第六篇 量子论
早期量子论
量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说
爱因斯坦光子假说
康普顿效应
玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性
薛定谔方程
波恩的物质波统计解释
海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义
相对论相结合
物体在不同温度下发出的各种电磁波的能
量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射
热辐射
15-1 黑体辐射 普朗克量子假设
一、热辐射 绝对黑体辐射定律
单色辐射本领（单色辐出度）
波长 ?为的单色辐射本领是指单位时间内从物
体的单位面积上发出的波长在 ?附近单位波长间隔
所辐射的能量。
)T(M ? 3m/W
如果一个物体能全部吸收投射在
它上面的辐射而无反射，这种物
体称为 绝对黑体,简称 黑体 。
0 1 2 3 4 5 6
(μm)
)T(B B?
?
1,斯忒藩 —玻尔兹曼定律
? ?? 0 ?? d)T(M)T(M BB
黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）
4T)T(M B ??
斯忒藩常数—42810675 ??? ???? KmW.?
（即曲线下的面积）
当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出
射度最大值向短波方向移动。
2,维恩位移定律
峰值波长
bTm ??
维恩常数—Km.b ??? ? 3108982
)T(M B?
m?
?
实验值)T(M B?
维恩
瑞利 --金斯
紫
外
灾
难
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )m( ??
T
C
B eC)T(M ?? ?
25
1
???
TC)T(M B 43 ?? ??
二、普朗克量子假设
h— 普朗克常数 sJh ??? ? 341063.6
普朗克得到了 黑体辐射公式,
1
12 52
?
? ?
kT
hcB
e
hc)T(M
?
? ??
c —— 光速
k —— 玻尔兹曼恒量
普朗克量子假说
(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，
并和周围的电磁场交换能量。
?? h?
(2) 这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值
，是最小 能量 ?的整数倍,这个最小能量称为 能量子 。
M.V.普朗克
研究辐射的量子理
论，发现基本量子
，提出能量量子化
的假设
1918诺贝尔物理学奖
15-2 光的量子性电效应
一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律
光电效应 光照射到金属表面时，
有电子从金属表面逸出的现象。
光电子 逸出的电子。
OO
OO
OO
O O
A K
G
V
R
光电子由 K飞向 A，回路中
形成 光电流 。
光电效应伏安特性曲线
饱
和
电
流
光 强 较 强
光 强 较 弱截
止
电
压
I
aU
1sI
2sI
O
U
实验规律
1、单位时间内从阴极逸出
的光电子数与入射光的强
度成正比。
2、存在遏止电势差
am eUmv ?
2
2
1
0UkU a ?? ?
aU
?
O
0
2
2
1 eUekmv
m ?? ? k
U 0??
称为红限频率kU 00 ??
021 2 ?mmv
对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，
则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。
am eUmv ?
2
2
1
0UkU a ?? ?
(3) 光电效应瞬时响应性质
实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到光
电子出现只需要 的时间。s910?
爱因斯坦光电效应方程
Amvh m ?? 221?
爱因斯坦光子假说
光是以光速 c 运动的微粒流，称为 光量子 （ 光子 ）
?? h?光子的能量
金属中的自由电子吸收一个光子能量 h?以后，
一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功 A,
一 部分转化为光电子的动能。
0
2
2
1 eUekmv
m ?? ? Ahmv m ?? ?
2
2
1
ekh ? 0eUA ? hAkU ?? 00?
3,从方程可以看出光电子初动能和照射光的 频率
成线性关系。
爱因斯坦对光电效应的解释
2,电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，
所以无须时间的累积。
1,光强大，光子数多，释放的光电子也多，
所以光电流也大。
例 根据图示确定以下各量
1、钠的红限频率
2、普朗克常数
3、钠的逸出功
解：由爱因斯坦方程
Amvh m ?? 221?
其中
am eUmv ?
2
2
1
截止电压与入射光频关系
AheU a ?? ?
)V(U a
O
)Hz( 1410?
?
?
?
??
?
20.2
10
65.0
0.6
钠的截止电压与
入射光频关系
39.4
AheU a ?? ?
从图中得出
Hz141039.4 ???
hddUe a ??
从图中得出
sV.bcabddU a ???? ? 1510873?
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
?
?
?
??
?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与
入射光频关系
a
bc
0.6
sJ.ddUeh a ???? ? 341026?
J.hA 1910722 ???? ?
普朗克常数
钠的逸出功
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
?
?
?
??
?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与
入射光频关系
a
bc
0.6
? A.爱因斯坦
? 对现物理方面的贡
献，特别是阐明光
电效应的定律
1921诺贝尔物理学奖
二、康普顿效应
1922年间康普顿观察 X射线通过物质散射时，发
现散射的波长发生变化的现象。
X 射线管
R 光阑
1B 2B
0?
石墨体（散射物）
?A
晶体
探测器
石
墨
的
康
普
顿
效
应
..
..,.,....,.
.,,
.
....
..
.,.
.
.
.
..,.,...
..
...
.,
..
.
..
..,
.
.
.
..,.,..
.....,
...,...,,.,.......
.,
(a)
(b)
(c)
(d)
? (埃 )0.700 0.750
00??
045??
0135??
090??
1.散射 X射线的波长中
有两个峰值
0?? ?
02 ???? ??.
与散射角 ?有关
3.不同散射物质，
在同一散射角下波
长的改变相同。
4,波长为 ?的散射光强
度随散射物质原子序
数的增加而减小。
光子理论对康普顿效应的解释
高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。
1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量
传给电子,光子的能量减少，因此波长变长，频率
变低。
2、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能
量几乎不变，故波长有不变 的成分 。
3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以
波长改变和散射角有关。
光子的能量、质量和动量
由于光子速度恒为 c，所以
光子的, 静止质量, 为零,
2
2
0
1
c
v
m
m
?
?
光子的动量：
c
Ep ?
?
? h
c
h ??
光子能量, ?hE ?
420222 cmcpE ??
康普顿效应的定量分析
0?h
Y
X
0m
e
Y
X
?h
vm?
（ 1） 碰撞前 （ 2） 碰撞后 （ 3） 动量守恒
X
nch ??
vm?
0
0 n
c
h ???
碰撞前，电子平均动能（约百分之几 eV），与入
射的 X射线光子的能量（ 104~105eV）相比可忽略，
电子可看作静止的。
由 能量守恒,
由 动量守恒,
2002 cmhhmc ??? ??
2
2 2
0
0
????? s i n
cm
h???
vmnchnch ?? ?? 00 ??
2
2
0
1
c
v
m
m
?
?
康普顿散射公式
cm
h
c
0
?? 电子的康普顿波长 0243.0?c? ?
X
nch ??
vm?
0
0 n
c
h ???
?c o snn ?? ?? 0
1927诺贝尔物理学奖
? A.H.康普顿
? 发现了 X射线通过
物质散射时，波长
发生变化的现象
光的波粒二象性
表示粒子特
性的物理量
波长、频率是表示
波动性的物理量
表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，
即具有波粒二象性。
?? h?
?
hp ?
2c
hm ??
光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动
一, 氢原子光谱的实验规律
谱线是线状分立的
15-2 玻尔的氢原子理论
光谱公式 )
n(R
~
22
1
2
11 ???
??
42
2
?? n
nB?
R=4/B 里德伯常数 1.0967758× 107m-1
连
续
0
A73645,
H ?
0A16562,H
?红
0
A74860,
H ?深绿
0
A14340,
H ?青
0A24101,H
?紫
0A73645,B ?
?,,,,n 6543?
巴耳末公式
赖曼系 )
n(R
~
22
1
1
1 ??? 在紫外区?,,,n 432?
帕邢系 )
n(R
~
22
1
3
1 ??? 在近红外区?654,,n ?
布喇开系 )
n(R
~
22
1
4
1 ??? 在红外区?765,,n ?
普芳德系 )
n(R
~
22
1
5
1 ??? 在红外区?,,,n 876?
广义巴耳末公式 )
nk(R
~
22
11 ??? ?,,,k 321?
?,k,k,kn 321 ????
)n(T)k(T~ ??? 称为光谱项22 nR)n(T,kR)k( ??
二, 玻尔氢原子理论
原子的核式结构的 缺陷,
无法解释原子的稳定性
无法解释原子光谱的不连续性
玻尔原子理论的三个 基本假设,
1、定态假设
原子系统存在一系列 不连续的能量状态,处于这些状态
的原子中电子只能 在一定的轨道上 绕核作圆周运动，但
不辐射能量 。这些状态称为稳定状态，简称定态。
对应的能量 E1,E2,E3… 是不连续的。
2、频率假设
原子从一较大能量 En的定态向另一较低能量 Ek的 定
态跃迁时，辐射一个光子
kn EEh ???
3、轨道角动量量子化假设
?2
hnL ? 轨道量子化条件
n为正整数，称为量子数
跃迁频率条件
原子从较低能量 Ek的 定态向较大能量 En的定态
跃迁时，吸收一个光子
基本假设应用于氢原子：
(1)轨道半径量子化
2
2
2
2
04
1
nn r
vm
r
e ?
?? ?2
hnm v rL
n ??
)me h(nr n 2
2
02
?
??
第一玻尔轨道半径 0
2
2
0
1 A530,me
hr ??
?
?
(2)能量量子化和原子能级
n
nn r
emvE
0
2
2
42
1
??
??
),,,n()
h
me(
n
E n ?321
8
1
22
0
4
2 ??? ?
基态能级 V.E e5813
1 ??
激发态能级 eV
n
.
n
EE
n 22
1 5813???
氢原子的电离能 eV.EEE 5813
1 ??? ?电离
)meh(nr n 2
2
02
?
??
(3)氢原子光谱
h
EE kn ???
c
~ ?
?? ??
1
2n
R c hE
n ??
氢原子发光机制是能级间的跃迁
)
nk
(
ch
me
2232
0
4 11
8
??
?hc
EE kn ??
R理论 — 里德伯常数
1.097373× 107m-1
R实验 =1.096776× 107m-1
氢原子光谱中的不同谱线
65
62
.79
48
61
.33
43
40
.47
41
01
.74
12
15
.68
10
25
.83
97
2.5
4
18
.75 40
.50
赖曼系
巴耳末系
帕邢系
布喇开系
连续区
nE )eV(
0
850.?
511.?
393.?
613,?
? ? ? ?
?
4
3?n
2?n
1?n
例 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长
和最长波长各是多少？
解,根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应
是 n=3?n=2跃迁的光子，即
)(.)(R
m a x
22
7
22 3
1
2
1100971
3
1
2
11 ?????
?
o7 A6 5 6 310566 ??? ? m.
m a x?
最短波长应是 n=??n=2跃迁的光子，即
4100 9 71211 72 /.R
m i n
???? oA3 4 6 4?m i n?
例 （ 1）将一个氢原子从基态激发到 n=4的激发态需
要多少能量？（ 2）处于 n=4的激发态的氢原子可发
出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波
长各多少？
解：（ 1）
JeV.
).(
.
E
E
EEE
18
212
1
14
1027512
5813
4
5813
4
????
??
?
??????
（ 2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱
线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以
发出的谱线跃迁如图所示，共有 6条谱线。
1?n
2?n
3?n
4?n由图可知，可见光的谱线为
n=4和 n=3跃迁到 n=2的两条
)(R~ 2242 4121 ???
17
7
10210
16
1
4
1
100 971
???
???
m.
)(.
o
42
42 A4 8 6 1
1 ??
?? ~
)(R~ 2232 3121 ??? 1710150 ??? m.
o
32
32 A6 5 6 3
1 ??
?? ~
二、玻尔理论的缺陷
1,把电子看作是一经典粒子,推导中应用了牛顿
定律，使用了轨道的概念,所以玻尔理论不是彻
底的量子论。
2.角动量量子化的假设以及电子在稳定 轨道上运动
时不辐射电磁波的是十分生硬的。
3,无法解释光谱线的精细结构。
4,不能预言光谱线的强度。
? N.玻尔
? 研究原子结构，特
别是研究从原子发
出的辐射
1922诺贝尔物理学奖
15-4 粒子的波动性
一、德布罗意波
德布罗意提出了 物质波的假设,
任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和
波的传播不能相互分离。
运动的实物粒子的能量 E、动量 p与它相关联的
波的频率 ? 和波长 ?之间满足如下关系：
?hmcE ?? 2 ?hmvp ?? 德布罗意关系式
表示自由粒子的平面波称为 德布罗意波 (或 物质波 )
自由粒子速度较小时
电子的德布罗意波长为
m
pE
2
2
?
m e V
h
2
??
0
A212
V
.?
VV 100? 0A221,??
例如,电子经加速电势差 V加速后 eVE ?
mE
h
p
h
2
???
物质波的实验验证
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体
上进行电子衍射实验。
G
K
狭缝 电
流
计
镍
集 电
器
U
电子束
单 晶
?
?
衍射最大值,?32102,,,kks i nd ?? ??
m e U
h
2
??电子的波长：
m e U
hks i nd
2
2 ??
5 10 2015 250
I
V
电流出现峰值
戴维孙 — 革末实验中 063 A03280 00,kU.d ?????
?L.V.德布罗意
?电子波动性的理论
研究
1929诺贝尔物理学奖
?C.J.戴维孙
?通过实验发现晶体
对电子的衍射作用
1937诺贝尔物理学奖
二、德布罗意波的统计解释
1926年，德国物理学玻恩 (Born,1882--1972)
提出了概率波，认为 个别微观粒子 在何处出现有一
定的 偶然性,但是 大量粒子 在空间何处出现的空间
分布却服从 一定的统计规律 。
? M.玻恩
?对量子力学的基础
研究，特别是量子
力学中波函数的统
计解释
1954诺贝尔物理学奖
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率
波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具
有确定的位置和确定的动量。
衍射图样
电子束
x
缝
屏
幕a ?2
X方向电子的位置不准确量为,ax??
15-5 测不准关系
??? ?s i nx ?s i npp x ??
X方向的分动量 px的测不准量为：
xp ?? ?
ph??
xxpxp x ????? ? h
p
hp ??
xp
yp
p
?
电子束
x
缝
屏
幕a ?2
ax??
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
经严格证明此式应为：
hxp x ???
2??xp x ??
这就是著名的海森伯测不准关系式
hxp x ???
2??yp y ??
2??zp z ??
测不准关系式的理解
1,用经典物理学量 ——动量、坐标来描写微观粒子
行为时将会受到一定的限制 。
3,对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均
时间 Δt 之间也有下面的测不准关系：
2,可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典
力学来描写还是用量子力学来描写。
2??tE ??
原子处于激发态的平均寿命一般为
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
2??tE ??
st 810 ???
JtE 26102 ??? ?? ?
于是激发态能级的宽度为：
?W.海森堡
?创立量子力学，
并导致氢的同素
异形的发现
1932诺贝尔物理学奖
所以坐标及动量可以同时确定
1,宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
，若
的乒乓球,其直径
,可以认为其位
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
例 kgm 210 ?? cmd 5?
1200 ??? smv x mx 610 ???
x
vm x
?
?
2
?? ?
6
34
10
10
?
?
? 12810 ?? ??? smkg
xvm?? 12 ???? smkg
问题？
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
01 Adx ???
例 一电子以速度
的速度穿过晶体。
161001 ???? sm.v x
xmv x ?? 2
?? 1
1031
34
1010
10 ?
??
?
??? sm
1710 ??? sm 1610 ???? smv
x
2,微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
15-6 波函数 薛定谔方程
)xt(c o sA)t,x(y ??? ?? 2
)(2),( ??? xtiAetxy ???
单色平面简谐波波动方程
一,波函数
描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子
)(20),( ????? xtietx ???
0?)t,x(?
区别于经典波动
只取实部
hE
ph
?
?
?
? )pxEt(ie)t,x( ??? ?
0?? ?2
h??其中
若系统能量为确定值而不随时间变化
只与坐标有关而与时间无关,振幅函数
Etie)x()t,x( ??? ??
pxie)x( ?
0?? ?
波函数 物理意义
在某处发现一个实物粒子的 几率 同 波函数平方 成正比
t时刻在 (x,y,z)附近小体积 dV中出现微观粒子的概率为
dVdV ?? ??? 2 d x d y d zdV ?
12 ????V d x d y d z? 波函数归一化条件
波函数的标准条件,单值, 有限 和 连续
波函数的平方表征了 t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的
概率密度
)t,z,y,x(?? ?2
物质波与经典波的本质区别
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
可测量，具有物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
一般是不可测量的。
??? ??? 2
2、物质波是概率波。 ?? C 等价
对于经典波 CAA ?
ECE 2 ?
解：利用归一化条件
?
??
??
dx)x( 2?
例：求波函数归一化常数和概率密度 。
? ?
?
?
?
?
?
??
??
? ?
)0(
)0( 0
axx
a
s i nAe
ax,x
x Eti ??
?
?? a dxaxs i nA0 22 ? 12
2
?? aA aA
2?
2?? ?
??
?
?
?
??
??
?
)0(
2
)0( 0
2 ax
a
x
s i n
a
ax,x
?
这就是 一维自由粒子（含时间）薛定谔方程
)pxEt(ie)t,x( ??? ?
0??
?? 2
2
2
2
?
p
x ???
? ?? Ei
t ????
?
对于非相对论粒子 mpE 22?
tixm ?
??
?
??? ?? ??
2
22
2
一维自由粒子的波函数
二、薛定谔方程
在外力场中粒子的总能量为：
tiVxm ?
???
?
??? ??? ??
2
22
2
VpmE ?? 22 1
一维薛定谔方程
?? 2
2
2
2
?
p
x ???
? ?? Ei
t ????
?
三维薛定谔方程
tiVm ?
????? ??? ?? 22
2
2
2
2
2
2
22
zyx ?
??
?
??
?
???
拉普拉斯算符 哈密顿量算符
VmH? ???? 2
2
2
?
薛定谔方程 ??
?
? H?
ti ??
ti)t,z,y,x(Vm ?
????? ??? ?? 22
2
)t(f)z,y,x()t,z,y,x( ?? ?
如势能函数不是时间的函数
代入薛定谔方程得：
t
f
f
iV
m ?
??
?
?
?
?
?
? ??? 1
2
1 22 ?? ??
?
用分离变量法将波函数写为：
)z,y,x(VmH? ???? 2
2
2
?
只是空间坐标的函数 只是时间的函数
Etffi ???1?
Etike)t(f ???
??? EVm ???? 2
2
2
?
Etie)z,y,x()t,z,y,x( ??? ??
粒子在空间出现的几率密度
2
22 Et
i
e)z,y,x()t,z,y,x( ?
?
? ?? 2)z,y,x(??
几率密度与时间无关，波函数描述的是 定态
定态薛定谔方程
定态波函数??
02 22
2
??? )x()VE(m)x(dxd ?? ?粒子在一维势场中
E.薛定谔
量子力学的
广泛发展
1933诺贝尔物理学奖
15-7 薛定谔在几个一维问题中的应用
一、一维无限深 势阱
金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动
势能函数为：
?
?
?
??
?
?
????
???
?
)
a
x,
a
x(
)
a
x
a
(
)x(V
22
22
0
??V
O
2
a
??V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
??V
O
2
a
??V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
)x()EV(mdx )x(d ?? ?? 22
2 2
?
??V对 Ⅱ 区：
)EV(m ?? 22 2??令 ???? ?,V当
)x(dx )x(d ??? 22
2
?
xx eBeA)x( ??? ?????
??? ?,ax 2当 0??????? BA)x(? 0?)x(?
2
ax ??当 ??????? BA)x( 0? 0?)x(?
通解为
02 22
2
?? )x(mEdx )x(d ?? ?
0?V
?mEk 2 ?令 022
2
?? )x(kdx )x(d ??
方程的通解为：
i k xi k x BeAe)x( ????
波函数连续
022 ?? kas i nDkac o sC 0?kas i n
?,,n
nka
21?
? ?
??V
O
2
a
??V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
对 Ⅰ 区：
kxs i nDkxc o sC)x( ???或
022 ?? kas i nDkac o sC
粒子的能量 ????? 321
2
2
2
22
,,nn)ma(E n ??
?mEk 2? ?,,nnka 21?? ?
xans i nDxanc o sC)x( ??? ??
)ns i n (D)nc o s (C)a( 2202 ??? ?????
?
?
?
?????
??????
?
?
,,,nD)(C
,,,n)(DC
64201
53110
?,,,nxanc o sC)x( 531?? ??
?,,,nxans i nD)x( 642?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,,,n)x
a
n
s i n(
a
n)x
a
n
c os (
a
)x(
642
2
1,3,5,
2
?
?
?
12
2
22 ??
?
a
a xdxa
nc o sC ? 12
2
22 ??
?
a
a xd xa
ns i nD ?
aDC
2??
?,,,nxanc o sC)x( 531?? ??
?,,,nxans i nD)x( 642?? ??
一
维
无
限
深
势
阱
中
的
粒
子
)x(?
2)x(?
O O2a
x x
1?n
2?n
3?n
4?n
1E
2E
3E
4E
2a? 2a2a?
?1,3,5,2 ?? n)xanc o s (a)x( ??
?,,,n)xans i n (a)x( 6422 ?? ??
)x()x( ?? ??
相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。
)x()x( ?? ???
相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。
二、隧道效应
玻璃 光波能透过界面进入
空气达数个波长的深
度（渗透深度）。
玻璃
电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。
电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。
E
E
0?V 0?V
0VV ?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
垒高度金属中电子能量低于势 0VE ?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2
210
1
0
0 0
xx
xxxV
xx
)x(V
Ⅰ 区 薛定谔方程为：
01212 1
2
???? ?? kx
02222 2
2
???? ?? kx
03232 3
2
???? ?? kx 223 2 ?mEk ?
2
02
2
2
?
)EV(mk ??
E
E
0?V 0?V
0VV ?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2
2
1
2
?
mEk ?
xikxik BeAe 111 ????
Ⅱ 区 薛定谔方程为：
xkxk eBeA 22 222 ????
Ⅲ 区 薛定谔方程为：
xikeA 333 ??
Ⅰ 区粒子进入 Ⅲ 区的概率为
)EV(m
a
x
x
x
x eP ????? 0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
?
?
?
?
?
势垒越宽透过的概率越小，
(V0-E)越大透过的概率越小。
为势垒的宽度12 xxa ??
)EV(maPln ??? 022?
xkxk eBeA 22 222 ????
E
E
0?V 0?V
0VV ?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
样品表面
隧道电流
扫描探针
计算机 放大器
样品 探针
运动控制
系统显示器
扫描隧道显微镜
示意图
48个 Fe原子形成, 量子围栏,,
围栏中的电子形成驻波,
三,一维谐振子
粒子的势能函数
22
2
1
2
1 xmkxV ???
薛定谔方程
0212 222
2
??? ??? )xmE(mdxd ?
?,,,n
h)n(E
210
2
1
?
?? ?
O x
2?
1?n
2?n
3?n
0?n
2
2
1 kx
15-8 量子力学对氢原子的应用
氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量
是电子质量的 1837倍，可近似认为质子静止，电子
受质子库仑电场作用而绕核运动。
电子势能函数
电子的定态薛定谔方程为
由于氢原子中心力场是球
对称的，采用球坐标处理。
?? c o ss i nrx ? ?? s i ns i nry ?
?c o srz ?
x
z
y
?
?
O
r
P
定态薛定谔方程为：
用分离变量求解，令 )()()r(R),,r( ??????? ?
代入方程可得：
0]
4
1
[
211
111
2
0
2
2
2
2
2
2
????
?
r
e
E
mr
d
d
s i n
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
)
dr
dR
r(
dr
d
R
???
?
??
?
?
?
???
?
2
2
21
lmdd ?????令
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
???
??
??
?
?
???
??
s i n
m
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
r
e
E(
mr
)
dr
dR
r(
dr
d
R
l
?
上式可分解为两个方程：
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
???
??
??
?
?
???
??
s i n
m
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
r
e
E(
mr
)
dr
dR
r(
dr
d
R
l
?
???????? ??? 2
211
s i n
m)
d
d( s i n
d
d
s i n
l
2
2
21
lmd
d ??
?
?
?
氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：
1、主量子数 n
决定着氢原子的能量
2、角量子数 l
角动量大小
?)l(lL 1??
)n(,,,,l 1210 ?? ?
18 222
0
4
nh
meE
???
?,,,n 321?
3、磁量子数 ml
角动量空间取向量子化 ?lz mL ?
l,,,,m l ???? ??210
空间量子化示意图
)(? z
1
0
1?
1?l
)(? z
1
0
1?
2?l
)(? z
1
0
1?
3?l
3
22
3?
2? 2?
?2?L
?6?L
?12?L
15-9 斯特恩 —盖拉赫实验
证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。
即角动量在空间的取向是量子化的。
1、电子的轨道磁矩
电子磁矩大小 IA??
I
??d
ze?
r
e
v?
回路包围的面积
电流强度
?
?
A
I
T
eI ? 周期电子电量 ?? Te
扫过的面积时间内电子矢径 rdt ??dr 2
2
1
I
??d
ze?
r
e
v?
绕行一周扫过的面积
?? ?? T dtdtdrdrA 0 220 2 2121 ???
dt
dmr ?2电子的角动量 ??? T dt
m
LA
0 2
电子在有心力场中运动，角动量守恒 T
m
LA
2?
LmeIA 2??? Lme ?? 2???
是角量子数l,)l(lL 1 ???
角动量在外磁场方向（取为 z轴正向）的投影
是磁量子数llz m,mL ??
磁矩在 z轴的投影
Bllzz mmm
eL
m
e ?? ?????? ?
22
15124 1079510279
2
???? ??????? TeV.TJ.
m
e
B
??玻尔磁子
载流线圈在外磁场中受力矩作用 BM ??? ?? ?
?????? ???? c o sBds i nBMdW ????? ??
22
BBc o sBU z???? ??????? ??
力矩作功
相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
z
B
z
Uf
zz ?
??
?
??? ?
磁场在 z方向不均匀，载流线圈在 z方向受力
结论,原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
1921年，斯特恩 （ O.Stern） 和盖拉赫
（ W.Gerlach） 发现一些处于 S 态的原子射线
束，在非均匀磁场中一束分为两束。
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
z
v
Lt ?
z
z )
v
L(
z
B
MtM
fats ?222
2
1
2
1
2
1
?
????
向上偏转0?z? 向下偏转0?z?
实验现象,屏上几条清晰可辨的黑斑
结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
斑纹条纹数 =2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数 l
发现, Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为 2
2
1?l ??
2
1
2
1 或??
zL
矛盾？与 ?,,,l 210?
15-10 电子自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密
特 (S.A.Goudsmit)提出：
除轨道运动外，电子还存在一种 自旋 运动。
电子具有 自旋角动量 和相应的 自旋磁矩 。
?)1( ?? ssS
自旋角动量
2
1?ss 称为自旋量子数 ?
2
3?S
自旋角动量的空间取向 是量子化的，
在外磁场方向投影
?sz mS ?
2
1??
ss mm 称为自旋磁量子数
自旋磁矩 S
m
e
s
?? ???
在外磁场方向投影 BzS
m
eS
m
e
z
?? ????? 2 ??
m
e
S
S ??
??
m
e
L
L
2
??
??
自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值
轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值
电子自旋及空间量子化
S? ?
2
3?S
2
1??
sm
2
1?
sm
z
O
“自旋”不是宏观物体的“自转”
只能说电子自旋是电子的一种内部运动
15-11 原子的壳层结构
多电子的原子中电子的运动状态用 (n,l,ml,,ms)
四个量子数表征：
（ 1）主量子数 n，可取 n=1,2,3,4,…
决定原子中电子能量的主要部分。
（ 2）角量子数 l，可取 l=0,1,2,…(n -1)
确定电子轨道角动量的值。
nl表示电子态
l 0 1 2 3 4 5 6 7 8
记号 s p d f g h i k l
如 1s 2p
（ 3）磁量子数 ml，可取 ml=0,± 1,± 2,… ± l
决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。
（ 4）自旋磁量子数 ms，只取 ms= ± 1/2
确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。
“原子内电子按一定壳层排列”
主量子数 n四个相同的电子组成一个主壳层。
n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫 K,L,M,N,… 壳层。
每一壳层上，对应 l=0,1,2,3,… 可分成 s,p,d,f… 分壳层。
（一）泡利 (W.Pauli)不相容原理
在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有
完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。
各壳层所可能有的最多电子数,
当 n给定,l 的可取值为 0,1,2,…,n-1共 n个 ;
当 l给定,ml的可取值为 0,± 1,± 2,…,± l共 2l+1
个 ;当 n,l,ml 给定,ms的可取值为 ± 1/2共 2个,
给定主量子数为 n的壳层上，可能有的最多电子数为：
2
1
0
22 )12(22)12(2 nnnlZ
n
l
n ?
????? ??
?
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数
l
n
9826(7i)22(7h)18(7g)14(7f)10(7d)6(7p)2(7s)7Q
7222(6h)18(6g)14(6f)10(6d)6(6p)2(6s)6P
5018(5g)14(5f)10(5d)6(5p)2(5s)5O
3214(4f)10(4d)6(4p)2(4s)4N
1810(3d)6(3p)2(3s)3M
86(2p)2(2s)2L
22(1s)1K
Zn6i5h4g3f2d1p0s
pdspspss 43433221 ???????
pdfspds 6546545 ???????
dfs 657 ???
原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先
占据能量最低的能级。
（二）能量最小原理
越大，能级越高)l.n( 70?
比较和 ds 34 ).().( 27030704 ?????
K K K
K K K
L L
L L L
M M
2 He 3 Li
10 Ne 11 Na 17 Cl
8 O
早期量子论
量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说
爱因斯坦光子假说
康普顿效应
玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性
薛定谔方程
波恩的物质波统计解释
海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义
相对论相结合
物体在不同温度下发出的各种电磁波的能
量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射
热辐射
15-1 黑体辐射 普朗克量子假设
一、热辐射 绝对黑体辐射定律
单色辐射本领（单色辐出度）
波长 ?为的单色辐射本领是指单位时间内从物
体的单位面积上发出的波长在 ?附近单位波长间隔
所辐射的能量。
)T(M ? 3m/W
如果一个物体能全部吸收投射在
它上面的辐射而无反射，这种物
体称为 绝对黑体,简称 黑体 。
0 1 2 3 4 5 6
(μm)
)T(B B?
?
1,斯忒藩 —玻尔兹曼定律
? ?? 0 ?? d)T(M)T(M BB
黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）
4T)T(M B ??
斯忒藩常数—42810675 ??? ???? KmW.?
（即曲线下的面积）
当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出
射度最大值向短波方向移动。
2,维恩位移定律
峰值波长
bTm ??
维恩常数—Km.b ??? ? 3108982
)T(M B?
m?
?
实验值)T(M B?
维恩
瑞利 --金斯
紫
外
灾
难
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )m( ??
T
C
B eC)T(M ?? ?
25
1
???
TC)T(M B 43 ?? ??
二、普朗克量子假设
h— 普朗克常数 sJh ??? ? 341063.6
普朗克得到了 黑体辐射公式,
1
12 52
?
? ?
kT
hcB
e
hc)T(M
?
? ??
c —— 光速
k —— 玻尔兹曼恒量
普朗克量子假说
(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，
并和周围的电磁场交换能量。
?? h?
(2) 这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值
，是最小 能量 ?的整数倍,这个最小能量称为 能量子 。
M.V.普朗克
研究辐射的量子理
论，发现基本量子
，提出能量量子化
的假设
1918诺贝尔物理学奖
15-2 光的量子性电效应
一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律
光电效应 光照射到金属表面时，
有电子从金属表面逸出的现象。
光电子 逸出的电子。
OO
OO
OO
O O
A K
G
V
R
光电子由 K飞向 A，回路中
形成 光电流 。
光电效应伏安特性曲线
饱
和
电
流
光 强 较 强
光 强 较 弱截
止
电
压
I
aU
1sI
2sI
O
U
实验规律
1、单位时间内从阴极逸出
的光电子数与入射光的强
度成正比。
2、存在遏止电势差
am eUmv ?
2
2
1
0UkU a ?? ?
aU
?
O
0
2
2
1 eUekmv
m ?? ? k
U 0??
称为红限频率kU 00 ??
021 2 ?mmv
对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，
则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。
am eUmv ?
2
2
1
0UkU a ?? ?
(3) 光电效应瞬时响应性质
实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到光
电子出现只需要 的时间。s910?
爱因斯坦光电效应方程
Amvh m ?? 221?
爱因斯坦光子假说
光是以光速 c 运动的微粒流，称为 光量子 （ 光子 ）
?? h?光子的能量
金属中的自由电子吸收一个光子能量 h?以后，
一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功 A,
一 部分转化为光电子的动能。
0
2
2
1 eUekmv
m ?? ? Ahmv m ?? ?
2
2
1
ekh ? 0eUA ? hAkU ?? 00?
3,从方程可以看出光电子初动能和照射光的 频率
成线性关系。
爱因斯坦对光电效应的解释
2,电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，
所以无须时间的累积。
1,光强大，光子数多，释放的光电子也多，
所以光电流也大。
例 根据图示确定以下各量
1、钠的红限频率
2、普朗克常数
3、钠的逸出功
解：由爱因斯坦方程
Amvh m ?? 221?
其中
am eUmv ?
2
2
1
截止电压与入射光频关系
AheU a ?? ?
)V(U a
O
)Hz( 1410?
?
?
?
??
?
20.2
10
65.0
0.6
钠的截止电压与
入射光频关系
39.4
AheU a ?? ?
从图中得出
Hz141039.4 ???
hddUe a ??
从图中得出
sV.bcabddU a ???? ? 1510873?
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
?
?
?
??
?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与
入射光频关系
a
bc
0.6
sJ.ddUeh a ???? ? 341026?
J.hA 1910722 ???? ?
普朗克常数
钠的逸出功
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
?
?
?
??
?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与
入射光频关系
a
bc
0.6
? A.爱因斯坦
? 对现物理方面的贡
献，特别是阐明光
电效应的定律
1921诺贝尔物理学奖
二、康普顿效应
1922年间康普顿观察 X射线通过物质散射时，发
现散射的波长发生变化的现象。
X 射线管
R 光阑
1B 2B
0?
石墨体（散射物）
?A
晶体
探测器
石
墨
的
康
普
顿
效
应
..
..,.,....,.
.,,
.
....
..
.,.
.
.
.
..,.,...
..
...
.,
..
.
..
..,
.
.
.
..,.,..
.....,
...,...,,.,.......
.,
(a)
(b)
(c)
(d)
? (埃 )0.700 0.750
00??
045??
0135??
090??
1.散射 X射线的波长中
有两个峰值
0?? ?
02 ???? ??.
与散射角 ?有关
3.不同散射物质，
在同一散射角下波
长的改变相同。
4,波长为 ?的散射光强
度随散射物质原子序
数的增加而减小。
光子理论对康普顿效应的解释
高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。
1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量
传给电子,光子的能量减少，因此波长变长，频率
变低。
2、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能
量几乎不变，故波长有不变 的成分 。
3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以
波长改变和散射角有关。
光子的能量、质量和动量
由于光子速度恒为 c，所以
光子的, 静止质量, 为零,
2
2
0
1
c
v
m
m
?
?
光子的动量：
c
Ep ?
?
? h
c
h ??
光子能量, ?hE ?
420222 cmcpE ??
康普顿效应的定量分析
0?h
Y
X
0m
e
Y
X
?h
vm?
（ 1） 碰撞前 （ 2） 碰撞后 （ 3） 动量守恒
X
nch ??
vm?
0
0 n
c
h ???
碰撞前，电子平均动能（约百分之几 eV），与入
射的 X射线光子的能量（ 104~105eV）相比可忽略，
电子可看作静止的。
由 能量守恒,
由 动量守恒,
2002 cmhhmc ??? ??
2
2 2
0
0
????? s i n
cm
h???
vmnchnch ?? ?? 00 ??
2
2
0
1
c
v
m
m
?
?
康普顿散射公式
cm
h
c
0
?? 电子的康普顿波长 0243.0?c? ?
X
nch ??
vm?
0
0 n
c
h ???
?c o snn ?? ?? 0
1927诺贝尔物理学奖
? A.H.康普顿
? 发现了 X射线通过
物质散射时，波长
发生变化的现象
光的波粒二象性
表示粒子特
性的物理量
波长、频率是表示
波动性的物理量
表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，
即具有波粒二象性。
?? h?
?
hp ?
2c
hm ??
光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动
一, 氢原子光谱的实验规律
谱线是线状分立的
15-2 玻尔的氢原子理论
光谱公式 )
n(R
~
22
1
2
11 ???
??
42
2
?? n
nB?
R=4/B 里德伯常数 1.0967758× 107m-1
连
续
0
A73645,
H ?
0A16562,H
?红
0
A74860,
H ?深绿
0
A14340,
H ?青
0A24101,H
?紫
0A73645,B ?
?,,,,n 6543?
巴耳末公式
赖曼系 )
n(R
~
22
1
1
1 ??? 在紫外区?,,,n 432?
帕邢系 )
n(R
~
22
1
3
1 ??? 在近红外区?654,,n ?
布喇开系 )
n(R
~
22
1
4
1 ??? 在红外区?765,,n ?
普芳德系 )
n(R
~
22
1
5
1 ??? 在红外区?,,,n 876?
广义巴耳末公式 )
nk(R
~
22
11 ??? ?,,,k 321?
?,k,k,kn 321 ????
)n(T)k(T~ ??? 称为光谱项22 nR)n(T,kR)k( ??
二, 玻尔氢原子理论
原子的核式结构的 缺陷,
无法解释原子的稳定性
无法解释原子光谱的不连续性
玻尔原子理论的三个 基本假设,
1、定态假设
原子系统存在一系列 不连续的能量状态,处于这些状态
的原子中电子只能 在一定的轨道上 绕核作圆周运动，但
不辐射能量 。这些状态称为稳定状态，简称定态。
对应的能量 E1,E2,E3… 是不连续的。
2、频率假设
原子从一较大能量 En的定态向另一较低能量 Ek的 定
态跃迁时，辐射一个光子
kn EEh ???
3、轨道角动量量子化假设
?2
hnL ? 轨道量子化条件
n为正整数，称为量子数
跃迁频率条件
原子从较低能量 Ek的 定态向较大能量 En的定态
跃迁时，吸收一个光子
基本假设应用于氢原子：
(1)轨道半径量子化
2
2
2
2
04
1
nn r
vm
r
e ?
?? ?2
hnm v rL
n ??
)me h(nr n 2
2
02
?
??
第一玻尔轨道半径 0
2
2
0
1 A530,me
hr ??
?
?
(2)能量量子化和原子能级
n
nn r
emvE
0
2
2
42
1
??
??
),,,n()
h
me(
n
E n ?321
8
1
22
0
4
2 ??? ?
基态能级 V.E e5813
1 ??
激发态能级 eV
n
.
n
EE
n 22
1 5813???
氢原子的电离能 eV.EEE 5813
1 ??? ?电离
)meh(nr n 2
2
02
?
??
(3)氢原子光谱
h
EE kn ???
c
~ ?
?? ??
1
2n
R c hE
n ??
氢原子发光机制是能级间的跃迁
)
nk
(
ch
me
2232
0
4 11
8
??
?hc
EE kn ??
R理论 — 里德伯常数
1.097373× 107m-1
R实验 =1.096776× 107m-1
氢原子光谱中的不同谱线
65
62
.79
48
61
.33
43
40
.47
41
01
.74
12
15
.68
10
25
.83
97
2.5
4
18
.75 40
.50
赖曼系
巴耳末系
帕邢系
布喇开系
连续区
nE )eV(
0
850.?
511.?
393.?
613,?
? ? ? ?
?
4
3?n
2?n
1?n
例 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长
和最长波长各是多少？
解,根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应
是 n=3?n=2跃迁的光子，即
)(.)(R
m a x
22
7
22 3
1
2
1100971
3
1
2
11 ?????
?
o7 A6 5 6 310566 ??? ? m.
m a x?
最短波长应是 n=??n=2跃迁的光子，即
4100 9 71211 72 /.R
m i n
???? oA3 4 6 4?m i n?
例 （ 1）将一个氢原子从基态激发到 n=4的激发态需
要多少能量？（ 2）处于 n=4的激发态的氢原子可发
出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波
长各多少？
解：（ 1）
JeV.
).(
.
E
E
EEE
18
212
1
14
1027512
5813
4
5813
4
????
??
?
??????
（ 2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱
线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以
发出的谱线跃迁如图所示，共有 6条谱线。
1?n
2?n
3?n
4?n由图可知，可见光的谱线为
n=4和 n=3跃迁到 n=2的两条
)(R~ 2242 4121 ???
17
7
10210
16
1
4
1
100 971
???
???
m.
)(.
o
42
42 A4 8 6 1
1 ??
?? ~
)(R~ 2232 3121 ??? 1710150 ??? m.
o
32
32 A6 5 6 3
1 ??
?? ~
二、玻尔理论的缺陷
1,把电子看作是一经典粒子,推导中应用了牛顿
定律，使用了轨道的概念,所以玻尔理论不是彻
底的量子论。
2.角动量量子化的假设以及电子在稳定 轨道上运动
时不辐射电磁波的是十分生硬的。
3,无法解释光谱线的精细结构。
4,不能预言光谱线的强度。
? N.玻尔
? 研究原子结构，特
别是研究从原子发
出的辐射
1922诺贝尔物理学奖
15-4 粒子的波动性
一、德布罗意波
德布罗意提出了 物质波的假设,
任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和
波的传播不能相互分离。
运动的实物粒子的能量 E、动量 p与它相关联的
波的频率 ? 和波长 ?之间满足如下关系：
?hmcE ?? 2 ?hmvp ?? 德布罗意关系式
表示自由粒子的平面波称为 德布罗意波 (或 物质波 )
自由粒子速度较小时
电子的德布罗意波长为
m
pE
2
2
?
m e V
h
2
??
0
A212
V
.?
VV 100? 0A221,??
例如,电子经加速电势差 V加速后 eVE ?
mE
h
p
h
2
???
物质波的实验验证
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体
上进行电子衍射实验。
G
K
狭缝 电
流
计
镍
集 电
器
U
电子束
单 晶
?
?
衍射最大值,?32102,,,kks i nd ?? ??
m e U
h
2
??电子的波长：
m e U
hks i nd
2
2 ??
5 10 2015 250
I
V
电流出现峰值
戴维孙 — 革末实验中 063 A03280 00,kU.d ?????
?L.V.德布罗意
?电子波动性的理论
研究
1929诺贝尔物理学奖
?C.J.戴维孙
?通过实验发现晶体
对电子的衍射作用
1937诺贝尔物理学奖
二、德布罗意波的统计解释
1926年，德国物理学玻恩 (Born,1882--1972)
提出了概率波，认为 个别微观粒子 在何处出现有一
定的 偶然性,但是 大量粒子 在空间何处出现的空间
分布却服从 一定的统计规律 。
? M.玻恩
?对量子力学的基础
研究，特别是量子
力学中波函数的统
计解释
1954诺贝尔物理学奖
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率
波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具
有确定的位置和确定的动量。
衍射图样
电子束
x
缝
屏
幕a ?2
X方向电子的位置不准确量为,ax??
15-5 测不准关系
??? ?s i nx ?s i npp x ??
X方向的分动量 px的测不准量为：
xp ?? ?
ph??
xxpxp x ????? ? h
p
hp ??
xp
yp
p
?
电子束
x
缝
屏
幕a ?2
ax??
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
经严格证明此式应为：
hxp x ???
2??xp x ??
这就是著名的海森伯测不准关系式
hxp x ???
2??yp y ??
2??zp z ??
测不准关系式的理解
1,用经典物理学量 ——动量、坐标来描写微观粒子
行为时将会受到一定的限制 。
3,对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均
时间 Δt 之间也有下面的测不准关系：
2,可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典
力学来描写还是用量子力学来描写。
2??tE ??
原子处于激发态的平均寿命一般为
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
2??tE ??
st 810 ???
JtE 26102 ??? ?? ?
于是激发态能级的宽度为：
?W.海森堡
?创立量子力学，
并导致氢的同素
异形的发现
1932诺贝尔物理学奖
所以坐标及动量可以同时确定
1,宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
，若
的乒乓球,其直径
,可以认为其位
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
例 kgm 210 ?? cmd 5?
1200 ??? smv x mx 610 ???
x
vm x
?
?
2
?? ?
6
34
10
10
?
?
? 12810 ?? ??? smkg
xvm?? 12 ???? smkg
问题？
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
01 Adx ???
例 一电子以速度
的速度穿过晶体。
161001 ???? sm.v x
xmv x ?? 2
?? 1
1031
34
1010
10 ?
??
?
??? sm
1710 ??? sm 1610 ???? smv
x
2,微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
15-6 波函数 薛定谔方程
)xt(c o sA)t,x(y ??? ?? 2
)(2),( ??? xtiAetxy ???
单色平面简谐波波动方程
一,波函数
描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子
)(20),( ????? xtietx ???
0?)t,x(?
区别于经典波动
只取实部
hE
ph
?
?
?
? )pxEt(ie)t,x( ??? ?
0?? ?2
h??其中
若系统能量为确定值而不随时间变化
只与坐标有关而与时间无关,振幅函数
Etie)x()t,x( ??? ??
pxie)x( ?
0?? ?
波函数 物理意义
在某处发现一个实物粒子的 几率 同 波函数平方 成正比
t时刻在 (x,y,z)附近小体积 dV中出现微观粒子的概率为
dVdV ?? ??? 2 d x d y d zdV ?
12 ????V d x d y d z? 波函数归一化条件
波函数的标准条件,单值, 有限 和 连续
波函数的平方表征了 t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的
概率密度
)t,z,y,x(?? ?2
物质波与经典波的本质区别
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
可测量，具有物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
一般是不可测量的。
??? ??? 2
2、物质波是概率波。 ?? C 等价
对于经典波 CAA ?
ECE 2 ?
解：利用归一化条件
?
??
??
dx)x( 2?
例：求波函数归一化常数和概率密度 。
? ?
?
?
?
?
?
??
??
? ?
)0(
)0( 0
axx
a
s i nAe
ax,x
x Eti ??
?
?? a dxaxs i nA0 22 ? 12
2
?? aA aA
2?
2?? ?
??
?
?
?
??
??
?
)0(
2
)0( 0
2 ax
a
x
s i n
a
ax,x
?
这就是 一维自由粒子（含时间）薛定谔方程
)pxEt(ie)t,x( ??? ?
0??
?? 2
2
2
2
?
p
x ???
? ?? Ei
t ????
?
对于非相对论粒子 mpE 22?
tixm ?
??
?
??? ?? ??
2
22
2
一维自由粒子的波函数
二、薛定谔方程
在外力场中粒子的总能量为：
tiVxm ?
???
?
??? ??? ??
2
22
2
VpmE ?? 22 1
一维薛定谔方程
?? 2
2
2
2
?
p
x ???
? ?? Ei
t ????
?
三维薛定谔方程
tiVm ?
????? ??? ?? 22
2
2
2
2
2
2
22
zyx ?
??
?
??
?
???
拉普拉斯算符 哈密顿量算符
VmH? ???? 2
2
2
?
薛定谔方程 ??
?
? H?
ti ??
ti)t,z,y,x(Vm ?
????? ??? ?? 22
2
)t(f)z,y,x()t,z,y,x( ?? ?
如势能函数不是时间的函数
代入薛定谔方程得：
t
f
f
iV
m ?
??
?
?
?
?
?
? ??? 1
2
1 22 ?? ??
?
用分离变量法将波函数写为：
)z,y,x(VmH? ???? 2
2
2
?
只是空间坐标的函数 只是时间的函数
Etffi ???1?
Etike)t(f ???
??? EVm ???? 2
2
2
?
Etie)z,y,x()t,z,y,x( ??? ??
粒子在空间出现的几率密度
2
22 Et
i
e)z,y,x()t,z,y,x( ?
?
? ?? 2)z,y,x(??
几率密度与时间无关，波函数描述的是 定态
定态薛定谔方程
定态波函数??
02 22
2
??? )x()VE(m)x(dxd ?? ?粒子在一维势场中
E.薛定谔
量子力学的
广泛发展
1933诺贝尔物理学奖
15-7 薛定谔在几个一维问题中的应用
一、一维无限深 势阱
金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动
势能函数为：
?
?
?
??
?
?
????
???
?
)
a
x,
a
x(
)
a
x
a
(
)x(V
22
22
0
??V
O
2
a
??V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
??V
O
2
a
??V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
)x()EV(mdx )x(d ?? ?? 22
2 2
?
??V对 Ⅱ 区：
)EV(m ?? 22 2??令 ???? ?,V当
)x(dx )x(d ??? 22
2
?
xx eBeA)x( ??? ?????
??? ?,ax 2当 0??????? BA)x(? 0?)x(?
2
ax ??当 ??????? BA)x( 0? 0?)x(?
通解为
02 22
2
?? )x(mEdx )x(d ?? ?
0?V
?mEk 2 ?令 022
2
?? )x(kdx )x(d ??
方程的通解为：
i k xi k x BeAe)x( ????
波函数连续
022 ?? kas i nDkac o sC 0?kas i n
?,,n
nka
21?
? ?
??V
O
2
a
??V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
对 Ⅰ 区：
kxs i nDkxc o sC)x( ???或
022 ?? kas i nDkac o sC
粒子的能量 ????? 321
2
2
2
22
,,nn)ma(E n ??
?mEk 2? ?,,nnka 21?? ?
xans i nDxanc o sC)x( ??? ??
)ns i n (D)nc o s (C)a( 2202 ??? ?????
?
?
?
?????
??????
?
?
,,,nD)(C
,,,n)(DC
64201
53110
?,,,nxanc o sC)x( 531?? ??
?,,,nxans i nD)x( 642?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,,,n)x
a
n
s i n(
a
n)x
a
n
c os (
a
)x(
642
2
1,3,5,
2
?
?
?
12
2
22 ??
?
a
a xdxa
nc o sC ? 12
2
22 ??
?
a
a xd xa
ns i nD ?
aDC
2??
?,,,nxanc o sC)x( 531?? ??
?,,,nxans i nD)x( 642?? ??
一
维
无
限
深
势
阱
中
的
粒
子
)x(?
2)x(?
O O2a
x x
1?n
2?n
3?n
4?n
1E
2E
3E
4E
2a? 2a2a?
?1,3,5,2 ?? n)xanc o s (a)x( ??
?,,,n)xans i n (a)x( 6422 ?? ??
)x()x( ?? ??
相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。
)x()x( ?? ???
相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。
二、隧道效应
玻璃 光波能透过界面进入
空气达数个波长的深
度（渗透深度）。
玻璃
电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。
电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。
E
E
0?V 0?V
0VV ?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
垒高度金属中电子能量低于势 0VE ?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2
210
1
0
0 0
xx
xxxV
xx
)x(V
Ⅰ 区 薛定谔方程为：
01212 1
2
???? ?? kx
02222 2
2
???? ?? kx
03232 3
2
???? ?? kx 223 2 ?mEk ?
2
02
2
2
?
)EV(mk ??
E
E
0?V 0?V
0VV ?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2
2
1
2
?
mEk ?
xikxik BeAe 111 ????
Ⅱ 区 薛定谔方程为：
xkxk eBeA 22 222 ????
Ⅲ 区 薛定谔方程为：
xikeA 333 ??
Ⅰ 区粒子进入 Ⅲ 区的概率为
)EV(m
a
x
x
x
x eP ????? 0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
?
?
?
?
?
势垒越宽透过的概率越小，
(V0-E)越大透过的概率越小。
为势垒的宽度12 xxa ??
)EV(maPln ??? 022?
xkxk eBeA 22 222 ????
E
E
0?V 0?V
0VV ?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
样品表面
隧道电流
扫描探针
计算机 放大器
样品 探针
运动控制
系统显示器
扫描隧道显微镜
示意图
48个 Fe原子形成, 量子围栏,,
围栏中的电子形成驻波,
三,一维谐振子
粒子的势能函数
22
2
1
2
1 xmkxV ???
薛定谔方程
0212 222
2
??? ??? )xmE(mdxd ?
?,,,n
h)n(E
210
2
1
?
?? ?
O x
2?
1?n
2?n
3?n
0?n
2
2
1 kx
15-8 量子力学对氢原子的应用
氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量
是电子质量的 1837倍，可近似认为质子静止，电子
受质子库仑电场作用而绕核运动。
电子势能函数
电子的定态薛定谔方程为
由于氢原子中心力场是球
对称的，采用球坐标处理。
?? c o ss i nrx ? ?? s i ns i nry ?
?c o srz ?
x
z
y
?
?
O
r
P
定态薛定谔方程为：
用分离变量求解，令 )()()r(R),,r( ??????? ?
代入方程可得：
0]
4
1
[
211
111
2
0
2
2
2
2
2
2
????
?
r
e
E
mr
d
d
s i n
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
)
dr
dR
r(
dr
d
R
???
?
??
?
?
?
???
?
2
2
21
lmdd ?????令
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
???
??
??
?
?
???
??
s i n
m
)
d
d
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d
s i n
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e
E(
mr
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dr
dR
r(
dr
d
R
l
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上式可分解为两个方程：
0]
11
[
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4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
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R
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211
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d( s i n
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d
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l
2
2
21
lmd
d ??
?
?
?
氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：
1、主量子数 n
决定着氢原子的能量
2、角量子数 l
角动量大小
?)l(lL 1??
)n(,,,,l 1210 ?? ?
18 222
0
4
nh
meE
???
?,,,n 321?
3、磁量子数 ml
角动量空间取向量子化 ?lz mL ?
l,,,,m l ???? ??210
空间量子化示意图
)(? z
1
0
1?
1?l
)(? z
1
0
1?
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)(? z
1
0
1?
3?l
3
22
3?
2? 2?
?2?L
?6?L
?12?L
15-9 斯特恩 —盖拉赫实验
证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。
即角动量在空间的取向是量子化的。
1、电子的轨道磁矩
电子磁矩大小 IA??
I
??d
ze?
r
e
v?
回路包围的面积
电流强度
?
?
A
I
T
eI ? 周期电子电量 ?? Te
扫过的面积时间内电子矢径 rdt ??dr 2
2
1
I
??d
ze?
r
e
v?
绕行一周扫过的面积
?? ?? T dtdtdrdrA 0 220 2 2121 ???
dt
dmr ?2电子的角动量 ??? T dt
m
LA
0 2
电子在有心力场中运动，角动量守恒 T
m
LA
2?
LmeIA 2??? Lme ?? 2???
是角量子数l,)l(lL 1 ???
角动量在外磁场方向（取为 z轴正向）的投影
是磁量子数llz m,mL ??
磁矩在 z轴的投影
Bllzz mmm
eL
m
e ?? ?????? ?
22
15124 1079510279
2
???? ??????? TeV.TJ.
m
e
B
??玻尔磁子
载流线圈在外磁场中受力矩作用 BM ??? ?? ?
?????? ???? c o sBds i nBMdW ????? ??
22
BBc o sBU z???? ??????? ??
力矩作功
相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
z
B
z
Uf
zz ?
??
?
??? ?
磁场在 z方向不均匀，载流线圈在 z方向受力
结论,原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
1921年，斯特恩 （ O.Stern） 和盖拉赫
（ W.Gerlach） 发现一些处于 S 态的原子射线
束，在非均匀磁场中一束分为两束。
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
z
v
Lt ?
z
z )
v
L(
z
B
MtM
fats ?222
2
1
2
1
2
1
?
????
向上偏转0?z? 向下偏转0?z?
实验现象,屏上几条清晰可辨的黑斑
结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
斑纹条纹数 =2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数 l
发现, Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为 2
2
1?l ??
2
1
2
1 或??
zL
矛盾？与 ?,,,l 210?
15-10 电子自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密
特 (S.A.Goudsmit)提出：
除轨道运动外，电子还存在一种 自旋 运动。
电子具有 自旋角动量 和相应的 自旋磁矩 。
?)1( ?? ssS
自旋角动量
2
1?ss 称为自旋量子数 ?
2
3?S
自旋角动量的空间取向 是量子化的，
在外磁场方向投影
?sz mS ?
2
1??
ss mm 称为自旋磁量子数
自旋磁矩 S
m
e
s
?? ???
在外磁场方向投影 BzS
m
eS
m
e
z
?? ????? 2 ??
m
e
S
S ??
??
m
e
L
L
2
??
??
自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值
轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值
电子自旋及空间量子化
S? ?
2
3?S
2
1??
sm
2
1?
sm
z
O
“自旋”不是宏观物体的“自转”
只能说电子自旋是电子的一种内部运动
15-11 原子的壳层结构
多电子的原子中电子的运动状态用 (n,l,ml,,ms)
四个量子数表征：
（ 1）主量子数 n，可取 n=1,2,3,4,…
决定原子中电子能量的主要部分。
（ 2）角量子数 l，可取 l=0,1,2,…(n -1)
确定电子轨道角动量的值。
nl表示电子态
l 0 1 2 3 4 5 6 7 8
记号 s p d f g h i k l
如 1s 2p
（ 3）磁量子数 ml，可取 ml=0,± 1,± 2,… ± l
决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。
（ 4）自旋磁量子数 ms，只取 ms= ± 1/2
确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。
“原子内电子按一定壳层排列”
主量子数 n四个相同的电子组成一个主壳层。
n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫 K,L,M,N,… 壳层。
每一壳层上，对应 l=0,1,2,3,… 可分成 s,p,d,f… 分壳层。
（一）泡利 (W.Pauli)不相容原理
在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有
完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。
各壳层所可能有的最多电子数,
当 n给定,l 的可取值为 0,1,2,…,n-1共 n个 ;
当 l给定,ml的可取值为 0,± 1,± 2,…,± l共 2l+1
个 ;当 n,l,ml 给定,ms的可取值为 ± 1/2共 2个,
给定主量子数为 n的壳层上，可能有的最多电子数为：
2
1
0
22 )12(22)12(2 nnnlZ
n
l
n ?
????? ??
?
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数
l
n
9826(7i)22(7h)18(7g)14(7f)10(7d)6(7p)2(7s)7Q
7222(6h)18(6g)14(6f)10(6d)6(6p)2(6s)6P
5018(5g)14(5f)10(5d)6(5p)2(5s)5O
3214(4f)10(4d)6(4p)2(4s)4N
1810(3d)6(3p)2(3s)3M
86(2p)2(2s)2L
22(1s)1K
Zn6i5h4g3f2d1p0s
pdspspss 43433221 ???????
pdfspds 6546545 ???????
dfs 657 ???
原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先
占据能量最低的能级。
（二）能量最小原理
越大，能级越高)l.n( 70?
比较和 ds 34 ).().( 27030704 ?????
K K K
K K K
L L
L L L
M M
2 He 3 Li
10 Ne 11 Na 17 Cl
8 O
