5-4 典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图
一 ﹑ 对数坐标图
极坐标图上的奈氏曲线,不能明显表示时间常数等
参数变化对系统性能的影响,当各典型环节串接时,幅频
特性是各典型环节幅频特性的乘积,给计算和作图带来不
便,这是两大缺点,为此引出工程上常用的对数坐标图,
设系统的开环频率特性表达式为,
? ???
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
jTjTjTj
jK
jG
1
2
1
1
12)()1()(
)1(
)(
?????
??
?
其幅频特性和相频特性表达式分别为,
为把
??
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
m
i
i
v
TTT
K
A
1
2222
1
2
1
2
)2()1(1)(
1)(
)(
????
??
?
?
? ?
?
??????
? ?
??
?
?
u
j
r
k
k
kk
j
m
i
i T
TtgTtgvtg
1 1
22
11
1
1 )
1
2(
2
)(
?
????????
)(?A 中各环节的乘除运算化为加减运算,对 )(?A
两边取以 10为底的常用对数,变成,
??
?
??
?
?????
????
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
TTT
KA
1
2222
1
2
1
2
)2()1(l o g1)(l o g
l o g1)(l o gl o g)(l o g
????
????
上式称为对数幅频特性表达式,单位为贝尔,
但贝尔的单位太大,所以取分贝为单位,一个贝尔等于
20分贝,则上式就为,
??
?
??
?
?????
?????
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
TTT
KAL
1
2222
1
2
1
2
)2()1(l o g201)(l o g20
l o g201)(l o g20l o g20)(l o g20)(
????
?????
上式的单位为分贝,用 db表示, 由于 )(?? 已为加减运
算,就不再取对数, 一个对数坐标图分两部分,一部分
是以 )(?L 为纵轴,单位为 db,线性刻度,以 ? 为横轴,
对数刻度,构成对数幅频特性图, 另一部分以 )(?? 为
纵轴,单位为度或弧度,线性刻度,以 ? 为横轴,也以对
对数刻度,构成对数相频特性图,而这两部分就构成对数
坐标图,也叫伯德 (Bode)图,
以对数刻度的 横轴的画法请见教材 P.174图 5-6及表 5-1,?
? 横轴虽以对数刻度,但横轴上仍标以对 ? 取以 10为底
的对数前的 ? 值, 将 ? 值以对数刻度的好处在于,能把
一个较宽频率范围的图形较紧凑地表示在一张尺寸适当
的图纸上,其次,对数刻度后,把 ? 的低频段图线适当
展开,使频率特性低频段的变化情况表示的更清楚, 而频
率特性低 ﹑ 中频段变化情况反映了系统输出时域响应曲线
的稳态部分和过渡部分,而工程上对这两部分比较感兴趣,
二 ﹑ 典型环节的伯德图
1,比例环节
0)(,l o g20)(,)(,)( ???? ???? KLKjGKsG其伯德图如下所示,
?
)(?L db
0
)1(lo g20 ?KK
?
)(?? deg
?0
)1(lo g20 ?KK
2,惯性环节
惯性环节对数幅频曲线的近似画法,
??????? TtgTLjTjGTssG 122 )(,1l o g20)(,11)(,11)( ??????????
a) 当 1???T 即 T/1???,则 01lo g20)( ????L
为一条通过零分贝点的水平直线,如下图,
?
)(?L db
0
T/1?? b)当 1???T 即 T/1???,则
?? TL lo g20)( ??,此式表明 当
? 增大到原来的 10倍时,)(?L
减少 20分贝,即
nTTTL nn 20l o g2010l o g20)10( ????? ???
因此,)(?L 是一条斜率为 d ecdb /20? 的直线,如上图所示
1
10
20?
decdb /20?
c)当 1??T 即 T/1??,则 0lo g20)( ??? ?? TL
由上面分析可知,在 范围内,T/10 ?? ?
)(?L 是一条通过零 分贝点的斜率为
decdb /0 的水平直线,
?
)(?L db
0
T/1??
decdb /0
在 ??? ?T/1 范围内,
)(?L 是一条斜率为 decdb /20? 的直
线,这两条直线在 T/1?? 处相交,
decdb /20?
称 T/1?? 为惯性环节的转折频率,
当时间常数 T发生变化时,曲线形
状不变,只是作水平的左右移动,
由两条直线组成的折线代替 )(?L 的精确曲线必有误差,
设误差为 )(?L?,折线用 )(?
aL
表示,且 )()()( ???
aLLL ???
由计算可得最大误差发生在 T/1??,约为 db3?,见下图,
?
)(?L db
0 T/1??
db3?
误差曲线请见教材 P.181图 5-16,
两条直线分别是精确曲线当 0??
和 ??? 时的渐近线, 工程上将
精确曲线形状制成模板以方便作图,
惯性环节对数相频曲线的近似画法,
因 )(,90)(,45)/1(,0)0( ????? ??? ?????? T的近似曲线可由下
图所示的三段直线组成的折线表示,
?
)(?? deg
?0
?45?
?90?
T/10??T/1??T/1.0??
)(?? 的精确曲线如图
中绿线所示,对转折频
率 T/1?? 斜对称,
3,一阶微分环节
??????? TtgTLjTjGTssG 122 )(,1l o g20)(,1)(,1)( ????????
?
)(?L db
0
其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线如下图所示,
decdb /20?
T/1??
decdb /20
decdb /0
?
)(?? deg
?0
?45?
?90?
?45
?90
T/1??
4,积分环节
其对数幅频特性曲线如下图所示,
?90)(,l o g20)(,/1)(,/1)( ?????? ?????? TLjTjGTssG
?
)(?L db
0
decdb /20?
T/1??
?
通过纵轴上的 0分贝
点的水平线叫 0分贝线,由于
轴通过纵轴上的 0分贝点,故
? 轴也叫 0分贝线,积分环节穿
越 0分贝线的频率 T/1?? 叫穿
越频率, 曲线在 ? ???,0? 范围内
是一条斜率为 decdb /20? 的直线, 若有 n个积分环节串
接,即其传递函数为 nTssG )/(1)( ?,则其对数幅频特性曲
线为一条斜率为 d ecndb /20? 的直线,积分环节的相频特
性曲线如下图所示,
?
)(?? deg
?0
?90?
?90
是一条与频率无关的 -90度水平线,
5,微分环节
?90)(,l o g20)(,)(,)( ???? ?????? TLjTjGTssG
其对数幅频特性曲线见上图蓝线,
decdb /20
其对数相频特性曲线见左图蓝线,
6,二阶振荡环节
二阶振荡环节对数幅频曲线的近似画法,
)2/()12/(1)( 22222 nnn ssTssTsG ????? ??????
? ? ? ?1/2)/(/112)(/1)( 22 ?????? nn jjTjjTjG ?????????
22
2
2
)2()1(/1)(
nn
A
?
??
?
?? ???
2
2
1
1
2
)(
n
ntg
?
?
?
?
?
??
?
??
?
22
2
2
)2()1(l o g20)(
nn
L
?
??
?
?? ????
a)当 1/ ??
n??
,即
n?? ?? 时,01lo g20)( ????L
,为一条
通过零分贝点的
水平直线,如右图,
?
)(?L db
0
n?? ?
b)当,即 1/ ??
n?? n?? ?? 时,nnL ????? /l o g40)/l o g (20)( 2 ????
一条斜率为 d ecdb /40? 的直线,如下图所示,
?
)(?L db
0
n?? ?
1
10
40?
decdb /40?
两条直线
在 T
n /1?? ??
处相交,
n?
为转折
频率, 由两条直线组成的折线是
二阶振荡环节对数幅频的近似曲
线,与 ? 值无关, 但由 )(?L 的表
达式可知,二阶振荡环节对数幅频的精确曲线与 ? 值有关
当 10 ?? ? 时,二阶振荡环节对数幅频精确曲线有一簇,请
见教材 P.180图 5-13,精确曲线与近似曲线的误差曲线请见
教材 P.182图 5-17,二阶振荡环节相频表达式为,
2
2
1
1
2
)(
n
ntg
?
?
?
?
?
??
?
??
?
当
n?? ??0
时,?? 0)(90 ??? ??,当
??? ?? n 时,由于
? ?)1//()/2(1 8 0)( 221 ???? ? nntg ??????? ?
所以 ?? 90)(180 ???? ??
二阶振荡环节对数相频曲线的大至形状见下图,
二阶振荡环节对数相频曲线的形状也与
?
)(?? deg
?0
?90?
?180?
Tn /1?? ??
? 值有关,当 10 ?? ?
时,二阶振荡环节对数相频曲线有一簇,请见教材 P.180
图 5-13,
7,二阶微分环节
1/2/12)( 2222 ?????? nn ssTssTsG ????
1/2)/(12)()( 22 ?????? nn jjTjjTjG ?????????
22
2
2
)2()1()(
nn
A
?
??
?
?? ???
2
2
1
1
2
)(
n
ntg
?
?
?
?
?
??
?
?
?
二阶微分环节对数幅频特性表达式为,
由上几式可见,二阶微分环节对数幅频曲线和对数相频
曲线分别与振荡环节对数幅频曲线和对数相频曲线关于
0分贝线及 0度线成镜像对称,
8.延迟环节
22
2
2
)2()1(l o g20)(
nn
L
?
??
?
?? ???
??????? ??? ?????? ?? )(,0)(,1)(,)(,)( LAejGesG js延迟环节的对数幅频曲线于频率无关,见下图,
?
)(?L db
0
延迟环节
的相频表达式 )(?? 是 ? 的线性函
数,似乎应为一条直线,但由于对
数相频曲线画在半对数坐标图上,
? 以对数刻度,即为非线性刻度,
故延迟环节的对数相频特性是条
曲线,见左下图,
?
)(?? deg
?0
三 ﹑ 开环系统的伯德图
开环系统的幅相频率特性表达式为,
?
?
?
n
i
iO jGjG
1
)()( ??
上式表明,开环系统的幅相频率特性表达式无非是各典型
环节幅相频率特性表达式的乘积,因而
?
?? ?
?
?
?? ?
?
?
???
?
n
i
iO
n
i
i
n
i
n
i
iiO
n
i
iO
LAAL
AA
1
11 1
1
)()(
)()(l o g20)(l o g20)(
,)()(
????
????
??
由上两式可知,开环系统的对数幅频特性表达式是各典型环
节对数幅频特性表达式之和,开环系统的对数相频特性表达
式是各典型环节对数相频特性表达式之和, 因此开环系统
的伯德图就较容易画出,
)(?L db
0
20
40
40?
20?
)(?L db
0
20
40
40?
20?
1.半对数直角坐标系
对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是分别画在半对
数直角坐标系上的, 一个坐标系如下图所示,
纵坐标的单位为分贝 (db),线性刻度,
)(?L db
0
20
40
40?
20?
横坐标为
?
对数刻
度,但仍标以 本身的数值,
?1 10 1001.001.0
,?
由于对数刻度,???? 0lo g,0?
在横坐标的负无穷远处,无法刻度, 根据作图的需要,纵轴
可左右移动,横轴可上下移动,
?1 10 1001.001.0
?1 10 1001.001.0
另一个坐标系如下图所示, 纵坐标的单位为度 (deg),线性
)(?? deg
?0
?90
?180
?180?
?90?
刻度, 横坐标仍为,? 对数刻度,但仍标以 ? 本身的数值,
2,开环系统伯德图绘制举例
例 1,设开环系统幅相频率特性表达式为,
?1 10 1001.001.0
1
1
)( ?
?
? K
jT
KjG
O ??
试绘制其伯德图,
如上图所示,
解, 此开环系统由比例环节 和惯性环节 KjG ?)(
1 ?
1/1)(2 ?? ?? jTjG 串接而成,比例环节的近似对数
幅频特性曲线
)(?L db
0
20
40
40?
20?
?1 10 1001.001.0
如下图绿线所示,)(
1 ?L
1L
Klog20
惯性环节的近
似对数幅频特性曲线
)(2 ?L 如图中蓝线所
示,
T/1??
d ecdb /20?
2L
1L
和
2L
叠加后即
为图中
OL
OL
OL
,比例环
节的对数相频特性
1?
曲线 如下图绿
线所示,
)(?? deg
?0
?45?
?90?
?1 10 1001.001.0
1?
惯性环节的
对数相频特性曲线
2?
如图中蓝线所所示,
2?
1?
和
2?
叠加后仍
为
2?
例 2,设开环系统幅相频率特性表达式为,
试绘制其伯德图, ? ?
105.0)8/()12(
)15.0(4)(
2 ???
??
????
??
jjjj
jjG
O
解, 绘制过程如下, 先将除比例和积分环节之外的其它环
节的转折频率按大小依次写出并标在 ? 轴上,
8,2,5.0 321 ??? ???
3?2?
1?
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?1 101.0
,先画 ?j/4
曲线,因当 1.0?? 时,
db3240l o g201.0/4l o g20 ??
所以是一条斜率为 d e cdb /20?
通过纵轴上 32db这一点的直线,
直到惯性环节的转折频率
decdb /20?
1?
转折
为 d e cdb /40? 的直线,
decdb /40?
直到一阶微 分环节的转折频率 2?
转折为 d e cdb /20? 的直线,
decdb /20?
到
3?
转折为 d e cdb /60? 的直线,
decdb /60? O
L
OL
曲线与 0分贝线 (在上图中即为 ? 轴 )相交处的交点频率
叫开环系统的截止频率,用 C? 表示,
C?
下面介绍一种由下图确定 的近似计算方法,
C?
3?2?
1?
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?1 101.0
decdb /20?
decdb /40?
decdb /20?
decdb /60? O
L
C?
折线在
5.01 ?? 的分贝数
8l o g205.0/4l o g20)( 1 ???OL
由第二段直线的斜率可得,
d e cdbLL
c
OcO /40
5.0l o gl o g
)5.0()( ??
?
?
?
??
d e cdb
c
/40
5.0/l o g
8l o g200 ???
?
8lo g5.0/lo g2 ?? c?
2,8)5.0/( 2 ?? cc ??用上法求出的
c?
值与令 1)( ?
cOA ?
求出的
c? 有一定的误差,但当 c?
时,误差很小,能满足工程上的精度要求, )(?? O 曲线的大至
形状如上图所示,曲线与 -180度线的交点频率
)(?? deg
?180?
?90?
?0
?270?
?1 101.0
两边的转折频率离它较远
x?
可令
??? ??)( xO 然后两边取正切解得 7.7?x?,如上图所示,
7.7?x?
3?
2?
1? 4?
例 3,设开环系统幅相频率特性表达式为,
试绘制其对数幅频特性曲线,
? ?1008.0)04.0()12.0)(1( )14.0(10)( 2 ???? ?? ????? ?? jjjjj jjG O
解, 绘制过程如下, 先将除比例和积分环节之外的其它环
节的转折频率按大小依次写出并标在 ? 轴上,
25,5,5.2,1 4321 ???? ????
先画 ?j/10 曲线,因当 1??
时,db2010lo g201/10lo g20 ??
所以是一条斜率为 d e cdb /20?
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?10 1001
通过纵轴上 20db这一点的直线,
20?
直到惯性环节的转折频率 1? 转折为 d e cdb /40? 的直线,
40?
直到一阶微分环节的转折频率
2?
转折为 d e cdb /20?
的直线,
20?
再到又一个惯性环节的转折频率
3?
又转折为
d e cdb /40? 的直线,
40?
最后到二阶振荡环节的转折频率
4?
转折为 d e cdb /80? 的直线,
80?
OL
例 3图中求 的近似计算方法为,
C?
3?
2?
1? 4?
40?
20?
40? 20?
80?
OL
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?10 1001
由第二段直线的斜率可得
d e cdbLL OO /40
1l o g5.2l o g
)1()5.2( ??
?
??
6 2 5.0l o g20
10l o g205.2l o g40)5.2(
??
???? OL
d e cdbLL
CC
OCO /20
5.2l o gl o g
6 2 5.0l o g200
5.2l o gl o g
)5.2()( ??
?
??
?
?
??
??
C?
在第三段直线上,C?
4625.0/5.2,625.0l o g205.2/l o g20 ????? CC ??
3,最小相位系统
不包含延迟环节,又没有位于 s右半平面上的零 ﹑ 极
点的传递函数叫最小相位传递函数,否则叫非最小相位传
递函数, 具有最小相位传递函数的系统叫最小相位系统,
具有非最小相位传递函数的系统叫非最小相位系统,
下面举例说明最小相位传递函数和非最小相位传递函数
在伯德图上的区别, 设有,
0,
1
1)(,
1
1)(
21
1
2
2
1
2
1 ???
??
?
?? TT
sT
sTsG
sT
sTsG
)(1 sG 是最小相位传递函数,)(2 sG 是非最小相位传递函数,
它们的对数幅频特性表达式分别为,
2
1
2
2
22
1
2
2
1 )(1
)(1
l o g20)(,
)(1
)(1
l o g20)(
?
?
?
?
?
?
T
T
L
T
T
L
?
?
?
?
?
?
它们的相频特性表达式分别为,
???????? 1121211211 )(,)( TtgTtgTtgTtg ???? ?????
它们的对数幅频特性曲线见下图,
1
1
T 2
1
T
?
)(?L db
0
decdb /20?
1L
2L
由图可见它们的对数幅
频特性曲线完全相同,
它们的对数相频特性曲线见下图, 它们的对数相频特性
1
1
T 2
1
T
?
)(?? deg
?0
?90?
?180?
1?
2?
曲线不相同, )(
1 ?? 从 0变化到 0,
而 )(
2 ??
从 0变化到 -180度,前
者相角变化的范围比后者相角
变化的范围小,故称 )(
1 sG
为
最小相位传递函数,)(
2 sG
为非
最小相位传递函数,最小相位传
)(?L
1
1
T 2
1
T
?
)(?L db
0
decdb /20?
1L
2L
递函数的特点是,其 曲线
的斜率变化趋势与相角的变化
趋势一致,见上两图,
1L
曲线的斜率减小时,1? 的角度也
减小, 因此,分析和综合最小相位系统时,只需画出
)(?L 曲线即可,且 )(?L 曲线与最小相位传递函数 )(sG
一一对应, 另一特点是,当 ??? 时,最小相位传递函数
的相角满足 )(90 mn ??? ?,故可根据这一特点来判别系
统是否为最小相位系统,
例, 已知某闭环系统的开环传递函数为最小相位传递函
数,其对数幅频特性如下图所示,试求其传递函数,
)(?L db
0
20
40
20?
?10 1001
40?
40? 20?
解,
)11.0(
)1()(
2 ?
??
ss
sKsG
40lo g20
40lo g20
1
2
?
?
?
K
K
??
?
)11.0(/)1(100)(100 2 ????? ssssGK
课外习题, P.215第 5-10题,第 5-11题 (1) ﹑ (2) ﹑ (3)
并求相角裕度,第 5-12题 (a),(b),第 5-17题,
四 ﹑ 由开环系统的伯德图分析闭环系统的时域性能
与根轨迹法由开环分析闭环时域性能的思路一样,
频域分析法通过开环频率特性来分析闭环时域性能,
1.伯德图与系统稳定性
奈氏判据由开环幅相频率特性在极坐标图上的奈氏
曲线可判别闭环的稳定性,奈氏判据也可在伯德图上判
别闭环的稳定性, 对数坐标图与极坐标图有如下对应关
系, (1) 极坐标图上以原点为圆心的单位圆的圆周对应
于幅频特性对数坐标图上的 0分贝线,
(2) 极坐标图上的负实轴对应于相频特性对数坐标
图上的 -180度线,
由于有以上的对应关系,故可在伯德图上应用奈氏
判据来判别闭环的稳定性,并确定稳定裕度,
为说明奈氏判据伯德图上的应用法则,对上面所说的两
条对应关系给出如下示意图,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
)( ?jG O
1
1
1?c? )( c??
?
x?
?
)(?L db
0
)(?? deg
?180?
?0
?
设开环对数相频特性曲线 )(?? 穿越 ?? 的一段如上右下
开环对数幅频特性曲线 )(?L 穿越 0分贝线的一段 图所示,
如上右上图所示,
c?
)(?L
定义, )(
xx Lh ???
为幅值裕度,单位为
分贝,
x?
)(??
xh
)(1 8 0 c??? ?? ? 为相角裕度,
?
奈氏判据可表为,
当开环稳定 (即 P=0)时,若 0,0 ?? xh? 则闭环稳定,若
0,0 ?? xh? 则闭环临界稳定,若 0,0 ?? xh? 则闭环不稳定,
在极坐标图上的幅值裕度 和在对数坐标图上的幅值裕度 h
xh
的转换关系推导如下,
)()(l o g20)(/1l o g20l o g20
)(/1
xxx
x
LAAh
Ah
???
?
??????
??
20/l o gl o g20)( 1 xxx hhhLh ?????? ??
可见
xh
的物理含义与 h 一样,只是单位和数值不同,
例, 设一闭环系统具有如下开环传递函数
)12.0)(1(
2)(
??
?
sss
sG O
要求画出伯德图,判别闭环是否稳定,如稳定,求
幅值裕度和相角裕度,并计算开环传递系数增大到
2的多少倍后,闭环临界稳定,开环传递系数的临界
稳定值是多少?
c?
解, 伯德图如下所示,由图可见,因
decdb /20?
decdb /40?
)(?L db
0
20
6
20?
?1 101.0
5
decdb /60?
)(?? deg
?90?
?180?
?270?
?1 101.0
x?
?
xh
0,0 ?? xh? 而开环稳定,
所以闭环稳定, 求幅值裕度和相
角裕度的过程如下,
5
2.01
2.0
1802.090
2
11
???
?
?
?
????? ??
x
x
xx
xx
tgtg
?
?
??
?? ???
5.2lo g20
40
1lo g5lo g
2lo g20
??
??
?
??
x
x
h
h
?
?
???
?
5.1922.02
901 8 0)(1 8 0
240
1l o gl o g
2l o g200
11
???
????
????
?
?
??
tgtg
c
c
c
???
?
?
5.220/lo g 1 ?? ? xhh?
所以开环传递系数的临界稳定值 = 55.222 ???? h
'c?
2.对数幅频特性图与系统的稳态误差
当一个自控系统的结构和参数确定后,可由它的开环
传递函数的型号和开环传递系数来计算它对某一种输入信
号的稳态误差值, 而在控制系统的开环对数幅频特性图上
也能判断其开环型号和开环传递系数,从而算出它跟踪某
一种输入信号的稳态误差值,
1) 0型系统 设 0型系统的开环频率特性为,
1
)(
?
?
?
?
jT
KjG
O
其开环对数幅频特性曲线如下图,
)(?L db
0
?
1L
Klog20
T/11 ??
decdb /20?
1?? ? 的频率范围叫低频段,0型系统 低频段的对数幅频特性折线为一高度
KL lo g201 ? 的水平直线,且
20/lo g 11 LKK p ???, 上面结论适用于
任何复杂的 0型系统,
2) 一型系统 设一型系统的开环频率特性为,
其开环对数幅频特性曲线如下图,
)1(
)(
?
?
??
?
jTj
KjG
O
)(?L db
0
?
T/11 ??
vv K??
decdb /20?
1??
)1(L
decdb /40?
如图当
v?? ?1
,则 KK
vv ???或
20/)1(lo g
lo g20)1(
1 LK
KL
v
???
??
当
v?? ?1,则其开环对数幅频特
性曲线如下图,
)(?L db
0
?
T/11 ??
vv K??
decdb /20?
1??
)1(L
decdb /40?
将低频段 d ecdb /20?
的直线延长使其与 0分贝相交,则交
点频率 KK
vv ???
,且也同样有
20/)1(lo g 1 LK v ??
3) 二型系统 设二型系统的开环频率特性为,
其开环对数幅频特性曲线如下图,
)1()(
)( 2
?
?
??
?
jTj
KjG
O
)(?L db
0
?
)1(L
T/11 ??
aa K??
decdb /40?
1??
decdb /60?
如图当
a?? ?1,则 KK aa ???
或
20/)1(lo g
lo g20)1(
1 LK
KL
a
???
??
当
a?? ?1,则其开环对数幅频特
性曲线如下图,
)(?L db
0
?
T/11 ??
aa K??
decdb /40?
1??
)1(L
decdb /60?
将低频段 d ecdb /40?
的直线延长使其与 0分贝相交,则交
点频率 KK
aa ???
,且也同样有
20/)1(lo g 1 LK a ??
例, 已知某闭环系统的开环对数幅频曲线如下图,
求输入信号 )(?L db
0
?
3/40 50
2 3
decdb /40?
decdb /60?
decdb /20?
decdb /20?
)(1)10100()( tttr ???
时的稳态误差值,
解, 因低频段
直线斜率
d ecdb /20?
所以系统为一型 ??
pK
下面求速度误差系数,
9/40l o g20)3(20
3l o g3/40l o g
)3(0 ????
?
? LL?
10l o g20)2(40
2l o g3l o g
)2(9/40l o g20 ????
?
? LL?
2010l o g202/l o g20 ??? vv KK?
5.0
20
10
1
10010
1
100 ??
??
??
?
??
vp
ss KKe
3,伯德图与系统的瞬态响应
1) )(?L 曲线的参数与瞬态响应的关系
a) 一阶一型系统, 其结构图如下,
Ts
1
)(sR )(sC
TssG O /1)( ? 开环为一型,)1/(1)( ?? Tss? 闭环为一阶,
)(?L 曲线见上右图,
)(?L db
0
?
)1(lo g20 LK ?
TKc /1???
decdb /20?
1??
截止频率 TK
c /1???
,一阶一型系统
不管 T为大于零的何值,闭环始终稳定,)(?L 穿越 0分贝
线的斜率为 d ecdb /20?, 因 )1/(1)( ?? Tss? 是一惯性环节
没有超调量,调节时间
cs Tt ?/33 ??
,可见 c? 越大,调节
时间越短,
b) 二阶一型系统, 其结构图如下,
开环为一型,)1( ?Tss K
)(sR )(sC )1(/)( ?? TssKsG O
)/()( 2 KsTsKs ????
闭环为二阶, 下面分三种情况进行讨论,
(1) )(,/1
1 ??? LTK c ???
曲线与闭环单位阶跃响应
)(?L db
0
?
Kv ??
decdb /20?
1? c?
decdb /40?
)(th
0
t
1
)(?L 以 d ecdb /40? 穿越 0分贝线,但只要 K ﹑ T都大于零
二阶闭环总是稳定的,不过其瞬态性能较差,由 )(s? 可得
)(.5.01/,2// 11 thKK ???? ???? ?曲线振荡比较
剧烈,
曲线如下
(2) 曲线与闭环单位阶跃响应 )(,/1
1 ??? LTK c ???
)(?L db
0 ?
decdb /20?
c?
decdb /40?
)(th
0
t
1
)(.5.01/,2// 11 thKK ???? ???? ?曲线振荡稍好,
(3) )(,/1
1 ??? LKT c ???
曲线与闭环单位阶跃响应曲线
)(?L db
0 ?
decdb /20?
c?
decdb /40?
1?
)(th
0
t
1
曲线如下
如下
5.01/,2// 11 ???? ????? cK ?,且 c?? /1 越大,?
值也越大,当 2/27 0 7.0 ??? 时,)(th 曲线接近于指数上升
曲线,调节时间
cst ?/3?
综合上面的分析可得结论是, 当开环对数幅频曲线
以
)(?L
d ecdb /20? 穿越 0分贝线,不管闭环是二阶系统还是高
阶系统,只要开环稳定,闭环总是稳定的, 为使 )(th 不产
生超调,或超调很小,
c?
应位于斜率为 d ecdb /20? 的线段
上,且这一线段应有一定的频率宽度,
2)由相角裕度 ? 确定二阶系统的时域指标
典型二阶系统的开环传递函数及频率特性可表为,
)2(/)(),2(/)( 22 nnOnnO jjjGsssG ????????? ????
上式中,KTTK
n 2/1,/ ?? ??
,其 )(?L 可见下两图
)(?L db
0
?
K?2?
decdb /20?
T/11 ?? 3?
decdb /40?
)(?L db
0 ?
decdb /20?
3?
decdb /40?
K?1?
T/12 ??
先推导 ? 和 ? 的关系,
因为,所以
1
4 222
2
?
? ncc
n
????
? 01)(4)( 224 ???
n
c
n
c
?
??
?
?
对上式求解,并考虑到 2)(
n
c
?
? 不能为负,有,
142)( 422 ???? ??
?
?
n
c
,又因
n
c
?
? 也不能为负,所以
2/124 )214( ??
?
? ???
n
c
又因
cnncc tgtg ????????? /22/90180)(180 11 ?? ?????? ???
将
n
c
?
? 代入上式得, ])214(2[ 2/1241 ?? ??? ???? tg
教材 P.213图 5-48给出了典型二阶系统的 ?? ? 曲线,由 ? 值
可得
%p?,由于 nst ??/5.3?,则由上一屏给出的 )(?L
曲线求出
sn t,?
也可求得,
由前屏给出的 曲线重新显示于下, )(?L
1
2
1
12
1 l o g20)(20
l o gl o g
)(0
?
??
??
? ????
?
? LL?
1
3
1
13
1 l o g40)(40
l o gl o g
)(0
?
??
??
? ????
?
? LL?
由上两式得,
1
22
1
3
1
3
1
2 )(l o g40l o g20
?
?
?
?
?
?
?
? ????
从而
nTK ???? ??? /213
)(?L db
0
?
K?2?
decdb /20?
T/11 ?? 3?
decdb /40?
)(?L db
0 ?
decdb /20?
3?
decdb /40?
K?1?
T/12 ??
3)由相角裕度 ?
设单位负反馈系统的闭环传递函数为,
)(1
)()(
sG
sGs
O
O
?
??
则
)()(
)(1
)()( ???
?
??? j
O
O eM
jG
jGj ?
?
?
令
m a x)( ?MM r ? 叫闭环谐振峰值,则在研究二阶振荡环
节时已知
212/1 ?? ??
rM
,与 ? 值一一对应,
确定高阶系统的时域指标
故当知道
rM
值后,? 值也可解得,从而可得时域指标 %
p?
但对于高阶系统,频域指标
rM
和时域指标间没有一一对应
的明确关系,
通过对大量系统的研究,可归纳出以下两个近似的估算
公式, )8.11()1(4.016.0 ?????
rr MM?
及 Cs Kt ?? /?
上式中 2)1(5.2)1(5.12 ?????
rr MMK
由于 )( ?? j 曲线比较难画,要用到尼柯尔斯图线,且对于
高阶的闭环系统,
rM
的计算也较复杂, 而开环系统的伯德
图相对较好画,故从伯德图上或通过适当计算求 ? 也较容
易,所以设法将开环的 ? 与闭环的
rM
挂上钩,从而可由
? 值来估算时域指标, 下面推导
rM
和 ? 之间的关系,
)()()( ???? jO eAjG ? 式中相频特性可写为
d??? ??? ?180)(
式中 d? 表示不同频率时相角对 的偏移,当 ?180?
c?? ?
时,?? ?d
因而开环频率特性可表为,
闭环幅频特性为,
)s i nc o s)(()()( )1 8 0( ddjO jAeAjG d ????? ? ???? ?? ?
)(c o s)(21
)(
s i n)(c o s)(1
)(
)(1
)(
)(
2
???
?
????
?
?
?
?
AA
A
jAA
A
jG
jG
M
d
ddO
O
??
?
??
?
?
?
求
max)(?M 时,假设在 max)(?M 附近,d? 变化较小,(此假
设对一般系统均满足 ),又因
max)(?M
发生在开环截止频率
c?
附近,于是可认为 c o n st
d ?? ?? c o sc o s,令
0)(/)( ??? dAdM,得 ??? c o s/1c o s/1)( ?? dA 代入 )(?M
表达式有 ?s in/1?
rM,左式建立了 rM 与 ? 间的近似关系
在
c? 附近,c o n std ?? ?? c o sc o s 越满足,?s in/1?
rM
的近似
程度越高,
归纳出的两个近似的估算公式可表为,
及
)9035()1
s i n
1(4.016.0 ?? ????? ?
?
?
Cs Kt ?? /?
上式中
)9035()1
s i n
1(5.2)1
s i n
1(5.12 2 ?? ??????? ?
??
K
一 ﹑ 对数坐标图
极坐标图上的奈氏曲线,不能明显表示时间常数等
参数变化对系统性能的影响,当各典型环节串接时,幅频
特性是各典型环节幅频特性的乘积,给计算和作图带来不
便,这是两大缺点,为此引出工程上常用的对数坐标图,
设系统的开环频率特性表达式为,
? ???
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
O
jTjTjTj
jK
jG
1
2
1
1
12)()1()(
)1(
)(
?????
??
?
其幅频特性和相频特性表达式分别为,
为把
??
?
??
?
???
?
?
r
k
kkk
u
j
j
m
i
i
v
TTT
K
A
1
2222
1
2
1
2
)2()1(1)(
1)(
)(
????
??
?
?
? ?
?
??????
? ?
??
?
?
u
j
r
k
k
kk
j
m
i
i T
TtgTtgvtg
1 1
22
11
1
1 )
1
2(
2
)(
?
????????
)(?A 中各环节的乘除运算化为加减运算,对 )(?A
两边取以 10为底的常用对数,变成,
??
?
??
?
?????
????
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
TTT
KA
1
2222
1
2
1
2
)2()1(l o g1)(l o g
l o g1)(l o gl o g)(l o g
????
????
上式称为对数幅频特性表达式,单位为贝尔,
但贝尔的单位太大,所以取分贝为单位,一个贝尔等于
20分贝,则上式就为,
??
?
??
?
?????
?????
r
k
kkk
u
j
j
v
m
i
i
TTT
KAL
1
2222
1
2
1
2
)2()1(l o g201)(l o g20
l o g201)(l o g20l o g20)(l o g20)(
????
?????
上式的单位为分贝,用 db表示, 由于 )(?? 已为加减运
算,就不再取对数, 一个对数坐标图分两部分,一部分
是以 )(?L 为纵轴,单位为 db,线性刻度,以 ? 为横轴,
对数刻度,构成对数幅频特性图, 另一部分以 )(?? 为
纵轴,单位为度或弧度,线性刻度,以 ? 为横轴,也以对
对数刻度,构成对数相频特性图,而这两部分就构成对数
坐标图,也叫伯德 (Bode)图,
以对数刻度的 横轴的画法请见教材 P.174图 5-6及表 5-1,?
? 横轴虽以对数刻度,但横轴上仍标以对 ? 取以 10为底
的对数前的 ? 值, 将 ? 值以对数刻度的好处在于,能把
一个较宽频率范围的图形较紧凑地表示在一张尺寸适当
的图纸上,其次,对数刻度后,把 ? 的低频段图线适当
展开,使频率特性低频段的变化情况表示的更清楚, 而频
率特性低 ﹑ 中频段变化情况反映了系统输出时域响应曲线
的稳态部分和过渡部分,而工程上对这两部分比较感兴趣,
二 ﹑ 典型环节的伯德图
1,比例环节
0)(,l o g20)(,)(,)( ???? ???? KLKjGKsG其伯德图如下所示,
?
)(?L db
0
)1(lo g20 ?KK
?
)(?? deg
?0
)1(lo g20 ?KK
2,惯性环节
惯性环节对数幅频曲线的近似画法,
??????? TtgTLjTjGTssG 122 )(,1l o g20)(,11)(,11)( ??????????
a) 当 1???T 即 T/1???,则 01lo g20)( ????L
为一条通过零分贝点的水平直线,如下图,
?
)(?L db
0
T/1?? b)当 1???T 即 T/1???,则
?? TL lo g20)( ??,此式表明 当
? 增大到原来的 10倍时,)(?L
减少 20分贝,即
nTTTL nn 20l o g2010l o g20)10( ????? ???
因此,)(?L 是一条斜率为 d ecdb /20? 的直线,如上图所示
1
10
20?
decdb /20?
c)当 1??T 即 T/1??,则 0lo g20)( ??? ?? TL
由上面分析可知,在 范围内,T/10 ?? ?
)(?L 是一条通过零 分贝点的斜率为
decdb /0 的水平直线,
?
)(?L db
0
T/1??
decdb /0
在 ??? ?T/1 范围内,
)(?L 是一条斜率为 decdb /20? 的直
线,这两条直线在 T/1?? 处相交,
decdb /20?
称 T/1?? 为惯性环节的转折频率,
当时间常数 T发生变化时,曲线形
状不变,只是作水平的左右移动,
由两条直线组成的折线代替 )(?L 的精确曲线必有误差,
设误差为 )(?L?,折线用 )(?
aL
表示,且 )()()( ???
aLLL ???
由计算可得最大误差发生在 T/1??,约为 db3?,见下图,
?
)(?L db
0 T/1??
db3?
误差曲线请见教材 P.181图 5-16,
两条直线分别是精确曲线当 0??
和 ??? 时的渐近线, 工程上将
精确曲线形状制成模板以方便作图,
惯性环节对数相频曲线的近似画法,
因 )(,90)(,45)/1(,0)0( ????? ??? ?????? T的近似曲线可由下
图所示的三段直线组成的折线表示,
?
)(?? deg
?0
?45?
?90?
T/10??T/1??T/1.0??
)(?? 的精确曲线如图
中绿线所示,对转折频
率 T/1?? 斜对称,
3,一阶微分环节
??????? TtgTLjTjGTssG 122 )(,1l o g20)(,1)(,1)( ????????
?
)(?L db
0
其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线如下图所示,
decdb /20?
T/1??
decdb /20
decdb /0
?
)(?? deg
?0
?45?
?90?
?45
?90
T/1??
4,积分环节
其对数幅频特性曲线如下图所示,
?90)(,l o g20)(,/1)(,/1)( ?????? ?????? TLjTjGTssG
?
)(?L db
0
decdb /20?
T/1??
?
通过纵轴上的 0分贝
点的水平线叫 0分贝线,由于
轴通过纵轴上的 0分贝点,故
? 轴也叫 0分贝线,积分环节穿
越 0分贝线的频率 T/1?? 叫穿
越频率, 曲线在 ? ???,0? 范围内
是一条斜率为 decdb /20? 的直线, 若有 n个积分环节串
接,即其传递函数为 nTssG )/(1)( ?,则其对数幅频特性曲
线为一条斜率为 d ecndb /20? 的直线,积分环节的相频特
性曲线如下图所示,
?
)(?? deg
?0
?90?
?90
是一条与频率无关的 -90度水平线,
5,微分环节
?90)(,l o g20)(,)(,)( ???? ?????? TLjTjGTssG
其对数幅频特性曲线见上图蓝线,
decdb /20
其对数相频特性曲线见左图蓝线,
6,二阶振荡环节
二阶振荡环节对数幅频曲线的近似画法,
)2/()12/(1)( 22222 nnn ssTssTsG ????? ??????
? ? ? ?1/2)/(/112)(/1)( 22 ?????? nn jjTjjTjG ?????????
22
2
2
)2()1(/1)(
nn
A
?
??
?
?? ???
2
2
1
1
2
)(
n
ntg
?
?
?
?
?
??
?
??
?
22
2
2
)2()1(l o g20)(
nn
L
?
??
?
?? ????
a)当 1/ ??
n??
,即
n?? ?? 时,01lo g20)( ????L
,为一条
通过零分贝点的
水平直线,如右图,
?
)(?L db
0
n?? ?
b)当,即 1/ ??
n?? n?? ?? 时,nnL ????? /l o g40)/l o g (20)( 2 ????
一条斜率为 d ecdb /40? 的直线,如下图所示,
?
)(?L db
0
n?? ?
1
10
40?
decdb /40?
两条直线
在 T
n /1?? ??
处相交,
n?
为转折
频率, 由两条直线组成的折线是
二阶振荡环节对数幅频的近似曲
线,与 ? 值无关, 但由 )(?L 的表
达式可知,二阶振荡环节对数幅频的精确曲线与 ? 值有关
当 10 ?? ? 时,二阶振荡环节对数幅频精确曲线有一簇,请
见教材 P.180图 5-13,精确曲线与近似曲线的误差曲线请见
教材 P.182图 5-17,二阶振荡环节相频表达式为,
2
2
1
1
2
)(
n
ntg
?
?
?
?
?
??
?
??
?
当
n?? ??0
时,?? 0)(90 ??? ??,当
??? ?? n 时,由于
? ?)1//()/2(1 8 0)( 221 ???? ? nntg ??????? ?
所以 ?? 90)(180 ???? ??
二阶振荡环节对数相频曲线的大至形状见下图,
二阶振荡环节对数相频曲线的形状也与
?
)(?? deg
?0
?90?
?180?
Tn /1?? ??
? 值有关,当 10 ?? ?
时,二阶振荡环节对数相频曲线有一簇,请见教材 P.180
图 5-13,
7,二阶微分环节
1/2/12)( 2222 ?????? nn ssTssTsG ????
1/2)/(12)()( 22 ?????? nn jjTjjTjG ?????????
22
2
2
)2()1()(
nn
A
?
??
?
?? ???
2
2
1
1
2
)(
n
ntg
?
?
?
?
?
??
?
?
?
二阶微分环节对数幅频特性表达式为,
由上几式可见,二阶微分环节对数幅频曲线和对数相频
曲线分别与振荡环节对数幅频曲线和对数相频曲线关于
0分贝线及 0度线成镜像对称,
8.延迟环节
22
2
2
)2()1(l o g20)(
nn
L
?
??
?
?? ???
??????? ??? ?????? ?? )(,0)(,1)(,)(,)( LAejGesG js延迟环节的对数幅频曲线于频率无关,见下图,
?
)(?L db
0
延迟环节
的相频表达式 )(?? 是 ? 的线性函
数,似乎应为一条直线,但由于对
数相频曲线画在半对数坐标图上,
? 以对数刻度,即为非线性刻度,
故延迟环节的对数相频特性是条
曲线,见左下图,
?
)(?? deg
?0
三 ﹑ 开环系统的伯德图
开环系统的幅相频率特性表达式为,
?
?
?
n
i
iO jGjG
1
)()( ??
上式表明,开环系统的幅相频率特性表达式无非是各典型
环节幅相频率特性表达式的乘积,因而
?
?? ?
?
?
?? ?
?
?
???
?
n
i
iO
n
i
i
n
i
n
i
iiO
n
i
iO
LAAL
AA
1
11 1
1
)()(
)()(l o g20)(l o g20)(
,)()(
????
????
??
由上两式可知,开环系统的对数幅频特性表达式是各典型环
节对数幅频特性表达式之和,开环系统的对数相频特性表达
式是各典型环节对数相频特性表达式之和, 因此开环系统
的伯德图就较容易画出,
)(?L db
0
20
40
40?
20?
)(?L db
0
20
40
40?
20?
1.半对数直角坐标系
对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是分别画在半对
数直角坐标系上的, 一个坐标系如下图所示,
纵坐标的单位为分贝 (db),线性刻度,
)(?L db
0
20
40
40?
20?
横坐标为
?
对数刻
度,但仍标以 本身的数值,
?1 10 1001.001.0
,?
由于对数刻度,???? 0lo g,0?
在横坐标的负无穷远处,无法刻度, 根据作图的需要,纵轴
可左右移动,横轴可上下移动,
?1 10 1001.001.0
?1 10 1001.001.0
另一个坐标系如下图所示, 纵坐标的单位为度 (deg),线性
)(?? deg
?0
?90
?180
?180?
?90?
刻度, 横坐标仍为,? 对数刻度,但仍标以 ? 本身的数值,
2,开环系统伯德图绘制举例
例 1,设开环系统幅相频率特性表达式为,
?1 10 1001.001.0
1
1
)( ?
?
? K
jT
KjG
O ??
试绘制其伯德图,
如上图所示,
解, 此开环系统由比例环节 和惯性环节 KjG ?)(
1 ?
1/1)(2 ?? ?? jTjG 串接而成,比例环节的近似对数
幅频特性曲线
)(?L db
0
20
40
40?
20?
?1 10 1001.001.0
如下图绿线所示,)(
1 ?L
1L
Klog20
惯性环节的近
似对数幅频特性曲线
)(2 ?L 如图中蓝线所
示,
T/1??
d ecdb /20?
2L
1L
和
2L
叠加后即
为图中
OL
OL
OL
,比例环
节的对数相频特性
1?
曲线 如下图绿
线所示,
)(?? deg
?0
?45?
?90?
?1 10 1001.001.0
1?
惯性环节的
对数相频特性曲线
2?
如图中蓝线所所示,
2?
1?
和
2?
叠加后仍
为
2?
例 2,设开环系统幅相频率特性表达式为,
试绘制其伯德图, ? ?
105.0)8/()12(
)15.0(4)(
2 ???
??
????
??
jjjj
jjG
O
解, 绘制过程如下, 先将除比例和积分环节之外的其它环
节的转折频率按大小依次写出并标在 ? 轴上,
8,2,5.0 321 ??? ???
3?2?
1?
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?1 101.0
,先画 ?j/4
曲线,因当 1.0?? 时,
db3240l o g201.0/4l o g20 ??
所以是一条斜率为 d e cdb /20?
通过纵轴上 32db这一点的直线,
直到惯性环节的转折频率
decdb /20?
1?
转折
为 d e cdb /40? 的直线,
decdb /40?
直到一阶微 分环节的转折频率 2?
转折为 d e cdb /20? 的直线,
decdb /20?
到
3?
转折为 d e cdb /60? 的直线,
decdb /60? O
L
OL
曲线与 0分贝线 (在上图中即为 ? 轴 )相交处的交点频率
叫开环系统的截止频率,用 C? 表示,
C?
下面介绍一种由下图确定 的近似计算方法,
C?
3?2?
1?
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?1 101.0
decdb /20?
decdb /40?
decdb /20?
decdb /60? O
L
C?
折线在
5.01 ?? 的分贝数
8l o g205.0/4l o g20)( 1 ???OL
由第二段直线的斜率可得,
d e cdbLL
c
OcO /40
5.0l o gl o g
)5.0()( ??
?
?
?
??
d e cdb
c
/40
5.0/l o g
8l o g200 ???
?
8lo g5.0/lo g2 ?? c?
2,8)5.0/( 2 ?? cc ??用上法求出的
c?
值与令 1)( ?
cOA ?
求出的
c? 有一定的误差,但当 c?
时,误差很小,能满足工程上的精度要求, )(?? O 曲线的大至
形状如上图所示,曲线与 -180度线的交点频率
)(?? deg
?180?
?90?
?0
?270?
?1 101.0
两边的转折频率离它较远
x?
可令
??? ??)( xO 然后两边取正切解得 7.7?x?,如上图所示,
7.7?x?
3?
2?
1? 4?
例 3,设开环系统幅相频率特性表达式为,
试绘制其对数幅频特性曲线,
? ?1008.0)04.0()12.0)(1( )14.0(10)( 2 ???? ?? ????? ?? jjjjj jjG O
解, 绘制过程如下, 先将除比例和积分环节之外的其它环
节的转折频率按大小依次写出并标在 ? 轴上,
25,5,5.2,1 4321 ???? ????
先画 ?j/10 曲线,因当 1??
时,db2010lo g201/10lo g20 ??
所以是一条斜率为 d e cdb /20?
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?10 1001
通过纵轴上 20db这一点的直线,
20?
直到惯性环节的转折频率 1? 转折为 d e cdb /40? 的直线,
40?
直到一阶微分环节的转折频率
2?
转折为 d e cdb /20?
的直线,
20?
再到又一个惯性环节的转折频率
3?
又转折为
d e cdb /40? 的直线,
40?
最后到二阶振荡环节的转折频率
4?
转折为 d e cdb /80? 的直线,
80?
OL
例 3图中求 的近似计算方法为,
C?
3?
2?
1? 4?
40?
20?
40? 20?
80?
OL
)(?L db
0
20
40
40?
20? ?10 1001
由第二段直线的斜率可得
d e cdbLL OO /40
1l o g5.2l o g
)1()5.2( ??
?
??
6 2 5.0l o g20
10l o g205.2l o g40)5.2(
??
???? OL
d e cdbLL
CC
OCO /20
5.2l o gl o g
6 2 5.0l o g200
5.2l o gl o g
)5.2()( ??
?
??
?
?
??
??
C?
在第三段直线上,C?
4625.0/5.2,625.0l o g205.2/l o g20 ????? CC ??
3,最小相位系统
不包含延迟环节,又没有位于 s右半平面上的零 ﹑ 极
点的传递函数叫最小相位传递函数,否则叫非最小相位传
递函数, 具有最小相位传递函数的系统叫最小相位系统,
具有非最小相位传递函数的系统叫非最小相位系统,
下面举例说明最小相位传递函数和非最小相位传递函数
在伯德图上的区别, 设有,
0,
1
1)(,
1
1)(
21
1
2
2
1
2
1 ???
??
?
?? TT
sT
sTsG
sT
sTsG
)(1 sG 是最小相位传递函数,)(2 sG 是非最小相位传递函数,
它们的对数幅频特性表达式分别为,
2
1
2
2
22
1
2
2
1 )(1
)(1
l o g20)(,
)(1
)(1
l o g20)(
?
?
?
?
?
?
T
T
L
T
T
L
?
?
?
?
?
?
它们的相频特性表达式分别为,
???????? 1121211211 )(,)( TtgTtgTtgTtg ???? ?????
它们的对数幅频特性曲线见下图,
1
1
T 2
1
T
?
)(?L db
0
decdb /20?
1L
2L
由图可见它们的对数幅
频特性曲线完全相同,
它们的对数相频特性曲线见下图, 它们的对数相频特性
1
1
T 2
1
T
?
)(?? deg
?0
?90?
?180?
1?
2?
曲线不相同, )(
1 ?? 从 0变化到 0,
而 )(
2 ??
从 0变化到 -180度,前
者相角变化的范围比后者相角
变化的范围小,故称 )(
1 sG
为
最小相位传递函数,)(
2 sG
为非
最小相位传递函数,最小相位传
)(?L
1
1
T 2
1
T
?
)(?L db
0
decdb /20?
1L
2L
递函数的特点是,其 曲线
的斜率变化趋势与相角的变化
趋势一致,见上两图,
1L
曲线的斜率减小时,1? 的角度也
减小, 因此,分析和综合最小相位系统时,只需画出
)(?L 曲线即可,且 )(?L 曲线与最小相位传递函数 )(sG
一一对应, 另一特点是,当 ??? 时,最小相位传递函数
的相角满足 )(90 mn ??? ?,故可根据这一特点来判别系
统是否为最小相位系统,
例, 已知某闭环系统的开环传递函数为最小相位传递函
数,其对数幅频特性如下图所示,试求其传递函数,
)(?L db
0
20
40
20?
?10 1001
40?
40? 20?
解,
)11.0(
)1()(
2 ?
??
ss
sKsG
40lo g20
40lo g20
1
2
?
?
?
K
K
??
?
)11.0(/)1(100)(100 2 ????? ssssGK
课外习题, P.215第 5-10题,第 5-11题 (1) ﹑ (2) ﹑ (3)
并求相角裕度,第 5-12题 (a),(b),第 5-17题,
四 ﹑ 由开环系统的伯德图分析闭环系统的时域性能
与根轨迹法由开环分析闭环时域性能的思路一样,
频域分析法通过开环频率特性来分析闭环时域性能,
1.伯德图与系统稳定性
奈氏判据由开环幅相频率特性在极坐标图上的奈氏
曲线可判别闭环的稳定性,奈氏判据也可在伯德图上判
别闭环的稳定性, 对数坐标图与极坐标图有如下对应关
系, (1) 极坐标图上以原点为圆心的单位圆的圆周对应
于幅频特性对数坐标图上的 0分贝线,
(2) 极坐标图上的负实轴对应于相频特性对数坐标
图上的 -180度线,
由于有以上的对应关系,故可在伯德图上应用奈氏
判据来判别闭环的稳定性,并确定稳定裕度,
为说明奈氏判据伯德图上的应用法则,对上面所说的两
条对应关系给出如下示意图,
)(Re ?jG O
? ?)( ?jG O
0
)(Im ?jG O
1?
)( ?jG O
1
1
1?c? )( c??
?
x?
?
)(?L db
0
)(?? deg
?180?
?0
?
设开环对数相频特性曲线 )(?? 穿越 ?? 的一段如上右下
开环对数幅频特性曲线 )(?L 穿越 0分贝线的一段 图所示,
如上右上图所示,
c?
)(?L
定义, )(
xx Lh ???
为幅值裕度,单位为
分贝,
x?
)(??
xh
)(1 8 0 c??? ?? ? 为相角裕度,
?
奈氏判据可表为,
当开环稳定 (即 P=0)时,若 0,0 ?? xh? 则闭环稳定,若
0,0 ?? xh? 则闭环临界稳定,若 0,0 ?? xh? 则闭环不稳定,
在极坐标图上的幅值裕度 和在对数坐标图上的幅值裕度 h
xh
的转换关系推导如下,
)()(l o g20)(/1l o g20l o g20
)(/1
xxx
x
LAAh
Ah
???
?
??????
??
20/l o gl o g20)( 1 xxx hhhLh ?????? ??
可见
xh
的物理含义与 h 一样,只是单位和数值不同,
例, 设一闭环系统具有如下开环传递函数
)12.0)(1(
2)(
??
?
sss
sG O
要求画出伯德图,判别闭环是否稳定,如稳定,求
幅值裕度和相角裕度,并计算开环传递系数增大到
2的多少倍后,闭环临界稳定,开环传递系数的临界
稳定值是多少?
c?
解, 伯德图如下所示,由图可见,因
decdb /20?
decdb /40?
)(?L db
0
20
6
20?
?1 101.0
5
decdb /60?
)(?? deg
?90?
?180?
?270?
?1 101.0
x?
?
xh
0,0 ?? xh? 而开环稳定,
所以闭环稳定, 求幅值裕度和相
角裕度的过程如下,
5
2.01
2.0
1802.090
2
11
???
?
?
?
????? ??
x
x
xx
xx
tgtg
?
?
??
?? ???
5.2lo g20
40
1lo g5lo g
2lo g20
??
??
?
??
x
x
h
h
?
?
???
?
5.1922.02
901 8 0)(1 8 0
240
1l o gl o g
2l o g200
11
???
????
????
?
?
??
tgtg
c
c
c
???
?
?
5.220/lo g 1 ?? ? xhh?
所以开环传递系数的临界稳定值 = 55.222 ???? h
'c?
2.对数幅频特性图与系统的稳态误差
当一个自控系统的结构和参数确定后,可由它的开环
传递函数的型号和开环传递系数来计算它对某一种输入信
号的稳态误差值, 而在控制系统的开环对数幅频特性图上
也能判断其开环型号和开环传递系数,从而算出它跟踪某
一种输入信号的稳态误差值,
1) 0型系统 设 0型系统的开环频率特性为,
1
)(
?
?
?
?
jT
KjG
O
其开环对数幅频特性曲线如下图,
)(?L db
0
?
1L
Klog20
T/11 ??
decdb /20?
1?? ? 的频率范围叫低频段,0型系统 低频段的对数幅频特性折线为一高度
KL lo g201 ? 的水平直线,且
20/lo g 11 LKK p ???, 上面结论适用于
任何复杂的 0型系统,
2) 一型系统 设一型系统的开环频率特性为,
其开环对数幅频特性曲线如下图,
)1(
)(
?
?
??
?
jTj
KjG
O
)(?L db
0
?
T/11 ??
vv K??
decdb /20?
1??
)1(L
decdb /40?
如图当
v?? ?1
,则 KK
vv ???或
20/)1(lo g
lo g20)1(
1 LK
KL
v
???
??
当
v?? ?1,则其开环对数幅频特
性曲线如下图,
)(?L db
0
?
T/11 ??
vv K??
decdb /20?
1??
)1(L
decdb /40?
将低频段 d ecdb /20?
的直线延长使其与 0分贝相交,则交
点频率 KK
vv ???
,且也同样有
20/)1(lo g 1 LK v ??
3) 二型系统 设二型系统的开环频率特性为,
其开环对数幅频特性曲线如下图,
)1()(
)( 2
?
?
??
?
jTj
KjG
O
)(?L db
0
?
)1(L
T/11 ??
aa K??
decdb /40?
1??
decdb /60?
如图当
a?? ?1,则 KK aa ???
或
20/)1(lo g
lo g20)1(
1 LK
KL
a
???
??
当
a?? ?1,则其开环对数幅频特
性曲线如下图,
)(?L db
0
?
T/11 ??
aa K??
decdb /40?
1??
)1(L
decdb /60?
将低频段 d ecdb /40?
的直线延长使其与 0分贝相交,则交
点频率 KK
aa ???
,且也同样有
20/)1(lo g 1 LK a ??
例, 已知某闭环系统的开环对数幅频曲线如下图,
求输入信号 )(?L db
0
?
3/40 50
2 3
decdb /40?
decdb /60?
decdb /20?
decdb /20?
)(1)10100()( tttr ???
时的稳态误差值,
解, 因低频段
直线斜率
d ecdb /20?
所以系统为一型 ??
pK
下面求速度误差系数,
9/40l o g20)3(20
3l o g3/40l o g
)3(0 ????
?
? LL?
10l o g20)2(40
2l o g3l o g
)2(9/40l o g20 ????
?
? LL?
2010l o g202/l o g20 ??? vv KK?
5.0
20
10
1
10010
1
100 ??
??
??
?
??
vp
ss KKe
3,伯德图与系统的瞬态响应
1) )(?L 曲线的参数与瞬态响应的关系
a) 一阶一型系统, 其结构图如下,
Ts
1
)(sR )(sC
TssG O /1)( ? 开环为一型,)1/(1)( ?? Tss? 闭环为一阶,
)(?L 曲线见上右图,
)(?L db
0
?
)1(lo g20 LK ?
TKc /1???
decdb /20?
1??
截止频率 TK
c /1???
,一阶一型系统
不管 T为大于零的何值,闭环始终稳定,)(?L 穿越 0分贝
线的斜率为 d ecdb /20?, 因 )1/(1)( ?? Tss? 是一惯性环节
没有超调量,调节时间
cs Tt ?/33 ??
,可见 c? 越大,调节
时间越短,
b) 二阶一型系统, 其结构图如下,
开环为一型,)1( ?Tss K
)(sR )(sC )1(/)( ?? TssKsG O
)/()( 2 KsTsKs ????
闭环为二阶, 下面分三种情况进行讨论,
(1) )(,/1
1 ??? LTK c ???
曲线与闭环单位阶跃响应
)(?L db
0
?
Kv ??
decdb /20?
1? c?
decdb /40?
)(th
0
t
1
)(?L 以 d ecdb /40? 穿越 0分贝线,但只要 K ﹑ T都大于零
二阶闭环总是稳定的,不过其瞬态性能较差,由 )(s? 可得
)(.5.01/,2// 11 thKK ???? ???? ?曲线振荡比较
剧烈,
曲线如下
(2) 曲线与闭环单位阶跃响应 )(,/1
1 ??? LTK c ???
)(?L db
0 ?
decdb /20?
c?
decdb /40?
)(th
0
t
1
)(.5.01/,2// 11 thKK ???? ???? ?曲线振荡稍好,
(3) )(,/1
1 ??? LKT c ???
曲线与闭环单位阶跃响应曲线
)(?L db
0 ?
decdb /20?
c?
decdb /40?
1?
)(th
0
t
1
曲线如下
如下
5.01/,2// 11 ???? ????? cK ?,且 c?? /1 越大,?
值也越大,当 2/27 0 7.0 ??? 时,)(th 曲线接近于指数上升
曲线,调节时间
cst ?/3?
综合上面的分析可得结论是, 当开环对数幅频曲线
以
)(?L
d ecdb /20? 穿越 0分贝线,不管闭环是二阶系统还是高
阶系统,只要开环稳定,闭环总是稳定的, 为使 )(th 不产
生超调,或超调很小,
c?
应位于斜率为 d ecdb /20? 的线段
上,且这一线段应有一定的频率宽度,
2)由相角裕度 ? 确定二阶系统的时域指标
典型二阶系统的开环传递函数及频率特性可表为,
)2(/)(),2(/)( 22 nnOnnO jjjGsssG ????????? ????
上式中,KTTK
n 2/1,/ ?? ??
,其 )(?L 可见下两图
)(?L db
0
?
K?2?
decdb /20?
T/11 ?? 3?
decdb /40?
)(?L db
0 ?
decdb /20?
3?
decdb /40?
K?1?
T/12 ??
先推导 ? 和 ? 的关系,
因为,所以
1
4 222
2
?
? ncc
n
????
? 01)(4)( 224 ???
n
c
n
c
?
??
?
?
对上式求解,并考虑到 2)(
n
c
?
? 不能为负,有,
142)( 422 ???? ??
?
?
n
c
,又因
n
c
?
? 也不能为负,所以
2/124 )214( ??
?
? ???
n
c
又因
cnncc tgtg ????????? /22/90180)(180 11 ?? ?????? ???
将
n
c
?
? 代入上式得, ])214(2[ 2/1241 ?? ??? ???? tg
教材 P.213图 5-48给出了典型二阶系统的 ?? ? 曲线,由 ? 值
可得
%p?,由于 nst ??/5.3?,则由上一屏给出的 )(?L
曲线求出
sn t,?
也可求得,
由前屏给出的 曲线重新显示于下, )(?L
1
2
1
12
1 l o g20)(20
l o gl o g
)(0
?
??
??
? ????
?
? LL?
1
3
1
13
1 l o g40)(40
l o gl o g
)(0
?
??
??
? ????
?
? LL?
由上两式得,
1
22
1
3
1
3
1
2 )(l o g40l o g20
?
?
?
?
?
?
?
? ????
从而
nTK ???? ??? /213
)(?L db
0
?
K?2?
decdb /20?
T/11 ?? 3?
decdb /40?
)(?L db
0 ?
decdb /20?
3?
decdb /40?
K?1?
T/12 ??
3)由相角裕度 ?
设单位负反馈系统的闭环传递函数为,
)(1
)()(
sG
sGs
O
O
?
??
则
)()(
)(1
)()( ???
?
??? j
O
O eM
jG
jGj ?
?
?
令
m a x)( ?MM r ? 叫闭环谐振峰值,则在研究二阶振荡环
节时已知
212/1 ?? ??
rM
,与 ? 值一一对应,
确定高阶系统的时域指标
故当知道
rM
值后,? 值也可解得,从而可得时域指标 %
p?
但对于高阶系统,频域指标
rM
和时域指标间没有一一对应
的明确关系,
通过对大量系统的研究,可归纳出以下两个近似的估算
公式, )8.11()1(4.016.0 ?????
rr MM?
及 Cs Kt ?? /?
上式中 2)1(5.2)1(5.12 ?????
rr MMK
由于 )( ?? j 曲线比较难画,要用到尼柯尔斯图线,且对于
高阶的闭环系统,
rM
的计算也较复杂, 而开环系统的伯德
图相对较好画,故从伯德图上或通过适当计算求 ? 也较容
易,所以设法将开环的 ? 与闭环的
rM
挂上钩,从而可由
? 值来估算时域指标, 下面推导
rM
和 ? 之间的关系,
)()()( ???? jO eAjG ? 式中相频特性可写为
d??? ??? ?180)(
式中 d? 表示不同频率时相角对 的偏移,当 ?180?
c?? ?
时,?? ?d
因而开环频率特性可表为,
闭环幅频特性为,
)s i nc o s)(()()( )1 8 0( ddjO jAeAjG d ????? ? ???? ?? ?
)(c o s)(21
)(
s i n)(c o s)(1
)(
)(1
)(
)(
2
???
?
????
?
?
?
?
AA
A
jAA
A
jG
jG
M
d
ddO
O
??
?
??
?
?
?
求
max)(?M 时,假设在 max)(?M 附近,d? 变化较小,(此假
设对一般系统均满足 ),又因
max)(?M
发生在开环截止频率
c?
附近,于是可认为 c o n st
d ?? ?? c o sc o s,令
0)(/)( ??? dAdM,得 ??? c o s/1c o s/1)( ?? dA 代入 )(?M
表达式有 ?s in/1?
rM,左式建立了 rM 与 ? 间的近似关系
在
c? 附近,c o n std ?? ?? c o sc o s 越满足,?s in/1?
rM
的近似
程度越高,
归纳出的两个近似的估算公式可表为,
及
)9035()1
s i n
1(4.016.0 ?? ????? ?
?
?
Cs Kt ?? /?
上式中
)9035()1
s i n
1(5.2)1
s i n
1(5.12 2 ?? ??????? ?
??
K
