第六章 线性系统的校正方法
一般控制系统的结构可由下图表示,
执行机构 被控对象 r(t) y(t)
实际中,一旦执行机构和被控对象选定后,其特性也确定, r(t)是
给定的输入信号,y(t)是被控对象的输出信号,也叫被控量,当 y(t)
不满足人们所期望的要求时,就将输出 y(t)反馈到输入端,构成如
下的闭环系统,
执行机构 被控对象 r(t) y(t) 控制器 e(t)
检测变送器
由图可知,给定的输入信号 r(t)与实际输出 y(t)的测量值进行
比较得偏差信号 e(t),控制器按 e(t)的大小和方向以一定的规律给
出控制信号推动执行机构动作使输出 y(t)满足人们所期望的要求,
控制器的本质是对其输入信号 e(t)按某种运算规律进行运算,这种
运算规律也叫控制规律, 本章的内容仅涉及如何设计控制规律以
满足人们对控制系统的性能要求,
6-2 输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性
输出反馈系统的校正方式基本分为两类,一是串联校正,如下
图所示, )(sG
C )(sY)(sR )(sGP
校正装置 )(sG
C
与系统的广义对象 )(sG
P
串接在前向通道的校
正方式叫串联校正,
二是并联校正,如下图所示,
)(sY)(sR )(1 sG P )(2 sG P
)(1 sG C )(2 sG C
校正装置 )(sG
C
与系统的某个或某几个环节反向并接,构成局
部反馈,称为并联校正,
在介绍校正的方法前,先介绍常用校正装置的一些特性,
1,无源校正网络
一般用阻容四端网络构成无源校正网络,
(1)无源超前网络 (相位超前网络 ) 其电路如下图所示,
1u 2u
1R
2R
C
其传递函数为,
C
RR
RR
T
R
RR
T
s
T
s
Ts
Ts
sU
sU
sG
C
21
21
2
21
1
2
1
)1(
1
1
1
11
)(
)(
)(
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
其零 ﹑ 极点在 s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图,
超前网络的特点, (1) 零点在极点的右边 ; (2) 网络的稳态增
益小于 1,故对输入信号具有衰减作用 ; (3)从 幅频曲线上看,有一段
直线的斜率为正 20分贝十倍频程,所以超前网络具有微分作用 ;
(4) 网络的最大超前相角
m?
发生在
Tm ?
?? 1?? 处,且 11s in 1 ??? ? ??? m
显然,? 越大,m? 也越大,微分作用也越强,但网络克服干扰信号
的能力越差,分度系数 ? 的值一般不大于 20,
?j
?0
T?
1?
T
1?
)(?L db
0
?
1lg20
)(??
?90
?
?0
T?1 T
1
T?1
m?
decdb /20
m?
)/1lg(10 ?
(2)无源 滞后网络 (相位滞后网络 )
滞后网络的电路图,零 ﹑ 极点在 s平面上的位置及对数幅频
和相频特性曲线见下图,
1u 2u
1R
2R
C
?j
?0
T
1?
bT
1?
blg20
)(?L db
0
)(??
?90?
?
?
0
bT1T1 Tb1
m?
decdb /20?
m?
网络传递函数为,
CRRT
RR
R
b
T
s
bT
s
b
Ts
b T s
sU
sU
sG
C
)(1
)2(
1
1
1
1
)(
)(
)(
21
21
2
1
2
???
?
?
?
?
?
?
?
??
滞后 网络的特点, (1) 零点在极点的左边 ; (2) 网络的稳态
增益等于 1,故对输入信号具有低通滤波作用 ; (3)从 幅频曲线上看,
有一段 直线的斜率为负 20分贝十倍频程,所以滞后网络对高频信
号或噪声有较强的抑制作用 ; (4) 网络的最大滞后相角
m?
发生在
Tbm
1?? ?? 处,且
1
1s in 1
?
?? ?
b
b
m?
显然,b 越大,
m?
也越大,即相角
滞后得越利害, 使用滞后网络对系统进行校正,应力求避免使滞
后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率 (即
截止频率 )附近,引起相角裕度的减小,使系统动态性能变坏, 因
此在确定滞后网络的参数时,一般要求 bT/1 小于校正后系统
开环幅值穿越频率 (即截止频率 )的十分之一, 滞后网络在校正后
系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于 )]1(1.0[
1 ?? bt
g
(3) 滞后 — 超前网络 (相位滞后 — 超前网络 )
滞后 — 超前 网络的电路图,零 ﹑ 极点在 s平面上的位置及对数
幅频和相频特性曲线见下图,
1u 2u
1R
2R
2C
1C
?j
?0
2
1
T
?
1
1
T?
?
2T
??
1
1
T
?
领先 滞后
)(?L db
0
)(??
?90?
?
?
0
2
1
T
decdb /20
2T
?
1
1
T? 1
1
T
?90
decdb /20?
网络传递函数为, )3(
)1)(1(
)1)(1(
)(
)(
)(
21
2
1
1
2
??
??
??
sTsT
s
T
sT
sU
sU
sG C ?
?
式 (3)中,
其它常用无源校正网络见教材 P.231~P.232表 6-1
2,有源调节器
无源校正网络有以下几个不足之处,
(1) 稳态增益小于等于 1; (2) 级间联接必须考虑负载效应 ;
(3) 当所需校正功能较为复杂时,网络的计算和参数调整很不方
便, 由于上述不足,实际中常用阻容电路和线性集成运放的组合
构成校正装置,这种装置叫调节器, 例如工业上常用的 PID调节
器, 现仅对有源调节器的基本原理作一简单介绍,
在下面的介绍中,为讨论问题方便起见,均认为运算放大器
是理想的,即其开环增益无穷大,输入阻抗无穷大,输出阻抗等
于零,
1),(
1
,
1221
22
2
111
??
?
?
??
??
?
?
?
?
TTCR
CR
T
CRT
(1) 反向端输入的有源调节器
反向端输入有源调节器的电路如下图,
1u
2u
2Z
0R
1Z
图中,
1Z
是输入阻容网络的等效阻抗,
2Z
是反馈阻容网络的等效
)(
)(
)(
)()(
1
2
1
2
sZ
sZ
sU
sUsG
C ???
阻抗,传递函数为,
用不同的阻容网络构成
1Z
﹑
2Z
就可得到不同的调节规律, 可见教材
P.233表 6-2典型的有源调节器,
(2) 同向端输入的有源调节器
同向端输入有源调节器的电路
如右图,
1u
2u
2Z
1Z
其传递函数为,
(3) 用跟随器和阻容网络构成的有源调节器
)(
)(1
)(
)()(
1
2
1
2
sZ
sZ
sU
sUsG
C ???
1u
2u
2Z
1Z
其传递函数为,
)()(
)(
)(
)()(
21
2
1
2
sZsZ
sZ
sU
sUsG
C ???
6-3 串联校正
1.频率响应法校正设计
当工程上给出的系统性能指标为频域特征参数如相角裕量 ﹑
幅值穿越频率 ﹑ 稳态误差系数等时,则采用对数频率 特性法校正,
须指出的是,不管是用根轨迹法设计系统,还是用 对数频率
特性法设计系统,都是通过闭环系统的开环特性进行的,用 对数
频率 特性法设计系统,就需通过闭环系统的开环 对数频率 特性进
行设计, 下面还是通过具体例子加以说明,
其电路如下图,
2,串联超前校正
例 1 设单位负反馈系统的开环传递函数为,
)15.0()(0 ?? ss
KsG
若要求系统的速度误差系数 KV =20,相角裕量 ?50??,幅
值裕量 dbh
x 10?
,试设计串联超前校正装置,
解, (1)确定系统的开环放大倍数,并画开环 对数 幅 频 特性曲线
)15.0(
20
)(
20
)15.0(
lim)(lim
0
0
0
0
?
?
????
?
??
??
??
?
jj
jG
KKK
ss
K
sssGK
V
ss
V
?
?
)(?L db
0 1.0 1 2 10 100
decdb /20?
decdb /40?
c?
40
20
20?
(2) 分析当 K=20时,原系统是否满足动态要求,
由上计算可知,原系统当 K=20时,闭环虽稳定,但相角裕量仅为
18度,将会有较大的超调,不满足相角裕量大于等于 50度的动态
要求,可采用串联超前网络给以校正,
(3)设计网络参数超前网络的传递函数为,
3.6402
2
lg20
2
lg402lglg20
20
1lg2lg
)1()2(
40
2lglg
)2(0
2
????????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
KK
LL
L
C
cCC
?
???
?
??????? 50187290)3.65.0(90180)(180 1 ?????????? ?
gC t???
1
11)(
?
??
Ts
TssG
C
?
?
由于超前网络的放大倍数为 11 ?
?
,串接超前网络后将使系统的稳
态误差系数降低,故需再串接一放大倍数为 ? 的放大器,
串接一放大倍数为 的放大器后的超前网络的传递函数为, ?
)1(1 1)( ??? TsTssG C ?
由于要求 ?50??,所以超前网络的最大领先相角为,
???? 3751850 ????m?
由于原系统经超前网络的串联校正后,开环 对数 幅 频 特性曲线的
幅值穿越频率比原系统的要大,使原系统的相角裕量更小,所以
超前网络的最大领先相角需适当增大,在此增大 5度, 由
m?
对应的
m?
就是校正后系统的幅值穿越频率,据此计算
6 0 2.037s in11s in ????? ???? m,得 025.4??,由于希望
m?
进而计算 T,因为
式 (1)在
Tm ?
? 1?
处的近似 对数 幅值为 db05.64lg10lg10 ???
而在系统原幅 频 特性上 -6db处的频率可如下计算,
92.8
40
05.6lg3.640
lglg
05.6 1 ?????
?
? ??
?? C
?
校正后系统的幅值穿越频率 由此可得, 92.8' ??
mC ??
1056.0
12254.0
1
1
)(
056.0
92.8025.4
11
?
?
?
?
?
?
?
?
??
s
s
T
T
sG
T
C
m
?
??
校正后系统的开环 对数 幅 频 特性曲线见下图,
?
)(?L db
0 1.0 1 2 10 100
decdb /20?
decdb /40?
c?
40
20
20? 'C?
86.17
44.4
decdb /40?
decdb /20?
decdb /40?
)(' ?L
)(?L
)(?CL
(4) 校核校正后系统的相角裕量
校正后系统的传递函数为,
因为
)15.0)(10 5 6.0(
)12 2 5 4.0(20
)(
??
?
?
sss
s
sG
?
??
?
50
)92.85.0()92.8056.0(90)92.82 2 5 4.0(180
)'('180'
111
?
????????
??
???
ggg
C
ttt
???
符合设计要求, 关于采用串联超前校正装置的注意事项请参阅教
材 P.239中有关内容,
2,串联滞后校正
例 2 设单位负反馈系统的开环传递函数为,
)11.0)(15.0(
1)(
0 ??? ssssG
要求保持原系统动态性能不变前提下,使其速度误差系数 KV =10,
解, (1) 画原系统开环 对数 幅 频 特性曲线
若单纯提高原系统开环放大倍数至 10,以满足速度误差系数
开环 对数 幅 频 特性曲线由上图中的红线所示,
)11.0)(15.0(
10)('
??? ssssG o
KV =10的要求,则开环传递函数为,
?
)(?L db
0 01.0 1.0 21 10
c?
40
20
20?
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
60
)(0 ?L
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
'C?
)('0 ?L
由上图两条折线对比可见,红线满足速度误差系数要求,但其
大于
'C?
C?
,不满足动态性能的要求, 显见,单纯靠提高原系统的开
环放大倍数已不能同时兼顾动静两方面的要求,需另加校正装置,
所加校正装置应不改变原开环 对数 幅 频 特性曲线在穿越零分贝线
附近直至高频段的形状,以保持原系统的动态性能,而应使原系
统的低频段抬高,以满足速度误差系数的要求, 因此可采用滞后
校正网络,
(2) 确定滞后校正网络参数 滞后校正网络的传递函数为,
11 1)( ???? bTsb T ssG C
滞后网络参数的选择应使其相角滞后特性尽可能小地减少原系统
的相角裕量,为此应使滞后网络分子的转折频率远小于原系统的
1?C?,现选 10,1.0,100 ??? bTbT
,则滞后网络分子的转折频
率为 0.1,是原系统
C?
的十分之一, 滞后网络的传递函数为,
11 0 0
110)(
?
??
s
ssG
C
校正后系统的开环传递函数为,
其 对数 幅 频 特性曲线
)11.0)(15.0(
10
11 0 0
110)(''
???
??
ssss
ssG
o
)('' ?oL 见下图,
?
)(?L db
0 01.0 1.0 21 10
c?
40
20
20?
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
60
)(0 ?L
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
'C?
)('0 ?L
decdb /40?
decdb /20?
)(''0 ?L
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
(3) 校核滞后校正网络对原系统相
角裕量的影响,
计算滞后网络在原系统 处的滞后相角, 1?
C?
?? 14.51 0 010)1(1 0 010)( 1111 ??????? ????
ggCCgCgCC tttt ?????
基本符合要求, 滞后校正的注意事项可参阅教材 P.241有关内容,
3,滞后 — 超前校正
滞后 — 超前校正的设计思想与步骤和单独滞后校正或单独
领先校正的设计思想是基本一致的, 具体例子请看教材 P.242例
6-5,
课外习题, P.265第 6-1题,第 6-3题,第 6-4题,第 6-5题 (2)
6-4 输出反馈系统的并联校正和复合校正
1,并联校正的原理和特点
设系统框图如下,
)(sR )(sY)(1 sG )(2 sG
)(sGC
)(1 sR
上图所示系统的开环传递函数为,
如在对系统的动态性能起主要影响的频率范围内,有,
)1(
)()(1
)()()(
2
21
0 sGsG
sGsGsG
C?
?
1)()(2 ???? jGjG C,则式 (1)可表为, )()()( 10 sGsGsG C?,说明校正后系
统在此频率范围内的性能几乎与 )(
2 sG
无关, 当 1)()(
2 ???? jGjG C
时 )()()(
210 sGsGsG ?
校正后系统与校正前系统的特性几乎一致,在
工程的初步设计中,往往令 1)()(
2 ???? jGjG C
作为近似条件,
并联校正有如下特点,
(1) 削弱被包围环节的非线性影响 ;
(2) 减小被包围环节的传递系数和时间常数,这是并联校正
hC KsGsTKsG ??? )(,1)( 222
的重要特点,说明如下, 设 为位置反馈
1
1
1
1)(
)(
2
22
2
1 ?
?
?
?
h
h
KK
TKK
K
sR
sY
则可见,其传递系数和时间常数均为
原来的 )1(
2 hKK? 分之一,传递系数的
减小可由系统其它环节补偿而不影响
校正后系统的稳态精度,而时间常数的减小使被包围环节的惯性
变小,反应灵敏,有利于动态性能的改善,
(3) 降低被包围环节对参数变化的敏感性 ;
设
2K
产生一个小偏差
2K?,则 2K
变为
22 KK ??
,其相对增量为,
22 KK?
,采用位置反馈后,变化前的传递系数为
hKKKK 22'2 1 ??
变化后的增量
2
2
2
2
2
'
2'
2 )1(
hKK
KK
K
KK
?
???
?
???,其相对增量为,
2
2
2
'
2
'
2
1
1
K
K
KKK
K
h
?
?
??
2,复合控制
工程实际中的系统往往受各种干扰的影响,当控制系统对在
干扰影响的动静态性能提出很高要求时,单纯用反馈控制一般难
以满足要求,此时可考虑采用复合控制的手段, 下面简要介绍针
对干扰作用下的复合控制的方法和特点,
具体内容可参阅教材 P.251~P.258有关
部分内容,
设系统受干扰时的框图如下,
干扰信号 D(s)直接作用在被控对象
)(sR )(sY)(sGC )(sGp
)(sD
)(sE
)(sGd
)(sGp 上而影响系统的输出 Y (s),
由于反馈控制的固有特点,使系统不能及时有效的克服干扰的影
响, 改进的方法之一是将 D(s)测量出来,通过前馈控制器 )(sG
d
前馈到系统的输入端,如上图所示,从而构成前馈 --反馈复合控
制系统, 设 R (s)=0,则,
? ?
)()(1
)(1)()(
)(
)(
sGsG
sGsGsG
sD
sY
pC
pCd
?
??
根据不变性原理,即 0)(,0)( ?? sYsD 得,
)(1)(,01)()( sGsGsGsG CdCd ???
由上式可见,从理论上讲,只要满足 )(1)( sGsG
Cd ?
,D(s)对系统
就无任何影响, 但在工程上具体实现时,尚受种种条件的限制,
具体内容可参阅教材 P.258~P.265有关部分内容,
补充, 输出反馈系统的根轨迹法校正
当用时域指标如最大百分比超调量 ﹑ 调整时间或阻尼系数 ﹑
自然振荡角频率等对闭环系统提出性能要求时,常采用根轨迹法
对原系统进行校正, 这是因为不同的 时域指标反映了 闭环极点在
s平面上的不同位置,如对于典型的二阶系统 (即不带零点 ),其一
对共轭复数极点可表为,
dnn jjs ?????? ???????
21
一般,由最大百分比超调量
,则 二阶系统 的极点应在 s平面上的
???? 100
21 ?? ?? ?
??
? e 先确定 ? 值,然后
由 调整时间
n
st ??
4? 确定
n?
区域可用下图表示,
?j
?
??? st
n??? ???
?? 1c os ??
0
A
B
C
D
凡是极点在折线 ABCD右则的 二阶系统其 最大百分比超调
量 ﹑ 调整时间都小于规定的指标, 对于高阶系统,其闭环极点
个数大于二个,这时总以最靠近虚轴而附近又没有其它闭环零
极点的一对共轭复数极点作为主导极点作为设计的依据,
下面通过例子说明用根轨迹法校正系统的步骤,
5.3.1 串联超前校正
例, 单位负反馈系统的开环传递函数为
)2(
4)(
0 ?? sssG
,如要系
统的 阻尼系数等于 0.5,自然振荡角频率等于 4,稳态误差
不大于原系统,试设计校正装置,
解, (1) 原系统的根轨迹如下图,
2,5.0,31 ????? njs ??,而要求系统的期望极点为,
4,5.0,3222,1 ????? njs ??
显然,原系统的根轨迹应向左弯
曲,选择相位超前阻容网络,
(2) 计算需超前的相位值
K0’=4时,原系统的极点为,
))(2(
)(
)()()(
1
1
)(
'
0
c
cC
C
c
c
C
psss
zsK
sGsGsG
ps
zs
T
s
T
s
sG
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?0 -2
jω
σ -1
3j
3j?
由于校正后的期望闭环极点一定在校正后系统的根轨迹上,故其
必定满足相角条件,即,
?1 8 02
1111 ??????? cc pssszs
超前相角为,
????? 303 9 02 1 01 8 023223221 8 011 ??????????????? jjzszs cc
(3) 用图解法确定超前校 正装置的参数,
在 s平面上画出 系统的期望极点位置,如下图 P点,由 P点作条水平
p
2?
32
o
?j
?
线 AP,
A
再将 P点与 O点相连,然后作角 OPA
的角平分线 PB,
B
最后在 PB左右两侧各依 15度
角画两条射线分别交于负实轴,量出两交点
在负实轴上的位置分别为 -3和 -5.5,即,
3?5.5?
84.1,18.0,5.51,31 ???? ?? TTT,从而 5.5 3)( ??? s ssG C
校正后系统的开环传递函数为,
)2)(5.5(
)3(4)()()( '
0 ??
???
sss
sKsGsGsG C
C
(4) 画校正后系统的根轨迹图,
(5) 计算校正装置的根迹增益 KC’
0 -2
jω
σ
-3 -5.5 -1.15
-2.25
32j
32j?
73.4
33224
23225.5322322
1
25.5
34 '
111
1
'
?
???
????????
???
??
?
j
jjj
K
sss
sK
C
C?
(6)校核 由于设计已满足动态要求,故只校核 是否满足原系
22416.525.5 373.44 0 ????? ??? KK统对稳态误差的要求, 因为,,所以满足, 但
超前校正装置还需串接放大倍数为 4.73的放大器,
5.3.2 串联滞后校正
当原系统根轨迹上某一主导复数极点能满足动态性能指表
的要求,但该点对应的开环放大倍数不能满足稳态误差的要求
时,一般采用串联滞后校正, 下面通过例子说明串联滞后校正
的步骤,
例, 设单位负反馈系统的开环传递函数为,
)5)(1()(
'
0
0 ??? sss
KsG
要求系统在阶跃输入下的最大百分比超调量
0000 20??
调整时间 st
s 15?
,而在单位斜坡输入时的稳态误差
0015?sse,试设计校正装置,
解, (1) 分析原系统是否满足指标要求,
?
?
63c o s45.0
2.0
1
1/ 2
????
??
?
??
???
? ???e
原系统的根轨迹图如下,
由图求 S1值,因
0
jω
σ
-1 -5 -0.47
1s
?63??
???? 96.1631 jjts g ?????? ?,代入特征方程
056 '023 ???? Ksss 得,
8.041.0
2.4
41.0
08.952.2365.1
0504.1752.10
0)96.1(5)96.1(6)96.1(
2,1
'
0
23
'
0
23
'
0
23
js
K
K
Kjjj
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
??????????
?
???
???
???????
原系统的调整时间 ssot
s 151041./4/4 ???? ?
,速度误差系数
84.05 2.45)(lim
'
0
00 ???? ?
KssGK
sV
,速度误差
0000 1512084.0
11 ????
V
ss Ke
由上分析可知,当原系统的开环放大倍数为 0.84时,虽动态能
满足要求,但稳态误差不满足要求, 若提高开环放大倍数至稳态
误差满足要求,则动态不满足要求,即仅靠调整系统本身的参数
已无法兼顾,
(2) 设计滞后校正网络 其传递函数为,
T
s
bT
s
bKsG
CC 1
1
)(
?
?
?
其中 KC是串接的放大器增益,目的为提高系统的开环放大倍数,滞
后网络将使原根轨迹向右弯曲,为使弯曲程度尽可能小,而不太多
地影响原系统的动态性能,选校正网络的零点到虚轴的距离为原
闭环主导复数极点到虚轴距离的 1/5~1/10,取 08.01 ?
bT
,一般取 1.0?b
则校正网络的极点 008.01 ?
T
,它俩很靠近原点,但相互间距原点
距离有十倍,即校正后的开环放大倍数可为原来的十倍,
校正后系统的开环传递函数为,
其根轨迹图如下,
)5)(1)(008.0(
)08.0(
)5)(1(008.0
08.0
)()()(
''
'
0
0
'
0
???
?
?
???
?
??
ssss
sK
sss
K
s
s
bKsGsGsG
CC
-1 -5 0
jω
σ -0.08
-0.008
按第 (1)步的计算方法
45.0?? 时,校正后闭环系统的主导复数
极点 475.037.0 '''
2,1 ???? Kjs
(3)校核 校正后系统的速度误差系数
85405008.0 08.0)(lim
''
'
00
' ????
?
KssGK
sV
校正后系统的稳态误差
0000' 155.128
11 ????
V
ss Ke
,串接的放大器增益为,
5.92.4/40/10 '0'' ??? KKK C
由于校正后闭环系统的主导复数极点是由
百分比超调量满足要求,校正后闭环系统的主导复数极点实部绝
对值为 0.37,故
45.0?? 而得,所以最大
sst s 158.10
37.0
4 ???
有关用根轨迹法设计系统的其它内容在此不作深入讨论,可
参阅其它参考书上中有关内容,
一般控制系统的结构可由下图表示,
执行机构 被控对象 r(t) y(t)
实际中,一旦执行机构和被控对象选定后,其特性也确定, r(t)是
给定的输入信号,y(t)是被控对象的输出信号,也叫被控量,当 y(t)
不满足人们所期望的要求时,就将输出 y(t)反馈到输入端,构成如
下的闭环系统,
执行机构 被控对象 r(t) y(t) 控制器 e(t)
检测变送器
由图可知,给定的输入信号 r(t)与实际输出 y(t)的测量值进行
比较得偏差信号 e(t),控制器按 e(t)的大小和方向以一定的规律给
出控制信号推动执行机构动作使输出 y(t)满足人们所期望的要求,
控制器的本质是对其输入信号 e(t)按某种运算规律进行运算,这种
运算规律也叫控制规律, 本章的内容仅涉及如何设计控制规律以
满足人们对控制系统的性能要求,
6-2 输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性
输出反馈系统的校正方式基本分为两类,一是串联校正,如下
图所示, )(sG
C )(sY)(sR )(sGP
校正装置 )(sG
C
与系统的广义对象 )(sG
P
串接在前向通道的校
正方式叫串联校正,
二是并联校正,如下图所示,
)(sY)(sR )(1 sG P )(2 sG P
)(1 sG C )(2 sG C
校正装置 )(sG
C
与系统的某个或某几个环节反向并接,构成局
部反馈,称为并联校正,
在介绍校正的方法前,先介绍常用校正装置的一些特性,
1,无源校正网络
一般用阻容四端网络构成无源校正网络,
(1)无源超前网络 (相位超前网络 ) 其电路如下图所示,
1u 2u
1R
2R
C
其传递函数为,
C
RR
RR
T
R
RR
T
s
T
s
Ts
Ts
sU
sU
sG
C
21
21
2
21
1
2
1
)1(
1
1
1
11
)(
)(
)(
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
其零 ﹑ 极点在 s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图,
超前网络的特点, (1) 零点在极点的右边 ; (2) 网络的稳态增
益小于 1,故对输入信号具有衰减作用 ; (3)从 幅频曲线上看,有一段
直线的斜率为正 20分贝十倍频程,所以超前网络具有微分作用 ;
(4) 网络的最大超前相角
m?
发生在
Tm ?
?? 1?? 处,且 11s in 1 ??? ? ??? m
显然,? 越大,m? 也越大,微分作用也越强,但网络克服干扰信号
的能力越差,分度系数 ? 的值一般不大于 20,
?j
?0
T?
1?
T
1?
)(?L db
0
?
1lg20
)(??
?90
?
?0
T?1 T
1
T?1
m?
decdb /20
m?
)/1lg(10 ?
(2)无源 滞后网络 (相位滞后网络 )
滞后网络的电路图,零 ﹑ 极点在 s平面上的位置及对数幅频
和相频特性曲线见下图,
1u 2u
1R
2R
C
?j
?0
T
1?
bT
1?
blg20
)(?L db
0
)(??
?90?
?
?
0
bT1T1 Tb1
m?
decdb /20?
m?
网络传递函数为,
CRRT
RR
R
b
T
s
bT
s
b
Ts
b T s
sU
sU
sG
C
)(1
)2(
1
1
1
1
)(
)(
)(
21
21
2
1
2
???
?
?
?
?
?
?
?
??
滞后 网络的特点, (1) 零点在极点的左边 ; (2) 网络的稳态
增益等于 1,故对输入信号具有低通滤波作用 ; (3)从 幅频曲线上看,
有一段 直线的斜率为负 20分贝十倍频程,所以滞后网络对高频信
号或噪声有较强的抑制作用 ; (4) 网络的最大滞后相角
m?
发生在
Tbm
1?? ?? 处,且
1
1s in 1
?
?? ?
b
b
m?
显然,b 越大,
m?
也越大,即相角
滞后得越利害, 使用滞后网络对系统进行校正,应力求避免使滞
后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率 (即
截止频率 )附近,引起相角裕度的减小,使系统动态性能变坏, 因
此在确定滞后网络的参数时,一般要求 bT/1 小于校正后系统
开环幅值穿越频率 (即截止频率 )的十分之一, 滞后网络在校正后
系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于 )]1(1.0[
1 ?? bt
g
(3) 滞后 — 超前网络 (相位滞后 — 超前网络 )
滞后 — 超前 网络的电路图,零 ﹑ 极点在 s平面上的位置及对数
幅频和相频特性曲线见下图,
1u 2u
1R
2R
2C
1C
?j
?0
2
1
T
?
1
1
T?
?
2T
??
1
1
T
?
领先 滞后
)(?L db
0
)(??
?90?
?
?
0
2
1
T
decdb /20
2T
?
1
1
T? 1
1
T
?90
decdb /20?
网络传递函数为, )3(
)1)(1(
)1)(1(
)(
)(
)(
21
2
1
1
2
??
??
??
sTsT
s
T
sT
sU
sU
sG C ?
?
式 (3)中,
其它常用无源校正网络见教材 P.231~P.232表 6-1
2,有源调节器
无源校正网络有以下几个不足之处,
(1) 稳态增益小于等于 1; (2) 级间联接必须考虑负载效应 ;
(3) 当所需校正功能较为复杂时,网络的计算和参数调整很不方
便, 由于上述不足,实际中常用阻容电路和线性集成运放的组合
构成校正装置,这种装置叫调节器, 例如工业上常用的 PID调节
器, 现仅对有源调节器的基本原理作一简单介绍,
在下面的介绍中,为讨论问题方便起见,均认为运算放大器
是理想的,即其开环增益无穷大,输入阻抗无穷大,输出阻抗等
于零,
1),(
1
,
1221
22
2
111
??
?
?
??
??
?
?
?
?
TTCR
CR
T
CRT
(1) 反向端输入的有源调节器
反向端输入有源调节器的电路如下图,
1u
2u
2Z
0R
1Z
图中,
1Z
是输入阻容网络的等效阻抗,
2Z
是反馈阻容网络的等效
)(
)(
)(
)()(
1
2
1
2
sZ
sZ
sU
sUsG
C ???
阻抗,传递函数为,
用不同的阻容网络构成
1Z
﹑
2Z
就可得到不同的调节规律, 可见教材
P.233表 6-2典型的有源调节器,
(2) 同向端输入的有源调节器
同向端输入有源调节器的电路
如右图,
1u
2u
2Z
1Z
其传递函数为,
(3) 用跟随器和阻容网络构成的有源调节器
)(
)(1
)(
)()(
1
2
1
2
sZ
sZ
sU
sUsG
C ???
1u
2u
2Z
1Z
其传递函数为,
)()(
)(
)(
)()(
21
2
1
2
sZsZ
sZ
sU
sUsG
C ???
6-3 串联校正
1.频率响应法校正设计
当工程上给出的系统性能指标为频域特征参数如相角裕量 ﹑
幅值穿越频率 ﹑ 稳态误差系数等时,则采用对数频率 特性法校正,
须指出的是,不管是用根轨迹法设计系统,还是用 对数频率
特性法设计系统,都是通过闭环系统的开环特性进行的,用 对数
频率 特性法设计系统,就需通过闭环系统的开环 对数频率 特性进
行设计, 下面还是通过具体例子加以说明,
其电路如下图,
2,串联超前校正
例 1 设单位负反馈系统的开环传递函数为,
)15.0()(0 ?? ss
KsG
若要求系统的速度误差系数 KV =20,相角裕量 ?50??,幅
值裕量 dbh
x 10?
,试设计串联超前校正装置,
解, (1)确定系统的开环放大倍数,并画开环 对数 幅 频 特性曲线
)15.0(
20
)(
20
)15.0(
lim)(lim
0
0
0
0
?
?
????
?
??
??
??
?
jj
jG
KKK
ss
K
sssGK
V
ss
V
?
?
)(?L db
0 1.0 1 2 10 100
decdb /20?
decdb /40?
c?
40
20
20?
(2) 分析当 K=20时,原系统是否满足动态要求,
由上计算可知,原系统当 K=20时,闭环虽稳定,但相角裕量仅为
18度,将会有较大的超调,不满足相角裕量大于等于 50度的动态
要求,可采用串联超前网络给以校正,
(3)设计网络参数超前网络的传递函数为,
3.6402
2
lg20
2
lg402lglg20
20
1lg2lg
)1()2(
40
2lglg
)2(0
2
????????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
KK
LL
L
C
cCC
?
???
?
??????? 50187290)3.65.0(90180)(180 1 ?????????? ?
gC t???
1
11)(
?
??
Ts
TssG
C
?
?
由于超前网络的放大倍数为 11 ?
?
,串接超前网络后将使系统的稳
态误差系数降低,故需再串接一放大倍数为 ? 的放大器,
串接一放大倍数为 的放大器后的超前网络的传递函数为, ?
)1(1 1)( ??? TsTssG C ?
由于要求 ?50??,所以超前网络的最大领先相角为,
???? 3751850 ????m?
由于原系统经超前网络的串联校正后,开环 对数 幅 频 特性曲线的
幅值穿越频率比原系统的要大,使原系统的相角裕量更小,所以
超前网络的最大领先相角需适当增大,在此增大 5度, 由
m?
对应的
m?
就是校正后系统的幅值穿越频率,据此计算
6 0 2.037s in11s in ????? ???? m,得 025.4??,由于希望
m?
进而计算 T,因为
式 (1)在
Tm ?
? 1?
处的近似 对数 幅值为 db05.64lg10lg10 ???
而在系统原幅 频 特性上 -6db处的频率可如下计算,
92.8
40
05.6lg3.640
lglg
05.6 1 ?????
?
? ??
?? C
?
校正后系统的幅值穿越频率 由此可得, 92.8' ??
mC ??
1056.0
12254.0
1
1
)(
056.0
92.8025.4
11
?
?
?
?
?
?
?
?
??
s
s
T
T
sG
T
C
m
?
??
校正后系统的开环 对数 幅 频 特性曲线见下图,
?
)(?L db
0 1.0 1 2 10 100
decdb /20?
decdb /40?
c?
40
20
20? 'C?
86.17
44.4
decdb /40?
decdb /20?
decdb /40?
)(' ?L
)(?L
)(?CL
(4) 校核校正后系统的相角裕量
校正后系统的传递函数为,
因为
)15.0)(10 5 6.0(
)12 2 5 4.0(20
)(
??
?
?
sss
s
sG
?
??
?
50
)92.85.0()92.8056.0(90)92.82 2 5 4.0(180
)'('180'
111
?
????????
??
???
ggg
C
ttt
???
符合设计要求, 关于采用串联超前校正装置的注意事项请参阅教
材 P.239中有关内容,
2,串联滞后校正
例 2 设单位负反馈系统的开环传递函数为,
)11.0)(15.0(
1)(
0 ??? ssssG
要求保持原系统动态性能不变前提下,使其速度误差系数 KV =10,
解, (1) 画原系统开环 对数 幅 频 特性曲线
若单纯提高原系统开环放大倍数至 10,以满足速度误差系数
开环 对数 幅 频 特性曲线由上图中的红线所示,
)11.0)(15.0(
10)('
??? ssssG o
KV =10的要求,则开环传递函数为,
?
)(?L db
0 01.0 1.0 21 10
c?
40
20
20?
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
60
)(0 ?L
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
'C?
)('0 ?L
由上图两条折线对比可见,红线满足速度误差系数要求,但其
大于
'C?
C?
,不满足动态性能的要求, 显见,单纯靠提高原系统的开
环放大倍数已不能同时兼顾动静两方面的要求,需另加校正装置,
所加校正装置应不改变原开环 对数 幅 频 特性曲线在穿越零分贝线
附近直至高频段的形状,以保持原系统的动态性能,而应使原系
统的低频段抬高,以满足速度误差系数的要求, 因此可采用滞后
校正网络,
(2) 确定滞后校正网络参数 滞后校正网络的传递函数为,
11 1)( ???? bTsb T ssG C
滞后网络参数的选择应使其相角滞后特性尽可能小地减少原系统
的相角裕量,为此应使滞后网络分子的转折频率远小于原系统的
1?C?,现选 10,1.0,100 ??? bTbT
,则滞后网络分子的转折频
率为 0.1,是原系统
C?
的十分之一, 滞后网络的传递函数为,
11 0 0
110)(
?
??
s
ssG
C
校正后系统的开环传递函数为,
其 对数 幅 频 特性曲线
)11.0)(15.0(
10
11 0 0
110)(''
???
??
ssss
ssG
o
)('' ?oL 见下图,
?
)(?L db
0 01.0 1.0 21 10
c?
40
20
20?
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
60
)(0 ?L
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
'C?
)('0 ?L
decdb /40?
decdb /20?
)(''0 ?L
decdb /20?
decdb /40?
decdb /60?
(3) 校核滞后校正网络对原系统相
角裕量的影响,
计算滞后网络在原系统 处的滞后相角, 1?
C?
?? 14.51 0 010)1(1 0 010)( 1111 ??????? ????
ggCCgCgCC tttt ?????
基本符合要求, 滞后校正的注意事项可参阅教材 P.241有关内容,
3,滞后 — 超前校正
滞后 — 超前校正的设计思想与步骤和单独滞后校正或单独
领先校正的设计思想是基本一致的, 具体例子请看教材 P.242例
6-5,
课外习题, P.265第 6-1题,第 6-3题,第 6-4题,第 6-5题 (2)
6-4 输出反馈系统的并联校正和复合校正
1,并联校正的原理和特点
设系统框图如下,
)(sR )(sY)(1 sG )(2 sG
)(sGC
)(1 sR
上图所示系统的开环传递函数为,
如在对系统的动态性能起主要影响的频率范围内,有,
)1(
)()(1
)()()(
2
21
0 sGsG
sGsGsG
C?
?
1)()(2 ???? jGjG C,则式 (1)可表为, )()()( 10 sGsGsG C?,说明校正后系
统在此频率范围内的性能几乎与 )(
2 sG
无关, 当 1)()(
2 ???? jGjG C
时 )()()(
210 sGsGsG ?
校正后系统与校正前系统的特性几乎一致,在
工程的初步设计中,往往令 1)()(
2 ???? jGjG C
作为近似条件,
并联校正有如下特点,
(1) 削弱被包围环节的非线性影响 ;
(2) 减小被包围环节的传递系数和时间常数,这是并联校正
hC KsGsTKsG ??? )(,1)( 222
的重要特点,说明如下, 设 为位置反馈
1
1
1
1)(
)(
2
22
2
1 ?
?
?
?
h
h
KK
TKK
K
sR
sY
则可见,其传递系数和时间常数均为
原来的 )1(
2 hKK? 分之一,传递系数的
减小可由系统其它环节补偿而不影响
校正后系统的稳态精度,而时间常数的减小使被包围环节的惯性
变小,反应灵敏,有利于动态性能的改善,
(3) 降低被包围环节对参数变化的敏感性 ;
设
2K
产生一个小偏差
2K?,则 2K
变为
22 KK ??
,其相对增量为,
22 KK?
,采用位置反馈后,变化前的传递系数为
hKKKK 22'2 1 ??
变化后的增量
2
2
2
2
2
'
2'
2 )1(
hKK
KK
K
KK
?
???
?
???,其相对增量为,
2
2
2
'
2
'
2
1
1
K
K
KKK
K
h
?
?
??
2,复合控制
工程实际中的系统往往受各种干扰的影响,当控制系统对在
干扰影响的动静态性能提出很高要求时,单纯用反馈控制一般难
以满足要求,此时可考虑采用复合控制的手段, 下面简要介绍针
对干扰作用下的复合控制的方法和特点,
具体内容可参阅教材 P.251~P.258有关
部分内容,
设系统受干扰时的框图如下,
干扰信号 D(s)直接作用在被控对象
)(sR )(sY)(sGC )(sGp
)(sD
)(sE
)(sGd
)(sGp 上而影响系统的输出 Y (s),
由于反馈控制的固有特点,使系统不能及时有效的克服干扰的影
响, 改进的方法之一是将 D(s)测量出来,通过前馈控制器 )(sG
d
前馈到系统的输入端,如上图所示,从而构成前馈 --反馈复合控
制系统, 设 R (s)=0,则,
? ?
)()(1
)(1)()(
)(
)(
sGsG
sGsGsG
sD
sY
pC
pCd
?
??
根据不变性原理,即 0)(,0)( ?? sYsD 得,
)(1)(,01)()( sGsGsGsG CdCd ???
由上式可见,从理论上讲,只要满足 )(1)( sGsG
Cd ?
,D(s)对系统
就无任何影响, 但在工程上具体实现时,尚受种种条件的限制,
具体内容可参阅教材 P.258~P.265有关部分内容,
补充, 输出反馈系统的根轨迹法校正
当用时域指标如最大百分比超调量 ﹑ 调整时间或阻尼系数 ﹑
自然振荡角频率等对闭环系统提出性能要求时,常采用根轨迹法
对原系统进行校正, 这是因为不同的 时域指标反映了 闭环极点在
s平面上的不同位置,如对于典型的二阶系统 (即不带零点 ),其一
对共轭复数极点可表为,
dnn jjs ?????? ???????
21
一般,由最大百分比超调量
,则 二阶系统 的极点应在 s平面上的
???? 100
21 ?? ?? ?
??
? e 先确定 ? 值,然后
由 调整时间
n
st ??
4? 确定
n?
区域可用下图表示,
?j
?
??? st
n??? ???
?? 1c os ??
0
A
B
C
D
凡是极点在折线 ABCD右则的 二阶系统其 最大百分比超调
量 ﹑ 调整时间都小于规定的指标, 对于高阶系统,其闭环极点
个数大于二个,这时总以最靠近虚轴而附近又没有其它闭环零
极点的一对共轭复数极点作为主导极点作为设计的依据,
下面通过例子说明用根轨迹法校正系统的步骤,
5.3.1 串联超前校正
例, 单位负反馈系统的开环传递函数为
)2(
4)(
0 ?? sssG
,如要系
统的 阻尼系数等于 0.5,自然振荡角频率等于 4,稳态误差
不大于原系统,试设计校正装置,
解, (1) 原系统的根轨迹如下图,
2,5.0,31 ????? njs ??,而要求系统的期望极点为,
4,5.0,3222,1 ????? njs ??
显然,原系统的根轨迹应向左弯
曲,选择相位超前阻容网络,
(2) 计算需超前的相位值
K0’=4时,原系统的极点为,
))(2(
)(
)()()(
1
1
)(
'
0
c
cC
C
c
c
C
psss
zsK
sGsGsG
ps
zs
T
s
T
s
sG
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?0 -2
jω
σ -1
3j
3j?
由于校正后的期望闭环极点一定在校正后系统的根轨迹上,故其
必定满足相角条件,即,
?1 8 02
1111 ??????? cc pssszs
超前相角为,
????? 303 9 02 1 01 8 023223221 8 011 ??????????????? jjzszs cc
(3) 用图解法确定超前校 正装置的参数,
在 s平面上画出 系统的期望极点位置,如下图 P点,由 P点作条水平
p
2?
32
o
?j
?
线 AP,
A
再将 P点与 O点相连,然后作角 OPA
的角平分线 PB,
B
最后在 PB左右两侧各依 15度
角画两条射线分别交于负实轴,量出两交点
在负实轴上的位置分别为 -3和 -5.5,即,
3?5.5?
84.1,18.0,5.51,31 ???? ?? TTT,从而 5.5 3)( ??? s ssG C
校正后系统的开环传递函数为,
)2)(5.5(
)3(4)()()( '
0 ??
???
sss
sKsGsGsG C
C
(4) 画校正后系统的根轨迹图,
(5) 计算校正装置的根迹增益 KC’
0 -2
jω
σ
-3 -5.5 -1.15
-2.25
32j
32j?
73.4
33224
23225.5322322
1
25.5
34 '
111
1
'
?
???
????????
???
??
?
j
jjj
K
sss
sK
C
C?
(6)校核 由于设计已满足动态要求,故只校核 是否满足原系
22416.525.5 373.44 0 ????? ??? KK统对稳态误差的要求, 因为,,所以满足, 但
超前校正装置还需串接放大倍数为 4.73的放大器,
5.3.2 串联滞后校正
当原系统根轨迹上某一主导复数极点能满足动态性能指表
的要求,但该点对应的开环放大倍数不能满足稳态误差的要求
时,一般采用串联滞后校正, 下面通过例子说明串联滞后校正
的步骤,
例, 设单位负反馈系统的开环传递函数为,
)5)(1()(
'
0
0 ??? sss
KsG
要求系统在阶跃输入下的最大百分比超调量
0000 20??
调整时间 st
s 15?
,而在单位斜坡输入时的稳态误差
0015?sse,试设计校正装置,
解, (1) 分析原系统是否满足指标要求,
?
?
63c o s45.0
2.0
1
1/ 2
????
??
?
??
???
? ???e
原系统的根轨迹图如下,
由图求 S1值,因
0
jω
σ
-1 -5 -0.47
1s
?63??
???? 96.1631 jjts g ?????? ?,代入特征方程
056 '023 ???? Ksss 得,
8.041.0
2.4
41.0
08.952.2365.1
0504.1752.10
0)96.1(5)96.1(6)96.1(
2,1
'
0
23
'
0
23
'
0
23
js
K
K
Kjjj
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
??????????
?
???
???
???????
原系统的调整时间 ssot
s 151041./4/4 ???? ?
,速度误差系数
84.05 2.45)(lim
'
0
00 ???? ?
KssGK
sV
,速度误差
0000 1512084.0
11 ????
V
ss Ke
由上分析可知,当原系统的开环放大倍数为 0.84时,虽动态能
满足要求,但稳态误差不满足要求, 若提高开环放大倍数至稳态
误差满足要求,则动态不满足要求,即仅靠调整系统本身的参数
已无法兼顾,
(2) 设计滞后校正网络 其传递函数为,
T
s
bT
s
bKsG
CC 1
1
)(
?
?
?
其中 KC是串接的放大器增益,目的为提高系统的开环放大倍数,滞
后网络将使原根轨迹向右弯曲,为使弯曲程度尽可能小,而不太多
地影响原系统的动态性能,选校正网络的零点到虚轴的距离为原
闭环主导复数极点到虚轴距离的 1/5~1/10,取 08.01 ?
bT
,一般取 1.0?b
则校正网络的极点 008.01 ?
T
,它俩很靠近原点,但相互间距原点
距离有十倍,即校正后的开环放大倍数可为原来的十倍,
校正后系统的开环传递函数为,
其根轨迹图如下,
)5)(1)(008.0(
)08.0(
)5)(1(008.0
08.0
)()()(
''
'
0
0
'
0
???
?
?
???
?
??
ssss
sK
sss
K
s
s
bKsGsGsG
CC
-1 -5 0
jω
σ -0.08
-0.008
按第 (1)步的计算方法
45.0?? 时,校正后闭环系统的主导复数
极点 475.037.0 '''
2,1 ???? Kjs
(3)校核 校正后系统的速度误差系数
85405008.0 08.0)(lim
''
'
00
' ????
?
KssGK
sV
校正后系统的稳态误差
0000' 155.128
11 ????
V
ss Ke
,串接的放大器增益为,
5.92.4/40/10 '0'' ??? KKK C
由于校正后闭环系统的主导复数极点是由
百分比超调量满足要求,校正后闭环系统的主导复数极点实部绝
对值为 0.37,故
45.0?? 而得,所以最大
sst s 158.10
37.0
4 ???
有关用根轨迹法设计系统的其它内容在此不作深入讨论,可
参阅其它参考书上中有关内容,
