波动 是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为 物质波 。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，
有类似的波动方程。
机械振动在介质中的传播称为 机械波 。
声波、水波
5-1 机械波的产生和传播
一、机械波产生的条件
如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹
性力，则称为弹性波。
弹性力,有正弹性力（压、张弹性力）和切弹
性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切
弹性力。
1、有作机械振动的物体，即 波源
2、有连续的 介质
二、纵波和横波
横波 —— 振动方向与传播方向垂直，如电磁波
纵波 —— 振动方向与传播方向相同，如声波。
0?t
4/Tt ?
2/Tt ?
43 /Tt ?
Tt?
45 /Tt ?
?
?
横波在介质中传播时，介质中产生 切变,只能在 固体
中传播。
纵波在介质中传播时，介质中产生 容变,能在 固体,
液体, 气体 中传播。
结论,机械波向外传播的是波源（及各质点）
的振动状态和能量。
三、波线和波面
波场 --波传播到的空间。
波面 --波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面） --某时刻波源最初的振动状态
传到的波面。
波线（波射线） --代表波的传播方向的射线。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直,
沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
波线
波面
波面
波线
平面波
球面波
波面
波线
波线
波
面
四、简谐波
波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
*五、物体的弹性形变
弹性形变,物体在一定限度的外力作用下形状和
体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体
积能完全恢复原状的形变。
(1)长变
F?F?
S
l l?
F?F?
S
l l? 称为应变或胁变
l
l?
称为应力或胁强SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
l
lE
S
F ?? 称为杨氏弹性模量E
(2) 切变
F?F?
S
b
d?
S
?
相对面发生相对滑移
切变的应变或胁变?? b da r c t a n ??
切变的应力或胁强?SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
?GSF ? 称为切变弹性模量G
(3) 容变
容变的应变?V V?
V
VBp ?? ??
pp ??
p
pp ??
p
pp ?? p
pp ?? p
在弹性限度范围内，
压强的改变与容变应变
的大小成正比
称为容变弹性模量B
六、描述波动的几个物理量
振动状态（即位相）在单位时间内传播
的距离称为 波速,也称之 相速 。
1、波速 u
?
Gu ?
?
在固体媒质中 纵波 波速为
?
Eu
// ?
G,E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量
?为介质的密度
在固体媒质中 横波 波速为
在同一种固体媒质中,横波 波速比 纵波 波速小些
?
Tu ?
?
T为弦中张力,?为弦的线密度
在弦中传播的 横波 波速为,
在液体和气体只能传播 纵波,其波速为：
?
Bu
// ?
B为介质的容变弹性模量
?为密度
理想气体 纵波 声速,
m o lM
RTpu ?
?
? ??
? 为气体的摩尔热容比,Mmol为气体的摩尔质量，
T为热力学温度,R为气体的普适常数，
?为气体的密度
3、波长 ?
2、波的周期 和频率
??
? 12 ??T
??
uuT ???
波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点 所需
的时间，用 T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波
的数目,用 ?表示。
同一波线上相邻的位相差为 2?的两质点的距离 。
介质决定
波源决定
一、平面简谐波的波动方程
平面简谐波
简谐波的波面是平面。 (可当作一维简谐波研究）
5-2 平面简谐波的波动方程
一平面简谐波在理想介质中沿 x轴正向传播，
x轴即为某一波线
设原点振动表达式,tc o sAy ??0
x
y
p
u?
O x
y表示该处质点偏离平衡位置的 位移
x为 p点在 x轴的坐标
p点的振动方程,)
u
xt(c o sAy ?? ?
t 时刻 p处质点的振动状态重复
u
xt ? 时刻 O处质点的振动状态
x
y
p
u?
O x
O点振动状态传到 p点需用
u
xt ??
沿 x轴正向 传播的平面简谐波的波动方程
u
x?
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动
为 p点的振动落后与原点振动的时间
沿 x轴负向 传播的
平面简谐波的波动方程 )uxt(c o sAy ?? ?
)tc o s (Ay 00 ?? ??若波源（原点）振动初位相不为零
])xTt(c o s [Ay 02 ??? ?? ?
])xtc o s [Ay 022 ????? ?? ?
])xut(c o s [Ay 02 ??? ?? ? ])xut(kc o s [A 0??? ?
])uxt(c o s [Ay 0?? ?? ?
或
?
?2?k 波矢,表示在 2?长度内所具有的完整波的
数目。
二、波动方程的物理意义
][ 0?? ??? )uxt(c o sAy
1、如果给定 x,即 x=x0
y
O t
T
T
x0处质点的振动初相为
0
02 ?
?
? ?? x
?
? 02 x 为 x0处质点落后于原点的位相
为 x0处质点的振动方程则 y=y(t)
)xtc o s (A)t(y 002 ???? ???
若 x0=? 则 x0处质点落后于原点的位相为 2?
?是波在空间上的周期性的标志
2、如果给定 t,即 t=t0 则 y=y(x)
????????? 221212 xxx ???????
][ 00 ?? ??? )uxt(c o sAy
表示给定时刻波线上各质
点在同一时刻的位移分布
，即给定了 t0 时刻的波形
同一波线上任意两点的振动位相差
X
Y
O
u?
x1 x2
?
??????? 21212 T t)tt( ?????
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
T是波在时间上的
周期性的标志
3.如 x,t 均变化 y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
][ 0?? ??? )uxt(c o sA)x(y
x
y u
?
O
x
tt ??t
x?
][ 0?????? ??????? )u tuxtt(c o sA)tt,xx(y
t时刻的波形方程
t+?t时刻的波形方程
][ 0??? ???? )uxtt(c o sA)x(y
t时刻,x处的某个振动状态经过 ?t，传播了 ?x的距离
][ 0?? ??? )uxt(c o sA
)t,x(y)tt,xx(y ??? ??
在时间 ?t内整个波形沿波的
传播方向平移了一段距离 ?x
行波
)t,x(y)tt,xx(y ??? ??
x
y u
?
O
x
tt ??t
x?
])(c o s [ 022
2
????? ???? uxtAt y
2
2
202
2
2
2 1
])(c o s [ t yuuxtuAx y ??????? ?????
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
?
?
?
? ?
三、平面波的波动微分方程
沿 x方向传播的平面
波动微分方程
][ 0?? ??? )uxt(c o sAy
求 t 的二阶导数
求 x的二阶导数
一,波的能量和能量密度
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振
动能量的传播。
有一平面简谐波 ][
0?? ??? )u
xt(c o sAy
质量为在 x处取一体积元 dV dVdm ??
质点的振动速度 ][
0??? ?????
?? )
u
xt(s i nA
t
yv
5-3 波的能量 *声强
体积元内媒质质点动能为
dmvdE k 221? dV)uxt(s i nA ][21 0222 ???? ???
体积元内媒质质点的弹性势能为
dV)uxt(s i nAdE p ][21 0222 ???? ???
体积元内媒质质点的总能量为：
pk dEdEdE ?? dV)u
xt(s i nA ][
0
222 ???? ???
1） 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能
不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同
时等于零。
说明
2） 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
][ 0222 ???? ???? )uxt(s i nAdVdEw
平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
22
2
1 ?? Aw ?
dt)uxt(s i nATwd tTw
T
T ][11
0
22
0
2
0
???? ???? ??
??? T 2s in
0
2 ???? ??? d
dV)uxt(s i nAdE ][ 0222 ???? ???
能流,单位时间内通过介质中某一
截面的能量。
二,波的 能流和能流密度
Swup ??
平均能流, 在一个周期内能流的平均值。
SuwSwup ?? ??
能流密度（波的强度）,
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量 。
uwSpI ?? ? uAI 22
2
1 ??? 2?? 米单位：瓦
u
u
S?
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波
在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距
离成反比。
分析平面波和球面波的振幅
证明：
在一个周期 T内通过 S1和 S2面的能量应该相等
,2211 TSITSI ??
SSS ?? 21
TSAuTSAu 22221212 2121 ???? ?
21 AA ?所以,平面波振幅相等。
对平面波：
222 4 rS ??
2211 rArA ??;4 211 rS ??
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位
距离的振幅为 A则距波源 r 处的振幅为 A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，
与平面波类似，球面简谐波的波函数：
][ 0?? ??? )urt(c o srAy
TSAuTSAu 22221212 2121 ???? ??
对球面波：
三,波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介
质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
波通过厚度为 dx的介质，其振幅衰减量为 -dA
A d xdA ??? xeAA ??? 0
处的波振幅和分别是,xxxAA ?? 00
是介质的吸收系数?
波强的衰减规律：
xeII ?20 ??
处波的强度和分别是,xxxII ?? 00
*四、声压、声强和声强级
声压,介质中有声波传播时的压力与无声波时的
静压力之间的压差。
平面简谐波，声压振幅为
?? uAp m ?
22
2
2
1
2
1 ??
? uAu
pI m ??
声强,声波的能流密度。
频率越高越容易获得较大的声压和声强
Hz~ 2 0 0 0 020
2122 1010 ??? ?? mW~mW
0
10 I
Il o gI
L ? )B e l(单位：贝尔
引起人听觉的声波有 频率范围 和 声强范围
测定声强的标准2120 10 ?? ?? mWI
声强级
0
1010 I
Il o gI
L ? )dB(单位：分贝
人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定
5-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉
一, 惠更斯原理
惠更斯原理,
介质中波阵面（波前）
上的各点，都可以看作
为发射子波的波源，其
后一时刻这些子波的包
迹便是新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t时刻波面
球面波
··
·
· · · ··
·
·
····t
t + ?t
t时刻波面 ?t+?t时刻波面 ?波的传播方向
如你家在大山后,听广播和看电
视哪个更容易? (若广播台, 电
视台都在山前侧 )
*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
i i?
M NA
1A
2A
3A
B
3B2B1B
333 AB BBAA ?? ?
ABBABA 333 ???
ii ??
i
?
M NA
1A
2A
3A
B
3B
2B1B
?
1介质
2介质
is i nABtuBA 3133 ?? ?
2
1
2
1
nc
nc
u
u
s i n
is i n ??
?
?? s i nABtuAB 32 ??
1
2
n
n
s i n
is i n ?
?
二, 波的叠加
各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性
（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，
与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振
动则是各列波在该处激起的振动的合成。
波传播的 独立性原理 或波的 叠加原理,
说明,
振动的叠加仅发生在单一质点上
波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上
能分辨不同的声音正是这个原因
两列波若 频率相同, 振动方向相同,在相遇点的
位相相同或位相差恒定,则合成波场中会出现某些点
的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵
消），这种现象称为 波的干涉 。
相干条件
具有 恒定的相位差
振动方向相同
两波源具有 相同的频率
满足相干条件的波源称为 相干波源 。
三,波的干涉
传播到 p点引起的振动分别为：
)tc o s (Ay 101010 ?? ??
)tc o s (Ay 202020 ?? ?? 在 p点的振动为同
方向同频率振动
的合成。
设有两个相干波源 S1和 S2
发出的简谐波在空间 p点相遇。
合成振动为：
)tc o s (Ayyy 021 ?? ????
)rtc o s (Ay 11011 2???? ???
)rtc o s (Ay 22022 2???? ???
????? c o s2 2122212 AAAAA
其中：
)rr()( 121020 2 ???? ??????
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
??c o s2 2121 IIIII ???
)tc o s (Ay 0?? ??
对空间不同的位置，都有恒定的 ??，因而合强
度在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象 。
)
r
s i n(A)
r
c o s (A
)
r
s i n(A)
r
s i n(A
t a n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
202
1
101
2
202
1
101
0 22
22
???
???
?
其中：
,...,,,kkrr 3210 22 121020 ???????? ??????? ）（
21m a x AAAA ??? 2121m a x 2 IIIIII ????
,...,,,k)k()rr()( 3210122 121020 ???????? ???????
|| 21m i n AAAA ??? 2121m i n 2 IIIIII ????
相长干涉的条件,
相消干涉的条件,
????? c o s2 2122212 AAAAA ??c o s2 2121 IIIII ???
当 两相干波源为同相波源 时，相干条件写为
,...3,2,1,0,12 ????? kkrr ??
,...3,2,1,0,2)12(12 ?????? kkrr ??
相长干涉
相消干涉
? 称为波程差
波的非相干叠加
21 III ??
例题 位于 A,B两点的两个波源，振幅相等，频
率都是 100赫兹，相位差为 ?，其 A,B相距 30米，
波速为 400米 /秒，求,A,B连线之间因相干干涉而
静止的各点的位置。
解：如图所示，取 A点为坐标原点,A,B联线为 X轴，
取 A点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy A
在 X轴上 A点发出的行波方程：
)2c o s ( ???? xtAy A ???
B点的振动方程, )0c o s ( ?? tAy
B ?
BA
Xx
m30
x?30
O
)2c o s ( ???? xtAy A ???
B点的振动方程,
)0c o s ( ?? tAy B ?
在 X轴上 B点发出的行波方程：
])30(20c o s [ ??? xtAy B ????
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干
为静止的点满足：
???????? )()( 123022 ?????? kxx
,.,,2,1,0 ???k
BA
Xx
m30
x?30
O
相干相消的点需满足,?kx ??? 230
mu 4?? ??因为,
,...2,1,0
215
???
???
k
kx
mx 29,27,25,.,,,,,9,7,5,3,1?
??????? )12()30(22 ??????? kxx
,...2,1,0 ???k
BA
Xx
m30
x?30
O
5-5 驻波
一、驻波方程
)xtc o s (Ay ??? 21 ?? )
xtc o s (Ay
?
?? 2
2 ??
tc o sxc o sAyyy ???2221 ???
tc o s)x(Ay ??
??
xAxA 2c os2)( ?
驻波是两列 振幅、频率相同,但 传播方向相反
的简谐波的叠加。
)x,t(y)tux,tt(y ??? ??函数不满足 它不是行波
它表示各点都在作 简谐振动,各点振动的频
率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的
不同而不同。
驻波的 特点,不是振动的传播，而是媒质中各质
点都作稳定的振动。
tc o s)x(Ay ??
12c os ??? x
??
xAxA 2c os2)( ?
振幅最大，波腹AxA 2)( ?
??? kx ??2 ?,,,kkx 2102 ???
?
02c os ??? x 振幅最小，波节0)( ?xA
??? )k(x 212 ??? ?,,,k)k(x 210221 ???? ?
1、波腹与波节 驻波振幅分布特点
二、驻波的特点
相邻波腹间的距离为,22 1 ???? ? ?? ?k|kx
相邻波节间的距离为,2??? x
相邻波腹与波节间的距离为,4?
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
?,,,kkx 2102 ??? ?波腹 ?,,,k)k(x 210
22
1 ???? ?波节
txAy ??? c o s2c o s2 ??2、驻波的位相的分布特点
时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，
而空间变化带来的相位是不同的。
在 波节两侧点的振动相位相反 。同时达到反向最大或
同时达到反向最小。速度方向相反。
两个 波节之间的点其振动相位相同 。同时达到最大或
同时达到最小。速度方向相同。
*3、驻波能量
驻波振动中无位相传播，也无能量的传播
一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，
并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
当波 从波疏媒质垂直入射到
波密媒质 界面上反射时,有
半波损失,形成的驻波在界
面处是 波节 。
三、半波损失
入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。
折射率较大的媒质称为 波密媒质 ；
折射率较小的媒质称为 波疏媒质, 有半波损失
无半波损失
当波 从波密媒质垂直入射到波
疏媒质 界面上反射时,无半波
损失,界面处出现 波腹 。
?
? Tu,...,,n,
l
un ??? 321
2
,.,,,,n,n lu 3212 ??? ??
,.,,,,n,nl 3212 ?? ?
在绳长为 l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：
*四,简正模式（或本征振动）
即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些
频率称为弦振动的 本征频率,对应的振动方式称为该
系统的 简正模式 （ Normal mode).
对应 k=2,3,… 的频率为 谐频,产生的音称为 谐音 (泛音 )。
最低的频率 (k=1)称为 基频,产生的一个音称为基音；
两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该
点为波节的那些模式（对应于 k 次,2 k 次 …,..谐
频 )就不出现，使演奏的音色更优美。
当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有
频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频
率振动的振幅最大。可用 共振法 测量空气中声速。
系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。
一般是各种简正模式的叠加。
5-6 多普勒效应 *冲击波
一、多普勒效应
观察者接受到的频率有赖于 波源 或 观察者
运动的现象，称为 多普勒效应 。
vS —— 表示波源相对于介质的运动速度。
vB—— 表示观察者相对于介质的运动速度。
?S—— 波源的频率
u—— 波在介质中的速度
?B —— 观察者接受到的频率
选介质为参考系
波源和观察者的运动在两者的连线上
规定
“趋近为正，背离为负”的符号为、
SB vv
的符号为波速 u,恒为正”
若观察者以速度 vB远离波源运动，观察者接受到
的频率为波源频率的 倍。
)uv B?1（
若观察者以速度 vB迎着波运动时，观察者接受到
的频率为波源频率的 倍。)
u
v B?1（
00 ?? BS v,v
1、波源不动，观察者以速度 vB 相对于介质运动
频率升高
频率降低
???? u vuu vuuT vuu BBBB ?????????
2、观察者不动，波源以速度 vS 相对于介质运动
????
SSS vu
u
TvuT
u
Tv
uu
????????
?
若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率
为波源频率的 倍。
svu
u
?
若波源远离观察者运时 vs<0，观察者接受到的频
率小于波源的振动频率。
频率升高
频率降低
00 ?? BS v,v
3、波源和观察者同时相对于介质运动
???
S
B
vu
vuu
?
??
?
???
波源和观察者接近时,?? ?'
波源和观察者背离时,?? ?'
00 ?? BS v,v
相对于观察者，波速 Bvuu ???
相对于观察者，波长 Tv
S??? ??
电磁波的多普勒效应
光源和观察者在同一直线上运动
?? 21 )
c
v(??
横
??
cv
cv
?
?
?
1
1
远离
横向多普勒效应
??
cv
cv
?
??
1
1
接近
红移
*二、冲击波
波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，
波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。
? uT
SvS
TvS
1S
P 冲击波的包络面成圆锥状，称作 马赫堆 。
Sv
us i n ??马赫角
Sv
uM ?马赫数
若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能
听见声音。
*5-7 色散 波包 群速度
一、色散
凡波速与频率有关的现象均称为 色散 。
色散介质 非色散介质
二、波包
不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随
质元位置时大时小变化，显现为一团一团地振动，
称之为波群或波包。
x
y
三、群速度
相速度：简谐波的传播速度。
群速度：波包（包络线）的传播速度。
两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加
)xKtc o s (Ay 111 ?? ?
)xKtc o s (Ay 222 ?? ?
式中,K
1
1
2
?
??,K
2
2
2
?
??,
12 ???? ?? ?? 较小
两列波叠加后
)xKKtc o s ()xKKtc o s (Ayyy 22222 1212121221 ????????? ????
)xKtc o s ()xKtc o s (Ay ????? ??2
?? K? ? K
A?
)xKtc o s (Ay ??? ?振幅为 A'作缓慢变化的余弦波
为包络线方程)xKtc o s (AA ????? ?2
包络线上某一确定点
常数???? xKt? 0???? dxKdt?
包络线移动的速度即群速度为
频差很小
dK
dv ??
群
无色散波
KKKKdt
dxv
?
????? ?
?
??
?
???
21
21
群
0?dKdu
dK
duKu
dK
)uK(d ???
uv ?群
色散波 0?
dK
du uv ?
群
波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量
集中的地方。
波包群速度 =信息、能量的传播速度
*5-8 非线性波 孤波
一、非线性效应对波动的影响
导致波动叠加原理失效
二、孤波
介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非
线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。
由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船
突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、
巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形
状前进了一段距离后才逐渐消失。
1895年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名
的浅水波的 KdV方程，才使孤波得到稳定解。
06 3
3
????????? x yxyyty
非线性效应,使得波包的能量重新分配，从而使频率
扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。
非线性项 色散项
色散效应,导致波包的群速度与波长有关，使波包，
逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。
形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。
孤波在传播过程中的特性：
定域性,孤波波形是定域在空间的有限范围内。
稳定性,孤波传播过程中形状保持不变。
完整性,如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，
每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的
速度继续各自传播。
与微观粒子对应的波称为 物质波 。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，
有类似的波动方程。
机械振动在介质中的传播称为 机械波 。
声波、水波
5-1 机械波的产生和传播
一、机械波产生的条件
如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹
性力，则称为弹性波。
弹性力,有正弹性力（压、张弹性力）和切弹
性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切
弹性力。
1、有作机械振动的物体，即 波源
2、有连续的 介质
二、纵波和横波
横波 —— 振动方向与传播方向垂直，如电磁波
纵波 —— 振动方向与传播方向相同，如声波。
0?t
4/Tt ?
2/Tt ?
43 /Tt ?
Tt?
45 /Tt ?
?
?
横波在介质中传播时，介质中产生 切变,只能在 固体
中传播。
纵波在介质中传播时，介质中产生 容变,能在 固体,
液体, 气体 中传播。
结论,机械波向外传播的是波源（及各质点）
的振动状态和能量。
三、波线和波面
波场 --波传播到的空间。
波面 --波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面） --某时刻波源最初的振动状态
传到的波面。
波线（波射线） --代表波的传播方向的射线。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直,
沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
波线
波面
波面
波线
平面波
球面波
波面
波线
波线
波
面
四、简谐波
波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
*五、物体的弹性形变
弹性形变,物体在一定限度的外力作用下形状和
体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体
积能完全恢复原状的形变。
(1)长变
F?F?
S
l l?
F?F?
S
l l? 称为应变或胁变
l
l?
称为应力或胁强SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
l
lE
S
F ?? 称为杨氏弹性模量E
(2) 切变
F?F?
S
b
d?
S
?
相对面发生相对滑移
切变的应变或胁变?? b da r c t a n ??
切变的应力或胁强?SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
?GSF ? 称为切变弹性模量G
(3) 容变
容变的应变?V V?
V
VBp ?? ??
pp ??
p
pp ??
p
pp ?? p
pp ?? p
在弹性限度范围内，
压强的改变与容变应变
的大小成正比
称为容变弹性模量B
六、描述波动的几个物理量
振动状态（即位相）在单位时间内传播
的距离称为 波速,也称之 相速 。
1、波速 u
?
Gu ?
?
在固体媒质中 纵波 波速为
?
Eu
// ?
G,E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量
?为介质的密度
在固体媒质中 横波 波速为
在同一种固体媒质中,横波 波速比 纵波 波速小些
?
Tu ?
?
T为弦中张力,?为弦的线密度
在弦中传播的 横波 波速为,
在液体和气体只能传播 纵波,其波速为：
?
Bu
// ?
B为介质的容变弹性模量
?为密度
理想气体 纵波 声速,
m o lM
RTpu ?
?
? ??
? 为气体的摩尔热容比,Mmol为气体的摩尔质量，
T为热力学温度,R为气体的普适常数，
?为气体的密度
3、波长 ?
2、波的周期 和频率
??
? 12 ??T
??
uuT ???
波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点 所需
的时间，用 T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波
的数目,用 ?表示。
同一波线上相邻的位相差为 2?的两质点的距离 。
介质决定
波源决定
一、平面简谐波的波动方程
平面简谐波
简谐波的波面是平面。 (可当作一维简谐波研究）
5-2 平面简谐波的波动方程
一平面简谐波在理想介质中沿 x轴正向传播，
x轴即为某一波线
设原点振动表达式,tc o sAy ??0
x
y
p
u?
O x
y表示该处质点偏离平衡位置的 位移
x为 p点在 x轴的坐标
p点的振动方程,)
u
xt(c o sAy ?? ?
t 时刻 p处质点的振动状态重复
u
xt ? 时刻 O处质点的振动状态
x
y
p
u?
O x
O点振动状态传到 p点需用
u
xt ??
沿 x轴正向 传播的平面简谐波的波动方程
u
x?
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动
为 p点的振动落后与原点振动的时间
沿 x轴负向 传播的
平面简谐波的波动方程 )uxt(c o sAy ?? ?
)tc o s (Ay 00 ?? ??若波源（原点）振动初位相不为零
])xTt(c o s [Ay 02 ??? ?? ?
])xtc o s [Ay 022 ????? ?? ?
])xut(c o s [Ay 02 ??? ?? ? ])xut(kc o s [A 0??? ?
])uxt(c o s [Ay 0?? ?? ?
或
?
?2?k 波矢,表示在 2?长度内所具有的完整波的
数目。
二、波动方程的物理意义
][ 0?? ??? )uxt(c o sAy
1、如果给定 x,即 x=x0
y
O t
T
T
x0处质点的振动初相为
0
02 ?
?
? ?? x
?
? 02 x 为 x0处质点落后于原点的位相
为 x0处质点的振动方程则 y=y(t)
)xtc o s (A)t(y 002 ???? ???
若 x0=? 则 x0处质点落后于原点的位相为 2?
?是波在空间上的周期性的标志
2、如果给定 t,即 t=t0 则 y=y(x)
????????? 221212 xxx ???????
][ 00 ?? ??? )uxt(c o sAy
表示给定时刻波线上各质
点在同一时刻的位移分布
，即给定了 t0 时刻的波形
同一波线上任意两点的振动位相差
X
Y
O
u?
x1 x2
?
??????? 21212 T t)tt( ?????
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
T是波在时间上的
周期性的标志
3.如 x,t 均变化 y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
][ 0?? ??? )uxt(c o sA)x(y
x
y u
?
O
x
tt ??t
x?
][ 0?????? ??????? )u tuxtt(c o sA)tt,xx(y
t时刻的波形方程
t+?t时刻的波形方程
][ 0??? ???? )uxtt(c o sA)x(y
t时刻,x处的某个振动状态经过 ?t，传播了 ?x的距离
][ 0?? ??? )uxt(c o sA
)t,x(y)tt,xx(y ??? ??
在时间 ?t内整个波形沿波的
传播方向平移了一段距离 ?x
行波
)t,x(y)tt,xx(y ??? ??
x
y u
?
O
x
tt ??t
x?
])(c o s [ 022
2
????? ???? uxtAt y
2
2
202
2
2
2 1
])(c o s [ t yuuxtuAx y ??????? ?????
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
?
?
?
? ?
三、平面波的波动微分方程
沿 x方向传播的平面
波动微分方程
][ 0?? ??? )uxt(c o sAy
求 t 的二阶导数
求 x的二阶导数
一,波的能量和能量密度
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振
动能量的传播。
有一平面简谐波 ][
0?? ??? )u
xt(c o sAy
质量为在 x处取一体积元 dV dVdm ??
质点的振动速度 ][
0??? ?????
?? )
u
xt(s i nA
t
yv
5-3 波的能量 *声强
体积元内媒质质点动能为
dmvdE k 221? dV)uxt(s i nA ][21 0222 ???? ???
体积元内媒质质点的弹性势能为
dV)uxt(s i nAdE p ][21 0222 ???? ???
体积元内媒质质点的总能量为：
pk dEdEdE ?? dV)u
xt(s i nA ][
0
222 ???? ???
1） 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能
不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同
时等于零。
说明
2） 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
][ 0222 ???? ???? )uxt(s i nAdVdEw
平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
22
2
1 ?? Aw ?
dt)uxt(s i nATwd tTw
T
T ][11
0
22
0
2
0
???? ???? ??
??? T 2s in
0
2 ???? ??? d
dV)uxt(s i nAdE ][ 0222 ???? ???
能流,单位时间内通过介质中某一
截面的能量。
二,波的 能流和能流密度
Swup ??
平均能流, 在一个周期内能流的平均值。
SuwSwup ?? ??
能流密度（波的强度）,
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量 。
uwSpI ?? ? uAI 22
2
1 ??? 2?? 米单位：瓦
u
u
S?
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波
在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距
离成反比。
分析平面波和球面波的振幅
证明：
在一个周期 T内通过 S1和 S2面的能量应该相等
,2211 TSITSI ??
SSS ?? 21
TSAuTSAu 22221212 2121 ???? ?
21 AA ?所以,平面波振幅相等。
对平面波：
222 4 rS ??
2211 rArA ??;4 211 rS ??
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位
距离的振幅为 A则距波源 r 处的振幅为 A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，
与平面波类似，球面简谐波的波函数：
][ 0?? ??? )urt(c o srAy
TSAuTSAu 22221212 2121 ???? ??
对球面波：
三,波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介
质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
波通过厚度为 dx的介质，其振幅衰减量为 -dA
A d xdA ??? xeAA ??? 0
处的波振幅和分别是,xxxAA ?? 00
是介质的吸收系数?
波强的衰减规律：
xeII ?20 ??
处波的强度和分别是,xxxII ?? 00
*四、声压、声强和声强级
声压,介质中有声波传播时的压力与无声波时的
静压力之间的压差。
平面简谐波，声压振幅为
?? uAp m ?
22
2
2
1
2
1 ??
? uAu
pI m ??
声强,声波的能流密度。
频率越高越容易获得较大的声压和声强
Hz~ 2 0 0 0 020
2122 1010 ??? ?? mW~mW
0
10 I
Il o gI
L ? )B e l(单位：贝尔
引起人听觉的声波有 频率范围 和 声强范围
测定声强的标准2120 10 ?? ?? mWI
声强级
0
1010 I
Il o gI
L ? )dB(单位：分贝
人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定
5-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉
一, 惠更斯原理
惠更斯原理,
介质中波阵面（波前）
上的各点，都可以看作
为发射子波的波源，其
后一时刻这些子波的包
迹便是新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t时刻波面
球面波
··
·
· · · ··
·
·
····t
t + ?t
t时刻波面 ?t+?t时刻波面 ?波的传播方向
如你家在大山后,听广播和看电
视哪个更容易? (若广播台, 电
视台都在山前侧 )
*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
i i?
M NA
1A
2A
3A
B
3B2B1B
333 AB BBAA ?? ?
ABBABA 333 ???
ii ??
i
?
M NA
1A
2A
3A
B
3B
2B1B
?
1介质
2介质
is i nABtuBA 3133 ?? ?
2
1
2
1
nc
nc
u
u
s i n
is i n ??
?
?? s i nABtuAB 32 ??
1
2
n
n
s i n
is i n ?
?
二, 波的叠加
各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性
（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，
与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振
动则是各列波在该处激起的振动的合成。
波传播的 独立性原理 或波的 叠加原理,
说明,
振动的叠加仅发生在单一质点上
波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上
能分辨不同的声音正是这个原因
两列波若 频率相同, 振动方向相同,在相遇点的
位相相同或位相差恒定,则合成波场中会出现某些点
的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵
消），这种现象称为 波的干涉 。
相干条件
具有 恒定的相位差
振动方向相同
两波源具有 相同的频率
满足相干条件的波源称为 相干波源 。
三,波的干涉
传播到 p点引起的振动分别为：
)tc o s (Ay 101010 ?? ??
)tc o s (Ay 202020 ?? ?? 在 p点的振动为同
方向同频率振动
的合成。
设有两个相干波源 S1和 S2
发出的简谐波在空间 p点相遇。
合成振动为：
)tc o s (Ayyy 021 ?? ????
)rtc o s (Ay 11011 2???? ???
)rtc o s (Ay 22022 2???? ???
????? c o s2 2122212 AAAAA
其中：
)rr()( 121020 2 ???? ??????
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
??c o s2 2121 IIIII ???
)tc o s (Ay 0?? ??
对空间不同的位置，都有恒定的 ??，因而合强
度在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象 。
)
r
s i n(A)
r
c o s (A
)
r
s i n(A)
r
s i n(A
t a n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
202
1
101
2
202
1
101
0 22
22
???
???
?
其中：
,...,,,kkrr 3210 22 121020 ???????? ??????? ）（
21m a x AAAA ??? 2121m a x 2 IIIIII ????
,...,,,k)k()rr()( 3210122 121020 ???????? ???????
|| 21m i n AAAA ??? 2121m i n 2 IIIIII ????
相长干涉的条件,
相消干涉的条件,
????? c o s2 2122212 AAAAA ??c o s2 2121 IIIII ???
当 两相干波源为同相波源 时，相干条件写为
,...3,2,1,0,12 ????? kkrr ??
,...3,2,1,0,2)12(12 ?????? kkrr ??
相长干涉
相消干涉
? 称为波程差
波的非相干叠加
21 III ??
例题 位于 A,B两点的两个波源，振幅相等，频
率都是 100赫兹，相位差为 ?，其 A,B相距 30米，
波速为 400米 /秒，求,A,B连线之间因相干干涉而
静止的各点的位置。
解：如图所示，取 A点为坐标原点,A,B联线为 X轴，
取 A点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy A
在 X轴上 A点发出的行波方程：
)2c o s ( ???? xtAy A ???
B点的振动方程, )0c o s ( ?? tAy
B ?
BA
Xx
m30
x?30
O
)2c o s ( ???? xtAy A ???
B点的振动方程,
)0c o s ( ?? tAy B ?
在 X轴上 B点发出的行波方程：
])30(20c o s [ ??? xtAy B ????
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干
为静止的点满足：
???????? )()( 123022 ?????? kxx
,.,,2,1,0 ???k
BA
Xx
m30
x?30
O
相干相消的点需满足,?kx ??? 230
mu 4?? ??因为,
,...2,1,0
215
???
???
k
kx
mx 29,27,25,.,,,,,9,7,5,3,1?
??????? )12()30(22 ??????? kxx
,...2,1,0 ???k
BA
Xx
m30
x?30
O
5-5 驻波
一、驻波方程
)xtc o s (Ay ??? 21 ?? )
xtc o s (Ay
?
?? 2
2 ??
tc o sxc o sAyyy ???2221 ???
tc o s)x(Ay ??
??
xAxA 2c os2)( ?
驻波是两列 振幅、频率相同,但 传播方向相反
的简谐波的叠加。
)x,t(y)tux,tt(y ??? ??函数不满足 它不是行波
它表示各点都在作 简谐振动,各点振动的频
率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的
不同而不同。
驻波的 特点,不是振动的传播，而是媒质中各质
点都作稳定的振动。
tc o s)x(Ay ??
12c os ??? x
??
xAxA 2c os2)( ?
振幅最大，波腹AxA 2)( ?
??? kx ??2 ?,,,kkx 2102 ???
?
02c os ??? x 振幅最小，波节0)( ?xA
??? )k(x 212 ??? ?,,,k)k(x 210221 ???? ?
1、波腹与波节 驻波振幅分布特点
二、驻波的特点
相邻波腹间的距离为,22 1 ???? ? ?? ?k|kx
相邻波节间的距离为,2??? x
相邻波腹与波节间的距离为,4?
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
?,,,kkx 2102 ??? ?波腹 ?,,,k)k(x 210
22
1 ???? ?波节
txAy ??? c o s2c o s2 ??2、驻波的位相的分布特点
时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，
而空间变化带来的相位是不同的。
在 波节两侧点的振动相位相反 。同时达到反向最大或
同时达到反向最小。速度方向相反。
两个 波节之间的点其振动相位相同 。同时达到最大或
同时达到最小。速度方向相同。
*3、驻波能量
驻波振动中无位相传播，也无能量的传播
一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，
并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
当波 从波疏媒质垂直入射到
波密媒质 界面上反射时,有
半波损失,形成的驻波在界
面处是 波节 。
三、半波损失
入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。
折射率较大的媒质称为 波密媒质 ；
折射率较小的媒质称为 波疏媒质, 有半波损失
无半波损失
当波 从波密媒质垂直入射到波
疏媒质 界面上反射时,无半波
损失,界面处出现 波腹 。
?
? Tu,...,,n,
l
un ??? 321
2
,.,,,,n,n lu 3212 ??? ??
,.,,,,n,nl 3212 ?? ?
在绳长为 l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：
*四,简正模式（或本征振动）
即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些
频率称为弦振动的 本征频率,对应的振动方式称为该
系统的 简正模式 （ Normal mode).
对应 k=2,3,… 的频率为 谐频,产生的音称为 谐音 (泛音 )。
最低的频率 (k=1)称为 基频,产生的一个音称为基音；
两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该
点为波节的那些模式（对应于 k 次,2 k 次 …,..谐
频 )就不出现，使演奏的音色更优美。
当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有
频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频
率振动的振幅最大。可用 共振法 测量空气中声速。
系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。
一般是各种简正模式的叠加。
5-6 多普勒效应 *冲击波
一、多普勒效应
观察者接受到的频率有赖于 波源 或 观察者
运动的现象，称为 多普勒效应 。
vS —— 表示波源相对于介质的运动速度。
vB—— 表示观察者相对于介质的运动速度。
?S—— 波源的频率
u—— 波在介质中的速度
?B —— 观察者接受到的频率
选介质为参考系
波源和观察者的运动在两者的连线上
规定
“趋近为正，背离为负”的符号为、
SB vv
的符号为波速 u,恒为正”
若观察者以速度 vB远离波源运动，观察者接受到
的频率为波源频率的 倍。
)uv B?1（
若观察者以速度 vB迎着波运动时，观察者接受到
的频率为波源频率的 倍。)
u
v B?1（
00 ?? BS v,v
1、波源不动，观察者以速度 vB 相对于介质运动
频率升高
频率降低
???? u vuu vuuT vuu BBBB ?????????
2、观察者不动，波源以速度 vS 相对于介质运动
????
SSS vu
u
TvuT
u
Tv
uu
????????
?
若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率
为波源频率的 倍。
svu
u
?
若波源远离观察者运时 vs<0，观察者接受到的频
率小于波源的振动频率。
频率升高
频率降低
00 ?? BS v,v
3、波源和观察者同时相对于介质运动
???
S
B
vu
vuu
?
??
?
???
波源和观察者接近时,?? ?'
波源和观察者背离时,?? ?'
00 ?? BS v,v
相对于观察者，波速 Bvuu ???
相对于观察者，波长 Tv
S??? ??
电磁波的多普勒效应
光源和观察者在同一直线上运动
?? 21 )
c
v(??
横
??
cv
cv
?
?
?
1
1
远离
横向多普勒效应
??
cv
cv
?
??
1
1
接近
红移
*二、冲击波
波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，
波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。
? uT
SvS
TvS
1S
P 冲击波的包络面成圆锥状，称作 马赫堆 。
Sv
us i n ??马赫角
Sv
uM ?马赫数
若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能
听见声音。
*5-7 色散 波包 群速度
一、色散
凡波速与频率有关的现象均称为 色散 。
色散介质 非色散介质
二、波包
不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随
质元位置时大时小变化，显现为一团一团地振动，
称之为波群或波包。
x
y
三、群速度
相速度：简谐波的传播速度。
群速度：波包（包络线）的传播速度。
两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加
)xKtc o s (Ay 111 ?? ?
)xKtc o s (Ay 222 ?? ?
式中,K
1
1
2
?
??,K
2
2
2
?
??,
12 ???? ?? ?? 较小
两列波叠加后
)xKKtc o s ()xKKtc o s (Ayyy 22222 1212121221 ????????? ????
)xKtc o s ()xKtc o s (Ay ????? ??2
?? K? ? K
A?
)xKtc o s (Ay ??? ?振幅为 A'作缓慢变化的余弦波
为包络线方程)xKtc o s (AA ????? ?2
包络线上某一确定点
常数???? xKt? 0???? dxKdt?
包络线移动的速度即群速度为
频差很小
dK
dv ??
群
无色散波
KKKKdt
dxv
?
????? ?
?
??
?
???
21
21
群
0?dKdu
dK
duKu
dK
)uK(d ???
uv ?群
色散波 0?
dK
du uv ?
群
波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量
集中的地方。
波包群速度 =信息、能量的传播速度
*5-8 非线性波 孤波
一、非线性效应对波动的影响
导致波动叠加原理失效
二、孤波
介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非
线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。
由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船
突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、
巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形
状前进了一段距离后才逐渐消失。
1895年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名
的浅水波的 KdV方程，才使孤波得到稳定解。
06 3
3
????????? x yxyyty
非线性效应,使得波包的能量重新分配，从而使频率
扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。
非线性项 色散项
色散效应,导致波包的群速度与波长有关，使波包，
逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。
形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。
孤波在传播过程中的特性：
定域性,孤波波形是定域在空间的有限范围内。
稳定性,孤波传播过程中形状保持不变。
完整性,如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，
每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的
速度继续各自传播。
