第一篇
力学基础
伽利略 牛顿
本章 首先 借助矢量语言对质点的运动给予
简洁而完备的描述, 建立 运动学方程, 并求解
运动学方程；
然后 讨论刚体定轴转动的 运动学方程 ；
最后 引入运动的相对性, 最终解决运动学
中的两类问题 。
1-1 参考系、坐标系、物理模型
一、运动的绝对性和相对性
1、运动是绝对的：
任何物体任何时刻都在不停地运动着
2、运动又是相对的：
运动的描述是相对其他物体而言的
为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物
体作为参考，被选作参考的物体称为 参照系 。
注意 参照系不一定是静止的。
二、参考系
日心系
Z
X
Y
地心系
o
地面系
为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用
一个 坐标系 。
三、坐标系
四,物理模型 —— 质点
质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速度及加速
度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动 )。
物体本身线度和它活动范围相比小得很多 (此时物体的
变形及转动显得并不重要 )。
选择合适的 参考系,
以方便 确定 物体的 运动性质 ；
建立恰当的 坐标系,
以 定量描述 物体的 运动 ；
提出准确的 物理模型,
以 突出 问题中 最 基本的 运动规律 。
一, 描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量（单位：米）
r?位置矢量（位矢）：
运动方程,)(trr ?? ?
2.位移：
)()( 1212 tt rrrrr ????? ?????
P
Γ
O
r(t)?
Δs
ΔrP1 r
1 r 2
Г
O
P2
??
?
1-2 参考系、坐标系、物理模型
kzjyixr ???? ???
kzjyix
kzzjyyixxr
???
????
???
?
???
?????? )()()( 121212
直角
坐标系中
P点坐标 (x,y,z)
P点矢径 r? 位置矢量 (位矢 )
kzjyixr ???? ???
P点矢径 方向r?
P点矢径 大小r?
222 zyxrr ???? ?
r
x??c o s
r
y??c o s
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ββ
r
P
x
y
z
O
轨道X
Y
Z
i? j
?
k?
?
?
?
注
意
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·
位移是矢量，有大小和方向
? r 与 的区别r??
rr ?? ??
?s 与 的区别r??
rs ??? ?
?s 为路程 (轨道长度 )，是标量
0?t?
dsrd ??
元位移的大小 元路程?
r2
r1
o
Δ r
Δ r
a ) 为标量,为矢量r? r??
12 rrr
??? ???12 rrr ?? ???b )
t
rv
?
?? ??平均速度
瞬时 速度
dt
rd
t
r
t
trttrv
tt
?????
?????
?? ?
?
?
?
?? 00
lim)()(lim
3.速度（单位：米 /秒）
速度是位矢对时间的一阶导数
速度方向 0?t? 时,的极限方向r??
在 P点的切线并指向质点运动方向
P
Q
O
r?
rr ?? ??
) (t v?r??
v?
kvjviv
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
v
zyx
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?????
???
????
速度大小 222
zyx vvvvv ????
?
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
zyx
???
?????
???
????
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?
?
?
?
?
?
?
直角坐标系中
瞬时速度
平均速度
平均速率 t??? sv
瞬时速率
dt
ds
t
sv
t
?
?
??
?? 0
lim
P
Q
O
r?
rr ?? ??
) (t v?r??
v?
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 )( rs ??? ?vv ??
单向直线运动情况 )( rs ??? ?vv ??
vdtrddtdsv ?? ???dsrd ??
瞬时速率等于瞬时速度的大小
速率 （单位：米 /秒）
加速度是速度对时间的一阶导数
或位矢对时间的二阶导数
4.加速度（单位：米 /秒 2）
平均加速度
12
12 )()(
tt
tvtv
t
va
?
??
?
?? ????
瞬时加速度
2
2
0
lim)( dt rddt vdtvta
t
????
?????
??
Δ v
v1
v2
B
A
o
v1
v2
· ·
1r
?
2r
?
vr ??,描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量a?
kajaia
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
zyx
zyx
???
?????
???
????
加速度大小 222
zyx aaaaa ????
?
任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z轴的三个各自独
立的直线运动的叠加（矢量加法）。
—— 运动的独立性原理 或 运动叠加原理
直角坐标系中
加速度
注
意
矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向
加减运算遵循平行四边形法则
r??
a?r? v? 某一时刻的瞬时量
不同时刻不同
过程量
瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同
不同坐标系中，具体表达形式不同
加速度 a?位矢 r? 位移 r?? 速度 v?
二、曲线运动的描述
1、平面曲线运动
n
?
?
n
P Q
方向描述 作相互垂直的单位矢量 n???
0
0
n?
?? 切向单位矢量
法向单位矢量 指向轨道的凹侧
指向物体运动方向
切向加速度 法向加速度
自然坐标系中
0?
?? vv ?
00 naaaaa nn
????? ???? ?
??
法向加速度、反映速度方向变化，
v变时不是常量。
切向加速度、反映速度大小变化，
一般不为常量；
0
2
0 n
v
dt
dvaaa
n
?????
?
?? ????
?a
?
na
?
a??
? ? ? ? ? ? ? ? 22222 ?? vdtdvaaaa n ????? ?
na
atg ?? ? 加速度总是指向曲线的凹侧
0???
?? aa ?
0naa nn
?? ?
一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）
0
2
0 n
v
dt
dva ???
?
? ??
2
2
dt
sd
dt
dva ??
? ?
2v
a n ?
圆周运动中的 切向加速度 和 法向加速度
曲率半径是恒量
0
2
0 nR
v
dt
dva ??? ?? ?
匀速圆周运动 cv ?
0
2
n
R
va ?? ? 向心加速度
2、圆周运动 自然坐标系中
odsrd ?
?? ?
0??
???? v
dt
ds
dt
rdv
o ???
2
2
dt
sda ?
? R
va
n
2
?
圆周运动的 角量描述
O X
R
??
1v?2v
?
s?
?
A
B
t ?A
tt ?? ??? ?B 角位移
沿 逆时针 转动，角位移取 正 值
沿 顺时针 转动，角位移取 负 值
角位置
极坐标系中
角速度
角加速度
dt
d
tt
?
?
???
?
??
? 0
l i m 单位,rad/s
2
2
0
lim dtddtdt
t
??
?
???
?
???
?
单位,rad/s2
B
?
d?
A
v?
vdv ???
??
dsd ??
0?
???
dt
dsv ?
? ?0)( ??
??
tv
dt
d
dt
vda ??
)( tvdtds ?其中速度的大小为
为单位矢量,大小不变，但方向改变??
t时刻, A点
t+dt时刻, B点
dt时间内经过弧长 ds
ds对应圆心角角度 d?
v?
vdv ???
B
?
d?
A
v?
vdv ???? ?
0)( ?
??? tv
dt
d
dt
vda ??
?
?? e
dt
d
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ed r ??类似
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0 nvn
dt
ds
ds
dn
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0
2
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v
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dva ???
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dt
dv
dt
dva 0
0)(
?? ??? ??
匀速圆周运动 ? 是恒量
dtd ?? ? ?? ? t dtd
00
???
?
t??? ?? 0
匀角加速圆周运动 ? 是恒量
t??? ?? 0
2
00 2
1 tt ???? ???
?? ? t dtd 00 ???? ??? t dt00 ???
一般圆周运动
)(2 0202 ????? ???
线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
??
?
??
?
2
2
s
R
R
v
a
R
dt
d
R
dt
dv
a
R
dt
d
R
dt
d
v
n
rv ??? ?? ?
dt
d?? ?? ?
加速转动 ?? ?? 方向一致
减速转动 ?? ?? 方向相反
刚体,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的
形状和体积的改变的理想模型。
平动,用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A?
A??
B
B?
B??
三、刚体定轴转动的描述
各质点间的 相对位置永不发生变化 的质点系。
转动,对 点,对 轴 （只讨论 定轴转动 ）
既平动又转动,质心的
平动加绕质心的转动
定轴转动,各质元均作圆周
运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上。
转轴
?
?
A
A
? ?
转动平面 转轴
参考
方向
P
X
Q
P
??
??
X
X
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv ??? ?? ?
??
v?
r?
加速转动 ?? ?? 方向一致
减速转动 ?? ?? 方向相反
dt
d?? ?
2
2
dt
d
dt
d ??? ??
dt
d?? ?? ?
在刚体作匀变速转动时，相应公式,
2
00 2
1 tt ???? ??? t??? ??
0
)(2 0202 ????? ???
2
0 ??? ??
?,本来是矢量，由于在定轴转动中轴的
方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，
可以用标量代替。
?
四、运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求速度、加速度
2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程
求导数
运用积分方法
特别
指出
讨论问题一定要选取坐标系
注意矢量的书写
dtvddsrd,,,?? 与 的物理含义 t,v,s,r ???? ??
例 1：一质点运动轨迹为抛物线
求,x= -4m时（ t>0)
粒子的速度、速率、
加速度。
x
y
24
2
2 tty
tx
???
??
(SI)
(SI)
解：
smv x 4??
ttdtdyv y 44 3 ????
smvvv yx 37422 ???
)(44412 22 ?????? msta y练习
2
2
2
2 ????? msdt xddtdva xx
?ya
tdtdxv x 2???
2?t
smv y 24??
2?t
24
2
2 tty
tx
???
??
(SI)
(SI)
smjiv /??? 244 ???
jivt ??? 42 2 2 ???
解：
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大
小和方向。
jtitr )2(2 2???例 2.设质点做 二维运动,
方向：
轴的夹角与为 xv 2
6263
2
4
a r c t a n
?
? ???
?
? ?
smv /47.442 222 ???大小：
ivt ?? 2 0 0 ??
jtidt rdv
????
22 ???
例 3.一质点沿 x轴作直线运动，其位置 坐标 与时间的
关系为 x=10+8t-4t2,求：
（ 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（ 2）质点在 t=0,1,2秒时的速度。
解,10 01
0 ?? xt）（
14141810 1 21 ??????? xt
t
xv
tt ?
???
21
轴正向相反方向与 x)sm(v 4 21 ???
轴正向相同方向与 x)sm(v 4 10 ??
10242810 2 22 ??????? xt
轴正向相反与 xsmv 82 ??
tdtdxv t 88 2 ???）（
轴正向相同与 xsmv 80 ?
此时转向 0 1 ?v
代入 t = 0,1,2 得：
例 4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0，
以后加速度均匀增加，每经过 τ秒增加 a0，求经过 t秒
后质点的速度和运动的距离。
a d tdvdtdvataaa ????? ? 00 ?
(直线运动中可用标量代替矢量）
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
? ? ?????? 120000 2 ct
atadttaaadtv
??
)(
20
01 2 000 t
atavcvt
?
?????? 时?
62
000 30202 tataxcxt
?
?????? 时?
v d tdx
dt
dxv ??
2
302020
0 62)2( ct
atadttatav d tx ??????? ??
??
例 5,由楼窗口以水平初速度 v0射出一发子弹，取枪
口为原点，沿 v0为 x轴，竖直向下为 y轴, 并取发射时
t=0.试求,
(1)子弹在任一时刻 t的位置坐标及轨道方程 ；
(2)子弹在 t时刻的速度，切向加速度和法向加速度 。
a a
gy
xo v0
?
n ?
2
0
2
1
gty
tvx
?
?
解, (1)
2
0
2
2
1
v
gxy ?
(2)
gtvvv yx ??,0
与切向加速度垂直
??
?
?
??
?
?
????? ?
0
1222
0
22 t a n
v
gt
tgvvvv yx ?
与速度同向
222
0
2
tgv
tg
dt
dv
a
?
???
222
0
022
tgv
gv
aga n
?
??? ?
a a
gy
xo v0
?
n ?
一、运动描述具有相对性
车上的人观察 地面上的人观察
1-3 相对运动
运动是相对的
静止参考系、运动参考系也是相对的
0rrr
??? ???
0rrr
??? ??????
ttt
t
ttt ?
??
??
??
?
???
?
??
?
???
?
? 00 rrrrr ?????
y y’
[s] [S’]
o o’ x x’
ut x’
x
p
z Z’
三者应具有如下变换关系
1、位移变换关系
0111 rrr
??? ???
0222 rrr
??? ???
)()( 01021212 rrrrrr ?????? ???????
二、绝对运动、牵连运动、相对运动
绝对位矢
相对位矢
牵连
位矢
uvv ??? ???? dttd
2、速度变换关系
由牛顿的绝对时间的概念 tt ??
uvv ??? ???故
ttt
t
ttt ?
??
??
??
?
???
?
??
?
???
?
? 00 rrrrr ?????
3,加速度的变换关系
绝对速度 相对速度 牵连速度
绝对
加速度
相对
加速度
牵连
加速度
0aaa
??? ?? '
1.河水自西向东流动，速度为 10 km/h,一轮船在
水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30o,航速
为 20km/h。 此时风向为正西，风速为 10km/h。 试
求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设
烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）
解：设水用 S； 风用 F； 船用 C； 岸用 D
例
题
已知：
20
10
10
?
?
?
cs
fd
sd
v
v
v 正东
正西
北偏西 30o
vcs
vfd vsd
sdcscd vvv ??
cdfcfd vvv ???
cdfdfc vvv ???
hkmvv
vv
csfc
sdfd
/20
???
???
方向为南偏西 30o。
vcs
vfd vsd
vcd
vfc
vfd vsd
vcd
方向正北hkmv cd /310?
2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，
其加速度为 a,他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球
时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他
在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的
夹角应为多大？
a
V0
?解：抛出后车的位移：
2
01 2
1 attvx ???
球的位移：
2'
02 2
1)c o s( gttvy ?? ??
)s i n( '002 tvvx ?? ??
小孩接住球的条件为,?x1=?x2; ?y=0
)( s i n'
2
1
0
2 tvat ???
两式相比得：
?tg
g
a ?
tvgt )( c o s'21 02 ??
???
?
???
?
? ?
g
atg 1 ?
力学基础
伽利略 牛顿
本章 首先 借助矢量语言对质点的运动给予
简洁而完备的描述, 建立 运动学方程, 并求解
运动学方程；
然后 讨论刚体定轴转动的 运动学方程 ；
最后 引入运动的相对性, 最终解决运动学
中的两类问题 。
1-1 参考系、坐标系、物理模型
一、运动的绝对性和相对性
1、运动是绝对的：
任何物体任何时刻都在不停地运动着
2、运动又是相对的：
运动的描述是相对其他物体而言的
为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物
体作为参考，被选作参考的物体称为 参照系 。
注意 参照系不一定是静止的。
二、参考系
日心系
Z
X
Y
地心系
o
地面系
为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用
一个 坐标系 。
三、坐标系
四,物理模型 —— 质点
质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速度及加速
度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动 )。
物体本身线度和它活动范围相比小得很多 (此时物体的
变形及转动显得并不重要 )。
选择合适的 参考系,
以方便 确定 物体的 运动性质 ；
建立恰当的 坐标系,
以 定量描述 物体的 运动 ；
提出准确的 物理模型,
以 突出 问题中 最 基本的 运动规律 。
一, 描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量（单位：米）
r?位置矢量（位矢）：
运动方程,)(trr ?? ?
2.位移：
)()( 1212 tt rrrrr ????? ?????
P
Γ
O
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1-2 参考系、坐标系、物理模型
kzjyixr ???? ???
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???
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直角
坐标系中
P点坐标 (x,y,z)
P点矢径 r? 位置矢量 (位矢 )
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P点矢径 方向r?
P点矢径 大小r?
222 zyxrr ???? ?
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注
意
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·
位移是矢量，有大小和方向
? r 与 的区别r??
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?s 与 的区别r??
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?s 为路程 (轨道长度 )，是标量
0?t?
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元位移的大小 元路程?
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Δ r
Δ r
a ) 为标量,为矢量r? r??
12 rrr
??? ???12 rrr ?? ???b )
t
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?? ??平均速度
瞬时 速度
dt
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3.速度（单位：米 /秒）
速度是位矢对时间的一阶导数
速度方向 0?t? 时,的极限方向r??
在 P点的切线并指向质点运动方向
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注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 )( rs ??? ?vv ??
单向直线运动情况 )( rs ??? ?vv ??
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瞬时速率等于瞬时速度的大小
速率 （单位：米 /秒）
加速度是速度对时间的一阶导数
或位矢对时间的二阶导数
4.加速度（单位：米 /秒 2）
平均加速度
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vr ??,描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量a?
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加速度大小 222
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?
任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z轴的三个各自独
立的直线运动的叠加（矢量加法）。
—— 运动的独立性原理 或 运动叠加原理
直角坐标系中
加速度
注
意
矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向
加减运算遵循平行四边形法则
r??
a?r? v? 某一时刻的瞬时量
不同时刻不同
过程量
瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同
不同坐标系中，具体表达形式不同
加速度 a?位矢 r? 位移 r?? 速度 v?
二、曲线运动的描述
1、平面曲线运动
n
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?
n
P Q
方向描述 作相互垂直的单位矢量 n???
0
0
n?
?? 切向单位矢量
法向单位矢量 指向轨道的凹侧
指向物体运动方向
切向加速度 法向加速度
自然坐标系中
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00 naaaaa nn
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法向加速度、反映速度方向变化，
v变时不是常量。
切向加速度、反映速度大小变化，
一般不为常量；
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?a
?
na
?
a??
? ? ? ? ? ? ? ? 22222 ?? vdtdvaaaa n ????? ?
na
atg ?? ? 加速度总是指向曲线的凹侧
0???
?? aa ?
0naa nn
?? ?
一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）
0
2
0 n
v
dt
dva ???
?
? ??
2
2
dt
sd
dt
dva ??
? ?
2v
a n ?
圆周运动中的 切向加速度 和 法向加速度
曲率半径是恒量
0
2
0 nR
v
dt
dva ??? ?? ?
匀速圆周运动 cv ?
0
2
n
R
va ?? ? 向心加速度
2、圆周运动 自然坐标系中
odsrd ?
?? ?
0??
???? v
dt
ds
dt
rdv
o ???
2
2
dt
sda ?
? R
va
n
2
?
圆周运动的 角量描述
O X
R
??
1v?2v
?
s?
?
A
B
t ?A
tt ?? ??? ?B 角位移
沿 逆时针 转动，角位移取 正 值
沿 顺时针 转动，角位移取 负 值
角位置
极坐标系中
角速度
角加速度
dt
d
tt
?
?
???
?
??
? 0
l i m 单位,rad/s
2
2
0
lim dtddtdt
t
??
?
???
?
???
?
单位,rad/s2
B
?
d?
A
v?
vdv ???
??
dsd ??
0?
???
dt
dsv ?
? ?0)( ??
??
tv
dt
d
dt
vda ??
)( tvdtds ?其中速度的大小为
为单位矢量,大小不变，但方向改变??
t时刻, A点
t+dt时刻, B点
dt时间内经过弧长 ds
ds对应圆心角角度 d?
v?
vdv ???
B
?
d?
A
v?
vdv ???? ?
0)( ?
??? tv
dt
d
dt
vda ??
?
?? e
dt
d
dt
ed r ??类似
000
0 nvn
dt
ds
ds
dn
dt
d
dt
d ????
?
??? ???
0
2
0 n
v
dt
dva ???
?
? ??
0?
?d
1?
?2?
? ?d
dt
dv
dt
dva 0
0)(
?? ??? ??
匀速圆周运动 ? 是恒量
dtd ?? ? ?? ? t dtd
00
???
?
t??? ?? 0
匀角加速圆周运动 ? 是恒量
t??? ?? 0
2
00 2
1 tt ???? ???
?? ? t dtd 00 ???? ??? t dt00 ???
一般圆周运动
)(2 0202 ????? ???
线量 速度、加速度
角量 角速度、角加速度
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
??
?
??
?
2
2
s
R
R
v
a
R
dt
d
R
dt
dv
a
R
dt
d
R
dt
d
v
n
rv ??? ?? ?
dt
d?? ?? ?
加速转动 ?? ?? 方向一致
减速转动 ?? ?? 方向相反
刚体,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的
形状和体积的改变的理想模型。
平动,用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A?
A??
B
B?
B??
三、刚体定轴转动的描述
各质点间的 相对位置永不发生变化 的质点系。
转动,对 点,对 轴 （只讨论 定轴转动 ）
既平动又转动,质心的
平动加绕质心的转动
定轴转动,各质元均作圆周
运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上。
转轴
?
?
A
A
? ?
转动平面 转轴
参考
方向
P
X
Q
P
??
??
X
X
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv ??? ?? ?
??
v?
r?
加速转动 ?? ?? 方向一致
减速转动 ?? ?? 方向相反
dt
d?? ?
2
2
dt
d
dt
d ??? ??
dt
d?? ?? ?
在刚体作匀变速转动时，相应公式,
2
00 2
1 tt ???? ??? t??? ??
0
)(2 0202 ????? ???
2
0 ??? ??
?,本来是矢量，由于在定轴转动中轴的
方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，
可以用标量代替。
?
四、运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求速度、加速度
2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程
求导数
运用积分方法
特别
指出
讨论问题一定要选取坐标系
注意矢量的书写
dtvddsrd,,,?? 与 的物理含义 t,v,s,r ???? ??
例 1：一质点运动轨迹为抛物线
求,x= -4m时（ t>0)
粒子的速度、速率、
加速度。
x
y
24
2
2 tty
tx
???
??
(SI)
(SI)
解：
smv x 4??
ttdtdyv y 44 3 ????
smvvv yx 37422 ???
)(44412 22 ?????? msta y练习
2
2
2
2 ????? msdt xddtdva xx
?ya
tdtdxv x 2???
2?t
smv y 24??
2?t
24
2
2 tty
tx
???
??
(SI)
(SI)
smjiv /??? 244 ???
jivt ??? 42 2 2 ???
解：
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大
小和方向。
jtitr )2(2 2???例 2.设质点做 二维运动,
方向：
轴的夹角与为 xv 2
6263
2
4
a r c t a n
?
? ???
?
? ?
smv /47.442 222 ???大小：
ivt ?? 2 0 0 ??
jtidt rdv
????
22 ???
例 3.一质点沿 x轴作直线运动，其位置 坐标 与时间的
关系为 x=10+8t-4t2,求：
（ 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（ 2）质点在 t=0,1,2秒时的速度。
解,10 01
0 ?? xt）（
14141810 1 21 ??????? xt
t
xv
tt ?
???
21
轴正向相反方向与 x)sm(v 4 21 ???
轴正向相同方向与 x)sm(v 4 10 ??
10242810 2 22 ??????? xt
轴正向相反与 xsmv 82 ??
tdtdxv t 88 2 ???）（
轴正向相同与 xsmv 80 ?
此时转向 0 1 ?v
代入 t = 0,1,2 得：
例 4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0，
以后加速度均匀增加，每经过 τ秒增加 a0，求经过 t秒
后质点的速度和运动的距离。
a d tdvdtdvataaa ????? ? 00 ?
(直线运动中可用标量代替矢量）
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
? ? ?????? 120000 2 ct
atadttaaadtv
??
)(
20
01 2 000 t
atavcvt
?
?????? 时?
62
000 30202 tataxcxt
?
?????? 时?
v d tdx
dt
dxv ??
2
302020
0 62)2( ct
atadttatav d tx ??????? ??
??
例 5,由楼窗口以水平初速度 v0射出一发子弹，取枪
口为原点，沿 v0为 x轴，竖直向下为 y轴, 并取发射时
t=0.试求,
(1)子弹在任一时刻 t的位置坐标及轨道方程 ；
(2)子弹在 t时刻的速度，切向加速度和法向加速度 。
a a
gy
xo v0
?
n ?
2
0
2
1
gty
tvx
?
?
解, (1)
2
0
2
2
1
v
gxy ?
(2)
gtvvv yx ??,0
与切向加速度垂直
??
?
?
??
?
?
????? ?
0
1222
0
22 t a n
v
gt
tgvvvv yx ?
与速度同向
222
0
2
tgv
tg
dt
dv
a
?
???
222
0
022
tgv
gv
aga n
?
??? ?
a a
gy
xo v0
?
n ?
一、运动描述具有相对性
车上的人观察 地面上的人观察
1-3 相对运动
运动是相对的
静止参考系、运动参考系也是相对的
0rrr
??? ???
0rrr
??? ??????
ttt
t
ttt ?
??
??
??
?
???
?
??
?
???
?
? 00 rrrrr ?????
y y’
[s] [S’]
o o’ x x’
ut x’
x
p
z Z’
三者应具有如下变换关系
1、位移变换关系
0111 rrr
??? ???
0222 rrr
??? ???
)()( 01021212 rrrrrr ?????? ???????
二、绝对运动、牵连运动、相对运动
绝对位矢
相对位矢
牵连
位矢
uvv ??? ???? dttd
2、速度变换关系
由牛顿的绝对时间的概念 tt ??
uvv ??? ???故
ttt
t
ttt ?
??
??
??
?
???
?
??
?
???
?
? 00 rrrrr ?????
3,加速度的变换关系
绝对速度 相对速度 牵连速度
绝对
加速度
相对
加速度
牵连
加速度
0aaa
??? ?? '
1.河水自西向东流动，速度为 10 km/h,一轮船在
水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30o,航速
为 20km/h。 此时风向为正西，风速为 10km/h。 试
求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设
烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）
解：设水用 S； 风用 F； 船用 C； 岸用 D
例
题
已知：
20
10
10
?
?
?
cs
fd
sd
v
v
v 正东
正西
北偏西 30o
vcs
vfd vsd
sdcscd vvv ??
cdfcfd vvv ???
cdfdfc vvv ???
hkmvv
vv
csfc
sdfd
/20
???
???
方向为南偏西 30o。
vcs
vfd vsd
vcd
vfc
vfd vsd
vcd
方向正北hkmv cd /310?
2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，
其加速度为 a,他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球
时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他
在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的
夹角应为多大？
a
V0
?解：抛出后车的位移：
2
01 2
1 attvx ???
球的位移：
2'
02 2
1)c o s( gttvy ?? ??
)s i n( '002 tvvx ?? ??
小孩接住球的条件为,?x1=?x2; ?y=0
)( s i n'
2
1
0
2 tvat ???
两式相比得：
?tg
g
a ?
tvgt )( c o s'21 02 ??
???
?
???
?
? ?
g
atg 1 ?
