第四篇
电 磁 学
电能是应用最广泛的能源；
电磁波的传播实现了信息传递；
电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系；
电磁学的研究在理论方面也很重要。
1905年爱因斯坦建立
狭义相对论
1865年麦克斯韦提出
电磁场理论
1820年
奥斯特发现
电流对磁针的作用
公元前 600年 1831年
法拉第发现
电磁感应
古希腊泰勒斯
第一次记载电现象
静电场 ----相对于观察者静止的电荷产生的电场
稳恒电场 —不随时间改变的电荷分布产生不随时间
改变的电场
两个物理量, 场强、电势；
一个实验规律, 库仑定律；
两个定理, 高斯定理、环流定理
电荷守恒定律, 在一个孤立系统内发生的过程中，
正负电荷的代数和保持不变。
电荷的 量子化效应, Q=Ne
8-1 电场 电场强度
一、电荷
电荷的 种类,正电荷、负电荷
电荷的 性质：同号相吸、异号相斥
电量,电荷的多少 单位,库仑 符号, C
二、库仑定律
02
21
1221 rr
qqkFF ??? ???
真空中两个静止的点电荷之间的作用力 （ 静电力 ），
与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平
方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。
1q 2qror?
04
1
??
?k
——真空介电常数。
or
? ——单位矢量，由 施力物体指向受力物体 。
——电荷 q1作用于电荷 q2的力。
21F
?
0?
229
0
21212
0
109
4
1
10858
?
???
???
??
CNmk
mNC
??
?,
讨论
库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。
(a)q1和 q2同性，则 q1 q2>0,和 同向，
方程说明 1排斥 2
21F
?
0r
?
12F
?
21F
?0r
?
00
00
21
21
??
??
qq
qq 斥力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF ??
??
?
(b)q1和 q2异性，则 q1 q2<0,和 反向，
方程说明 1吸引 2
21F
?
0r
?
12F
?
21F
?
0r
?
00
00
21
21
??
??
qq
qq 引力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF ??
??
?
r
r
qqr
r
qqF ???
3
21
0
02
21
0 4
1
4
1
????
??
注意：只适用两
个点电荷之间
数学表达式
离散状态 ?
?
?
N
i
iFF
1
??
02
04
i
i
i
i rr
qqF ??
??
?
连续分布 ?? FdF ?? 02
04
rrqd qFd ?
?
???
1q
2q
1F
?
q
10r
?
20r
?
2F
?
F?
静电力的叠加原理
作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独
存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
所以库仑力与万有引力数值之比为 391032 ??,
G
E FF
牛）(102.84 82
0
2 ????
ReF E ??
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
NRG m MF G 472 1063 ????,
电子与质子之间的万有引力为
例,在氢原子中，电子与质子的距离为 5.3?10-11米，试求
静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。
忽略！
解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的 105倍，
因而可将电子、质子看成点电荷。
三、电场强度
电场 ★ 叠加性
★ 研究方法：
能法 —引入电势 u
E?力法 —引入场强
★ 对外表现,a.对电荷（带电体）施加作用力
b.电场力对电荷（带电体）作功
电场强度
0q
FE
??
?
场源
电荷
试验
电荷
q
0q
F?
),,( zyxEE ?? ?
电场电荷 电荷
1.由 是否能说,与 成正比，与 成反比？
0q
FE
??
? E? F? 0q
Q
?
?
?
?
?
?
??
??
?
? q
P
?
?
?
?
? ??
?
Q
0E
?
?
?
?
P
?
0Eq
F ?
讨论
2.一总电量为 Q>0的金属球，在它附近 P点产生的场强
为 。将一点电荷 q>0引入 P点，测得 q实际受力 与
q之比为,是大于、小于、还是等于 P点的
0E
0E F
qF
1q
2q
P
四、场强叠加原理
点电荷系
连续带电体
10r?
1E
?
E?2E?
20r?
P
dq Ed
?
0r
?
?? ??? ii Eq FqFE
?
??
?
00
?? EdE ??
?
?
?
N
i
iFF
1
??
1,点电荷的电场
五、电场强度的计算
02
0
04
1 r
r
qqF ??
??
? 0
2
00 4
1 r
r
q
q
FE ?
??
??
??
02
04
1 r
r
qE ??
??
?
)( 0?q P
0r
?
? E?
0r
?
)( 0?q PE?
2,点电荷系的电场
设真空中有 n个点电荷 q1,q2,… qn，则 P点场强
02
04
1
i
i
i
i
i
i
r
r
qEE ???
??
????
iziziyiyixix EEEEEE ??????,,
场强在坐标轴上的投影
kEjEiEE zyx ????? ???
例 1,电偶极子
如图已知,q,-q、
r>>l，
电偶极矩 lqp ?? ?
求,A点及 B点的场强
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
??
??
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
?
??
??
解,A点 设 +q和 -q 的场强 分别为 和?E? ?E?
?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
i
r
l
r
l
r
qr l
i
l
r
q
l
r
q
E
A
?
??
224
0
22
0
)
2
1()
2
1(4
2
)
2
()
2
(
4
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
3
0
3
0
2
4
1
2
4
1
r
p
i
r
ql
E
A
?
??
??
??
?
?
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
??
??
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
?
??
??
?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
)4(4
1
22
0 lr
qEE
??? ?? ??
xxxx EEEE ??? ??? 2 4
2
22 lr
l
?
??c os
??? ? c o s2 E
0??? ?? yyy EEE
对 B点：
2
3
2
20
4
4
1
2
)(
c os
l
r
ql
E
B
?
?
?
?
??
?
3
04
1
r
p
???
3
04
1
r
pE
B
??
??
??
?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
3
0
2
4
1
r
pE
A
??
??
?
结论
3
1
r
E ?
3
04
1
r
pE
B
??
??
?? ?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
pE ??
3,连续带电体的电场
0
04
rdqEd ?
?
??
? ? 0
2
04
1 r
r
dqEdE ???
???????
??? ??? zzyyxx dEEdEEdEE
kEjEiEE zyx ???? ???
电荷元随不同的电荷分布应表达为
体电荷 dVdq ??
面电荷 dSdq ??
线电荷 ldqd ??
例 2 求一均匀带电直线在 O点的电场。
已知,q, a, ?1,?2,?。
解题步骤
1,选电荷元 ldqd ??
2
04
1
r
lddE ?
??
?
???? s i nc o s dEdEdEdE yx
5,选择积分变量
一个变量是变量，而线积分只要、,lr ?
4,建立坐标，将 投影到坐标轴上Ed?
2.确定 的方向Ed?
3.确定 的大小Ed?
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
选 θ作为积分变量
??????? a c t ga c t gl )(
???? dald 2c s c
??
???
??
22
222
222
c s ca
c t gaa
lar
???? c o s2
04
1
r
dldE
x ?
?
?
??
??
?? c o s
c s c
c s c
4 22
2
0 a
da
??
??
?? d
a
c o s
4 0
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
??
??
????
??
? d
ar
dldE
y s i n4s i n4
1
0
2
0
?
?
?
??
??? 2
1 0
4
?
?
??
??
? d
a
dEE xx c o s
)s in( s in 12
04
????? ?? a
? ?????
2
1 0
4
?
?
??
??
? d
a
dEE yy s i n
)c o s( c o s 21
04
????? ?? a
22
yx EEE ??
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
)E/E(a r c t g xy
当直线长度
?
?
?
?
?
???
??
?
2
1 00,aL 或
0?xE
无限长均匀带
电直线的场强 aE
02 ??
?
?
当 EE
y
?,0,0 ??? 方向垂直带电导体向外，
当 EE
y
?,0,0 ??? 方向垂直带电导体向里。
讨论
)s in( s in 12
04
????? ?? aE x )c o s( c o s 21
04
????? ?? aE y
a
EE y
02 ??
???
课堂练习
求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q,L,a
2
04 )xaL(
dqdE
??
?
??
? ???
L
)xaL(
dxE
0
2
04 ??
?
)(
aLa ?
?? 11
4 0??
?
a
P
L X
O
x dx
Ed?
)()( aLa
q
aLaL
qL
?
?
?
?
00 44 ????
例 3 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知,q, a, x。
dl
a
q
dldq
?
?
2
?
?
idEEd ?? ?// kdEjdEEd zy ??? ???
2
04 r
dqdE
??
?
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
?
?Ed
? Ed?
当 dq位置发生变化时，它所激发的电场
矢量构成了一个圆锥面。
由对称性
a
,y
z
x
dq
Ed?
0?? zy EE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
?
?Ed
? Ed?
?
? ?c o s
//
Ed
EdE
?
?
2122 )(
c o s
xar
rx
??
??
?
???
?
c os2
2
0 24
1
r
ld
a
q
E
a
??
??
?
??
c o s2
04
1
r
q?
2322
04
1
)( xa
qx
?
?
??
i
)ax(
xqE ??
2
322
04 ?
?
??
讨论 （ 1） 当 的方向沿 x轴正向
当 的方向沿 x轴负向Eq ?，0?
Eq ?，0?
（ 2） 当 x=0,即在圆环中心处,0?E?
当 x?? 0?E?
i
)ax(
xq
E
??
2
322
04 ?
?
??
2
ax ?
时0?dxdE 23
2
2
0
2
4
2
)
a
a(
q
a
EE m a x
?
??
??
（ 3） 当 时，ax ?? 222 xax ??
2
04
1
x
qE
??
?
这时可以 把带电圆环看作一个点电荷
这正反映了 点电荷概念的相对性
i
)ax(
xq
E
??
2
322
04 ?
?
??
1.求均匀带电半圆环圆心处的,已知 R,?E?
2
04 R
dqdE
???
电荷元 dq产生的场
根据对称性 ? ? 0
ydE
? ? ????
?
?
??
???
0
2
04
s i n
R
Rds i ndEdEE
x
?
?
??
?
0
2
04
)c o s( ??
R R02??
??
课堂练习：
o
R X
Y
? ?d
?
dq
Ed?
O X
Y
?R
2
04 R
dldE
??
??
? ??? ???? cosRdldEE y 2
04
224
2
0
2
0
2
0
?
??
?
?
??
??
?
s i n
c o s
R
d
R
R
?? ?
取电荷元 dq则
? ? 0xdE由对称性
方向：沿 Y轴负向
?
dl
?d
Ed?
2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 ?,?,R
例 4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知,q,R,x 求,Ep
解：细圆环所带电量为
22 R
qr d rdq
???? ??由上题结论知：
2322
04
1
)( xr
xdqdE
?? ??
2322
04
2
)( xr
r d rx
?
?
??
??
23220
0 )(2 xr
r d rxdEE R
?? ?
??
?? )1(2 22
0 xR
x
?
???
R r
Pxdr
22 xr ?
Ed?
讨论
1,当 R>>x
（无限大均匀带电平面的场强）
0?? 0??
)
xR
x(E
220
1
2 ?
??
?
?
02?
??E
2
1
2
2
22
)1(
?
??
? x
R
xR
x ????????? 2)(
2
11
)1(
2 220 xR
xE
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
?????????? 2
0
)(
2
111(
2 x
R
?
?
2
04 x
q
??
?
)
xR
x(E
220
1
2 ?
??
?
?
2,当 R<<x
例 5,两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度
为 ??,计算场强分布。 ?? ??
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
?E
? 002
2 ???? ???? ?? EEE两板之间：
两板之外,E=0
六．带电体在外电场中所受的力
EqF ?? ?
课堂讨论,如图已知 ?q,d,S
求两板间的所用力
q? q?
d
S
qqf
0
2
0 22 ??
? ??
解：由场强叠加原理
2
0
2
4 d
qf
??
?
?? dqEF ??
例 6 计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩
,qlp ??已知 E?
qEF ???
qEF ???
q?
E?
q?
?o
0??? ?? FFF ???
解：合力
??? s i ns i n2s i n2 q l ElFlFM ??? ??
合力矩
EpM ??? ??将上式写为矢量式
力矩总是使电矩 转向 的方向，以达到稳定状态p? E?
可见,力矩最大； 力矩最小。Ep ?? ? Ep ?? //
在电场中画一组曲线，
曲线上每一点的切线方向
与该点的电场方向一致，
这一组曲线称为 电力线 。
E?
dS
E?
通过无限小面元 dS的 电
力线数目 d?e与 dS的比值
称为电力线密度。我们规
定 电场中某点的场强的大
小等于该点的电力线密度
一、电场的图示法电力线
8-2 电通量 高斯定理
?
??
dS
dE e
E?
cE?
大小：
E?
方向, 切线方向
=电力线密度
电力线性质：
b c
aE?
bE?
a
2、任何两条电力线不相交。
1、不闭合，不中断起于正电荷、止于负电荷；
总结：
?
??
dS
dE e
点电荷的电力线
正电荷负电荷
+
+
一对等量异号电荷的电力线
一对等量正点电荷的电力线
+ +
一对异号不等量点电荷的电力线
2q q+
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
二、电通量
通过电场中某一面的电力线数称为 通过该面的电通量 。
用 ?e表示。
ESe ??
S
E?
均匀电场
S与电场强度方向垂直
?
S n?
? E?
SEESe ?? ??? ?? c o s
均匀电场,S 法线方向 与
电场强度方向成 ?角
??? Ed Sd e
? ??
S
dSE c o s
?? cosE d S
SdE ?? ??
? ???
S ee
d
? ? ????
S S
dSnESdE ????
电场不均匀,S为任意曲面
S为任意闭合曲面
?? ??? SSe SdEdSE ???? c o s
规定,法线的正方向为指向
闭合曲面的外侧。
kSjSiSSkEjEiEE zyxzyx ???????? ??????????
zzyyxxe SESESESE ??????????
??
解,（ 1）
（ 2）
222
zyxee EEEES ??????? ?
例,在均匀电场中，
kcNjcNicNE ???? )390()160()240( ?????
通过平面 k)m.(j)m.(i)m.(S ???? 222 422411 ?????
的电通量是多少？
E?
S?? 在垂直于 的平面上
的投影是多少?
求均匀电场中一半球面的电通量 。
E?
R
O
n?
n?
n?
n?
1S
2S
? ?? 11 SS SdE ???
2SE ??
2
1 RES ?? ?
课堂练习
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲
面 S的电通量 ?e,等于该闭合曲面所包围的电荷电
量的代数和除以 ?0 而与闭合曲面外的电荷无关。
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
?
?
??
1,高斯定理的引出
(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
r+
q
E?
Sd?
? ?? Se SdE ???
? ?? S Sdrrq ??02
04 ??
?? SdSrq 2
04 ??
0
2
2
0
44 ???? qrrq ???
与球面半径无关，即以点电荷 q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
讨论：
c、若封闭面不是球面，
积分值不变。
00,??? eqa ?
电量为 q的正电荷有 q/?0条电
力线由它发出伸向无穷远
电量为 q的负电荷有 q/?0
条电力线终止于它
00 ??? eq ?
+ q
b、若 q不位于球面中心，
积分值不变。
0?
qSdE
s
???
??
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线
从面内出来。
0?e? 0??? ?
s
SdE
??
(3) 场源电荷为点电荷系 (或电荷连续分布的带电体 )，
高斯面为任意闭合曲面
nEEEE
????? ????
21
?
?
?????
n
i
eienee
1
21 ???? ?
? ?? Se SdE ???
?? ? ?????????????
s
n
s S
SdESdESdE ?????? 21
?? ??? 内qSdESe
0
1
?
?
??
3,高斯定理的理解
a,是闭合面各面元处的电场强度,是由全部电
荷（ 面内外电荷 ）共同产生的矢量和，而过曲面的
通量由曲面内的电荷决定。
E?
因为曲面外的电荷（如 ）对闭
合曲面提供的通量有正有负才导致
对整个闭合曲面贡献的通量为 0。
4q
1q
2q
3q
4q
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
??
??
b, 对连续带电体，高斯定理为
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,
所以 正电荷是静电场的源头 。
静电场是 有源场
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以 负电荷是静电场的尾 。
? ??? dqSdE
0
1
?
??
00 ???? eiq.c ?
00 ???? eiq ?
四、高斯定理的应用
1, 利用 高斯定理求某些电通量
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
?
?
??
0?? iq? 0???? ? SdESe ???
021 ?? SS ??
021 ??? )RE(S ??
2
1 RES ?? ?
例：设均匀电场 和半径 R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
E
步骤：
1.对称性分析，确定 E? 的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及 ? iq
3.利用高斯定理求解
当场源分布具有高度对称性时求场强分布2.
解, 对称性分析 E? 具有球对称 作高斯面 ——球面
Rr ?
电通量
电量 ? ? 0
iq
用高斯定理求解
04 21 ?rE ? 01 ?? E
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
+ +
q
E?
r
例 1,均匀带电球面的电场。 已知 R,q>0
2
11
1
4
1
rEdSE
SdE
s
e
?
?
??
??
?
?
??
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
r
q
Rr ?
? ? qq i 022 4 ?? qrE ?
2
0
2 4 r
qE
??
?
E?
2
222 4
2
rESdESdE
s
e ?? ???? ? ?
???
E
2
04 R
q
??
2
1
r
r
RO
O
R
q
解,r<R
? ? 3
3 3
4
3
4
r
R
q
q i ?
?
3
3
0
2 14
R
qrrE
?
? ?
场强
3
04 R
qrE
??
?
例 2,均匀带电球体的电场。 已知 q,R
r
E?
高斯面
? ??? 24 rESdEe ?? ??
R
r
高斯面
E?
r>R
电量 ? ? qq i
高斯定理
0
24 ?? qrE ?
场强
2
04 r
q
E
??
?
? ??? 24 rESdEe ?? ??
电通量
均匀带电球体电场强度分布曲线
ε
R
O
E?
O
r
E
R
2
04 R
q
??
E?
2S
σ
高
斯
面
解, E? 具有面对称 高斯面,柱面
SESES ?
?
????
0
21
10
SES ?
? 0
12 ?
02 ?
?
?? E
例 3,均匀带电无限大平面的电场,已知 ?
E?
S
1S侧S
? ? ? ? ????????
1 2S S S
e SdESdESdESdE
侧
????????
?
? ? 0iq
0?E
高
斯
面
l
r
E?
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面
例 4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为 ?
? ? ?? ????????
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
????????
?
(1) r <R
rl2Erl2E00 ??????
(2) r >R
? ? ?? Rlq i 2
0?
?
r
RE ?
r
E
02 ??
??
高
斯
面
lr
E?
? ? ?? ????????
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
????????
?
rl2E ??
令 ???? R2
位于中 心
q 过每一面的通量
课堂讨论
● q
1,立方体边长 a，求
位于一顶点
● q
1q?
2q?
移动两电荷对场强及通量的影响
2,如图 讨论
06?
? qe ?
??
?
?
?
?
??
024
0
q
e
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R,?
2
02 R
r
??
?
?E
Rr ?
Rr ?
r02??
?
0
2
?
?? lrlE ?
Rr ?
Rr ?
lr
R
rlE 22
0
2 ?
??
???
8-3 电场力的功 电势
r
drr ?
c
ld?
c?
E?
?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA ?c o s00 ????? ????
drdl ??c o s其中
???
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则
与路径无关
?q
ar
br
dr
? ???
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0 ????
一．电场力做功
推广 ? ????? b
a
nab ld)EEE(qA
??
??
??
210
? ? ? ??????
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
??
??
????
02010
? ??????
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21 ????
(与路径无关 )
结论
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做
的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
? ? ?????
a cb adb
ldEqldEq 000 ????
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00 ?q? ? ??? 0ldE ??
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
? ? ? ??????
a c b bda
ldEqldEqldEqA ?????? 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理
静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
b点电势能 bW
则 a?b电场力的功 ? ?? b
a
ab ldEqA
??
0 ba WW ??
0??W取 ?
?
? ???
a
aa ldEqAW
??
0
E?Wa属于 q0及 系统
试验电荷 处于0q
a点电势能
aW
a
b
注意
三、电势能
保守力的功 =相应势能的减少
所以 静电力的功 =静电势能增量的负值
?
?
???
a
a
a ldEq
Wu ??
0
定义 电势差 电场中任意两点 的
电势之差（电压）
ba uu ?
? ?
? ?
??????
a b
baab ldEldEuuu
????
? ??
b
a
ldE
??
?
?
??
a
a ldEqW
??
0
四、电势 电势差
单位正电荷在该点
所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远
点 (电势零 )电场力所作的功
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移
到 b时，电场力所做的功。
定义 电势
将电荷 q从 a?b电场力的功
? ??
b
a
ldEq
??
0baab WWA ?? )(0 ba uuq ??
注意
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
3、电势零点的选择。
1,点电荷电场中的电势
r
?q P?0r
?
如图 P点的场强为 02
04
rrqE ?
?
???
? ?
? ?
????
P r
P r
qdr
r
qldEu
0
2
0 44 ????
??由电势定义得
讨论
对称性
大小
以 q为球心的同一球面上的点电势相等
最小ururuq ?????? 00
最大ururuq ?????? 00
五、电势的计算
根据电场叠加原理场中任一点的
2、电势叠加原理
若场源为 q1,q2 ??qn的点电荷系
场强
电势
nE.,,.,,,EEE
???? ????
21
? ?
? ?
???????
P P
n ldEEEldEu
??
?
????
)( 21
?
?
?????
n
i
in uu..,..,uu
1
21
各点电荷单独存在时在该点电势的 代数和
? ??
? ??
???????
P P
n
P
ldE.......ldEldE
??????
21
由电势叠加原理,P的电势为
点电荷系的电势
?? ??
i
i
i r
quu
04 ??
? ??? rdqduu
04 ??
连续带电体的电势
由电势叠加原理
dq P?r
1r
?1q
?2q
nq?
P2r
nr
?根据已知的场强分布，按定义计算
?由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
?
?
??
P
P ldEu
??
电势计算的两种 方法,
例 1, 求电偶极子电场中任一点 P的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
?
),( yxP?
210
12
2010
21 4
)(
44 rr
rrq
r
q
r
quuu
P ??????
??????
由叠加原理
lr ??? ?c o s12 lrr ?? 221 rrr ?
2
0
c o s
4 r
lqu ?
??
??
222 yxr ??
22
c o s
yx
x
?
??
其中
2
3
220 )(4
1
yx
pxu
?
?
??
V
r
qu 2
0
1 108.28
4
4 ???
??
r
O
2q1q
4q 3q
课堂练习,已知正方形顶点有四个等量的电点荷
r=5cm
C9100.4 ??
① 求
② 将
③ 求该过程中电势能的改变
ou
cq 90 100.1 ??? 从 ? 0 电场力所作的功
JquuqA 720000 108.28)108.280()( ??? ????????
电势能 0108.28 7
00 ?????? ??? WWA
X
Y
Z
O
? ?
?
?
?
?
? ?
?
R
dl
r
?
Px
例 2,求均匀带电圆环轴线
上的电势分布。已知,R,q
解,方法一 微元法
r
dqdu
04 ??
?
r
dl
04??
??
? ? ???
R
P r
R
r
dlduu ?
??
??
??
?2
0 00 4
2
4
22
04 xR
q
?
?
??
方法二 定义法
由电场强度的分布
2
322
0 )(4 Rx
qxE
?
?
??
? ?
? ?
?
??
p px x Rx
q x d xE d xu
2
322
0 )(4 ??
l
?
?d
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
解, 方法一 叠加法 (微元法 )
任一圆环 ??? RdRdS s i n2? ????? dRdSdq s i n2 2??
l
dR
l
dqdu ????
????
s i n2
4
1
4
2
00
??
l
dq
08
s in
??
???
?? drRl d l s i n22 ?
rR
qdldu
08 ??
?
?c o s2222 RrrRl ???由图 ??
?
??
Rr
Rr r
q
rR
q dlu
00 48 ????
Rr?
Rr?
?
?
?
??
rR
rR R
q
rR
q dlu
00 48 ????
O
R
P
r
方法二 定义法
Rr?Rr?
由高斯定理求出场强分布
Rr?
Rr?
?E
2
04 r
q
??
0
?
?
??
P
ldEu
??由定义
? ?
?
????
R
r R
ldEldEu
????
?
?
??
R
dr
r
q
2
04
0
??
R
q
04??
?
?
?
?
r
drrqu 2
04 ??
r
q
04??
?
l
?
?d
O
R
P
r
课堂练习, 1.求等量异号的同心带电球面的电势差
已知 +q, -q,RA, RB
?
AR
BR
q?q?解, 由高斯定理
ARr ? BRr ?
2
04 r
q
?? BA RrR ??
?E
0
由电势差定义
BAAB uuu ?? ? ? ?????
B
A
R
R BA
B
A
RR
qdr
r
qldE )11(
44 020 ????
??
① 求单位正电荷沿 odc 移至 c,电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功?
2.如图已知 +q, -q,R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
quuA
cooc ????
??????
R
q
06??
?
0??? ?? oO uuA
功、电势差、电势能之间的关系
? ??????
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
??
讨
论 ba uu ?
ba uu ?
2,0?
abA ba WW ?
则
则0?q
0?q
１, 0?abA ba WW ?
0?q 则
0?q 则
ba uu ?
ba uu ?
8-4 场强与电势的关系
一,等势面
等势面, 电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面
等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
a
b
u
0)( ??? baab uuqA
2
?? ??
ba uu ??
★ 令 q在面上有元位移 ld?
0c o s ???? dlqEldEqdA ???
0)( ????? dcdccd uuqWWA
★ 沿电力线移动 q? c d E?
dc uu ??
★ a,b为等势面上任意两点移动 q,从 a到 b
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等
课堂练习,由等势面确定 a,b点的场强大小和方向
1u
2u
3u
a
b
03221 ???? uuuu已知 aE? bE
?
E?
a b
ld?
n?
?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE ????? ???
dudlE ???c o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l ??
dl
duE
l ??
电场强度沿某
一方向的分量
沿该方向电势的
变化率的负值
),,( zyxuu ?一般
x
uE
x ?
???
y
uE
y ?
???
z
uE
z ?
???所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx ???? ????
)( kzujyuixu
???
?
??
?
??
?
???
ug r a d uE ?????? ?
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE ?? ??
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿
等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方
向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电
细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
?
?? ??解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x ??
???
?
????
??
2
322
0 )(4
1
xR
qx
?
?
??
0?? zy EE
iEE x ?? ? i
xR
qx ?
2
322
0 )(4
1
?
?
??
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强
解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
?
??
??
(xxuE x ???????? )
)(4
1
2
322
0 yx
px
???
(yyuE y ???????? )
)(4
1
2
322
0 yx
px
???
l?
q?
r
x
y
?
?
q?
B?
O ?
A
l
?
iypE
??
3
04 ??
??B点 (x=0)
ixpE
??
3
02 ??
?A点 (y=0)
一
、
导
体
的
静
电
平
衡
无外电场时
8-5 静电场中的导体和电介质
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体达到静平衡
E外E
感
0??? 感外内 EEE ???
感应电荷感应电荷
⑴ 导体内部任意点的场强为零。
⑵ 导体表面附近的场强方向处处
与表面垂直。
等势体
等势面
? ???
b
a
ba ldEuu
??
0?内E??
? ? ?????
Q
P
Q
P
QP dlco sEldEuu 090
0??
QP uu ??
a
b
ba uu ??
p
Q
导体内
导体表面
处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度
处处为零，整个导体是个等势体。
静电平衡
条件
处于静电平衡状态的
导体的性质：
1、导体是 等势体,导体表面是 等势面 。
2、导体内部处处没有未被抵消的 净电荷,净电荷只
分布在导体的表面上。
3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导
体表面在该处的面电荷密度 的关系为?
0?
??E
详细说明如下
金属球放入前电场为一均匀场
E?
1、导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
金属球放入后电力线发生弯曲
电场为一非均匀场
+++
++
++ E??
2、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只能
分布在导体表面上。
?
???
S
V e
dV
SdE
0?
???
00 ??? eE ??? 内部
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面
形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
静电场中的孤立带电体：
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
曲率较大，表面 尖而凸出部分,电荷面密度较大
曲率较小，表面 比较平坦部分,电荷面密度较小
曲率为负，表面 凹进去的部分,电荷面密度最小
3、导体表面上的电荷分布
1R 2
R
1Q
2Q
21 RR uu ? 20
2
10
1
44 R
Q
R
Q
???? ?
20
2
22
10
2
11
4
4
4
4
R
R
R
R
??
??
??
?? ?
1
2
2
1
R
R??
?
?
1R??l 2R导线
R
1??
证明,
即
用导线连接两导体球
则
0
00c o s
?
??? SSESdE ?????? ??
0?
??? E
表面附近作圆柱形高斯面
4、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂
直，大小与该处导体表面电荷面密度 ?e成正比。
E??
S?
尖端放电
尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离
而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
——形成,电风,
二、导体壳和静电屏蔽
1、空腔内无带电体的情况
2q
腔体内表面不带电量，
腔体外表面所带的电量为带电体所带总电量。
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等
量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入 q1时 放入 q1后
2、空腔内有带电体
2q
+
2q
1q
?1q
1q?
3、静电屏蔽
接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场
不受壳内电荷的影响。
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场
不受外电场的影响；
+++
+?
?
E?
0?E? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
电荷守恒定律
静电平衡条件
电荷分布
E? u
三、有导体存在时场强和电势的计算
A B
例 1.已知：导体板 A，面积为 S、带电量 Q，在其旁边
放入导体板 B。
求,(1)A,B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将 B板接地，求电荷分布
1? 3?2? 4?
1E
?
a
2E
?
3E
?
4E
?
02222
0
4
0
3
0
2
0
1 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
A B
1? 2? 3? 4?
b
1E
?
2E
?
3E
?
4E
?
02222
0
4
0
3
0
2
0
1 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
a点
QSS ?? 21 ??
043 ?? SS ??
b点
A板
B板
S
Q
241 ?? ??
S
Q
232 ??? ??
A B
1? 3?2? 4?
解方程得,
电荷分布
场强分布
两板之间
板左侧A
板右侧B
E? E? E?
S
QE
00
1
2 ??
? ??
S
QE
00
3
0
2
2 ??
?
?
? ???
S
QE
00
4
2 ??
? ??
A B
1? 2? 3?
1? 3?2?
A B
(2)将 B板接地，求电荷及场强分布
1E
?
a
2E
?
3E
?
b
1E
?
2E
?
3E
?
A 板 QSS ?? 21 ??
04 ??接地时
电荷分布
01 ?? SQ??? 32 ??
0222
0
3
0
2
0
1 ???
?
?
?
?
?
?a点
0
222 0
3
0
2
0
1 ???
?
?
?
?
?
?b点
场
强
分
布
1? 3?2?
A B
S
QE
0?
?
0?E
01 ?? SQ??? 32 ??电荷分布
两板之间
两板之外
E?
AB
例 2.已知 R1 R2 R3 q Q
q?
O
q
1R 2R
3R
Q q?
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
② 如用导线连接 A,B，再作计算
解,
由高斯定理得
电荷分布 q q? Q q?
场
强
分
布
2
04 r
qQ
??
?
2
04 r
q
???E
0 1Rr ? 32 RrR ??
21 RrR ??
3Rr ?
球心的电势
A
O
B
qq?
1R 2R
3R
Q q?
场
强
分
布
2
04 r
qQ
??
?
?E
0
2
04 r
q
??
1Rr ? 32 RrR ??
21 RrR ??
3Rr ?
? ? ? ??
? ?
??????
0 0
2
1
3
2 3
1 R
R
R
R R
R
o E d rE d rE d rE d rrdEu
??
30210 4
111
4 R
Qq)
RR(
q ????
????
球壳外表面带电
② 用导线连接 A,B，再作计算
A
O
1R 2R
3R
Q q?
B
qq?
3Rr ?
??
? ?
???
3
3
300 4R
R
o R
qQE d rE d ru
??
3Rr ? 2
04 r
qQE
??
??
?
? ?
??
r r
QqE d ru
04 ??
Q q?
0?E
连接 A,B,中和q )q(??
练习 已知, 两金属板带电分别为 q1,q2
求,?1, ?2, ?3, ?4
1q 2q
4?1? 3?2?
S
qq
2
21
41
?????
S
qq
2
21
32
??????
问题：
1、在两板间插入一中性金属平板，求板面的电荷密度。
2、如果第三板接地，又如何？
3、剪掉第三板接地线，再令第一板接地，又如何？
S
qq
2
21
61
?????
S
qq
2
21
5432
???????????
061 ???? S
q 1
5432 ??????????
061 ???? Sq 15432 ??????????
有极分子：分子正负电荷中心不重合。
无极分子：分子正负电荷中心重合；电
介
质
C
H+
H+H+
H+
正负电荷
中心重合
甲烷分子 4CH
+
正电荷中心
负电荷
中心
H++H
O
水分子 OH2
ep
?
—— 分子电偶极矩
ep
?0?
ep
?
四、电介质的极化
1,无极分子的 位移极化
0?ep?
e
无外电场时
ep?
?
f f
l
外E
?
加上外电场后 0??
ep
?
+
+ ++
++
+
外E
?
极化电荷极化电荷
2,有极分子的转向极化
f?f?
外EpM e
??? ??
+
+ ++
++
+
外E
?
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
无外电场时 电矩取向不同
两端面出现
极化电荷层
转向 外电场
ep
?
外E
?
ep
?
加上外场
*五、电极化强度和极化电荷
1、电极化强度 (矢量 )
V
p
P i
?
?? ??
单位体积内分子电偶极矩的 矢量和
描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶
极矩排列的有序或无序程度。
l
?
dl
极化电荷
?
?0n? 0n
?
? ?
?
?
?
?
p?
表面极化电荷
2、极化电荷和极化强度关系
(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密
度，等于该处电极化强度在外法线上的分量。
nPnP ????
???
(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等
于该闭合曲面内极化电荷总量的负值。
?? ????
S
iS qSdP
??
和面内包围的极化电荷总— Sq
S i
? ?
0E
?
EEE ??? ??? 0
0EE
??? ??
0EE
?? ??
无限大均匀
电介质中 r
EE
?
0?
E?? a
充满电场空间的各向同性均匀电介质内部的场强大小等
于真空中场强的 倍，方向与真空中场强方向一致。
r?1
介质中的场 极化电荷的场
自由电荷的场
*六、电介质中的电场
EEP ??? ??? 0?? 电介质的极化率—?
)( Zyxx EEEP 1312110 ???? ???
)( ZyxY EEEP 2322210 ???? ???
)( zyxz EEEP 3332310 ???? ???
1、线性各向异性电介质
它表示张量在
坐标中的 9个分量，叫做电介质的极化率张量。
个常数，是、、、其中 933131211 ???? ?
zyxzyx EEEPPP,,,,与
的关系是线性关系时，
电介质叫做 线性电介质 。
2、铁电体
与 的关系是 非线性 的，甚至 与 之间也不存在
单值函数 关系。
P? E? P? E?
如：酒石酸钾钠（ NaKC4H4O6）及钛酸钡（ BaTiO3）
（ 1）,由于铁电体具有 电滞效应,经过极化的铁
电体在剩余极化强度 Pr和 -Pr处是双稳态，可制成 二
进制的存储器。
（ 2）,铁电体的 相对介电常数 ?r不是常数,随外
加电场的变化。 利用铁电体作为介质可制成 容量大
、体积小的电容器。
铁电体的性能和用途
3、压电体
1880年居里兄弟发现石英晶体被外力压缩或拉伸
时，在石英的某些相对表面上会产生等量异号电荷。
——压电效应
（ 3）、铁电体在居里点附近，材料的 电阻率会随温
度发生灵敏的变化,可以制成铁 电热敏电阻器 。
（ 4）、铁电体在强光作用下能 产生非线性效应,常用
做激光技术中的 倍频或混频器件 。
4、驻极体
极化强度并不随外场的撤除而消失。如：石蜡
七、有电介质时的高斯定理
?? ?? iS qSdE
0
1
?
??
自由电荷
)( ? ???? iqq
0
1
?
极化电荷
)SdPq(SdE
SS ???
????
????
0
1
?
? ???? ?
S iS
qSdP ??
?? ??? qSd)PE(S ???0?
电位移矢量
EEr ?? ??? ?? 0
ED ?? ??
EEPED ????? ???? 000 ????
?D?
E?0? 真空中
Er ??? 0 介质中
介质中的高斯定理 ?? ?? qSdD
S
?? 自由电荷
通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭
合曲面所包围的自由电荷的代数和。
D?
电位移线
a
aD
?
大小,
?S
电位移线条数
D?
方向,切线
D? 线
E? 线? ??
???
bD?
b
8-6 电容 电容器
一、孤立导体的电容
孤立导体,附近没有其他导体和带电体
Uq ? C
U
q ?
单位,法拉（ F）、微法拉（ ?F）、皮法拉（ pF）
伏特库仑法拉 11 ?
pFFF 126 10101 ?? ?
孤立导体的电容
孤立导体球的电容 C=4??0R
电容 —— 使导体升高单位电势所需的电量。
1、电容器的电容
BA uu
qC
?
?
导体组合,使之不受
周围导体的影响
——电容器
电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号
电荷 q时，电量 q与两极板间相应的电
势差 uA-uB的比值。
二、电容器及电容
0CC r??
将真空电容器充满某种电介质
0??? r?
电介质的电容率（介电常数）
d
S
d
SC r ??? ?? 0平行板电容器
电介质的相对电容率（相对介电常数）
同心球型电容器
同轴圆柱型电容器
)( BA
BA
r RR
RR
SC ?
?
? 04 ???
)(
)l n (
BA
B
A
r RR
R
R
l
C ?? 0
2 ???
dA B
2、电容器电容的计算
E?
q? q?
平行板电容器 已知,S,d,?0
设 A,B分别带电 +q,-q
A,B间场强分布
0?
??E
电势差
由定义
d
S
uu
qC
BA
0??
??
讨论
C 与 d S 0? 有关
S C ； d C
插入介质
d
SC r?? 0? C
S
qdEdldEuu B
A
BA
0?
????? ?
??
球形电容器
A
B
rq?
q?
???? BAB RRR 或
已知 AR BR
设 +q,-q
场强分布 2
04 r
qE
??
?
电势差
)
RR
(qdr
r
quu
BA
R
R
BA
B
A
11
44 020
???? ?
????
由定义
AB
BA
BA RR
RR
uu
qC
?
?
?
? 04 ??
讨论
ARC 04???
孤立导体的电容
BR
AR
BA圆柱形电容器
l
r L
AR
BR
????已知,AR BR L
AB RRL ???
设 ??
场强分布 rE
02 ??
??
A
B
B
A
R
R
BA R
Rlndr
r
E d ruu
B
A 00
22 ??
?
??
?
? ? ????
电势差
由定义
A
BBA
R
R
ln
L
uu
q
C 0
2 ??
?
?
?
A B
例 平行无限长直导线
已知,a,d,d>> a
求,单位长度导线间的 C
?? ??
解, 设 ??
场强分布
)xd(xE ??? 00 22 ??
?
??
?
导线间电势差
? ?
?
?????
B
A
ad
a
BA dxEldEuu
??
a
adln ??
0??
?
a
dln
0??
??
电容
a
d
lnuu
C
BA
0??? ?
?
?
d
a
O X
E?P
x
*三、电容器的串并联
串联等效电容
nCCCC
1111
21
???? ??
1C 2C nC
q? q?q?q? q?q?
?
? ?
并联等效电容
1C 2C nC
1q?
1q?
nq?
2q?
2q?
nq?
?
?
_
nCCCC ???? ??21
*四、范德格拉夫起电机
A B
1r? 2r?
1d 2d
例 1,已知,导体板 S ??
1d 2d2r?1r?介质
求,各介质内的 D? E?
n?n?
1S
2S
解,设两介质中的 D? E? 分别为
1D
?
2D
?1E? 2E?
由高斯定理
021
1
?????? SDSDSdD
S
????
21 DD ?? ??? 1D ??D
? ????
2
01
S
SSDSdD ?????
101 1 ED r???由 得
10
1
r
E
??
??
20
2
r
E ?? ??
1D
?
1E
?
2D
?
2E
?
A B
1r? 2r?
1d 2d
10
1
r
E ?? ??
20
2
r
E
??
?? 1E
?
2E
?
场强分布
电势差
2211 dEdEuu BA ??? )
dd(
rr 21
21
0 ???
? ??
电容
)
dd
(
S
uu
q
C
rr
BA
21
21
0 ???
?
?
?
?
?
?
12
21
21
0
rr
rr
dd
S
??
???
?
?
例 2,平行板电容器。
已知 d1,?r1,d2,?r2,S
求,电容 C
解, 设两板带电 ??
2
04 r
QE
r???
??
r?
R
P
例 3,已知,导体球 R Q
介质 r?
求,1,球外任一点的 E?
2,导体球的电势 u
解, 过 P点作高斯面得
? ??
S
QSdD ?? QrD ?? 24?
24 r
QD
??
电势
? ?
? ?
???
R R r
dr
r
QrdEu
2
04 ???
??
R
Q
r??? 04
?
r
S
1d t 2d
d
A B
例 4.平行板电容器
已知,S,d插入厚为 t的铜板
求,C
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
?E?
设 ?q
场强分布
0?E S
qE
00
0 ??
? ??
电势差
2010 dEEtdEuu BA ????
)dd(E 210 ??
)dd(Sq 21
0
?? ?
21
0
dd
S
uu
qC
BA ?
??? ?
td
S
??
0?
一、电流 电流密度
8-7 电流 稳恒电场 电动势
dt
dqI ?
电流 —— 大量电荷有规则的定向运动形成电流。
方向：规定为正电荷运动方向。
大小,单位（ SI）：安培（ A）
电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。
当遇到电流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的
情况时，导体的不同部分电流的大小和方向都可能不
一样。有必要引入电流密度矢量。
电流强度 ——单位时间内通过某截面的电量。
导体中某点的电流密度，数值上等于通过该点
场强方向垂直的单位截面积的电流强度。
方向：该点场强的方向。
当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度
来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同
点电流的大小的物理量。
电流密度
n
dS
dIj ??
?
?
?dS
dI
SdjdSc o sjj d SdI ?? ???? ? ?
电流密度和电流强度的关系
? ?? S SdjI ??
穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿
过该截面的通量。
电流强度是电流密度的通量。
n
dS
dIj ??
?
?
?dS
dI
dS
二、稳恒电场
? ?? S SdjI
??
dt
dqSdj
S ??? ?
?? ——电流的连续性方程
稳恒电流,导体内各处的电流密度都不随时间变化
对稳恒电流有,0?? ?
S Sdj
??
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改
变。不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的
电场，这种电场称 稳恒电场 。
0?? ?l ldE ??
静电场 稳恒电场
电荷分布不随时间改变
但伴随着电荷的定向移动
电场有保守性，它是
保守场，或有势场
产生电场的电荷始终
固定不动
电场有保守性，它是
保守场，或有势场
静电平衡时，导体内电
场为零，导体是等势体
导体内电场不为零，导
体内任意两点不是等势
维持静电场不需要
能量的转换 稳恒电场的存在总要伴随着能量的转换
三、电动势
q
FE k
k ?
非静电力, 能把正电荷从电势较低点
（如电源负极板）送到电势较高点（
如电源正极板）的作用力称为非静电
力，记作 Fk。 + –
提供非静电力的装置就是 电源 。
静电力欲使正电荷从高电位到低电位。
非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。
非静电场强
方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。
电源外部 Ek为零，
电动势 ?,把单位正电荷从负极经电
源内部移到正极时，电源中非静电力
所做的功。
? ?? ?? ldE k ???
ldEdlE
L
kk ? ??? ??
?
?
???
单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所
做的功。
电动势描述电路中 非静电力做功本领
电势差描述电路中 静电力做功
+ –
8-8 电场的能量
?
K
a b 开关倒向 a,电容器充电。
开关倒向 b,电容器放电。
灯泡发光 ?电容器释放能量 ?电源提供
计算电容器带有电量 Q，相应电势差为 U
时所具有的能量。
一、带电系统的能量
dq
任
一
时
刻
q? q?
Au Bu
终
了
时
刻
Q? Q?
AU BU
C
quuu
BA ???
B dq A
外力做功 dq
C
qud qdAdW ???
? ??
Q
C
Qdq
C
qA
0
2
2
? 电容器的电能
2
2
2
1
2
1
2 CUQUC
QW ???
电场能量体密度 —— 描述电场中能量分布状况
二、电场能量
1、对平行板电容器
2
2
1 CUW ? 20
2
1 )Ed)(
d
S( ??
)Sd(E 2021 ?? VE 20
2
1 ??
电场存在的空间体积
d
S0?
q? q?
对任一电场，电场强度非均匀
dVwdW ee ?
2
02
1 E
V
Ww ???
2、电场中某点处单位体积内的电场能量
EED r ??? ??? ?? 0
???? ??
VVV
D Ed VdVEdWW 2121 20?
例,计算球形电容器的能量
已知 RA,RB,?q
AR
BR
q?
q?
r解：场强分布
2
04 r
qE
???
取体积元 drrdV 24 ??
dVEw d VdW 2021 ??? drr)
r
q( 22
2
0
0 442
1 ?
????
能量 ? ???
V
R
R
B
A
dr
r
qdWW
2
0
2
8 ?? )RR(
q
BA
11
8 0
2
??
??
AB
BA
RR
RR
q
?
?
0
2
42
1
??
2
2
1 q
C?
课
堂
讨
论
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
R Rq q
?
?
?
?
?
?
?
?
R r
r
q
Rr
E
4
0
2
0?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R r
r
q
Rr
R
qr
E
4
4
2
0
3
0
??
??
??
?
????
R
R
drrEdrrEW 220
0
22
0 42
14
2
1 ????
球体球面 WW ?
电 磁 学
电能是应用最广泛的能源；
电磁波的传播实现了信息传递；
电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系；
电磁学的研究在理论方面也很重要。
1905年爱因斯坦建立
狭义相对论
1865年麦克斯韦提出
电磁场理论
1820年
奥斯特发现
电流对磁针的作用
公元前 600年 1831年
法拉第发现
电磁感应
古希腊泰勒斯
第一次记载电现象
静电场 ----相对于观察者静止的电荷产生的电场
稳恒电场 —不随时间改变的电荷分布产生不随时间
改变的电场
两个物理量, 场强、电势；
一个实验规律, 库仑定律；
两个定理, 高斯定理、环流定理
电荷守恒定律, 在一个孤立系统内发生的过程中，
正负电荷的代数和保持不变。
电荷的 量子化效应, Q=Ne
8-1 电场 电场强度
一、电荷
电荷的 种类,正电荷、负电荷
电荷的 性质：同号相吸、异号相斥
电量,电荷的多少 单位,库仑 符号, C
二、库仑定律
02
21
1221 rr
qqkFF ??? ???
真空中两个静止的点电荷之间的作用力 （ 静电力 ），
与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平
方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。
1q 2qror?
04
1
??
?k
——真空介电常数。
or
? ——单位矢量，由 施力物体指向受力物体 。
——电荷 q1作用于电荷 q2的力。
21F
?
0?
229
0
21212
0
109
4
1
10858
?
???
???
??
CNmk
mNC
??
?,
讨论
库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。
(a)q1和 q2同性，则 q1 q2>0,和 同向，
方程说明 1排斥 2
21F
?
0r
?
12F
?
21F
?0r
?
00
00
21
21
??
??
qq 斥力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF ??
??
?
(b)q1和 q2异性，则 q1 q2<0,和 反向，
方程说明 1吸引 2
21F
?
0r
?
12F
?
21F
?
0r
?
00
00
21
21
??
??
qq 引力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF ??
??
?
r
r
qqr
r
qqF ???
3
21
0
02
21
0 4
1
4
1
????
??
注意：只适用两
个点电荷之间
数学表达式
离散状态 ?
?
?
N
i
iFF
1
??
02
04
i
i
i
i rr
qqF ??
??
?
连续分布 ?? FdF ?? 02
04
rrqd qFd ?
?
???
1q
2q
1F
?
q
10r
?
20r
?
2F
?
F?
静电力的叠加原理
作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独
存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
所以库仑力与万有引力数值之比为 391032 ??,
G
E FF
牛）(102.84 82
0
2 ????
ReF E ??
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
NRG m MF G 472 1063 ????,
电子与质子之间的万有引力为
例,在氢原子中，电子与质子的距离为 5.3?10-11米，试求
静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。
忽略！
解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的 105倍，
因而可将电子、质子看成点电荷。
三、电场强度
电场 ★ 叠加性
★ 研究方法：
能法 —引入电势 u
E?力法 —引入场强
★ 对外表现,a.对电荷（带电体）施加作用力
b.电场力对电荷（带电体）作功
电场强度
0q
FE
??
?
场源
电荷
试验
电荷
q
0q
F?
),,( zyxEE ?? ?
电场电荷 电荷
1.由 是否能说,与 成正比，与 成反比？
0q
FE
??
? E? F? 0q
Q
?
?
?
?
?
?
??
??
?
? q
P
?
?
?
?
? ??
?
Q
0E
?
?
?
?
P
?
0Eq
F ?
讨论
2.一总电量为 Q>0的金属球，在它附近 P点产生的场强
为 。将一点电荷 q>0引入 P点，测得 q实际受力 与
q之比为,是大于、小于、还是等于 P点的
0E
0E F
qF
1q
2q
P
四、场强叠加原理
点电荷系
连续带电体
10r?
1E
?
E?2E?
20r?
P
dq Ed
?
0r
?
?? ??? ii Eq FqFE
?
??
?
00
?? EdE ??
?
?
?
N
i
iFF
1
??
1,点电荷的电场
五、电场强度的计算
02
0
04
1 r
r
qqF ??
??
? 0
2
00 4
1 r
r
q
q
FE ?
??
??
??
02
04
1 r
r
qE ??
??
?
)( 0?q P
0r
?
? E?
0r
?
)( 0?q PE?
2,点电荷系的电场
设真空中有 n个点电荷 q1,q2,… qn，则 P点场强
02
04
1
i
i
i
i
i
i
r
r
qEE ???
??
????
iziziyiyixix EEEEEE ??????,,
场强在坐标轴上的投影
kEjEiEE zyx ????? ???
例 1,电偶极子
如图已知,q,-q、
r>>l，
电偶极矩 lqp ?? ?
求,A点及 B点的场强
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
??
??
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
?
??
??
解,A点 设 +q和 -q 的场强 分别为 和?E? ?E?
?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
i
r
l
r
l
r
qr l
i
l
r
q
l
r
q
E
A
?
??
224
0
22
0
)
2
1()
2
1(4
2
)
2
()
2
(
4
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
3
0
3
0
2
4
1
2
4
1
r
p
i
r
ql
E
A
?
??
??
??
?
?
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
??
??
i
)
l
r(
q
E
??
2
0 24 ?
?
??
??
?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
)4(4
1
22
0 lr
qEE
??? ?? ??
xxxx EEEE ??? ??? 2 4
2
22 lr
l
?
??c os
??? ? c o s2 E
0??? ?? yyy EEE
对 B点：
2
3
2
20
4
4
1
2
)(
c os
l
r
ql
E
B
?
?
?
?
??
?
3
04
1
r
p
???
3
04
1
r
pE
B
??
??
??
?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
3
0
2
4
1
r
pE
A
??
??
?
结论
3
1
r
E ?
3
04
1
r
pE
B
??
??
?? ?
l
r
y
x
?
?
B
A
l?
r
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
BE
?
AE
?
pE ??
3,连续带电体的电场
0
04
rdqEd ?
?
??
? ? 0
2
04
1 r
r
dqEdE ???
???????
??? ??? zzyyxx dEEdEEdEE
kEjEiEE zyx ???? ???
电荷元随不同的电荷分布应表达为
体电荷 dVdq ??
面电荷 dSdq ??
线电荷 ldqd ??
例 2 求一均匀带电直线在 O点的电场。
已知,q, a, ?1,?2,?。
解题步骤
1,选电荷元 ldqd ??
2
04
1
r
lddE ?
??
?
???? s i nc o s dEdEdEdE yx
5,选择积分变量
一个变量是变量，而线积分只要、,lr ?
4,建立坐标，将 投影到坐标轴上Ed?
2.确定 的方向Ed?
3.确定 的大小Ed?
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
选 θ作为积分变量
??????? a c t ga c t gl )(
???? dald 2c s c
??
???
??
22
222
222
c s ca
c t gaa
lar
???? c o s2
04
1
r
dldE
x ?
?
?
??
??
?? c o s
c s c
c s c
4 22
2
0 a
da
??
??
?? d
a
c o s
4 0
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
??
??
????
??
? d
ar
dldE
y s i n4s i n4
1
0
2
0
?
?
?
??
??? 2
1 0
4
?
?
??
??
? d
a
dEE xx c o s
)s in( s in 12
04
????? ?? a
? ?????
2
1 0
4
?
?
??
??
? d
a
dEE yy s i n
)c o s( c o s 21
04
????? ?? a
22
yx EEE ??
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
)E/E(a r c t g xy
当直线长度
?
?
?
?
?
???
??
?
2
1 00,aL 或
0?xE
无限长均匀带
电直线的场强 aE
02 ??
?
?
当 EE
y
?,0,0 ??? 方向垂直带电导体向外，
当 EE
y
?,0,0 ??? 方向垂直带电导体向里。
讨论
)s in( s in 12
04
????? ?? aE x )c o s( c o s 21
04
????? ?? aE y
a
EE y
02 ??
???
课堂练习
求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q,L,a
2
04 )xaL(
dqdE
??
?
??
? ???
L
)xaL(
dxE
0
2
04 ??
?
)(
aLa ?
?? 11
4 0??
?
a
P
L X
O
x dx
Ed?
)()( aLa
q
aLaL
qL
?
?
?
?
00 44 ????
例 3 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知,q, a, x。
dl
a
q
dldq
?
?
2
?
?
idEEd ?? ?// kdEjdEEd zy ??? ???
2
04 r
dqdE
??
?
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
?
?Ed
? Ed?
当 dq位置发生变化时，它所激发的电场
矢量构成了一个圆锥面。
由对称性
a
,y
z
x
dq
Ed?
0?? zy EE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
?
?Ed
? Ed?
?
? ?c o s
//
Ed
EdE
?
?
2122 )(
c o s
xar
rx
??
??
?
???
?
c os2
2
0 24
1
r
ld
a
q
E
a
??
??
?
??
c o s2
04
1
r
q?
2322
04
1
)( xa
qx
?
?
??
i
)ax(
xqE ??
2
322
04 ?
?
??
讨论 （ 1） 当 的方向沿 x轴正向
当 的方向沿 x轴负向Eq ?，0?
Eq ?，0?
（ 2） 当 x=0,即在圆环中心处,0?E?
当 x?? 0?E?
i
)ax(
xq
E
??
2
322
04 ?
?
??
2
ax ?
时0?dxdE 23
2
2
0
2
4
2
)
a
a(
q
a
EE m a x
?
??
??
（ 3） 当 时，ax ?? 222 xax ??
2
04
1
x
qE
??
?
这时可以 把带电圆环看作一个点电荷
这正反映了 点电荷概念的相对性
i
)ax(
xq
E
??
2
322
04 ?
?
??
1.求均匀带电半圆环圆心处的,已知 R,?E?
2
04 R
dqdE
???
电荷元 dq产生的场
根据对称性 ? ? 0
ydE
? ? ????
?
?
??
???
0
2
04
s i n
R
Rds i ndEdEE
x
?
?
??
?
0
2
04
)c o s( ??
R R02??
??
课堂练习：
o
R X
Y
? ?d
?
dq
Ed?
O X
Y
?R
2
04 R
dldE
??
??
? ??? ???? cosRdldEE y 2
04
224
2
0
2
0
2
0
?
??
?
?
??
??
?
s i n
c o s
R
d
R
R
?? ?
取电荷元 dq则
? ? 0xdE由对称性
方向：沿 Y轴负向
?
dl
?d
Ed?
2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 ?,?,R
例 4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知,q,R,x 求,Ep
解：细圆环所带电量为
22 R
qr d rdq
???? ??由上题结论知：
2322
04
1
)( xr
xdqdE
?? ??
2322
04
2
)( xr
r d rx
?
?
??
??
23220
0 )(2 xr
r d rxdEE R
?? ?
??
?? )1(2 22
0 xR
x
?
???
R r
Pxdr
22 xr ?
Ed?
讨论
1,当 R>>x
（无限大均匀带电平面的场强）
0?? 0??
)
xR
x(E
220
1
2 ?
??
?
?
02?
??E
2
1
2
2
22
)1(
?
??
? x
R
xR
x ????????? 2)(
2
11
)1(
2 220 xR
xE
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
?????????? 2
0
)(
2
111(
2 x
R
?
?
2
04 x
q
??
?
)
xR
x(E
220
1
2 ?
??
?
?
2,当 R<<x
例 5,两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度
为 ??,计算场强分布。 ?? ??
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
?E
? 002
2 ???? ???? ?? EEE两板之间：
两板之外,E=0
六．带电体在外电场中所受的力
EqF ?? ?
课堂讨论,如图已知 ?q,d,S
求两板间的所用力
q? q?
d
S
qqf
0
2
0 22 ??
? ??
解：由场强叠加原理
2
0
2
4 d
qf
??
?
?? dqEF ??
例 6 计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩
,qlp ??已知 E?
qEF ???
qEF ???
q?
E?
q?
?o
0??? ?? FFF ???
解：合力
??? s i ns i n2s i n2 q l ElFlFM ??? ??
合力矩
EpM ??? ??将上式写为矢量式
力矩总是使电矩 转向 的方向，以达到稳定状态p? E?
可见,力矩最大； 力矩最小。Ep ?? ? Ep ?? //
在电场中画一组曲线，
曲线上每一点的切线方向
与该点的电场方向一致，
这一组曲线称为 电力线 。
E?
dS
E?
通过无限小面元 dS的 电
力线数目 d?e与 dS的比值
称为电力线密度。我们规
定 电场中某点的场强的大
小等于该点的电力线密度
一、电场的图示法电力线
8-2 电通量 高斯定理
?
??
dS
dE e
E?
cE?
大小：
E?
方向, 切线方向
=电力线密度
电力线性质：
b c
aE?
bE?
a
2、任何两条电力线不相交。
1、不闭合，不中断起于正电荷、止于负电荷；
总结：
?
??
dS
dE e
点电荷的电力线
正电荷负电荷
+
+
一对等量异号电荷的电力线
一对等量正点电荷的电力线
+ +
一对异号不等量点电荷的电力线
2q q+
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
二、电通量
通过电场中某一面的电力线数称为 通过该面的电通量 。
用 ?e表示。
ESe ??
S
E?
均匀电场
S与电场强度方向垂直
?
S n?
? E?
SEESe ?? ??? ?? c o s
均匀电场,S 法线方向 与
电场强度方向成 ?角
??? Ed Sd e
? ??
S
dSE c o s
?? cosE d S
SdE ?? ??
? ???
S ee
d
? ? ????
S S
dSnESdE ????
电场不均匀,S为任意曲面
S为任意闭合曲面
?? ??? SSe SdEdSE ???? c o s
规定,法线的正方向为指向
闭合曲面的外侧。
kSjSiSSkEjEiEE zyxzyx ???????? ??????????
zzyyxxe SESESESE ??????????
??
解,（ 1）
（ 2）
222
zyxee EEEES ??????? ?
例,在均匀电场中，
kcNjcNicNE ???? )390()160()240( ?????
通过平面 k)m.(j)m.(i)m.(S ???? 222 422411 ?????
的电通量是多少？
E?
S?? 在垂直于 的平面上
的投影是多少?
求均匀电场中一半球面的电通量 。
E?
R
O
n?
n?
n?
n?
1S
2S
? ?? 11 SS SdE ???
2SE ??
2
1 RES ?? ?
课堂练习
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲
面 S的电通量 ?e,等于该闭合曲面所包围的电荷电
量的代数和除以 ?0 而与闭合曲面外的电荷无关。
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
?
?
??
1,高斯定理的引出
(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
r+
q
E?
Sd?
? ?? Se SdE ???
? ?? S Sdrrq ??02
04 ??
?? SdSrq 2
04 ??
0
2
2
0
44 ???? qrrq ???
与球面半径无关，即以点电荷 q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
讨论：
c、若封闭面不是球面，
积分值不变。
00,??? eqa ?
电量为 q的正电荷有 q/?0条电
力线由它发出伸向无穷远
电量为 q的负电荷有 q/?0
条电力线终止于它
00 ??? eq ?
+ q
b、若 q不位于球面中心，
积分值不变。
0?
qSdE
s
???
??
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线
从面内出来。
0?e? 0??? ?
s
SdE
??
(3) 场源电荷为点电荷系 (或电荷连续分布的带电体 )，
高斯面为任意闭合曲面
nEEEE
????? ????
21
?
?
?????
n
i
eienee
1
21 ???? ?
? ?? Se SdE ???
?? ? ?????????????
s
n
s S
SdESdESdE ?????? 21
?? ??? 内qSdESe
0
1
?
?
??
3,高斯定理的理解
a,是闭合面各面元处的电场强度,是由全部电
荷（ 面内外电荷 ）共同产生的矢量和，而过曲面的
通量由曲面内的电荷决定。
E?
因为曲面外的电荷（如 ）对闭
合曲面提供的通量有正有负才导致
对整个闭合曲面贡献的通量为 0。
4q
1q
2q
3q
4q
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
??
??
b, 对连续带电体，高斯定理为
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,
所以 正电荷是静电场的源头 。
静电场是 有源场
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以 负电荷是静电场的尾 。
? ??? dqSdE
0
1
?
??
00 ???? eiq.c ?
00 ???? eiq ?
四、高斯定理的应用
1, 利用 高斯定理求某些电通量
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
?
?
??
0?? iq? 0???? ? SdESe ???
021 ?? SS ??
021 ??? )RE(S ??
2
1 RES ?? ?
例：设均匀电场 和半径 R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
E
步骤：
1.对称性分析，确定 E? 的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及 ? iq
3.利用高斯定理求解
当场源分布具有高度对称性时求场强分布2.
解, 对称性分析 E? 具有球对称 作高斯面 ——球面
Rr ?
电通量
电量 ? ? 0
iq
用高斯定理求解
04 21 ?rE ? 01 ?? E
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
+ +
q
E?
r
例 1,均匀带电球面的电场。 已知 R,q>0
2
11
1
4
1
rEdSE
SdE
s
e
?
?
??
??
?
?
??
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
r
q
Rr ?
? ? qq i 022 4 ?? qrE ?
2
0
2 4 r
qE
??
?
E?
2
222 4
2
rESdESdE
s
e ?? ???? ? ?
???
E
2
04 R
q
??
2
1
r
r
RO
O
R
q
解,r<R
? ? 3
3 3
4
3
4
r
R
q
q i ?
?
3
3
0
2 14
R
qrrE
?
? ?
场强
3
04 R
qrE
??
?
例 2,均匀带电球体的电场。 已知 q,R
r
E?
高斯面
? ??? 24 rESdEe ?? ??
R
r
高斯面
E?
r>R
电量 ? ? qq i
高斯定理
0
24 ?? qrE ?
场强
2
04 r
q
E
??
?
? ??? 24 rESdEe ?? ??
电通量
均匀带电球体电场强度分布曲线
ε
R
O
E?
O
r
E
R
2
04 R
q
??
E?
2S
σ
高
斯
面
解, E? 具有面对称 高斯面,柱面
SESES ?
?
????
0
21
10
SES ?
? 0
12 ?
02 ?
?
?? E
例 3,均匀带电无限大平面的电场,已知 ?
E?
S
1S侧S
? ? ? ? ????????
1 2S S S
e SdESdESdESdE
侧
????????
?
? ? 0iq
0?E
高
斯
面
l
r
E?
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面
例 4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为 ?
? ? ?? ????????
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
????????
?
(1) r <R
rl2Erl2E00 ??????
(2) r >R
? ? ?? Rlq i 2
0?
?
r
RE ?
r
E
02 ??
??
高
斯
面
lr
E?
? ? ?? ????????
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
????????
?
rl2E ??
令 ???? R2
位于中 心
q 过每一面的通量
课堂讨论
● q
1,立方体边长 a，求
位于一顶点
● q
1q?
2q?
移动两电荷对场强及通量的影响
2,如图 讨论
06?
? qe ?
??
?
?
?
?
??
024
0
q
e
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R,?
2
02 R
r
??
?
?E
Rr ?
Rr ?
r02??
?
0
2
?
?? lrlE ?
Rr ?
Rr ?
lr
R
rlE 22
0
2 ?
??
???
8-3 电场力的功 电势
r
drr ?
c
ld?
c?
E?
?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA ?c o s00 ????? ????
drdl ??c o s其中
???
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则
与路径无关
?q
ar
br
dr
? ???
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0 ????
一．电场力做功
推广 ? ????? b
a
nab ld)EEE(qA
??
??
??
210
? ? ? ??????
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
??
??
????
02010
? ??????
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21 ????
(与路径无关 )
结论
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做
的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
? ? ?????
a cb adb
ldEqldEq 000 ????
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00 ?q? ? ??? 0ldE ??
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
? ? ? ??????
a c b bda
ldEqldEqldEqA ?????? 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理
静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
b点电势能 bW
则 a?b电场力的功 ? ?? b
a
ab ldEqA
??
0 ba WW ??
0??W取 ?
?
? ???
a
aa ldEqAW
??
0
E?Wa属于 q0及 系统
试验电荷 处于0q
a点电势能
aW
a
b
注意
三、电势能
保守力的功 =相应势能的减少
所以 静电力的功 =静电势能增量的负值
?
?
???
a
a
a ldEq
Wu ??
0
定义 电势差 电场中任意两点 的
电势之差（电压）
ba uu ?
? ?
? ?
??????
a b
baab ldEldEuuu
????
? ??
b
a
ldE
??
?
?
??
a
a ldEqW
??
0
四、电势 电势差
单位正电荷在该点
所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远
点 (电势零 )电场力所作的功
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移
到 b时，电场力所做的功。
定义 电势
将电荷 q从 a?b电场力的功
? ??
b
a
ldEq
??
0baab WWA ?? )(0 ba uuq ??
注意
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
3、电势零点的选择。
1,点电荷电场中的电势
r
?q P?0r
?
如图 P点的场强为 02
04
rrqE ?
?
???
? ?
? ?
????
P r
P r
qdr
r
qldEu
0
2
0 44 ????
??由电势定义得
讨论
对称性
大小
以 q为球心的同一球面上的点电势相等
最小ururuq ?????? 00
最大ururuq ?????? 00
五、电势的计算
根据电场叠加原理场中任一点的
2、电势叠加原理
若场源为 q1,q2 ??qn的点电荷系
场强
电势
nE.,,.,,,EEE
???? ????
21
? ?
? ?
???????
P P
n ldEEEldEu
??
?
????
)( 21
?
?
?????
n
i
in uu..,..,uu
1
21
各点电荷单独存在时在该点电势的 代数和
? ??
? ??
???????
P P
n
P
ldE.......ldEldE
??????
21
由电势叠加原理,P的电势为
点电荷系的电势
?? ??
i
i
i r
quu
04 ??
? ??? rdqduu
04 ??
连续带电体的电势
由电势叠加原理
dq P?r
1r
?1q
?2q
nq?
P2r
nr
?根据已知的场强分布，按定义计算
?由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
?
?
??
P
P ldEu
??
电势计算的两种 方法,
例 1, 求电偶极子电场中任一点 P的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
?
),( yxP?
210
12
2010
21 4
)(
44 rr
rrq
r
q
r
quuu
P ??????
??????
由叠加原理
lr ??? ?c o s12 lrr ?? 221 rrr ?
2
0
c o s
4 r
lqu ?
??
??
222 yxr ??
22
c o s
yx
x
?
??
其中
2
3
220 )(4
1
yx
pxu
?
?
??
V
r
qu 2
0
1 108.28
4
4 ???
??
r
O
2q1q
4q 3q
课堂练习,已知正方形顶点有四个等量的电点荷
r=5cm
C9100.4 ??
① 求
② 将
③ 求该过程中电势能的改变
ou
cq 90 100.1 ??? 从 ? 0 电场力所作的功
JquuqA 720000 108.28)108.280()( ??? ????????
电势能 0108.28 7
00 ?????? ??? WWA
X
Y
Z
O
? ?
?
?
?
?
? ?
?
R
dl
r
?
Px
例 2,求均匀带电圆环轴线
上的电势分布。已知,R,q
解,方法一 微元法
r
dqdu
04 ??
?
r
dl
04??
??
? ? ???
R
P r
R
r
dlduu ?
??
??
??
?2
0 00 4
2
4
22
04 xR
q
?
?
??
方法二 定义法
由电场强度的分布
2
322
0 )(4 Rx
qxE
?
?
??
? ?
? ?
?
??
p px x Rx
q x d xE d xu
2
322
0 )(4 ??
l
?
?d
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
解, 方法一 叠加法 (微元法 )
任一圆环 ??? RdRdS s i n2? ????? dRdSdq s i n2 2??
l
dR
l
dqdu ????
????
s i n2
4
1
4
2
00
??
l
dq
08
s in
??
???
?? drRl d l s i n22 ?
rR
qdldu
08 ??
?
?c o s2222 RrrRl ???由图 ??
?
??
Rr
Rr r
q
rR
q dlu
00 48 ????
Rr?
Rr?
?
?
?
??
rR
rR R
q
rR
q dlu
00 48 ????
O
R
P
r
方法二 定义法
Rr?Rr?
由高斯定理求出场强分布
Rr?
Rr?
?E
2
04 r
q
??
0
?
?
??
P
ldEu
??由定义
? ?
?
????
R
r R
ldEldEu
????
?
?
??
R
dr
r
q
2
04
0
??
R
q
04??
?
?
?
?
r
drrqu 2
04 ??
r
q
04??
?
l
?
?d
O
R
P
r
课堂练习, 1.求等量异号的同心带电球面的电势差
已知 +q, -q,RA, RB
?
AR
BR
q?q?解, 由高斯定理
ARr ? BRr ?
2
04 r
q
?? BA RrR ??
?E
0
由电势差定义
BAAB uuu ?? ? ? ?????
B
A
R
R BA
B
A
RR
qdr
r
qldE )11(
44 020 ????
??
① 求单位正电荷沿 odc 移至 c,电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功?
2.如图已知 +q, -q,R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
quuA
cooc ????
??????
R
q
06??
?
0??? ?? oO uuA
功、电势差、电势能之间的关系
? ??????
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
??
讨
论 ba uu ?
ba uu ?
2,0?
abA ba WW ?
则
则0?q
0?q
１, 0?abA ba WW ?
0?q 则
0?q 则
ba uu ?
ba uu ?
8-4 场强与电势的关系
一,等势面
等势面, 电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面
等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
a
b
u
0)( ??? baab uuqA
2
?? ??
ba uu ??
★ 令 q在面上有元位移 ld?
0c o s ???? dlqEldEqdA ???
0)( ????? dcdccd uuqWWA
★ 沿电力线移动 q? c d E?
dc uu ??
★ a,b为等势面上任意两点移动 q,从 a到 b
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等
课堂练习,由等势面确定 a,b点的场强大小和方向
1u
2u
3u
a
b
03221 ???? uuuu已知 aE? bE
?
E?
a b
ld?
n?
?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE ????? ???
dudlE ???c o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l ??
dl
duE
l ??
电场强度沿某
一方向的分量
沿该方向电势的
变化率的负值
),,( zyxuu ?一般
x
uE
x ?
???
y
uE
y ?
???
z
uE
z ?
???所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx ???? ????
)( kzujyuixu
???
?
??
?
??
?
???
ug r a d uE ?????? ?
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE ?? ??
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿
等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方
向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电
细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
?
?? ??解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x ??
???
?
????
??
2
322
0 )(4
1
xR
qx
?
?
??
0?? zy EE
iEE x ?? ? i
xR
qx ?
2
322
0 )(4
1
?
?
??
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强
解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
?
??
??
(xxuE x ???????? )
)(4
1
2
322
0 yx
px
???
(yyuE y ???????? )
)(4
1
2
322
0 yx
px
???
l?
q?
r
x
y
?
?
q?
B?
O ?
A
l
?
iypE
??
3
04 ??
??B点 (x=0)
ixpE
??
3
02 ??
?A点 (y=0)
一
、
导
体
的
静
电
平
衡
无外电场时
8-5 静电场中的导体和电介质
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体达到静平衡
E外E
感
0??? 感外内 EEE ???
感应电荷感应电荷
⑴ 导体内部任意点的场强为零。
⑵ 导体表面附近的场强方向处处
与表面垂直。
等势体
等势面
? ???
b
a
ba ldEuu
??
0?内E??
? ? ?????
Q
P
Q
P
QP dlco sEldEuu 090
0??
QP uu ??
a
b
ba uu ??
p
Q
导体内
导体表面
处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度
处处为零，整个导体是个等势体。
静电平衡
条件
处于静电平衡状态的
导体的性质：
1、导体是 等势体,导体表面是 等势面 。
2、导体内部处处没有未被抵消的 净电荷,净电荷只
分布在导体的表面上。
3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导
体表面在该处的面电荷密度 的关系为?
0?
??E
详细说明如下
金属球放入前电场为一均匀场
E?
1、导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
金属球放入后电力线发生弯曲
电场为一非均匀场
+++
++
++ E??
2、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只能
分布在导体表面上。
?
???
S
V e
dV
SdE
0?
???
00 ??? eE ??? 内部
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面
形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
静电场中的孤立带电体：
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
曲率较大，表面 尖而凸出部分,电荷面密度较大
曲率较小，表面 比较平坦部分,电荷面密度较小
曲率为负，表面 凹进去的部分,电荷面密度最小
3、导体表面上的电荷分布
1R 2
R
1Q
2Q
21 RR uu ? 20
2
10
1
44 R
Q
R
Q
???? ?
20
2
22
10
2
11
4
4
4
4
R
R
R
R
??
??
??
?? ?
1
2
2
1
R
R??
?
?
1R??l 2R导线
R
1??
证明,
即
用导线连接两导体球
则
0
00c o s
?
??? SSESdE ?????? ??
0?
??? E
表面附近作圆柱形高斯面
4、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂
直，大小与该处导体表面电荷面密度 ?e成正比。
E??
S?
尖端放电
尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离
而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
——形成,电风,
二、导体壳和静电屏蔽
1、空腔内无带电体的情况
2q
腔体内表面不带电量，
腔体外表面所带的电量为带电体所带总电量。
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等
量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入 q1时 放入 q1后
2、空腔内有带电体
2q
+
2q
1q
?1q
1q?
3、静电屏蔽
接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场
不受壳内电荷的影响。
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场
不受外电场的影响；
+++
+?
?
E?
0?E? ?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
电荷守恒定律
静电平衡条件
电荷分布
E? u
三、有导体存在时场强和电势的计算
A B
例 1.已知：导体板 A，面积为 S、带电量 Q，在其旁边
放入导体板 B。
求,(1)A,B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将 B板接地，求电荷分布
1? 3?2? 4?
1E
?
a
2E
?
3E
?
4E
?
02222
0
4
0
3
0
2
0
1 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
A B
1? 2? 3? 4?
b
1E
?
2E
?
3E
?
4E
?
02222
0
4
0
3
0
2
0
1 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
a点
QSS ?? 21 ??
043 ?? SS ??
b点
A板
B板
S
Q
241 ?? ??
S
Q
232 ??? ??
A B
1? 3?2? 4?
解方程得,
电荷分布
场强分布
两板之间
板左侧A
板右侧B
E? E? E?
S
QE
00
1
2 ??
? ??
S
QE
00
3
0
2
2 ??
?
?
? ???
S
QE
00
4
2 ??
? ??
A B
1? 2? 3?
1? 3?2?
A B
(2)将 B板接地，求电荷及场强分布
1E
?
a
2E
?
3E
?
b
1E
?
2E
?
3E
?
A 板 QSS ?? 21 ??
04 ??接地时
电荷分布
01 ?? SQ??? 32 ??
0222
0
3
0
2
0
1 ???
?
?
?
?
?
?a点
0
222 0
3
0
2
0
1 ???
?
?
?
?
?
?b点
场
强
分
布
1? 3?2?
A B
S
QE
0?
?
0?E
01 ?? SQ??? 32 ??电荷分布
两板之间
两板之外
E?
AB
例 2.已知 R1 R2 R3 q Q
q?
O
q
1R 2R
3R
Q q?
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
② 如用导线连接 A,B，再作计算
解,
由高斯定理得
电荷分布 q q? Q q?
场
强
分
布
2
04 r
??
?
2
04 r
q
???E
0 1Rr ? 32 RrR ??
21 RrR ??
3Rr ?
球心的电势
A
O
B
qq?
1R 2R
3R
Q q?
场
强
分
布
2
04 r
??
?
?E
0
2
04 r
q
??
1Rr ? 32 RrR ??
21 RrR ??
3Rr ?
? ? ? ??
? ?
??????
0 0
2
1
3
2 3
1 R
R
R
R R
R
o E d rE d rE d rE d rrdEu
??
30210 4
111
4 R
Qq)
RR(
q ????
????
球壳外表面带电
② 用导线连接 A,B，再作计算
A
O
1R 2R
3R
Q q?
B
qq?
3Rr ?
??
? ?
???
3
3
300 4R
R
o R
qQE d rE d ru
??
3Rr ? 2
04 r
qQE
??
??
?
? ?
??
r r
QqE d ru
04 ??
Q q?
0?E
连接 A,B,中和q )q(??
练习 已知, 两金属板带电分别为 q1,q2
求,?1, ?2, ?3, ?4
1q 2q
4?1? 3?2?
S
2
21
41
?????
S
2
21
32
??????
问题：
1、在两板间插入一中性金属平板，求板面的电荷密度。
2、如果第三板接地，又如何？
3、剪掉第三板接地线，再令第一板接地，又如何？
S
2
21
61
?????
S
2
21
5432
???????????
061 ???? S
q 1
5432 ??????????
061 ???? Sq 15432 ??????????
有极分子：分子正负电荷中心不重合。
无极分子：分子正负电荷中心重合；电
介
质
C
H+
H+H+
H+
正负电荷
中心重合
甲烷分子 4CH
+
正电荷中心
负电荷
中心
H++H
O
水分子 OH2
ep
?
—— 分子电偶极矩
ep
?0?
ep
?
四、电介质的极化
1,无极分子的 位移极化
0?ep?
e
无外电场时
ep?
?
f f
l
外E
?
加上外电场后 0??
ep
?
+
+ ++
++
+
外E
?
极化电荷极化电荷
2,有极分子的转向极化
f?f?
外EpM e
??? ??
+
+ ++
++
+
外E
?
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
无外电场时 电矩取向不同
两端面出现
极化电荷层
转向 外电场
ep
?
外E
?
ep
?
加上外场
*五、电极化强度和极化电荷
1、电极化强度 (矢量 )
V
p
P i
?
?? ??
单位体积内分子电偶极矩的 矢量和
描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶
极矩排列的有序或无序程度。
l
?
dl
极化电荷
?
?0n? 0n
?
? ?
?
?
?
?
p?
表面极化电荷
2、极化电荷和极化强度关系
(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密
度，等于该处电极化强度在外法线上的分量。
nPnP ????
???
(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等
于该闭合曲面内极化电荷总量的负值。
?? ????
S
iS qSdP
??
和面内包围的极化电荷总— Sq
S i
? ?
0E
?
EEE ??? ??? 0
0EE
??? ??
0EE
?? ??
无限大均匀
电介质中 r
EE
?
0?
E?? a
充满电场空间的各向同性均匀电介质内部的场强大小等
于真空中场强的 倍，方向与真空中场强方向一致。
r?1
介质中的场 极化电荷的场
自由电荷的场
*六、电介质中的电场
EEP ??? ??? 0?? 电介质的极化率—?
)( Zyxx EEEP 1312110 ???? ???
)( ZyxY EEEP 2322210 ???? ???
)( zyxz EEEP 3332310 ???? ???
1、线性各向异性电介质
它表示张量在
坐标中的 9个分量，叫做电介质的极化率张量。
个常数，是、、、其中 933131211 ???? ?
zyxzyx EEEPPP,,,,与
的关系是线性关系时，
电介质叫做 线性电介质 。
2、铁电体
与 的关系是 非线性 的，甚至 与 之间也不存在
单值函数 关系。
P? E? P? E?
如：酒石酸钾钠（ NaKC4H4O6）及钛酸钡（ BaTiO3）
（ 1）,由于铁电体具有 电滞效应,经过极化的铁
电体在剩余极化强度 Pr和 -Pr处是双稳态，可制成 二
进制的存储器。
（ 2）,铁电体的 相对介电常数 ?r不是常数,随外
加电场的变化。 利用铁电体作为介质可制成 容量大
、体积小的电容器。
铁电体的性能和用途
3、压电体
1880年居里兄弟发现石英晶体被外力压缩或拉伸
时，在石英的某些相对表面上会产生等量异号电荷。
——压电效应
（ 3）、铁电体在居里点附近，材料的 电阻率会随温
度发生灵敏的变化,可以制成铁 电热敏电阻器 。
（ 4）、铁电体在强光作用下能 产生非线性效应,常用
做激光技术中的 倍频或混频器件 。
4、驻极体
极化强度并不随外场的撤除而消失。如：石蜡
七、有电介质时的高斯定理
?? ?? iS qSdE
0
1
?
??
自由电荷
)( ? ???? iqq
0
1
?
极化电荷
)SdPq(SdE
SS ???
????
????
0
1
?
? ???? ?
S iS
qSdP ??
?? ??? qSd)PE(S ???0?
电位移矢量
EEr ?? ??? ?? 0
ED ?? ??
EEPED ????? ???? 000 ????
?D?
E?0? 真空中
Er ??? 0 介质中
介质中的高斯定理 ?? ?? qSdD
S
?? 自由电荷
通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭
合曲面所包围的自由电荷的代数和。
D?
电位移线
a
aD
?
大小,
?S
电位移线条数
D?
方向,切线
D? 线
E? 线? ??
???
bD?
b
8-6 电容 电容器
一、孤立导体的电容
孤立导体,附近没有其他导体和带电体
Uq ? C
U
q ?
单位,法拉（ F）、微法拉（ ?F）、皮法拉（ pF）
伏特库仑法拉 11 ?
pFFF 126 10101 ?? ?
孤立导体的电容
孤立导体球的电容 C=4??0R
电容 —— 使导体升高单位电势所需的电量。
1、电容器的电容
BA uu
qC
?
?
导体组合,使之不受
周围导体的影响
——电容器
电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号
电荷 q时，电量 q与两极板间相应的电
势差 uA-uB的比值。
二、电容器及电容
0CC r??
将真空电容器充满某种电介质
0??? r?
电介质的电容率（介电常数）
d
S
d
SC r ??? ?? 0平行板电容器
电介质的相对电容率（相对介电常数）
同心球型电容器
同轴圆柱型电容器
)( BA
BA
r RR
RR
SC ?
?
? 04 ???
)(
)l n (
BA
B
A
r RR
R
R
l
C ?? 0
2 ???
dA B
2、电容器电容的计算
E?
q? q?
平行板电容器 已知,S,d,?0
设 A,B分别带电 +q,-q
A,B间场强分布
0?
??E
电势差
由定义
d
S
uu
qC
BA
0??
??
讨论
C 与 d S 0? 有关
S C ； d C
插入介质
d
SC r?? 0? C
S
qdEdldEuu B
A
BA
0?
????? ?
??
球形电容器
A
B
rq?
q?
???? BAB RRR 或
已知 AR BR
设 +q,-q
场强分布 2
04 r
qE
??
?
电势差
)
RR
(qdr
r
quu
BA
R
R
BA
B
A
11
44 020
???? ?
????
由定义
AB
BA
BA RR
RR
uu
qC
?
?
?
? 04 ??
讨论
ARC 04???
孤立导体的电容
BR
AR
BA圆柱形电容器
l
r L
AR
BR
????已知,AR BR L
AB RRL ???
设 ??
场强分布 rE
02 ??
??
A
B
B
A
R
R
BA R
Rlndr
r
E d ruu
B
A 00
22 ??
?
??
?
? ? ????
电势差
由定义
A
BBA
R
R
ln
L
uu
q
C 0
2 ??
?
?
?
A B
例 平行无限长直导线
已知,a,d,d>> a
求,单位长度导线间的 C
?? ??
解, 设 ??
场强分布
)xd(xE ??? 00 22 ??
?
??
?
导线间电势差
? ?
?
?????
B
A
ad
a
BA dxEldEuu
??
a
adln ??
0??
?
a
dln
0??
??
电容
a
d
lnuu
C
BA
0??? ?
?
?
d
a
O X
E?P
x
*三、电容器的串并联
串联等效电容
nCCCC
1111
21
???? ??
1C 2C nC
q? q?q?q? q?q?
?
? ?
并联等效电容
1C 2C nC
1q?
1q?
nq?
2q?
2q?
nq?
?
?
_
nCCCC ???? ??21
*四、范德格拉夫起电机
A B
1r? 2r?
1d 2d
例 1,已知,导体板 S ??
1d 2d2r?1r?介质
求,各介质内的 D? E?
n?n?
1S
2S
解,设两介质中的 D? E? 分别为
1D
?
2D
?1E? 2E?
由高斯定理
021
1
?????? SDSDSdD
S
????
21 DD ?? ??? 1D ??D
? ????
2
01
S
SSDSdD ?????
101 1 ED r???由 得
10
1
r
E
??
??
20
2
r
E ?? ??
1D
?
1E
?
2D
?
2E
?
A B
1r? 2r?
1d 2d
10
1
r
E ?? ??
20
2
r
E
??
?? 1E
?
2E
?
场强分布
电势差
2211 dEdEuu BA ??? )
dd(
rr 21
21
0 ???
? ??
电容
)
dd
(
S
uu
q
C
rr
BA
21
21
0 ???
?
?
?
?
?
?
12
21
21
0
rr
rr
dd
S
??
???
?
?
例 2,平行板电容器。
已知 d1,?r1,d2,?r2,S
求,电容 C
解, 设两板带电 ??
2
04 r
QE
r???
??
r?
R
P
例 3,已知,导体球 R Q
介质 r?
求,1,球外任一点的 E?
2,导体球的电势 u
解, 过 P点作高斯面得
? ??
S
QSdD ?? QrD ?? 24?
24 r
QD
??
电势
? ?
? ?
???
R R r
dr
r
QrdEu
2
04 ???
??
R
Q
r??? 04
?
r
S
1d t 2d
d
A B
例 4.平行板电容器
已知,S,d插入厚为 t的铜板
求,C
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
?E?
设 ?q
场强分布
0?E S
qE
00
0 ??
? ??
电势差
2010 dEEtdEuu BA ????
)dd(E 210 ??
)dd(Sq 21
0
?? ?
21
0
dd
S
uu
qC
BA ?
??? ?
td
S
??
0?
一、电流 电流密度
8-7 电流 稳恒电场 电动势
dt
dqI ?
电流 —— 大量电荷有规则的定向运动形成电流。
方向：规定为正电荷运动方向。
大小,单位（ SI）：安培（ A）
电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。
当遇到电流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的
情况时，导体的不同部分电流的大小和方向都可能不
一样。有必要引入电流密度矢量。
电流强度 ——单位时间内通过某截面的电量。
导体中某点的电流密度，数值上等于通过该点
场强方向垂直的单位截面积的电流强度。
方向：该点场强的方向。
当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度
来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同
点电流的大小的物理量。
电流密度
n
dS
dIj ??
?
?
?dS
dI
SdjdSc o sjj d SdI ?? ???? ? ?
电流密度和电流强度的关系
? ?? S SdjI ??
穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿
过该截面的通量。
电流强度是电流密度的通量。
n
dS
dIj ??
?
?
?dS
dI
dS
二、稳恒电场
? ?? S SdjI
??
dt
dqSdj
S ??? ?
?? ——电流的连续性方程
稳恒电流,导体内各处的电流密度都不随时间变化
对稳恒电流有,0?? ?
S Sdj
??
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改
变。不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的
电场，这种电场称 稳恒电场 。
0?? ?l ldE ??
静电场 稳恒电场
电荷分布不随时间改变
但伴随着电荷的定向移动
电场有保守性，它是
保守场，或有势场
产生电场的电荷始终
固定不动
电场有保守性，它是
保守场，或有势场
静电平衡时，导体内电
场为零，导体是等势体
导体内电场不为零，导
体内任意两点不是等势
维持静电场不需要
能量的转换 稳恒电场的存在总要伴随着能量的转换
三、电动势
q
FE k
k ?
非静电力, 能把正电荷从电势较低点
（如电源负极板）送到电势较高点（
如电源正极板）的作用力称为非静电
力，记作 Fk。 + –
提供非静电力的装置就是 电源 。
静电力欲使正电荷从高电位到低电位。
非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。
非静电场强
方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。
电源外部 Ek为零，
电动势 ?,把单位正电荷从负极经电
源内部移到正极时，电源中非静电力
所做的功。
? ?? ?? ldE k ???
ldEdlE
L
kk ? ??? ??
?
?
???
单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所
做的功。
电动势描述电路中 非静电力做功本领
电势差描述电路中 静电力做功
+ –
8-8 电场的能量
?
K
a b 开关倒向 a,电容器充电。
开关倒向 b,电容器放电。
灯泡发光 ?电容器释放能量 ?电源提供
计算电容器带有电量 Q，相应电势差为 U
时所具有的能量。
一、带电系统的能量
dq
任
一
时
刻
q? q?
Au Bu
终
了
时
刻
Q? Q?
AU BU
C
quuu
BA ???
B dq A
外力做功 dq
C
qud qdAdW ???
? ??
Q
C
Qdq
C
qA
0
2
2
? 电容器的电能
2
2
2
1
2
1
2 CUQUC
QW ???
电场能量体密度 —— 描述电场中能量分布状况
二、电场能量
1、对平行板电容器
2
2
1 CUW ? 20
2
1 )Ed)(
d
S( ??
)Sd(E 2021 ?? VE 20
2
1 ??
电场存在的空间体积
d
S0?
q? q?
对任一电场，电场强度非均匀
dVwdW ee ?
2
02
1 E
V
Ww ???
2、电场中某点处单位体积内的电场能量
EED r ??? ??? ?? 0
???? ??
VVV
D Ed VdVEdWW 2121 20?
例,计算球形电容器的能量
已知 RA,RB,?q
AR
BR
q?
q?
r解：场强分布
2
04 r
qE
???
取体积元 drrdV 24 ??
dVEw d VdW 2021 ??? drr)
r
q( 22
2
0
0 442
1 ?
????
能量 ? ???
V
R
R
B
A
dr
r
qdWW
2
0
2
8 ?? )RR(
q
BA
11
8 0
2
??
??
AB
BA
RR
RR
q
?
?
0
2
42
1
??
2
2
1 q
C?
课
堂
讨
论
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
R Rq q
?
?
?
?
?
?
?
?
R r
r
q
Rr
E
4
0
2
0?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R r
r
q
Rr
R
qr
E
4
4
2
0
3
0
??
??
??
?
????
R
R
drrEdrrEW 220
0
22
0 42
14
2
1 ????
球体球面 WW ?
