自然和自然规律隐藏在黑暗之中，
上帝说“让牛顿降生吧”，
一切就有了光明；
但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，
上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，
就恢复到现在这个样子。
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，
建立了动力学三大定律和万有引力定律。
其实，没有后者，就不能充分显示前者
的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推
上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，
她在更加坚实的基础上确立了自己的使
用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了
又一个繁花似锦的春天。
一、惯性定律 惯性参考系
1、惯性定律 （ Newton first law）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，
直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
(2),定义了 惯性参考系
(1),包含两个重要概念,惯性 和 力
2-1 牛顿运动定律
固有特性
2,惯性参照系
惯性参照系 —— 牛顿定律严格成立的参照系。根据
天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现
行星运动遵守牛顿定律,所以太阳系是一个惯性系。
问
题
a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律
结论, 在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯
性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。
而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
a≠0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？
3、惯性系与非惯性系
二、牛顿 第二定律 （ Newton second law）
在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小
与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向
与外力的矢量和的方向相同。
amF ?? ?
2、迭加性,?
?
?????
i
N
iN FFFFF
1
21
?
?
???
特点,
瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性
1、瞬时性,之间一一对应
3、矢量性,具体运算时应写成分量式
dt
dvmmaF y
yy ???
dt
dvmmaF x
xx ???
dt
dvmmaF z
zz ???
直角坐标系中：
dt
dvmF ??
? ?
2v
mF n ??自然坐标系中：
4,定量的量度了惯性
A
B
B
A
a
a
m
m ?
惯性质量, 牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
引力质量,
02
21 r
r
mmGF ?? ??
式中 21 mm, 被称为引力质量
经典力学中 不区分 引力质量和惯性质量
三、第三定律 （ Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
作用力与反作用力,
1、它们总是成对出现。它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。
3、它们一定是属于同一性质的力。
例：质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F,当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f=kv(k为
常数），证明小球在水中竖直沉降的速度 v与时间 t的
关系为
f
F
mg
a
x
)1( m
kt
e
k
Fmgv ????
式中 t为从沉降开始计算的时间
证明：取坐标，作受力图。
dt
dvmmaFkvmg ????
根据牛顿第二定律，有
四、牛顿定律的应用
初始条件,t=0 时 v=0
dt
dvmmaFkvmg ????
?? ??? tv dtm)Fkvmg( dv 00
?? ??? ??? tv dt)Fkvmg( )Fkvmg(dkm 00
m
kt)Fkvmgl n ( v ????
0
)1( m
kt
e
k
Fmgv ????
运动描述具有相对性
车上的人观察 地面上的人观察
2-2 力学相对性原理 非惯性系中的力学
一,伽利略变换、经典力学时空观
时间、长度、质量“同时性”和力学定律的形式
是 绝对的
物体的坐标和速度、“同一地点”是 相对的
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
坐标变换
方程
'
'
'
'
tt
zz
yy
utxx
?
?
?
??
或
经典时空观
根据伽利略变换，我们可得出牛顿的绝对时空观，
也称之为经典时空观。
在 S系内，米尺的长度为 2
12212212 )()()( zzyyxxL ??????
在 S’系内，米尺的长度为 212212212 )()()( zzyyxxL ?????????????
利用伽利略变换式得 LL ??
结论, 空间 任意两点之间的距离对于任何的惯性系而言
都是相等的,与 惯性系的选择或观察者的 相对运动无关 。
即：长度是, 绝对的,,或称之为, 绝对空间, 。
tt ????再有
时间 也 与 惯性系的选择或观察者的 相对运动无关
“绝对空间,,, 绝对时间, 和, 绝对质量, 这
三个概念的总和构成了经典力学的所谓, 绝对时空
观,, 空间、时间和物质的质量与物质的运动无关
而独立存在,空间永远是静止的、同一的，时间永
远是均匀地流逝着的。
如果把 随惯性系而变 的看成是,相对,的，
那么经典力学中：
时间、长度、质量
“同时性”和力学定律的形式
物体的坐标和速度
“同一地点”
是相对的
是绝对的
把 不 随惯性系而变 的看成是,绝对,的，
近代物理学发展表明：经典的、与物
质运动无关的绝对时空观是错误的，并揭
示出时间、空间与物质运动密切相关的相
对性时空观；而力学相对性原理则得到改
造发展为物理学中更为普遍的相对性原理
伽利略变换的困难
1)电磁场方程组不服从伽利略变换
2) 光速 c
3) 高速运动的粒子 迈克耳孙 -莫雷实验
测量以太风
零结果
速度变换
法则
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???
zz
yy
xx
aa
aa
dt
du
aa
??
??
???
加速度变换
法则
4）解释天文现象的困难
夜空的金牛座上的“蟹状星云”，是 900多年
前一次超新星爆发中抛出来的气体壳层。
Vc?
c
A
B l
Vc
lt
A ??
c
lt
B ? k m / sV
l
1 5 0 0
5
?
?
抛射速度
千光年
结论, 在 25年持续看到超新星爆发时发出的强光。
史书记载, 强光从出现到隐没还不到两年。 矛盾
二、力学的相对性原理
在 S系中：
在 S′系中：
在任何一个惯性系中牛顿定律都有完全相同的形式
即：伽利略相对性原理
或经典相对性原理
力学规律对一切惯性系都是等价的
力学的相对性原理：
*三、非惯性系中的力学
1,在变速直线运动参考系中的惯性力：
m F? 'amF
?? ?
? ? 'amam'aamamF ss ?????? ????? 地
samF
?? ??
惯令：
2,在匀角速转动的非惯性系中的惯性力：
----惯性离心力
3,科里奥利力 *
kf
???? ?? 相umf *k 2
在转动的非惯性系，还须引入科里奥利力，
才可沿用牛顿定律的形式
地球是个匀角速转动的参考系，但由于自转角速
度很小，地球上运动的物体往往察觉不到科里奥
利力的存在。
2-3 动量 动量守恒定律
物理学大厦
的基石
三大
守恒定律
动量守恒定律
动能转换与守恒定律
角动量守恒定律
一、质点的动量定理 amF ?? ?由 可得：
dt
pdF ?? ?
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
——质点的动量定理
xx
t
t x mvmvdtF 12
2
1
???
yy
t
t y mvmvdtF 12
2
1
???
zz
t
t z mvmvdtF 12
2
1
???
分量表示式
二、质点系的动量定理
第 i个质点受到的合外力为 ??
?
?
1
1
n
j
jii fF
??
外
对第 i个质点
运用动量定理有,12
1
1
2
1
iiii
t
t
n
j
jii vmvmdtfF
???? ???
?
??
?
? ?? ??
?
外
??? ? ?? ?
???
?
??
???
?
??
?
???
?
??
?
? n
i
ii
n
i
ii
t
t
n
i
n
j
ij
t
t
n
i
i vmvmdtfdtF
1
1
1
2
1
1
11
2
1
2
1
????
外
因为,0
1
1
1
?? ?
?
?
?
n
i
n
j ij
f?
??? ?
???
???
?
??
?
? n
i
ii
n
i
ii
t
t
n
i
i vmvmdtF
1
1
1
2
1
2
1
???
外
三、动量守恒定律
0
1 11 2
????
??
n
i ii
n
i ii
vmvm ??则有若 外 0?? iF
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合
外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。即：
动量守恒定律 。
x
v?
o
? ?
l
0v
?u?
m
M
例一,如图，车在光滑水平面上运动。已知 m,M,l 0v?
人逆车运动方向从车头经 t 到达车尾。
求, 1,若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；
2,车的运动路程；
3,若人以变速率运动,上述结论如何？
解,以人和车为研究
系统，取地面为参照
系。水平方向系统动
量守恒。
)()( 0 vumvMvmM ???? ????
)()( 0 vumMvvmM ?????
v?
o
? ?
l
0v
?u?
m
M
x
t
l
mM
mvu
mM
mvv
?????? 00
1、
2,l
mM
mtvt
t
l
mM
mvvts
??????? 00 )(
3,u
mM
mvv
??? 0
l
mM
m
tv
dt
mM
mu
vv dts
tt
?
??
?
??? ??
0
0
0
0
)(
例二,质量为 2.5g的乒乓球以
10m/s的速率飞来，被板推挡后，又
以 20m/s的速率飞出。设两速度在垂
直于板面的同一平面内，且它们与
板面法线的夹角分别为 45o和 30o,求：
（ 1） 乒乓球得到的冲量； （ 2） 若
撞击时间为 0.01s,求板施于球的平
均冲力的大小和方向 。
45o
30o
n
v2
v1
解：取挡板和球为研究对象，由于
作用时间很短，忽略重力影响。设
挡板对球的冲力为 则有, 12 vmvm
dtFI
??
??
??
?? ?
45o
30o
n
v2
v1
O
x
y
取坐标系，将上式投影，有：
tF
mvmvdtFI
x
xx
??
???? ? )45c o s(30c o s 12 ??
tF
mvmvdtFI
y
yy
??
??? ? ?? 45s i n30s i n 12
2, 5 g m / s20 m / s10 0, 0 1 s 21 ???? m vvt?
N14.6 N7.0 N1.6 22 ????? yxyx FFFFF
sNjijIiII yx ????? ????? 0 0 7.00 6 1.0
?为平均冲力 与 x方向的夹角 。
?6, 5 4 t a n ??? ?? 1148.0
x
y
F
F
此题也可用矢量法解
45o
30o
n
v2
v1
O
x
y
?
??
1 0 5c o s2 212222212 vvmvmvm
tFI
???
?＝
Ns1014.6 2???
N14.6??
t
IF
?
??
10 5s i ns i n 2 ?tFmv ?? ?
5 1, 8 6 0, 7 8 6 6s i n ??? ??
??? 86.6455 1, 8 6 ???? ?
v2
v1
v1
?t
x
例三,一质量均匀分布的柔软细绳
铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平
桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落
在桌面上。 试证明,在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，等于已落
到桌面上的绳重量的三倍。
o
x
证明,取如图坐标，设 t时刻已有 x长的柔绳落至桌面，
随后的 dt时间内将有质量为 ?dx（ Mdx/L)的柔绳以
dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：
dt
dt
dx
dx
dt
dp ??
?
?
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
2v
dt
dt
dx
dx
dt
dp
F ?
?
＝－＝
??
??
柔绳对桌面的冲力 F＝ F'即：
LM g xFgxvvLMvF /2 2 222 ????? 而?
而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L
所以 F总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
2-4 功、动能、势能、机械能守恒
一、功、功率
1、功 ——力的空间积累
外力作功是外界对系统过程的一个作用量
??ri ?F
i
A
B
?
? ???? 21rr rdFdAA ???
kFjFiFF zyx ???? ???
kdzjdyidxrd ???? ???
dsFrdFdA ?c o s??? ??微分形式
直角坐标系中
? ?
? ?????
? ???
x
x
z
z z
y
y yx
b
a zyx
zdFydFdxF
dzFdyFdxFA
0 00
例 1 作用在质点上的力为 )(42 NjiyF ??? ??
在下列情况下求质点从 )(2
1 mx ??
处运动到
)(32 mx ? 处该力作的功：
1,质点的运动轨道为抛物线 yx 42 ?
2,质点的运动轨道为直线 64 ?? xy
X
Y
O2? 3
1
25.2
yx 42 ?
64 ?? xy
做
功
与
路
径
有
关
Jdydx
x
dyy d xdyFdxFA
y
y
x
x
yx
yx yx
8104
2
42
49
1
3
2
2
1
2
1
2
1
22
11
.
)(
,
,
?????
????? ??
?
X
Y
O2? 3
1
25.2
yx 42 ?
64 ?? xy
Jdydxx
dyy d xdyFdxFA
y
y
x
x
yx
yx yx
252146
2
1
42
49
1
3
2
2
2
1
2
1
22
11
.)(
)(
,
,
???? ??
????? ??
?
? ?? ???
? ??
b
a zyx
B
A
dzFdyFdxF
rdFA
??
2、功率 力在单位时间内所作的功
t
WP
?
??平均功率：
dt
dW
t
WP
t
?
?
??
?? 0
lim瞬时功率：
瞬时功率等与力与物体速度的标积
单位：瓦特 W
rdFdW ?? ??? vFdt rdFP ?
???
?????
二、保守力的功
1、保守力
某些力对质点做功的大小只 与质点的始末位臵有关,
而 与路径无关 。这种力称为保守力。
典型的保守力,重力、万有引力、弹性力
与保守力相对应的是 耗散力
典型的耗散力,摩擦力
0?? ?? rdFA ??
2,重力的功
m在重力作用下由 a运动到 b,取地面为坐标原点,
? ?? baG rdgmA ??
可见,重力是保守力 。
X
Y
Z
O
a
b
?
??
gm?
rd?
? ?? bazz m g d z
? ????? ba )kdzjdyidx(k)mg( ????
ba m g zm g z ??
初态量 末态量
3,弹力的功
kxF ??
可见，弹性力是保守力。 ? ??
弹簧振子
22
2
1
2
1
ba kxkx ??
初态量 末态量
)( 22
2
1
2
1
ab
x
x kxkxkxdxA
b
a
???? ??
4,引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时,以
M所在处为原点,M指向 m的方向为矢径的正方向。
m受的引力方向与矢径方向相反。
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
?
ba
r
r
b
a
rr
G M m
dr
r
G M m
rdfW
b
a
11
1
2
??
可见万有引力是保守力。
r
a
b
r
dr
FM mr
dr
a
b r d rrdrrdr ???? c o s???
例 2、一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地面，
忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功
是多少？
解：取地心为原点，引力与矢径方向相反
a
bh
R
o
? ? ?? R hR rdFW
)( hRR
G M m h
?
?
2?
?
?? R
hR
drrMmG
?
?
??
?
?
?
???? ?
? hRR
G M m
r
drG M m R
hR
11
2
例 3,质量为 2kg的质点在力 itF 12＝ (SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。
求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
? ??? v d ttrdFW 12＝
2
0000
32120 tdttdtmFadtvv ttt ?????? ???
JtdttdtttW 729936312 430 330 2 ?????? ??
例 4,一对作用力和反作用力的功
o
r1 r2
r21
m1 m2
dr1
dr2
f2f
1
m1,m2组成一个封闭系统
在 dt 时间内
2211 rdfrdfdW
???? ????
1111 rdfrm
???
2112 rrr ???
)rr(df)rdrd(fdW 122122 ???????
21 ff ???
212 rdfdW ???
2222 rdfrm
???
三、动能定理
?? ??
i
ii
i
kik vmEE
2
2
1ni,,2,1 ??
质点的 动能
质点系统的 动能
定轴转动的刚体
222
222
2
1
2
1
2
1
2
1
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
??
Jdmr
dmrdmvE
k
2
2
1 ?? JE
k
刚体的 转动动能
2
2
1 mvE
k ?
A
B
? ri
fi
质点的动能定理
合外力对质点所 做的功 等于质点 动能的增量 。
功 是质点 动能 变化的量度
过程量 状态量
12
2
1
2
2
22
121
2
1
2
1
2
1
2
1
KK
v
v
EEmvmv
mvdrdfA
????
??? ??? )(
??
物体受外力作用 运动状态变化 动能变化
末态动能 初态动能
动能是
相对量
四、势能、势函数 在受保守力的作用下，质点
从 A-->B，所做的功与路径无关，
而只与这两点的位臵有关。可引
入一个只 与位臵有关的函数, A点
的函数值减去 B点的函数值，定义
为从 A -->B保守力所做的功，该函
数就是势能函数。
A
B
定义了势能差
选参考点（势能零点），设
PBPAAB EEA ??
0?PBE
PAAB EA ?
)()(
ba
f r
MmG
r
MmGA
00 ????
22
2
1
2
1
bas kxkxA ??
baG m g zm g zA ??
p
pp
b
a
E
EE
rdFA
ba
???
??
???
??
保保
保守力 做正功 等于相应势能的 减少 ；
保守力 做负功 等于相应势能的 增加 。
KKAKB EEEmvmvA ??????
2
1
2
2 2
1
2
1
外力 做正功 等于相应动能的 增加 ；
外力 做负功 等于相应动能的 减少 。
比
较
重力势能 （以地面为零势能点）
m g yymgm g d yE yP ?????? ? )0(0
引力势能 （以无穷远为零势能点）
rG M mdrr
MmGE
rP
1
2 ???
? －＝
弹性势能 （以弹簧原长为零势能点）
220
2
1
2
10 kxkxdxkxE
xp
??????? ? )(
势
能
只
具
有
相
对
意
义
系统的机械能
pk EEE ??
质点在某一点的 势能大小等于在相应的保守力的作用
下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功 。
注意：
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，
其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于
一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共
有的。
4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，
保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系
统势能增加。
五、势能曲线
几种典型的势能曲线
（ d）原子相互作用
势能曲线
势能曲线,势能随
位臵变化的曲线
)(h
Ep（ h）
O
21
（ a） l
Ep（ l）
O
（ b）
rEp（ r）O p
E
（ c）
r0
Ep（ r）
O
r
2
（ d）
（ a）重力势能曲线
（ b）弹性势能曲线
（ c）引力势能曲线
势能曲线提供的信息
1、质点在轨道上任意位臵时，质点系所具有的势能
值。
2、势能曲线上任意一点的斜率 的负值，
表示质点在该处所受的保守力
平衡位臵
00 ??? fdxdU
势能曲线有极值，质点处于平衡位臵。 ? ?
? ? ?
?
??????
?????????
2
00
2
000
)(
2
1
)(
)(
2
1
)()()(
xxUxU
xxUxxUxUxU
? ? ??????? 200 )(21)()( xxUxUxU
X
)( xU
a
b
c?
?
?
?
A
B
C
dx
dUf ??
xxUxUf ???????? )()( 0
xxUxUf ???????? )()( 0
势能曲线取极小值的平衡点
0)( 0 ??? xU 0
0
0
0
???
???
fxx
fxx
力总是指向平衡位臵
势能曲线取极大值的平衡点
0)( 0 ??? xU 0
0
0
0
???
???
fxx
fxx
力总是背离平衡位臵
X
)( xU
a
b
c?
?
?
?
A
B
C
稳定平衡 ca,
不稳定平衡 b
X
)( xU
a
b
c?
?
?
?
A
B
C
图中势能曲线可分成
势阱 A,势阱 C和势垒 B
三个区间 。
设系统机械能守恒，由此
势能曲线可分析系统状态
的变化。
1E
2E
3E
E=E1 系统被限制在势阱 A中运动
E=E2 系统在势阱 A或 C中运动，且二者只居其一 。
E=E3 系统可在 x≥xd的区域自由运动 。
d?
例 一个质量为 m的小球，
由一根长为 的细杆连接
成摆。可在竖直平面内绕
O点自由摆动或转动。
细杆质量忽略不计。
l
?
l
O
?
mg
给定机械能 E的摆的运动
1、作 ??
pE
曲线
2,对 5.3,0.2,0.1,1.0???
m g l
E
分别作 ???? 曲线
对给定的 E，讨论系统的运动
?
l
O
?
mg
给定机械能 E的摆的运动
解, 1,摆的重力势能为
)c o s1( ??? m g lE p
2,摆的机械能用 ? 表示为
恒量?
???
??
)c o s1(
2
1 22
?? m g lml
EEE
PK
?
代入
m gl
E??
)c o s1(2 ???????
l
g?
0cos1 ????? ???? 1c o s
?
?
0.2
0.1
1.0
?
2
?0
0
5.3??
??
PE
)c o s( ??? 1m g lE p
)c o s1(2 ???????
l
g?
???? 1c o s
六、质点系的动能定理与功能原理
对 i质点运用动能定理：
2
1
2
2
2
1
2
1 2
1
2
1
iiiiiijii vmvmrdfrdF ??? ??? ?
????
外
2
1
1
2
2
11
2
11
2
1 2
1
2
1
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
ij
n
i
i vmvmrdfrdF ?????? ??? ? ?
????
????
外
对所有质点求和可得：
注意,不能先求合力，再求合力的功；
只能先求每个力的功，再对这些功求和。
12 KK EEAAA ???? 内保内非外
2
1
1
2
2
11
2
11
2
1 2
1
2
1
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
ij
n
i
i vmvmrdfrdF ?????? ??? ? ?
????
????
外
质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保
守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。
质点系的动能定理
PPP EEEA ?????? )( 12内保
)()( 1212 PPKK EEEEAA ????? 内非外
12 EEAA ??? 内非外
外力对系统和系统非保守内力做功之和等于
系统机械能的增量。
0?? 内非外 AA
外力对系统和系统非保守内力做功之和等于
系统机械能的增量。
七、机械能守恒定律
0?? 内非外若 AA
0?? 内非外若 AA
0?? 内非外若 AA 系统的机械能增加
系统的机械能减少
系统的机械能保持不变
:时当 外 0?A 0?内非若 A 系统的机械能增加
0?内非若 A 系统的机械能减少
0?内非若 A 系统的机械能保持不变
例 一个质量为 Ｍ,半径为 Ｒ 的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为 ｍ 的物体而下垂。忽略轴处
摩擦，求物体 ｍ 由静止下落高度 ｈ 时
的速度和此时滑轮的角速度。
解：据机械能守恒定律：
Mm
m g hvRv
??? 2
4可解出?
22
2
1
2
1 mvJm g h ?? ?
取滑轮、物体、地球为系统
2-5 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量
O
L?
??
d
vm?
?
质点相对 O点的矢径 与质点
的动量 的矢积定义为该时
刻质点相对于 O点的角动量，
用 表示。
r?
vm?
L?
vmrL ??? ?? ?s i nr m vL ?
?2mrr m vL ??
直角坐标系中角
动量的分量表示
yzx zpypL ??
zxy xpzpL ??
xyz ypxpL ??
二、质点的角动量定理
1、力矩
O
M?
r? p?
?
FrM ??? ??
?s i nFrM ?
力矩的分量式,
yzx zFyFM ??
zxy xFzFM ??
xyz yFxFM ??
对
轴
的
力
矩
单位：牛 ·米（ N ·m）
2、质点的角动量定理
（ 2）力 的作用线与矢径 共线（即 ）F? r? 0??s in
有心力, 物体所受的力始终指向（或背离）某一 固定点
力心
力矩为零的情况,
（ 1）力 等于零；F?
旋转对称性 意味着空间的各向同性，
这将导致 角动量守恒 。
dt
LdM ?? ?
12
2
1
LLdtMtt ??? ???
外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。
0?M? 12 LL ?? ? 常矢量???J
角动量守恒定律的两种情况：
1,转动惯量保持不变的单个刚体 。
2,转动惯量可变的物体。
保持不变就增大，从而减小时，当
就减小；增大时，当
??
?
??
?
JJ
J
000 ???? ????
? ??? 则时，当,JJM
2-6 刚体的定轴转动
一、质点系的角动量定理
1、质点系对固定点的角动量定理
对由 n个质点组成的质点系中第 i个质点，有：
质点 i受力
对 i求和有：
因内力成对出现
故该项为零
得：
作用于质点系的 外力矩的矢量和 等于 质点
系角动量的增量 ——质点系对固定点的 角
动量定理
2、质点系对轴的角动量定理
vi
ri
mi
?i
转动惯量 I
因有：
质点系的转动惯量
国际单位制中转动惯量的单位为千克 ·米 2（ kg·m2）
3,转动惯量的计算
与转动惯量有关的 因素,
?刚体的质量
?转轴的位臵
?刚体的形状
实质上与转动惯量有关的只
有前 两个因素 。形状即 质量分
布,与 转轴的位臵 结合决定转
轴到每个质元的矢径。
?
?
?
n
i
ii rmI
1
2 )(
单个质点的转动惯量
质量连续分布的
刚体的转动惯量 dmrI m?? 2
dldm ??
dsdm ??
dVdm ??
质量为线分布
质量为面分布
质量为体分布
其中 ?,?,?分别
为质量的线密度、
面密度和体密度。
线分布 体分布
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量
与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
面分布
例 1、求质量为 m,半径为 R的均匀圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解, ?? dmrI 2
I是可加的，所以若为薄圆筒
（不计厚度）结果相同。
RO
dm
注
意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
222 mRdmRdmR ??? ??
例 2、求质量为 m,半径为 R,厚为 l的均匀圆盘的转
动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为 r宽为 dr的薄圆环,
dVdm ??
drlrdmrdJ 32 2 ?? ???
Z
O
R
lRdrlrdII R 4
0
3
2
12 ???? ???? ??
可见，转动惯量与 l无关。所以，实心圆柱对其轴的
转动惯量也是 mR2/2。
2
2 2
1 mRI
lR
m ???
???
lr d r ??? ?? 2
例 3、求长为 L,质量为 m的均匀细棒对图中不同轴
的转动惯量。
A B
L X
A B
L/2 L/2
C
X
解：取如图坐标,dm=?dx
?? dmrI C 2
?? dmrI A 2
320 2 /mLdxxL ?? ? ?
1222
2
2 /mLdxx
L
L ?? ?? ?
平行轴定理
前例中 IC表示相对通过质心的轴的转动惯量,IA表
示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距
L/2。 可见：
222
2
3
1
4
1
12
1
2
mLmLmLLmII CA ????
?
??
?
?＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相
距为 d,刚体对其转动惯量为 I,则有,I＝ IC＋ md2。
这个结论称为 平行轴定理 。
3/2mLI A ? 12/2mLI C ?
右图所示刚体对经过棒
端且与棒垂直的轴的转动惯
量如何计算？ (棒长为 L,球
半径为 R）
2
1 3
1 LmI
LL ?
2
5
2 RmI
oo ?
2002002 )( RLmIdmII L ?????
222 )(
5
2
3
1 RLmRmLmI
ooL ????
Lm
Om
1、力对转轴的力矩
FrM z ??? ??
Z
2f
?
r? P
O
转动平面
1f
?
f?(2)Z
f?r?
Pd
O
zM
?
转动平面
(1)
?
方向如图 任意方向的力对转轴的力矩
?s inrFM z ?
?rFM z ???? FF s in
二、刚体的转动定律
如果有几个外力矩作用在刚体上
?? rd FdM
?? ? ??? r d FdMM积分得
力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作
用点到转轴 Z的距离的乘积。
?rFM z ?
2、刚体定轴转动的转动定律
?? IdtdIMn
i iz
???
? 1
刚体定轴转动的转动定律
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚
体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量
成反比。
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
dmdd afF ??? ??
和 为合外力和合内力Fd ? fd?
dmadfdF ??? ??
dmadfdF nnn ??
dmrr d fr d F ??? ?? 2
将切向分量式两边同
乘以 r,变换得
Z
M
df
dF
O r dFd
dm dF
n
转动平面
转动定律
?
?
?
?
?
?
?
?
z
分解为作用在质量元 dm上的
切向力 和 法向力,
Mr d Fr d fr d F ??? ?? ? ? ?? ? ??
对等式左边积分得到外力矩
0??? ?rd f其中，
角加速度对所有质量元都相等
于是有
所以
其中
写成矢量形式
dt
dIIM ?? ??? ??
m反映质点的 平动惯性, I反映刚体的 转动惯性
力矩 是使刚体 转动状态 发生 改变 而产生
角加速度 的原因。
M＝ I? 与 地位相当amF ?? ?
刚体绕定轴 Z的 转动惯量
(moment of inertia)
刚体定轴转动的转动定律的应用
例１,一个质量为 Ｍ,半径为Ｒ的
定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有
细绳，绳的一端固定在滑轮边上，
另一端挂一质量为 ｍ 的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体 ｍ 由静止下
落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角
速度。
mg
Mm
m g h
RR
v
?
??
2
41?
2
42
Mm
m g hahv
?
??
gM
m
ma
2?
?解方程得：
mg
解：
?RamaTmgm ???,对
2
2
1 MRIITRMM ＝＝＝：对 ??
转动动能与角动量的关系
I
LE
k 2
2
?
m
pE
k 2
2
?221 mvE k ?
三、定轴转动的动能定律
1、转动动能
22
1
222
1 2
1)(
2
1
2
1 ??? IrmrmE n
i
iii
n
i
ik ????? ??
??
2
2
1 ?IE
k ?
刚体绕定轴转动时 转动动能 等于刚体的 转动惯量
与 角速度 平方乘积的一半。
2、力矩的功 Z
M
df
dF
O r dFd
dm dF
n
转动平面
?
?
?
?
?
?
?
?
z
???? dMdrFdsFdA iiiiii ???
式中 iii FF ?? c o s?
iii rFM ??
对 i求和，得：
?? MddMdA i ?? ? )(
??
?
dMA ?? 2
1
力矩的功率为：
?? MdtdMdtdAP ???
当输出功率一定时,
力矩与角速度成反比。
3、刚体定轴转动的动能定理
当 θ=θ1时,ω=ω1 所以：
2
1
2
2 2
1
2
12
1
????
?
IIdM ???
合外力矩对定轴转动刚体所做的功
等于刚体转动动能的增量
刚体定轴转动的动能定理
例 2、一根长为 l,质量为 m的均匀细直棒，其一端
有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
动。最初棒静止在水平位臵，求它由此下摆 ?角时的
角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对 O的力矩。 棒
上取质元 dm,当棒处在下摆 ?
角时, 该质量元的重力对轴
的元力矩为
?O
gdm
dml dl??
dlglg d mldM c o sc o s ?? ??
重力对整个棒的合力矩为
??? c o sc o s m g LgL 212 2 ??
L
g
mL
m g L
I
M
2
c o s3
3
1
c o s
2
1
2
?
?
? ???
?? ? L dlgldMM 0 ?? c o s＝
?O
gdm
dml dl??
dlglg d mldM c o sc o s ?? ??
代入转动定律，可得
???????? ddIdtdddIdtdIIM ????
21 ?c o sm g lM ＝代入
???? dIdm g L ?c o s21
?? ? ?? ???? 00 c o s21 dIdm g L
2
2
1s i n
2
1 ?? Im g L ?
L
g
I
m g L ??? s i n3s i n ??
??? dIMd ?
2
3
1 mLI ?
012
0
2
1
?? ??
???? ?
? IILLLddtM
L
L
t
t
????? ??
外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于
角动量的增量。
0?M?
12 LL
?? ?
四、刚体组对轴的角动量守恒定律
?? ?? II ?
外力对某轴的力矩之和为零，则
该物体对同一轴的角动量守恒
对轴的角动
量守恒定律
角动量守恒定律的两种情况：
1,转动惯量保持不变 的刚体
000 ???? ????
? ??? 则时，当,IIM 例：回转仪
2,转动惯量可变 的物体
保持不变就增大，从而减小时，当
就减小；增大时，当
??
?
??
?
II
I
例：旋转的舞蹈演员
刚体 转动 定 律的 另一种形式
dt
dIIM ?? ??? ??
dt
Ld
dt
JdM
???
?? )( ?
dt
LdM
??
?
刚体 所受的外力矩等于刚体
角动量对时间的变化率。
*2-7 混沌
混沌 (chaos)理论
是非线性理论中一个最为活跃的一个研究领域。
决定性动力学系统的内禀随机行为。
决定论的混乱。
混沌系统 定义为敏感地依赖于初始条件的内在
变化的系统。
初始条件的极小差异，会导致系统完全不同的结果，
只要时间充分的长。
讨论
?混沌系统的敏感依赖性是系统自身所具有的，
不是外界施加的。
?对于外来变化的敏感性本身并不味着混沌
?看似随机、不可预报的事件，事实上是按照
严格且经常是易于表述的规律运动着。
庞加莱三体运动的混沌现象
对太阳系统行星运动轨道的研究。
希尔的三个简化：
1、三个天体中质量最小的对另外两个天体的
影响可以忽略。
2、较大的两个天体围绕它们共同的质心作椭
圆运动（两个天体相对距离不变）。
3、三体在一个平面运动。
初始状态,将坐标系固定在两个较大的天体上,x
轴与两者的连线平行,y轴垂直于连线，问题简化
为最小的天体在两个有心力场作用下的运动。
两个大天体可完全不必理会小天体产生的引力对它
们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐。
小天体的运动会是怎样的呢？
在相空间的截面上发现，小天体的运动竟是没完没了
的自我缠结，密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。
? ?
这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动
都会使小天体的轨道在一段时间后有显著的偏离。
因此这样的运动在一段时间后是不可预测的。
气象变化的蝴蝶效应
模拟气候变化：
建立一组非线性微分方程，给定初值进行迭代
惊人结果,初值微小差异，会导致结果巨大变化
长期的天气预报是不可能的。
蝴蝶效应
混沌的定性特征
1、内随机性
随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态
既可能出现，也可能不出现。
系统自身不会出现随机性，随机性来
自系统外部或某些尚不清楚的原因的
干扰作用。
外随机性
内随机性 看来完全确定的系统 (用确定的微
分方程描述 )内部产生的随机性。
混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。
产生混沌的系统
整体稳定性 局部不稳定性
系统受到微小扰动后保
持原状态的属性或能力
系统运动的某些方面的行
为强烈地依赖于初始条件
系统的存在是以结构与
性能相对稳定为前提的。 系统进化的基础
由 Lorentz 在气象研究中发现的对初始条件的敏
感依赖性，可以形象地比喻为仅仅由于几千公里以外
的一只蝴蝶翅膀的小小扇动，就有可能使得气象学家
无法预测一个月以后的天气情况。
2、分维性质
混沌态非整数维不是用来描述系统的几何外形，
而是 用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。
3、普适性和 Feigenbaum 常数
混沌是一种无周期性的“高级”有序运动，可
以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。
在趋向混沌时所表现出来的共同特征，不依
具体的系数以及系统的运动方程而变。
普适性 -----
Feigenbaum常数 -----
反映了系统在趋向混沌时的一种普遍的动态不
变性。在趋向混沌时，把标尺缩小或放大，看到的
仍然是相似的“几何结构”。
常见的混沌现象
1、天体力学中的地球上流星的起源问题
太阳系的小行星大部分存在与火星与木星之间，
因此地球上的 流星也只能起源于这个小行星带。但
是这个小行星带离地球很远，只有偏心率达到 57%
的小行星的轨道才能与地球轨道相交。
考虑非共面效应和木星轨道平面相对于行星带的缓
慢变化，发现混沌运动确实可以使偏心率达到 60%。
Wisdom通过具体计算，能够给出与观察一致的流
星轨道与丰度，特别是所谓的“下午效应” (即下
午观察到的流星是上午的两倍 )。
2、地磁场的混沌运动
地球的磁场不断地改换极性，而且每种极性维
持的时间间隔是无规则的，这可能是由于地球内部
物质与电荷的经向与纬向的两种运动耦合产生的。
两个方向的运动及两个方向磁场的相互作用会产生
混沌运动。
3、生理学中的“反”混沌 ------动态病
传统生理学认为，健康人的心率是规则的，具
有周期性。然而更为精确的测量与研究发现，心律
节奏与时间的变化是极不规则的，即心率在时间上
是 混沌 的。
并不指混乱不堪无规可循，而是确定性系统的
内在随机性的表现，是一种无周期的有序。
动态病 ----以异常时间组织结构为特征的疾病
动态病的出现不在于人体中的“混沌”，而恰恰在
于出现了“周期性”。 ------“反混沌”
正常个体身上各个主要系统中的各种节律之间
有着错综复杂的相互关系，这些节律极少表现出绝
对的周期性。
结论 体内功能的混沌标志着健康，而周期性行为却可能预示着疾病。
?正是由于混沌系统可在范围十分广泛的各种
条件下工作，它们具有高度的适应性和灵活性，
可使系统应付多变环境中出现的种种突变。
?若系统表现为周期运动，那么系统就只有很
少的运动模式，无法应付多变的环境中所出现的
种种突变，这会导致系统损伤和功能失调。
*2-8 对称性与守恒定律
问题的提出
守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。
对称性是统治物理规律的规律。
守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？
经典力学理论的局限性
守恒定律的普适性
宏观
低速
宏观、微观、低速、高速
一、系统的对称性概述
1、系统
孤立系统 封闭系统 开放系统
系 统 外 界
物质世界
状态量
状态量与系统经历的过程无关。
状态量是系统自身所具有的物理量，与外界无关。
过程量
过程量与系统自身没有必然的联系，
过程量是由外界对系统过程产生作用的物理量。
外力
内力
·
·
·
·
·
·
·
·
i
j
Fi fi j
fj i
?
?
?
n
i
iFF
1
??
jiij ff
?? ??
动量、角动量、能量
冲量、功
0?? f?
作用在系统上
的合力 FF ?? ?合
2、关于对称性
定义,某一研究对象 (体系、事物 ;物理规律 )
对其状态进行 某种操作,使其状态由 A到 B。若
两状态 等价 (相同 )，就说该研究对象 对该操作
具有对称性。
例 对中心对称
操作
绕中心旋
任意角
状态 A 状态 B
状态 A与状态 B相同或等价
? 对称性破缺
3、几种对称操作
A、空间对称操作 --- 空间变换
1)平移 2)旋转 3)镜象反射 4)空间反演
B、时间变换
1)时间平移 2)时间反演
C、时空联合操作
伽利略变换 --- 力学定律具有不变性
洛仑兹变换 ---物理定律具有不变性
物理矢量的镜面反射
极矢量 轴矢量
M M
r??r???
???r
?
??r?
????r
?
???r?
平行于镜面的分
量方向相同，
垂直于镜面的分
量方向相反。
?????
??
?
???
?
????
?????
平行于镜面的分
量方向相反，
垂直于镜面的分
量方向相同。Fav ??? ML ??
时间反演
(t → -t)
相当于时间倒流
物理上,运动方向反向
即, 速度对时间反演变号
牛顿第二定律
对保守系统 --
时间反演不变
如 无阻尼的单摆
武打片 动作的真实性
紧身衣 大袍
非保守系统
不具有时间
反演不变性
不真实真实
阴阳图
联合操作
二、空间平移对称性与动量守恒
空间平移对称性 意味着空间的均匀性，表示系统势
函数与位置无关，这将导致 动量守恒 。
? ? ? ?xxExE PP ???
恒量?? 21 pp
? ? ? ? 0?????? xExxEE PPp
0)(
2121
??
?
??
?
???
?
???
?
??? x
x
E
x
Ex
x
Ex
x
EE PPPP
p
讨论一维情况：
0
21
?
?
??
?
?
x
E
x
E PP
21
1
FxE P ????
12
2
FxE P ????
01221 ?? FF ??
m2对 m1的作用力
m1对 m2的作用力
如果系统对于空间 某一方向平移是对称的,
那么系统 在这个方向上的动量守恒 。
dt
vmdF )( 11
21
??
? dt vmdF )( 2212
??
?
0)( 2211 ??
dt
vmvmd ?? 常数?? )(
2211 vmvm
??
推广, 如果系统对于空间任意方向平移是对称的，
那么系统动量守恒。
0?? iF? 恒矢量?? ?
n
i
ii vmp
??
所有速度是对同一个坐标系而言的。
dt
pdF ?? ?由力和动量的关系
例 用空间平移对称性证明牛顿第三定律
设质点由两个质点 A,B组成，在没有外力作用
的条件下，它们的相互作用势能用 U表示。
A
B
A? r?? A
B
B?
r???rfU BA ?
? ?? ???
)( rfU AB ?? ?? ?????
UU ?? ??
ABBA ff
?? ??
三、时间平移对称性与机械能守恒律
时间平移的对称性 意味着时间的均匀性，表示系统
的势函数与时间无关，这将导致 能量守恒 。
讨论一维情况,? ? ),(,txEttxE
pP ???
对两个粒子的保守系统有：
? ? ),,(,,2121 txxEttxxE pP ???
用泰勒级数展开
? ? 高次项???????? ttEtxxEttxxE PpP ),,(,,2121
0??? tE P上式中必有：
考虑动能和势能可推导出
0?
dt
dE P 常数?E
如果系统对于时间平移是对称的，那么系统
的能量一定守恒。 ——能量守恒定律
? ? 高次项???????? ttEtxxEttxxE PpP ),,(,,2121
系统的能量不再守恒，原因表现在两个方面：
1) 存在耗散力的作用 2)存在外力作用
对于机械系统，表现为：
系统内部存在非保守力，
外部有不为零的合外力对系统作功
00 ?? 非保内外如果 WW
恒量则 ???? 2211 pkpk EEEE
——机械能守恒定律
四、空间旋转对称性与角动量守恒
x
E
t
xm p
?
???
?
?
2
2
y
E
t
ym p
?
???
?
?
2
2
z
E
t
zm p
?
???
?
?
2
2
直角坐标系中
牛顿定律为：
Pr?
?
?
x
y
z
o
?? c o ss i nrx ?
?? s i ns i nry ?
?c o srz ?
z
P L
t
E
?
???
?
?
?
Ep具有旋转不变性，即与 φ无关
对称性破缺,对称性遭到破坏必然导致对应的
守恒关系不成立。
0??? ?PE 0??? zLt 常量?zL
空间旋转对称性 意味着空间旋转一个角度，系
统势函数保持不变，必然导致 角动量守恒 。
物理学中既有对称也有对称性的破缺。
整个大自然就是这种基本上对称而又不完全对称的
和谐统一。
