第三章 线性系统的时域分析法
3-5 线性系统的稳定性分析
一 ﹑ 线性系统稳定的定义及充分必要条件
定义, 若线性控制系统在初始扰动 )(t? 的作用下,其输出
)(tk 随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则该系 统为渐近稳定,简称稳定 ; 反之,称该系统不稳定,
上述定义可用数学语言表示为,
),2,1,0(0)(lim )( ????? ntk nt
? ?
? ?
? ?
? ?
???????
?
???
???
q
j
r
i
iiiiiiiij
q
j
r
i
iiij
jsjsss
sM
ssss
sM
sD
sM
s
1 1
22
1 1
22
)1)(1()(
)(
)2()(
)(
)(
)(
)(
????????
???
上式中,为特征方程
js?
0)( ?sD 的实数根,21 iiii j ???? ???
为特征方程 0)( ?sD 的共轭复数根,nnrq,2 ?? 为特征多项
式 )(sD 中 S的最高次方,即系统的阶数, 将系统的传递函数
)(s? 进行部分分式,得,
? ??
? ?? ???
?
???
?
?
??
r
i
r
i
iiii
i
iiii
i
q
j j
j
jsjsss
A
s
1 1
22
1 11
)(
????
?
????
?
上式中
2
2
1
2
1
2
)1(
)(
)(
)1(
)(
)(
)(
)(
)(
iiii
iiii
j
js
iiiii
js
iiiii
ss
jj
js
sD
sM
js
sD
sM
ss
sD
sM
A
????
????
?????
?????
????
????
??
????
????
??
因为 为复数,所以 s
i?
与
i?
也是复数,又 因为 s 为共轭复数,
所以
i?
与
i?
也是共轭复数,把上式中后两项合并,得,
??
?? ??
??????
?
?
??
r
i iii
iiiiiiiiii
q
j j
j
ss
js
ss
A
s
1
22
2
1 2
1)()()(
)(
???
??????????
令 21)()(,
iiiiiiiiiiii jCB ?????????? ???????
均为实数,则
?
?
????
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
???
?
?
?
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?
?
?
??
r
i
iiii
ii
ii
iiii
iiii
iii
q
j
j
j
r
i
iiii
iiiiiii
q
j
j
j
r
i
iii
ii
q
j
j
j
s
BC
s
sB
ss
A
s
BCsB
ss
A
ss
CsB
ss
A
s
1
222
2
2222
1
1
222
11
22
1
)1()(
1
1)1()(
)(
)1()(
)(
2
)(
????
??
??
??
????
??
????
????
???
因为系统的单位脉冲响应函数,故对上式进 ? ?)()( 1 sLtk ?? ?
行拉氏反变换得,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
r
i
ii
ii
iiii
iii
t
q
j
ts
i
t
BC
tBe
eAtk
ii
j
1
2
2
2
1
)1s i n
1
1c o s(
)(
??
??
??
??
??
系统稳定的充分必要条件是, 系统特征方程的所有根都
具有负实部,或者说,系统传递函数的极点均在根平面的左
半 S 复数开平面上 (不包括虚轴 ),
需指出的是,系统的稳定与否,仅与系统本身的结构和
参数有关,而与输入信号的形式和大小无关,
二 ﹑ 线性系统稳定性的初步签定
线性系统特征方程的一般形式可表为,
由上两式可见,只有当
0))(()())((
)(
1210
1
1
10
???????
?????
?
?
?
nni
nn
nn
ssssssssssa
asasasasD
??
?
niis i,,2,1,,0 ????
即所有极点 ii sp ?? 均在极点平面的左半平面上,将上面
第二个等式展开后,第一个等式 S各次方前的系数必都为
大于零的正数, 由此可得系统稳定的必要条件为, 系统特
征多项式 )(sD 的所有系数
ni aaa ??,,,0
均大于零,
必要条件只起否定作用,也即只要不满足必要条件,系
统必不稳定,必要条件不起保证作用,也即满足必要条件,
系统不一定稳定,
三 ﹑ 赫尔维茨稳定判据
n阶系统的特征方程为,
0)( 1110 ?????? ?? nnnn asasasasD ?
构造 的系数主行列式, )(sD
n
n
a
aaaa
aaaa
aaaaa
aaaaa
?
???????
?????
?
?
?
?
00000
00
00
00
0
0
6420
7531
86420
97531
?? 赫尔维茨稳定判据的内容为,
n阶特征方程的根全部具有负
实部的充要条件是,特征方程
的各项系数为正,且 )(sD 的系
数行列式的各阶主子式均大于
零,即 nii
i,,2,1,,0 ?????
而,
11 a??,
20
31
2 aa
aa
??
,
0
31
420
531
3
aa
aaa
aaa
??
?,
0
0
420
531
6420
7531
4
aaa
aaa
aaaa
aaaa
??
教材 P.112给出了 n<=4时,赫尔维茨稳定判据的简单表示形
式,
例,设闭环系统的特征方程为,
试确定使系统稳定的 K的取值范围,
解,构造特征方程的系数行列式,
022)( 234 ?????? sKssssD
210
0120
021
0012
4
K
K
??
5.0,0121 12,02 21 ????????? KKK?
092
12
01
12
2
2
120
21
012
3 ??????? K
K
K
5.402,5.4 34 ??????? KK 时系统稳定,
四 ﹑ 劳思稳定判据
n阶系统的特征方程为,
0)( 1110 ?????? ?? nnnn asasasasD ?
式中 0
0 ?a,构造如下劳思行列表,
表中,最左边一列和最上
面两行构成劳思行列表的
表头,表中其它各行各列
的元素值按如下公式计算,
?
??????
?
?
?
?
?
1,41,31,21,1
0
45352515
4
44342414
3
43332313
2
7531
1
6420
????
?
?
?
?
nnnn
n
n
n
n
n
ccccs
ccccs
ccccs
ccccs
aaaas
aaaas
1
3021
1
31
20
13
a
aaaa
a
aa
aa
c
?
???
1
5041
1
51
40
23
a
aaaa
a
aa
aa
c
?
???
,
1
7061
1
71
60
33
?
a
aaaa
a
aa
aa
c
?
???
13
231313
13
2313
31
14
c
caac
c
cc
aa
c
?
???
以下各行各列的元素值可依上
几式的规律依次算得,
则线性系统稳定的充要条件是
?
??????
?
?
?
?
?
1,41,31,21,1
0
45352515
4
44342414
3
43332313
2
7531
1
6420
????
?
?
?
?
nnnn
n
n
n
n
n
ccccs
ccccs
ccccs
ccccs
aaaas
aaaas
13
331513
13
3313
51
24
c
caac
c
cc
aa
c
?
???
,
13
431713
13
4313
71
34
?
c
caac
c
cc
aa
c
?
???
劳思表中第一列各值均大于零, 如劳思表第一列中出现小于零
的数值,系统就不稳定,且第一列各数值符号的改变次数,就
是系统特征方程的正实部根的数目,即系统在极点平面的右半
平面上的极点个数,
例 1,设系统的特征方程为
用劳思稳定判据判别系统是否稳定?
05 0 01 0 04)( 23 ????? ssssD
解,
0
1
2
3
5 0 04
1 0 01
s
s
s
s
25? 0
500 0
因为第一列有 -25,且正 ﹑ 负号改变
两次,所以系统不稳定,且有两个
根在 s的右半平面上,
例 2,设系统的特征方程为 05432)( 2345 ??????? ssssssD
用劳思稳定判据判别系统是否稳定?
解,
0
1
2
3
4
5
532
411
s
s
s
s
s
s
5.0? 5.1
9 5
9/16
5
因为第一列有 -0.5,且正 ﹑ 负号改变
两次,所以系统不稳定,且有两个
根在 s的右半平面上,
两种特殊情况的处理,
第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中
出现某一行第一列的元素值为零,而这一行其它各列的
元素值不全为零,
例 3,设系统的特征方程为 0122)( 234 ?????? sssssD
0
1
2
3
4
022
111
s
s
s
s
s
解,
0 1
用一大于零的无穷小量 ?
代替第三行第一列的零参
与以下各行各列元素值的
计算, ?
?/22 ?
1
因为 ? 是大于零的无穷小量,所以 0)/22( ?? ?
系统不稳定,且有两个根在 s的右半平面上, 教材
P.115介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法,
第二种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现
某一行的元素值全为零,
例 4,设系统的特征方程为
01616201282)( 23456 ???????? sssssssD
0
1
2
3
4
5
6
016122
162081
s
s
s
s
s
s
s
2 12 16
再往下计算 3s
这一行就全为
零,则由 4s
这一行各元素
为系数构造一辅助方程,
16122)( 24 ??? sssF
然后 F(s)对 s求一次导得
ss
ds
sdF 248)( 3 ?? 用 8,24
替换 3s 这一行的零元素,再往下计算,
8 24
6 16
3/8
16
第一列的元素都大
于零,没有正实部的特征根,但由于有全零行,必有纯虚
根,而纯虚根的值可令辅助方程 F(s)=0求得,
令 得 016122)( 24 ???? sssF 0)4)(2(86 2224 ?????? ssss
则 2,2 jsjs ????
五 ﹑ 劳思稳定判据的应用
例 5,设系统的特征方程为 035.00 2 5.0)( 23 ????? KssssD
试确定使系统稳定的 K的取值范围,
解,
0
1
2
3
35.0
10 2 5.0
s
s
Ks
s
35.0/025.01 K?
K
欲使系统稳定,第一列的元素应全大于零,则
140035.0/0 2 5.01,0 ?????? KKK?
例 6,设系统的特征方程为
试在以 K为横坐标,T为纵坐标的 K-T平面上确定使系
统稳定的区域,
0)1()2(2)( 23 ??????? KsKsTTssD
解,
0
1
2
3
2
12
s
s
KTs
KTs
?
?
2
22
?
???
T
KTTK
K
)1(2)1(022,002,0 ??????????????? KKTKTTKKTTT ??
下面分二种情况讨论, 当 10 ?? K 时
K
KTK
?
??????
1
)1(201?
当 1?K 时
1
)1(201
?
?????
K
KTK?
在 K-T平面上作出 曲线如下图所示,
K
KT
?
???
1
)1(2
T
K
0
2?
2
1
K
KT
?
???
1
)1(2
再作出
1
)1(2
?
??
K
KT 曲线
1
)1(2
?
??
K
KT
由右图可见,在 K-T平面
上使系统稳定的区域为
两个影阴区,
课外习题, P.135第 11 ﹑
13 ﹑ 14题
3-6 线性系统的稳态误差计算
一 ﹑ 基本概念
控制系统的稳态误差,是系统控制准确度 (即精度 )的
一种度量,通常叫作稳态性能,
在具体介绍稳态误差的计算方法前,先明确以下几个基本
概念,
1) 只有当系统本身是稳定的前提下,讨论系统的稳态误
差才有意义,
2) 系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外
还与系统输入信号的形式和大小有关,
3) 系统的稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般
来说是有矛盾的,
误差的定义, 系统的输入信号与主反馈信号之差,
见右图,
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
)()()()()()( sCsHsRsBsRsE ????
误差传递函数为,
)()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
er ????
则误差信号的拉氏变换表达式
假设
)(
)(
)(
)()()()(
sP
sQ
sN
sMsRssE
er ?? ?
i
n
i
i ppssN )()(
1
?
?
??
是 )(s
er?
的极点,也即闭环
极点,
k
l
k
k rrssP )()(
1
?
?
??
是
)(sR 的极点,
则,
? ? ??
??
??
?
??
???
?
?
?
?
l
k
tr
k
n
i
tp
i
l
k
k
k
n
i
i
i
ki
eBeAsELte
rs
B
ps
A
sE
11
1
11
)()(
)( 式中的第一项由
)(ser?
的极点所
引起,叫做 e(t)
的瞬态分量,第
二项由 )(sR 的极点所引起,叫做 e(t)的稳态分量, 如果
系统是稳定的,则所有的 ip 均在 s的左半平面上,即 0?ip
则当 时,e(t)的瞬态分量趋于零,只剩下稳态分量, ??t
定义, 当 ??t 时,e(t)剩下的稳态分量,叫系统的稳态误差,
表示为,
tr
kttss
keBtete
???? ?? lim)(lim)(当
??t 时,)(te
ss
可能是一个确定的数,也可能是一个不确
定的数,即仍然是 t 的函数, 当,??t )(te
ss
为一个确定
的数时,用
sse
表示,
sse
叫稳态误差值, 当,??t )(te
ss
仍然
是 t 的函数,则 )(te
ss
叫稳态误差函数, 显然,稳态误差函
数表现了稳态误差随时间变化的规律,
稳态误差值
sse
有两种基本的求法, 第一种是先求出 )(te
然后令,??t 可得
sse
,但当 )(sE 表达式较为复杂时,求
)(te 的解析式较困难,一般并不采用, 第二种是对 )(sE
采用拉氏变换的终值定理,即,
)()(lim)(lim 00 sRssssEe erssss ??? ??
但终值定理有一个使用条件,即要求 表达式在 s右半 )(ssE
平面及虚轴上解析,即 )(ssE 表达式的所有极点都在 s的
左半平面上, 否则,用终值定理得出的
sse
与令 )(te 的
??t 时得到的值不一致, 但对于工程实际上来说,当
)(ssE 在 s平面的原点上有极点时,仍可用终值定理,
例, 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 TssG /1)( ?
试求当输入信号分别为 2/)( 2ttr ? 和 ttr ?si n)( ?
时控制系统的稳态误差值,
解,
? ?
??????
?????
?
???
?
??
???
?
?
?
?
??????
??
)]([lim)(lim)(lim
)()()(
1
)
1
(
1
)()()(
/1)(2/)(
1)(1
1
)(
2
2/21
22
2
2
32
tTTttetee
tTTteTsELte
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
sRssE
ssRttr
T
s
s
sG
s
t
ss
tt
ss
Tt
er
er
?
?
?
?
可见,虽然 在 s平面的原点上有极点 s=0,仍可用终值
??
?
???
?
??
??
s
T
s
ssEe
s
T
s
sRssssE
sssser
)1(
1lim)(lim
)1(
1)()()(
00
??
)(ssE
定理,
0
))(
1
(
lim)(lim
s i n
1
c o s
1
)(
1
11
1
1
1
)
1
(
)()()(
)/()(s i n)(
22
2
00
22
32
22
2222
32
222222
22
22
?
??
??
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
??
?
?
??
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
???
s
T
s
s
ssEe
t
T
T
t
T
T
te
sT
T
s
s
T
T
T
s
T
T
s
T
s
s
sRssE
ssRttr
ss
ss
ss
er
?
?
二 ﹑ 静态误差系数
1,控制系统按积分环节数分类
?
?
?
?
?
?
?
?
vn
j
j
v
m
i
i
sTs
sK
sHsG
1
1
)1(
)1(
)()(
?
上式中 K叫系统的开环增益 (也叫系统的开环传递系数 ),v
为开环系统在 s平面坐标原点上的极点个数,因 1/ s是理想
积分环节的传递函数,所以 v也表示了系统的开环传递函数
中串接的积分环节个数, 规定, v =0,叫 0型系统,v =1,叫
1型系统,v =2,叫 2型系统,依此类推,
?
?
?
?
?
?
?
??
vn
j
j
m
i
i
v
sT
s
sHsGsHsG
s
K
sHsG
1
1
0000
)1(
)1(
)()()()()()(
?
由上式可见,
与系统的型号 ﹑ 开环增益 K及输入信号的形式和大小有
关
由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号 ﹑ 斜坡信号 (即
等速度信号 ) ﹑ 抛物线信号 (即等加速度信号 )或者为这三
种信号的组合,所以下面只讨论这三种信号作用下的稳态
误差问题,
Ks
sRs
sHsKGs
sRs
sHsG
s
K
ssR
ssEe
v
s
v
s
v
v
s
v
ss
ss
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
0
1
0
00
1
0
00
00
lim
)(lim
)()(
)(
lim
)()(1
)(
lim)(lim
sse
2,静态位置误差系数
pK
设 sRsRtRtr /)()(1)( ???
则
定义,
)()(lim1)()(1
)(lim)(lim
0
00 sHsG
R
sHsG
ssRssEe
s
ssss
?
?? ?
?
?
??
)()(lim 0 sHsGK sp ??
则
p
sss K
RssEe
?
??
? 1
)(lim
0
0型, )1/( KReKK
ssp ???
1型, 0???
ssp eK
2型及 2型以上, 0???
ssp eK
3,静态速度误差系数
vK
设 2/)()( sRsRRttr ??
则
)()(lim)()(
lim
)()(1
/
lim
)()(1
)(
lim)(lim
0
0
000
sHssG
R
sHssGs
R
sHsG
sR
sHsG
ssR
ssEe
s
s
sss
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
定义, )()(lim
0 sHssGK sv ??
则
vsss KRssEe /)(lim 0 ?? ?
0型, 1型, ????
vssv KReK /0 KRKReKK vssv // ???
2型及 2型以上, 0/ ????
vssv KReK
4,静态加速度误差系数
aK
设 32 /)(2/)( sRsRRttr ??
则
)()(lim)()(
lim
)()(1
/
lim
)()(1
)(
lim)(lim
2
0
22
0
2
000
sHsGs
R
sHsGss
R
sHsG
sR
sHsG
ssR
ssEe
s
s
sss
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
定义, )()(lim
2
0 sHsGsK sa ??
则
asss KRsEse /)(lim
2
0 ?? ?
0型, ????
assa KReK /0
1型, ????
assa KReK /0
2型, KRKReKK
assa // ???
例, 单位反馈控制系统的开环传递函数分别为
及
)4(
10
?ss
)4(
)1(10
2 ?
?
ss
s,求 236)(4)( ttttr ??? 时的 sse
解, 当开环传递函数为
)4(
10
?ss
时系统为 1型,对于 )(tr
中 23t 的输入分量的静态加速度误差系数 0?
aK
所以 ???
ass Ke /6
当开环传递函数为
)4(
)1(10
2 ?
?
ss
s 时系统为 2型,对于 )(tr
中 )(4 t 和 t6 输入分量的静态位置误差系数
pK
和静态
速度误差系数
vK
均为无穷大,对应的稳态误差值为 0
而对于 )(tr 中 23t 的输入分量的静态加速度误差系数
5.24/10 ??aK,所以 4.25.2/6/6 ??? ass Ke
三 ﹑ 扰动作用下的稳态误差
设系统如下图所示,
)1( 2
2
?sTs
K1K
)(sE)(sR )(sM
)(sN
)(sC
系统为 1型系统,当 sRsR /)( 0?
时,系统的稳态误差
为零 )0)(( ?sN,但
当 sNsNsR /)(,0)(
0??
时,由
212
2
)1()( KKsTs
Ks
en ??
???
得
1
00
212
2
00 )1(
lim)(lim K NsNKKsTs KsssEe
ssss
??
??
???
??
由上面计算可见,系统虽为 1型,但在阶跃干扰信号作用
下的稳态误差并不为零, 为克服干扰对控制精度的影响,
可增大 K1的值,但使系统的稳定性变差, 由此可见单靠
调整系统本身的参数已不能同时满足各项性能的要求,
改进的方法是须对系统增加一些装置,如下图所示,
图中 叫比例加积分环节, 当
)1( 2
2
?sTs
K
1K
)(sE)(sR )(sM
)(sN
)(sC
sTi
1
)11(),()11()( 11 sTKsEsTKsM
ii
???
)(1)( tte ? 时 )1()(
1
iT
tKtm ??,当 e(t)为下图所示信号时,
)(te
t
kt0
1 m(t)信号如右图所示
)(tm
1K
12K
iT kt
ik TtK /1
t0
0lim)()(lim)(lim 0
2121
23
2
2
000
???? ????
??? s
N
KKsTKKsTsTT
sTKssNssssEe
iii
i
senssss
?
课外习题,P.135第 3-15 ﹑ 3-16 ﹑ 3-18 ﹑ 3-20
3-1 系统时间响应的性能指标
一 ﹑ 典型输入信号
工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种,
(1) 阶跃信号 (阶跃函数 ) 其数学表达式和图形为,
上式中 R为常数,当 t=0时,r(0)不定,且
?
?
?
?
??
0
00)(
tR
ttr
)(tr
R
t0
0)0(,)0( ?? ?? rRr
当 R=1时,称为单位阶跃信号,记为 1(t),
(2) 等速度信号 (斜坡函数 ) 其数学表达式和图形为,
?
?
?
?
??
0
00)(
tRt
ttr
)(tr
t0
上式中 R为常数,当 R=1时,称为单位等速度信号,
(3) 等加速度信号 (抛物线函数 ) 其数学表达式和图形为,
上式中 R为常数,当 R=1时,称为单位等加速度信号,
(4) 脉冲信号 (脉冲函数 ) 先看下面图型,
??
?
?
?
?
?
?
0
2
1
00
)(
2 tRt
t
tr
)(tr
t0
?
R
)(tr
?0 t
具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号,
其数学表达式为,
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
t
t
R
t
tr
0
0
00
)(
由图可见,脉动信号
的面积为 R,当脉动
信号的宽度 0??
时,其高度为 ?,但
面积乃为 R,把宽度 0?? 时的矩型脉动信号定义为脉
冲信号,而其面积 R称为脉冲信号的脉冲强度,
当 R=1时,叫做单位脉冲信号,用 表示,其数学表达式为 )(t?
?
?
?
??
?
?
0
00
)(
t
t
t?
而其面积为,
1)( ?? ?
??
dtt?
单位脉冲信号
)(t? 用下图表示,
)(t?
t
1
0
强度不为 1而为 R的脉冲信号用 )(tR? 表示,
(5) 正弦信号 (正弦函数 ) 其数学表达式为,
?
?
?
??
?
?
0)s i n (
00
)(
ttR
t
tr
??
(6) 信号的延迟
假如有两个信号如下左图所示,
)(tr )(1 tr
)(2 tr
t?0
曲线 )(
2 tr
和曲线 )(
1 tr
的形状完全一样,只不过前者比后者延迟了 ? 时间才发生,
)(2 tr曲线 可用如下数学式表达,
?
?
?
??
?
?????
??
?
??
ttr
t
ttrtr
)(
0
)(1)()(
1
12
上式中 )(1 ??t 是单位阶跃信号 )(1t 延迟 ? 时间才发生,图
形见上面右图,
)(tr
t?0
1 )(1 ??t
二 ﹑ 动态性能指标
系统的动态性能指标,是在系统的输入为单位阶跃
信号时,对系统的输出进行定义的, 系统在单位阶跃信
号作用下的输出随时间的变化,叫系统的单位阶跃响应,
常用 h(t)表示, 稳定的系统,其 h(t)的变化曲线见下图,
)(th
)(?h
0 t
其动态性能指标有如下几项,
(1) 延迟时间, 响应曲线第一次达到其稳态值一半所
dt
需的时间, 如下图所示, )(th
)(?h
0 t
)(5.0 ?h
dt
(2) 上升时间
rt
,响应曲线无振荡时定义为响应从其稳
态值的 10%上升到其稳态值的 90%所
需的时间, 如上图所示,
)(1.0 ?h
)(9.0 ?h
rt
响应曲线有振荡时定义为响应从 0第一
次上升到其稳态值所需的时间, 如上
图所示,
rt
(3) 峰值时间, 响应超过其稳态值到达第一个峰值所
需的时间, 如下图所示,
pt
)(th
)(?h
0 t
pt
)(max th
(4) 调节时间 (过渡过程时间 )
st
,响应到达并保持在稳态
值的 ± 5%或 ± 2%误差范
围内所需的最短时间,
如上图所示,
st
)(%2)(%5 ???? horh
(5) 最大超调量, 响应的最大值
p? )( pth
与稳态值
)(?h
之差,即 )()( ??? hth
pp?如下图所示,
)(th
)(?h
0 t
pt
)( pth
p?
(6) 最大百分比超调量 %?, 定义为
%1 0 0
)(
)()(
% ?
?
??
?
?
h
hth p
?
3-2 一阶系统的动态性能分析
典型一阶系统的结构图如下所示,
)(sR
)(sC
?
Ts/1
其闭环传递函数为, )1/(1)( ?? Tss?,当 ssR /1)( ? 时
)1(/1)()()( ??? TsssRssC ?,则
? ? TteTssLth ?? ???? 1)1(/1)( 1
h(t)曲线见上右图,
)(th
1
0 t
经分析可得下面结论,
),0()()() ???? ththa,故叫非周期响应,无超调,
TTteb dT
t d
69.05.0ln5.01) ?????? ??
TTte
TTtec
s
T
t
s
T
t
s
s
402.0ln98.01
305.0ln95.01)
??????
??????
?
?
?
?
3-3 二阶系统的时域分析
典型二阶系统的结构图如下所示,
TTttt
Tte
Tted
r
T
t
T
t
2.2)9.0ln1.0(l n
1.0ln9.01
9.0ln1.01)
12
2
1
2
1
???????
?????
?????
?
?
?
?
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
其闭环传递函数为,
22
2
2)( nn
n
sss ???
??
???
具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二
阶系统,其时间响应取决于 ? 和 n? 两个参量,极点为,
122,1 ???? ???? nns
叫无阻尼自然振荡角频率,单位为弧度 /秒, 叫阻尼 n? ?
系数,当 0?? 叫无阻尼,1?? 叫临界阻尼,
10 ?? ? 叫欠阻尼,下面主要讨论欠阻尼时的动态
性能,欠阻尼时系统的两个极点为,
dnn jjs ?????? ???????
2
2,1 1
上式中,
n??? ?
叫衰减系数,21 ??? ??
nd
叫阻尼
振荡角频率,两个极点在 s平面上的分布如下图所示,
?j
?
n???
21 ??? ?? nd
0
?
n?
21 ??? ???? nd
图中
?????,1s i n,c o s 2???
以顺时针方向为计量角度的正
方向,当输入为单位阶跃信号
时,输出的拉氏变换表达式为,
sss
sC
nn
n 1
2
)( 22
2
?
??
?
???
?
1?? 叫过阻
尼,
对前式进行部分分式得,
对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为,
22
2
222
2222
)(
1
1)(
1
)()(
1
)(
dn
n
dn
n
dn
n
dn
n
ss
s
s
ss
s
s
sC
???
??
?
?
???
??
???
??
???
??
??
?
?
?
??
?
??
??
?
??
?
??
0)1s i n (
1
1
1
)s i nc o s1(
1
1
1
)s i n
1
( c o s1)(
2
2
2
2
2
???
?
??
??
?
??
?
???
?
?
?
tte
tte
tteth
n
t
dd
t
dd
t
n
n
n
???
?
????
?
?
?
?
?
??
??
??
由上一屏 的表达式可见,无零点的典型二阶系统在
)(th
欠阻尼情况下,其输出是衰减振荡的,其曲线随 ? 值的
不同而有一簇,见教材 P.87图 3-10,
)1s i n (
1
1
1)( 2
2
???
?
?? ??
?
?? ? teth ntn
根据动态性能指标的定义,推导各项动态性能指标的计
算公式,
(1) 延迟时间
dt
,由定义,令 5.0)( ?
dth
1)( ??h,下面由
,代入上式
2
12
1
)c o s1si n (2
ln
1
?
???
?
?
?
??
?
?
dn
dn
t
t
利用计算方法中的曲线拟合法,可得,
)10(7.012.06.01
2
??????? ?
?
?
?
??
n
d
n
d tort
其关系曲线见教材 P.88图 3-12,
(2) 上升时间
rt
,因输出有振荡,由定义,令 1)( ?
rth
得,
0)1s i n (
1
1 2
2
???
?
? ???
?
??
rn
t te rn
因在
rt
时刻 0??
rn te ??
所以由
0)1s i n ( 2 ??? ??? rn t
得,
dn
r
rn
t
t
?
??
??
??
?????
?
?
?
?
?
???
2
2
1
,2,,01 ?
(3) 峰值时间
Pt
,由定义,令
0
)(
?
? Pttdt
tdh
得,
所以
? ?
0
)c o s (1)s i n (
1
)(
2
2
'
?
?????
?
??
?
??????
?
? ??
PdPd
tn
P
tteth Pn
2
2
2
1
,2,,0,
1
)(
0)c o s (1)s i n (
??
?
?
?
????
?
?
??
??????
?
??
??
?
??
??????
nd
P
PdPd
PdPd
t
ttgttg
tt
?
(4) 最大超调量,由定义,
P? )()( ??? hth pp?
2
2
22
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
)()(1)(
1
s i n
1
1)s i n (
1
1
)
1
1
s i n (
1
1)(
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?
??
?
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
??
?
???
?
??
?
?
?
?
??
ehthh
e
ee
e
th
pP
n
n
p
n
n
?
(5) 最大百分比超调量,由定义,%?
%100
%100
1
%100
)(
)()(
%
2
1/
??
???
?
??
?
?? ???
?
?
e
h
hth
PP
(6) 调节时间 (过渡过程时间 )
st
:由定义,因为误差信号
)s i n (
1
)()()(
2
??
?
??
?
?
?
??
?
t
e
thtrte
d
tn
是幅值衰减的正弦曲线,如
右图所示,
)(te
1
0
t
而幅值表达式 是幅值衰减的正弦曲线的按
21 ?
??
?
? tne
指数规律衰减的包络线,如下图红色虚线所示,
)(te
1
0
t
21/1 ??
21/1 ???
21/ ??? ?? tne
21/ ??? ?? ? tne
由图可见,只要误差
曲线的包络线
05.0
1 2
?
?
?
?
?? tne
即到达调节时间,则
对上式求解得,
2105.0ln1 ?
??
???
n
st
当 时 9.00 ?? ?
nst ??/5.3?, 当误差带 02.0??? 时,同理可得
)9.00(5.4,102.0ln1 2 ?????? ?
??
?
?? nsns
tt
三 ﹑ 二阶系统性能的改善
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
下图闭环是一典型的二阶系统,而其开环为一型,故
其速度误差系数 ?? 2/
nvK ?
若欲使 ?
sse
则 ?
vK
而使
?vK 有二条途经, 一是使
n?
上升,从而导致
spdr tttt,,,
均下降,但使有阻尼振荡频率
d? 上升,但不能使 %? 下降, 二是使 ? 下降,则
vK
虽上
升,但导致 %,,,,,??
dspdr tttt
均上升,使动态性能变坏, 可
见,单靠调整系统本身的固有参数,已无法同时满足系统对
稳态和动态性能的要求,必须另加装置,采用其它控制方法
来改善系统的动态性能和稳态性能,
(1) 比例 — 微分控制
比例 — 微分控制的结构图如下所示,
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sE
sTd
由上图可得,其开环传递函数
?
?
??
?
2,)2(
)1()( 2 n
v
n
dn
O Kss
sTsG ?
?
??
而其闭环传递函数
22
2
22
2
)
2
(2
)1(
)2(
)1(
)(
nn
dn
dn
nndn
dn
s
T
s
sT
sTs
sT
s
??
?
?
?
????
?
?
???
?
?
???
?
?
令
22
2
2
)1()(
nnd
dn
ss
sTs
???
??
??
??
2
dn
d
T??? ??,则 为一带有零
点的二阶系统,其动态性能指标的求取公式请见教材
P.97— P.98,下面仅定性讨论比例 — 微分控制对系统性能
的影响,
若欲使系统的稳态误差值 下降,可使
sse ?
下降,则
vK
上升,满足系统对稳态误差值的要求, 因
2
dn
d
T??? ??
?
下降而导致
d?
的下降可通过调整参数
dT
给以弥补,
从而使系统同时满足预定的稳态和动态性能的要求,
(2)测速反馈控制
测速反馈控制的结构图如下所示,
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sE
sKt
由上图可得,其开环传递函数
nt
n
v
ntn
n
O KKKsssG ??
?
???
?
????? 2,)2()( 2
2
而其闭环传递函数
令
22
2
)
2
(2
)(
nn
nt
n
s
K
s
s
??
?
?
?
?
???
?
2
nt
t
K ??? ??,则
22
2
2)( nnt
n
sss ???
??
???
为一不带零点
的典型二阶系统,其动态性能指标的求取公式前已介绍
测速反馈使系统的速度误差系数降低,从而导致稳态误
差上升,但这一缺点可通过减小原系统的阻尼系数 ?
给以弥补,使测速反馈后系统的
t?
满足动态性能的要求,
3-4 高阶系统的时域分析
1,高阶系统的单位阶跃响应
高阶系统闭环传递函数的一般形式为
nm
asasasa
bsbsbsbs
nn
nn
mm
mm
?
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10)(
?
??
把上式的分子及分母因式分解得,
上式中
? ?
?
? ?
?
???
?
???
q
j
r
k
kkkj
m
i
i
ssss
zsK
sD
sM
sR
sC
s
1 1
22
1
)2()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
???
?
knrqabK k ??????,10,2,/ 00 ?
在单位阶跃信号作用下,输出的拉氏变换式为
??
? ?
?
??
? ?
?
??
?
?
?
??
???
?
?
r
k
kkk
kk
q
j
j
j
q
j
r
k
kkkj
m
i
i
ss
CsB
ss
A
s
A
s
ssss
zsK
sC
1
22
1
0
1 1
22
1
2
1
)2()(
)(
)(
???
???
上式中待定系数
qjsCssA
abssCA
jssj
nms
j
,,2,1)()(lim
/)(lim
00
????
??
?
?
而 和
kB kC
是与 )(sC 在闭环复数极点
21
kkkk js ???? ????
处的留数有关的常系数, 将 )(sC 进行拉氏反变换,则
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
r
k
kk
kk
kkkk
kkk
t
q
j
ts
j
t
BC
tBe
eAAth
kk
j
1
2
2
2
1
0
])1s i n (
1
)1c o s ([
)(
??
??
??
??
??
2,高阶系统的闭环主导极点
由
)(th 的推导过程可见,其第二和第三项由闭环极点所产生,
叫 )(th 的动态分量,其各系数的大小与闭环零点和极点有关
而动态分量中各项的类型仅与闭环极点有关, 当闭环稳定时
所有的闭环极点都在 s的左半平面上,动态分量随时间的增长
而衰减, 闭环极点离虚轴越近,即其实部的绝对值越小,则它
所对应的动态分量中这一项就衰减得越慢,对动态性能的影
响就越大,闭环极点离虚轴越远,即其实部的绝对值越大,
则它所对应的动态分量中这一项就衰减得越快,对动态性能
的影响就越小,
由上面分析,可得如下闭环主导极点的概念, 在所有的闭
环极点中,距虚轴最近的极点且其周围没有闭环零点,而
其它闭环极点又远离虚轴,这样的闭环极点就叫作闭环主
导极点,
闭环主导极点可以是实数极点,也可以是复数极点,
一般总希望闭环主导极点为一对共轭复数极点,从而可将
高阶系统近似成二阶系统,用二阶系统的动态性能指标
的计算公式来估算高阶系统的动态性能, 也可在闭环主
导极点的概念下,考虑到高阶系统其它闭环非主导极点
及闭环零点对动态性能的影响,而导出高阶系统单位阶
跃响应的近似表达式,进而推导出计算高阶系统动态性
能指标的近似计算公式, 设高阶系统的闭环传递系数为
1,且其一对共轭复数主导极点为, 10,
2,1 ????? ??? djs
则
对上式进行拉氏反变换,得高阶系统单位阶跃响应的近
似表达式为,
21
11
)(
)(11
)(
)(11
)(
)()(
21
ssssD
sM
ssssD
sM
sssD
sMsC
ssss
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
)
)(
)(
c o s (
)(
)(
21)(
11
1
11
1
?
?
? ????
sDs
sM
te
sDs
sM
th dt ??
当高阶系统闭环非主导极点实部的模比主导复数极点实部
的模大三倍以上时,可由上式并根据动态性能指标的定义
导出近似计算公式,
(1) 峰值时间
由上式对时间求导,并令其导函数为零得,
)
)(
)(c o s()
)(
)(si n (
11
1
11
1
?? ??????
sDs
sMt
sDs
sMt
PdPdd ????
因而有,
上式中
)(
)(
)(
11
1
d
Pd a rc tg
sDs
sMt
?
?? ????
?
)()()(
)(
)(
)(
)(
1
3
2111
1
2
11
1
1
11
1
i
n
i
i
m
i
n
i
i
m
i
i
ssssszs
sss
zs
sDs
sM
???????????
?
?
???
??
?
?
??
?
?
?
d
n
i
i
m
i
iP
n
i
i
m
i
iPd
dd
sszst
sszst
sss
a r c t ga r c t g
??
??
????
???
???????
/)()(
)2/(
)(2/)()(
2/)(,
)2/()/(),/(
3
1
1
1
3
1
1
1
211
?
?
?
?
?
?
???????
???
??????????
??????
?????
??
??
??
??
?
(2) 最大百分比超调量
根据最大百分比超调量的定义,且 1)( ??h,则
? ?
)1(%1 0 0)
)(
)(
c o s (
)(
)(
2
%1 0 0)()(%
11
1
11
1 ????
????
?
?
?
sDs
sM
te
sDs
sM
hth
Pd
t
P
P ?
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?
上式中
)2()
2
c o s ()
)(
)(
c o s (
2
)(
)(
)(
1
11
1
11
1
s
sDs
sM
t
a r c t g
sDs
sM
t
d
Pd
d
Pd
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由
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n
i
i
m
i
i
ss
zsK
sD
sM
s
1
1
)(
)(
)(
)(
)(? 及
1
)0(
)0( ?
D
M
得 则
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
z
s
K
1
1
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n
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
i
ssz
zss
sD
sM
11
11
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)()(
)(
)(
)3(
)()(
)()(
)(
)(
)()(
2
1
1
1
1
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11
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2
11
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n
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
i
n
i
i
sszs
zss
sDs
sM
sssD?
将式 (2),(3)代入式 (1)得
%1 0 0
)()(
)()(
2%
1
2
1
1
1
1
1
1 ?
??
??
?
?
??
??
??
??
Ptd
n
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
i
e
ssszs
zss
??
?
因为 互为共轭复数极点,所以
21,ss dssss ?2,2121 ???
最后可得
?
?
?
?
??
??
??
??
?
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??
??
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i
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tt
n
i
i
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i
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n
i
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i
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i
i
z
zs
Q
ss
s
P
P Q ee
ssz
zss
e
ssz
zss
ss
ss
PP
P
1
1
1
3
1
3
3
1
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
21
21
,
%1 0 0%1 0 0
%1 0 0%
??
?
?
P叫闭环非主导极点影响修正系数,Q叫闭环零点影响修正
系数,
(3) 调节时间的计算
根据调节时间的定义,有
02.005.0,1)(,),()()( ????????????? orhtthhth s
由
)
)(
)(
c o s (
)(
)(
21)(
11
1
11
1
?
?
? ????
sDs
sM
te
sDs
sM
th dt ??
得 ???????
?
?
? )
)(
)(
c o s (
)(
)(
2)()(
11
1
11
1
sDs
sM
te
sDs
sM
hth dt ??
上式中 te
sDs
sM ??
?
)(
)(
2
11
1
是余弦函数的幅值,且随时间的增长
而衰减,故由上式可得
s
t tte
sDs
sM
??????,
)(
)(
2
11
1 ?
由前面的推导可知,
则
??
??
??
??
?
??
??
?
n
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
i
sszs
zss
sDs
sM
2
1
1
1
1
1
1
11
1
)()(
)()(
)(
)(
??
??
??
?
??
??
??
??
st
n
i
i
m
i
i
m
i
i
n
i
i
e
sszs
zss
?
2
1
1
1
1
1
1
)()(
)()(
2 对左式两边取对数
解得
)
2
l n (
1
)
2
l n (
1
)
2
l n (
1
1
1
1
2
1
2
2 1
11
1
1
1
FQ
z
zs
ss
s
zsss
zss
t
n
m
i
i
m
i
i
n
i
i
n
i
i
n
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i
m
i
ii
m
i
i
n
i
i
s
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?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
??
????
?
课外习题, P.134 第 3-4题 ﹑ 3-7题
补充题,某一典型单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲
线如下图所示,求此闭环系统的开环传递函数,
0
)(th
1
t
1.1
1.0
3-5 线性系统的稳定性分析
一 ﹑ 线性系统稳定的定义及充分必要条件
定义, 若线性控制系统在初始扰动 )(t? 的作用下,其输出
)(tk 随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则该系 统为渐近稳定,简称稳定 ; 反之,称该系统不稳定,
上述定义可用数学语言表示为,
),2,1,0(0)(lim )( ????? ntk nt
? ?
? ?
? ?
? ?
???????
?
???
???
q
j
r
i
iiiiiiiij
q
j
r
i
iiij
jsjsss
sM
ssss
sM
sD
sM
s
1 1
22
1 1
22
)1)(1()(
)(
)2()(
)(
)(
)(
)(
????????
???
上式中,为特征方程
js?
0)( ?sD 的实数根,21 iiii j ???? ???
为特征方程 0)( ?sD 的共轭复数根,nnrq,2 ?? 为特征多项
式 )(sD 中 S的最高次方,即系统的阶数, 将系统的传递函数
)(s? 进行部分分式,得,
? ??
? ?? ???
?
???
?
?
??
r
i
r
i
iiii
i
iiii
i
q
j j
j
jsjsss
A
s
1 1
22
1 11
)(
????
?
????
?
上式中
2
2
1
2
1
2
)1(
)(
)(
)1(
)(
)(
)(
)(
)(
iiii
iiii
j
js
iiiii
js
iiiii
ss
jj
js
sD
sM
js
sD
sM
ss
sD
sM
A
????
????
?????
?????
????
????
??
????
????
??
因为 为复数,所以 s
i?
与
i?
也是复数,又 因为 s 为共轭复数,
所以
i?
与
i?
也是共轭复数,把上式中后两项合并,得,
??
?? ??
??????
?
?
??
r
i iii
iiiiiiiiii
q
j j
j
ss
js
ss
A
s
1
22
2
1 2
1)()()(
)(
???
??????????
令 21)()(,
iiiiiiiiiiii jCB ?????????? ???????
均为实数,则
?
?
????
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
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???
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?
?
?
???
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???
???
?
?
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i
iiii
ii
ii
iiii
iiii
iii
q
j
j
j
r
i
iiii
iiiiiii
q
j
j
j
r
i
iii
ii
q
j
j
j
s
BC
s
sB
ss
A
s
BCsB
ss
A
ss
CsB
ss
A
s
1
222
2
2222
1
1
222
11
22
1
)1()(
1
1)1()(
)(
)1()(
)(
2
)(
????
??
??
??
????
??
????
????
???
因为系统的单位脉冲响应函数,故对上式进 ? ?)()( 1 sLtk ?? ?
行拉氏反变换得,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
r
i
ii
ii
iiii
iii
t
q
j
ts
i
t
BC
tBe
eAtk
ii
j
1
2
2
2
1
)1s i n
1
1c o s(
)(
??
??
??
??
??
系统稳定的充分必要条件是, 系统特征方程的所有根都
具有负实部,或者说,系统传递函数的极点均在根平面的左
半 S 复数开平面上 (不包括虚轴 ),
需指出的是,系统的稳定与否,仅与系统本身的结构和
参数有关,而与输入信号的形式和大小无关,
二 ﹑ 线性系统稳定性的初步签定
线性系统特征方程的一般形式可表为,
由上两式可见,只有当
0))(()())((
)(
1210
1
1
10
???????
?????
?
?
?
nni
nn
nn
ssssssssssa
asasasasD
??
?
niis i,,2,1,,0 ????
即所有极点 ii sp ?? 均在极点平面的左半平面上,将上面
第二个等式展开后,第一个等式 S各次方前的系数必都为
大于零的正数, 由此可得系统稳定的必要条件为, 系统特
征多项式 )(sD 的所有系数
ni aaa ??,,,0
均大于零,
必要条件只起否定作用,也即只要不满足必要条件,系
统必不稳定,必要条件不起保证作用,也即满足必要条件,
系统不一定稳定,
三 ﹑ 赫尔维茨稳定判据
n阶系统的特征方程为,
0)( 1110 ?????? ?? nnnn asasasasD ?
构造 的系数主行列式, )(sD
n
n
a
aaaa
aaaa
aaaaa
aaaaa
?
???????
?????
?
?
?
?
00000
00
00
00
0
0
6420
7531
86420
97531
?? 赫尔维茨稳定判据的内容为,
n阶特征方程的根全部具有负
实部的充要条件是,特征方程
的各项系数为正,且 )(sD 的系
数行列式的各阶主子式均大于
零,即 nii
i,,2,1,,0 ?????
而,
11 a??,
20
31
2 aa
aa
??
,
0
31
420
531
3
aa
aaa
aaa
??
?,
0
0
420
531
6420
7531
4
aaa
aaa
aaaa
aaaa
??
教材 P.112给出了 n<=4时,赫尔维茨稳定判据的简单表示形
式,
例,设闭环系统的特征方程为,
试确定使系统稳定的 K的取值范围,
解,构造特征方程的系数行列式,
022)( 234 ?????? sKssssD
210
0120
021
0012
4
K
K
??
5.0,0121 12,02 21 ????????? KKK?
092
12
01
12
2
2
120
21
012
3 ??????? K
K
K
5.402,5.4 34 ??????? KK 时系统稳定,
四 ﹑ 劳思稳定判据
n阶系统的特征方程为,
0)( 1110 ?????? ?? nnnn asasasasD ?
式中 0
0 ?a,构造如下劳思行列表,
表中,最左边一列和最上
面两行构成劳思行列表的
表头,表中其它各行各列
的元素值按如下公式计算,
?
??????
?
?
?
?
?
1,41,31,21,1
0
45352515
4
44342414
3
43332313
2
7531
1
6420
????
?
?
?
?
nnnn
n
n
n
n
n
ccccs
ccccs
ccccs
ccccs
aaaas
aaaas
1
3021
1
31
20
13
a
aaaa
a
aa
aa
c
?
???
1
5041
1
51
40
23
a
aaaa
a
aa
aa
c
?
???
,
1
7061
1
71
60
33
?
a
aaaa
a
aa
aa
c
?
???
13
231313
13
2313
31
14
c
caac
c
cc
aa
c
?
???
以下各行各列的元素值可依上
几式的规律依次算得,
则线性系统稳定的充要条件是
?
??????
?
?
?
?
?
1,41,31,21,1
0
45352515
4
44342414
3
43332313
2
7531
1
6420
????
?
?
?
?
nnnn
n
n
n
n
n
ccccs
ccccs
ccccs
ccccs
aaaas
aaaas
13
331513
13
3313
51
24
c
caac
c
cc
aa
c
?
???
,
13
431713
13
4313
71
34
?
c
caac
c
cc
aa
c
?
???
劳思表中第一列各值均大于零, 如劳思表第一列中出现小于零
的数值,系统就不稳定,且第一列各数值符号的改变次数,就
是系统特征方程的正实部根的数目,即系统在极点平面的右半
平面上的极点个数,
例 1,设系统的特征方程为
用劳思稳定判据判别系统是否稳定?
05 0 01 0 04)( 23 ????? ssssD
解,
0
1
2
3
5 0 04
1 0 01
s
s
s
s
25? 0
500 0
因为第一列有 -25,且正 ﹑ 负号改变
两次,所以系统不稳定,且有两个
根在 s的右半平面上,
例 2,设系统的特征方程为 05432)( 2345 ??????? ssssssD
用劳思稳定判据判别系统是否稳定?
解,
0
1
2
3
4
5
532
411
s
s
s
s
s
s
5.0? 5.1
9 5
9/16
5
因为第一列有 -0.5,且正 ﹑ 负号改变
两次,所以系统不稳定,且有两个
根在 s的右半平面上,
两种特殊情况的处理,
第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中
出现某一行第一列的元素值为零,而这一行其它各列的
元素值不全为零,
例 3,设系统的特征方程为 0122)( 234 ?????? sssssD
0
1
2
3
4
022
111
s
s
s
s
s
解,
0 1
用一大于零的无穷小量 ?
代替第三行第一列的零参
与以下各行各列元素值的
计算, ?
?/22 ?
1
因为 ? 是大于零的无穷小量,所以 0)/22( ?? ?
系统不稳定,且有两个根在 s的右半平面上, 教材
P.115介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法,
第二种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现
某一行的元素值全为零,
例 4,设系统的特征方程为
01616201282)( 23456 ???????? sssssssD
0
1
2
3
4
5
6
016122
162081
s
s
s
s
s
s
s
2 12 16
再往下计算 3s
这一行就全为
零,则由 4s
这一行各元素
为系数构造一辅助方程,
16122)( 24 ??? sssF
然后 F(s)对 s求一次导得
ss
ds
sdF 248)( 3 ?? 用 8,24
替换 3s 这一行的零元素,再往下计算,
8 24
6 16
3/8
16
第一列的元素都大
于零,没有正实部的特征根,但由于有全零行,必有纯虚
根,而纯虚根的值可令辅助方程 F(s)=0求得,
令 得 016122)( 24 ???? sssF 0)4)(2(86 2224 ?????? ssss
则 2,2 jsjs ????
五 ﹑ 劳思稳定判据的应用
例 5,设系统的特征方程为 035.00 2 5.0)( 23 ????? KssssD
试确定使系统稳定的 K的取值范围,
解,
0
1
2
3
35.0
10 2 5.0
s
s
Ks
s
35.0/025.01 K?
K
欲使系统稳定,第一列的元素应全大于零,则
140035.0/0 2 5.01,0 ?????? KKK?
例 6,设系统的特征方程为
试在以 K为横坐标,T为纵坐标的 K-T平面上确定使系
统稳定的区域,
0)1()2(2)( 23 ??????? KsKsTTssD
解,
0
1
2
3
2
12
s
s
KTs
KTs
?
?
2
22
?
???
T
KTTK
K
)1(2)1(022,002,0 ??????????????? KKTKTTKKTTT ??
下面分二种情况讨论, 当 10 ?? K 时
K
KTK
?
??????
1
)1(201?
当 1?K 时
1
)1(201
?
?????
K
KTK?
在 K-T平面上作出 曲线如下图所示,
K
KT
?
???
1
)1(2
T
K
0
2?
2
1
K
KT
?
???
1
)1(2
再作出
1
)1(2
?
??
K
KT 曲线
1
)1(2
?
??
K
KT
由右图可见,在 K-T平面
上使系统稳定的区域为
两个影阴区,
课外习题, P.135第 11 ﹑
13 ﹑ 14题
3-6 线性系统的稳态误差计算
一 ﹑ 基本概念
控制系统的稳态误差,是系统控制准确度 (即精度 )的
一种度量,通常叫作稳态性能,
在具体介绍稳态误差的计算方法前,先明确以下几个基本
概念,
1) 只有当系统本身是稳定的前提下,讨论系统的稳态误
差才有意义,
2) 系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外
还与系统输入信号的形式和大小有关,
3) 系统的稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般
来说是有矛盾的,
误差的定义, 系统的输入信号与主反馈信号之差,
见右图,
)(sR
)(sE )(sC
)(sB
?
)(sG
)(sH
)()()()()()( sCsHsRsBsRsE ????
误差传递函数为,
)()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
er ????
则误差信号的拉氏变换表达式
假设
)(
)(
)(
)()()()(
sP
sQ
sN
sMsRssE
er ?? ?
i
n
i
i ppssN )()(
1
?
?
??
是 )(s
er?
的极点,也即闭环
极点,
k
l
k
k rrssP )()(
1
?
?
??
是
)(sR 的极点,
则,
? ? ??
??
??
?
??
???
?
?
?
?
l
k
tr
k
n
i
tp
i
l
k
k
k
n
i
i
i
ki
eBeAsELte
rs
B
ps
A
sE
11
1
11
)()(
)( 式中的第一项由
)(ser?
的极点所
引起,叫做 e(t)
的瞬态分量,第
二项由 )(sR 的极点所引起,叫做 e(t)的稳态分量, 如果
系统是稳定的,则所有的 ip 均在 s的左半平面上,即 0?ip
则当 时,e(t)的瞬态分量趋于零,只剩下稳态分量, ??t
定义, 当 ??t 时,e(t)剩下的稳态分量,叫系统的稳态误差,
表示为,
tr
kttss
keBtete
???? ?? lim)(lim)(当
??t 时,)(te
ss
可能是一个确定的数,也可能是一个不确
定的数,即仍然是 t 的函数, 当,??t )(te
ss
为一个确定
的数时,用
sse
表示,
sse
叫稳态误差值, 当,??t )(te
ss
仍然
是 t 的函数,则 )(te
ss
叫稳态误差函数, 显然,稳态误差函
数表现了稳态误差随时间变化的规律,
稳态误差值
sse
有两种基本的求法, 第一种是先求出 )(te
然后令,??t 可得
sse
,但当 )(sE 表达式较为复杂时,求
)(te 的解析式较困难,一般并不采用, 第二种是对 )(sE
采用拉氏变换的终值定理,即,
)()(lim)(lim 00 sRssssEe erssss ??? ??
但终值定理有一个使用条件,即要求 表达式在 s右半 )(ssE
平面及虚轴上解析,即 )(ssE 表达式的所有极点都在 s的
左半平面上, 否则,用终值定理得出的
sse
与令 )(te 的
??t 时得到的值不一致, 但对于工程实际上来说,当
)(ssE 在 s平面的原点上有极点时,仍可用终值定理,
例, 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 TssG /1)( ?
试求当输入信号分别为 2/)( 2ttr ? 和 ttr ?si n)( ?
时控制系统的稳态误差值,
解,
? ?
??????
?????
?
???
?
??
???
?
?
?
?
??????
??
)]([lim)(lim)(lim
)()()(
1
)
1
(
1
)()()(
/1)(2/)(
1)(1
1
)(
2
2/21
22
2
2
32
tTTttetee
tTTteTsELte
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
sRssE
ssRttr
T
s
s
sG
s
t
ss
tt
ss
Tt
er
er
?
?
?
?
可见,虽然 在 s平面的原点上有极点 s=0,仍可用终值
??
?
???
?
??
??
s
T
s
ssEe
s
T
s
sRssssE
sssser
)1(
1lim)(lim
)1(
1)()()(
00
??
)(ssE
定理,
0
))(
1
(
lim)(lim
s i n
1
c o s
1
)(
1
11
1
1
1
)
1
(
)()()(
)/()(s i n)(
22
2
00
22
32
22
2222
32
222222
22
22
?
??
??
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
??
?
?
??
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
???
s
T
s
s
ssEe
t
T
T
t
T
T
te
sT
T
s
s
T
T
T
s
T
T
s
T
s
s
sRssE
ssRttr
ss
ss
ss
er
?
?
二 ﹑ 静态误差系数
1,控制系统按积分环节数分类
?
?
?
?
?
?
?
?
vn
j
j
v
m
i
i
sTs
sK
sHsG
1
1
)1(
)1(
)()(
?
上式中 K叫系统的开环增益 (也叫系统的开环传递系数 ),v
为开环系统在 s平面坐标原点上的极点个数,因 1/ s是理想
积分环节的传递函数,所以 v也表示了系统的开环传递函数
中串接的积分环节个数, 规定, v =0,叫 0型系统,v =1,叫
1型系统,v =2,叫 2型系统,依此类推,
?
?
?
?
?
?
?
??
vn
j
j
m
i
i
v
sT
s
sHsGsHsG
s
K
sHsG
1
1
0000
)1(
)1(
)()()()()()(
?
由上式可见,
与系统的型号 ﹑ 开环增益 K及输入信号的形式和大小有
关
由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号 ﹑ 斜坡信号 (即
等速度信号 ) ﹑ 抛物线信号 (即等加速度信号 )或者为这三
种信号的组合,所以下面只讨论这三种信号作用下的稳态
误差问题,
Ks
sRs
sHsKGs
sRs
sHsG
s
K
ssR
ssEe
v
s
v
s
v
v
s
v
ss
ss
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
0
1
0
00
1
0
00
00
lim
)(lim
)()(
)(
lim
)()(1
)(
lim)(lim
sse
2,静态位置误差系数
pK
设 sRsRtRtr /)()(1)( ???
则
定义,
)()(lim1)()(1
)(lim)(lim
0
00 sHsG
R
sHsG
ssRssEe
s
ssss
?
?? ?
?
?
??
)()(lim 0 sHsGK sp ??
则
p
sss K
RssEe
?
??
? 1
)(lim
0
0型, )1/( KReKK
ssp ???
1型, 0???
ssp eK
2型及 2型以上, 0???
ssp eK
3,静态速度误差系数
vK
设 2/)()( sRsRRttr ??
则
)()(lim)()(
lim
)()(1
/
lim
)()(1
)(
lim)(lim
0
0
000
sHssG
R
sHssGs
R
sHsG
sR
sHsG
ssR
ssEe
s
s
sss
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
定义, )()(lim
0 sHssGK sv ??
则
vsss KRssEe /)(lim 0 ?? ?
0型, 1型, ????
vssv KReK /0 KRKReKK vssv // ???
2型及 2型以上, 0/ ????
vssv KReK
4,静态加速度误差系数
aK
设 32 /)(2/)( sRsRRttr ??
则
)()(lim)()(
lim
)()(1
/
lim
)()(1
)(
lim)(lim
2
0
22
0
2
000
sHsGs
R
sHsGss
R
sHsG
sR
sHsG
ssR
ssEe
s
s
sss
ss
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
定义, )()(lim
2
0 sHsGsK sa ??
则
asss KRsEse /)(lim
2
0 ?? ?
0型, ????
assa KReK /0
1型, ????
assa KReK /0
2型, KRKReKK
assa // ???
例, 单位反馈控制系统的开环传递函数分别为
及
)4(
10
?ss
)4(
)1(10
2 ?
?
ss
s,求 236)(4)( ttttr ??? 时的 sse
解, 当开环传递函数为
)4(
10
?ss
时系统为 1型,对于 )(tr
中 23t 的输入分量的静态加速度误差系数 0?
aK
所以 ???
ass Ke /6
当开环传递函数为
)4(
)1(10
2 ?
?
ss
s 时系统为 2型,对于 )(tr
中 )(4 t 和 t6 输入分量的静态位置误差系数
pK
和静态
速度误差系数
vK
均为无穷大,对应的稳态误差值为 0
而对于 )(tr 中 23t 的输入分量的静态加速度误差系数
5.24/10 ??aK,所以 4.25.2/6/6 ??? ass Ke
三 ﹑ 扰动作用下的稳态误差
设系统如下图所示,
)1( 2
2
?sTs
K1K
)(sE)(sR )(sM
)(sN
)(sC
系统为 1型系统,当 sRsR /)( 0?
时,系统的稳态误差
为零 )0)(( ?sN,但
当 sNsNsR /)(,0)(
0??
时,由
212
2
)1()( KKsTs
Ks
en ??
???
得
1
00
212
2
00 )1(
lim)(lim K NsNKKsTs KsssEe
ssss
??
??
???
??
由上面计算可见,系统虽为 1型,但在阶跃干扰信号作用
下的稳态误差并不为零, 为克服干扰对控制精度的影响,
可增大 K1的值,但使系统的稳定性变差, 由此可见单靠
调整系统本身的参数已不能同时满足各项性能的要求,
改进的方法是须对系统增加一些装置,如下图所示,
图中 叫比例加积分环节, 当
)1( 2
2
?sTs
K
1K
)(sE)(sR )(sM
)(sN
)(sC
sTi
1
)11(),()11()( 11 sTKsEsTKsM
ii
???
)(1)( tte ? 时 )1()(
1
iT
tKtm ??,当 e(t)为下图所示信号时,
)(te
t
kt0
1 m(t)信号如右图所示
)(tm
1K
12K
iT kt
ik TtK /1
t0
0lim)()(lim)(lim 0
2121
23
2
2
000
???? ????
??? s
N
KKsTKKsTsTT
sTKssNssssEe
iii
i
senssss
?
课外习题,P.135第 3-15 ﹑ 3-16 ﹑ 3-18 ﹑ 3-20
3-1 系统时间响应的性能指标
一 ﹑ 典型输入信号
工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种,
(1) 阶跃信号 (阶跃函数 ) 其数学表达式和图形为,
上式中 R为常数,当 t=0时,r(0)不定,且
?
?
?
?
??
0
00)(
tR
ttr
)(tr
R
t0
0)0(,)0( ?? ?? rRr
当 R=1时,称为单位阶跃信号,记为 1(t),
(2) 等速度信号 (斜坡函数 ) 其数学表达式和图形为,
?
?
?
?
??
0
00)(
tRt
ttr
)(tr
t0
上式中 R为常数,当 R=1时,称为单位等速度信号,
(3) 等加速度信号 (抛物线函数 ) 其数学表达式和图形为,
上式中 R为常数,当 R=1时,称为单位等加速度信号,
(4) 脉冲信号 (脉冲函数 ) 先看下面图型,
??
?
?
?
?
?
?
0
2
1
00
)(
2 tRt
t
tr
)(tr
t0
?
R
)(tr
?0 t
具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号,
其数学表达式为,
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
t
t
R
t
tr
0
0
00
)(
由图可见,脉动信号
的面积为 R,当脉动
信号的宽度 0??
时,其高度为 ?,但
面积乃为 R,把宽度 0?? 时的矩型脉动信号定义为脉
冲信号,而其面积 R称为脉冲信号的脉冲强度,
当 R=1时,叫做单位脉冲信号,用 表示,其数学表达式为 )(t?
?
?
?
??
?
?
0
00
)(
t
t
t?
而其面积为,
1)( ?? ?
??
dtt?
单位脉冲信号
)(t? 用下图表示,
)(t?
t
1
0
强度不为 1而为 R的脉冲信号用 )(tR? 表示,
(5) 正弦信号 (正弦函数 ) 其数学表达式为,
?
?
?
??
?
?
0)s i n (
00
)(
ttR
t
tr
??
(6) 信号的延迟
假如有两个信号如下左图所示,
)(tr )(1 tr
)(2 tr
t?0
曲线 )(
2 tr
和曲线 )(
1 tr
的形状完全一样,只不过前者比后者延迟了 ? 时间才发生,
)(2 tr曲线 可用如下数学式表达,
?
?
?
??
?
?????
??
?
??
ttr
t
ttrtr
)(
0
)(1)()(
1
12
上式中 )(1 ??t 是单位阶跃信号 )(1t 延迟 ? 时间才发生,图
形见上面右图,
)(tr
t?0
1 )(1 ??t
二 ﹑ 动态性能指标
系统的动态性能指标,是在系统的输入为单位阶跃
信号时,对系统的输出进行定义的, 系统在单位阶跃信
号作用下的输出随时间的变化,叫系统的单位阶跃响应,
常用 h(t)表示, 稳定的系统,其 h(t)的变化曲线见下图,
)(th
)(?h
0 t
其动态性能指标有如下几项,
(1) 延迟时间, 响应曲线第一次达到其稳态值一半所
dt
需的时间, 如下图所示, )(th
)(?h
0 t
)(5.0 ?h
dt
(2) 上升时间
rt
,响应曲线无振荡时定义为响应从其稳
态值的 10%上升到其稳态值的 90%所
需的时间, 如上图所示,
)(1.0 ?h
)(9.0 ?h
rt
响应曲线有振荡时定义为响应从 0第一
次上升到其稳态值所需的时间, 如上
图所示,
rt
(3) 峰值时间, 响应超过其稳态值到达第一个峰值所
需的时间, 如下图所示,
pt
)(th
)(?h
0 t
pt
)(max th
(4) 调节时间 (过渡过程时间 )
st
,响应到达并保持在稳态
值的 ± 5%或 ± 2%误差范
围内所需的最短时间,
如上图所示,
st
)(%2)(%5 ???? horh
(5) 最大超调量, 响应的最大值
p? )( pth
与稳态值
)(?h
之差,即 )()( ??? hth
pp?如下图所示,
)(th
)(?h
0 t
pt
)( pth
p?
(6) 最大百分比超调量 %?, 定义为
%1 0 0
)(
)()(
% ?
?
??
?
?
h
hth p
?
3-2 一阶系统的动态性能分析
典型一阶系统的结构图如下所示,
)(sR
)(sC
?
Ts/1
其闭环传递函数为, )1/(1)( ?? Tss?,当 ssR /1)( ? 时
)1(/1)()()( ??? TsssRssC ?,则
? ? TteTssLth ?? ???? 1)1(/1)( 1
h(t)曲线见上右图,
)(th
1
0 t
经分析可得下面结论,
),0()()() ???? ththa,故叫非周期响应,无超调,
TTteb dT
t d
69.05.0ln5.01) ?????? ??
TTte
TTtec
s
T
t
s
T
t
s
s
402.0ln98.01
305.0ln95.01)
??????
??????
?
?
?
?
3-3 二阶系统的时域分析
典型二阶系统的结构图如下所示,
TTttt
Tte
Tted
r
T
t
T
t
2.2)9.0ln1.0(l n
1.0ln9.01
9.0ln1.01)
12
2
1
2
1
???????
?????
?????
?
?
?
?
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
其闭环传递函数为,
22
2
2)( nn
n
sss ???
??
???
具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二
阶系统,其时间响应取决于 ? 和 n? 两个参量,极点为,
122,1 ???? ???? nns
叫无阻尼自然振荡角频率,单位为弧度 /秒, 叫阻尼 n? ?
系数,当 0?? 叫无阻尼,1?? 叫临界阻尼,
10 ?? ? 叫欠阻尼,下面主要讨论欠阻尼时的动态
性能,欠阻尼时系统的两个极点为,
dnn jjs ?????? ???????
2
2,1 1
上式中,
n??? ?
叫衰减系数,21 ??? ??
nd
叫阻尼
振荡角频率,两个极点在 s平面上的分布如下图所示,
?j
?
n???
21 ??? ?? nd
0
?
n?
21 ??? ???? nd
图中
?????,1s i n,c o s 2???
以顺时针方向为计量角度的正
方向,当输入为单位阶跃信号
时,输出的拉氏变换表达式为,
sss
sC
nn
n 1
2
)( 22
2
?
??
?
???
?
1?? 叫过阻
尼,
对前式进行部分分式得,
对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为,
22
2
222
2222
)(
1
1)(
1
)()(
1
)(
dn
n
dn
n
dn
n
dn
n
ss
s
s
ss
s
s
sC
???
??
?
?
???
??
???
??
???
??
??
?
?
?
??
?
??
??
?
??
?
??
0)1s i n (
1
1
1
)s i nc o s1(
1
1
1
)s i n
1
( c o s1)(
2
2
2
2
2
???
?
??
??
?
??
?
???
?
?
?
tte
tte
tteth
n
t
dd
t
dd
t
n
n
n
???
?
????
?
?
?
?
?
??
??
??
由上一屏 的表达式可见,无零点的典型二阶系统在
)(th
欠阻尼情况下,其输出是衰减振荡的,其曲线随 ? 值的
不同而有一簇,见教材 P.87图 3-10,
)1s i n (
1
1
1)( 2
2
???
?
?? ??
?
?? ? teth ntn
根据动态性能指标的定义,推导各项动态性能指标的计
算公式,
(1) 延迟时间
dt
,由定义,令 5.0)( ?
dth
1)( ??h,下面由
,代入上式
2
12
1
)c o s1si n (2
ln
1
?
???
?
?
?
??
?
?
dn
dn
t
t
利用计算方法中的曲线拟合法,可得,
)10(7.012.06.01
2
??????? ?
?
?
?
??
n
d
n
d tort
其关系曲线见教材 P.88图 3-12,
(2) 上升时间
rt
,因输出有振荡,由定义,令 1)( ?
rth
得,
0)1s i n (
1
1 2
2
???
?
? ???
?
??
rn
t te rn
因在
rt
时刻 0??
rn te ??
所以由
0)1s i n ( 2 ??? ??? rn t
得,
dn
r
rn
t
t
?
??
??
??
?????
?
?
?
?
?
???
2
2
1
,2,,01 ?
(3) 峰值时间
Pt
,由定义,令
0
)(
?
? Pttdt
tdh
得,
所以
? ?
0
)c o s (1)s i n (
1
)(
2
2
'
?
?????
?
??
?
??????
?
? ??
PdPd
tn
P
tteth Pn
2
2
2
1
,2,,0,
1
)(
0)c o s (1)s i n (
??
?
?
?
????
?
?
??
??????
?
??
??
?
??
??????
nd
P
PdPd
PdPd
t
ttgttg
tt
?
(4) 最大超调量,由定义,
P? )()( ??? hth pp?
2
2
22
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
)()(1)(
1
s i n
1
1)s i n (
1
1
)
1
1
s i n (
1
1)(
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?
??
?
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
??
?
???
?
??
?
?
?
?
??
ehthh
e
ee
e
th
pP
n
n
p
n
n
?
(5) 最大百分比超调量,由定义,%?
%100
%100
1
%100
)(
)()(
%
2
1/
??
???
?
??
?
?? ???
?
?
e
h
hth
PP
(6) 调节时间 (过渡过程时间 )
st
:由定义,因为误差信号
)s i n (
1
)()()(
2
??
?
??
?
?
?
??
?
t
e
thtrte
d
tn
是幅值衰减的正弦曲线,如
右图所示,
)(te
1
0
t
而幅值表达式 是幅值衰减的正弦曲线的按
21 ?
??
?
? tne
指数规律衰减的包络线,如下图红色虚线所示,
)(te
1
0
t
21/1 ??
21/1 ???
21/ ??? ?? tne
21/ ??? ?? ? tne
由图可见,只要误差
曲线的包络线
05.0
1 2
?
?
?
?
?? tne
即到达调节时间,则
对上式求解得,
2105.0ln1 ?
??
???
n
st
当 时 9.00 ?? ?
nst ??/5.3?, 当误差带 02.0??? 时,同理可得
)9.00(5.4,102.0ln1 2 ?????? ?
??
?
?? nsns
tt
三 ﹑ 二阶系统性能的改善
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
下图闭环是一典型的二阶系统,而其开环为一型,故
其速度误差系数 ?? 2/
nvK ?
若欲使 ?
sse
则 ?
vK
而使
?vK 有二条途经, 一是使
n?
上升,从而导致
spdr tttt,,,
均下降,但使有阻尼振荡频率
d? 上升,但不能使 %? 下降, 二是使 ? 下降,则
vK
虽上
升,但导致 %,,,,,??
dspdr tttt
均上升,使动态性能变坏, 可
见,单靠调整系统本身的固有参数,已无法同时满足系统对
稳态和动态性能的要求,必须另加装置,采用其它控制方法
来改善系统的动态性能和稳态性能,
(1) 比例 — 微分控制
比例 — 微分控制的结构图如下所示,
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sE
sTd
由上图可得,其开环传递函数
?
?
??
?
2,)2(
)1()( 2 n
v
n
dn
O Kss
sTsG ?
?
??
而其闭环传递函数
22
2
22
2
)
2
(2
)1(
)2(
)1(
)(
nn
dn
dn
nndn
dn
s
T
s
sT
sTs
sT
s
??
?
?
?
????
?
?
???
?
?
???
?
?
令
22
2
2
)1()(
nnd
dn
ss
sTs
???
??
??
??
2
dn
d
T??? ??,则 为一带有零
点的二阶系统,其动态性能指标的求取公式请见教材
P.97— P.98,下面仅定性讨论比例 — 微分控制对系统性能
的影响,
若欲使系统的稳态误差值 下降,可使
sse ?
下降,则
vK
上升,满足系统对稳态误差值的要求, 因
2
dn
d
T??? ??
?
下降而导致
d?
的下降可通过调整参数
dT
给以弥补,
从而使系统同时满足预定的稳态和动态性能的要求,
(2)测速反馈控制
测速反馈控制的结构图如下所示,
)(sR )(sC
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sE
sKt
由上图可得,其开环传递函数
nt
n
v
ntn
n
O KKKsssG ??
?
???
?
????? 2,)2()( 2
2
而其闭环传递函数
令
22
2
)
2
(2
)(
nn
nt
n
s
K
s
s
??
?
?
?
?
???
?
2
nt
t
K ??? ??,则
22
2
2)( nnt
n
sss ???
??
???
为一不带零点
的典型二阶系统,其动态性能指标的求取公式前已介绍
测速反馈使系统的速度误差系数降低,从而导致稳态误
差上升,但这一缺点可通过减小原系统的阻尼系数 ?
给以弥补,使测速反馈后系统的
t?
满足动态性能的要求,
3-4 高阶系统的时域分析
1,高阶系统的单位阶跃响应
高阶系统闭环传递函数的一般形式为
nm
asasasa
bsbsbsbs
nn
nn
mm
mm
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1
1
10
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把上式的分子及分母因式分解得,
上式中
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1
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在单位阶跃信号作用下,输出的拉氏变换式为
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22
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)(
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上式中待定系数
qjsCssA
abssCA
jssj
nms
j
,,2,1)()(lim
/)(lim
00
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而 和
kB kC
是与 )(sC 在闭环复数极点
21
kkkk js ???? ????
处的留数有关的常系数, 将 )(sC 进行拉氏反变换,则
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2
2
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1
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2,高阶系统的闭环主导极点
由
)(th 的推导过程可见,其第二和第三项由闭环极点所产生,
叫 )(th 的动态分量,其各系数的大小与闭环零点和极点有关
而动态分量中各项的类型仅与闭环极点有关, 当闭环稳定时
所有的闭环极点都在 s的左半平面上,动态分量随时间的增长
而衰减, 闭环极点离虚轴越近,即其实部的绝对值越小,则它
所对应的动态分量中这一项就衰减得越慢,对动态性能的影
响就越大,闭环极点离虚轴越远,即其实部的绝对值越大,
则它所对应的动态分量中这一项就衰减得越快,对动态性能
的影响就越小,
由上面分析,可得如下闭环主导极点的概念, 在所有的闭
环极点中,距虚轴最近的极点且其周围没有闭环零点,而
其它闭环极点又远离虚轴,这样的闭环极点就叫作闭环主
导极点,
闭环主导极点可以是实数极点,也可以是复数极点,
一般总希望闭环主导极点为一对共轭复数极点,从而可将
高阶系统近似成二阶系统,用二阶系统的动态性能指标
的计算公式来估算高阶系统的动态性能, 也可在闭环主
导极点的概念下,考虑到高阶系统其它闭环非主导极点
及闭环零点对动态性能的影响,而导出高阶系统单位阶
跃响应的近似表达式,进而推导出计算高阶系统动态性
能指标的近似计算公式, 设高阶系统的闭环传递系数为
1,且其一对共轭复数主导极点为, 10,
2,1 ????? ??? djs
则
对上式进行拉氏反变换,得高阶系统单位阶跃响应的近
似表达式为,
21
11
)(
)(11
)(
)(11
)(
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21
ssssD
sM
ssssD
sM
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11
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sDs
sM
th dt ??
当高阶系统闭环非主导极点实部的模比主导复数极点实部
的模大三倍以上时,可由上式并根据动态性能指标的定义
导出近似计算公式,
(1) 峰值时间
由上式对时间求导,并令其导函数为零得,
)
)(
)(c o s()
)(
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11
1
11
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sDs
sMt
sDs
sMt
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因而有,
上式中
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sDs
sMt
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sszst
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?????
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(2) 最大百分比超调量
根据最大百分比超调量的定义,且 1)( ??h,则
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)(
)(
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)(
2
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1
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sDs
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上式中
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)(
)(
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1
11
1
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Pd
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sszs
zss
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将式 (2),(3)代入式 (1)得
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i
m
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i
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i
i
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ssszs
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因为 互为共轭复数极点,所以
21,ss dssss ?2,2121 ???
最后可得
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P
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1
1
1
1
21
21
,
%1 0 0%1 0 0
%1 0 0%
??
?
?
P叫闭环非主导极点影响修正系数,Q叫闭环零点影响修正
系数,
(3) 调节时间的计算
根据调节时间的定义,有
02.005.0,1)(,),()()( ????????????? orhtthhth s
由
)
)(
)(
c o s (
)(
)(
21)(
11
1
11
1
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sDs
sM
te
sDs
sM
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11
1
11
1
sDs
sM
te
sDs
sM
hth dt ??
上式中 te
sDs
sM ??
?
)(
)(
2
11
1
是余弦函数的幅值,且随时间的增长
而衰减,故由上式可得
s
t tte
sDs
sM
??????,
)(
)(
2
11
1 ?
由前面的推导可知,
则
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11
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1
1
1
)()(
)()(
2 对左式两边取对数
解得
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2
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2
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1
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2
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1
1
1
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zsss
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????
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课外习题, P.134 第 3-4题 ﹑ 3-7题
补充题,某一典型单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲
线如下图所示,求此闭环系统的开环传递函数,
0
)(th
1
t
1.1
1.0
