电 流 磁 场
电磁感应 感应电流
1831年法拉第
闭合回路 变化m?
实验
产生
产 生
问题的提出
10-1 电磁感应定律
G
N
S
一,法拉第电磁感应定律
? ??? ?
? ??? ?
? ??? ?
a
b
? ??? ?
? ??? ?
? ??? ?
a
b
v?
R
1 2
ε G
mΦ
当回路 1中电流
发生变化时，在回路
2中出现感应电流。
SN
?
1、产生感应电流的五种情况
1,磁棒插入或抽出线圈时，线圈中产生感生电流；
2,通有电流的线圈替代上述磁棒，线圈中产生感生
电流；
3,两个位置固定的相互靠近的线圈，当其中一个线
圈上电流发生变化时，也会在另一个线圈内引起电流；
4,放在稳恒磁场中的导线框，一边导线运动时线框
中有电流。
感应电流与 原电流本身无关,
而是与 原电流的变化有关 。 电磁感应
? ??? ?
? ??? ?
? ??? ?
? ??? ?
a
b
a
b
i?v?
iI
电动势
i?R
iI
iI
形成
产
生
当通过回路的磁通量变化时，回路中就会
产生感应电动势。
2.线圈内磁场变化? ?? S SdB
??
?
1.导线或线圈在磁场中运动
dt
d
i
?? ??
导体回路中产生的感应电动势的大小，与穿过
导体回路的磁通量对时间的变化率成正比。
dt
dk
i
?? ??
感应电动势的方向
楞次定律
感应电动势 大小
dt
d
i
?? ?
2、电磁感应定律
在 t1到 t2时间间隔内通过导线任一截面的 感应电量
??
2
1
t
t
i dtIq dtdt
d
R
t
t
???? 2
1
1
???
2
1
1 ?
?
?d
R
)(
21
1 ?? ??
R
)( dtIdq i?
对 N匝线圈
dt
dN
i
?? ??
dt
Nd )( ???
mN ?? ? — 磁通链
感应电流
dt
d
R
N
RI
i
i
?? ???
二、楞次定律 (判断感应电流方向 )
感应电流的 效果 反抗引起感应电流的 原因
导线运动感应电流
阻碍
产生
磁通量变化感应电流 产生
阻碍
? ??? ?
? ??? ?
? ??? ?
? ??? ?
a
b
v?f?
闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的
磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化。
判断感应电流的方向：
感B
?
N
S
B?
iI
感B
? B?
iIN
S
1、判明穿过闭合回路内原磁场
的方向；
2、根据原磁通量的变化,
m??
按照楞次定律的要求确定感
应电流的磁场的方向；
3、按右手法则由感应电流磁场的
方向来确定感应电流的方向。
反向与感 BBm ????
同向与感 BBm ????
i
a
b c
d
1l
2lh
x dx
例, 无限长直导线 ts i nii ?0?
共面矩形线圈 abcd
求, i?已知, 1l 2l h
解, ?
?
?
2
1
0
2
lh
h
dxl
x
i
?
?
ts i nh lhlnli ??? 21002 ??
dt
d m
i
?? ?? tc o s
h
lhlnli ?
?
? 2100
2
???
? ?? SdBm ???
?
I
?
V?
V?
V?
)(a )(b )(c )(d
在无限长直载流导线旁有相同大小的四个
矩形线圈，分别作如图所示的运动。
判断回路中是否有感应电流。
0?? 0?? 0?? 0??
思
考
线圈内磁场变化
两类实验现象
感生电动势
动生电动势 产生原因、
规律不相同
都遵从电磁感应定律
导线或线圈在磁场中运动
感应电动势
非静电力 动生电动势
G lv?
i?
a?
b?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
一、动生电动势
动生电动势是由于导体或导体回路在恒定磁场
中运动而产生的电动势。
产生
10-2 动生电动势与感生电动势
B?
v?
a
b
++ +++动生电动势的成因
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为
)( Bvef ??? ???
它驱使电子沿导线由 a向 b移动。
f?
由于洛仑兹力的作用使 b 端出现过剩负电荷，
a 端出现过剩正电荷 。
非静电力
电子受的静电力
EeF e ?? ??
平衡时 fF
e
?? ??
此时电荷积累停止,ab两端形成稳定的电势差。
洛仑兹力 是产生动生电动势的根本原因,
方向 a?b
在导线内部产生静电场 E?
B?
v?
a
b
++ +++
f?
eF
?
由电动势定义 ? ?
? ?? ldE ki
???
BvefE k ??
??
????
运动导线 ab产生的动生电动势为
? ??? ????? abki ld)Bv(ldE ??????
动生电动势的公式
)( Bvef ??? ???非静电力
kE
?定义 为非静电场强
一般情况
dl 上的动生电动势
ldBvd i ??? ??? )(?
整个导线 L上的动生电动势
? ? ???? Lii ld)Bv(d ?????
导线是 曲线,磁场为 非均匀场 。
导线上各长度元 上的速度, 各不相同dl v? B?
dt
d
i
m?? ??
? ??? bai ldBv ??? )(?
均匀磁场
非均匀磁场
计
算
动
生
电
动
势
分
类
方
法
平动
转动
例 已知, L,,B,v ??? 求,?
ld)Bv(d ??? ????
)c o s (dls i nvB ??? 00 9090
dls i nBv ??
?? dls i nBv ??
?s i nB v L? L
?
B?
v?
ld?
Bv ???
均匀磁场 平动
解：
L
?
B?
v??? s i nB v L?
典型结论
特例
B?v? B?
v?
0?? B v L??
均匀磁场 闭合线圈平动
????
????
????
v?
0???
dt
d
i
??
例 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁
力线运动。 已知：
求：动生电动势。
R
v?
B?
.R,B,v ??
a
b
0?i?
作辅助线，形成闭合回路
RBvab 2?? ?? 半圆
方向,ba ?
解,方法一
Bv ??
ld)Bv(d ??? ????
?c o sdls i nvB 090?
??? ????? 2 2 dc o sv B R
RvB 2?
?? Rddl
例 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁
力线运动。 已知：
求：动生电动势。
.R,B,v ??
解,方法二
R
v?
B?
a
b ld?
?
?d
方向,ba ?
均匀磁场 转动
例 如图，长为 L的铜棒在磁感应强度为 B?
的均匀磁场中，以角速度 ? 绕 O轴转动。
求：棒中感应电动势的大小
和方向。
????
????
????
????
A
O
?
B?
????
????
????
????
A
O
?
B? v
?
解,方法一
取微元
l dl
ld)Bv(d ??? ????
dlBlB v d l ???
?? ?? Lii dlBld 0 ???
2
2
1 LB ??
方向 OA ?
v?
方法二 作辅助线，形成闭合回路 OACO
? ??
S
m SdB
??? ??
S
B d S
O A C OBS?
2
2
1 LB ??
C
?
dt
d
i
?? ??
dt
dBL ?2
2
1??
2
2
1 LB ???
符号表示方向沿 AOCA OC,CA段没有动生电动势
????
????
????
????
A
O
?
B?
问
题
把铜棒换成金属圆盘，
中心和边缘之间的电动势是多少？
v?
例 一直导线 CD在一无限长直电流磁场中作
切割磁力线运动。求：动生电动势。
a b
I ld?l
Bv ???
ld)Bv(d ??? ????
000 1 8 090
2 c o sdls i nl
Iv
?
??
dllvI??2 0??
? ??? baa ldlvI??? 2 0 a balnvI ??? ??2 0
C D
解,方法一
方向 CD ?
非均匀磁场
方法二
a b
I
C D
)O(E
F
X
? ??
S
SdB ???
作辅助线，形成闭合回路 CDEF
a
baIx ?? ln
2
0
?
?
dt
d
i
?? ??
dt
dx
a
baI )ln
2(
0 ???
?
?
a
balnIv ???
?
?
2
0
方向 CD ?
v?
? ?? baa x d rrI??2 0
r
dr
思考
SdBd ?? ??? xdrrI??2 0?
dt
d?
a b
I
C D
)O(E
F
Xv?
r
drdt
xdr
r
I
?
?
2
0
?
做法对吗？
dt
d
i
?? ??
二、感生电动势和感生电场
1、感生电动势
由于磁场发生变化而
激发的电动势
电磁感应
非静电力 洛仑兹力
感生电动势
动生电动势
非静电力
G
N
S
2,麦克斯韦假设,
变化的磁场 在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，
称为 涡旋电场 或 感生电场 。记作 或
感E
?
涡E
?
非静电力感生电动势 感生电场力
? ??
L
i ldE
??
涡?
由法拉第电磁感应定律
dt
d
i
? ?? ?
dt
d l d
L
? ?? ?? ?? ?
涡
)Sd(
dt
d
S?
???
??
?
? ????? S SdtB
??
由电动势的定义
讨论
2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S L
S?
S? 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系
是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率
t
B
?
?
?
?? ?????? SL SdtBldE
????
涡
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，
即感生电场是由变化的磁场产生的。
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
涡E
?
t
B
?
??
与 构成左旋关系。
涡E
?
t
B
?
?
?
3）
?? ?????? SL SdtBldE
????
涡
t
B
?
?
?
涡E
?
??
????
????
????
B?
?
td
Bd
?
感生电场电力线
涡E
?
涡E
?
由静止电荷产生 由变化磁场产生
线是“有头有尾”的，库E?
是一组闭合曲线起于正电荷而终于负电荷
感E
? 线是“无头无尾”的
感生电场（涡旋电场）静电场（库仑场）
具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力
0???S SdE ?? 涡?? ?? iS qSdE
0
1
?
??
库
??? ?????? SL SdtBldE
????
涡0??? ldEL
??
库
动生电动势 感生电动势
特
点
磁场不变，闭合电路
的整体或局部在磁场
中运动导致回路中磁
通量的变化
闭合回路的任何部分
都不动，空间磁场发
生变化导致回路中磁
通量变化
原
因
由于 S的变化引起
回路中 ? m变化
非静
电力
来源
感生电场力
? ? ldBvi ??? ?? ??? ?? ??????? Si SdtBldE
????
涡?
洛仑兹力
由于 的变化引起
回路中 ? m变化
B?
B?
t
B
?
?
?
??
????
????
????
R
?
3、感生电场的计算
例 1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向如图。磁场的变化率 0??? tB
求,圆柱内、外的 分布。涡E?
r? ? ??
????
l S
SdtBldE
????
涡
? ? ????l S c o sdStBc o sdlE 00 00涡
22 r
td
dBrE ?? ??
涡 td
dBrE
2
??涡
Rr ? 解：
L
方向：
逆时针方向
?? ?????? SL SdtBldE ?
???
涡
讨论
负号表示
涡E
? dtdB与 反号
?B)( ?1 0?tddB则 0?? 涡E
涡E
? 与 L 积分方向切向同向
?B)( ?2 0?tddB则 0?? 涡E
td
dBrE
2
??涡
与 L 积分方向切向相反涡E?
B?
t
B
?
?
?
??
????
????
????
R
?
r
L
在圆柱体外，由于 B=0
? ? ??? L ldE 0?? 涡
上于是 L? 0?
感E
?
? ?? ? ??????L S SdtBldE
????
涡
虽然 tB ?? L? 上每点为 0，在 但在 S? 上则并非如此。
由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，
而柱体内
??
????
????
????
t
B
?
?
?L?
?
rB?
R
0??? tB?
Rr ?
L? 0??? tB?上故
S
S?
?
R
B?
22 R
td
dBrE ?? ??
涡
td
dB
r
RE
2
2
??涡
? ? ???? S SdtB
?? 2
R
td
dB ??
? ? ?L ldE ?? 涡 2RtddB ???
方向：逆时针方向 ??
????
????
????
t
B
?
?
?L?
?
rB?
R
S
S?
R
?
td
dBr
2
? Rr ?
td
dB
r
R
2
2
? Rr ?
?涡E
涡E
O R r
例 2 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，
已知,方向如图,
求：
CD?
0??? tBLh ?、、
??
????
????
????
t
B
?
??
B?
h
L
?
C D
o
dt
dBrE
2?涡
?
ldEd ?? ?? 涡?
?c o sdldtdBr2?
dldtdBh2?
dt
dBhLdl
dt
dBh
LCD ?
?? 212? hc o sr ??
?
t
B
?
?
?
B?
h
L
?
C D
r
dll
?
?
o
? ??
L
i ldE
??
涡?
解,
涡E
?
电动势的方向由 C指向 D
??
????
????
????
t
B
?
??
B?
h
L
?
C D
o
用法拉第电磁感应定理求解
CODC 所围面积为,hLS
2
1?
磁通量 SB
m
?? ???
dt
dm
i
? ?? ?
td
dBhL
2
1?
?? ?OCDO il d E
? ?涡 ?
0 0? ? ?CD?
? ? ?? ? ? ? ? ?
O
D
D
C
C
Ol d E l d E l d E
? ? ? ? ? ?
涡 涡 涡
hL B21?
??
????
????
????
t
B
?
??
B?
?
C D
o
h
讨论 CD导体存在时，
电动势的方向由 C指向 D
加圆弧连成闭合回路
矛盾？
C D1
2
dt
dB
S
dt
dB
hL
O C D?
?
?
?
2
1
1
21 ?? ? dt
dBS
DOC 22 扇??
1
2
3
23 ?? ?
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向 ……..
??
????
????
????
t
B
?
??
B?
?
C D
o
4
dt
dBS
COD 44 扇??
41 ?? ?
?1和 ?4 的大小不同，说明感生电场不是位场，
其作功与路径有关
dt
dBS
O C D?? ?1
4? 的方向逆时针 D?4?C
1
练习 求杆两端的感应电动势的大小和方向
??
????
????
????
0??? tBB? ?
o
a
b c
R
R
R
d
dt
dBS
o a b d o??
obdoaboabdo SSS ??
62
1
2
3
2
1 2 ?RRR ???
dt
dB)RR( 22
124
3 ?? ?? ca ?方向
*三、感应电动势的相对性
’E?’y
’x
’z
动?
v? B?
系’S
ly
x
z
动?
v? B?
系S
l
磁场运动与否？
导线运动与否？ 取决于参考系的选取
选择不同参考系进行坐标变换时，动生电动势和
感生电动势可相互转换。
?? ??? )(' BvEE
????? ?
BvE ??? ??? '
ivvkBBE ????? ????,,0
v B llBvlE ?????? ????? )(''?
方向为 y’正方向
’E?’y
’x
’z
动?
v? B?
系’S
ly
x
z
动?
v? B?
系S
l
一,电子感应加速器
利用涡旋电场对电子进行加速
10-3 电子感应加速器
? ?? ? ? ??? ?
? ?? ? ? ??? ?
? ?? ? ? ??? ?
?? ? ??? ?
? ??? ?
? ??
? ?? ? ? ??? ?
?? ? ? ??? ?
?? ? ??? ?
? ??? ?
? ??
涡F
?
涡E
?
f?电子束
电子枪靶
二,涡电流（涡流）
大块的金属在磁场中运动，或处在变化的磁
场中，金属内部也要产生感应电流，这种电流在
金属内部自成闭合回路，称为 涡电流或涡流 。
铁芯
交
流
电
源
涡流线
趋肤效应 —— 涡电流或涡流这种交变电流集中
于导体表面的效应。
涡电流的热效应
利用涡电流进行加热
利
1、冶炼难熔金属及特种合金
2、家用 如：电磁灶
3、电磁阻尼 铁芯
交
流
电
源
涡流线
弊
热效应过强、温度过高，
易破坏绝缘，损耗电能，还可能造成事故
减少涡流,1,选择高阻值材料
2、多片铁芯组合
L—— 自感系数，单位：亨利（ H）
一,自感
由于 回路自身电流, 回路的形状,或 回路周围
的磁介质发生变化 时，穿过该回路自身的磁通量随
之改变，从而在回路中产生感应电动势的现象。
I?? LI??
1.自感现象
?
I磁通链数
10-4 自感应 互感应
1) L的意义：
LI??
自感系数与自感电动势
自感系数在数值上等于回路中通过单位电流
时，通过自身回路所包围面积的磁通链数。
若 I = 1 A，则 ??L
L的计算
IL
???
2)自感电动势
若回路几何形状、尺
寸不变，周围介质的
磁导率不变
dt
d
L
?? ??
dt
)LI(d??
dt
dLI
dt
dIL ???
0?dtdL dt
dIL
L ???
讨论,
2,L的存在总是阻碍电流的变化，所以自感电
动势是反抗电流的变化,而不是反抗电流本身。
方向相同与则若 IdtdI,LL ????,0:0.1
方向相反与则若 IdtdI,LL ????,0:0
dt
dIL
L ???
自感的计算步骤：
S
l
μ
例 1, 试计算长直螺线管的自感。
已知：匝数 N,横截面积 S,长度 l,磁导率 ?
IldHL ??? ?? HB ?? ?? ? ??? S SdBNN ???? LI??
H? B? ? L
S
l
μIlNnIH ??
I
l
NHB ?? ??
S
l
NIBSSdB
S
?? ???
??
??
Sl INN
2?
?? ??
VnlSlNIL 22
2
??? ???
H? B? ? L
单位长度的自感为：
例 2 求一无限长同轴传输线单位长度的自感,
已知,R1, R2
r
IB
r
IH
?
?
? 22 ??
drrIlSdBd ??? 2??? ??
?? 212 RR rdrIl??? )RRl n(Il
1
2
2 ?
??
)RRl n (lLL o
1
2
2 ?
???
II
2R
1R
dr
l
r
)RRl n (lL
1
2
2 ?
??
例 3 求一环形螺线管的自感。已知,R1, R2, h,N
? ??l NIldH ??
NIrH ??? 2
r
NIH
?
?
2
r
NIB
?
??
2
hd r
r
NISdBd
?
??
2
???
??
I
h
2R
1R
r dr
hd rrNISdBd ??? 2??? ??
???? 212 RR rdrN I hd ???? )R
Rl n (I h
1
2
?
??
)l n (
1
2
2
2 R
RIhNN
?
??? ??
)
R
Rl n(hN
I
L
1
2
2
2 ?
?? ??
二, 互感应
2、互感系数与互感电动势
1) 互感系数 (M)
因两个载流线圈中电流变
化而在对方线圈中激起感应电
动势的现象称为互感应现象。
1、互感现象
若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变，
周围无铁磁性物质。实验指出：
12? 21?2I1I
21212 IM??12121 IM??
实验和理论都可以证明：
MMM ?? 2112 12? 21?
2I1I
2） 互感电动势：
dt
dIM
dt
d 212
12 ????
??
dt
dIM
dt
d 121
21 ????
??
?互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们
的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
?互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互
影响程度。
互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化
率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电
动势的大小。
互感系数的物理意义
中在 212 dtdIM???
1 2 ?dtdI若 M?12 ?则有
a db c
1L 2L
I
（ a）顺接
a
d
b c
1L 2L
I
（ b）逆接
自感线圈的串联
MLLL 221 ??? MLLL 221 ???
例 1 有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面上。
已知,?0,N1, N2, l, S 求：互感系数
1222 ??? BH
2
2
222 Il
NInH ??
2
2
0202 Il
NHB ?? ??
SIlNSBSdB 2202 ?? ???? ?
??
l
SINNN 2210
12112
??? ??
lSl NNIM 2 210
2
12 ?? ??
2N
1N
S
0?
l
称 K 为耦合系数
耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧
的程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合
系数小于一。
在此例中，线圈 1的磁通全部通过线圈 2，称为无 漏磁 。
在一般情况下
VnnM 210??
VnLVnL 22022101 ?? ???
21 LLM ??
21 LLKM ?
10 ?? K
例 2,如图所示,在磁导率为 ?的均匀无限大磁介质中,
一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为 a,线圈共
N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数,
a b
l
解,设直导线中通有自下而上的电流 I,它通过矩形线圈的
磁通链数为
? ?? s SdBN ???
a
balnN I ll d r
r
IN ba
a
??? ? ?
?
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22
a
baNl
IM
??? ln
2 ?
??互感为
互感系数仅取决于两回路的形状,
相对位置,磁介质的磁导率．
I
dr
考察在开关合上后的一
段时间内，电路中的电流滋
长过程：
由全电路欧姆定律
10-5 磁场能量
iRdtdiL ??? ?
电池
BATTE
RY
?
L
R
一、自感磁能
? ??? ??0 00 tI i R i d ti d tdtdiLdti ? ? ??? 0 2221 R d tiLI
电源所
作的功
电源克服自
感电动势所
做的功
电阻上的
热损耗
2
2
1 LIW ?
计算自感系数可归纳为三种方法
1.静态法, LI??
dt
dIL
L ???
2
2
1 LIW ?
2.动态法,
3.能量法,
二、磁场能量
12M 21M
2I1I
1L 2L
将两相邻线圈分别与电源
相连，在通电过程中
电源所做功
线圈中产
生焦耳热
反抗自感
电动势做功
反抗互感
电动势做功 互感磁能
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW ???
自感磁能 互感磁能
1、互感磁能
2、磁场的能量
磁场能量密度,单位体积中储存的磁场能量 wm
螺线管特例,nIBnIHVnL ?? ??? 2
2
2
1 LIW ? BH VVB)
n
B(Vn
2
1
2
1
2
1 222 ???
??
?
BHHBVWw 212121 2
2
???? ??
???? VV B H d Vw d VW 2
1
任意磁场 B H d Vw d VdW
2
1??
例 如图,求同轴传输线之磁能及自感系数
r
IB
r
IH
?
?
? 22,??解
r l d rdV ?2?
? ??? V V dVHw d VW 221 ?
r l d r)rI(R
R
??? 2221 22
1?
?
)RRl n(lI
1
2
2
4 ?
??
WLI ?221 )RRl n(lI
1
2
2
4 ?
??
可得同轴电缆
的自感系数为 )RRl n (lL
1
2
2 ?
??
2R
1R
l
r dr
