第五章 线性系统的频域分析法
5-2 频率特性
以如下 R-C线性电路为例,说明线性系统或环节的
频率特性定义和频率特性表达式的求法,
C
R
iu ou
设输入电压 tAu
ii ?s in?
,由电工基础
中分析正弦电路的结论可知,稳态时
输出
ou
仍为同频率的正弦电压,只是
幅值和初相位与
iu
不同,
ou
可表示为 )si n (
0 ?? ?? tAu o
利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得,
???
?
jTj RCu
u
u
CjR
Cj
u
i
o
io ?????? 1
1
1
1
,
/1
/1
上式表明,
ou
与
iu
之比是输入正弦电压
iu
的频率 ? 的
函数,用
)( ?jG 表示,则,
环节在正弦信号作用下,稳态输出与输入之比对频率的
关系特性,
由此可得频率特性定义如下, 频率特性是指线性系统或
?
?
jTu
ujG
i
o
?
??
1
1)(
)( ?jG 是关于 ?j 的复变函数,可用指数形式也称极坐标
形式表示,即
)()()( ???? jeAjG ?
,式中
)()( ?? jGA ?,对于上例的 R— C电路,2)(1/1)( ?? TA ??
是关于 ? 的实函数,称 )(?A 为 R— C电路的幅频特性,表示
稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随
? 而变化的特性, )()( ??? jG?,对于上例的 R— C电路,
??? Ttg 1)( ??? 是关于 ? 的实函数,称 )(?? 为 R— C电路的
相频特性,表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦
信号的初相位之差随频率而变化的特性,
而 这一表达式,既包含了稳态输出的正弦信号的幅 )( ?jG
值与输入正弦信号的幅值比,也包含了稳态输出的正弦信
号与输入正弦信号的相位差,故称其为幅相频率特性表达
式, 下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特
性表达式? 先考察上例的 R— C电路,
C
R
iu ou
用算子阻抗法可得此 R— C电路的传递
TsR CssU
sUsG
i ?
?
?
??
1
1
1
1
)(
)()( 0函数为,
将上式与 R— C电路的频率特性表达式
?
?
jTu
ujG
i
o
?
??
1
1)(
相比较,即可知,对于 R— C电路
?? jssGjG ?? )()(
上述结论具有一般性,可证明如下,
设某一线性系统或环节的如下图所示,
设
)(sG)(sR )(sC
)())((
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(,s i n)(
21
22
n
pspsps
sQ
sP
sQ
sG
sR
sC
s
R
sRtRtr
???
???
?
??
?
?
?
?
并设系统稳定,为讨论问题方便起见,设系统的所有极点
均为实数极点且各不相同,即 nip i,,2,1,0 ????,则有
tjtj
ss
n
i
tp
i
tjtj
n
i
i
i
n
aeaetcebaeaetc
ps
b
js
a
js
a
s
R
pspsps
sQ
sC
i
????
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
??
?
?
?
)(,)(
)())((
)(
)(
1
1
22
21
?
上式中,
所以
j
jRG
js
s
R
sGa
j
jRG
j
jRG
js
s
R
sGa
js
js
2
)(
)()(
2
)(
2
)(
)()(
22
22
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
???
?
?
?
??
tjtj
ss ej
jRGe
j
jRGtc ?? ??
2
)(
2
)()( ??? ?
由于 )( ?jG 与 )( ?jG 为共轭复数,所以它们的模 )(?A
相等而相角 )(?? 相差一个负号,即
)()( )()(,)()( ???? ???? jj eAjGeAjG ???
从而 ? ? ? ?
? ?
? ?)(s i n
)(s i n)(
2
)(
2
)(
2
)(
)(
)()(
)()(
???
?????
??
??????
??????
??
??
?
?
?
?
?
? ?
?
??
???
??
tC
tRA
j
ee
RA
ee
j
RA
ee
j
RA
tc
tjtj
tjjtjj
ss
对上式分析可知,输出的稳态分量 仍为与输入 )(tc
ss )(tr
同频率的正弦信号,只幅值和初相位不同,均为频率的函
数,即, )()( ?? jGA
R
C ??
)(tcss 的初相位 )(tr? 的初相位 )(0)( ??? jG??
结论, (1) 系统的频率特性 )( ?jG 与传递函数和微分方程
一一对应,它从频率的角度描述系统的特性,
(2) 当系统或环节的输入信号是正弦信号时,其稳
态输出仍为与输入同频率的正弦信号,
(3) 此同频率的正弦输出信号的幅值与输入正弦信
号的幅值之比等于幅频特性 )()( ?? jGA ?
(4) 稳态同频率的正弦输出信号的初相角与输入正
弦信号的初相角之差为相频特性 )()( ??? jG?
(5) 由
?? jssGjG ?? )()(
,在理论上可将频率特性的
概念推广到不稳定系统,
5-3 典型环节和开环系统频率特性的极坐标图
是个复变函数,当 )( ?jG ? 为某一确定值时,)( ?jG
在复平面上相应地表示为一条确定的矢量,由 )( ?jG 在
确定的 ? 值下的幅值和相角值确定, 当 ? 取不同值时,
)( ?jG 矢量的终端在复平面上画出的轨迹,叫极坐标图,
? 作为参变量,在复平面上并不出现, 极坐标图也叫幅
相曲线图, 以下仅介绍极坐标曲线的概略画法,即确定
)( ?jG 当 ? 取几个特殊值时幅值和相角值,然后根据
)( ?jG 矢量随 ? 值的变化而变化的趋势画出极坐标曲线的
大概形状, 从理论上 ),( ?????? 但由于 )( ?jG 与 )( ?jG ?
互为共轭复数,其曲线在复平面上关于实轴成镜像对称,
因此极坐标曲线往往只画 ),0[ ???? 这一部分,
一 ﹑ 典型环节的极坐标图
1,惯性环节
惯性环节的传递函数为 )1/()( ?? TsKsG
其频率特性表达式为 )1/()( ?? ?? jTKjG
则幅频特性表达式为 1)(/)( 2 ?? ?? TKA
相频特性表达式为 ??? Ttg 1)( ???
当 0?? 时 0)0(,)0( ?? ?KA
当 ??? 时 2/)(,0)( ?? ?????A
当 T/1?? 时 4/)/1(,2/)/1( ?? ??? TKTA
且由 )(?A 和 )(?? 的表达式可见,随 ? 的增加,幅值
)(?A 单调减小,而相角 )(?? 向负角度方向增加,据此
可画出惯性环节的概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
0,??K
??? 曲线上箭头的方向表示随
? 的增加,曲线上的点移
动的方向,
TK /1,2/ ??
?45
由前图可见,随 的增大,?,0)( ??A 即在低频范围内,
输入信号通过惯性环节后幅值衰减少,在高频范围内,幅
幅值衰减大,因此把惯性环节称为低通滤波器, 当
)(??? 从 ??0 时 从 2/0 ???,即输出信号的初相位总
比输入信号的初相位滞后一个角度,而最大的滞后相角
为 2/?,故惯性环节也叫相位滞后环节,
2.积分环节
积分环节的传递函数为 TssG /1)( ?
其频率特性表达式为 ?? jTjG /1)( ?
则幅频特性表达式为 ?? TA /1)( ?
相频特性表达式为 ? ?????,0,2/)( ????
其概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
2/)0(,)0(,0 ??? ????? A
2/)(,0)(,??? ??????? A
可见,积分环节也是相位
滞后环节,相位总是滞后
,2/? 且低通特性好,是
一个低通滤波器,
3.微分环节
微分环节的传递函数为 TssG ?)(
其频率特性表达式为 ?? jTjG ?)(
则幅频特性表达式为 ?? TA ?)(
相频特性表达式为 ? ????,0,2/)( ????
其概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
2/)0(,0)0(,0 ??? ??? A
2/)(,)(,??? ??????? A
可见,微分环节也叫相位超前环节,
相位总是超前,2/? 且高通特性
好,是一个高通滤波器,
4.二阶振荡环节
二阶振荡环节的传递函数为
)2/()12/(1)( 22222 nnn ssTssTsG ????? ??????
其频率特性表达式为
? ? ? ?2222 2)(/12)(/1)( nnn jjTjjTjG ?????????? ??????
则幅频特性表达式为
相频特性表达式为
222222222 )2()(/)2()1(/1)( ??????????
nnnTTA ??????
? ? ? ?)/(2)1/(2)( 221221 ?????????? ?????? ?? nntgTTtg
由上两式可见,振荡环节幅相频率特性曲线的准确形状,
与阻尼比 ? 的值有关,下面仅讨论 10 ?? ? 情况下的曲线
形状, 当 0?? 时 0)0(,1)0( ?? ?A 与 ? 取值无关,曲线总
是从 (1,j0)点开始, 当
nT ?? ?? /1
时
2/)/1(,2/1)/1( ??? ??? TTA,曲线与负虚轴相交,交点处
的频率
nT ?? ?? /1,交点离坐标原点的距离即 )/1( TA
随 ?
而变化,? 越大模越小,反之越大,当 ??? 时,
?? ????? )(,0)(A,曲线与负实轴相切于坐标原点, 随 ?
的不同,振荡环节幅相频率特性曲线有一簇,
其概略曲线见下图,
由上图可见,当
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0
0)0(,1)0(,0 ??? ?? An?
1?
n?
707.02 ??
n?
3?
n? 4?
??? ??????? )(,0)(,A
4321 ???? ???
? 小于某一个数值时,)(?A 有一个大于
)0(A (在此 1)0( ?A )的峰值,)(?A 为峰值时的频率叫谐
振频率,用
r?
表示,并定义 )0(/)( AAM
rr ??
为谐振峰
值,下面推导 r? 与
n?
和 ? 间的关系,为此对 )(?A 关于
? 求一次导,并令其导函数为零,有,
? ? 0)2()1(
)2()1(2)(
2/32222
2222
?
??
???
???
????
?
?
TT
TTT
d
dA
令上式分子等于零,得,
由上式看出,当
? ? 2222 21,02)1( ?????? ????? nrT
7 0 7.02/2 ??? 时 0?r?,说明 )(?A
的峰值出现在 0?? 处,当 2/2?? 时,r? 为虚数,说明
r? 不存在,)(?A
的最大值也出现在 0?? 处,在上述情
况下,随着 ? 从 )(,0 ?A??? 的数值单调减小, 但应
指出,虽然当 17 0 7.0 ?? ? 时,从极坐标图上反映不出
峰值,但对于阶跃响应,仍是振荡性质的,具有超调量
但这种振荡特性具有良好的阻尼特性,
当 707.00 ?? ? 时,221 ??? ??
nr
,小于欠阻尼
时的振荡频率 21 ??? ??
nd
,将 r? 代入 )(?A 得,
?????
?
2s i n
1
s i nc o s2
1
12
1)(
2
??
?
?rA
因为 1)0( ?A,所以 )(
rr AM ??
将 代入
r? )(??
可得,
2
1
2
1
1
s i n
2
21
)(
?
??
?
?
??
?
???
?
?? ??tgr
由 )(
rA ?
及 )(
r??
可见,当 0?? 时,
2/)(,)(,?????? ????? rrnr A
此时振荡环节以无阻尼自然振荡角频率进行等幅振荡,
振荡环节的幅频曲线如下图,
)( rA?
)(?A
?
1
707.0
0
r? b?
)(?A 减小到 )0(707.0 A 时的频率
b?
称为截止频率,)(,??? Ab?
锐减,将
b?? ??0
,称为系统的
带宽,对于二阶振荡环节,
b?
可由
下式求出,
1)21(21
2
2
)0(707.0
)2()1(
1
)(
222
2222
?????
??
??
?
????
???
?
nb
bb
b
A
TT
A
1
二阶振荡环节是一个低通滤波器,也是一个相位滞后环节
最大滞后相角为 180度,
5,延迟环节
延迟环节的传递函数为
sesG ???)(
其频率特性表达式为 ??? jejG ??)(
则幅频特性表达式为 1)( ??A
相频特性表达式为 ???? ??)(
其概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
)(?? 是 ? 的线性函数,当 ???
时,???)(??,因而延迟环节
也叫非最小相位环节,
二 ﹑ 开环系统的极坐标图
闭环系统的开环传递函数一般有若干个典型环节串
接而成,故其传递函数一般可表为,
? ???
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
sTsTsTs
sK
sG
1
2
1
1
12)()1(
)1(
)(
?
?
上式中,K叫开环传递系数或叫开环增益 ; v表示开环
系统串接理想积分环节的个数, 且
nruvrkT
ujTmi
k
ji
?????
????
2;,2,1,0;,2,1,0;,2,1,0
?
???
其频率特性表达式为,
? ???
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
jTjTjTj
jK
jG
1
2
1
1
12)()1()(
)1(
)(
?????
??
?
将上式写成指数形式有,
画开环幅相频率特性极坐标概略曲线时,需精确知道以
下几个特殊点在复平面上的位置,即,
)(
)
1
2
2
(
1
2222
1
2
1
2
)(
)2()1(1)(
1)(
)(
1 1
22
11
1
1
???
??
?
?
??
?
????
??
?
?
jT
T
tgTtgvtgj
r
k
kkk
u
j
j
m
i
i
vO
eAe
TTT
K
jG
u
j
r
k k
kk
j
m
i
i
??
???
?
?
? ??
? ?
??
?
?
?
????
??
?
??
?
1) 当 0?? 时,开环幅相曲线的起点, 当 0?v 时,即 0
型系统,0)0(,)0( ?? ?KA 起点在正实轴上,它离
坐标原点的距离 K,就是 0型系统的稳态位置误差系数,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0
0,??K
当 时,1?v
vA ????? 2)0(,)0( ??,若 1?v,为 1型
系统,起点为 2/)0(,)0( ?? ????A,见下图
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
?
0
若 2?v,为 2型系统,起点为
?? ???? )0(,)0(A,见左图
?0 当 3?v 时,开环幅相曲线的起点
位置依此类推,
2) 当 ??? 时,开环幅相曲线的终点,
因一般来说,mnruv ???? 2
所以
)(2)(,0)( mnA ??????? ??
3) 开环幅相曲线与负实轴相交时的交点频率 x? 及 )(
xA ?
计算方法有下面两种,
a) 因曲线与负实轴相交时 ??? ??)(
x
由
两边取正切,即,
? ? ?????????
? ?
??
?
? u
j
r
k k
kk
j
m
i
i T
TtgTtgvtg
1 1 2
2
11
1
1
1
2
2
)( ?
?
????????
? ? ????????
? ?
??
?
? u
j
r
k k
kk
j
m
i
i vtgT
TtgTtgtgtg
1 1 2
2
11
1
1 )
2
()
1
2( ??
?
?????
可解得
x?,再代入 )(?A 表达式,求得 )( xA ?
b) 因 )( ?jG
O
是一复变函数,可将其分解为实部与虚部
)(Im)(Re)( ??? jGjGjG OOO ??
由于开环幅相曲线与负实轴相交时,必有 0)(Im ??jG
O
则可由上式解出
x?,再代入 )(Re ?jG O
表达式,求得
开环幅相曲线与负实轴相交时交点值,
下面举例说明开环幅相曲线的画法,
例 1,已知开环传递函数为,
画其幅相频率特性极坐标概略曲线,
)5.0)(2)(12.0(
50)(
???
?
sss
sG O
解,
?????
???
?
???
?
25.02.0)(
1)2(1)5.0(1)2.0(
50
)(
)12)(15.0)(12.0(
50
)(
111
222
???
????
???
??
???
?
tgtgtg
A
jjj
jG
O
?
2/3)(,0)(;0)0(,50)0( ??? ??????? AA
曲线与负实轴相交时,有,
?????? ?????? ??? xxxx tgtgtg 25.02.0)( 111
对上式两边取正切,即,
???? tgtgtgtgtg xxx ??? ??? )25.02.0( 111
利用正切的两角和公式展开上式,
代入
67.35.130)1.01(27.0
02
5.02.01
5.02.0
02)5.02.0(
0
2)5.02.0(1
2)5.02.0(
22
11
11
11
??????
??
??
?
????
?
???
??
??
??
??
xxx
x
xx
xx
xxx
xxx
xxx
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtg
???
?
??
??
???
???
???
?
:)(?A
6.2
15.13415.1325.015.1304.0
50)( ?
??????
?xA ?
幅相频率特性极坐标概略曲线见下图,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0 0)0(,50)0( ?? ?A
2/3)(,0)( ?? ?????A
)0,6.2( j?
例 2,已知开环传递函数为,
画其幅相概略曲线, )12.0)(1(
)105.0(20)(
??
??
sss
ssG
O
解,
??
?
???
???
?
?
???
?
?
2.0
2
05.0)(
1)2.0(1
1)05.0(20
)(
)12.0)(1(
)105.0(20
)(
111
22
2
???
????
??
?
??
??
?
?
tgtgtg
A
jjj
j
jG
O
?
?
??
?
??
?????????
??????
)
2
)(13()
2
)(()(
,0)(;2/)0(,)0(
mn
AA
曲线与负实轴相交时,有,
??????? ?????? ??? xxxx tgtgtg 2.0205.0)( 111
对上式两边取正切,即,
利用正切的两角和公式展开上式,
)2()2.005.0( 111 ????? ????? ??? tgtgtgtgtg xxx
? ?
67.27/50006.02.01
0
2.01
2.0
05.01
0)2.0(05.01
)2.0(05.01
)2.0(05.0
)2/()2.0(05.0
222
11
11
11
111
??????
?
??
?
?
?????
??
???
??
????
??
??
??
???
xxxx
xx
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtgtgtg
????
??
??
?
???
???
???
?????
代入
幅相概略曲线见下图,
:)(?A
3.2
1
7
50
04.01
7
50
67.2
1
7
50
0 0 2 5.020
)( ?
???
??
?
x
A ?
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0
2/)0(,)0(,0 ??? ????? A
?? ????? )(,0)(A)0,3.2( j?
三 ﹑ 奈奎斯特稳定判据
设负反馈系统的开环传递函数 )(/)()( sAsBsG
O ?
)(sB 和 )(sA 分别为 m次和 n次 s的代数多项式,且 n>= m,
则系统的闭环传递函数
?)(s?
前向通道传递函数
)(1 sG O?
系统的特征多项式为,
)(
)()(
)(
)(1)(1)(
sA
sBsA
sA
sBsGsD
O
??????
令辅助方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sA
sBsA
sF
1
1
)(
)(
)(
)()(
)(
则 )(sF 的零点
iz 就是闭环传递函数的极点,)(sF
的极点 ip
就是开环传递函数的极点, 一般来说,ip 是已知的,
iz
未知,
问题在于想通过已知的
ip
来确定未知的
iz
在 s平面上的位置
至于
iz
的具体数值倒不以关心, 这就是奈氏判据所要解决
的问题,
F?
1,奈氏判据的数学基础
奈氏判据的数学基础是复变函数中的幅角原理,
1)假设在 s平面上任选一点 A,则 A点对应某一个具体的
S值,)(sF 的映射关系,在 )(sF 的复平面上
可以确定相对应的像,如下图中的 B点,
??s?j
?
0
?A
2) 使点 S从 A
点开始沿封闭
曲线
s?
顺时针
方向移动且回
到 A点,
s? ?
B)(sF
)(sF
3) 所选择的
s?
只包围
)(sF 的某一个零点如 iz
?
iz
,且在
s?
的路径上不通过任何一个 )(sF
零极点, 则 )(sF 从 B点出发且回到 B点,)(sF 矢量的端点绕
? ?)(sF 复平面的坐标原点移动形成 F? 封闭曲线,
? ?)(sF
0
)(Im sF
)(Re sF
通过复变函数
下面考察 的相角变化情况, 如 s沿 )(sF
s?
变化时,)(sF
相角变化的增量为
)( sF?,则
)( sF? ??? 1zs? ?? 2zs? ?? ?? izs? ?? nzs ??
1ps ?? ? 2ps ?? ?
?? ?
nps ??
?? 20000)2(00 ????????????? ???
s?
?
?
?
iz
1z
s
1zs ?
??s?j
?
0
izs?
1ps?
?
1p
)( sF? ?? 2??? izs?,由左式可见,当
s?
只包围一个
)(sF 零点时,当 s沿 s? 曲线顺时针移动一圈时,在 )(sF复平面上,
)(sF 矢量的端点也绕坐标原点顺时针转了一圈
见上右图,
? ?)(sF
0
)(Im sF
)(Re sF
?
B)(sF
)(sF
如果 曲线包围了 Z个
s? )(sF
的零点,则 )(sF 曲线从 B点开
始,绕坐标原点顺时针转 Z圈, 同理可得,当
s?
曲线包围
了一个 )(sF 的极点,则当 s沿
s?
曲线顺时针转一圈时,)(sF
曲线绕坐标原点逆时针转一圈, 而当
s?
曲线包围 P个 )(sF
的极点时,当 s沿
s?
曲线顺时针转一圈时,)(sF 曲线绕坐标
原点逆时针转 P圈, 而当
s?
曲线包围 P个 )(sF 的极点和 Z
个 )(sF 的零点,当 s沿
s?
曲线顺时针转一圈时,)(sF 绕坐标
原点的圈数为, R=P-Z (1) (1)式即为幅角原理,
(1)式中,当 R>0时,表示 )(sF 曲线绕坐标原点逆时针转过
的圈数,
当 R<0时,表示 )(sF 曲线绕坐标原点顺时针转过
的圈数,
2,奈氏判据
1) 开环传递函数 )(sG
O
没有 s=0的极点
即
将
? ?
nru
sTsTsT
sK
sG
r
k
kkk
u
j
j
m
i
i
O
??
???
?
?
??
?
??
? 2,
12)()1(
)1(
)(
1
2
1
1
?
?
s?
封闭曲线扩大到虚轴和右半 s平面上半径 ? 为无穷大
的半圆,如下图所示,
??s?j
?
0
?
??
???
s?
设 (1)式中的 P和 Z为 )(sF 在 s右半
平面上的极点和零点个数,则此
s?
包围了整个右半 s平面上的 )(sF 的极点
和零点,也即开环传递函数在 s右半平
面上的极点,及闭环传递函数在 s右半平
面上的极点,而在
s?
的路径上不通过任何
开环极点和闭环极点, 称此
s?
为奈奎斯特路径,
又因为当 s在半径 ? 为无穷大的半圆圆周上取值时,由于
)(1)( sGsF O?? 而一般 )(sGO 的 n>m,所以 1)( ??F
当 s在虚轴上取值时,则 ),(,????? ??js )(1)( ?? jGjF
O??
曲线如下右图所示,
??s?j
?
0
?
??
???
s?
)(Re ?jF
? ?)( ?jF
0
)(Im ?jF
1
0??
????
???
规定 s沿
s?
移动的方向为, )(0 ????????? ?jj
的半圆圆周 ??? j 则 )( ?jF 曲线的走向如上右图
箭头所示, 等式 )(1)( ?? jGjF
O??
将 )( ?jF 曲线和 )( ?jG
O
的幅相曲线挂上了钩,如下图所示,
????
0??
???
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
由图可见,)( ?jF 平面
上的原点,相当于 )( ?jG
O
平面上的 (-1,j0)点,从而
)( ?jF 曲线包围原点的圈
数 R相当于 )( ?jG
O
曲线在 )( ?jG
O
平面上包围 (-1,j0)点的圈数,曲线也叫奈奎斯特曲线 )( ?jG
O
),( ?????,从而奈氏判据可作如下表述,
R,奈氏曲线绕临界点 (-1,j0)转过的圈数,R>0,逆时针环
绕临界点 (-1,j0); R<0,顺时针环绕临界点 (-1,j0),
P,)(sG
O
在 s右半平面上的极点个数,
Z,闭环传递函数在 s右半平面上的极点个数,
则, R=P-Z (2)
反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)
临界点的圈数 R等于开环传递函数在 s右半平面上的极点个
数 P,当 P=0时 (即开环稳定 ),则奈氏曲线不包围 (-1,j0)点
闭环稳定 ; 当奈氏曲线通过 (-1,j0)点,闭环临界稳定 ;当奈
氏曲线包围 (-1,j0)点,则闭环不稳定,
由 (2)式,当已知 R和 P时,可得 Z,即 Z=P-R,所以当
闭环系统不稳定时,还可知在右半 s平面上的闭环极点个数,
由于 )( ?jG
O
曲线当 ),0[ ??? 与 ]0,( ???? 关于实轴成镜
像对称,所以一般只画 ),0[ ??? 的曲线,则 (2)式可修正为,
2N=P-Z,N>0逆时针环绕临界点 (-1,j0); N<0,顺时针环
绕临界点 (-1,j0),N为 )( ?jG
O
当 ),0[ ??? 时的曲线包围
(-1,j0)点的圈数, )( ?jG
O
曲线的走向是从 0?? 到 ???
2) 开环传递函数 )(sG
O
有 s=0的极点
当开环传递函数有 s=0的极点时
? ?
nruv
sTsTsTs
sK
sG
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
???
???
?
?
??
?
??
? 2,
12)()1(
)1(
)(
1
2
1
1
?
?
由于奈氏判据数学基础的幅角原理规定奈奎斯特路径上
不通过任何开环极点和闭环极点,由于 s=0是 s平面的坐标
原点,在所选择的奈氏路径上,不符合所规定的条件,此
时需将奈氏路径作如下修改,
在 s平面上,以原点为圆心,作一半径 0?? 的半圆,使
奈氏路径沿无限小半圆圆周绕过原点,
如下左图所示, 但当
a
?
??s?j
?
??
???
s?
c
?
b
?
0
0?? 时,奈氏路径仍可包围整个右
半 s平面,只将 s=0的坐标原点排除在外,
位于无限小半圆圆周上的 s可表示为,
s
?? jes ?,则代入 )(sG
O
且令 0??,有
?
? ??
jv
vjvvO e
K
e
KsG ???)(
由上式可见, s平面的 a点,2/,0 ??? ???
所以 2/)0(,)0( ??? ??????
?? vvG O
s平面的 b点,0,0 ?? ??,所以 0)0(,)0( ????? ?? vG
O
s平面的 c点,2/,0 ??? ??,所以 2/)0(,)0( ??? ???????
?? vvG O
当 s在虚轴上取值时,)(sG
O
就为 )( ?jG
O
,从而 s平面上的奈氏
路径变换到 )( ?jG
O
平面上的奈氏曲线就为,
a点 2/)(,)( ???? ????? vjjG
O
b点 0)(,)( ???? ??? jjG
O
,c点 2/)(,)( ???? ?????? vjjG
O
为说明问题清楚起见,不仿令 v=1,则 s平面上的无限小
半圆圆周变换到 )( ?jG
O
平面上的奈氏曲线如下图所示,
a
?
??s?j
?
??
???
s?
c
?
b
?
0
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO0
??)( ?jG O
?? 0,?a
0,??b
?? 0,?c
可见奈氏曲线仍为封闭曲线,从而奈氏判据可不作修改
进行应用,
例 1,设开环频率特性表达式为
)1)(1(
)(
21 ??
?
???
?
jTjTj
KjG
O
,已知,试确定 K的取值范围,0,0
21 ?? TT
使闭环稳定, )0( ?K
因开环为 1型,
?????
???
? 2111
2
2
2
1 2
)(,
1)(1)(
)( TtgTtg
TT
KA ?? ????
??
?
2)0(,)0(,0
??? ?????
??? A
解,
0)0(,)0(,0 ????? ?? A
2
3)(,0)(,,??? ??????? A
其奈氏曲线如下图,
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
当曲线与负实轴相交时,
21
22
212
21
21
2
1
1
1
2
1
1
1
1
,01,
1
2
)(
2
)(
TT
TT
TT
TT
tgTtgTtgtg
TtgTtg
xx
x
xx
xx
xxx
?????
?
?
??
??????
??
??
??
?
??
?
??
???
?
??
21
21
2
2
2
1 1)(1)(
)(
TT
TKT
TT
KA
xxx
x ?????? ????
21
21 TT TKT??
当
,1
21
21 ?
? TT
TKT 即
21
210
TT
TTK ??? 时,曲线不包围 (-1,j0)点,
请见下图, 以 (-1,j0)点为矢量的起点,以
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
21
21 TT TKT??
)( ?jG O 曲线上的点为矢量的
终点,当 0?? 时,矢量的起
始位置如右图, 随 ? 的增加
矢量的终点沿曲线顺时针移
动,矢量环绕 (-1,j0)点顺时针
方向转动,当 ? 增加到某一数值时,矢量
的相角达到负角度的最大值,如右图, ? 再
增加,则矢量以逆时针方向转动,其负相角的绝对值变小,
直至
x?? ? 时,矢量的终点和曲线与负实轴的交点重合,
矢量的相角又回到 0度 ; 当 ? 继续增加,矢量仍以逆时针方
向转动,如图所示,矢量朝逆时针方向转动到其相角达到
正角度的最大值,当 ??? 时,矢量回到 0?? 时的位置,
其相角又回到 0度 ; 可见 ? 从 0变化到 ?,以 (-1,j0)为起点的
矢量环绕 (-1,j0)点的角度的增量为零,故 )( ?jG
O
曲线
未包围 (-1,j0)点,N=0,又因为由给定的开环频率特性表
达式,P=0,所以 Z=P-2N=0,闭环稳定,
例 2,设开环频率特性表达式为
)10 0 5.0)(101.0)(11.0()(
)1()(
2 ???
??
????
??
jjjj
jKjG
O
试确定 K的取值范围,使闭环稳定,
解, ;)0(,)0(,0;0)0(,)0(,0 ????? ????????? ??? AA
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
0????0?;2)(,0)(,??? ??????? A
??????? ????? ???? 005.001.01.0)( 1111 tgtgtgtg
0)0 0 1 5 4 5.08 8 5.0(
0)0 0 5.0
01.01.0(
2
1
111
??
??
??
?
???
xx
x
xxx
tgtg
tgtgtgtg
??
?
???
0?x? 舍去, KA xx 0156.0)(,8.5722 ?? ??
当 23.640,10156.0)( ???? KKA
x?
时,曲线不包围 (-1,j0)
点,N=0,又 P=0,所以 Z=P-2N=0,闭环稳定,
例 3,设开环频率特性表达式为
试确定 K的取值范围,使闭环稳定,
)10 0 5.0)(101.0()(
)10 2 5.0)(12.0()(
3 ??
???
???
???
jjj
jjKjG
O
解, ;2/3)0(,)0(,0;0)0(,)0(,0 ????? ?????????
??? AA
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
0??
??0?;2/3)(,0)(,??? ??????? A
1A
2A
2/30 0 5.001.00 2 5.02.0)( 1111 ??????? ????? ???? tgtgtgtg
6 0 3 7,6 6 3
01046 7 0 0
2/)0 0 5.001.0
0 2 5.02.0(
2
2
2
1
624
11
11
??
????
???
?
??
??
xx
xx
xx
xx
tgtgtg
tgtgtg
??
??
???
??
KAAKAA xx 522411 105)(,105.3)( ?? ?????? ??
在相同的 K值下,
21 AA ?
,则当,2 8 5 70,1)(
11 ???? KAA x?
,1)( 22 ?? xAA ? 曲线如上图,闭环不稳定, Z=P-2N=0-2(-1)=2,
0??
??0?
0??
??0?
当
曲线如下图,
1)(,20000,1)( 1122 ????? xx AAKAA ??
1A
2A
0
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO
1?
由于 Z=P-2N=0-2(-1)=2,所以闭环不稳定,
当,1)(
11 ?? xAA ?
1)( 22 ?? xAA ? 时,曲线
如下图,
0
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO
1?
1A
2A
此时,2 8 7 5,1)(
11 ??? KAA x?
,2 0 0 0 0,1)( 22 ??? KAA x?
即,2 0 0 0 02 8 7 5 ?? K 曲线不
包围 (-1,j0)点,N=0,又 P=0,所以 Z=P-2N=0,闭环稳定,
此种系统叫条件稳定系统,
四 ﹑ 稳定裕度
奈氏判据不仅可由开环判断闭环是否稳定,还可由
两个稳定裕度的指标定量描述闭环的稳定程度,
1,幅值裕度 h
)(/1 xAh ???,其几何意义见下图,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
设开环幅相频率特性
曲线如图中所示,
)( xA?
当开环传递函
数没有位于右半 s平面上的极点
时,1,1)( ?? hA
x?
闭环稳定,
且 h越大,系统的相对稳定性越
好,当 1)( ?
xA ?
时,1?h,闭环临界稳定,
当 1)( ?
xA ?
时,1?h,闭环不稳定, 假如系统的可变参数
为开环传递系数 K,则开环幅频特性可表为 )()( ' ?? KAA ?
式中 )(' ?A 为 )(?A 中不含 K的部分,则
)()( ' xx KAA ?? ?
从而,设当 K增大到 K’时,
)(/1 ' xKAh ?? )(/1 '''
xAKh ??
如 hKK ?',则
1)(/1 '' ?? xh K Ah ?,系统处于临界稳定
状态, 由此可得 h的物理含意为, 当系统稳定时,K增
大到 hK时,系统变成临界稳定,当系统不稳定时,K减
小到 hK时,系统变成临界稳定, h表示了 K允许变化的
倍数,
2,相角裕度 ?
仅有幅值裕度 h尚不能全面刻画系统的稳定程度,
这是因为,如有两个系统的开环幅相频率特性曲线如下
图所示,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
)(1 ?jG O)(
2 ?jGO
则它们的幅值裕度相等, 若两条曲线与单位圆
圆周相交时的矢量的相角分别为
21,?? 如右图中所示,
1?
2? 2? 比 1? 更靠近
-180度,当开环传递函数除 K
以外的参数变化时,)(
2 ?jG O
曲线比 )(
1 ?jG O
更易穿越 (-1,j0)临界点,稳定程度低
因此需定义相角裕度,从另一个角度来定量 )(
c???? ??
描述闭环的稳定程度, 相角裕度 ? 的几何意义见下图,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
)( ?jG O
1
1
1?c? )( c??
?
上式中,
c?
是使 )( ?jG
O
的幅值
为 1的频率,即 1)( ?
cA ?
,当开环
传递函数没有位于右半 s平面上
的极点时,即 P=0,则 0??
闭环稳定,0??,闭环临界稳定,
0??,闭环不稳定,
利用稳定裕度,奈氏判据可表述为,当开环传递函数
没有位于右半 s平面上的极点时,即 P=0,则,
0,1 ?? ?h,闭环稳定 ; 0,1 ?? ?h,闭环临界稳定 ;
0,1 ?? ?h,闭环不稳定,
课外习题, P.214第 5-2题,第 5-8题,第 5-14题,第 5-19题
第 5-20题,第 5-21题,
5-2 频率特性
以如下 R-C线性电路为例,说明线性系统或环节的
频率特性定义和频率特性表达式的求法,
C
R
iu ou
设输入电压 tAu
ii ?s in?
,由电工基础
中分析正弦电路的结论可知,稳态时
输出
ou
仍为同频率的正弦电压,只是
幅值和初相位与
iu
不同,
ou
可表示为 )si n (
0 ?? ?? tAu o
利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得,
???
?
jTj RCu
u
u
CjR
Cj
u
i
o
io ?????? 1
1
1
1
,
/1
/1
上式表明,
ou
与
iu
之比是输入正弦电压
iu
的频率 ? 的
函数,用
)( ?jG 表示,则,
环节在正弦信号作用下,稳态输出与输入之比对频率的
关系特性,
由此可得频率特性定义如下, 频率特性是指线性系统或
?
?
jTu
ujG
i
o
?
??
1
1)(
)( ?jG 是关于 ?j 的复变函数,可用指数形式也称极坐标
形式表示,即
)()()( ???? jeAjG ?
,式中
)()( ?? jGA ?,对于上例的 R— C电路,2)(1/1)( ?? TA ??
是关于 ? 的实函数,称 )(?A 为 R— C电路的幅频特性,表示
稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随
? 而变化的特性, )()( ??? jG?,对于上例的 R— C电路,
??? Ttg 1)( ??? 是关于 ? 的实函数,称 )(?? 为 R— C电路的
相频特性,表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦
信号的初相位之差随频率而变化的特性,
而 这一表达式,既包含了稳态输出的正弦信号的幅 )( ?jG
值与输入正弦信号的幅值比,也包含了稳态输出的正弦信
号与输入正弦信号的相位差,故称其为幅相频率特性表达
式, 下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特
性表达式? 先考察上例的 R— C电路,
C
R
iu ou
用算子阻抗法可得此 R— C电路的传递
TsR CssU
sUsG
i ?
?
?
??
1
1
1
1
)(
)()( 0函数为,
将上式与 R— C电路的频率特性表达式
?
?
jTu
ujG
i
o
?
??
1
1)(
相比较,即可知,对于 R— C电路
?? jssGjG ?? )()(
上述结论具有一般性,可证明如下,
设某一线性系统或环节的如下图所示,
设
)(sG)(sR )(sC
)())((
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(,s i n)(
21
22
n
pspsps
sQ
sP
sQ
sG
sR
sC
s
R
sRtRtr
???
???
?
??
?
?
?
?
并设系统稳定,为讨论问题方便起见,设系统的所有极点
均为实数极点且各不相同,即 nip i,,2,1,0 ????,则有
tjtj
ss
n
i
tp
i
tjtj
n
i
i
i
n
aeaetcebaeaetc
ps
b
js
a
js
a
s
R
pspsps
sQ
sC
i
????
??
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
??
?
?
?
)(,)(
)())((
)(
)(
1
1
22
21
?
上式中,
所以
j
jRG
js
s
R
sGa
j
jRG
j
jRG
js
s
R
sGa
js
js
2
)(
)()(
2
)(
2
)(
)()(
22
22
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
???
?
?
?
??
tjtj
ss ej
jRGe
j
jRGtc ?? ??
2
)(
2
)()( ??? ?
由于 )( ?jG 与 )( ?jG 为共轭复数,所以它们的模 )(?A
相等而相角 )(?? 相差一个负号,即
)()( )()(,)()( ???? ???? jj eAjGeAjG ???
从而 ? ? ? ?
? ?
? ?)(s i n
)(s i n)(
2
)(
2
)(
2
)(
)(
)()(
)()(
???
?????
??
??????
??????
??
??
?
?
?
?
?
? ?
?
??
???
??
tC
tRA
j
ee
RA
ee
j
RA
ee
j
RA
tc
tjtj
tjjtjj
ss
对上式分析可知,输出的稳态分量 仍为与输入 )(tc
ss )(tr
同频率的正弦信号,只幅值和初相位不同,均为频率的函
数,即, )()( ?? jGA
R
C ??
)(tcss 的初相位 )(tr? 的初相位 )(0)( ??? jG??
结论, (1) 系统的频率特性 )( ?jG 与传递函数和微分方程
一一对应,它从频率的角度描述系统的特性,
(2) 当系统或环节的输入信号是正弦信号时,其稳
态输出仍为与输入同频率的正弦信号,
(3) 此同频率的正弦输出信号的幅值与输入正弦信
号的幅值之比等于幅频特性 )()( ?? jGA ?
(4) 稳态同频率的正弦输出信号的初相角与输入正
弦信号的初相角之差为相频特性 )()( ??? jG?
(5) 由
?? jssGjG ?? )()(
,在理论上可将频率特性的
概念推广到不稳定系统,
5-3 典型环节和开环系统频率特性的极坐标图
是个复变函数,当 )( ?jG ? 为某一确定值时,)( ?jG
在复平面上相应地表示为一条确定的矢量,由 )( ?jG 在
确定的 ? 值下的幅值和相角值确定, 当 ? 取不同值时,
)( ?jG 矢量的终端在复平面上画出的轨迹,叫极坐标图,
? 作为参变量,在复平面上并不出现, 极坐标图也叫幅
相曲线图, 以下仅介绍极坐标曲线的概略画法,即确定
)( ?jG 当 ? 取几个特殊值时幅值和相角值,然后根据
)( ?jG 矢量随 ? 值的变化而变化的趋势画出极坐标曲线的
大概形状, 从理论上 ),( ?????? 但由于 )( ?jG 与 )( ?jG ?
互为共轭复数,其曲线在复平面上关于实轴成镜像对称,
因此极坐标曲线往往只画 ),0[ ???? 这一部分,
一 ﹑ 典型环节的极坐标图
1,惯性环节
惯性环节的传递函数为 )1/()( ?? TsKsG
其频率特性表达式为 )1/()( ?? ?? jTKjG
则幅频特性表达式为 1)(/)( 2 ?? ?? TKA
相频特性表达式为 ??? Ttg 1)( ???
当 0?? 时 0)0(,)0( ?? ?KA
当 ??? 时 2/)(,0)( ?? ?????A
当 T/1?? 时 4/)/1(,2/)/1( ?? ??? TKTA
且由 )(?A 和 )(?? 的表达式可见,随 ? 的增加,幅值
)(?A 单调减小,而相角 )(?? 向负角度方向增加,据此
可画出惯性环节的概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
0,??K
??? 曲线上箭头的方向表示随
? 的增加,曲线上的点移
动的方向,
TK /1,2/ ??
?45
由前图可见,随 的增大,?,0)( ??A 即在低频范围内,
输入信号通过惯性环节后幅值衰减少,在高频范围内,幅
幅值衰减大,因此把惯性环节称为低通滤波器, 当
)(??? 从 ??0 时 从 2/0 ???,即输出信号的初相位总
比输入信号的初相位滞后一个角度,而最大的滞后相角
为 2/?,故惯性环节也叫相位滞后环节,
2.积分环节
积分环节的传递函数为 TssG /1)( ?
其频率特性表达式为 ?? jTjG /1)( ?
则幅频特性表达式为 ?? TA /1)( ?
相频特性表达式为 ? ?????,0,2/)( ????
其概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
2/)0(,)0(,0 ??? ????? A
2/)(,0)(,??? ??????? A
可见,积分环节也是相位
滞后环节,相位总是滞后
,2/? 且低通特性好,是
一个低通滤波器,
3.微分环节
微分环节的传递函数为 TssG ?)(
其频率特性表达式为 ?? jTjG ?)(
则幅频特性表达式为 ?? TA ?)(
相频特性表达式为 ? ????,0,2/)( ????
其概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
2/)0(,0)0(,0 ??? ??? A
2/)(,)(,??? ??????? A
可见,微分环节也叫相位超前环节,
相位总是超前,2/? 且高通特性
好,是一个高通滤波器,
4.二阶振荡环节
二阶振荡环节的传递函数为
)2/()12/(1)( 22222 nnn ssTssTsG ????? ??????
其频率特性表达式为
? ? ? ?2222 2)(/12)(/1)( nnn jjTjjTjG ?????????? ??????
则幅频特性表达式为
相频特性表达式为
222222222 )2()(/)2()1(/1)( ??????????
nnnTTA ??????
? ? ? ?)/(2)1/(2)( 221221 ?????????? ?????? ?? nntgTTtg
由上两式可见,振荡环节幅相频率特性曲线的准确形状,
与阻尼比 ? 的值有关,下面仅讨论 10 ?? ? 情况下的曲线
形状, 当 0?? 时 0)0(,1)0( ?? ?A 与 ? 取值无关,曲线总
是从 (1,j0)点开始, 当
nT ?? ?? /1
时
2/)/1(,2/1)/1( ??? ??? TTA,曲线与负虚轴相交,交点处
的频率
nT ?? ?? /1,交点离坐标原点的距离即 )/1( TA
随 ?
而变化,? 越大模越小,反之越大,当 ??? 时,
?? ????? )(,0)(A,曲线与负实轴相切于坐标原点, 随 ?
的不同,振荡环节幅相频率特性曲线有一簇,
其概略曲线见下图,
由上图可见,当
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0
0)0(,1)0(,0 ??? ?? An?
1?
n?
707.02 ??
n?
3?
n? 4?
??? ??????? )(,0)(,A
4321 ???? ???
? 小于某一个数值时,)(?A 有一个大于
)0(A (在此 1)0( ?A )的峰值,)(?A 为峰值时的频率叫谐
振频率,用
r?
表示,并定义 )0(/)( AAM
rr ??
为谐振峰
值,下面推导 r? 与
n?
和 ? 间的关系,为此对 )(?A 关于
? 求一次导,并令其导函数为零,有,
? ? 0)2()1(
)2()1(2)(
2/32222
2222
?
??
???
???
????
?
?
TT
TTT
d
dA
令上式分子等于零,得,
由上式看出,当
? ? 2222 21,02)1( ?????? ????? nrT
7 0 7.02/2 ??? 时 0?r?,说明 )(?A
的峰值出现在 0?? 处,当 2/2?? 时,r? 为虚数,说明
r? 不存在,)(?A
的最大值也出现在 0?? 处,在上述情
况下,随着 ? 从 )(,0 ?A??? 的数值单调减小, 但应
指出,虽然当 17 0 7.0 ?? ? 时,从极坐标图上反映不出
峰值,但对于阶跃响应,仍是振荡性质的,具有超调量
但这种振荡特性具有良好的阻尼特性,
当 707.00 ?? ? 时,221 ??? ??
nr
,小于欠阻尼
时的振荡频率 21 ??? ??
nd
,将 r? 代入 )(?A 得,
?????
?
2s i n
1
s i nc o s2
1
12
1)(
2
??
?
?rA
因为 1)0( ?A,所以 )(
rr AM ??
将 代入
r? )(??
可得,
2
1
2
1
1
s i n
2
21
)(
?
??
?
?
??
?
???
?
?? ??tgr
由 )(
rA ?
及 )(
r??
可见,当 0?? 时,
2/)(,)(,?????? ????? rrnr A
此时振荡环节以无阻尼自然振荡角频率进行等幅振荡,
振荡环节的幅频曲线如下图,
)( rA?
)(?A
?
1
707.0
0
r? b?
)(?A 减小到 )0(707.0 A 时的频率
b?
称为截止频率,)(,??? Ab?
锐减,将
b?? ??0
,称为系统的
带宽,对于二阶振荡环节,
b?
可由
下式求出,
1)21(21
2
2
)0(707.0
)2()1(
1
)(
222
2222
?????
??
??
?
????
???
?
nb
bb
b
A
TT
A
1
二阶振荡环节是一个低通滤波器,也是一个相位滞后环节
最大滞后相角为 180度,
5,延迟环节
延迟环节的传递函数为
sesG ???)(
其频率特性表达式为 ??? jejG ??)(
则幅频特性表达式为 1)( ??A
相频特性表达式为 ???? ??)(
其概略极坐标曲线如下图所示,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
)(?? 是 ? 的线性函数,当 ???
时,???)(??,因而延迟环节
也叫非最小相位环节,
二 ﹑ 开环系统的极坐标图
闭环系统的开环传递函数一般有若干个典型环节串
接而成,故其传递函数一般可表为,
? ???
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
sTsTsTs
sK
sG
1
2
1
1
12)()1(
)1(
)(
?
?
上式中,K叫开环传递系数或叫开环增益 ; v表示开环
系统串接理想积分环节的个数, 且
nruvrkT
ujTmi
k
ji
?????
????
2;,2,1,0;,2,1,0;,2,1,0
?
???
其频率特性表达式为,
? ???
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
jTjTjTj
jK
jG
1
2
1
1
12)()1()(
)1(
)(
?????
??
?
将上式写成指数形式有,
画开环幅相频率特性极坐标概略曲线时,需精确知道以
下几个特殊点在复平面上的位置,即,
)(
)
1
2
2
(
1
2222
1
2
1
2
)(
)2()1(1)(
1)(
)(
1 1
22
11
1
1
???
??
?
?
??
?
????
??
?
?
jT
T
tgTtgvtgj
r
k
kkk
u
j
j
m
i
i
vO
eAe
TTT
K
jG
u
j
r
k k
kk
j
m
i
i
??
???
?
?
? ??
? ?
??
?
?
?
????
??
?
??
?
1) 当 0?? 时,开环幅相曲线的起点, 当 0?v 时,即 0
型系统,0)0(,)0( ?? ?KA 起点在正实轴上,它离
坐标原点的距离 K,就是 0型系统的稳态位置误差系数,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0
0,??K
当 时,1?v
vA ????? 2)0(,)0( ??,若 1?v,为 1型
系统,起点为 2/)0(,)0( ?? ????A,见下图
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG0
?
0
若 2?v,为 2型系统,起点为
?? ???? )0(,)0(A,见左图
?0 当 3?v 时,开环幅相曲线的起点
位置依此类推,
2) 当 ??? 时,开环幅相曲线的终点,
因一般来说,mnruv ???? 2
所以
)(2)(,0)( mnA ??????? ??
3) 开环幅相曲线与负实轴相交时的交点频率 x? 及 )(
xA ?
计算方法有下面两种,
a) 因曲线与负实轴相交时 ??? ??)(
x
由
两边取正切,即,
? ? ?????????
? ?
??
?
? u
j
r
k k
kk
j
m
i
i T
TtgTtgvtg
1 1 2
2
11
1
1
1
2
2
)( ?
?
????????
? ? ????????
? ?
??
?
? u
j
r
k k
kk
j
m
i
i vtgT
TtgTtgtgtg
1 1 2
2
11
1
1 )
2
()
1
2( ??
?
?????
可解得
x?,再代入 )(?A 表达式,求得 )( xA ?
b) 因 )( ?jG
O
是一复变函数,可将其分解为实部与虚部
)(Im)(Re)( ??? jGjGjG OOO ??
由于开环幅相曲线与负实轴相交时,必有 0)(Im ??jG
O
则可由上式解出
x?,再代入 )(Re ?jG O
表达式,求得
开环幅相曲线与负实轴相交时交点值,
下面举例说明开环幅相曲线的画法,
例 1,已知开环传递函数为,
画其幅相频率特性极坐标概略曲线,
)5.0)(2)(12.0(
50)(
???
?
sss
sG O
解,
?????
???
?
???
?
25.02.0)(
1)2(1)5.0(1)2.0(
50
)(
)12)(15.0)(12.0(
50
)(
111
222
???
????
???
??
???
?
tgtgtg
A
jjj
jG
O
?
2/3)(,0)(;0)0(,50)0( ??? ??????? AA
曲线与负实轴相交时,有,
?????? ?????? ??? xxxx tgtgtg 25.02.0)( 111
对上式两边取正切,即,
???? tgtgtgtgtg xxx ??? ??? )25.02.0( 111
利用正切的两角和公式展开上式,
代入
67.35.130)1.01(27.0
02
5.02.01
5.02.0
02)5.02.0(
0
2)5.02.0(1
2)5.02.0(
22
11
11
11
??????
??
??
?
????
?
???
??
??
??
??
xxx
x
xx
xx
xxx
xxx
xxx
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtg
???
?
??
??
???
???
???
?
:)(?A
6.2
15.13415.1325.015.1304.0
50)( ?
??????
?xA ?
幅相频率特性极坐标概略曲线见下图,
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0 0)0(,50)0( ?? ?A
2/3)(,0)( ?? ?????A
)0,6.2( j?
例 2,已知开环传递函数为,
画其幅相概略曲线, )12.0)(1(
)105.0(20)(
??
??
sss
ssG
O
解,
??
?
???
???
?
?
???
?
?
2.0
2
05.0)(
1)2.0(1
1)05.0(20
)(
)12.0)(1(
)105.0(20
)(
111
22
2
???
????
??
?
??
??
?
?
tgtgtg
A
jjj
j
jG
O
?
?
??
?
??
?????????
??????
)
2
)(13()
2
)(()(
,0)(;2/)0(,)0(
mn
AA
曲线与负实轴相交时,有,
??????? ?????? ??? xxxx tgtgtg 2.0205.0)( 111
对上式两边取正切,即,
利用正切的两角和公式展开上式,
)2()2.005.0( 111 ????? ????? ??? tgtgtgtgtg xxx
? ?
67.27/50006.02.01
0
2.01
2.0
05.01
0)2.0(05.01
)2.0(05.01
)2.0(05.0
)2/()2.0(05.0
222
11
11
11
111
??????
?
??
?
?
?????
??
???
??
????
??
??
??
???
xxxx
xx
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtgtgtg
????
??
??
?
???
???
???
?????
代入
幅相概略曲线见下图,
:)(?A
3.2
1
7
50
04.01
7
50
67.2
1
7
50
0 0 2 5.020
)( ?
???
??
?
x
A ?
? ?)( ?jG)(Im ?jG
)(Re ?jG
0
2/)0(,)0(,0 ??? ????? A
?? ????? )(,0)(A)0,3.2( j?
三 ﹑ 奈奎斯特稳定判据
设负反馈系统的开环传递函数 )(/)()( sAsBsG
O ?
)(sB 和 )(sA 分别为 m次和 n次 s的代数多项式,且 n>= m,
则系统的闭环传递函数
?)(s?
前向通道传递函数
)(1 sG O?
系统的特征多项式为,
)(
)()(
)(
)(1)(1)(
sA
sBsA
sA
sBsGsD
O
??????
令辅助方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sA
sBsA
sF
1
1
)(
)(
)(
)()(
)(
则 )(sF 的零点
iz 就是闭环传递函数的极点,)(sF
的极点 ip
就是开环传递函数的极点, 一般来说,ip 是已知的,
iz
未知,
问题在于想通过已知的
ip
来确定未知的
iz
在 s平面上的位置
至于
iz
的具体数值倒不以关心, 这就是奈氏判据所要解决
的问题,
F?
1,奈氏判据的数学基础
奈氏判据的数学基础是复变函数中的幅角原理,
1)假设在 s平面上任选一点 A,则 A点对应某一个具体的
S值,)(sF 的映射关系,在 )(sF 的复平面上
可以确定相对应的像,如下图中的 B点,
??s?j
?
0
?A
2) 使点 S从 A
点开始沿封闭
曲线
s?
顺时针
方向移动且回
到 A点,
s? ?
B)(sF
)(sF
3) 所选择的
s?
只包围
)(sF 的某一个零点如 iz
?
iz
,且在
s?
的路径上不通过任何一个 )(sF
零极点, 则 )(sF 从 B点出发且回到 B点,)(sF 矢量的端点绕
? ?)(sF 复平面的坐标原点移动形成 F? 封闭曲线,
? ?)(sF
0
)(Im sF
)(Re sF
通过复变函数
下面考察 的相角变化情况, 如 s沿 )(sF
s?
变化时,)(sF
相角变化的增量为
)( sF?,则
)( sF? ??? 1zs? ?? 2zs? ?? ?? izs? ?? nzs ??
1ps ?? ? 2ps ?? ?
?? ?
nps ??
?? 20000)2(00 ????????????? ???
s?
?
?
?
iz
1z
s
1zs ?
??s?j
?
0
izs?
1ps?
?
1p
)( sF? ?? 2??? izs?,由左式可见,当
s?
只包围一个
)(sF 零点时,当 s沿 s? 曲线顺时针移动一圈时,在 )(sF复平面上,
)(sF 矢量的端点也绕坐标原点顺时针转了一圈
见上右图,
? ?)(sF
0
)(Im sF
)(Re sF
?
B)(sF
)(sF
如果 曲线包围了 Z个
s? )(sF
的零点,则 )(sF 曲线从 B点开
始,绕坐标原点顺时针转 Z圈, 同理可得,当
s?
曲线包围
了一个 )(sF 的极点,则当 s沿
s?
曲线顺时针转一圈时,)(sF
曲线绕坐标原点逆时针转一圈, 而当
s?
曲线包围 P个 )(sF
的极点时,当 s沿
s?
曲线顺时针转一圈时,)(sF 曲线绕坐标
原点逆时针转 P圈, 而当
s?
曲线包围 P个 )(sF 的极点和 Z
个 )(sF 的零点,当 s沿
s?
曲线顺时针转一圈时,)(sF 绕坐标
原点的圈数为, R=P-Z (1) (1)式即为幅角原理,
(1)式中,当 R>0时,表示 )(sF 曲线绕坐标原点逆时针转过
的圈数,
当 R<0时,表示 )(sF 曲线绕坐标原点顺时针转过
的圈数,
2,奈氏判据
1) 开环传递函数 )(sG
O
没有 s=0的极点
即
将
? ?
nru
sTsTsT
sK
sG
r
k
kkk
u
j
j
m
i
i
O
??
???
?
?
??
?
??
? 2,
12)()1(
)1(
)(
1
2
1
1
?
?
s?
封闭曲线扩大到虚轴和右半 s平面上半径 ? 为无穷大
的半圆,如下图所示,
??s?j
?
0
?
??
???
s?
设 (1)式中的 P和 Z为 )(sF 在 s右半
平面上的极点和零点个数,则此
s?
包围了整个右半 s平面上的 )(sF 的极点
和零点,也即开环传递函数在 s右半平
面上的极点,及闭环传递函数在 s右半平
面上的极点,而在
s?
的路径上不通过任何
开环极点和闭环极点, 称此
s?
为奈奎斯特路径,
又因为当 s在半径 ? 为无穷大的半圆圆周上取值时,由于
)(1)( sGsF O?? 而一般 )(sGO 的 n>m,所以 1)( ??F
当 s在虚轴上取值时,则 ),(,????? ??js )(1)( ?? jGjF
O??
曲线如下右图所示,
??s?j
?
0
?
??
???
s?
)(Re ?jF
? ?)( ?jF
0
)(Im ?jF
1
0??
????
???
规定 s沿
s?
移动的方向为, )(0 ????????? ?jj
的半圆圆周 ??? j 则 )( ?jF 曲线的走向如上右图
箭头所示, 等式 )(1)( ?? jGjF
O??
将 )( ?jF 曲线和 )( ?jG
O
的幅相曲线挂上了钩,如下图所示,
????
0??
???
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
由图可见,)( ?jF 平面
上的原点,相当于 )( ?jG
O
平面上的 (-1,j0)点,从而
)( ?jF 曲线包围原点的圈
数 R相当于 )( ?jG
O
曲线在 )( ?jG
O
平面上包围 (-1,j0)点的圈数,曲线也叫奈奎斯特曲线 )( ?jG
O
),( ?????,从而奈氏判据可作如下表述,
R,奈氏曲线绕临界点 (-1,j0)转过的圈数,R>0,逆时针环
绕临界点 (-1,j0); R<0,顺时针环绕临界点 (-1,j0),
P,)(sG
O
在 s右半平面上的极点个数,
Z,闭环传递函数在 s右半平面上的极点个数,
则, R=P-Z (2)
反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)
临界点的圈数 R等于开环传递函数在 s右半平面上的极点个
数 P,当 P=0时 (即开环稳定 ),则奈氏曲线不包围 (-1,j0)点
闭环稳定 ; 当奈氏曲线通过 (-1,j0)点,闭环临界稳定 ;当奈
氏曲线包围 (-1,j0)点,则闭环不稳定,
由 (2)式,当已知 R和 P时,可得 Z,即 Z=P-R,所以当
闭环系统不稳定时,还可知在右半 s平面上的闭环极点个数,
由于 )( ?jG
O
曲线当 ),0[ ??? 与 ]0,( ???? 关于实轴成镜
像对称,所以一般只画 ),0[ ??? 的曲线,则 (2)式可修正为,
2N=P-Z,N>0逆时针环绕临界点 (-1,j0); N<0,顺时针环
绕临界点 (-1,j0),N为 )( ?jG
O
当 ),0[ ??? 时的曲线包围
(-1,j0)点的圈数, )( ?jG
O
曲线的走向是从 0?? 到 ???
2) 开环传递函数 )(sG
O
有 s=0的极点
当开环传递函数有 s=0的极点时
? ?
nruv
sTsTsTs
sK
sG
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
???
???
?
?
??
?
??
? 2,
12)()1(
)1(
)(
1
2
1
1
?
?
由于奈氏判据数学基础的幅角原理规定奈奎斯特路径上
不通过任何开环极点和闭环极点,由于 s=0是 s平面的坐标
原点,在所选择的奈氏路径上,不符合所规定的条件,此
时需将奈氏路径作如下修改,
在 s平面上,以原点为圆心,作一半径 0?? 的半圆,使
奈氏路径沿无限小半圆圆周绕过原点,
如下左图所示, 但当
a
?
??s?j
?
??
???
s?
c
?
b
?
0
0?? 时,奈氏路径仍可包围整个右
半 s平面,只将 s=0的坐标原点排除在外,
位于无限小半圆圆周上的 s可表示为,
s
?? jes ?,则代入 )(sG
O
且令 0??,有
?
? ??
jv
vjvvO e
K
e
KsG ???)(
由上式可见, s平面的 a点,2/,0 ??? ???
所以 2/)0(,)0( ??? ??????
?? vvG O
s平面的 b点,0,0 ?? ??,所以 0)0(,)0( ????? ?? vG
O
s平面的 c点,2/,0 ??? ??,所以 2/)0(,)0( ??? ???????
?? vvG O
当 s在虚轴上取值时,)(sG
O
就为 )( ?jG
O
,从而 s平面上的奈氏
路径变换到 )( ?jG
O
平面上的奈氏曲线就为,
a点 2/)(,)( ???? ????? vjjG
O
b点 0)(,)( ???? ??? jjG
O
,c点 2/)(,)( ???? ?????? vjjG
O
为说明问题清楚起见,不仿令 v=1,则 s平面上的无限小
半圆圆周变换到 )( ?jG
O
平面上的奈氏曲线如下图所示,
a
?
??s?j
?
??
???
s?
c
?
b
?
0
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO0
??)( ?jG O
?? 0,?a
0,??b
?? 0,?c
可见奈氏曲线仍为封闭曲线,从而奈氏判据可不作修改
进行应用,
例 1,设开环频率特性表达式为
)1)(1(
)(
21 ??
?
???
?
jTjTj
KjG
O
,已知,试确定 K的取值范围,0,0
21 ?? TT
使闭环稳定, )0( ?K
因开环为 1型,
?????
???
? 2111
2
2
2
1 2
)(,
1)(1)(
)( TtgTtg
TT
KA ?? ????
??
?
2)0(,)0(,0
??? ?????
??? A
解,
0)0(,)0(,0 ????? ?? A
2
3)(,0)(,,??? ??????? A
其奈氏曲线如下图,
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
当曲线与负实轴相交时,
21
22
212
21
21
2
1
1
1
2
1
1
1
1
,01,
1
2
)(
2
)(
TT
TT
TT
TT
tgTtgTtgtg
TtgTtg
xx
x
xx
xx
xxx
?????
?
?
??
??????
??
??
??
?
??
?
??
???
?
??
21
21
2
2
2
1 1)(1)(
)(
TT
TKT
TT
KA
xxx
x ?????? ????
21
21 TT TKT??
当
,1
21
21 ?
? TT
TKT 即
21
210
TT
TTK ??? 时,曲线不包围 (-1,j0)点,
请见下图, 以 (-1,j0)点为矢量的起点,以
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
21
21 TT TKT??
)( ?jG O 曲线上的点为矢量的
终点,当 0?? 时,矢量的起
始位置如右图, 随 ? 的增加
矢量的终点沿曲线顺时针移
动,矢量环绕 (-1,j0)点顺时针
方向转动,当 ? 增加到某一数值时,矢量
的相角达到负角度的最大值,如右图, ? 再
增加,则矢量以逆时针方向转动,其负相角的绝对值变小,
直至
x?? ? 时,矢量的终点和曲线与负实轴的交点重合,
矢量的相角又回到 0度 ; 当 ? 继续增加,矢量仍以逆时针方
向转动,如图所示,矢量朝逆时针方向转动到其相角达到
正角度的最大值,当 ??? 时,矢量回到 0?? 时的位置,
其相角又回到 0度 ; 可见 ? 从 0变化到 ?,以 (-1,j0)为起点的
矢量环绕 (-1,j0)点的角度的增量为零,故 )( ?jG
O
曲线
未包围 (-1,j0)点,N=0,又因为由给定的开环频率特性表
达式,P=0,所以 Z=P-2N=0,闭环稳定,
例 2,设开环频率特性表达式为
)10 0 5.0)(101.0)(11.0()(
)1()(
2 ???
??
????
??
jjjj
jKjG
O
试确定 K的取值范围,使闭环稳定,
解, ;)0(,)0(,0;0)0(,)0(,0 ????? ????????? ??? AA
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
0????0?;2)(,0)(,??? ??????? A
??????? ????? ???? 005.001.01.0)( 1111 tgtgtgtg
0)0 0 1 5 4 5.08 8 5.0(
0)0 0 5.0
01.01.0(
2
1
111
??
??
??
?
???
xx
x
xxx
tgtg
tgtgtgtg
??
?
???
0?x? 舍去, KA xx 0156.0)(,8.5722 ?? ??
当 23.640,10156.0)( ???? KKA
x?
时,曲线不包围 (-1,j0)
点,N=0,又 P=0,所以 Z=P-2N=0,闭环稳定,
例 3,设开环频率特性表达式为
试确定 K的取值范围,使闭环稳定,
)10 0 5.0)(101.0()(
)10 2 5.0)(12.0()(
3 ??
???
???
???
jjj
jjKjG
O
解, ;2/3)0(,)0(,0;0)0(,)0(,0 ????? ?????????
??? AA
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO01?
0??
??0?;2/3)(,0)(,??? ??????? A
1A
2A
2/30 0 5.001.00 2 5.02.0)( 1111 ??????? ????? ???? tgtgtgtg
6 0 3 7,6 6 3
01046 7 0 0
2/)0 0 5.001.0
0 2 5.02.0(
2
2
2
1
624
11
11
??
????
???
?
??
??
xx
xx
xx
xx
tgtgtg
tgtgtg
??
??
???
??
KAAKAA xx 522411 105)(,105.3)( ?? ?????? ??
在相同的 K值下,
21 AA ?
,则当,2 8 5 70,1)(
11 ???? KAA x?
,1)( 22 ?? xAA ? 曲线如上图,闭环不稳定, Z=P-2N=0-2(-1)=2,
0??
??0?
0??
??0?
当
曲线如下图,
1)(,20000,1)( 1122 ????? xx AAKAA ??
1A
2A
0
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO
1?
由于 Z=P-2N=0-2(-1)=2,所以闭环不稳定,
当,1)(
11 ?? xAA ?
1)( 22 ?? xAA ? 时,曲线
如下图,
0
? ?)( ?jG o? ?)(Im ?jGO
? ?)(Re ?jGO
1?
1A
2A
此时,2 8 7 5,1)(
11 ??? KAA x?
,2 0 0 0 0,1)( 22 ??? KAA x?
即,2 0 0 0 02 8 7 5 ?? K 曲线不
包围 (-1,j0)点,N=0,又 P=0,所以 Z=P-2N=0,闭环稳定,
此种系统叫条件稳定系统,
四 ﹑ 稳定裕度
奈氏判据不仅可由开环判断闭环是否稳定,还可由
两个稳定裕度的指标定量描述闭环的稳定程度,
1,幅值裕度 h
)(/1 xAh ???,其几何意义见下图,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
设开环幅相频率特性
曲线如图中所示,
)( xA?
当开环传递函
数没有位于右半 s平面上的极点
时,1,1)( ?? hA
x?
闭环稳定,
且 h越大,系统的相对稳定性越
好,当 1)( ?
xA ?
时,1?h,闭环临界稳定,
当 1)( ?
xA ?
时,1?h,闭环不稳定, 假如系统的可变参数
为开环传递系数 K,则开环幅频特性可表为 )()( ' ?? KAA ?
式中 )(' ?A 为 )(?A 中不含 K的部分,则
)()( ' xx KAA ?? ?
从而,设当 K增大到 K’时,
)(/1 ' xKAh ?? )(/1 '''
xAKh ??
如 hKK ?',则
1)(/1 '' ?? xh K Ah ?,系统处于临界稳定
状态, 由此可得 h的物理含意为, 当系统稳定时,K增
大到 hK时,系统变成临界稳定,当系统不稳定时,K减
小到 hK时,系统变成临界稳定, h表示了 K允许变化的
倍数,
2,相角裕度 ?
仅有幅值裕度 h尚不能全面刻画系统的稳定程度,
这是因为,如有两个系统的开环幅相频率特性曲线如下
图所示,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
)(1 ?jG O)(
2 ?jGO
则它们的幅值裕度相等, 若两条曲线与单位圆
圆周相交时的矢量的相角分别为
21,?? 如右图中所示,
1?
2? 2? 比 1? 更靠近
-180度,当开环传递函数除 K
以外的参数变化时,)(
2 ?jG O
曲线比 )(
1 ?jG O
更易穿越 (-1,j0)临界点,稳定程度低
因此需定义相角裕度,从另一个角度来定量 )(
c???? ??
描述闭环的稳定程度, 相角裕度 ? 的几何意义见下图,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
)( ?jG O
1
1
1?c? )( c??
?
上式中,
c?
是使 )( ?jG
O
的幅值
为 1的频率,即 1)( ?
cA ?
,当开环
传递函数没有位于右半 s平面上
的极点时,即 P=0,则 0??
闭环稳定,0??,闭环临界稳定,
0??,闭环不稳定,
利用稳定裕度,奈氏判据可表述为,当开环传递函数
没有位于右半 s平面上的极点时,即 P=0,则,
0,1 ?? ?h,闭环稳定 ; 0,1 ?? ?h,闭环临界稳定 ;
0,1 ?? ?h,闭环不稳定,
课外习题, P.214第 5-2题,第 5-8题,第 5-14题,第 5-19题
第 5-20题,第 5-21题,
