC
? ?
?
?
?
?
?
??
0 0
)(])[()(
n
n
k
zkTrTkngzC
令 mkn ??,当 0?n 时,km ??,则有
? ?? ?
?
??
?
?
??
?
??
??
?
?
??
km k
km
km
km
k
zkTrzmTgzkTrmTgzC
0
)(
0
)()()()()(
因当 0?m 时,0)( ?mTg,所以
)(/)()()()()()()(
0
zRzCzGzRzGzRzmTgzC
m
m ???? ?
?
?
?
定义,线性定常离散控制系统,在零初始条件下,输出离散信
号的 Z变换与输入离散信号的 Z变换之比,称为该系统的脉
冲传递函数,或叫 Z传递函数,即,
? ?
? ?
)()()(),(
)(
)(
)(
)(
zRzGzCzG
zR
zC
trZ
tcZ
???
?
?
G(z)的一般表达式为,
nn
nn
mm
mm
azazaz
bzbzbzb
zG
???
???
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
10)(
?
?
2,求法
常用求法有三种,(1)由定义求 G(z); (2)由 G(s)求 G(z)
对于连续系统可得右图,
)(sG)(sR )(sC,如
)()( ttr ?? 则 1)( ?sR,从而 ? ? ? ?)()()( 11 sGLsCLtg ?? ??,因为
1)(),()( ??? zRttr ?,所以, ? ? ? ?? ?)()()()( 1 sGLZtgZzCzG ?? ???
当输入信号为任意脉冲序列时,也可由上式求出 G(z),但需
特别指出的是
zssGzG ?? )()( )(,zG
仅由离散系统本身的结构
和参数决定,而与输入信号的形式和大小无关, 有了 Z传递
函数,离散系统可用下面框图表示,
)(zG)(zR )(zC
例, 某环节 (或系统 )的 S域传递函数为,
解,
? ?
? ? ? ?
T
t
t
ez
z
eZtgZZG
e
s
LsGLtg
10
10
1011
)()(
10
1
)()(
?
??
???
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
求其 Z传递函数,
10
1)(
?? ssG
3.由离散系统结构图求脉冲传递函数
A,开环系统的脉冲传递函数
开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍,
a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关,如下图所示,
则上图的脉冲传递函数为,
?
?
?
????
???
n
i
in
n
n
zGzGzGzGzG
zR
zC
zG
zC
zC
zG
zC
zC
zG
zR
zC
1
21
1
2
1
2
1
1
)()()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
,),(
)(
)(
),(
)(
)(
?
??
b.开环系统中串接环节之间无采样开关,如下图所示,
)(tr )(1 sG )(2 sG
)(tr? )(tc?)(tc)(1 tc
)(tr )(1 sG
)(1 tc?
)(2 sG
)(tr? )(2 tc?
)(sGn
)(1 tcn?? )(tc?
)(1 tc )(2 tc
)(1 tcn?
)(tc
则上图的脉冲传递函数为,
需指出的是
? ?? ? )()()()(
)(
)(
2121
1 zGGsGsGLZzG
zR
zC ??? ?
)()()( 2121 zGzGzGG ?
例 1,求下图所示开环系统的脉冲传递函数
s
10
10
1
?s)(tr
)(tr ?
)(tc ?
解, ? ?
))(1(
)1(
1)10(
11
)10(
10
)()()()(
10
10
10
2121
T
T
T
ezz
ez
ez
z
z
z
ss
Z
ss
ZsGsGZzGGzG
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
例 2,求下图所示开环系统的脉冲传递函数
解,
s
10
10
1
?s)(tr
)(tr ?
)(tc ?
? ? ? ?
))(1(
10
1
10
10
110
)()()(
10
2
10
21
TT
ezz
z
ez
z
z
z
s
Z
s
ZsGZsGZzG
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
例 3,求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
s
10
10
1
?s)(tr
)(tr ?
)(tc ?se
Ts??1
解, 令
s
sG
sG
ss
e
sss
e
sGsGsG
pTs
Ts
ph
)(
)(
)10(
10
)1(
)10(
101
)()()(
12
?
?
???
?
?
?
??
?
?
则,
由 Z变换的滞后定理可得,
TspppTs e
s
sG
s
sG
s
sGesG ?? ???? )()()()1()(
? ?
))(1(
)1.01.0()1.01.0(
1.0
1
1.0
)1(
)1()(
1.0
1
1.0
)1(
10
1.01.01
)10(
10)(
)(
)1(
)()(
)()(
)()(
10
101010
102
1
102
22
11
T
TTT
T
T
p
ppp
Tspp
ezz
eTezeT
ez
z
z
z
z
Tz
zzG
ez
z
z
z
z
Tz
sss
Z
ss
Z
s
sG
Z
s
sG
Zz
s
sG
Zz
s
sG
Z
e
s
sG
Z
s
sG
ZsGZzG
?
???
?
?
?
??
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
B,闭环系统的脉冲传递函数
由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性,因此
闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂, 下图是一种
常见的离散闭环系统的结构图形式,
)(tr )(tc)(sG
)(sH
)(* te)(te
)(tb
S
)(tc?
由上图经推导可得,
? ?
)(1
1
)(),()()(
)(1
1
)(
)()()()()()()()()()(
)()()()()()()()()(
zGH
zzRzzR
zGH
zE
zEzGHzRzEzEzGHzEsHsGZzB
zBzRzEtbtrtetbtrte
erer
?
??
?
?
?????
???????
???
??
?
?
)(zer? 叫闭环系统的误差脉冲传递函数, 实际系统的输出一般是连
续信号,故如上图所示,在输出端虚设一采样开关,才可得到闭
环系统输出对输入的脉冲传递函数,
因为,所以 )()()( zEzGzC ?
)(1
)()(
)(
)(
zGH
zGz
zR
zc
cr ??? ?
上式中 )(1 zGH? 叫闭环系统的特征多项式,
)( zGH 叫闭环系统
的开环 Z传递函数, 在有些情况下,无法得到闭环系统的 Z传递
函数,而只能得到闭环系统输出的 Z变换表达式,见下图,
)(sH
)(tr )(tc)(2 sG
)(* tu)(te
)(tb
S
)(tc?
)(1 sG
)(tu
)(1
)()(
)()()(
)()()()(
21
21
2
121
zHGG
zGzRG
zUzGzC
zHGGzUzRGzU
?
???
???
例, 求下图所示系统的 Z传递函数,采样周期 T=0.07s,
解,
)10(
10
?ss
)(tc?
s
e Ts??1
)(te?
1.0
)(tc
)(tr
)(te
0 1 5.598.1410
15.02.0
)(1
)(
)(
51510
0 1 5.002.0
)(1.0)(
51510
15.02.0
))(1(10
)101()110(
)10(
10
)1(
)10(
101
)(
5.007.0
2
21
21
2
2121
210
101010
2
1
21
7.010
??
?
?
?
?
??
?
???
??
?
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
?
??
zz
z
zHGG
zGG
z
zz
z
zGGzHGG
zz
z
ezz
TeezeT
ss
Zz
sss
e
ZzGG
eesT
cr
T
TTT
Ts
T
?
?
?
课外习题, P.347第 7-9题,第 7-10题 (a)
第 7-11题
7.5 离散系统的稳定性与稳态误差
1,离散控制系统的稳定性
1) 稳定条件
在线性连续系统理论中已知,其稳定的充要条件是系统的
所有极点均在 S平面的左半平面上, S平面的虚轴是稳定区域的
边界, 在线性离散系统中,如用拉氏变换,则变换式中含有
nTse? 项,从而系统的特征方程为超越方程,其极点不好求, 但
经过 Z变换后,离散系统的特征方程 D(z)为 Z平面上的代数方程
但在 Z平面上,离散系统的稳定条件又如何表述?
设离散系统的特征方程为 D(z),令 D(z)=0,设其极点为
),,3,2,1( niz i ??,则系统稳定的充要条件是,在 Z平面上,
iz 均在以原点为圆心,半徑为 1的单位圆内,即 ),,1(1 niz i ???
当 1?
iz
,即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的,
当 1?
iz
,即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的,
上述结论的正确性可说明如下,
设在 S平面上,有 ? ?),( ??????? ??? js 经 Z变换后,它在 Z平
面上的映像为,
Tzez
eeeez
T
TjTTjTs
?
?
????
??
???
?
,
)(
由上式可得, 当 0?? 时,s在 S平面的左半平面上,而 1?z
z在 Z平面上的单位圆内, 当 0?? 时,s在 S平面的虚轴上,而 1?z
z在 Z平面上的单位圆周上, 当 0?? 时,s在 S平面的右半平面上,
而
1?z
,z在 Z平面上的单位圆外,
2) 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用
劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数,判别代数方程的
根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上,而无法
判别代数方程的根的模是大于 1还是小于 1,或是等于 1,
为此需把 Z平面再进行一次变换,令,,或令,
1
1
?
??
w
wz
w
wz
?
??
1
1
将上述变换叫作双线性变换,也叫 Z--W变换,即把 Z平面变换
到 W平面, Z和 W均为复变量,可表为,
)3(),2( jvuwjyxz ????
即,
)1(11??? zzw
将式 (2)代入式 (1),有,
2222
22
)1(
2
)1(
1)(
1
1
yx
yj
yx
yx
jyx
jyxjvuw
??
?
??
???
??
?????
由上式可见,W平面上的虚轴对应于上式中的 0122 ??? yx
而
0122 ??? yx 在 Z平面上正好是单位圆的圆周, 由于
0)1( 22 ??? yx,所以当 0122 ??? yx 时,即 u<0,w在 W平面的左
半平面上,而 01
22 ??? yx
,在 Z平面上即为单位圆的内部, 当
0122 ??? yx 时,即 u>0,w在 W平面的右半平面上,而 0122 ??? yx
在 Z平面上即为单位圆的外部,
有上述 Z— W变换,可将 Z平面上的特征方程 D(z)变换为 W平面
上的特征方程 D(w),即,
1
1)()(
?
?
?
?
w
w
z
zDwD
从而在 W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性
例, 设闭环离散控制系统的特征方程为,
03911911745)( 23 ????? zzzzD
试判断此系统的稳定性,
解, 令
1
1
?
??
w
wz 代入 D(z)得,
04022039111 1 9)11(1 1 7)11(45 2323 ??????????????? wwwwwwwww?
列出劳斯表为,
40
18
402
21
0
1
2
3
w
w
w
w
?
因为劳斯表有两次符号改变,所以 D(w)有
两个根在 W平面的右半平面上,即 D(z)有
两个根在 Z平面的单位圆的外部,故此系统
不稳定,
课外习题,P.348第 7.15题 (1)(2)(不用朱利判据 ),第 7.16题 (2)
2,离散控制系统稳态误差的计算
非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示,
)(tr )(tc)(sG
)(sH
)(* te)(te
)(tb
S
上图中,)(te? 叫离散偏差信号,其 Z变换表达式为,
)(1
)()(
zGH
zRzE
?
?
若令 )()( zGHzG
O ?
,则上式为,
)(1
)()(
zG
zRzE
O?
?
其中 )( zG
O
叫开环 Z传递函数, 当 1)( ?sH 时,上图为单位
反馈离散控制系统,)(te? 叫离散误差信号,
定义离散稳态误差 (或偏差 )信号为,
需强调指出的是,上面定义的是离散误差 (或偏差 )信号在采样
时刻的稳态值, 计算离散稳态误差 (或偏差 )值的方法有下面三
种,
)(lim)(lim nTetee ntss ????? ??
(1)求出 )(te? 或 )(nTe 表达式后,由定义求 sse
(2)当闭环稳定时,利用 Z变换的终值定理求
sse,即
)(1
)()1(lim)()1(lim
11 zG
zRzzEze
O
zzss ?
????
??
(3)当系统的输入信号分别为 2
2
1,),( AtAttA 或为这三种信号
的组合时,用稳态误差系数法求 sse,为此,将离散闭环系统按其
开环 Z传递函数中含有 0,1,2,… 个 z=1的极点个数而分为 0型,1型,
2型,… 系统,
下面介绍在典型输入信号作用下,用稳态误差系数法计算稳态
误差值的具体方法,
(1) 阶跃 (位置 )输入时
)(lim1)(1
lim
1)(1
1
)1(lim
1
)(,)()(
1
11 zG
A
zG
Az
z
Az
zG
ze
z
Az
zRtAtr
O
z
O
z
O
z
ss
?
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???
?
???
令
)(lim 1 zGK Ozp ??
为位置误差系数，则
p
ss K
Ae
?? 1
，从而对于
0型系统
)1(1)1( OssOp G
AeGK
???
为有限值。
1型系统 0???
ssp eK, 2型系统 0??? ssp eK
(2) 斜坡 (速度 )输入时
)()1(lim
)()1()1(
lim
)1()(1
1
)1(lim
)1(
)(,)(
1
1
2
1
2
zGz
TA
zGzz
T Az
z
T Az
zG
ze
z
T Az
zRAttr
O
z
O
z
O
z
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
??
?
)()1(lim 1 zGzK OzV ?? ?
为速度误差系数，则
V
ss K
TAe ?,从而
对于 0型系统 ??? ssV eK 0,1型系统
V
ss K
TAe ? 为有限值。
2型系统 0???
ssV eK
令
(3) 抛物线 (加速度 )输入时
)()1(lim
)()1()1(
lim
)1(2
)1(
)(1
1
)1(lim
)1(2
)1(
)(,
2
)(
2
1
2
22
2
1
3
2
1
3
2
2
zGz
AT
zGzz
AT
z
zAT
zG
ze
z
zAT
zRt
A
tr
O
z
O
z
O
z
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
??
?
)()1(lim 21 zGzK Oza ?? ?
为加速度误差系数，则
a
ss K
ATe 2?,从而
对于 0型系统 ??? ssa eK 0,1型系统
a
ss K
ATe 2? 为有限值。高于 2型系统的 2型系统
??? ssa eK 0
0??? ssa eK
由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的
型式和大小有关,与系统的结构和参数有关,还与采样周期 T的
大小有关,
例, 试求下图所示系统在输入信号 r(t)分别为
时的稳态误差值 2
,),(1
2t
tt
sse
,采样周期 T=0.1s
s1.01
1
? s
1
)(tr )(te )(te? )(tc
解, 1) 开环 S传递函数
)1.01(
1)(
sssG O ??
开环 Z传递函数
))(1(
)1(
))(1(
)1(
)1.01(
1)(
1
1
10
10
?
?
?
?
??
??
??
??
??
?
??
?
?
?
ezz
ez
ezz
ez
ss
ZzG T
T
O
可证得闭环稳定,因开环 Z传递函数有一个 z=1的极点,故
系统为 1型系统, 从而稳态误差系数分别为,
0
)(
)1()1(
lim)()1(lim
1
)(
)1(
lim)()1(lim
))(1(
)1(
lim)(lim
1
1
1
2
1
1
1
111
1
11
?
?
??
???
?
?
?
?????
??
?
??
?
?
??
?
?
???
?
??
ez
ezz
zGzK
ez
ez
zGzK
ezz
ez
zGK
z
O
z
a
z
O
z
V
z
O
z
p
当 时,)(1)( ttr ?
0
1
1
1
?
??
?
?
?
p
ss K
Ae
当 ttr ?)( 时,
1.0
1
1.0 ???
V
ss K
TAe
当
2
2
1)( ttr ? 时,????
0
01.02
a
ss K
ATe
课外习题,P.349第 7.17题,第 7.18题,第 7.19题
7.6 离散系统的动态性能分析
当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时,其输出的离散
函数的一般表达式可由下面方法求得,
1)(
)(
)()()(
?
??
z
z
zD
zN
zRzzC ?
输出的 Z变换表达式
上式中
)(
)()(
zD
zNz ?? 为离散控制系统的 Z闭环传递函数,
为分析方便起见,假设 无重极点,则 )(z?
?
? ?
?????
k
i i
i
pz
A
z
A
zDz
zN
z
zC
1
0
1)()1(
)()(
上式中
ip
为 )(z? 的极点,而
ipz
i
i
zDz
zNpz
A
D
N
A
?
?
?
???
)()1(
)()(
)1(
)1(
)1(
0 ?
所以
??
??
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
i
n
ii
n
k
i i
i pAA
pz
zA
z
zA
Znc
1
0
1
01 1
1
)(
上式中,nA 1
0 ?
由输入阶跃信号 Z变换表达式的极点所产生,叫
输出的稳态响应,?
?
k
i
n
ii pA
1
由离散控制系统的 Z传递函数的极
点所产生,叫输出的瞬态响应, 研究不同极点分布时的瞬态响
应,就可定性地说明系统的动态性能,
对于系统的任一极点,均可表为极坐标形式,即
ip
)s i n( c o s iiijii jrerp i ??? ???
从而对应于
ip
的瞬态响应分量为,
)s i n( c o s iinii njnrA ?? ?
则 (1)正实数极点时,?0?
i?
,对应的瞬态响应分量为 n
iirA
,是单
调的, 1?
ir
,为衰减序列 ; 1?
ir
,为等幅序列 ; 1?
ir
,为
发散序列,
(2)负实数极点时,?180?
i?
,对应的瞬态响应分量为 ?nrA n
ii c o s
是振荡的,此时振荡频率可达最高,可证明为
T
?? ?,当 1?
ir
为衰减振荡序列 ; 1?
ir,为等幅振荡序列 ; 1?ir,为发散
振荡序列,
(3)复数极点时必为共轭,?? 1800,,' ???? ?
i
j
ii
j
ii
ii erperp ???
瞬态响应分量为
上式中待定系数
ii jnn
ii
jnn
ii erAerA
?? ?? '
iA
和
'
iA
也共轭,因而瞬态响应分量为,
? ?
? ?
ii
n
ii
njnjn
ii
jnn
i
j
i
jnn
i
j
i
nrA
eerA
ereAereA
iiii
iiii
??
????
????
??
??
?
???
??
c o s2
)()(
由上式可见,复数极点所引起的瞬态响应分量是振荡的, 当
1?ir 时,振荡的衰减速率取决于 ir 的大小,
1?ir
时,瞬态响应分量是等幅振荡的, 当
ir
越小,衰减越快,
当 1?
ir
时,瞬态响应
分量是发散振荡的, 且可证明振荡频率
T
i?? ?
习题参考答案
7-2/(4)解, 2)1/()1()( ???? zTzzzE
7-2/(5)解,
))(1(
)1()1()(
T
TTT
ezz
eTeTezzE
?
???
??
??????
7-3/(1)解,
)12(10)(
)()12(10)(
0
*
??
??? ?
?
?
n
n
n
nTe
nTtte ?
7-3/(2)解,
)32()(
)()32()(
0
*
???
???? ?
?
?
nnTe
nTtnte
n
?
7-4/(1)解,
7-4/(2)解,
)
32
c o s ()
3
1
(
2
1
)1(
4
1
)(
)()]
32
c o s ()
3
1
(
2
1
)1(
4
1
[)(
0
*
?
?
?
?
?
????
????? ?
?
?
n
nTe
nTt
n
te
nn
n
nn
])5.0)(13(1[
9
4
)(
)(])5.0)(13(
9
4
9
4
[)(
0
*
n
n
n
nnTe
nTtnte
????
????? ?
?
?
?
7-5/(1)解, ??? )(*e
7-5/(2)解, 0)(* ??e
7-9/(a) 解,
))((
10)(
52
2
TT ezez
zzG
?? ???
7-9/(b) 解,
7-10/(a) 解,
))((
)(
3
10)(
52
52
TT
TT
ezez
eezzG
??
??
??
??
)()()(1
)()(
3121
1
zGzGzGG
zGzG
??
?
7-11 解, nnTe 37.047.01)( ???
7-15/(1) 解, 12,1,2,5.0,1
21321 ????????? zzzzz?
所以闭环离散系统不稳定,
7-15/(2) 解, 024.212.18.848.036.3)( 234 ?????? wwwwwD
劳斯行列表为,
因出现全零,所以闭环离散系统不稳定,
24.2
092.1
24.296.0
12.148.0
24.28.836.3
0
1
2
3
4
w
w
w
w
w
7-16/(2) 解,
KwKKwwD
KzKzzD
ez
zKK
z
K
ss
K
ZzzG
O
0 4 7 6.3068.10)9 1 8 4.1932.9(967.4)(
034.09 5 9 2.0)034.50 0 6 8.4(5)(
)(5
)1(
51)12.0(
)1()(
2
2
52
1
?????
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
则系统稳定,
7-17 解,
3.30
3.300 4 7 6.3068.10
3.509 1 8 4.1932.9
0
???
????
????
?
K
KK
KK
K?
1.0)(,
)1(2
)]()[(
)(
2
2
*2
2
22
?????????
?
???
?
KT
T
eKTKKK
z
TTzTTK
zG
avp
O
?
7-18 解,
7-19 解,
1)(0,1.0,
))(1(
1)1(
)(
*
??????????
??
?????
?
?
???
v
avp
T
TTT
O
K
T
eKTKK
ezz
eTezeT
zG?
101.0
1
)(
)1(
)(
*
2
??????
??
?
?
K
KK
T
e
KTK
zz
KT
zG
v
vO
?
?
472.20)( 23 ?????? KKTzzzD? 系统稳定,
故无法使稳态误差小于 0.1
7.1 离散系统的基本概念
目前,随着计算机性能和可靠性的不断提高,计算机越来越
多地参与系统的控制, 而计算机所能接收和输出的信号只能是数
字信号,数字信号是关于时间 t的离散信号, 简单来说这种系统叫
采样离散控制系统,其一般结构可由下图简单表示,
)(tr )(ty)(sG
)(sH
)(* te)(te
)(tb
S
图中,S是采样开关,它以周期 T开闭一次, 当连续信号 e(t)经过
采样开关 S后,得到一时间 t的离散信号 )(* te, 上图中的其它信号
都是时间 t的连续信号, 于是定义,在系统中只要有一处的信号是
时间 t的离散信号,即为时间 t的断续函数时,此系统就叫采样离
散系统,简称离散系统,
由于离散系统比连续系统多了采样开关,在系统中出现了离
散信号等特点,给对系统的研究带来一些新问题, 下面先从研究
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散
系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统
的思路与方法,
7.2 信号的采样与保持
7.2.1采样过程和离散信号的数学表达式
假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零
且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为
理想采样开关, 如果采样周期为 T的理想采样开关 S的输入为单
位阶跃信号,则其输出为一单位脉冲序列 )(t
T?
,见下图,
1
0 t
)(te )(tT?
t
0
1
T T2 nT
T
S
上图中
?
?
?
???????????
0
)()()2()()()(
n
T nTtnTtTtTttt ?????? ??
如理想采样开关的输入为任一连续信号 e(t),且当 t<0时,e(t)=0,
则理想采样开关的输出如下图所示,
T
S
0 t
)(te )(* te
t
0
)0(e
T T2 nT
)(Te
)2( Te
)(nTe
上图中
)1()()(
)()()2()2()()()()0()()()(
0
*
?
?
?
??
?????????
n
T
nTtnTe
nTtnTeTtTeTtTetettete
?
????? ??
)(* te 叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为,
? ? ? ?
?
?
?
???
??????
????????
0
**
)2()()()()0(
)()()()()()0()()(
n
n T sn T sTs
enTeenTeeTee
nTtnTeTtTeteLteLsE
??
?? ???
对离散信号也可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的
单位脉冲序列可展开成下面级数,
)3(1)()( ???
?
???
?
???
?
???
????
n
tjn
n
tjn
n
n
T
ss e
T
eCnTtt ????
式 (3)中, Tf
ss ??? 22 ??
叫采样角频率,Tf
s 1?
叫采样频率, 将式
(3)代入式 (1)得,
)4()(1)()()()()(
0
* ???
?
???
?
???
?
?
?????
n
tjn
nn
sete
TnTttenTtnTete
???
对式 (4)进行拉氏变换,
? ? ? ?
???
????
n
sjnsETsEsEteL )5()(
1)()()( * ??
令式 (5)中的 ?js ? 得
? ?? ?
???
??
n
snjETjE )6()(
1)(* ???
)(* te 的频谱表达式,
式 (2)和式 (5)是 )(* te 的两种不同形式的拉氏变换表达式,
式 (2)中的 与 )(
* sE )(* te
中的
)(nTe 建立了联系,而式 (5)变成式 (6)
后,式 (6)中的 )(* ?jE 是 )(* te 的频谱,并可证明 )(* ?jE 是
s?
的
周期函数, 前已交代过,采样前的连续信号 )(te 的拉氏变换式为 )(sE
其频谱表达式为
)( ?jE,因此式 (6)中的 )(* ?jE 与采样前的连续信 号的频谱建立了联系, 由于
)(* ?jE 是 s? 的周期函数,所以离散信
号频谱中每隔
s?
重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号
经过采样后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频谱的
幅值是采样前的连续信号频谱幅值的 1/T,因此式 (2)和式 (6)各有
各的使用场合, 式 (2)和式 (5)虽都是无穷级数,但通常可将式 (2)
写成闭合形式,而却不能将式 (5)写成闭合形式,下面举例说明
例, 设 )(1)( tte ?,求 )(* te 的拉氏变换式,
解, 先用式 (2)求,
Ts
TsTs
n
n T s
e
eeenTesE
nTen
?
??
?
?
?
?
???????
??
?
1
1
1)()(
1)(0
2
0
*
?
?
再用式 (5)求,
由上例可见,
? ?
??
?
???
?
??? ?
????
??
n
s
n
s
jnsT
jnsE
T
sE
s
tLsE
?
?
11
)(
1
)(
1
)(1)(
*
?
)(te
的拉氏变换式为
s
1,只有一个 s=0的极点,而 )(* te
的拉氏变换式为
Tse ??1
1,有无穷多个极点,这给分析离散系统带
来很多不便,为此需给离散信号另一种变换工具,这就是以后要
专门介绍 Z变换的原因,
一个离散系统往往有多个采样开关,各个采样开关最简单的
动作方式叫同步等周期采样方式,这种方式在工程上用的较普遍
对系统的分析也较方便, 以后讨论问题时,均以同步等周期采样
作为各个开关的动作方式
7.2.2 信号的复现和采样定理及保持器
实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外,常需将
离散信号转换成采样前的连续信号,如计算机控制系统中的 D/A
转换器就起这一作用, 问题是,经采样的离散信号能否复原成
采样前的连续信号? 如能,应具备什么条件,用何装置实现?
本小节就讨论这些问题,
由下图 可见,连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的
但离散信号所对应的连续信号却并不唯
一,而有无穷多个,请见左图,
)(* te
t
0
)0(e
T T2 nT
)(Te
)2( Te
)(nTe
)(te
图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连
连续信号,而经采样所得到的离散信号
是相同的,即一个离散信号可对应无穷
多个连续信号, 如果采样周期足够小,即采样点足够密,则离散
信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号,问题是采样周期
应小到什么程度?
香农采样定理, 要由离散信号完全复现出采样前的连续信
号,必须满足, 采样角频率
s?
大于或等于两倍的采样器输入连
续信号频谱中的最高频率 max?,即,
max2?? ?s
对香农采样定理举例说明,设有叫钟形波的连续信号,其
时域和幅频表达式为,
2
2
22 4
)()0()( ?
?
?
?
?
??
?
? ??? ejEete t
其幅频曲线如下图,
?
)( ?jE
max?? max?
0
??
max2?
由式 (6),离散的钟形波其幅频曲线如下图,
若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器 )( ?jF
其幅频特性表为,
??
?
?
?
?
?
?
20
21
)(
s
sjF
??
??
?,幅频曲线如上图,
)( ?jF
钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,仅剩下主频分量,主频
分量的波形与连续钟形波的波形一样,仅幅值为后者的 1/T.因此
可完全复现连续信号, 如采样角频率不满足采样定理,采样后钟
形波离散幅频谱见上图绿色波形,
则可将
可见,由于幅频谱各分量互相
搭接,既使采用理想带通滤波器,也无法复现原连续信号,
?
)(* ?jE
max?? max?
0
?? T
max2?
2s?2s??
s?
上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的,实践中常采用
零阶保持器串接在离散信号后,对离散信号进行低通滤波以近似
)(teh
)(* te)(te
S
T
零阶保持器 复现连续信号,如右图所示,
离散信号如下图,
t
)(* te
0
)0(e
T T2
)(Te
)2( Te
)3( Te
T3
)4( Te
T4
)5( Te
T5
)6( Te
T6
)(te
零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一
个采样时刻止,从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的
脉动序列,如上图, 再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线
连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚
线表示的原连续信号,且采样周期越小,复现精度越高,
)(teh
2T
)2( Tte ?
图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间
上滞后了 T/2,经上分析,可得零阶保持器的传递函数为,
? ?? ?
? ?
s
e
sE
sE
sG
s
e
sE
s
e
enTeteLsE
TntnTtnTete
Ts
h
h
Ts
n
Ts
n T s
hh
n
h
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
?????
?
?
1
)(
)(
)(
1
)()
1
()()()(
)1(1)(1)()(
*
*
0
0
?
其频率特性表达式为 s
j
s
s
s
T
j
Tj
h
ee
T
T
T
j
e
jG
?
????
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
s i n
2
2
2
s i n
1
)( 2
其频率特性曲线请见书上 P.285图 7-18,可见零阶保持器是一相位
滞后的低通滤波器,高频分量尚不能完全滤尽,因此它只能近似
地复原连续信号, D/A转换器就具有零阶保持器的作用,步近电
机也具有零阶保持器的作用, 零阶保持器还可用阻容网络实现,
7.3 Z变换理论
7.3.1 Z变换定义和求法
由离散信号的拉氏变换式
?
?
?
??
0
* )()(
n
n T senTesE 可见,其含有 nTse?
的超越函数,这给对离散系统的分析和计算带来很大困难,而应
用 Z变换可解决这一难题, 为此在上式中,令 Tsez ?,则定义
?
?
?
??
0
)()(
n
nznTezE
为 )(* te 的 Z变换,并以
? ? ? ? )1()()()()(
0
* ?
?
?
????
n
nznTenTeZteZzE
下面举例说明求一些简单离散函数的 Z变换,
1,幂级数法
例 1,求单位阶越函数的 Z变换,
表示,有时为书写方便,也将 ? ?)(* teZ 写成 ? ?
)(teZ
解,
? ?
11
11)(1)(1
1
0
4321
?
?
?
???????? ?
?
?
??????
z
z
z
zzzzznTtZ
n
n ?
由
的 Z变换,其中 te ?? ? 是常量, 例 2,求
? ?
TT
TT
n
nnTt
ez
z
ze
zezezeeZ
??
????
???
????
?
?
???
?
?
?
?
????? ?
1
221
0
1
1
1 ?解,
? ? ??????? ???? 43211)(1 zzzztZ 与 ??????? )2(1)(1)(1)(1 * TtTttt ???
比较可知,),,,2,1,0( ?? niz i ?? 表示相对时刻 0滞后 i个采样周期,
或称滞后 i拍,而 iz? 前的系数表示第 i个采样时刻的采样值, 这一
结论具有普遍性,
2,部分分式法
若 e(t)由其拉氏变换式 E(s)给出,且 E(s)是 s的有理函数并其分
母多项式便于分解因式时,可将 E(s)展开成部分分式,即,
?
? ?
?
n
i i
i
ps
aSE
1
)( 式中,ip? 是 E(s)各不相同的单极点,ia
是
ip?
的留数,而
i
i
ps
a
?
所对应的时间函数为
tp
i
iea ?
由例 2,上式的 Z变换式是,,因此,相应于 E(s)的像原
Tp
i
iez
za
??
函数 e(t)的 Z变换为 ? ? ? ?
? ?
??? ?????
n
i
n
i
Tp
i
Tp
i
ze
a
ez
zateZzE
ii1 1 11
)()(
例 3,求
)()( ?
?
?? sssE
的 Z变换式,
解,
))(1(
)1(
1
)(
11
)(1,1,0
2
1
2
1
2121
T
T
T
i
Tp
i
i
i
i
ezz
ez
ez
z
z
z
ez
za
zE
ssps
a
sEaapp
i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??????????
?
???
3,留数法
若 e(t)由其拉氏变换式 E(s)给出,且 E(s)是 s的有理函数并其所
有极点能较方便地求出,则还可根据拉氏变换中的 s域卷积定理
和复变函数中的留数定理求其 Z变换, 设
)2(
)()()()(
)(
)(
21
21
ri m
r
m
i
mm pspspsps
sQ
SE
????
?
??
式 (2)中, 表示 ),,3,2,1( rip
i ??? im
阶重极点,且 ?
?
?
r
i
imn
1
表示
)(sE 的阶数,
? ? ? ?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
r
i
i
pp
r
i
pT
C TpssT
T
R
ze
pEszE
dp
e
pE
je
sE
tteLteLsE
i
11
1
)(
*
**
1
1
)(Re)(
1
)(
2
1
1
1
)(
)()()()(
?
??
iR
为在极点
ip? 上的留数,当 ip? 为单极点时,留数为
??
?
??
?
?
??
?? sTipsi ez
z
sEpsR
i
)()(lim
当 为
ip? im 阶重极点时,留数为
??
?
??
?
?
?
?
? ?
?
?? sT
m
i
m
ps
i
i
ez
z
sEps
ds
d
m
R i
im
i
i
)()(lim
)!1(
1
1
1
需注意的是
im
阶重极点只对应一个留数,
例, 求 t 和 2t 的 Z变换,
解, ? ?
? ?
2
0
22
2
0
1
112
)1()(
1
lim
1,2,0,
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
?
? z
Tz
ez
z T e
ez
z
s
s
ds
d
RtZ
rmp
s
tLsE
s
sT
sT
sTs
?
? ?
? ?
3
2
0
3
2
3
3
2
2
0
1
2
113
2
)1(
)1(
)(
)2(2
lim
2
1
1,3,0,
2
)(
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
?
? Z
zzT
ez
ezezT
ez
z
s
s
ds
d
RtZ
rmp
s
tLsE
s
sT
sTsT
sTs
?
常用时间函数 )(te 的拉氏变换和 Z变换见书上 P.289表 7-2
7.3.2 Z变换性质
1,线性定理
? ? ? ? ? ? )()()()()()( 221122112211 zEazEateaZteaZtxatxaZ ?????
例, tshte ??)(,求它的 Z变换表达式,
解,
12
1)(
)(
2
1
)(
2
1
2
][
2
][
]2/)[()]([)(
2/)()(
2
2
??
?
???
?
?
?
?
?
?
??????
???
?
?
?
?
?
?
Tz c hz
Tzsh
eezz
eez
ez
z
ez
z
eZeZ
eeZteZzE
eetshte
TT
TT
TT
tt
tt
tt
?
?
?
??
??
??
??
??
??
?
2.实域位移定理
滞后定理
? ? ?
?
?
??
? ???? ?
?
?
k
n
nk nTezzEzkTteZ
1
)()()(
证明, 令 )()(
1 kTtete ??
,按定义有,
})()({
})(])1[()(
)()()0({
)()0(
])2[(])1[()(
])1[(
)()2()()0(
)()(
10
1
1
)1(
21
)1(
1
1
2
1
1
11
0
11
??
?
?
?
?
??
?
???
???
??
??
???
?
?
?
???
???????
?????
???
???????
???
?????
?
k
n
n
n
nk
kk
nk
kk
k
k
n
n
znTeznTez
zTezTkezkTe
znTezTeez
zTeze
zTkezTkekTe
zTke
zkTezTezTee
znTezE
?
??
??
?
?
即,
当
})()({)]([)]([
1
1 ?
?
? ?????
k
n
nk znTezEzkTteZteZ
0?t 时,有 0)( ?te,则上式为, )()]([ zEzkTteZ k???
超前定理, ? ?
??
?
??
? ??? ? ?
?
?
1
0
)()()(
k
n
nk znTezEzkTteZ
证明, 令 )()(
1 kTtete ??
,按定义有,
})()({
})2(])1[()({
)2(
])2[(])1[()(
)()2()()0(
)()(
1
00
2)1(
21
1
2
1
1
11
0
11
??
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
???
?
?
?
??
??????
??
??????
??????
?
k
n
n
n
nk
kkkk
k
k
n
n
znTeznTez
zkTezTkezkTez
zkTe
zTkezTkekTe
zkTezTezTee
znTezE
??
??
??
当 时,若 12,1,0 ?? kn ? 0)( ?nTe 则有 )()]([ zEzkTteZ k??
例, )(1)(
1 kTtte ??
求它的 Z变换,
解,
)1(
1
1
)](1[)](1[)]([)(
1
)](1[)(
1
11
?
?
?
?
?????
?
??
?
?
?
zzz
z
z
tZzkTtZteZzE
z
z
tZzE
k
k
k
?
例, )(
1 )(
Ttete ??? ? 求它的 Z变换,
解,
TT
tTt
T
t
ezez
z
z
eZzeZteZzE
ez
z
eZzE
??
??
?
?
??
?
????
?
?
?
?
?
?
????
?
??
1
][][)]([)(
][)(
1
1)(
11
?
3.复域位移定理
设 )()]([ zEteZ ? 则
)()]([ Tt zeEteeZ ?? ???
证明,
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
0
)(
00
)(
)()()]([
n
snT
n
n T snT
n
nnTt
enTe
enTeeznTeeteeZ
?
??? ???
?
令
zeeeze TTsTsT ??? ??? ??? 1)(
)()(
)()()]([
1
0
1
0
)(
zeEzE
znTeenTeteeZ
T
n
n
n
snTt
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??? ??
?
例, 求它的 Z变换, tete t ?? s in)(
1
??
解,
TT
T
TT
T
Tt
eTzez
Tze
Tzeze
Tze
zeEteZteZ
zE
Tzz
Tz
tZteZ
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
222
1
2
c o s2
s i n
1c o s2)(
s i n
)(]s i n[)]([
)(
1c o s2
s i n
][s i n)]([
??
?
?
??
?
??
?
???
?
??
???
4,初值定理,
)(lim)0( zEe z ???
5,终值定理, 若
)()1(lim)()1(lim)()(lim 111 zEzzEzenTe zzn ????? ??????
证明,
)0()(lim
)2()()0()()( 21
0
ezE
zTezTeeznTezE
z
n
n
??
?????
??
??
?
?
?
? ??
例, 求
1
)(
?
?
z
zzE 的原函数的初值,
解, 1
1
lim)(lim)0( ?
?
??
???? z
zzEe
zz
例, 求
Tez
zzE
????)(
的原函数的初值,
解, 1lim)(lim)0( ?
?
?? ?
???? Tzz ez
zzEe
?
)(nTe 均为有限值 ),,2,1,0( ?? ?n,则
终值定理的使用条件为, 的所有极点都在 Z平面上的 )()1( zEz ?
单位圆内,也即当 ??n 时 )(nTe 是收敛的,
证明, 按定义有
)1()()(
0
?
?
?
??
n
nznTezE
由超前定理,
)2()()]0()([
])()([)]([
0
11
0
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
n
n
n
n
zTnTeezEz
znTezEzTteZ
由式 (2)减式 (1)得,
)()()1(lim
)0()()]()([lim
)0()()1(lim)]0()()1[(lim
)]()([)0()()1(
1
0
1
11
0
???
??????
?????
?????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ezEz
eeznTeTnTe
ezEzzezEz
znTeTnTezezEz
z
n
n
z
zz
n
n
例,已知 求
2)()( T
T
ez
T z ezE
?
?
?
?
?
? )(?e
解, 0
)(
)1(lim)()1(lim)(
211 ??
?????
?
?
?? T
T
zz ez
zT z ezEze
?
?
6,复域微分定理, ? ?
dz
zdETztteZ )()( ??
证明, ? ?
)()()(
)()()(
00
0
)1(
0
zE
dz
d
TzznTe
dz
d
Tzz
dz
d
nTeTz
znTneTzznTn T etteZ
n
n
n
n
n
n
n
n
??????
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
例,求函数 tte ?? 的 z变换式,
解,设 tete ???)( 则
Tez
zzE
????)(
所以
2
2
)(
)(
][
T
T
T
T
T
t
ez
T z e
ez
e
Tz
ez
z
dz
d
TzteZ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
7,差分定理,
? ? )(1)()()1()( 1 zEzzzEzzEneneZ ?????? ?
前向差分 ? ?
)0()()1()()1( zezEzneneZ ?????
后向差分
8,叠分定理
)(1 1)(1)( 1
0
zEzzEz zreZ
k
r
?
? ?
????????? ?
证明,
)(
1
])([
)]([])([])([
)()()(
0
0
1
0
1
00
zE
z
z
reZ
keZreZzreZ
kerere
k
r
k
r
k
r
k
r
k
r
?
?
???
??
?
??
??
?
?
?
?
?
??
?
9.卷积定理
设 )( nTx 和 )( nTy 为两个离散函数,其离散卷积
定义为,
)(])[(
])()[()()(
0
0
kTyTknx
TknykTxnTynTx
k
k
?
?
?
?
?
?
??
???
则有 )()()]()([ zYzXnTynTxZ ??
证明,
? ?
?
?
?
?
?? ??
0 0
)()()()(
k n
nk znTyZYzkTxZX?
)1(])()[(
]})()[({)]()([
0 0
0
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
n
n
k
k
zTknykTx
TknykTxZnTynTxZ
令,则当 mkn ?? 0?n 时 km ??,代入式 (1)得,
)()(
)()()]()([
0)(,0
)()(
)()()]()([
00
0
)(
0
zYzX
zmTyzkTxnTynTxZ
mTym
zmTyzkTx
zmTykTxnTynTxZ
m
mk
k
km
mk
k
km
mk
k
?
???
??
?
??
??
??
? ?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
?
?
??
??
?
?
?
7.3.3 Z反变换
由 E(z)求出 e(nT)或 e*(t)叫 Z反变换,一般记为,
? ? ??
?
?? ???
0
1 )()()(,)()(
n
nTtnTetezEZnTe ?
需特别强调的是,由 E(z)经 Z反变换求出的是 e(nT)或 e*(t),而不
是 e(t),
1,幂级数法
当 E(z)是有理真分式或是有理严格真分式时,可采用长除法
将 E(z)展开成 z的幂级数,进而求得 e(nT)或 e*(t),
例, 求 的原函数 e*(t),
)2)(1()( ??? zz
zzE
解, ?? ?????
???
???? 4321
2 157323)( zzzzzz
zzE
232 ?? zz
123 ??? zz
z
1?z
123 ?? z
23 ?? z
21 693 ?? ?? zz
21 67 ?? ? zz
??
?
??????????? ? )4(15)3(7)2(3)()( TtTtTtTtte ????
采用幂级数法,对于稍复杂的 E(z)很难写出 e*(t)的通项式 e(nT),
所以也难写出 e*(t)的闭合形式
??
?
? ??
0
)()()(
n
nTtnTete ?
2.部分分式法
当 E(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式
便于分解成 z的一次因式时,可用部分分式法把 E(z)变成分式和的
形式,再由 z变换表求出 e(nT)或 e*(t),由于 z变换式中的分子一
般均含有 z因子,因此在对 E(z)进行部分分式前,先将 E(z)/z,再
对 E(z)/z进行部分分式,然后对 E(z)/z部分分式和中的各项再乘
以 z,最后得 E(z)的分式和,
如 E(z)/z含有 r个相同的极点,(k-r)个各不相同的极点,则
E(z)/z的部分分式和为如下形式,
)1(
)(
)(
11
??
?
?
? ?
?
?
?
r
j
j
j
j
rk
i
i
i
zz
b
zz
a
z
zE
式 (1)中,
iz
是 E(z)/z的单极点,
ia
是相应于
iz
的待定系数,
且 是 E(z)/z的 r重极点,r重极点有
,
)(
)(
izz
ii z
zE
zza
?
?? jz
r个待定系数
),2,1( rjb j ??
,且
jzz
r
jjr
jr
j
z
zE
zz
dz
d
jr
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)!(
1
从而
)2(
)(
)(
11
??
?
?
? ?
?
?
?
r
j
j
j
j
rk
i
i
i
zz
zb
zz
za
zE
例, 求
))(1(
)1()(
T
T
ezz
zezE
?
?
?
?
??
?? 的原函数,
解,
3,留数法
当 E(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于
分解成 z的一次因式时,可用留数法直接求出 e(nT)或 e*(t),如
)()1()(1)(
1
)(
1
1
1
))(1(
)1()(
0
nTteteenTe
ez
z
z
z
zE
ezzezz
e
z
zE
n
nTnT
T
TT
T
??????
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
jzz
i
ji
nr
jr
r
rk
i
zz
n
i
zz
n
rk
i
zz
n
zzEzz
dz
d
r
zzEzz
zzEszzEsnTe
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
)()(
)!1(
1
)()(
)(Re)(Re)( j
z
,(k-r)个各不相同的极点 含有 r个相同的极点,则
iz
1)( ?nzzE
需特别指出的是,r个相同的极点只对应一个留数,
例, 求
))(1(
)1()(
T
T
ezz
zezE
?
?
?
?
??
?? 的原函数,
解,
)()1()(
1
)1(
)1(
)(
)1(
))(1(
)1(
)(
))(1(
)1(
)1()(
))(1(
)1(
)(
0
1
1
1
nTtete
e
z
ze
ez
ze
ezz
ze
ez
ezz
ze
znTe
ezz
ze
zzE
n
nT
nT
eZ
nT
Z
T
nT
eZ
T
nT
T
Z
T
nT
T
nT
n
T
T
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
课外习题, P.346第 7-2题 (4)(5),第 7-3题 [用部分分式法
和留数法 ],第 7-4题,第 7-5题
7.4 离散系统的数学模型
1,脉冲传递函数 (Z传递函数 )的推导及定义
对于线性连续定常系统,可用传递函数作为数学模型来描述
系统的性能, 把这一方法推广到线性离散定常系统,则可用 Z传
递函数作为数学模型来描述系统的性能, 但由于离散系统中有
采样开关,以及出现离散信号,所以两者又有不同之处,
设一线性连续定常系统如下图所示,
)(sG
)(tr )(tc
)(tr
t
0
1
当 )()( ttr ?? 时,)()]([)(
10 tgsGLtc ?? ?,其曲线如上右图所示,
)(tc
t
0
)(tg
当 )()( kTttr ?? ? 时,
kT
)(])([)( 1 kTtgesGLtc k T sk ??? ??
kT
)( kTtg ?
当
?
?
?
??
0
)()(
k
kTttr ? 时,
T
?? ?
?
?
?
?
?
?
?? ????
00 0
1 )()(])([)(
k
k
k k
k T s tckTtgesGLtc
T
)( Ttg ?
)(tc
若如下图所示 为任意连续信号,)(tr
)(tr
t
0
其经过采样周期为 T的
理想采样开关后,
)(tr
)(* tr
)(sG )(tc
变成一串脉冲序列,
)(* tr
t
0 T kT
)(Tr
)(kTr
)0(r
即
?
?
?
??
0
* )()()(
k
kTtkTrtr ?
,当
作用于传递函数为 )(sG 的连续系统,输出
)()()( kTtgkTrtc k ?? 见上右图,
)(tc
t
0 T kT
)(tck
)(0 tc
)(1 tc
)()( kTtkTr ??
当输入 )(
* tr,则
?
?
?
??
0
)()()(
k
kTtgkTrtc
)(tc
,现假设输出端有一与输入端相同的
采样开关,
)(* tc
对输出连续信号 )(tc 采样,
)0(c
)(Tc
)(kTc
,则输出离散信号为
)2()()()(
0
* ?
?
?
??
n
nTtnTctc ?
当时刻 nTt ? 时
)1()()()(
0
?
?
?
??
k
kTnTgkTrnTc
对式 (2)进行 Z变换,
将式 (1)代入式 (3),
)3()()(
0
?
?
?
??
n
nznTczC
? ?
?
?
?
?
?
??
0 0
)()()(
n
n
k
zkTnTgkTrzC
? ?
?
?
?
?
?
??
0 0
)(])[()(
n
n
k
zkTrTkngzC
令 mkn ??,当 0?n 时,km ??,则有
? ?? ?
?
??
?
?
??
?
??
??
?
?
??
km k
km
km
km
k
zkTrzmTgzkTrmTgzC
0
)(
0
)()()()()(
因当 0?m 时,0)( ?mTg,所以
)(/)()()()()()()(
0
zRzCzGzRzGzRzmTgzC
m
m ???? ?
?
?
?
定义,线性定常离散控制系统,在零初始条件下,输出离散信
号的 Z变换与输入离散信号的 Z变换之比,称为该系统的脉
冲传递函数,或叫 Z传递函数,即,
? ?
? ?
)()()(),(
)(
)(
)(
)(
zRzGzCzG
zR
zC
trZ
tcZ
???
?
?
G(z)的一般表达式为,
nn
nn
mm
mm
azazaz
bzbzbzb
zG
???
???
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
10)(
?
?
2,求法
常用求法有三种,(1)由定义求 G(z); (2)由 G(s)求 G(z)
对于连续系统可得右图,
)(sG)(sR )(sC,如
)()( ttr ?? 则 1)( ?sR,从而 ? ? ? ?)()()( 11 sGLsCLtg ?? ??,因为
1)(),()( ??? zRttr ?,所以, ? ? ? ?? ?)()()()( 1 sGLZtgZzCzG ?? ???
当输入信号为任意脉冲序列时,也可由上式求出 G(z),但需
特别指出的是
zssGzG ?? )()( )(,zG
仅由离散系统本身的结构
和参数决定,而与输入信号的形式和大小无关, 有了 Z传递
函数,离散系统可用下面框图表示,
)(zG)(zR )(zC
例, 某环节 (或系统 )的 S域传递函数为,
解,
? ?
? ? ? ?
T
t
t
ez
z
eZtgZZG
e
s
LsGLtg
10
10
1011
)()(
10
1
)()(
?
??
???
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
求其 Z传递函数,
10
1)(
?? ssG
3.由离散系统结构图求脉冲传递函数
A,开环系统的脉冲传递函数
开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍,
a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关,如下图所示,
则上图的脉冲传递函数为,
?
?
?
????
???
n
i
in
n
n
zGzGzGzGzG
zR
zC
zG
zC
zC
zG
zC
zC
zG
zR
zC
1
21
1
2
1
2
1
1
)()()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
,),(
)(
)(
),(
)(
)(
?
??
b.开环系统中串接环节之间无采样开关,如下图所示,
)(tr )(1 sG )(2 sG
)(tr? )(tc?)(tc)(1 tc
)(tr )(1 sG
)(1 tc?
)(2 sG
)(tr? )(2 tc?
)(sGn
)(1 tcn?? )(tc?
)(1 tc )(2 tc
)(1 tcn?
)(tc
则上图的脉冲传递函数为,
需指出的是
? ?? ? )()()()(
)(
)(
2121
1 zGGsGsGLZzG
zR
zC ??? ?
)()()( 2121 zGzGzGG ?
例 1,求下图所示开环系统的脉冲传递函数
s
10
10
1
?s)(tr
)(tr ?
)(tc ?
解, ? ?
))(1(
)1(
1)10(
11
)10(
10
)()()()(
10
10
10
2121
T
T
T
ezz
ez
ez
z
z
z
ss
Z
ss
ZsGsGZzGGzG
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
例 2,求下图所示开环系统的脉冲传递函数
解,
s
10
10
1
?s)(tr
)(tr ?
)(tc ?
? ? ? ?
))(1(
10
1
10
10
110
)()()(
10
2
10
21
TT
ezz
z
ez
z
z
z
s
Z
s
ZsGZsGZzG
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
例 3,求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
s
10
10
1
?s)(tr
)(tr ?
)(tc ?se
Ts??1
解, 令
s
sG
sG
ss
e
sss
e
sGsGsG
pTs
Ts
ph
)(
)(
)10(
10
)1(
)10(
101
)()()(
12
?
?
???
?
?
?
??
?
?
则,
由 Z变换的滞后定理可得,
TspppTs e
s
sG
s
sG
s
sGesG ?? ???? )()()()1()(
? ?
))(1(
)1.01.0()1.01.0(
1.0
1
1.0
)1(
)1()(
1.0
1
1.0
)1(
10
1.01.01
)10(
10)(
)(
)1(
)()(
)()(
)()(
10
101010
102
1
102
22
11
T
TTT
T
T
p
ppp
Tspp
ezz
eTezeT
ez
z
z
z
z
Tz
zzG
ez
z
z
z
z
Tz
sss
Z
ss
Z
s
sG
Z
s
sG
Zz
s
sG
Zz
s
sG
Z
e
s
sG
Z
s
sG
ZsGZzG
?
???
?
?
?
??
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
B,闭环系统的脉冲传递函数
由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性,因此
闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂, 下图是一种
常见的离散闭环系统的结构图形式,
)(tr )(tc)(sG
)(sH
)(* te)(te
)(tb
S
)(tc?
由上图经推导可得,
? ?
)(1
1
)(),()()(
)(1
1
)(
)()()()()()()()()()(
)()()()()()()()()(
zGH
zzRzzR
zGH
zE
zEzGHzRzEzEzGHzEsHsGZzB
zBzRzEtbtrtetbtrte
erer
?
??
?
?
?????
???????
???
??
?
?
)(zer? 叫闭环系统的误差脉冲传递函数, 实际系统的输出一般是连
续信号,故如上图所示,在输出端虚设一采样开关,才可得到闭
环系统输出对输入的脉冲传递函数,
因为,所以 )()()( zEzGzC ?
)(1
)()(
)(
)(
zGH
zGz
zR
zc
cr ??? ?
上式中 )(1 zGH? 叫闭环系统的特征多项式,
)( zGH 叫闭环系统
的开环 Z传递函数, 在有些情况下,无法得到闭环系统的 Z传递
函数,而只能得到闭环系统输出的 Z变换表达式,见下图,
)(sH
)(tr )(tc)(2 sG
)(* tu)(te
)(tb
S
)(tc?
)(1 sG
)(tu
)(1
)()(
)()()(
)()()()(
21
21
2
121
zHGG
zGzRG
zUzGzC
zHGGzUzRGzU
?
???
???
例, 求下图所示系统的 Z传递函数,采样周期 T=0.07s,
解,
)10(
10
?ss
)(tc?
s
e Ts??1
)(te?
1.0
)(tc
)(tr
)(te
0 1 5.598.1410
15.02.0
)(1
)(
)(
51510
0 1 5.002.0
)(1.0)(
51510
15.02.0
))(1(10
)101()110(
)10(
10
)1(
)10(
101
)(
5.007.0
2
21
21
2
2121
210
101010
2
1
21
7.010
??
?
?
?
?
??
?
???
??
?
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
?
??
zz
z
zHGG
zGG
z
zz
z
zGGzHGG
zz
z
ezz
TeezeT
ss
Zz
sss
e
ZzGG
eesT
cr
T
TTT
Ts
T
?
?
?
课外习题, P.347第 7-9题,第 7-10题 (a)
第 7-11题
7.5 离散系统的稳定性与稳态误差
1,离散控制系统的稳定性
1) 稳定条件
在线性连续系统理论中已知,其稳定的充要条件是系统的
所有极点均在 S平面的左半平面上, S平面的虚轴是稳定区域的
边界, 在线性离散系统中,如用拉氏变换,则变换式中含有
nTse? 项,从而系统的特征方程为超越方程,其极点不好求, 但
经过 Z变换后,离散系统的特征方程 D(z)为 Z平面上的代数方程
但在 Z平面上,离散系统的稳定条件又如何表述?
设离散系统的特征方程为 D(z),令 D(z)=0,设其极点为
),,3,2,1( niz i ??,则系统稳定的充要条件是,在 Z平面上,
iz 均在以原点为圆心,半徑为 1的单位圆内,即 ),,1(1 niz i ???
当 1?
iz
,即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的,
当 1?
iz
,即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的,
上述结论的正确性可说明如下,
设在 S平面上,有 ? ?),( ??????? ??? js 经 Z变换后,它在 Z平
面上的映像为,
Tzez
eeeez
T
TjTTjTs
?
?
????
??
???
?
,
)(
由上式可得, 当 0?? 时,s在 S平面的左半平面上,而 1?z
z在 Z平面上的单位圆内, 当 0?? 时,s在 S平面的虚轴上,而 1?z
z在 Z平面上的单位圆周上, 当 0?? 时,s在 S平面的右半平面上,
而
1?z
,z在 Z平面上的单位圆外,
2) 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用
劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数,判别代数方程的
根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上,而无法
判别代数方程的根的模是大于 1还是小于 1,或是等于 1,
为此需把 Z平面再进行一次变换,令,,或令,
1
1
?
??
w
wz
w
wz
?
??
1
1
将上述变换叫作双线性变换,也叫 Z--W变换,即把 Z平面变换
到 W平面, Z和 W均为复变量,可表为,
)3(),2( jvuwjyxz ????
即,
)1(11??? zzw
将式 (2)代入式 (1),有,
2222
22
)1(
2
)1(
1)(
1
1
yx
yj
yx
yx
jyx
jyxjvuw
??
?
??
???
??
?????
由上式可见,W平面上的虚轴对应于上式中的 0122 ??? yx
而
0122 ??? yx 在 Z平面上正好是单位圆的圆周, 由于
0)1( 22 ??? yx,所以当 0122 ??? yx 时,即 u<0,w在 W平面的左
半平面上,而 01
22 ??? yx
,在 Z平面上即为单位圆的内部, 当
0122 ??? yx 时,即 u>0,w在 W平面的右半平面上,而 0122 ??? yx
在 Z平面上即为单位圆的外部,
有上述 Z— W变换,可将 Z平面上的特征方程 D(z)变换为 W平面
上的特征方程 D(w),即,
1
1)()(
?
?
?
?
w
w
z
zDwD
从而在 W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性
例, 设闭环离散控制系统的特征方程为,
03911911745)( 23 ????? zzzzD
试判断此系统的稳定性,
解, 令
1
1
?
??
w
wz 代入 D(z)得,
04022039111 1 9)11(1 1 7)11(45 2323 ??????????????? wwwwwwwww?
列出劳斯表为,
40
18
402
21
0
1
2
3
w
w
w
w
?
因为劳斯表有两次符号改变,所以 D(w)有
两个根在 W平面的右半平面上,即 D(z)有
两个根在 Z平面的单位圆的外部,故此系统
不稳定,
课外习题,P.348第 7.15题 (1)(2)(不用朱利判据 ),第 7.16题 (2)
2,离散控制系统稳态误差的计算
非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示,
)(tr )(tc)(sG
)(sH
)(* te)(te
)(tb
S
上图中,)(te? 叫离散偏差信号,其 Z变换表达式为,
)(1
)()(
zGH
zRzE
?
?
若令 )()( zGHzG
O ?
,则上式为,
)(1
)()(
zG
zRzE
O?
?
其中 )( zG
O
叫开环 Z传递函数, 当 1)( ?sH 时,上图为单位
反馈离散控制系统,)(te? 叫离散误差信号,
定义离散稳态误差 (或偏差 )信号为,
需强调指出的是,上面定义的是离散误差 (或偏差 )信号在采样
时刻的稳态值, 计算离散稳态误差 (或偏差 )值的方法有下面三
种,
)(lim)(lim nTetee ntss ????? ??
(1)求出 )(te? 或 )(nTe 表达式后,由定义求 sse
(2)当闭环稳定时,利用 Z变换的终值定理求
sse,即
)(1
)()1(lim)()1(lim
11 zG
zRzzEze
O
zzss ?
????
??
(3)当系统的输入信号分别为 2
2
1,),( AtAttA 或为这三种信号
的组合时,用稳态误差系数法求 sse,为此,将离散闭环系统按其
开环 Z传递函数中含有 0,1,2,… 个 z=1的极点个数而分为 0型,1型,
2型,… 系统,
下面介绍在典型输入信号作用下,用稳态误差系数法计算稳态
误差值的具体方法,
(1) 阶跃 (位置 )输入时
)(lim1)(1
lim
1)(1
1
)1(lim
1
)(,)()(
1
11 zG
A
zG
Az
z
Az
zG
ze
z
Az
zRtAtr
O
z
O
z
O
z
ss
?
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???
?
???
令
)(lim 1 zGK Ozp ??
为位置误差系数，则
p
ss K
Ae
?? 1
，从而对于
0型系统
)1(1)1( OssOp G
AeGK
???
为有限值。
1型系统 0???
ssp eK, 2型系统 0??? ssp eK
(2) 斜坡 (速度 )输入时
)()1(lim
)()1()1(
lim
)1()(1
1
)1(lim
)1(
)(,)(
1
1
2
1
2
zGz
TA
zGzz
T Az
z
T Az
zG
ze
z
T Az
zRAttr
O
z
O
z
O
z
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
??
?
)()1(lim 1 zGzK OzV ?? ?
为速度误差系数，则
V
ss K
TAe ?,从而
对于 0型系统 ??? ssV eK 0,1型系统
V
ss K
TAe ? 为有限值。
2型系统 0???
ssV eK
令
(3) 抛物线 (加速度 )输入时
)()1(lim
)()1()1(
lim
)1(2
)1(
)(1
1
)1(lim
)1(2
)1(
)(,
2
)(
2
1
2
22
2
1
3
2
1
3
2
2
zGz
AT
zGzz
AT
z
zAT
zG
ze
z
zAT
zRt
A
tr
O
z
O
z
O
z
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
??
?
)()1(lim 21 zGzK Oza ?? ?
为加速度误差系数，则
a
ss K
ATe 2?,从而
对于 0型系统 ??? ssa eK 0,1型系统
a
ss K
ATe 2? 为有限值。高于 2型系统的 2型系统
??? ssa eK 0
0??? ssa eK
由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的
型式和大小有关,与系统的结构和参数有关,还与采样周期 T的
大小有关,
例, 试求下图所示系统在输入信号 r(t)分别为
时的稳态误差值 2
,),(1
2t
tt
sse
,采样周期 T=0.1s
s1.01
1
? s
1
)(tr )(te )(te? )(tc
解, 1) 开环 S传递函数
)1.01(
1)(
sssG O ??
开环 Z传递函数
))(1(
)1(
))(1(
)1(
)1.01(
1)(
1
1
10
10
?
?
?
?
??
??
??
??
??
?
??
?
?
?
ezz
ez
ezz
ez
ss
ZzG T
T
O
可证得闭环稳定,因开环 Z传递函数有一个 z=1的极点,故
系统为 1型系统, 从而稳态误差系数分别为,
0
)(
)1()1(
lim)()1(lim
1
)(
)1(
lim)()1(lim
))(1(
)1(
lim)(lim
1
1
1
2
1
1
1
111
1
11
?
?
??
???
?
?
?
?????
??
?
??
?
?
??
?
?
???
?
??
ez
ezz
zGzK
ez
ez
zGzK
ezz
ez
zGK
z
O
z
a
z
O
z
V
z
O
z
p
当 时,)(1)( ttr ?
0
1
1
1
?
??
?
?
?
p
ss K
Ae
当 ttr ?)( 时,
1.0
1
1.0 ???
V
ss K
TAe
当
2
2
1)( ttr ? 时,????
0
01.02
a
ss K
ATe
课外习题,P.349第 7.17题,第 7.18题,第 7.19题
7.6 离散系统的动态性能分析
当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时,其输出的离散
函数的一般表达式可由下面方法求得,
1)(
)(
)()()(
?
??
z
z
zD
zN
zRzzC ?
输出的 Z变换表达式
上式中
)(
)()(
zD
zNz ?? 为离散控制系统的 Z闭环传递函数,
为分析方便起见,假设 无重极点,则 )(z?
?
? ?
?????
k
i i
i
pz
A
z
A
zDz
zN
z
zC
1
0
1)()1(
)()(
上式中
ip
为 )(z? 的极点,而
ipz
i
i
zDz
zNpz
A
D
N
A
?
?
?
???
)()1(
)()(
)1(
)1(
)1(
0 ?
所以
??
??
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
i
n
ii
n
k
i i
i pAA
pz
zA
z
zA
Znc
1
0
1
01 1
1
)(
上式中,nA 1
0 ?
由输入阶跃信号 Z变换表达式的极点所产生,叫
输出的稳态响应,?
?
k
i
n
ii pA
1
由离散控制系统的 Z传递函数的极
点所产生,叫输出的瞬态响应, 研究不同极点分布时的瞬态响
应,就可定性地说明系统的动态性能,
对于系统的任一极点,均可表为极坐标形式,即
ip
)s i n( c o s iiijii jrerp i ??? ???
从而对应于
ip
的瞬态响应分量为,
)s i n( c o s iinii njnrA ?? ?
则 (1)正实数极点时,?0?
i?
,对应的瞬态响应分量为 n
iirA
,是单
调的, 1?
ir
,为衰减序列 ; 1?
ir
,为等幅序列 ; 1?
ir
,为
发散序列,
(2)负实数极点时,?180?
i?
,对应的瞬态响应分量为 ?nrA n
ii c o s
是振荡的,此时振荡频率可达最高,可证明为
T
?? ?,当 1?
ir
为衰减振荡序列 ; 1?
ir,为等幅振荡序列 ; 1?ir,为发散
振荡序列,
(3)复数极点时必为共轭,?? 1800,,' ???? ?
i
j
ii
j
ii
ii erperp ???
瞬态响应分量为
上式中待定系数
ii jnn
ii
jnn
ii erAerA
?? ?? '
iA
和
'
iA
也共轭,因而瞬态响应分量为,
? ?
? ?
ii
n
ii
njnjn
ii
jnn
i
j
i
jnn
i
j
i
nrA
eerA
ereAereA
iiii
iiii
??
????
????
??
??
?
???
??
c o s2
)()(
由上式可见,复数极点所引起的瞬态响应分量是振荡的, 当
1?ir 时,振荡的衰减速率取决于 ir 的大小,
1?ir
时,瞬态响应分量是等幅振荡的, 当
ir
越小,衰减越快,
当 1?
ir
时,瞬态响应
分量是发散振荡的, 且可证明振荡频率
T
i?? ?
习题参考答案
7-2/(4)解, 2)1/()1()( ???? zTzzzE
7-2/(5)解,
))(1(
)1()1()(
T
TTT
ezz
eTeTezzE
?
???
??
??????
7-3/(1)解,
)12(10)(
)()12(10)(
0
*
??
??? ?
?
?
n
n
n
nTe
nTtte ?
7-3/(2)解,
)32()(
)()32()(
0
*
???
???? ?
?
?
nnTe
nTtnte
n
?
7-4/(1)解,
7-4/(2)解,
)
32
c o s ()
3
1
(
2
1
)1(
4
1
)(
)()]
32
c o s ()
3
1
(
2
1
)1(
4
1
[)(
0
*
?
?
?
?
?
????
????? ?
?
?
n
nTe
nTt
n
te
nn
n
nn
])5.0)(13(1[
9
4
)(
)(])5.0)(13(
9
4
9
4
[)(
0
*
n
n
n
nnTe
nTtnte
????
????? ?
?
?
?
7-5/(1)解, ??? )(*e
7-5/(2)解, 0)(* ??e
7-9/(a) 解,
))((
10)(
52
2
TT ezez
zzG
?? ???
7-9/(b) 解,
7-10/(a) 解,
))((
)(
3
10)(
52
52
TT
TT
ezez
eezzG
??
??
??
??
)()()(1
)()(
3121
1
zGzGzGG
zGzG
??
?
7-11 解, nnTe 37.047.01)( ???
7-15/(1) 解, 12,1,2,5.0,1
21321 ????????? zzzzz?
所以闭环离散系统不稳定,
7-15/(2) 解, 024.212.18.848.036.3)( 234 ?????? wwwwwD
劳斯行列表为,
因出现全零,所以闭环离散系统不稳定,
24.2
092.1
24.296.0
12.148.0
24.28.836.3
0
1
2
3
4
w
w
w
w
w
7-16/(2) 解,
KwKKwwD
KzKzzD
ez
zKK
z
K
ss
K
ZzzG
O
0 4 7 6.3068.10)9 1 8 4.1932.9(967.4)(
034.09 5 9 2.0)034.50 0 6 8.4(5)(
)(5
)1(
51)12.0(
)1()(
2
2
52
1
?????
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
则系统稳定,
7-17 解,
3.30
3.300 4 7 6.3068.10
3.509 1 8 4.1932.9
0
???
????
????
?
K
KK
KK
K?
1.0)(,
)1(2
)]()[(
)(
2
2
*2
2
22
?????????
?
???
?
KT
T
eKTKKK
z
TTzTTK
zG
avp
O
?
7-18 解,
7-19 解,
1)(0,1.0,
))(1(
1)1(
)(
*
??????????
??
?????
?
?
???
v
avp
T
TTT
O
K
T
eKTKK
ezz
eTezeT
zG?
101.0
1
)(
)1(
)(
*
2
??????
??
?
?
K
KK
T
e
KTK
zz
KT
zG
v
vO
?
?
472.20)( 23 ?????? KKTzzzD? 系统稳定,
故无法使稳态误差小于 0.1
