第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子,了解一下根轨迹的本质是什么,
设有二阶代数方程 0232 ???? Kss,由韦达定理,可求出其二个根
为, Ks ???? 25.05.12,1,由于代数方程是二阶的,求其根很方便
即便如此,当可变参数 K从 0连续变化到正无穷大时,计算这两个
根的所有值是相当麻烦的, 那么能否在根平面即 S平面上画出这
两个根随 K从 0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两
个根的表达式着手来画,
(1)K=0,则 2,1
21 ???? ss
,在 S平面上的位置如下图所示,
0 -1 -2
jω
σ
(2) 当 0<K<=0.25时,一个根的绝对值随 K的增大而增大,另
一个根的绝对值随 K的增大而减小,两根的变化轨迹如下图所示,
0 -1 -2
jω
σ
-1.5
当 K=0.25时,两根相等,均为 -1.5
(3) 0.25<K<+∞ 时,两根为共軛复根,且其实部均为 -1.5,而
虚部的绝对值随 K的增大而增大,两根的变化轨迹如下图所示,
0 -1 -2
jω
σ
-1.5
由例可见,代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来, 由于上例中代数方程简单,是
二阶的,其两个根关于参变量 K的表达式可求,且简单,故画
图也方便, 当代数方程为高阶时,画图就没那么方便, 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点,
(1) 因例中代数方程为二阶,所以根轨迹图中有两条根轨
迹分支 ;
(2) 若把代数方程 0232 ???? Kss 写成如下形式,即,
0)2)(1(1231 2 ???????? ss Kss K
并令,
)2)(1()( ??? ss
KsG 则左式分母 0)2)(1( ??? ss
的根为 -1和 -2,恰为当 K=0时,代数方程 0232 ???? Kss 的两个根,
也即两条根轨迹分支的起点,
(3) 两条根轨迹分支离开实轴,进入复平面后,在复平面上
的根轨迹关于实轴成镜向对称,
实际控制系统往往是高阶的,即其闭环特征方程是 S的高阶
代数方程, 当系统中某环节的某个参数发生变化,或为改善系统
的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时,系统的闭环极点
也即闭环特征方程的根也发生相应的变化, 而闭环系统的控制性
能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系, 这就需要事先
从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋
势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度,作出理论上
的指导, 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上
来,
1,根轨迹定义
定义, 当系统中某个 (或几个 )参数从 0到 +∞ 连续变化 时,系
统闭环特征方程的根 (即闭环极点 )在根平面 (S平面 )上 连续移动而
形成的 轨迹, 称为系统的根轨迹,
2,根轨迹方程
闭环控制系统的一般结构图如下所示,
H(S)
G1(S) G2(S) R(S) Y(S)
其开环传递函数 )()()()(
210 sHsGsGsG ?
,开环传递函数是各
个环节传递函数的乘积形式, 由于系统中各个环节一般为典型环
节,而典型环节的传递函数一般不超过二阶,其分子和分母的 S
多项式极易因式分解,从而开环传递函数的零极点也容易获得,
因此,闭环系统的开环传递函数可表为,
)1(
)(
)(
)1(
)1(
)(
1
1
'
1
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
j
j
N
m
i
i
r
j
j
N
m
i
i
pss
zsK
ss
sTK
sG
?
式 (1)中,
阶数,
iz
是 G0(S)的零点,i=1,2,….m
jp
是 G0(S)的非零极点,j=1,2,….r
Ns
表示有 N个数值为 0的极点,且 N+ r=n,n为系统的
K叫开环系统的增益,K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与 K’的本质相同,仅它们间的值有一系数关系,即,
)2(
)(
)(
1
1'
?
?
?
?
?
?
?
r
j
j
m
i
i
p
z
KK
闭环系统的特征方程为, 0)(1 0 ?? sG,即, 1)(0 ??sG,将式 (1)代入
)3(
)(
)(
)12(
1
)(
1
'
1
1
'
1
1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
kj
r
j
Nj
j
N
m
i
j
i
r
j
j
N
m
i
i
e
epss
ezsK
pss
zsK
r
j
j
m
i
i
式 (3)中,
式 (3)叫根轨迹方程,此方程又可分为下面两个方程,
izs ?
是
)( izs ? 的模 ; jps?
是 )(
jps ?
的模 ;
i?
是 )(
izs ?
的幅角 ;
j?
是 )(
jps ?
的幅角 ;
rNnk ?????,2,1,0 ?
)5(,2,1,0)12(
)4(
11
1
1'
????????
?
?
?
??
?
?
??
?
?
kkN
zs
ps
K
r
j
j
m
i
i
m
i
i
r
j
j
????
式 (4)叫根轨迹的幅值条件,式 (5)叫根轨迹的相角条件, 在 S平面
上凡满足相角条件的点一定是闭环极点,即是闭环特征方程的根,
凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点,因此相角条件是绘制
根轨迹的充分必要条件, 根轨迹上某一点对应的 K’的值可由幅
值条件求出,
? 是 s 的幅角 ;
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹,将会非常不方
便, 人们利用前面介绍的几个式子,导出一些绘制根轨迹的法则
利用导出的法则,可方便地绘制出根轨迹的大至形状,叫概略根
轨迹,这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用
了,
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子,介绍绘制根轨迹的七条法则,但对法则
不予推导和证明,
需指出的是,绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环
传递函数的零点和极点的具体数值,一般以 K’为参变量,
例, 某闭环系统的开环传递函数为,
)34)(34)(5.0)(5.0)(8)(6(
)27)(27)(10)(1(
)(
'
0 jsjsjsjssss
jsjsssK
sG
??????????
??????
?
上例中,
将上述开环零点和极点尽可能准确标在 S复平面上,习惯上用叉
号标记开环极点,用小圆圈标记开环零点,如下图,
34,34,5.0,5.0,8,6,0
27,27,10,1;4,7
7654321
4321
jpjpjpjpppp
jzjzzzmn
?????????????????
????????????
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ
法则 1 根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点,对应于
K’=0,终止于开环零点,对应于 K’= +∞,
注意, 当 n> m时,有 n-m条根轨迹的终点隐藏于 S平面上的无
穷远处 ;当 n<m时,有 m -n条根轨迹的起点隐藏于 S平面上的无穷
远处 ;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个
数相等,无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点,
法则 2 根轨迹的分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环有
限零点个数 m和有限极点个数 n中的大者相等, 它们是连续的并与
实轴成镜像对称,
法则 3 实轴上的根轨迹,实轴上的某一区段,若其右边开环
实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的
根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分,
法则 3的应用见下图,
法则 4 根轨迹的渐近线,当开环有限极点个数 n大于开环有
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ
限零点个数 m时,有 n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为 a?,与实
轴正方向的夹角为 a? 的一组渐近线趋向无穷远处的零点,
且, 1,,2,1,0)12(1 ???
?
?
?
?
?
?
??
? mnk
mn
k
mn
zp
a
m
i
i
n
j
j
a ?
?
??
上式中,?
?
n
j
jp
1
?
?
m
i
iz
1
为开环极点值之和,为开环零点值之和,
上例中,n-m=7-4=3,有三条 渐近线,它们的
3
5
,,
3
2,1,0
3
)12(
1,,2,1,0
)12(
3
2
3
)25(23
252727101
2334345.05.0860
210
4
1
7
1
4
1
7
1
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
???
?
?
?
?
???
?
?
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??
?????????
?????????????
??
?
?
??
?
?
aaa
a
a
i
i
j
j
a
i
i
j
j
k
k
mnk
mn
k
mn
zp
jjz
jjjjp
??
?
计算如下,
a?
和
a?
渐近线见下图,
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ 2/3
对于法则 4,当 m>n时,有 m-n条根轨迹从 无穷远处的极点沿
1,,2,1,0
)12(1
???
?
?
?
?
?
?
??
? nmk
nm
k
nm
pz
a
n
j
j
m
i
i
a ?
?
??
一组渐近线进入有限零点,这一组渐近线的 由下式计算,
a?
和
a?
法则 5 根轨迹的分离点,两条或两条以上的根轨迹分支在 S
平面上相遇又分开的点称为分离点, 一般常见的分离点多位于实
轴上,但有时也产生于共軛复数对中 (即在复平面上 ).分离点必为
重根点,分离点 d的值可由下式计算,
??
?? ?
?
?
m
i i
n
j j zdpd 11
11
由上式算得的分离点 d值必须使 K’>0,或者讲必须在根轨迹上,
当开环传递函数没有一个零点时,分离点 d的值由下式计算,
01
1
?
???
n
j jpd
现计算例子中的分离点 d值,由于,
27
1
27
1
10
1
1
1
34
1
34
1
5.0
1
5.0
1
8
1
6
11
jdjddd
jdjdjdjdddd
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
对上式整理得,
用手工解十次代数方程相当麻烦, 但在实轴上的分离点有以下两
个特点,
(1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如
是根轨迹,则其上必有一个分离点, 这两个相邻的极点或两个相
邻的零点中有一个可以是无限极点或零点,
(2) 实轴上某区段是根轨迹的话,如这区段的两个端点一个是
极点,而另一个是零点,则此区段上要么没有分离点,如有,则不
止一个,
利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点,
然后用试探法求近似的分离点值,求出一个后,对整理后的方程
可降一阶,
04 0 6 7 7 525.6 7 0 9 175.6 4 0 6 7 46 2 5.5 8 4 7 4 375.4 9 9 3 5
7 2 3 3 825.5 7 2 7 9 93 7 5.5 4 3 075.6 2 15.38
234
5678910
??????
?????
dddd
dddddd
法则 6 起始角与终止角,根轨迹离开开环复数极点处的切线
与正实轴的夹角,叫起始角,以
ip
?
标识 ; 根轨迹进入开环复数零
点处的切线与正实轴的夹角,叫终止角,以
iz
?
标识,且,
)(
)(
1
)(
1
)(
11
??
??
?
?
?
?
??
???
???
n
j
zp
m
ij
j
zzz
n
ij
j
pp
m
j
pzp
ijij
i
ijiji
????
????
上两式中
ip
?
表示下标序号为 i的开环复数极点 的起始角,
ip
ij pz
?
表示以下标序号为 j的开环零点
jz
为始点指向
ip
的矢量与正实轴方向的夹角,
表示以下标序号为 j的开环极点
表示下标序号为 i的开环复数零点
ij pp
? j
p 为始点指向 ip 的矢量
与正实轴方向的夹角,
iz
? iz
的终止角,
ij zz
?
表示以下标序号为 j的开环零点
jz
为始点指向
iz
的矢量与
正实轴方向的夹角,
ij zp
?
表示以下标序号为 j的开环极点
jp
为始点指向
iz
的矢量
与正实轴方向的夹角,
现以所举例子中序号为 4即 i=4的开环复数极点为例,说明它
的起始角的计算过程, 由计算起始角的公式可得,
? ?
?
?
?
???
4
1
7
)4(
1
)(
444
j
j
j
pppzp jj
????
43 pz
?
上式中,
(弧度 ) 7718.7
4324.01526.021049.01071.1
5.6
3
5.6
1
2
5.9
1
5.0
1
1111
4
1
444342414
?
?????
?????
????
????
?
?
?
?
?????
gggg
pzpzpzpz
j
pz
tttt
j
0
p1
1
2
3
-1
z1
p4
p5
p6
-6
p2
-8
p3 -10 z2
p7
z3
z4
jω
σ 41 pz?
44 pz
?
42 pz
?
46 pp
?
同理可得,
(弧度 ) 5 2 8 3.10
8 5 2 0.05 1 9 1.02
2
1 3 2 6.01 7 9 9.01 0 7 1.1
5.3
4
5.3
2
2
25.7
1
5.5
1
5.0
1
11111
7
)4(
1
4746454342414
?
????????
????????
??????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
ggggg
pppppppppppp
j
j
pp
ttttt
j
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ 41pp?
47 pp
?
45pp
?
42 pp
?
43pp
?
从而,
由于根轨迹的对称性,则,
?9 7 8 3.213 8 3 4.05 2 8 3.107 7 1 8.7
4 ????? ?? p
?9 7 8 3.21
5 ??p?
其它开环复数极点的起始角和开环复数零点的终止角同理
计算,
法则 7 根轨迹与虚轴的交点,若根轨迹与虚轴有交点,则
交点处的临界根轨迹放大倍数 K’C值和 ω值可令 s=jω代入闭环特
征方程 1+G0(s)=0,再令其实部和虚部分别等于零而求得 ; 也可由
劳斯判据求得,
下面举例说明绘制概略根轨迹七条法则的应用,
例, 设负反馈系统的开环传递函数为,
)23)(23)(5.3)(1(
)(
'
0 jSjSSSS
KsG
??????
?
要求画概略根轨迹图,
解, (1)
05
23,23,5.3,1,0 54321
??
???????????
mn
jpjpppp
有五条根轨迹分支,
(2) 实轴上的根轨迹, 见下图
(3) 渐近线,
P1,0
2
1
-2
-3.5
p3
P2,-1
p4
p5
jω
σ
-1
-3
5
9
,
5
7
,,
5
3
,
5
4,3,2,1,0
5
)12(
1.2
5
23235.310
43210
5
1
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
??
??????
?
?
?
?
?
aaaaa
a
j
j
a
k
k
jj
mn
p
渐近线见下图,
(4)出射角,
P1,0
2
1
-2
-3.5
p3
P2,-1
p4
p5
jω
σ
-1
-3 -2.1
?
2 7 3 4.2676 6 4 8.4
2
3 2 5 8.1
4
588.0
25.0
2
)
2
2
()
3
2
(
111
5
)4(
1
4543424144
????
???????
???????
???????
???
?
?
?
??
???
?
???
????????
ggg
pppppppp
j
j
ppp
ttt
j
出射角相当于 92.7266度,由于对称性,
(5) 分离点,
?7 2 6 6.92
5 ??p?
0
136
62
5.3
1
1
11
23
1
23
1
5.3
1
1
111
2
5
1
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
dd
d
ddd
jdjddddpdj
j
上式手工求解较为麻烦,采用试探法, 由于实轴上 0与 -1之间必有
分离点,若使 d=-0.4,则上式左边约为 -0.027,接近 0,
(6) 根轨迹与虚轴交点, 由 G0(s)可得闭环特征方程为,
05.455.795.435.10)( '2345 ??????? KssssssD
则,
?
?
?
???
???
05.455.43
05.795.10
35
'24
???
?? K
令上式实部和虚部分别为零,得,
05.455.795.435.10)( '2345 ??????? KjjjjD ??????
解上面联立方程,
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
28.1 5 3 8 4
5.6
0
0
2 3 1 4.73
0 3 6.1
'''
ccc KKK
???
后两组舍去,
现用劳斯判据求根轨迹与虚轴交点,由闭环特征方程列出
劳斯行列表表头并计算各行各列的值,得如下劳斯行列表,
'0
'
'
2
'
1
'
'
2
'
3
'4
5
5.1024975
5.1 1 3 6 3 6 2875.15454
25.377
5.1024975
5.10
75.477
5.10
25.377
5.795.10
5.455.431
Ks
K
KK
s
K
K
s
K
s
Ks
s
?
??
?
?
由令 1s 行第一列为零得, 05.1136362875.15454 '2' ??? KK,解得,
0 5 6 2.1 5 5 2 8,1 8 1 2.73 '' ??? cc KK (舍去 ),将 1812.73' ?cK
代入
2s 行得辅助方程, 01812.7324.68 2 ??s,解此辅助方程得,
0 3 6.1js ??
完整的概略根轨迹如下图,
课外习题, P.166 第 4-3题,第 4-4题 (1) ﹑ (3),第 4-5题 (1)
第 4-6题 (2),第 4-10题 (2) ﹑ (3)
P1,0
2
1
-2
-3.5
p3
P2,-1
p4
p5
jω
σ
-1
-3 -2.1
4-3 广义根轨迹
1,参数根轨迹
绘制根轨迹常以系统开环增益 K或开环根迹增益 K’作为参变
量, 但当 K或 K’固定,而系统其它某一个参数变化时,也可利用绘
制根轨迹的法则,以非 K或非 K’为参变量绘制概略根轨迹,这时
绘制的根轨迹叫以非 K或非 K’为参变量的根轨迹,简称参数根轨
迹, 设闭环系统的开环传递函数为,
)(
)()(
0 sP
sQsG ?
则闭环系统的特征方程为,
0)( )()()( )(1)(1 0 ?????? sP sQsPsP sQsG
令, )()()( sQsPsD ??,D(s)叫特征多项式,D(s)=0叫特征方程,可
见闭环系统的特征方程等于开环传递函数的分母加分子,
例, 设系统的开环传递函数为,
)2(
1)(
0 ?
??
ss
assG,K固定,a
可在 0和 +∞ 间连续变化,则有上面的叙述,01)2()( ????? assssD
由上式经整理,将含有参变量 a的项归并在一起,即,
称作等效开环传递函数,由
012)( 2 ????? assssD
将上面特征方程两边同时除以不含 a的 s多项式,得,
)(10
12
1 '0
2
sG
ss
as
???
??
?
)('0 sG )('0 sG,即可用绘制根轨迹的法
则,绘制以 a为参变数的概略根轨迹,
课外习题, P.168第 4-13题 (2),第 4-14题 (2)
2,附加开环零 ﹑ 极点的作用
若闭环系统的控制性能不理想,可通过附加开环零 ﹑ 极点改
变闭 环系统的控制性能,其实质是 改变了 根轨迹的形状,
(1) 增加开环 极点
设 闭环系统的原开环传递函数为
)2)(1()(
'
0 ??? ss
KsG
其根轨迹见下图,
0 -1 -2
jω
σ
-1.5
由图可分析得, 无论 K’多大,闭环始终稳定,但是个有差系统, 如
给 G0(s)附加一个 s=0的极点,即串接一个积分环节,则,
)2)(1()(
'
0 ??? sss
KsG
其根轨迹图如下,
附加一个开环 极点后,根轨迹向右弯曲,当 K’增至一定值后,系统
由稳定变为不稳定,动态性能变坏 ; 但系统在阶跃信号作用下由
有差系统变为无差系统,
0 -1 -2
jω
σ
(2) 增加开环 零点
设原开环传递函数增加一个 s=-3的开环 零点,成为,
)2)(1(
)3()( '
0 ??
??
ss
sKsG
则其根轨迹如下图,
0 -1 -2
jω
σ
-3
由图可见,开环传递函数增加一个开环 零点,相当于在系统中串接
一个比例加微分环节,从而使原 根轨迹向左弯曲,这对系统的稳定
性有利,也能改善动态性能,但改善的程度视 比例加微分环节串接
在顺向通道 (也叫前向通道或控制通道 )还是串接在反馈通道而定,
3.增加开环偶极子
所为偶极子是指一对零 ﹑ 极点相互靠得很近,若在 s平面原点附近
的负实轴上增加一对开环偶极子,并使 z0=γ p0,γ >1(即零点在 极点
的左边 ),则可基本不改变 原 根轨迹的形状,而使系统的开环放大倍
数提高到原来的 γ 倍,即,
由此可见,增加开环偶极子可使系统的稳定性 ﹑ 动态性能基本不
变的情况下,使控制精度提高 γ 倍,
1
0
0
1
0
0
1
1'
2
K
p
z
K
p
z
p
z
KK
n
j
j
m
i
i
????
?
?
?
?
4-1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子,了解一下根轨迹的本质是什么,
设有二阶代数方程 0232 ???? Kss,由韦达定理,可求出其二个根
为, Ks ???? 25.05.12,1,由于代数方程是二阶的,求其根很方便
即便如此,当可变参数 K从 0连续变化到正无穷大时,计算这两个
根的所有值是相当麻烦的, 那么能否在根平面即 S平面上画出这
两个根随 K从 0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两
个根的表达式着手来画,
(1)K=0,则 2,1
21 ???? ss
,在 S平面上的位置如下图所示,
0 -1 -2
jω
σ
(2) 当 0<K<=0.25时,一个根的绝对值随 K的增大而增大,另
一个根的绝对值随 K的增大而减小,两根的变化轨迹如下图所示,
0 -1 -2
jω
σ
-1.5
当 K=0.25时,两根相等,均为 -1.5
(3) 0.25<K<+∞ 时,两根为共軛复根,且其实部均为 -1.5,而
虚部的绝对值随 K的增大而增大,两根的变化轨迹如下图所示,
0 -1 -2
jω
σ
-1.5
由例可见,代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来, 由于上例中代数方程简单,是
二阶的,其两个根关于参变量 K的表达式可求,且简单,故画
图也方便, 当代数方程为高阶时,画图就没那么方便, 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点,
(1) 因例中代数方程为二阶,所以根轨迹图中有两条根轨
迹分支 ;
(2) 若把代数方程 0232 ???? Kss 写成如下形式,即,
0)2)(1(1231 2 ???????? ss Kss K
并令,
)2)(1()( ??? ss
KsG 则左式分母 0)2)(1( ??? ss
的根为 -1和 -2,恰为当 K=0时,代数方程 0232 ???? Kss 的两个根,
也即两条根轨迹分支的起点,
(3) 两条根轨迹分支离开实轴,进入复平面后,在复平面上
的根轨迹关于实轴成镜向对称,
实际控制系统往往是高阶的,即其闭环特征方程是 S的高阶
代数方程, 当系统中某环节的某个参数发生变化,或为改善系统
的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时,系统的闭环极点
也即闭环特征方程的根也发生相应的变化, 而闭环系统的控制性
能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系, 这就需要事先
从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋
势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度,作出理论上
的指导, 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上
来,
1,根轨迹定义
定义, 当系统中某个 (或几个 )参数从 0到 +∞ 连续变化 时,系
统闭环特征方程的根 (即闭环极点 )在根平面 (S平面 )上 连续移动而
形成的 轨迹, 称为系统的根轨迹,
2,根轨迹方程
闭环控制系统的一般结构图如下所示,
H(S)
G1(S) G2(S) R(S) Y(S)
其开环传递函数 )()()()(
210 sHsGsGsG ?
,开环传递函数是各
个环节传递函数的乘积形式, 由于系统中各个环节一般为典型环
节,而典型环节的传递函数一般不超过二阶,其分子和分母的 S
多项式极易因式分解,从而开环传递函数的零极点也容易获得,
因此,闭环系统的开环传递函数可表为,
)1(
)(
)(
)1(
)1(
)(
1
1
'
1
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
j
j
N
m
i
i
r
j
j
N
m
i
i
pss
zsK
ss
sTK
sG
?
式 (1)中,
阶数,
iz
是 G0(S)的零点,i=1,2,….m
jp
是 G0(S)的非零极点,j=1,2,….r
Ns
表示有 N个数值为 0的极点,且 N+ r=n,n为系统的
K叫开环系统的增益,K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与 K’的本质相同,仅它们间的值有一系数关系,即,
)2(
)(
)(
1
1'
?
?
?
?
?
?
?
r
j
j
m
i
i
p
z
KK
闭环系统的特征方程为, 0)(1 0 ?? sG,即, 1)(0 ??sG,将式 (1)代入
)3(
)(
)(
)12(
1
)(
1
'
1
1
'
1
1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kj
r
j
Nj
j
N
m
i
j
i
r
j
j
N
m
i
i
e
epss
ezsK
pss
zsK
r
j
j
m
i
i
式 (3)中,
式 (3)叫根轨迹方程,此方程又可分为下面两个方程,
izs ?
是
)( izs ? 的模 ; jps?
是 )(
jps ?
的模 ;
i?
是 )(
izs ?
的幅角 ;
j?
是 )(
jps ?
的幅角 ;
rNnk ?????,2,1,0 ?
)5(,2,1,0)12(
)4(
11
1
1'
????????
?
?
?
??
?
?
??
?
?
kkN
zs
ps
K
r
j
j
m
i
i
m
i
i
r
j
j
????
式 (4)叫根轨迹的幅值条件,式 (5)叫根轨迹的相角条件, 在 S平面
上凡满足相角条件的点一定是闭环极点,即是闭环特征方程的根,
凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点,因此相角条件是绘制
根轨迹的充分必要条件, 根轨迹上某一点对应的 K’的值可由幅
值条件求出,
? 是 s 的幅角 ;
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹,将会非常不方
便, 人们利用前面介绍的几个式子,导出一些绘制根轨迹的法则
利用导出的法则,可方便地绘制出根轨迹的大至形状,叫概略根
轨迹,这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用
了,
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子,介绍绘制根轨迹的七条法则,但对法则
不予推导和证明,
需指出的是,绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环
传递函数的零点和极点的具体数值,一般以 K’为参变量,
例, 某闭环系统的开环传递函数为,
)34)(34)(5.0)(5.0)(8)(6(
)27)(27)(10)(1(
)(
'
0 jsjsjsjssss
jsjsssK
sG
??????????
??????
?
上例中,
将上述开环零点和极点尽可能准确标在 S复平面上,习惯上用叉
号标记开环极点,用小圆圈标记开环零点,如下图,
34,34,5.0,5.0,8,6,0
27,27,10,1;4,7
7654321
4321
jpjpjpjpppp
jzjzzzmn
?????????????????
????????????
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ
法则 1 根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点,对应于
K’=0,终止于开环零点,对应于 K’= +∞,
注意, 当 n> m时,有 n-m条根轨迹的终点隐藏于 S平面上的无
穷远处 ;当 n<m时,有 m -n条根轨迹的起点隐藏于 S平面上的无穷
远处 ;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个
数相等,无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点,
法则 2 根轨迹的分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环有
限零点个数 m和有限极点个数 n中的大者相等, 它们是连续的并与
实轴成镜像对称,
法则 3 实轴上的根轨迹,实轴上的某一区段,若其右边开环
实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的
根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分,
法则 3的应用见下图,
法则 4 根轨迹的渐近线,当开环有限极点个数 n大于开环有
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ
限零点个数 m时,有 n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为 a?,与实
轴正方向的夹角为 a? 的一组渐近线趋向无穷远处的零点,
且, 1,,2,1,0)12(1 ???
?
?
?
?
?
?
??
? mnk
mn
k
mn
zp
a
m
i
i
n
j
j
a ?
?
??
上式中,?
?
n
j
jp
1
?
?
m
i
iz
1
为开环极点值之和,为开环零点值之和,
上例中,n-m=7-4=3,有三条 渐近线,它们的
3
5
,,
3
2,1,0
3
)12(
1,,2,1,0
)12(
3
2
3
)25(23
252727101
2334345.05.0860
210
4
1
7
1
4
1
7
1
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
???
?
?
?
?
???
?
?
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?????????
?????????????
??
?
?
??
?
?
aaa
a
a
i
i
j
j
a
i
i
j
j
k
k
mnk
mn
k
mn
zp
jjz
jjjjp
??
?
计算如下,
a?
和
a?
渐近线见下图,
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ 2/3
对于法则 4,当 m>n时,有 m-n条根轨迹从 无穷远处的极点沿
1,,2,1,0
)12(1
???
?
?
?
?
?
?
??
? nmk
nm
k
nm
pz
a
n
j
j
m
i
i
a ?
?
??
一组渐近线进入有限零点,这一组渐近线的 由下式计算,
a?
和
a?
法则 5 根轨迹的分离点,两条或两条以上的根轨迹分支在 S
平面上相遇又分开的点称为分离点, 一般常见的分离点多位于实
轴上,但有时也产生于共軛复数对中 (即在复平面上 ).分离点必为
重根点,分离点 d的值可由下式计算,
??
?? ?
?
?
m
i i
n
j j zdpd 11
11
由上式算得的分离点 d值必须使 K’>0,或者讲必须在根轨迹上,
当开环传递函数没有一个零点时,分离点 d的值由下式计算,
01
1
?
???
n
j jpd
现计算例子中的分离点 d值,由于,
27
1
27
1
10
1
1
1
34
1
34
1
5.0
1
5.0
1
8
1
6
11
jdjddd
jdjdjdjdddd
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
对上式整理得,
用手工解十次代数方程相当麻烦, 但在实轴上的分离点有以下两
个特点,
(1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如
是根轨迹,则其上必有一个分离点, 这两个相邻的极点或两个相
邻的零点中有一个可以是无限极点或零点,
(2) 实轴上某区段是根轨迹的话,如这区段的两个端点一个是
极点,而另一个是零点,则此区段上要么没有分离点,如有,则不
止一个,
利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点,
然后用试探法求近似的分离点值,求出一个后,对整理后的方程
可降一阶,
04 0 6 7 7 525.6 7 0 9 175.6 4 0 6 7 46 2 5.5 8 4 7 4 375.4 9 9 3 5
7 2 3 3 825.5 7 2 7 9 93 7 5.5 4 3 075.6 2 15.38
234
5678910
??????
?????
dddd
dddddd
法则 6 起始角与终止角,根轨迹离开开环复数极点处的切线
与正实轴的夹角,叫起始角,以
ip
?
标识 ; 根轨迹进入开环复数零
点处的切线与正实轴的夹角,叫终止角,以
iz
?
标识,且,
)(
)(
1
)(
1
)(
11
??
??
?
?
?
?
??
???
???
n
j
zp
m
ij
j
zzz
n
ij
j
pp
m
j
pzp
ijij
i
ijiji
????
????
上两式中
ip
?
表示下标序号为 i的开环复数极点 的起始角,
ip
ij pz
?
表示以下标序号为 j的开环零点
jz
为始点指向
ip
的矢量与正实轴方向的夹角,
表示以下标序号为 j的开环极点
表示下标序号为 i的开环复数零点
ij pp
? j
p 为始点指向 ip 的矢量
与正实轴方向的夹角,
iz
? iz
的终止角,
ij zz
?
表示以下标序号为 j的开环零点
jz
为始点指向
iz
的矢量与
正实轴方向的夹角,
ij zp
?
表示以下标序号为 j的开环极点
jp
为始点指向
iz
的矢量
与正实轴方向的夹角,
现以所举例子中序号为 4即 i=4的开环复数极点为例,说明它
的起始角的计算过程, 由计算起始角的公式可得,
? ?
?
?
?
???
4
1
7
)4(
1
)(
444
j
j
j
pppzp jj
????
43 pz
?
上式中,
(弧度 ) 7718.7
4324.01526.021049.01071.1
5.6
3
5.6
1
2
5.9
1
5.0
1
1111
4
1
444342414
?
?????
?????
????
????
?
?
?
?
?????
gggg
pzpzpzpz
j
pz
tttt
j
0
p1
1
2
3
-1
z1
p4
p5
p6
-6
p2
-8
p3 -10 z2
p7
z3
z4
jω
σ 41 pz?
44 pz
?
42 pz
?
46 pp
?
同理可得,
(弧度 ) 5 2 8 3.10
8 5 2 0.05 1 9 1.02
2
1 3 2 6.01 7 9 9.01 0 7 1.1
5.3
4
5.3
2
2
25.7
1
5.5
1
5.0
1
11111
7
)4(
1
4746454342414
?
????????
????????
??????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
ggggg
pppppppppppp
j
j
pp
ttttt
j
0
p1
1
2
3
-6
p2
-8
p3 -10 z2
-1
z1
p4
p5
p6
p7
z3
z4
jω
σ 41pp?
47 pp
?
45pp
?
42 pp
?
43pp
?
从而,
由于根轨迹的对称性,则,
?9 7 8 3.213 8 3 4.05 2 8 3.107 7 1 8.7
4 ????? ?? p
?9 7 8 3.21
5 ??p?
其它开环复数极点的起始角和开环复数零点的终止角同理
计算,
法则 7 根轨迹与虚轴的交点,若根轨迹与虚轴有交点,则
交点处的临界根轨迹放大倍数 K’C值和 ω值可令 s=jω代入闭环特
征方程 1+G0(s)=0,再令其实部和虚部分别等于零而求得 ; 也可由
劳斯判据求得,
下面举例说明绘制概略根轨迹七条法则的应用,
例, 设负反馈系统的开环传递函数为,
)23)(23)(5.3)(1(
)(
'
0 jSjSSSS
KsG
??????
?
要求画概略根轨迹图,
解, (1)
05
23,23,5.3,1,0 54321
??
???????????
mn
jpjpppp
有五条根轨迹分支,
(2) 实轴上的根轨迹, 见下图
(3) 渐近线,
P1,0
2
1
-2
-3.5
p3
P2,-1
p4
p5
jω
σ
-1
-3
5
9
,
5
7
,,
5
3
,
5
4,3,2,1,0
5
)12(
1.2
5
23235.310
43210
5
1
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
??
??????
?
?
?
?
?
aaaaa
a
j
j
a
k
k
jj
mn
p
渐近线见下图,
(4)出射角,
P1,0
2
1
-2
-3.5
p3
P2,-1
p4
p5
jω
σ
-1
-3 -2.1
?
2 7 3 4.2676 6 4 8.4
2
3 2 5 8.1
4
588.0
25.0
2
)
2
2
()
3
2
(
111
5
)4(
1
4543424144
????
???????
???????
???????
???
?
?
?
??
???
?
???
????????
ggg
pppppppp
j
j
ppp
ttt
j
出射角相当于 92.7266度,由于对称性,
(5) 分离点,
?7 2 6 6.92
5 ??p?
0
136
62
5.3
1
1
11
23
1
23
1
5.3
1
1
111
2
5
1
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
dd
d
ddd
jdjddddpdj
j
上式手工求解较为麻烦,采用试探法, 由于实轴上 0与 -1之间必有
分离点,若使 d=-0.4,则上式左边约为 -0.027,接近 0,
(6) 根轨迹与虚轴交点, 由 G0(s)可得闭环特征方程为,
05.455.795.435.10)( '2345 ??????? KssssssD
则,
?
?
?
???
???
05.455.43
05.795.10
35
'24
???
?? K
令上式实部和虚部分别为零,得,
05.455.795.435.10)( '2345 ??????? KjjjjD ??????
解上面联立方程,
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
28.1 5 3 8 4
5.6
0
0
2 3 1 4.73
0 3 6.1
'''
ccc KKK
???
后两组舍去,
现用劳斯判据求根轨迹与虚轴交点,由闭环特征方程列出
劳斯行列表表头并计算各行各列的值,得如下劳斯行列表,
'0
'
'
2
'
1
'
'
2
'
3
'4
5
5.1024975
5.1 1 3 6 3 6 2875.15454
25.377
5.1024975
5.10
75.477
5.10
25.377
5.795.10
5.455.431
Ks
K
KK
s
K
K
s
K
s
Ks
s
?
??
?
?
由令 1s 行第一列为零得, 05.1136362875.15454 '2' ??? KK,解得,
0 5 6 2.1 5 5 2 8,1 8 1 2.73 '' ??? cc KK (舍去 ),将 1812.73' ?cK
代入
2s 行得辅助方程, 01812.7324.68 2 ??s,解此辅助方程得,
0 3 6.1js ??
完整的概略根轨迹如下图,
课外习题, P.166 第 4-3题,第 4-4题 (1) ﹑ (3),第 4-5题 (1)
第 4-6题 (2),第 4-10题 (2) ﹑ (3)
P1,0
2
1
-2
-3.5
p3
P2,-1
p4
p5
jω
σ
-1
-3 -2.1
4-3 广义根轨迹
1,参数根轨迹
绘制根轨迹常以系统开环增益 K或开环根迹增益 K’作为参变
量, 但当 K或 K’固定,而系统其它某一个参数变化时,也可利用绘
制根轨迹的法则,以非 K或非 K’为参变量绘制概略根轨迹,这时
绘制的根轨迹叫以非 K或非 K’为参变量的根轨迹,简称参数根轨
迹, 设闭环系统的开环传递函数为,
)(
)()(
0 sP
sQsG ?
则闭环系统的特征方程为,
0)( )()()( )(1)(1 0 ?????? sP sQsPsP sQsG
令, )()()( sQsPsD ??,D(s)叫特征多项式,D(s)=0叫特征方程,可
见闭环系统的特征方程等于开环传递函数的分母加分子,
例, 设系统的开环传递函数为,
)2(
1)(
0 ?
??
ss
assG,K固定,a
可在 0和 +∞ 间连续变化,则有上面的叙述,01)2()( ????? assssD
由上式经整理,将含有参变量 a的项归并在一起,即,
称作等效开环传递函数,由
012)( 2 ????? assssD
将上面特征方程两边同时除以不含 a的 s多项式,得,
)(10
12
1 '0
2
sG
ss
as
???
??
?
)('0 sG )('0 sG,即可用绘制根轨迹的法
则,绘制以 a为参变数的概略根轨迹,
课外习题, P.168第 4-13题 (2),第 4-14题 (2)
2,附加开环零 ﹑ 极点的作用
若闭环系统的控制性能不理想,可通过附加开环零 ﹑ 极点改
变闭 环系统的控制性能,其实质是 改变了 根轨迹的形状,
(1) 增加开环 极点
设 闭环系统的原开环传递函数为
)2)(1()(
'
0 ??? ss
KsG
其根轨迹见下图,
0 -1 -2
jω
σ
-1.5
由图可分析得, 无论 K’多大,闭环始终稳定,但是个有差系统, 如
给 G0(s)附加一个 s=0的极点,即串接一个积分环节,则,
)2)(1()(
'
0 ??? sss
KsG
其根轨迹图如下,
附加一个开环 极点后,根轨迹向右弯曲,当 K’增至一定值后,系统
由稳定变为不稳定,动态性能变坏 ; 但系统在阶跃信号作用下由
有差系统变为无差系统,
0 -1 -2
jω
σ
(2) 增加开环 零点
设原开环传递函数增加一个 s=-3的开环 零点,成为,
)2)(1(
)3()( '
0 ??
??
ss
sKsG
则其根轨迹如下图,
0 -1 -2
jω
σ
-3
由图可见,开环传递函数增加一个开环 零点,相当于在系统中串接
一个比例加微分环节,从而使原 根轨迹向左弯曲,这对系统的稳定
性有利,也能改善动态性能,但改善的程度视 比例加微分环节串接
在顺向通道 (也叫前向通道或控制通道 )还是串接在反馈通道而定,
3.增加开环偶极子
所为偶极子是指一对零 ﹑ 极点相互靠得很近,若在 s平面原点附近
的负实轴上增加一对开环偶极子,并使 z0=γ p0,γ >1(即零点在 极点
的左边 ),则可基本不改变 原 根轨迹的形状,而使系统的开环放大倍
数提高到原来的 γ 倍,即,
由此可见,增加开环偶极子可使系统的稳定性 ﹑ 动态性能基本不
变的情况下,使控制精度提高 γ 倍,
1
0
0
1
0
0
1
1'
2
K
p
z
K
p
z
p
z
KK
n
j
j
m
i
i
????
?
?
?
?
