第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型
1,对控制系统的要求
对控制系统的要求最基本的是对系统的输出 c(t)在时间域中
的变化情况而提出, 最简单的理想情况如下图所示,既当系统被
)(tc )(tr
t
0
)(tc
)(tr
)(tr输入一个 信号后,系统输出 )(tc 立即以
一定的比例关系变化, 但由于实际系统具有
质量,惯性或延迟性及其它原因,系统的
实际输出往往为如下三种图形中的一种,
)(tc
)(tc )(tr
t
0
)(tr
)(1 tc
)(a
)(tc )(tr
t
0
)(tr
)(1 tc
)(b
)(tc
)(tc )(tr
t
0
)(tr
)(1 tc
)(c
)(tc
前一屏的 (a)(b)(c)三图中,为在 )(
1 tc )(tr
输入信号下的理想输
出,)(tc 为实际输出, (a)图的 实际输出是衰减振荡的,(b)图的
实际输出是等幅振荡的,(c)图的 实际输出是发散振荡的,
由上面分析可知,对控制系统的性能要求一般可归结为,
(1) 稳定,并有一定的裕量 ;
(2) 符合要求的瞬态响应,即系统的瞬态质量,也叫系统的过渡
过程性能 ;
(3) 符合要求的控制精度,即对系统的稳态误差的要求,
因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性,
瞬态性能和稳态误差,或根据用户提出的稳定性,瞬态性能和
稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统,如下图所
示, 控
制
系
统
稳定性
瞬态性能
稳态误差
分析
设计 (综合 )
对于 分析或设计一个控制系统,不能只满足于定性的分析或
设计,而往往要求进行定量的分析或设计,为此第一步的工
作就需求出系统中各个环节的数学模型,进而获得系统的数
学模型,
2,系统的数学模型
控制系统的数学模型,是描述系统内部各物理量 (或变
量 )之间关系的数学表达式,时域中数学模型的基本形式是微
分方程,而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为
常系数线性微分方程,其一般形式可表为,
)()()()(
)()()()(
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
trbtrbtrbtrb
tcatcatcatca
mm
mm
nn
nn
????
???
?
?
?
?
?
?
下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和
方法及步骤,
例 1,直流电动机的数学模型
直流电动机是在控制系统中常用的一种装置,其示意
图如下所示,
co n stI f ?
)(tua
?
?
)(tEa
aR
aL
)(tia
)()( tort m??
直流电动机
)(tua
)(tM C
)(t?
)(tm?
(1) 确定直流电动机的输入量和输出量
上图表明,直流电动机的激磁电流
c o n stI f ?
,从而
磁场恒定不变, 电机的转速与电枢电压 )(tu
a
大小有关,
与负载力矩 )(tM
C
的大小有关, 因此输入量有两个,一个
是电枢电压 )(tu
a
,另一个是负载力矩 )(tM
C
输出量一个,即转速 或角位移 )(t
m? )(t?
(2) 列写原始方程式
将电动机分解成二个更简单的部分,一个是电枢回路部
分,另一个是机械转动部分, 由基尔霍夫定律,电枢回路部
分原始方程为,
)1()()()()( tutEtiRdt tdiL aaaaaa ???
式 (1)中,)(tE
a
是当电枢旋转时产生的一个与 )(tu
a
方向相反的
感应电势, 根据力矩平衡原理,机械转动部分的运动方程为
)2()()()()( tMtMtfdt tdJ Cmmmmm ??? ??
式 (2)中,)(tM
m
是电枢电流产生的电磁转矩,
mJ
是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转
动惯量,
mf
是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘
性摩擦系数,
(3) 消去中间变量
从式 (1)和式 (2)中可见,)(),(),( tMtEti
maa
是中间变量,要
消去它们,就要找出中间变量与其它因素间的关系, 感应
电势 )(tE
a
正比于转速 )(t
m?
和激磁电流
fI
产生的磁通量
由于激磁电流是恒定的,所以磁通量也恒定,感应电势仅取
决于转速,并可表示为,
)3()()( tCtE mea ??
式 (3)中,
eC
为反电势系数,
电动机产生的电磁转矩
)(tM m 是激磁磁通和电枢电流
)(tia 的正比函数,由于激磁磁通恒定,故 )(tM
m
可表为,
)4()()( tiCtM amm ?
式 (4)中,
mC
为电动机转矩系数,
将式 (1),(2),(3),(4)联立得,
消去中间变量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
)4()()(
)3()()(
)2()()()(
)(
)1()()()(
)(
tiCtM
tCtE
tMtMtf
dt
td
J
tutEtiR
dt
tdi
L
amm
mea
Cmmm
m
m
aaaa
a
a
?
?
?
)(),(),( tMtEti maa 得电动机输入输出方程为,
)5()(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
2
2
tMR
dt
tdM
LtuC
tCCfR
dt
td
JRfL
dt
td
JL
Ca
C
aam
memma
m
mama
m
ma
???
???? ?
??
如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油,则粘
性摩擦系数
mf
可忽略不计,如果电动机输出轴不带负载,即
0)( ?tM C
则式 (5)可简化为,
若令,
)6()()()()(2
2
tuCtCCdt tdJRdt tdJL ammemmmamma ??? ???
em
ma
m CC
JRT ? 为机电时间常数,
a
a
a R
LT ? 为电枢回路时间常数
则式 (6)可写为, )7()(1)()()(
2
2
tu
C
t
dt
tdT
dt
tdTT
a
e
m
m
m
m
ma ??? ?
??
有式 (7)可知,当电动机的转速稳定后,)(t
m?
不再变化,则
0)()(2
2
?? dt tddt td mm ??,从而 )8()(1)( tu
C
t a
e
m ??
,式 (8)中
eC
1
是电动机的传递系数, 由于电动机中的电枢回路有一个储能
元件
aL
,并且转动部分有惯性,故描写电动机的微分方程式 (7)
的左端必为二阶微分,且有二个时间常数,
如果电动机电枢回路中的电感很小,即电枢回路时间常数
aT
很小可忽略不计,
则式 (7)可简化为,
二阶微分方程简化为一阶微分方程,给数学处理带来很大
的方便,近一步,如电动机为小型电动机,其转动部分的
)9()(1)()( tu
C
t
dt
tdT
a
e
m
m
m ?? ?
?
转动惯量
mJ
很小,从而机电时间常数
mT
很小可忽略不计,则
式 (9)可近一步简化为 )(1)( tu
C
t a
e
m ??
即式 (8),成为代数方程
例 2,电动机转速控制系统的数学模型
测速发电机
直流电动机
激磁回路
co n stI f ?激磁电流
au
电枢电压 运算器
?V
rV
eu
(1) 确定各环节的输入输出方程
运算器, 如采用的运算器仅起比例放大作用,放大倍数为
aK
,则 ? ? )10()()()( tutuKtu
eraa ??
测速发电机, 如采用的是小型测速发电机,则其输入输出
方程为, )11()()( tKtu
mTe ??
式 (11)中
TK
为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程
为式 (7),
(2) 消去中间变量
联立式 (7),式 (10),式 (11),消去中间变量 )(),( tutu ea 则系统
的微分方程为,
)12()()()1()()(2
2
tu
C
KtK
dt
tdT
dt
tdTT
r
e
a
m
m
m
m
ma ???? ?
??
式 (12)中
e
Ta
C
KK
K ?
为系统中各环节传递系数的乘积,称
为系统的开环放大倍数,
2-2 控制系统的复数域数学模型
由 2-1节的叙述可知,对于线性定常连续系统来说,描
述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程,其一
般形式为,
)()()()(
)()()()(
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
trbtrbtrbtrb
tcatcatcatca
mm
mm
nn
nn
????
???
?
?
?
?
?
?
但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量,微分方程虽
是基本的数学模型,却并不是一个使用起来最方便的数学
模型, 因为从微分方程出发分析系统的性能,就必须求出
微分方程的解 )(tc,而对于阶数大于 2的微分方程来说,求
解并非易事, 其次,当系统参数变化后对系统性能的影响
也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来,这就对
分析系统尤其是综合系统带来很大的困难,
对于解高阶微分方程的困难,可用拉氏变换,将微积
分运算转换为代数运算,求出微分方程的解,
从而人们设想,能否利用拉氏变换这一工具,不解
微分方程,就能知道系统的性能,甚至当系统参数变化
后,也能方便地看出它对系统性能的影响呢? 这就引出
了传递函数概念, 传递函数在古典自控理论中是一个很
重要的函数,古典自控理论的两大分支,根轨迹法和频
率法,就是在传递函数的基础上建立起来的,
1,传递函数的定义和性质
例, 一 RC电路如下图所示,设在开关 K闭合的瞬间时刻
R
C
K
ru Cu
作为计时起点,即 t=0,且此
时电容两端的电压为 )0(
Cu
开关 K闭合后不再打开,则
在 RC电路输入端加了一恒定的电压,其幅值为
ru
RC电路的微分方程为,
令
)13()()()( tutudt tduRC rCC ??
RCT ? 为 RC电路的时间常数,则式 (13)为,
)14()()()( tutudt tduT rCC ??
对式 (14)两边进行拉氏变换,得,
)15()()()0()( sUsUTUsT sU rCCC ???
式 (15)中 ? ? ? ?)()(,)()( tuLsUtuLsU
rrCC ??
,而
)16()0(1)(11)( CrC UTs TsUTssU ????
因为 )(tu
r
是幅值为
ru
的阶跃电压,故
s
usU r
r ?)(
代入式 (16),得,
)17()0(1)1()( CrC UTs TTss usU ????
对式 (17)两边进行拉氏反变换,得,
上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压
)18()0()1()( T
t
C
T
t
rC eueutu
?? ???
0)0( ?Cu
由输入电压 )(tu
r
激励下的输出分量,也叫零初始条件响应,
第二项是由初始条件 )0(
Cu 激励下的输出分量,也叫零输入
响应, 如令 0)0( ?Cu,即初始条件为零,则式 (16)为
)(
1
1
)(
)(
)19()(
1
1
)(
sG
TssU
sU
sU
Ts
sU
r
C
rC
?
?
?
?
?
把 )(sG 叫所举例中 RC电路的传递函数,从而 RC电路可
用下面方块图表示,
)(sG)(sU r )(sU C
由上例,可得系统 (或环节 )的传递函数的如下定义,
设单输入 -单输出线性定常连续系统的微分方程为,
)()()()(
)()()()(
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
trbtrbtrbtrb
tcatcatcatca
mm
mm
nn
nn
????
???
?
?
?
?
?
?
当初始条件为零时,系统输出量的拉氏变换表达式与系统
输入量的拉氏变换表达式之比,称为该系统的传递函数,
其一般表达式为,
)20(
)(
)(
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
sN
sM
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
nn
nn
mm
mm
?
????
??????
?
?
?
?
?
?
下面给出传递函数的若干性质,
1) 传递函数是两个复变量 s的有理多项式之比,且 m<=n
即传递函数是复变量 s的有理真分式函数,具有复变函
数的所有性质, 两个多项式中的所有系数均为实数,
2) 传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数,而与
系统或环节的输入信号的形式和大小无关,
3) 传递函数的分母 称为
nnnn asasasasN ????? ?? 1110)( ?
系统的特征多项式,如令分母 0
1110 ????? ?? nnnn asasasa ?
则叫系统的特征方程,特征方程的根叫系统的极点,也
叫传递函数的极点,n叫系统的阶数,如令传递函数的分子
0)( 1110 ?????? ?? mmmm bsbsbsbsM ?
求得的根叫系统的零点,也叫传递函数的零点, 从而
?
?
?
??
?
?
?
???
???
??
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sN
sM
sG
1
1
210
210
)(
)(
)())((
)())((
)(
)(
)(
?
?
上式中传递函数的零点为 ),2,1( miz
i ??,传递函数的极点为
),2,1( njp j ??,而
0
0
a
bK ?? 称为传递函数的根轨迹增益, 当
s=0时,
?
?
?
??
?
?
??
n
j
j
m
i
i
n
m
p
z
K
a
b
G
1
1
)(
)(
)0( 称为传递函数的传递系数,
系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输出的影响
请参见教材 P.33-P.34有关内容,
4) 传递函数本身的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应
(或叫单位脉冲过渡函数 )g(t),因为,
? ?
? ? ? ? ? ?)()()()()(
1)()()()(
111 sGLsRsGLsCLtg
tLsRttr
??? ????
???? ??
关于传递函数定义中的零初始条件作些说明, 将输入信号
作用于系统的瞬间时刻 t作为时间的起点,即 t=0,则不管输
入信号在 t<0期间是否客观存在,对于系统来说,输入信号
及其各阶导数均为零,可用数学语言表述为,
0)0()0()0()0( )()1()1( ????? ? mm rrrr ?
而对于系统本身来来讲,在 t<0期间系统处于稳定的工作状
态,且其稳定的工作状态为零状态,即,
0)0()0()0()0( )()1()1( ????? ? nn cccc ?
在上述意义下,认为系统满足零初始条件,
2,典型环节的传递函数
一个自动控制系统,不管其多么复杂,总是由若干个
元件按不同的方式根据一定的目的组合而成, 从结构和作
用原理角度来看元件,可以有各种各样不同的元件,如机
械式,电气式,液压式,气动式等等, 但从描述各种元件
的行为特征的数学模型来看元件,不管元件的结构和作用
原理如何千差万别,其数学模型却有可能完全一样, 因此
从元件的数学模型来划分元件的种类,只有几种最基本的
元件或称为典型环节, 复杂一些的元件,其数学模型可以
是几个典型环节的数学模型组合, 而一个复杂的系统的数
学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成, 因此
从分析和综合系统的角度来看,按数学模型来划分环节,
更能抓住事物的本质,
在介绍典型环节的传递函数前,先补充算子阻抗法,
补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型环节的物
理原型的传递函数,
设电阻 R的输入信号是流过电阻的电流,输出信号是
电阻两端的电压,如下图所示,
R
)(ti
)(tu则
)()( tRitu ? 对其两边进行拉氏变换,得, )()( sRIsU ?
从而
)21(
)(
)( R
sI
sU ?,称 R为电阻的算子阻抗,
设电容 C的输入信号是流过电容的电流,输出信号是
C
)(ti
)(tu
电容两端的电压,如下图所示,则 ?? t dtti
Ctu 0 )(
1)(
设初始条件为零,对上式两边进行拉氏变
换,得, )22(1
)(
)(
CssI
sU ?
称 为电容的算子阻抗,
Cs
1
设电感 L的输入信号是流过电感的电流,输出信号是
电感两端的电压,如下图所示,则
L
)(ti
)(tu
dt
tdiLtu )()( ?
设初始条件为零,对上式两边进行
)23(
)(
)( Ls
sI
sU ?拉氏变换,得,
称 Ls为电感的算子阻抗, 由式 (21),(22),(23)可见 Ls
CsR,
1,
都具有电阻的性质,从而电路中电容和电感串联或并联连
接时,就与电阻的串联或并联的运算方法一样,
1) 比例环节
fR
)(tui
iR
)(tuo
当右下图中的运放为理想运放
时
KK
R
R
sU
sUsG
i
f
i
o ?????? '
)(
)()(
当输入电压 时,比例环节输入和输出的波形如 )(1)( ttu
i ??
右图所示, )(tu
'K
1?
0
)(tuo
)(tui
t
一般情况下,比例环节
的传递函数为,
)24(
)(
)()( K
sR
sCsG ??
式 (24)中 K可大于零也可小于零,
2) 惯性环节 (非周期环节 )
右图所示电路即为惯性环节 fR)(tu
i
iR
)(tuo
fC
11)(
)(
)(
,
1
//
1
'
?
??
?
??????
?
?
??
Ts
K
sCR
R
R
Z
Z
sU
sU
sG
RZ
sCR
R
R
sC
Z
ff
i
f
i
f
i
o
ii
ff
f
f
f
f
?
一般情况下,惯性环节的传递函数为,
当输入信号
)25(
1)(
)()(
?
??
Ts
K
sR
sCsG
)(1)( ttr ? 时,惯性环节输出的时间表达式为
)1(
1
1
1
)(
11 T
t
eK
T
s
K
s
K
L
sTs
K
Ltc
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
其图形如下图所示,
)(tc
0 t
K )(?c
KeKtcc T
t
tt
????? ?
????
)1(lim)(lim)(
惯性环节传递系数 K的物理含意是输出
稳态值与输入稳态之比,此结论具有普
遍性, 惯性环节单位阶跃响应的变化速
度为, ? ? TtTt
e
T
K
dt
eKdtc //1()( ??? ???
上式表明,在 t=0时刻,惯性环节单位阶跃响应的变化速度
,如输出保持 t=0时刻的速度不变,则达到其稳
T
Kc ?? )0(
态值 K所需的时间即为惯性环节的时间常数 T,如下图所示
)(tc
0 t
K )(?c
T
惯性环节的时间常数 T,也可由另一方法
求出,令 t= T,即惯性环节单位阶跃响
应曲线在时刻 T的值为,
0
0
1
2.63)()1(
)1()()(
?????
???
?
?
?
?
ceK
eKtcTc
Tt
T
t
Tt
如上图所示,
3) 积分 环节 (a)理想积分 环节 其物理模型如下图所示,
002.63)( ??c
R
)(tui )(tu
o
C
所谓理想积分 环节,是指不仅运放是理想的,而且电路中
积分电容的漏电流为零,即电容的漏阻无穷大,则理想积
分环节的传递函数为,
TsR C sR
Cs
Z
Z
sU
sU
i
f
i
o 11
1
)(
)(
????????
上式中 T=RC为积分时间常数, 当 )(1)( ttu
i ??
时,输出为,
T
t
Ts
L
sTs
Ltu o ??
?
?
??
??
??
?
??
? ??? ??
2
11 111)(
输出曲线如下图所示,
)(tu
1?
0
)(tuo
)(tui
t
?
1
T
图中 Tctg ??,由上式可见,当 t= T
时,输出达到输入的幅值,如右图
所示,所以积分时间常数 T也叫再调
时间, 一般情况下,理想积分环节的
传递函数为,
)26(1
)(
)()(
TssR
sCsG ??
理想积分环节有两个重要的特性介绍如下,
一是饱和特性, 对于理想积分环节,只要输入信号存在,
输出就以 1/T的速度对输入信号积分,理论上讲输出将无
限上升,但实际上由于受到元件能源的限制,输出不可
能无限止增长,具有饱和特性,
二是记忆特性, 若理想积分环节的输入信号为如下图所
)(tr
0
0t
t
1
示的矩形信号,则此信号可分解为两个如下图信号的叠加
?
)(1 tr
0 t
1 ?
0t
)(2 tr
0 t
1
由上图得,
)1(
111
)(
)(1)(1)()()(
00
021
stst
e
s
e
ss
sR
ttttrtrtr
??
????
?????
理想积分环节的输出信号为,
其输出信号曲线如下图,
? ? )(1
)(
)1(
1
)()()(
)1(
1
)()()(
0
0
2
11
2
0
0
tt
T
tt
T
t
e
Ts
LsRsGLtc
e
Ts
sRsGsC
st
st
??
?
??
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
)(1 tc
0 t
Tt/
?
0t
)(2 tc
0 t
Ttttt /)()(1 00 ???
?
)(tc
0 t
0t
Tt /0
可见,当理想积分环节的输入信号在
0t
时刻突然变为零时,
理想积分环节的输出信号并不为零,而是一直保持其在
0t时刻的输出值
Tt /0 不变,即具有记忆特性,
(b)实际积分 环节 其物理模型如下图所示,
上图中,当电容 C具有漏电流时,相当于在电容 C的两端
并联一个漏电阻, 实际上上图即为惯性环节的物理模型,
因此,实际积分 环节的传递函数为,
CR)(tu
i
iR
)(tuo
C
)27(
1)(
)()(
?
??
Ts
K
sR
sCsG
)(tc
0 t
K )(?c
其单位阶跃响应曲线见下图,当惯性环节的时间常数 T较大
时,曲线上升的很慢,如右图红线所示,
从而可将其近似看成具有饱和特性的积分
环节,
4)微分 环节 (a)理想微分环节 其物理模型如下图所示,
当运放是理想运放,且电路中微 分电容的漏电流为零,
即电容的漏阻无穷大,则理想 微 分环节的传递函
)(tui
R
)(tuo
C
TsR C s
Cs
R
Z
Z
sU
sU
i
f
i
o ????????
1)(
)(
上式中 T=RC为微分时间常数, 当
数为,
)(1)( ttu i ?? 时,输出为,
? ? )(1)( 11 tTTL
s
TsLtu o ????
?
?
??
? ??? ??
输出曲线如下图所示,
)(tu
1?
0
T
)(tui
t
输出是一个强度为 T的脉冲函数,在
t= 0时刻输出一下上升到无穷大,瞬间又跌回
到零,既无惯性又在 t= 0时刻变化速度为无穷大
这在实际上是无法实现的, 理想微分环节传递函数的一般
形式为,
)28(
)(
)()( Ts
sR
sCsG ?? 若理想微分环节输入一单
位速度信号,则其输出为, )(1)( 1
2
1 tT
s
TL
sTsLtc ???
?
??
??
??
?
??
?? ??
输入和输出曲线见下图,
)(tc
0 t
t)(tr
T
输出为幅值为 T的阶跃信号,它反
映了输入信号的变化速度,
(b)实际微分环节
在实际系统中,微分环节常带有惯
性,其物理模型如下图所示,
)(tui
fR
)(tuo
iC
iR
实际微分环节的传递函数 为,
111)(
)(
2
1
?
??
?
??
?
????
ST
ST
sCR
sCR
R
sC
R
Z
Z
sU
sU
ii
if
i
i
f
i
f
i
o
上式中,为实际微分环节的两个时间常数
iiif CRTCRT ?? 21,
当 )(1)( ttu
i ??
时,实际微分环节的输出为,
2
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11
1
1
1
1
1
)(
T
t
o
e
T
T
T
s
L
T
T
sT
T
L
ssT
sT
Ltu
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
输入和输出曲线见下图,
)(tu
1?
0
)(tuo
)(tui
t
21 /TT
若减小电容
iC
,则时间常数
2T
变小,曲线见下图绿线,若再减小电容
iC
则时间常数
2T
变得更小,曲线见左图红线,可
见,当
2T
足够小时,实际微分环节
就可近似为理想微分环节,
一般情况下,实际微分环节的传递函数为,
5) 二阶振荡环节 其物理模型如下图 R-L-C电路所示,
)28(
1)(
)()(
2
1
?
??
sT
sT
sR
sCsG
L
)(tui )(tuoC
R
用算子阻抗法,可的其传递函数为,
LC
S
L
R
s
LC
R CsL Cs
Cs
RLs
Cs
sU
sU
i
o
1
1
1
1
1
1
)(
)(
2
2
??
?
??
?
??
?
振荡环节传递函数的一般形式为,
)29(
212
1
)(
)()(
22
2
22
nn
n
sssTsTsR
sCsG
???
?
? ??
?
??
??
式 (29)中,,称为无阻尼自然振荡角频率,
Tn
1?? ? 叫阻尼比
当 10 ?? ? 时,二阶振荡环节 具有一对实部为负的共轭复
数极点,其单位阶跃响应曲线是衰减振荡的,如下图所示,
)(tc
)(tc )(tr
t
0
)(tr
1
将 R-L-C电路的传递函数与式 (29)相比较,可得 R-L-C电路的
2//,/1 LCRLCn ?? ??
6) 延迟环节 其传递函数 )30()( sesG ??? 其单位阶跃
响应曲线见下图,
t
)(tr
1
0
t
)(tc
1
0 ?
课外习题,
P.71第 2-9题,第 2-10题
2-3 控制系统的结构图与信号流图
对于一个简单的元件或系统,若要求取它的传递函
数可先列写出它们的微分方程,然后在零初始条件下,
求出传递函数, 但如果系统较复杂,中间变量较多,则列
写它们的微分方程就很困难,从而求传递函数也就不简
单, 一种简便的方法就是利用结构图或信号流图, 控制
系统的结构图或信号流图都是描述系统各元部件之间信
号传递的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因
果关系以及对各变量所进行的运算, 结构图或信号流图
的本质是代数方程组各变量之间的关系的一种图形表示,
一, 系统结构图的组成
例, 一 RC网络如下图所示,画出它的结构图,
)(tui )(tuo
C
1R
)(ti
)(1 ti
)(2 ti
2R
画结构图的过程为,
1,列写出 S域的代数方程组
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
)4()()()(
)3()(
1
)(
)2()()(
)1()()()(
21
112
20
011
sIsIsI
RsI
Cs
sI
RsIsU
sURsIsU
i
2,由代数方程组画结构图,
)(sUi
)(sUo
1/1 R
)(1 sI
1R Cs
)(2 sI
)(1 sI
)(sI
2R
)(sUo
控制系统的结构图由四种基本单元组成,
(1) 信号线,如下图所示,
)(),( sUtu
信号线是带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁
标记信号的时间函数或时间函数的拉氏变换表达式,
(2) 引出点 (或测量点 ),如下图所示,
)(),( sUtu
)(),( sUtu
引出点表示信号引出或测量的位置,从同一
位置引出的信号在数值和性质上完全相同,
(3) 比较点 (或综合点或加减点 ),如下图所示,
)(),( sUtu
)(),( sRtr
?
)()();()( sRsUtrtu ??
比较点表示两个或两个以
上的信号进行加减运算,“+”
表示相加,“--”表示相减,习惯上,+”可
省略不写, 需指出的是,比较点的输入信号须具有相同的物
理属性和单位,比较点的输出信号只有一个,
(4) 方框 (或环节 ),如下图所示,
箭头指向方框的信号线表示该方框的
输入信号,箭头离开方框的信号线表
示该方框的输出信号,方框中写入元
)(sG
)(tr )(tc
)(sR )(sC
部件或系统的传递函数,且有 )()()( sRsGsC ?
二, 结构图的基本形式和等效变换
从大量的实践中发现,不管系统中各个环节如何错综复杂
地连接,但从分析的角度看,不外乎有下列三种基本形式
(1) 串联连接,如下图所示,
)(1 sG
)(sR )(1 sC
)(2 sG
)(2 sC
)(sGn
)(1 sC n? )(sCn??
其等效传递函数为,
?
?
?
??
??
n
i
in
n
nn
sGsGsGsG
sC
sC
sC
sC
sR
sC
sR
sC
sG
1
21
11
21
)()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
?
?
(2) 并联连接,如下图所示,其等效传递函数为,
(3) 反馈连接,如下图所示,图中,
)(sR
)(1 sG
)(1 sC
)(2 sG
)(2 sC
)(sGn
)(sCn
?
)(sC
?
?
?
)()()(
)(
)()()(
)(
)(
)(
21
21
sGsGsG
sR
sCsCsC
sR
sC
sG
n
n
?????
????
?
?
?
?
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
)(sG 为前向通道传递函
数,)(sH 为反馈通道传递函数
由图可得,
)()()(
)()()(),()()(
sBsRsE
sCsHsBsEsGsC
??
??
消去中间变量 )(sE 和
)(sB 得反馈连接的闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sCs
?
???
如把反馈通道在 A点处断开,如下图所示,得
叫闭环系统的开环传递函数,从
而闭环传递函数可表为,
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
A
)()()(
)(
)( sGsHsG
sR
sB
O??
????
)(1
)(
)(
)()(
sG
sG
sR
sCs
O?
前向通道传递函
开环传递函数 ?1
上面结论具有一般性, 如 1)()( ??sHsG,则
)(
1
)()(1
)()(
sHsHsG
sGs
??
???
上式表明,当系统的开环传递函数大大大于 1时,闭环传递函
数与前向通道传递函无关,仅为反馈通道传递函数的倒数,
这是反馈控制系统的基本优点,
特别的是,如果,则称为单位反馈,此时闭环传递 1)( ?sH
函数为,
)(1
)()(
sG
sGs
???
对于下图所示的同一个系统,不同信号间的传递函数
是不相同的, 对于左图,输出
)(sC 关于
)(sR
输入
的传递函数前已推出为,
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sCs
?
???
但对于 )(sE 关于输入 )(sR 的传递函数可由下图求得为,
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
)(sR )(sE
)(sC
)(sB
?
)(sG)(sH
)()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
er ????
但是,)(s?
和 )( s
er?
的分母即
它们的特征多项式
完全一样,
对于一个闭环控制系统,不管其结构图多么复杂,总可通
过一些等效变换的方法,把它简化成上面三种基本形式,从
而求出它的传递函数, 下面介绍五种常用的等效变换法则,
(1) 信号引出点后移
)(sR
)(sC
)(sG
)(sR
)(sC
)(sR )(sG
)(sR )(
1
sG
(2) 信号引出点前移
)(sR
)(sC
)(sG
)(sC
)(sR
)(sC
)(sG
)(sC
)(sG
(3) 信号比较点后移
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(2 sR
?
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(sG)(2 sR
?
(4) 信号比较点前移
(5) 信号比较点交换或合并
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(2 sR
?
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(2 sR
?
)(
1
sG
)(1 sR
)(sC
)(2 sR
?
?
)(3 sR
)(1 sR
)(sC
)(2 sR
?
?
)(3 sR
)(1 sR
)(sC
)(2 sR
?
?
)(3 sR
教材 P.49~P.50表 2-1给出了结构图等效变换的若干基本法则,
三, 复杂结构图传递函数的求取
例 1,利用结构图等效变换法则求下图的传递函数
解,
)(sR )(1 sG? )(sC)(
2 sG )(3 sG )(4 sG
)(3 sH
)(1 sH
)(2 sH
?
?
)(sR )()( 21 sGsG
?
)(sC
)(3 sG )(4 sG
)()( 34 sHsG
)()()()( 1421 sHsGsGsG
)()( 22 sHsG
?
?
?
)(sR )()( 21 sGsG )(sC)(
3 sG )(4 sG
)()()()()()()()( 34221421 sHsGsHsGsHsGsGsG ??
由上图得
例 2,利用结构图等效变换法则求下图的传递函数
)()()()()()()()()()()(1
)()()()(
)(
)()(
33423214321
4321
sHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsG
sGsGsGsG
sR
sCs
??????
)(sR
)(1 sG
?
)(sC
)(2 sG
)(3 sG
)(4 sG
)(5 sG)(sH
?
?
?
)(sR
)(1 sG
)(sC
)(2 sG
)(3 sG
)(sH
)(5 sG
)(sH
)(4 sG
将上图重新整理成下图,
信号比较点前移
)(sR
)(1 sG
)(sC
)(2 sG
)(3 sG
)(sH
)(5 sG
)(sH
)(4 sG
?
?
)(sR
)()( 31 sGsG
)(sC
)(5 sG
)()(3 sHsG
?
?)()( 42 sGsG
)()(4 sHsG
信号比较点重新组合
由上面简化后的结构图可得其传递函数为,
)(sR
)()( 31 sGsG
)(sC
)(5 sG
)()(3 sHsG
?
?
)()( 42 sGsG )()(4 sHsG
)(sR )()()()( 4231 sGsGsGsG ?
)(sC
)(5 sG
? ? )()()( 43 sHsGsG ?
?
? ?
? ? )()()(1
)()()()()(
)(
)()(
43
54231
sHsGsG
sGsGsGsGsG
sR
sCs
??
????
四, 反馈控制系统的传递函数
例, 设某负反馈控制系统的结构如下图所示,
)(sR
)(sE )(sC
)(sN
?
)(1 sG
)(sH
)(2 sG
求 )(sC 在 )(sR 和
)(sN 同时作用下的表达式及 )(sE 分别
)(sR 的传递函数, 对 和 )(sN
解, 令 0)( ?sN 得
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
21
sHsGsG
sGsG
sR
sCs
CR ????
令 0)( ?sR 上图可等效为下图,
)(sC
)(sN )(2 sG
)(sH?)(1 sG
由上图得,
因此
)()()(1
)(
)(
)()(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sCs
CN ????
)()()(1
)()(
)()()(1
)()()(
)()()()()(
21
2
21
21
sHsGsG
sNsG
sHsGsG
sRsGsG
sNssRssC
CNCR
?
?
?
?
????
求 )(sE 对
)(sR 的传递函数时,令,题中给出的图可 0)( ?sN
等效为下图,
)(sE
)(sR
)(2 sG)(sH )(1 sG
?
则
)()()(1
1
)(
)()(
21 sHsGsGsR
sEs
ER ????
求 对 )(sE
)(sN 的传递函数时,令 0)( ?sR,题中给出的图可
等效为下图,
)(sE
)(sN )(2 sG )(sH
)(1 sG
1?
则
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
2
sHsGsG
sHsG
sN
sEs
EN ?
????
课外习题,
P.71第 2-11题
P.73第 2-17题 (a)﹑ (b)﹑ (c)﹑ (d)﹑ (f),第 2-18题
五, 信号流图及梅逊增益公式
信号流图的本质,是用小圆点和带箭头的直线组成的图型,
来表示一个或一组线性代数方程,然后利用梅逊公式求系统的
传递函数,
例 1 设有一组线性代数方程为,
X2=a12X1+ a32x3
X3=a23X2+ a43X4
X4=a24X2+ a34X3 +a44X4
X5=a25X2 – a45X4
信号流图中的术语
节点, 表示变量或信号的小圆点,方程组中有几个变量,就可
用相应数目的节点,
支路, 连接两个节点的定向线段, 线段上箭头的方向,表示信
号流通的方向, 支路旁标明的数字 ﹑ 字母或表达式称为支路传输
值或称为支路传输增益, 支路上的箭头指向节点,叫该节点的输
入支路,支路上的箭头离开节点,叫该节点的输出支路,
X4
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
注意, (1) 信号在节点上只能相加 ;
(2) 根据线性代数方程组,先确定变量数目,依此排列,然
后画图 ;
(3) 流入节点的信号可以各不相同,但流出节点的信号表
示同一个信号,
输入节点,只有输出支路的节点,叫输入节点,也叫源节点,如 X1,
输出节点,只有输入支路的节点,叫输出节点,也叫汇节点,如 X5,
混合节点,既有输入支路,又有输出支路的节点,叫混合节点,
如 X2,X3,X4,增加一条单位传输支路,可使混合节点变
为输出节点,但不能使其变为输入节点,
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4 1
X2
通道, 凡从某一节点开始,沿支路的箭头方向连续经过一些节
点而终止在另一节点或同一节点的路经,统称为通道,
开通道,如果通道从某一节点开始终止在另一节点上,而且通道
中每个节点只经过一次,该通道叫开通道,
闭通道, 如果通道的终点就是通道的始点,而且通道中每个节点只
经过一次,该通道叫闭通道, 也叫回环,回路, 如 a44,
a34 a43,a23 a32,但 a23 a34a43 a32不是,
前向通道, 在开通道中,从源节点始到汇节点止,并且每个节点只
经过一次的通道, 在确定前向通道时,首先要明确源
节点与汇节点,
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4
不接触回路, 如果一些回路没有任何公共节点,就叫不接触回路,
通道传输 ( 或增益 ),通道中各支路传输 ( 或增益 )的乗积,
回路传输 ( 或增益 ),闭通道中各支路传输 ( 或增益 )的乗积,
梅逊公式
任一信号流图,输入节点与输出节点间的总增益,可用如下
梅逊公式求得,
?
?
?
?
?
n
k
kk
GG
1
1
式中, n是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数,
Gk 是从输入节点到输出节点的第 k条前向通道的总增益,
?? ?? ??????????? mm LLLL )1(1 321
上式 Δ 中, L1是信号流图中每一回路的增益,
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4
上图中有三条前向通道,故 n=3,即 G1= –a12 a23 a34 a45
L2是信号流图中任何两两互不接触回路增益的乗积,
L3是信号流图中任何三三互不接触回路增益的乗积,
Lm是信号流图中任何 m个互不接触回路增益的乗积,
Δ k叫余因子式,是与第 k 条 前向通道不接触部分的
Δ 值,
下面利用 梅逊公式求例 1的信号流图中 X1与 X5之间的增益
G2= –a12 a24 a45,G3= a12 a25
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4
Σ L1=a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32
Σ L2= a23 a32 a44
Δ =1 – Σ L1 + Σ L2
=1 – (a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32) + a23 a32 a44
Δ 1 =1,Δ 2 =1,Δ 3 =1 – a34 a43 – a44
X5与 X1之间的增益 X5/X1为
4432233243244443343223
433444251245241245342312
332211
3
1
1
5
)(1
)1(
)(
11
aaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
GGGG
X
X
G
k
kk
?????
?????
?
?????
?
??
?
?? ?
?
以前,我们已学过动态系统的结构图,那时采用结构图简化法
则将复杂的结构图简化为便于求出系统传递函数的简单的结构
图, 现在,可将结构图转化为信号流图,再用梅逊公式求出系
系统的传递函数,
将结构图转化为信号流图时,应注意以下几点,
(1) 结构图中的输入信号应作为信号流图中的源节点 ;
(2) 结构图中的输出信号应作为信号流图中的汇节点 ;
(3) 结构图中信号加减点的输出应作为信号流图中的一个节点 ;
(4) 结构图中信号取出点应作为信号流图中的一个节点,当结
构图中的输出信号线上也有信号取出点时,汇节点变成混
合节点,此时应将这一混合节点增加一条单位传输支路,
使这一混合节点变为汇节点,
例 2,由给出的结构图绘制成信号流图,并由信号流图用
梅逊增益公式求传递函数,
)(1 sH
)(sR )(1 sG?
)(sC
)(2 sG )(3 sG
)(4 sG
)(2 sH
??
解, 确定节点,
1x 2x
3x
依次画出节点,
)(sR
1x 2x 3x )(sC )(sC1
用支路连接各节点,
)(1 SG )(2 SG )(3 SG
)(1 sH?
1?
)(2 sH?
)(4 sG
1
由信号流图用梅逊增益公式求传递函数,
上图中有两条前向通道,故 n=2,即
)(sR
1x 2x 3x )(sC )(sC1 )(
1 SG )(2 SG )(3 SG
)(1 sH?
1?
)(2 sH?
)(4 sG
1
)()()( 3211 sGsGsGG ?
)()( 412 sGsGG ?
?
?
11
)()()()()(
)()()()()()()()(11
)()()()()(
)()()()()()()()(
21
24232
121413211
24232
121413211
????
??
???????
??
????
?
?
sHsGsHsGsG
SHsGsGsGsGsGsGsGL
sHsGsHsGsG
SHsGsGsGsGsGsGsGL
所以
其它例子请见教材 P.56~P.57
课外习题,
P.73第 2-21题 (a),第 2-22题 (a)﹑ (b)﹑ (d)
)()()()()()()()()()()()()(1
)()()()()(
)(
11
)(
)(
)(
2423212141321
41321
2211
2
1
sHsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsG
sGsGsGsGsG
GGG
sR
sC
s
k
kk
?????
?
?
???
?
??
?
??? ?
?
2-1 控制系统的时域数学模型
1,对控制系统的要求
对控制系统的要求最基本的是对系统的输出 c(t)在时间域中
的变化情况而提出, 最简单的理想情况如下图所示,既当系统被
)(tc )(tr
t
0
)(tc
)(tr
)(tr输入一个 信号后,系统输出 )(tc 立即以
一定的比例关系变化, 但由于实际系统具有
质量,惯性或延迟性及其它原因,系统的
实际输出往往为如下三种图形中的一种,
)(tc
)(tc )(tr
t
0
)(tr
)(1 tc
)(a
)(tc )(tr
t
0
)(tr
)(1 tc
)(b
)(tc
)(tc )(tr
t
0
)(tr
)(1 tc
)(c
)(tc
前一屏的 (a)(b)(c)三图中,为在 )(
1 tc )(tr
输入信号下的理想输
出,)(tc 为实际输出, (a)图的 实际输出是衰减振荡的,(b)图的
实际输出是等幅振荡的,(c)图的 实际输出是发散振荡的,
由上面分析可知,对控制系统的性能要求一般可归结为,
(1) 稳定,并有一定的裕量 ;
(2) 符合要求的瞬态响应,即系统的瞬态质量,也叫系统的过渡
过程性能 ;
(3) 符合要求的控制精度,即对系统的稳态误差的要求,
因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性,
瞬态性能和稳态误差,或根据用户提出的稳定性,瞬态性能和
稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统,如下图所
示, 控
制
系
统
稳定性
瞬态性能
稳态误差
分析
设计 (综合 )
对于 分析或设计一个控制系统,不能只满足于定性的分析或
设计,而往往要求进行定量的分析或设计,为此第一步的工
作就需求出系统中各个环节的数学模型,进而获得系统的数
学模型,
2,系统的数学模型
控制系统的数学模型,是描述系统内部各物理量 (或变
量 )之间关系的数学表达式,时域中数学模型的基本形式是微
分方程,而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为
常系数线性微分方程,其一般形式可表为,
)()()()(
)()()()(
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
trbtrbtrbtrb
tcatcatcatca
mm
mm
nn
nn
????
???
?
?
?
?
?
?
下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和
方法及步骤,
例 1,直流电动机的数学模型
直流电动机是在控制系统中常用的一种装置,其示意
图如下所示,
co n stI f ?
)(tua
?
?
)(tEa
aR
aL
)(tia
)()( tort m??
直流电动机
)(tua
)(tM C
)(t?
)(tm?
(1) 确定直流电动机的输入量和输出量
上图表明,直流电动机的激磁电流
c o n stI f ?
,从而
磁场恒定不变, 电机的转速与电枢电压 )(tu
a
大小有关,
与负载力矩 )(tM
C
的大小有关, 因此输入量有两个,一个
是电枢电压 )(tu
a
,另一个是负载力矩 )(tM
C
输出量一个,即转速 或角位移 )(t
m? )(t?
(2) 列写原始方程式
将电动机分解成二个更简单的部分,一个是电枢回路部
分,另一个是机械转动部分, 由基尔霍夫定律,电枢回路部
分原始方程为,
)1()()()()( tutEtiRdt tdiL aaaaaa ???
式 (1)中,)(tE
a
是当电枢旋转时产生的一个与 )(tu
a
方向相反的
感应电势, 根据力矩平衡原理,机械转动部分的运动方程为
)2()()()()( tMtMtfdt tdJ Cmmmmm ??? ??
式 (2)中,)(tM
m
是电枢电流产生的电磁转矩,
mJ
是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转
动惯量,
mf
是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘
性摩擦系数,
(3) 消去中间变量
从式 (1)和式 (2)中可见,)(),(),( tMtEti
maa
是中间变量,要
消去它们,就要找出中间变量与其它因素间的关系, 感应
电势 )(tE
a
正比于转速 )(t
m?
和激磁电流
fI
产生的磁通量
由于激磁电流是恒定的,所以磁通量也恒定,感应电势仅取
决于转速,并可表示为,
)3()()( tCtE mea ??
式 (3)中,
eC
为反电势系数,
电动机产生的电磁转矩
)(tM m 是激磁磁通和电枢电流
)(tia 的正比函数,由于激磁磁通恒定,故 )(tM
m
可表为,
)4()()( tiCtM amm ?
式 (4)中,
mC
为电动机转矩系数,
将式 (1),(2),(3),(4)联立得,
消去中间变量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
)4()()(
)3()()(
)2()()()(
)(
)1()()()(
)(
tiCtM
tCtE
tMtMtf
dt
td
J
tutEtiR
dt
tdi
L
amm
mea
Cmmm
m
m
aaaa
a
a
?
?
?
)(),(),( tMtEti maa 得电动机输入输出方程为,
)5()(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
2
2
tMR
dt
tdM
LtuC
tCCfR
dt
td
JRfL
dt
td
JL
Ca
C
aam
memma
m
mama
m
ma
???
???? ?
??
如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油,则粘
性摩擦系数
mf
可忽略不计,如果电动机输出轴不带负载,即
0)( ?tM C
则式 (5)可简化为,
若令,
)6()()()()(2
2
tuCtCCdt tdJRdt tdJL ammemmmamma ??? ???
em
ma
m CC
JRT ? 为机电时间常数,
a
a
a R
LT ? 为电枢回路时间常数
则式 (6)可写为, )7()(1)()()(
2
2
tu
C
t
dt
tdT
dt
tdTT
a
e
m
m
m
m
ma ??? ?
??
有式 (7)可知,当电动机的转速稳定后,)(t
m?
不再变化,则
0)()(2
2
?? dt tddt td mm ??,从而 )8()(1)( tu
C
t a
e
m ??
,式 (8)中
eC
1
是电动机的传递系数, 由于电动机中的电枢回路有一个储能
元件
aL
,并且转动部分有惯性,故描写电动机的微分方程式 (7)
的左端必为二阶微分,且有二个时间常数,
如果电动机电枢回路中的电感很小,即电枢回路时间常数
aT
很小可忽略不计,
则式 (7)可简化为,
二阶微分方程简化为一阶微分方程,给数学处理带来很大
的方便,近一步,如电动机为小型电动机,其转动部分的
)9()(1)()( tu
C
t
dt
tdT
a
e
m
m
m ?? ?
?
转动惯量
mJ
很小,从而机电时间常数
mT
很小可忽略不计,则
式 (9)可近一步简化为 )(1)( tu
C
t a
e
m ??
即式 (8),成为代数方程
例 2,电动机转速控制系统的数学模型
测速发电机
直流电动机
激磁回路
co n stI f ?激磁电流
au
电枢电压 运算器
?V
rV
eu
(1) 确定各环节的输入输出方程
运算器, 如采用的运算器仅起比例放大作用,放大倍数为
aK
,则 ? ? )10()()()( tutuKtu
eraa ??
测速发电机, 如采用的是小型测速发电机,则其输入输出
方程为, )11()()( tKtu
mTe ??
式 (11)中
TK
为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程
为式 (7),
(2) 消去中间变量
联立式 (7),式 (10),式 (11),消去中间变量 )(),( tutu ea 则系统
的微分方程为,
)12()()()1()()(2
2
tu
C
KtK
dt
tdT
dt
tdTT
r
e
a
m
m
m
m
ma ???? ?
??
式 (12)中
e
Ta
C
KK
K ?
为系统中各环节传递系数的乘积,称
为系统的开环放大倍数,
2-2 控制系统的复数域数学模型
由 2-1节的叙述可知,对于线性定常连续系统来说,描
述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程,其一
般形式为,
)()()()(
)()()()(
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
trbtrbtrbtrb
tcatcatcatca
mm
mm
nn
nn
????
???
?
?
?
?
?
?
但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量,微分方程虽
是基本的数学模型,却并不是一个使用起来最方便的数学
模型, 因为从微分方程出发分析系统的性能,就必须求出
微分方程的解 )(tc,而对于阶数大于 2的微分方程来说,求
解并非易事, 其次,当系统参数变化后对系统性能的影响
也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来,这就对
分析系统尤其是综合系统带来很大的困难,
对于解高阶微分方程的困难,可用拉氏变换,将微积
分运算转换为代数运算,求出微分方程的解,
从而人们设想,能否利用拉氏变换这一工具,不解
微分方程,就能知道系统的性能,甚至当系统参数变化
后,也能方便地看出它对系统性能的影响呢? 这就引出
了传递函数概念, 传递函数在古典自控理论中是一个很
重要的函数,古典自控理论的两大分支,根轨迹法和频
率法,就是在传递函数的基础上建立起来的,
1,传递函数的定义和性质
例, 一 RC电路如下图所示,设在开关 K闭合的瞬间时刻
R
C
K
ru Cu
作为计时起点,即 t=0,且此
时电容两端的电压为 )0(
Cu
开关 K闭合后不再打开,则
在 RC电路输入端加了一恒定的电压,其幅值为
ru
RC电路的微分方程为,
令
)13()()()( tutudt tduRC rCC ??
RCT ? 为 RC电路的时间常数,则式 (13)为,
)14()()()( tutudt tduT rCC ??
对式 (14)两边进行拉氏变换,得,
)15()()()0()( sUsUTUsT sU rCCC ???
式 (15)中 ? ? ? ?)()(,)()( tuLsUtuLsU
rrCC ??
,而
)16()0(1)(11)( CrC UTs TsUTssU ????
因为 )(tu
r
是幅值为
ru
的阶跃电压,故
s
usU r
r ?)(
代入式 (16),得,
)17()0(1)1()( CrC UTs TTss usU ????
对式 (17)两边进行拉氏反变换,得,
上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压
)18()0()1()( T
t
C
T
t
rC eueutu
?? ???
0)0( ?Cu
由输入电压 )(tu
r
激励下的输出分量,也叫零初始条件响应,
第二项是由初始条件 )0(
Cu 激励下的输出分量,也叫零输入
响应, 如令 0)0( ?Cu,即初始条件为零,则式 (16)为
)(
1
1
)(
)(
)19()(
1
1
)(
sG
TssU
sU
sU
Ts
sU
r
C
rC
?
?
?
?
?
把 )(sG 叫所举例中 RC电路的传递函数,从而 RC电路可
用下面方块图表示,
)(sG)(sU r )(sU C
由上例,可得系统 (或环节 )的传递函数的如下定义,
设单输入 -单输出线性定常连续系统的微分方程为,
)()()()(
)()()()(
)1(
1
)1(
1
)(
0
)1(
1
)1(
1
)(
0
trbtrbtrbtrb
tcatcatcatca
mm
mm
nn
nn
????
???
?
?
?
?
?
?
当初始条件为零时,系统输出量的拉氏变换表达式与系统
输入量的拉氏变换表达式之比,称为该系统的传递函数,
其一般表达式为,
)20(
)(
)(
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
sN
sM
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
nn
nn
mm
mm
?
????
??????
?
?
?
?
?
?
下面给出传递函数的若干性质,
1) 传递函数是两个复变量 s的有理多项式之比,且 m<=n
即传递函数是复变量 s的有理真分式函数,具有复变函
数的所有性质, 两个多项式中的所有系数均为实数,
2) 传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数,而与
系统或环节的输入信号的形式和大小无关,
3) 传递函数的分母 称为
nnnn asasasasN ????? ?? 1110)( ?
系统的特征多项式,如令分母 0
1110 ????? ?? nnnn asasasa ?
则叫系统的特征方程,特征方程的根叫系统的极点,也
叫传递函数的极点,n叫系统的阶数,如令传递函数的分子
0)( 1110 ?????? ?? mmmm bsbsbsbsM ?
求得的根叫系统的零点,也叫传递函数的零点, 从而
?
?
?
??
?
?
?
???
???
??
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sN
sM
sG
1
1
210
210
)(
)(
)())((
)())((
)(
)(
)(
?
?
上式中传递函数的零点为 ),2,1( miz
i ??,传递函数的极点为
),2,1( njp j ??,而
0
0
a
bK ?? 称为传递函数的根轨迹增益, 当
s=0时,
?
?
?
??
?
?
??
n
j
j
m
i
i
n
m
p
z
K
a
b
G
1
1
)(
)(
)0( 称为传递函数的传递系数,
系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输出的影响
请参见教材 P.33-P.34有关内容,
4) 传递函数本身的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应
(或叫单位脉冲过渡函数 )g(t),因为,
? ?
? ? ? ? ? ?)()()()()(
1)()()()(
111 sGLsRsGLsCLtg
tLsRttr
??? ????
???? ??
关于传递函数定义中的零初始条件作些说明, 将输入信号
作用于系统的瞬间时刻 t作为时间的起点,即 t=0,则不管输
入信号在 t<0期间是否客观存在,对于系统来说,输入信号
及其各阶导数均为零,可用数学语言表述为,
0)0()0()0()0( )()1()1( ????? ? mm rrrr ?
而对于系统本身来来讲,在 t<0期间系统处于稳定的工作状
态,且其稳定的工作状态为零状态,即,
0)0()0()0()0( )()1()1( ????? ? nn cccc ?
在上述意义下,认为系统满足零初始条件,
2,典型环节的传递函数
一个自动控制系统,不管其多么复杂,总是由若干个
元件按不同的方式根据一定的目的组合而成, 从结构和作
用原理角度来看元件,可以有各种各样不同的元件,如机
械式,电气式,液压式,气动式等等, 但从描述各种元件
的行为特征的数学模型来看元件,不管元件的结构和作用
原理如何千差万别,其数学模型却有可能完全一样, 因此
从元件的数学模型来划分元件的种类,只有几种最基本的
元件或称为典型环节, 复杂一些的元件,其数学模型可以
是几个典型环节的数学模型组合, 而一个复杂的系统的数
学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成, 因此
从分析和综合系统的角度来看,按数学模型来划分环节,
更能抓住事物的本质,
在介绍典型环节的传递函数前,先补充算子阻抗法,
补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型环节的物
理原型的传递函数,
设电阻 R的输入信号是流过电阻的电流,输出信号是
电阻两端的电压,如下图所示,
R
)(ti
)(tu则
)()( tRitu ? 对其两边进行拉氏变换,得, )()( sRIsU ?
从而
)21(
)(
)( R
sI
sU ?,称 R为电阻的算子阻抗,
设电容 C的输入信号是流过电容的电流,输出信号是
C
)(ti
)(tu
电容两端的电压,如下图所示,则 ?? t dtti
Ctu 0 )(
1)(
设初始条件为零,对上式两边进行拉氏变
换,得, )22(1
)(
)(
CssI
sU ?
称 为电容的算子阻抗,
Cs
1
设电感 L的输入信号是流过电感的电流,输出信号是
电感两端的电压,如下图所示,则
L
)(ti
)(tu
dt
tdiLtu )()( ?
设初始条件为零,对上式两边进行
)23(
)(
)( Ls
sI
sU ?拉氏变换,得,
称 Ls为电感的算子阻抗, 由式 (21),(22),(23)可见 Ls
CsR,
1,
都具有电阻的性质,从而电路中电容和电感串联或并联连
接时,就与电阻的串联或并联的运算方法一样,
1) 比例环节
fR
)(tui
iR
)(tuo
当右下图中的运放为理想运放
时
KK
R
R
sU
sUsG
i
f
i
o ?????? '
)(
)()(
当输入电压 时,比例环节输入和输出的波形如 )(1)( ttu
i ??
右图所示, )(tu
'K
1?
0
)(tuo
)(tui
t
一般情况下,比例环节
的传递函数为,
)24(
)(
)()( K
sR
sCsG ??
式 (24)中 K可大于零也可小于零,
2) 惯性环节 (非周期环节 )
右图所示电路即为惯性环节 fR)(tu
i
iR
)(tuo
fC
11)(
)(
)(
,
1
//
1
'
?
??
?
??????
?
?
??
Ts
K
sCR
R
R
Z
Z
sU
sU
sG
RZ
sCR
R
R
sC
Z
ff
i
f
i
f
i
o
ii
ff
f
f
f
f
?
一般情况下,惯性环节的传递函数为,
当输入信号
)25(
1)(
)()(
?
??
Ts
K
sR
sCsG
)(1)( ttr ? 时,惯性环节输出的时间表达式为
)1(
1
1
1
)(
11 T
t
eK
T
s
K
s
K
L
sTs
K
Ltc
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
其图形如下图所示,
)(tc
0 t
K )(?c
KeKtcc T
t
tt
????? ?
????
)1(lim)(lim)(
惯性环节传递系数 K的物理含意是输出
稳态值与输入稳态之比,此结论具有普
遍性, 惯性环节单位阶跃响应的变化速
度为, ? ? TtTt
e
T
K
dt
eKdtc //1()( ??? ???
上式表明,在 t=0时刻,惯性环节单位阶跃响应的变化速度
,如输出保持 t=0时刻的速度不变,则达到其稳
T
Kc ?? )0(
态值 K所需的时间即为惯性环节的时间常数 T,如下图所示
)(tc
0 t
K )(?c
T
惯性环节的时间常数 T,也可由另一方法
求出,令 t= T,即惯性环节单位阶跃响
应曲线在时刻 T的值为,
0
0
1
2.63)()1(
)1()()(
?????
???
?
?
?
?
ceK
eKtcTc
Tt
T
t
Tt
如上图所示,
3) 积分 环节 (a)理想积分 环节 其物理模型如下图所示,
002.63)( ??c
R
)(tui )(tu
o
C
所谓理想积分 环节,是指不仅运放是理想的,而且电路中
积分电容的漏电流为零,即电容的漏阻无穷大,则理想积
分环节的传递函数为,
TsR C sR
Cs
Z
Z
sU
sU
i
f
i
o 11
1
)(
)(
????????
上式中 T=RC为积分时间常数, 当 )(1)( ttu
i ??
时,输出为,
T
t
Ts
L
sTs
Ltu o ??
?
?
??
??
??
?
??
? ??? ??
2
11 111)(
输出曲线如下图所示,
)(tu
1?
0
)(tuo
)(tui
t
?
1
T
图中 Tctg ??,由上式可见,当 t= T
时,输出达到输入的幅值,如右图
所示,所以积分时间常数 T也叫再调
时间, 一般情况下,理想积分环节的
传递函数为,
)26(1
)(
)()(
TssR
sCsG ??
理想积分环节有两个重要的特性介绍如下,
一是饱和特性, 对于理想积分环节,只要输入信号存在,
输出就以 1/T的速度对输入信号积分,理论上讲输出将无
限上升,但实际上由于受到元件能源的限制,输出不可
能无限止增长,具有饱和特性,
二是记忆特性, 若理想积分环节的输入信号为如下图所
)(tr
0
0t
t
1
示的矩形信号,则此信号可分解为两个如下图信号的叠加
?
)(1 tr
0 t
1 ?
0t
)(2 tr
0 t
1
由上图得,
)1(
111
)(
)(1)(1)()()(
00
021
stst
e
s
e
ss
sR
ttttrtrtr
??
????
?????
理想积分环节的输出信号为,
其输出信号曲线如下图,
? ? )(1
)(
)1(
1
)()()(
)1(
1
)()()(
0
0
2
11
2
0
0
tt
T
tt
T
t
e
Ts
LsRsGLtc
e
Ts
sRsGsC
st
st
??
?
??
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
)(1 tc
0 t
Tt/
?
0t
)(2 tc
0 t
Ttttt /)()(1 00 ???
?
)(tc
0 t
0t
Tt /0
可见,当理想积分环节的输入信号在
0t
时刻突然变为零时,
理想积分环节的输出信号并不为零,而是一直保持其在
0t时刻的输出值
Tt /0 不变,即具有记忆特性,
(b)实际积分 环节 其物理模型如下图所示,
上图中,当电容 C具有漏电流时,相当于在电容 C的两端
并联一个漏电阻, 实际上上图即为惯性环节的物理模型,
因此,实际积分 环节的传递函数为,
CR)(tu
i
iR
)(tuo
C
)27(
1)(
)()(
?
??
Ts
K
sR
sCsG
)(tc
0 t
K )(?c
其单位阶跃响应曲线见下图,当惯性环节的时间常数 T较大
时,曲线上升的很慢,如右图红线所示,
从而可将其近似看成具有饱和特性的积分
环节,
4)微分 环节 (a)理想微分环节 其物理模型如下图所示,
当运放是理想运放,且电路中微 分电容的漏电流为零,
即电容的漏阻无穷大,则理想 微 分环节的传递函
)(tui
R
)(tuo
C
TsR C s
Cs
R
Z
Z
sU
sU
i
f
i
o ????????
1)(
)(
上式中 T=RC为微分时间常数, 当
数为,
)(1)( ttu i ?? 时,输出为,
? ? )(1)( 11 tTTL
s
TsLtu o ????
?
?
??
? ??? ??
输出曲线如下图所示,
)(tu
1?
0
T
)(tui
t
输出是一个强度为 T的脉冲函数,在
t= 0时刻输出一下上升到无穷大,瞬间又跌回
到零,既无惯性又在 t= 0时刻变化速度为无穷大
这在实际上是无法实现的, 理想微分环节传递函数的一般
形式为,
)28(
)(
)()( Ts
sR
sCsG ?? 若理想微分环节输入一单
位速度信号,则其输出为, )(1)( 1
2
1 tT
s
TL
sTsLtc ???
?
??
??
??
?
??
?? ??
输入和输出曲线见下图,
)(tc
0 t
t)(tr
T
输出为幅值为 T的阶跃信号,它反
映了输入信号的变化速度,
(b)实际微分环节
在实际系统中,微分环节常带有惯
性,其物理模型如下图所示,
)(tui
fR
)(tuo
iC
iR
实际微分环节的传递函数 为,
111)(
)(
2
1
?
??
?
??
?
????
ST
ST
sCR
sCR
R
sC
R
Z
Z
sU
sU
ii
if
i
i
f
i
f
i
o
上式中,为实际微分环节的两个时间常数
iiif CRTCRT ?? 21,
当 )(1)( ttu
i ??
时,实际微分环节的输出为,
2
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11
1
1
1
1
1
)(
T
t
o
e
T
T
T
s
L
T
T
sT
T
L
ssT
sT
Ltu
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
输入和输出曲线见下图,
)(tu
1?
0
)(tuo
)(tui
t
21 /TT
若减小电容
iC
,则时间常数
2T
变小,曲线见下图绿线,若再减小电容
iC
则时间常数
2T
变得更小,曲线见左图红线,可
见,当
2T
足够小时,实际微分环节
就可近似为理想微分环节,
一般情况下,实际微分环节的传递函数为,
5) 二阶振荡环节 其物理模型如下图 R-L-C电路所示,
)28(
1)(
)()(
2
1
?
??
sT
sT
sR
sCsG
L
)(tui )(tuoC
R
用算子阻抗法,可的其传递函数为,
LC
S
L
R
s
LC
R CsL Cs
Cs
RLs
Cs
sU
sU
i
o
1
1
1
1
1
1
)(
)(
2
2
??
?
??
?
??
?
振荡环节传递函数的一般形式为,
)29(
212
1
)(
)()(
22
2
22
nn
n
sssTsTsR
sCsG
???
?
? ??
?
??
??
式 (29)中,,称为无阻尼自然振荡角频率,
Tn
1?? ? 叫阻尼比
当 10 ?? ? 时,二阶振荡环节 具有一对实部为负的共轭复
数极点,其单位阶跃响应曲线是衰减振荡的,如下图所示,
)(tc
)(tc )(tr
t
0
)(tr
1
将 R-L-C电路的传递函数与式 (29)相比较,可得 R-L-C电路的
2//,/1 LCRLCn ?? ??
6) 延迟环节 其传递函数 )30()( sesG ??? 其单位阶跃
响应曲线见下图,
t
)(tr
1
0
t
)(tc
1
0 ?
课外习题,
P.71第 2-9题,第 2-10题
2-3 控制系统的结构图与信号流图
对于一个简单的元件或系统,若要求取它的传递函
数可先列写出它们的微分方程,然后在零初始条件下,
求出传递函数, 但如果系统较复杂,中间变量较多,则列
写它们的微分方程就很困难,从而求传递函数也就不简
单, 一种简便的方法就是利用结构图或信号流图, 控制
系统的结构图或信号流图都是描述系统各元部件之间信
号传递的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因
果关系以及对各变量所进行的运算, 结构图或信号流图
的本质是代数方程组各变量之间的关系的一种图形表示,
一, 系统结构图的组成
例, 一 RC网络如下图所示,画出它的结构图,
)(tui )(tuo
C
1R
)(ti
)(1 ti
)(2 ti
2R
画结构图的过程为,
1,列写出 S域的代数方程组
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
)4()()()(
)3()(
1
)(
)2()()(
)1()()()(
21
112
20
011
sIsIsI
RsI
Cs
sI
RsIsU
sURsIsU
i
2,由代数方程组画结构图,
)(sUi
)(sUo
1/1 R
)(1 sI
1R Cs
)(2 sI
)(1 sI
)(sI
2R
)(sUo
控制系统的结构图由四种基本单元组成,
(1) 信号线,如下图所示,
)(),( sUtu
信号线是带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁
标记信号的时间函数或时间函数的拉氏变换表达式,
(2) 引出点 (或测量点 ),如下图所示,
)(),( sUtu
)(),( sUtu
引出点表示信号引出或测量的位置,从同一
位置引出的信号在数值和性质上完全相同,
(3) 比较点 (或综合点或加减点 ),如下图所示,
)(),( sUtu
)(),( sRtr
?
)()();()( sRsUtrtu ??
比较点表示两个或两个以
上的信号进行加减运算,“+”
表示相加,“--”表示相减,习惯上,+”可
省略不写, 需指出的是,比较点的输入信号须具有相同的物
理属性和单位,比较点的输出信号只有一个,
(4) 方框 (或环节 ),如下图所示,
箭头指向方框的信号线表示该方框的
输入信号,箭头离开方框的信号线表
示该方框的输出信号,方框中写入元
)(sG
)(tr )(tc
)(sR )(sC
部件或系统的传递函数,且有 )()()( sRsGsC ?
二, 结构图的基本形式和等效变换
从大量的实践中发现,不管系统中各个环节如何错综复杂
地连接,但从分析的角度看,不外乎有下列三种基本形式
(1) 串联连接,如下图所示,
)(1 sG
)(sR )(1 sC
)(2 sG
)(2 sC
)(sGn
)(1 sC n? )(sCn??
其等效传递函数为,
?
?
?
??
??
n
i
in
n
nn
sGsGsGsG
sC
sC
sC
sC
sR
sC
sR
sC
sG
1
21
11
21
)()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
?
?
(2) 并联连接,如下图所示,其等效传递函数为,
(3) 反馈连接,如下图所示,图中,
)(sR
)(1 sG
)(1 sC
)(2 sG
)(2 sC
)(sGn
)(sCn
?
)(sC
?
?
?
)()()(
)(
)()()(
)(
)(
)(
21
21
sGsGsG
sR
sCsCsC
sR
sC
sG
n
n
?????
????
?
?
?
?
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
)(sG 为前向通道传递函
数,)(sH 为反馈通道传递函数
由图可得,
)()()(
)()()(),()()(
sBsRsE
sCsHsBsEsGsC
??
??
消去中间变量 )(sE 和
)(sB 得反馈连接的闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sCs
?
???
如把反馈通道在 A点处断开,如下图所示,得
叫闭环系统的开环传递函数,从
而闭环传递函数可表为,
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
A
)()()(
)(
)( sGsHsG
sR
sB
O??
????
)(1
)(
)(
)()(
sG
sG
sR
sCs
O?
前向通道传递函
开环传递函数 ?1
上面结论具有一般性, 如 1)()( ??sHsG,则
)(
1
)()(1
)()(
sHsHsG
sGs
??
???
上式表明,当系统的开环传递函数大大大于 1时,闭环传递函
数与前向通道传递函无关,仅为反馈通道传递函数的倒数,
这是反馈控制系统的基本优点,
特别的是,如果,则称为单位反馈,此时闭环传递 1)( ?sH
函数为,
)(1
)()(
sG
sGs
???
对于下图所示的同一个系统,不同信号间的传递函数
是不相同的, 对于左图,输出
)(sC 关于
)(sR
输入
的传递函数前已推出为,
)()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sCs
?
???
但对于 )(sE 关于输入 )(sR 的传递函数可由下图求得为,
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
)(sR )(sE
)(sC
)(sB
?
)(sG)(sH
)()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
er ????
但是,)(s?
和 )( s
er?
的分母即
它们的特征多项式
完全一样,
对于一个闭环控制系统,不管其结构图多么复杂,总可通
过一些等效变换的方法,把它简化成上面三种基本形式,从
而求出它的传递函数, 下面介绍五种常用的等效变换法则,
(1) 信号引出点后移
)(sR
)(sC
)(sG
)(sR
)(sC
)(sR )(sG
)(sR )(
1
sG
(2) 信号引出点前移
)(sR
)(sC
)(sG
)(sC
)(sR
)(sC
)(sG
)(sC
)(sG
(3) 信号比较点后移
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(2 sR
?
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(sG)(2 sR
?
(4) 信号比较点前移
(5) 信号比较点交换或合并
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(2 sR
?
)(1 sR
)(sC
)(sG
)(2 sR
?
)(
1
sG
)(1 sR
)(sC
)(2 sR
?
?
)(3 sR
)(1 sR
)(sC
)(2 sR
?
?
)(3 sR
)(1 sR
)(sC
)(2 sR
?
?
)(3 sR
教材 P.49~P.50表 2-1给出了结构图等效变换的若干基本法则,
三, 复杂结构图传递函数的求取
例 1,利用结构图等效变换法则求下图的传递函数
解,
)(sR )(1 sG? )(sC)(
2 sG )(3 sG )(4 sG
)(3 sH
)(1 sH
)(2 sH
?
?
)(sR )()( 21 sGsG
?
)(sC
)(3 sG )(4 sG
)()( 34 sHsG
)()()()( 1421 sHsGsGsG
)()( 22 sHsG
?
?
?
)(sR )()( 21 sGsG )(sC)(
3 sG )(4 sG
)()()()()()()()( 34221421 sHsGsHsGsHsGsGsG ??
由上图得
例 2,利用结构图等效变换法则求下图的传递函数
)()()()()()()()()()()(1
)()()()(
)(
)()(
33423214321
4321
sHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsG
sGsGsGsG
sR
sCs
??????
)(sR
)(1 sG
?
)(sC
)(2 sG
)(3 sG
)(4 sG
)(5 sG)(sH
?
?
?
)(sR
)(1 sG
)(sC
)(2 sG
)(3 sG
)(sH
)(5 sG
)(sH
)(4 sG
将上图重新整理成下图,
信号比较点前移
)(sR
)(1 sG
)(sC
)(2 sG
)(3 sG
)(sH
)(5 sG
)(sH
)(4 sG
?
?
)(sR
)()( 31 sGsG
)(sC
)(5 sG
)()(3 sHsG
?
?)()( 42 sGsG
)()(4 sHsG
信号比较点重新组合
由上面简化后的结构图可得其传递函数为,
)(sR
)()( 31 sGsG
)(sC
)(5 sG
)()(3 sHsG
?
?
)()( 42 sGsG )()(4 sHsG
)(sR )()()()( 4231 sGsGsGsG ?
)(sC
)(5 sG
? ? )()()( 43 sHsGsG ?
?
? ?
? ? )()()(1
)()()()()(
)(
)()(
43
54231
sHsGsG
sGsGsGsGsG
sR
sCs
??
????
四, 反馈控制系统的传递函数
例, 设某负反馈控制系统的结构如下图所示,
)(sR
)(sE )(sC
)(sN
?
)(1 sG
)(sH
)(2 sG
求 )(sC 在 )(sR 和
)(sN 同时作用下的表达式及 )(sE 分别
)(sR 的传递函数, 对 和 )(sN
解, 令 0)( ?sN 得
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
21
sHsGsG
sGsG
sR
sCs
CR ????
令 0)( ?sR 上图可等效为下图,
)(sC
)(sN )(2 sG
)(sH?)(1 sG
由上图得,
因此
)()()(1
)(
)(
)()(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sCs
CN ????
)()()(1
)()(
)()()(1
)()()(
)()()()()(
21
2
21
21
sHsGsG
sNsG
sHsGsG
sRsGsG
sNssRssC
CNCR
?
?
?
?
????
求 )(sE 对
)(sR 的传递函数时,令,题中给出的图可 0)( ?sN
等效为下图,
)(sE
)(sR
)(2 sG)(sH )(1 sG
?
则
)()()(1
1
)(
)()(
21 sHsGsGsR
sEs
ER ????
求 对 )(sE
)(sN 的传递函数时,令 0)( ?sR,题中给出的图可
等效为下图,
)(sE
)(sN )(2 sG )(sH
)(1 sG
1?
则
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
2
sHsGsG
sHsG
sN
sEs
EN ?
????
课外习题,
P.71第 2-11题
P.73第 2-17题 (a)﹑ (b)﹑ (c)﹑ (d)﹑ (f),第 2-18题
五, 信号流图及梅逊增益公式
信号流图的本质,是用小圆点和带箭头的直线组成的图型,
来表示一个或一组线性代数方程,然后利用梅逊公式求系统的
传递函数,
例 1 设有一组线性代数方程为,
X2=a12X1+ a32x3
X3=a23X2+ a43X4
X4=a24X2+ a34X3 +a44X4
X5=a25X2 – a45X4
信号流图中的术语
节点, 表示变量或信号的小圆点,方程组中有几个变量,就可
用相应数目的节点,
支路, 连接两个节点的定向线段, 线段上箭头的方向,表示信
号流通的方向, 支路旁标明的数字 ﹑ 字母或表达式称为支路传输
值或称为支路传输增益, 支路上的箭头指向节点,叫该节点的输
入支路,支路上的箭头离开节点,叫该节点的输出支路,
X4
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
注意, (1) 信号在节点上只能相加 ;
(2) 根据线性代数方程组,先确定变量数目,依此排列,然
后画图 ;
(3) 流入节点的信号可以各不相同,但流出节点的信号表
示同一个信号,
输入节点,只有输出支路的节点,叫输入节点,也叫源节点,如 X1,
输出节点,只有输入支路的节点,叫输出节点,也叫汇节点,如 X5,
混合节点,既有输入支路,又有输出支路的节点,叫混合节点,
如 X2,X3,X4,增加一条单位传输支路,可使混合节点变
为输出节点,但不能使其变为输入节点,
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4 1
X2
通道, 凡从某一节点开始,沿支路的箭头方向连续经过一些节
点而终止在另一节点或同一节点的路经,统称为通道,
开通道,如果通道从某一节点开始终止在另一节点上,而且通道
中每个节点只经过一次,该通道叫开通道,
闭通道, 如果通道的终点就是通道的始点,而且通道中每个节点只
经过一次,该通道叫闭通道, 也叫回环,回路, 如 a44,
a34 a43,a23 a32,但 a23 a34a43 a32不是,
前向通道, 在开通道中,从源节点始到汇节点止,并且每个节点只
经过一次的通道, 在确定前向通道时,首先要明确源
节点与汇节点,
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4
不接触回路, 如果一些回路没有任何公共节点,就叫不接触回路,
通道传输 ( 或增益 ),通道中各支路传输 ( 或增益 )的乗积,
回路传输 ( 或增益 ),闭通道中各支路传输 ( 或增益 )的乗积,
梅逊公式
任一信号流图,输入节点与输出节点间的总增益,可用如下
梅逊公式求得,
?
?
?
?
?
n
k
kk
GG
1
1
式中, n是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数,
Gk 是从输入节点到输出节点的第 k条前向通道的总增益,
?? ?? ??????????? mm LLLL )1(1 321
上式 Δ 中, L1是信号流图中每一回路的增益,
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4
上图中有三条前向通道,故 n=3,即 G1= –a12 a23 a34 a45
L2是信号流图中任何两两互不接触回路增益的乗积,
L3是信号流图中任何三三互不接触回路增益的乗积,
Lm是信号流图中任何 m个互不接触回路增益的乗积,
Δ k叫余因子式,是与第 k 条 前向通道不接触部分的
Δ 值,
下面利用 梅逊公式求例 1的信号流图中 X1与 X5之间的增益
G2= –a12 a24 a45,G3= a12 a25
X1 X2 X3 X5 a12 a
23
a34 -a45
a32
a44
a43
a24
a25
X4
Σ L1=a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32
Σ L2= a23 a32 a44
Δ =1 – Σ L1 + Σ L2
=1 – (a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32) + a23 a32 a44
Δ 1 =1,Δ 2 =1,Δ 3 =1 – a34 a43 – a44
X5与 X1之间的增益 X5/X1为
4432233243244443343223
433444251245241245342312
332211
3
1
1
5
)(1
)1(
)(
11
aaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
GGGG
X
X
G
k
kk
?????
?????
?
?????
?
??
?
?? ?
?
以前,我们已学过动态系统的结构图,那时采用结构图简化法
则将复杂的结构图简化为便于求出系统传递函数的简单的结构
图, 现在,可将结构图转化为信号流图,再用梅逊公式求出系
系统的传递函数,
将结构图转化为信号流图时,应注意以下几点,
(1) 结构图中的输入信号应作为信号流图中的源节点 ;
(2) 结构图中的输出信号应作为信号流图中的汇节点 ;
(3) 结构图中信号加减点的输出应作为信号流图中的一个节点 ;
(4) 结构图中信号取出点应作为信号流图中的一个节点,当结
构图中的输出信号线上也有信号取出点时,汇节点变成混
合节点,此时应将这一混合节点增加一条单位传输支路,
使这一混合节点变为汇节点,
例 2,由给出的结构图绘制成信号流图,并由信号流图用
梅逊增益公式求传递函数,
)(1 sH
)(sR )(1 sG?
)(sC
)(2 sG )(3 sG
)(4 sG
)(2 sH
??
解, 确定节点,
1x 2x
3x
依次画出节点,
)(sR
1x 2x 3x )(sC )(sC1
用支路连接各节点,
)(1 SG )(2 SG )(3 SG
)(1 sH?
1?
)(2 sH?
)(4 sG
1
由信号流图用梅逊增益公式求传递函数,
上图中有两条前向通道,故 n=2,即
)(sR
1x 2x 3x )(sC )(sC1 )(
1 SG )(2 SG )(3 SG
)(1 sH?
1?
)(2 sH?
)(4 sG
1
)()()( 3211 sGsGsGG ?
)()( 412 sGsGG ?
?
?
11
)()()()()(
)()()()()()()()(11
)()()()()(
)()()()()()()()(
21
24232
121413211
24232
121413211
????
??
???????
??
????
?
?
sHsGsHsGsG
SHsGsGsGsGsGsGsGL
sHsGsHsGsG
SHsGsGsGsGsGsGsGL
所以
其它例子请见教材 P.56~P.57
课外习题,
P.73第 2-21题 (a),第 2-22题 (a)﹑ (b)﹑ (d)
)()()()()()()()()()()()()(1
)()()()()(
)(
11
)(
)(
)(
2423212141321
41321
2211
2
1
sHsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsG
sGsGsGsGsG
GGG
sR
sC
s
k
kk
?????
?
?
???
?
??
?
??? ?
?
