第二篇
振动与波
波动光学
广义振动,任一物理量 (如位移, 电流等 )在某一
数值附近反复变化 。
振动分类
非线性振动线性振动
受迫振动自由振动
机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。
4-1 简谐振动的动力学特征
最简单最基本的线性振动。
简谐振动,一个作往复运动的物体，如果其偏离
平衡位置的位移 x（ 或角位移 ?）随时间 t按余弦
（或正弦）规律变化的振动。
)tc o s (Ax 0?? ??
一、弹簧振子模型
弹簧振子,弹簧 — 物体系统
平衡位置,弹簧处于自然状态的稳定位置
轻弹簧 — 质量忽略不计，形变满足胡克定律
物体 — 可看作质点
k
xO
m kxF ?? 2
2
dt
xdmkx ??
mk?2?
简谐振动
微分方程 022
2
?? x
dt
xd ?
单摆
022
2
?? ???dtd
结论, 单摆的小角度摆动振动是简谐振动。
角频率,振动的周期分别为：
g
lT
l
g ?
?
?? 22
0
0 ???
当 时?? ?sin
?s i nm g lM ??
二、微振动的简谐近似
?
gm?
f?
T?
C
O
?? m g ldtdml ??2
2
摆球对 C点的力矩
?m g lM ??
l/g?2?
复摆,绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
022
2
?? ???dtd
结论, 复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
?? ?sin当 时
?
gm?
h
C
O
2
2
dt
dIm g h ?? ??
I
m g h?2?
其通解为：
一、简谐振动的运动学方程
)tc o s (Ax 0?? ??
022
2
?? xdt xd ?
4-2 简谐振动的运动学
简谐振动的微分方程
简谐振动的运动学方程
)ts i n ()tc o s ( 200 ????? ????
20
??? ??? )ts i n (x ?? ???
二, 描述简谐振动的特征量
)tc o s (Ax 0?? ??
1,振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位
移 （ 或角位移 ） 的绝对值 。
)ts i n (Av 0??? ???
000 vv,xx,t ???初始条件
00 ?c o sAx ? 00 ?? s i nA
v ???
202
0 )
v(xA
?
??
频率 ?,单位时间内振动的次数 。
2,周期, 频率, 圆频率
对弹簧振子
?
??
2
1 ??
T
角频率 ? ???? 22 ??
T
k
mT ?2?
m
k
?? 2
1?
m
k??
固有周期、固有频率、固有角频率
周期 T,物体完成一次全振动所需时间 。
? ?00 ???? ???? )Tt(c o sA)tc o s (A ??2?T
单摆 glT ?2?
l
g
?? 2
1?
l
g??
复摆 m ghIT ?2? Im g h?? 2 1?Im g h??
)ts i n (Av 0??? ???
?0 是 t =0时刻的位相 — 初位相
000 ?c o sAxt ?? 时
00 ?? s i nAv ?? 0
0
0 x
vt a n
?
? ??
3,位相和初位相 )tc o s (Ax 0?? ??
— 位相, 决定谐振动物体的运动状态0?? ?t
位相差 两振动位相之差。
12 ???? ??
当 ??=2k?,k=0,± 1,± 2…,两振动步调相同,称 同相
当 ??=?(2k+1)?,k=0,± 1,± 2...
两振动步调相反,称 反相
??? ??0
?2 超前于 ?1 或 ?1滞后于 ?2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的 旋转矢量表示法
?
?0
t = 0A?
x
? t+?0
t = tA?
)tc o s (Ax 0?? ??
o X
用旋转矢量表示相位关系
x
1A
?
2A
?
?
x
1A
?
2A
?
?
x
1A
?
2A
?
?
同相 反相
)tc o s (a)tc o s (Aa m ?????? ?????? 002
)tc o s (Ax 0?? ??
)tc o s (v)ts i n (Av m 200 ?????? ??????
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
t
o T
a
?v
x..,avx
T/4 T/4
)2c o s ( ??? ??? tvv mx
)2c o s ( ???? ??? tA
)c o s ( ??? ??? taa mx
)c o s (2 ???? ??? tA
由图可见：
2
?va ?? 超前
2
?xv ?? 超前
x
? t+?
o
?
·
A?
mv
??
ma
?
?
090
090
例,如图 m=2× 10-2kg,
弹簧的静止形变为 ?l=9.8cm
t=0时 x0=-9.8cm,v0=0
? ⑴ 取开始振动时为计时零点，
写出振动方程；
（ 2）若取 x0=0,v0>0为计时零点，
写出振动方程,并计算振动频率。 X
Om
x
解,⑴ 确定平衡位置 mg=k ?l 取为原点
k=mg/ ?l
令向下有位移 x,则 f=mg-k(?l +x)=-kx
?作谐振动 设振动方程为 )tc o s (Ax
0?? ??
s/r a d.,lgmk 100 9 80 89 ???? ??
由初条件得
???,)xv(a r c t g 0
0
0
0 ???
mvxA 0 9 802020,)( ??? ?
由 x0=Acos?0=-0.098<0 ? cos?0<0,取 ?0=?
sr a d /10??
振动方程为,x=9.8?10-2cos(10t+?) m
(2)按题意 t=0 时 x0=0,v0>0
x0=Acos?0=0,cos?0=0 ?0=?/2,3?/2
v0=-A?sin?>0,sin ?0 <0,取 ?0=3?/2
? x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m
对同一谐振动取不同的计时起点 ?不同，但 ?,A不变
Hz
l
g
6.1
2
1
2
?
??
???
?
?
X
Om
x
固有频率
例,如图所示，振动系统由一倔强系数为 k的 轻弹簧、
一半径为 R,转动惯量为 I的 定滑轮和一质量为 m的
物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其
振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T.
T
m
T
mg
a
2F
? m
o
x
k
JR解：取位移轴 ox,m在平
衡位置时，设弹簧伸长量
为 ?l,则
0?? lkmg ?
T
m
T
mg
a
2F
? m
o
x
k
JR当 m有位移 x时
maTmg ??
? ? RaJRxlkT ???? )(
联立得
aRJRkx ?
?
??
?
? ???
2
? ? 022
2
??? xRJm kdt xd 物体作简谐振动
? ?22 RJm
k
?
??
? ?
k
RJmT 222 ??? ?
?
?
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图
所示，试求其振动方程。
431.
431.?
715.
715.?
0
1 )(st
)( 1?cm sv
解：方法 1
100 715 ????? c m s.s i nAv ??
)tc o s (Ax 0?? ??
设振动方程为
0020 ??? ?? c o sAa
1431 ??? c m svA m,??
2
1
431
7150
0 ?????,
.
A
vs i n
??
??? 6560 或?
00 00 ?? ?c o s,a 则
60
?? ?
17151 ??? c m svt,
2
1
61 ????????? mv
v
A
v
?
?? )s i n (
???? 6116761 或??? 01
0
0
1
???
?
)c o s (
,a
??
则
??? 6761 ???
1143 ??? s.?? cmvA m 10
143
431 ????
.
.
?
故振动方程为 cmtx )c os (
610
?? ??
方法 2,用旋转矢量法辅助求解。
)c o s ( ?? ?? tAx
)c o s ()s i n ( 2?????? ?????? tvtAv m
1431 ??? c m sAv m,?
?0?t
st 1?
2
?? ?
vo
v的旋转矢量
与 v轴夹角表
示 t 时刻相位 2
??? ??t
由图知 ???
3
2
2 ?? 6
?? ?
?? ??1 1?? s??
cmvA m 10143 431 ???,,?
cmtx )c os ( 610 ?? ??
以弹簧振子为例
谐振动系统的能量 =系统的 动能 Ek+系统的 势能 Ep
某一时刻，谐振子速度为 v,位移为 x
)ts i n (Av 0??? ??? )tc o s (Ax 0?? ??
2
2
1 mvE
k ?
)t(s i nkA 02221 ?? ??
2
2
1 kxE
p ?
)t(c o skA 02221 ?? ??
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
4-3 简谐振动的能量
动
能
2
2
1 mvE
k ?
)t(s i nkA 02221 ?? ??
势
能
221 kxE
p ?
)t(c o skA 02221 ?? ?? 情况同动能。
ppp EEE,,m i nm a x
0mi n ?kE
2
4
11 kAdtE
TE
Tt
t kk
?? ??
2
m a x 2
1 kAE
k ?
机械能 2
2
1 kAEEE
pk ??? 简谐振动系统机械能守恒
x
tT
E
Ep
o
kp EE ?
E
t
Ek
(1/2)kA2
由起始能量求振幅
k
E
k
EA 022 ??
2
2
1 kAE ?
实际振动系统
系统沿 x轴振动，势能函数为 Ep(x)，势能曲线存在
极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。
在该位置（取 x=0） 附近将势能函数作级数展开
????? ?? 202
2
0 2
10 x)
dx
Ed(x)
dx
dE()(E)x(E
x
p
x
p
pp
微振动系统一般可以当作谐振动处理
00 ?? dxdEx p 202
2
2
10 x)
dx
Ed()(E)x(E
x
p
pp ???
dx
)x(dEF p?? )kx(x)
dx
Ed(
x
p ????
? 02
2
一、同方向、同频率谐振动的合成
合振动是简谐振动,其频率仍为 ?
)c o s (AAAAA 1020212221 2 ?? ????
2211
2211
0 ??
???
c o sAc o sA
s i nAs i nAtg
?
??
)tc o s (A)t(x 1011 ?? ??
)tc o s (A)t(x 2022 ?? ??
)tc o s (Ax
xxx
0
21
?? ??
??
质点同时参与同方向同频率
的谐振动,
合振动,
4-4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析
2A
?
1A
?
A?
10?
20?
0?
?
?
?
1x2x x
1M
2M
M
如 A1=A2,则 A=0
?,,,kk 21021020 ???? ???
两分振动相互加强21 AAA ??
?,,,k)k( 210121020 ????? ???
两分振动相互减弱21 AAA ??
分析
若两分振动同相：
若两分振动反相,
)c o s (AAAAA 1020212221 2 ?? ????
合振动不是简谐振动
式中 tAtA )2c o s (2)(
12 ?? ??
tt )2c o s (c o s 12 ??? ??
随 t 缓变
随 t 快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
二, 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 )tc o s (Ax ?? ?? 11
)tc o s (Ax ?? ?? 22
合振动
)tc o s (t)c o s (Ax ????? ????? 222 1212
21 xxx ??
当 ?2??1时,ttAx ?c o s)(?则,1212 ???? ????
拍 合振动忽强忽弱的现象
拍频, 单位时间内强弱变化的次数 ? =|?2-?1|
x
t
x2
t
x1
t
12 ??? ??拍
12
2
??
?
??T或：
*三、振动的频谱分析
振动的分解,把一个振动分解为若干个简谐振动。
谐振分析,将任一周期性振动分解为各个谐振动之和 。
若周期振动的频率为,?0
则各分振动的频率为,?0,2?0,3?0
(基频,二次谐频,三次谐频,… )
按傅里叶级数展开
)t(x)Tt(x ??
?
?
?
???
1
0
2 n nn )tns i nbtnc o sa(
a)t(x ??
T
???? 22 ??
方
波
的
分
解
x
0 t
0 t
x1
t0
x3
t0
x5
t0
x1+x3+x5+x0
?????? ts i nAts i nAts i nAAx ?????? 55233222
x
o t
锯齿波
A
??
0 3?05?0
锯齿波频谱图
一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续
变化的简谐振动 。
x
o t阻尼振动曲线
阻尼振动频谱图
o ?
A
*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
合振动
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
分振动
)tc o s (Ax 101 ?? ??
)tc o s (Ay 202 ?? ??
0( 1 ) 1020 ?? ?? 02
21
?? )AyAx( xA
Ay
1
2?
合振动的轨迹为通过原点且
在第一、第三象限内的直线
1
2
A
A斜率
质点离开平衡位置的位移
讨论
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
y
x
)tc o s (AAyxS ?? ????? 222122
??? ?? 1020( 2 ) 02
21
?? )AyAx( xAAy
1
2??
合振动的轨迹为通过原点且
在第二、第四象限内的直线
1
2
A
A?斜率
质点离开平衡位置的位移
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
y
x
)tc o s (AAyxS ?? ????? 222122
2( 3 ) 1020
??? ?? 1
2
2
1
2
?? AyAx
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴
为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101 ?? ??
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
y
x
)tc o s (Ay 2101 ??? ???
y
x
2( 4 ) 1020
??? ???
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴
为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101 ?? ??
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
)tc o s (Ay 2101 ??? ???
??= 5?/4 ??= 3?/2 ??= 7?/4
??= 0
??= ?
??= ?/2 ??= 3?/4
Q
??= ?/4
P·.
0???? ?? 时，逆时针方向转动。
?? ???0 时，顺时针方向转动。
*五,垂直方向不同频率
可看作两频率相等而 ?2-?1随 t 缓慢变化合运动
轨迹将按上页图依次缓慢变化 。
轨迹称为 李萨如图形
y
x
A1
A2o-A2
-A1简谐振动的合成
)()( xyxy t ????? ?????
4
0
23
?
??
??
??
?
xy
yx
,
::
两分振动频率相差很小
两振动的频率成 整数比
李萨如图形
21,31,32:
一, 阻尼振动
阻
尼
振
动
能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
摩擦阻尼：
系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的
作用，系统的动能转化为热能。
辐射阻尼：
振动以波的形式向外传波，使振动能量
向周围辐射出去。
4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动的振动方程 （系统受到弱介质阻力而衰减）
振子动力学方程
2
2
dt
xdm
dt
dxkx ??? ?
振子受阻力
dt
dxvf
r ?? ???
02 202
2
??? xdtdxdt xd ??
m
k?
0?
系统固有角频率
m2
?? ? 阻尼系数
弱介质阻力是指振子运动速度较低时，
介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比
?— 阻力系数
弱阻尼
弱阻尼
每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，
周期越接近于谐振动。
0?? ??
)tc o s (eAx t 00 ??? ?? ?
220 ??? ??
02
2
0
222
?
?
??
?
?
? ?
?
??T
阻尼振动的振幅按指数衰减
阻尼振动的准周期
临界阻尼
临界阻尼
系统不作往复运动，而是较快地
回到平衡位置并停下来
0?? ?
te)tcc(x ???? 21
过阻尼
过阻尼
系统不作往复运动，而是非常缓
慢地回到平衡位置
0?? ?
t)(
t)(
ec
ecx
2
0
2
2
0
2
2
1
???
???
???
???
?
?
二, 受迫振动
受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动 。
弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程
ptc o sFtddxkxtd xdm 02
2
???? ?
tpc o sfxtddxtd xd ??? 202
2
2 ??
令
m
k?
0?
m
Ff,
m,
0
0
2 ??
??
周期性外力 —— 策动力 ptc o sFF 0?
稳定解 )ptc o s (Ax ???
(1)频率, 等于策动力的频率 ?
(2)振幅,
2122222
0
0
4 /]p)p[(
fA
?? ???
(3)初相,
22
0
2
p
ptg
??? ?
??
特点,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化
)ptc o s (A)t( c o seAx t ???? ???? ? 00
阻尼振动 简谐振动
三, 共振
在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。
1、位移共振
(1)共振频率,
220 2 ?? ??rp
(2)共振振幅,
22
0
0
2 ??? ?
? fA r
2,速度共振
一定条件下,速度振幅极大的现象。
速度共振时, 速度与
策动力同相, 一周期
内策动力总作正功,
此时向系统输入的能
量最大 。
0??rp ?20fv mr ?
)pts i n (pAv ????
22222
0
0
4 p)p(
pfpAv
m
?? ??
??
不能用线性微分方程描述的振动称为 非线性振动 。
1、内在的非线性因素
发生非线性振动的原因：
振动系统内部出现非线性回复力
振动系统的参量不能保持常数,
如漏摆、荡秋千。
*4-6 非线性振动简介
一, 非线性振动概述
单摆（或复摆）
的回复力矩 )!!(m g lM ?????? 53
53 ??
?
自激振动
1、外在的非线性影响
非线性阻尼的影响
策动力为位移或速度的非线性函数
如 3
3221 vkvkvkf r ????
如 )v,v,v,x,x,x(FF ?? 3232?
线性振动与非线性振动的最大区别：
线性振动满足叠加原理
非线性振动不满足叠加原理
近似简化、图解、计算机处理
研究方法：
微扰法
二, 非线性振动研究的方法及意义
相平面法
振动与波
波动光学
广义振动,任一物理量 (如位移, 电流等 )在某一
数值附近反复变化 。
振动分类
非线性振动线性振动
受迫振动自由振动
机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。
4-1 简谐振动的动力学特征
最简单最基本的线性振动。
简谐振动,一个作往复运动的物体，如果其偏离
平衡位置的位移 x（ 或角位移 ?）随时间 t按余弦
（或正弦）规律变化的振动。
)tc o s (Ax 0?? ??
一、弹簧振子模型
弹簧振子,弹簧 — 物体系统
平衡位置,弹簧处于自然状态的稳定位置
轻弹簧 — 质量忽略不计，形变满足胡克定律
物体 — 可看作质点
k
xO
m kxF ?? 2
2
dt
xdmkx ??
mk?2?
简谐振动
微分方程 022
2
?? x
dt
xd ?
单摆
022
2
?? ???dtd
结论, 单摆的小角度摆动振动是简谐振动。
角频率,振动的周期分别为：
g
lT
l
g ?
?
?? 22
0
0 ???
当 时?? ?sin
?s i nm g lM ??
二、微振动的简谐近似
?
gm?
f?
T?
C
O
?? m g ldtdml ??2
2
摆球对 C点的力矩
?m g lM ??
l/g?2?
复摆,绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
022
2
?? ???dtd
结论, 复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
?? ?sin当 时
?
gm?
h
C
O
2
2
dt
dIm g h ?? ??
I
m g h?2?
其通解为：
一、简谐振动的运动学方程
)tc o s (Ax 0?? ??
022
2
?? xdt xd ?
4-2 简谐振动的运动学
简谐振动的微分方程
简谐振动的运动学方程
)ts i n ()tc o s ( 200 ????? ????
20
??? ??? )ts i n (x ?? ???
二, 描述简谐振动的特征量
)tc o s (Ax 0?? ??
1,振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位
移 （ 或角位移 ） 的绝对值 。
)ts i n (Av 0??? ???
000 vv,xx,t ???初始条件
00 ?c o sAx ? 00 ?? s i nA
v ???
202
0 )
v(xA
?
??
频率 ?,单位时间内振动的次数 。
2,周期, 频率, 圆频率
对弹簧振子
?
??
2
1 ??
T
角频率 ? ???? 22 ??
T
k
mT ?2?
m
k
?? 2
1?
m
k??
固有周期、固有频率、固有角频率
周期 T,物体完成一次全振动所需时间 。
? ?00 ???? ???? )Tt(c o sA)tc o s (A ??2?T
单摆 glT ?2?
l
g
?? 2
1?
l
g??
复摆 m ghIT ?2? Im g h?? 2 1?Im g h??
)ts i n (Av 0??? ???
?0 是 t =0时刻的位相 — 初位相
000 ?c o sAxt ?? 时
00 ?? s i nAv ?? 0
0
0 x
vt a n
?
? ??
3,位相和初位相 )tc o s (Ax 0?? ??
— 位相, 决定谐振动物体的运动状态0?? ?t
位相差 两振动位相之差。
12 ???? ??
当 ??=2k?,k=0,± 1,± 2…,两振动步调相同,称 同相
当 ??=?(2k+1)?,k=0,± 1,± 2...
两振动步调相反,称 反相
??? ??0
?2 超前于 ?1 或 ?1滞后于 ?2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的 旋转矢量表示法
?
?0
t = 0A?
x
? t+?0
t = tA?
)tc o s (Ax 0?? ??
o X
用旋转矢量表示相位关系
x
1A
?
2A
?
?
x
1A
?
2A
?
?
x
1A
?
2A
?
?
同相 反相
)tc o s (a)tc o s (Aa m ?????? ?????? 002
)tc o s (Ax 0?? ??
)tc o s (v)ts i n (Av m 200 ?????? ??????
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
t
o T
a
?v
x..,avx
T/4 T/4
)2c o s ( ??? ??? tvv mx
)2c o s ( ???? ??? tA
)c o s ( ??? ??? taa mx
)c o s (2 ???? ??? tA
由图可见：
2
?va ?? 超前
2
?xv ?? 超前
x
? t+?
o
?
·
A?
mv
??
ma
?
?
090
090
例,如图 m=2× 10-2kg,
弹簧的静止形变为 ?l=9.8cm
t=0时 x0=-9.8cm,v0=0
? ⑴ 取开始振动时为计时零点，
写出振动方程；
（ 2）若取 x0=0,v0>0为计时零点，
写出振动方程,并计算振动频率。 X
Om
x
解,⑴ 确定平衡位置 mg=k ?l 取为原点
k=mg/ ?l
令向下有位移 x,则 f=mg-k(?l +x)=-kx
?作谐振动 设振动方程为 )tc o s (Ax
0?? ??
s/r a d.,lgmk 100 9 80 89 ???? ??
由初条件得
???,)xv(a r c t g 0
0
0
0 ???
mvxA 0 9 802020,)( ??? ?
由 x0=Acos?0=-0.098<0 ? cos?0<0,取 ?0=?
sr a d /10??
振动方程为,x=9.8?10-2cos(10t+?) m
(2)按题意 t=0 时 x0=0,v0>0
x0=Acos?0=0,cos?0=0 ?0=?/2,3?/2
v0=-A?sin?>0,sin ?0 <0,取 ?0=3?/2
? x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m
对同一谐振动取不同的计时起点 ?不同，但 ?,A不变
Hz
l
g
6.1
2
1
2
?
??
???
?
?
X
Om
x
固有频率
例,如图所示，振动系统由一倔强系数为 k的 轻弹簧、
一半径为 R,转动惯量为 I的 定滑轮和一质量为 m的
物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其
振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T.
T
m
T
mg
a
2F
? m
o
x
k
JR解：取位移轴 ox,m在平
衡位置时，设弹簧伸长量
为 ?l,则
0?? lkmg ?
T
m
T
mg
a
2F
? m
o
x
k
JR当 m有位移 x时
maTmg ??
? ? RaJRxlkT ???? )(
联立得
aRJRkx ?
?
??
?
? ???
2
? ? 022
2
??? xRJm kdt xd 物体作简谐振动
? ?22 RJm
k
?
??
? ?
k
RJmT 222 ??? ?
?
?
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图
所示，试求其振动方程。
431.
431.?
715.
715.?
0
1 )(st
)( 1?cm sv
解：方法 1
100 715 ????? c m s.s i nAv ??
)tc o s (Ax 0?? ??
设振动方程为
0020 ??? ?? c o sAa
1431 ??? c m svA m,??
2
1
431
7150
0 ?????,
.
A
vs i n
??
??? 6560 或?
00 00 ?? ?c o s,a 则
60
?? ?
17151 ??? c m svt,
2
1
61 ????????? mv
v
A
v
?
?? )s i n (
???? 6116761 或??? 01
0
0
1
???
?
)c o s (
,a
??
则
??? 6761 ???
1143 ??? s.?? cmvA m 10
143
431 ????
.
.
?
故振动方程为 cmtx )c os (
610
?? ??
方法 2,用旋转矢量法辅助求解。
)c o s ( ?? ?? tAx
)c o s ()s i n ( 2?????? ?????? tvtAv m
1431 ??? c m sAv m,?
?0?t
st 1?
2
?? ?
vo
v的旋转矢量
与 v轴夹角表
示 t 时刻相位 2
??? ??t
由图知 ???
3
2
2 ?? 6
?? ?
?? ??1 1?? s??
cmvA m 10143 431 ???,,?
cmtx )c os ( 610 ?? ??
以弹簧振子为例
谐振动系统的能量 =系统的 动能 Ek+系统的 势能 Ep
某一时刻，谐振子速度为 v,位移为 x
)ts i n (Av 0??? ??? )tc o s (Ax 0?? ??
2
2
1 mvE
k ?
)t(s i nkA 02221 ?? ??
2
2
1 kxE
p ?
)t(c o skA 02221 ?? ??
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
4-3 简谐振动的能量
动
能
2
2
1 mvE
k ?
)t(s i nkA 02221 ?? ??
势
能
221 kxE
p ?
)t(c o skA 02221 ?? ?? 情况同动能。
ppp EEE,,m i nm a x
0mi n ?kE
2
4
11 kAdtE
TE
Tt
t kk
?? ??
2
m a x 2
1 kAE
k ?
机械能 2
2
1 kAEEE
pk ??? 简谐振动系统机械能守恒
x
tT
E
Ep
o
kp EE ?
E
t
Ek
(1/2)kA2
由起始能量求振幅
k
E
k
EA 022 ??
2
2
1 kAE ?
实际振动系统
系统沿 x轴振动，势能函数为 Ep(x)，势能曲线存在
极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。
在该位置（取 x=0） 附近将势能函数作级数展开
????? ?? 202
2
0 2
10 x)
dx
Ed(x)
dx
dE()(E)x(E
x
p
x
p
pp
微振动系统一般可以当作谐振动处理
00 ?? dxdEx p 202
2
2
10 x)
dx
Ed()(E)x(E
x
p
pp ???
dx
)x(dEF p?? )kx(x)
dx
Ed(
x
p ????
? 02
2
一、同方向、同频率谐振动的合成
合振动是简谐振动,其频率仍为 ?
)c o s (AAAAA 1020212221 2 ?? ????
2211
2211
0 ??
???
c o sAc o sA
s i nAs i nAtg
?
??
)tc o s (A)t(x 1011 ?? ??
)tc o s (A)t(x 2022 ?? ??
)tc o s (Ax
xxx
0
21
?? ??
??
质点同时参与同方向同频率
的谐振动,
合振动,
4-4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析
2A
?
1A
?
A?
10?
20?
0?
?
?
?
1x2x x
1M
2M
M
如 A1=A2,则 A=0
?,,,kk 21021020 ???? ???
两分振动相互加强21 AAA ??
?,,,k)k( 210121020 ????? ???
两分振动相互减弱21 AAA ??
分析
若两分振动同相：
若两分振动反相,
)c o s (AAAAA 1020212221 2 ?? ????
合振动不是简谐振动
式中 tAtA )2c o s (2)(
12 ?? ??
tt )2c o s (c o s 12 ??? ??
随 t 缓变
随 t 快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
二, 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 )tc o s (Ax ?? ?? 11
)tc o s (Ax ?? ?? 22
合振动
)tc o s (t)c o s (Ax ????? ????? 222 1212
21 xxx ??
当 ?2??1时,ttAx ?c o s)(?则,1212 ???? ????
拍 合振动忽强忽弱的现象
拍频, 单位时间内强弱变化的次数 ? =|?2-?1|
x
t
x2
t
x1
t
12 ??? ??拍
12
2
??
?
??T或：
*三、振动的频谱分析
振动的分解,把一个振动分解为若干个简谐振动。
谐振分析,将任一周期性振动分解为各个谐振动之和 。
若周期振动的频率为,?0
则各分振动的频率为,?0,2?0,3?0
(基频,二次谐频,三次谐频,… )
按傅里叶级数展开
)t(x)Tt(x ??
?
?
?
???
1
0
2 n nn )tns i nbtnc o sa(
a)t(x ??
T
???? 22 ??
方
波
的
分
解
x
0 t
0 t
x1
t0
x3
t0
x5
t0
x1+x3+x5+x0
?????? ts i nAts i nAts i nAAx ?????? 55233222
x
o t
锯齿波
A
??
0 3?05?0
锯齿波频谱图
一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续
变化的简谐振动 。
x
o t阻尼振动曲线
阻尼振动频谱图
o ?
A
*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
合振动
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
分振动
)tc o s (Ax 101 ?? ??
)tc o s (Ay 202 ?? ??
0( 1 ) 1020 ?? ?? 02
21
?? )AyAx( xA
Ay
1
2?
合振动的轨迹为通过原点且
在第一、第三象限内的直线
1
2
A
A斜率
质点离开平衡位置的位移
讨论
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
y
x
)tc o s (AAyxS ?? ????? 222122
??? ?? 1020( 2 ) 02
21
?? )AyAx( xAAy
1
2??
合振动的轨迹为通过原点且
在第二、第四象限内的直线
1
2
A
A?斜率
质点离开平衡位置的位移
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
y
x
)tc o s (AAyxS ?? ????? 222122
2( 3 ) 1020
??? ?? 1
2
2
1
2
?? AyAx
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴
为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101 ?? ??
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
y
x
)tc o s (Ay 2101 ??? ???
y
x
2( 4 ) 1020
??? ???
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴
为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101 ?? ??
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2 ???? ?????
)tc o s (Ay 2101 ??? ???
??= 5?/4 ??= 3?/2 ??= 7?/4
??= 0
??= ?
??= ?/2 ??= 3?/4
Q
??= ?/4
P·.
0???? ?? 时，逆时针方向转动。
?? ???0 时，顺时针方向转动。
*五,垂直方向不同频率
可看作两频率相等而 ?2-?1随 t 缓慢变化合运动
轨迹将按上页图依次缓慢变化 。
轨迹称为 李萨如图形
y
x
A1
A2o-A2
-A1简谐振动的合成
)()( xyxy t ????? ?????
4
0
23
?
??
??
??
?
xy
yx
,
::
两分振动频率相差很小
两振动的频率成 整数比
李萨如图形
21,31,32:
一, 阻尼振动
阻
尼
振
动
能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
摩擦阻尼：
系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的
作用，系统的动能转化为热能。
辐射阻尼：
振动以波的形式向外传波，使振动能量
向周围辐射出去。
4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动的振动方程 （系统受到弱介质阻力而衰减）
振子动力学方程
2
2
dt
xdm
dt
dxkx ??? ?
振子受阻力
dt
dxvf
r ?? ???
02 202
2
??? xdtdxdt xd ??
m
k?
0?
系统固有角频率
m2
?? ? 阻尼系数
弱介质阻力是指振子运动速度较低时，
介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比
?— 阻力系数
弱阻尼
弱阻尼
每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，
周期越接近于谐振动。
0?? ??
)tc o s (eAx t 00 ??? ?? ?
220 ??? ??
02
2
0
222
?
?
??
?
?
? ?
?
??T
阻尼振动的振幅按指数衰减
阻尼振动的准周期
临界阻尼
临界阻尼
系统不作往复运动，而是较快地
回到平衡位置并停下来
0?? ?
te)tcc(x ???? 21
过阻尼
过阻尼
系统不作往复运动，而是非常缓
慢地回到平衡位置
0?? ?
t)(
t)(
ec
ecx
2
0
2
2
0
2
2
1
???
???
???
???
?
?
二, 受迫振动
受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动 。
弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程
ptc o sFtddxkxtd xdm 02
2
???? ?
tpc o sfxtddxtd xd ??? 202
2
2 ??
令
m
k?
0?
m
Ff,
m,
0
0
2 ??
??
周期性外力 —— 策动力 ptc o sFF 0?
稳定解 )ptc o s (Ax ???
(1)频率, 等于策动力的频率 ?
(2)振幅,
2122222
0
0
4 /]p)p[(
fA
?? ???
(3)初相,
22
0
2
p
ptg
??? ?
??
特点,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化
)ptc o s (A)t( c o seAx t ???? ???? ? 00
阻尼振动 简谐振动
三, 共振
在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。
1、位移共振
(1)共振频率,
220 2 ?? ??rp
(2)共振振幅,
22
0
0
2 ??? ?
? fA r
2,速度共振
一定条件下,速度振幅极大的现象。
速度共振时, 速度与
策动力同相, 一周期
内策动力总作正功,
此时向系统输入的能
量最大 。
0??rp ?20fv mr ?
)pts i n (pAv ????
22222
0
0
4 p)p(
pfpAv
m
?? ??
??
不能用线性微分方程描述的振动称为 非线性振动 。
1、内在的非线性因素
发生非线性振动的原因：
振动系统内部出现非线性回复力
振动系统的参量不能保持常数,
如漏摆、荡秋千。
*4-6 非线性振动简介
一, 非线性振动概述
单摆（或复摆）
的回复力矩 )!!(m g lM ?????? 53
53 ??
?
自激振动
1、外在的非线性影响
非线性阻尼的影响
策动力为位移或速度的非线性函数
如 3
3221 vkvkvkf r ????
如 )v,v,v,x,x,x(FF ?? 3232?
线性振动与非线性振动的最大区别：
线性振动满足叠加原理
非线性振动不满足叠加原理
近似简化、图解、计算机处理
研究方法：
微扰法
二, 非线性振动研究的方法及意义
相平面法
