第 4章 图形变换
第 4章 图形变换
4.1 二维图形几何变换
4.1.1 齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是将一个原本是 n维的
向量用一个 n+1维向量来表示。例如：二维坐标
点 P(x,y)的齐次坐标为：
(H?x,H?y,H)
其中,H是任一不为 0的比例系数。
第 4章 图形变换
4.1.2 二维图形的基本变换
如果用 P= [x y 1]表示 XY平面上一个未被
变换的点，用 P’= [x’ y’ 1]表示 P点经某种变换
后的新点，用一个 3*3矩阵 T表示变换矩阵：
则图形变换可以统一表示为,P’=P·T
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T
第 4章 图形变换
1,平移变换
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换。
假定从点 P平移到点 P’,点 P沿 X方向的平移量为 m，沿 Y
方向的平移量为 n，构造平移矩阵 T：
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1
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001
nm
T
第 4章 图形变换
2．比例变换
基本的比例变换是指图形相对于坐标原点，按比例系数
(Sx,Sy)放大或缩小的变换。
假定点 P相对于坐标原点沿 X方向放缩 Sx倍，沿 Y方向
放缩 Sy倍，构造比例矩阵 T：
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第 4章 图形变换
如果比例变换矩阵为如下形式：
此时进行整体比例变换，比例系数为 (1/S,1/S)。
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S
T
00
010
001
第 4章 图形变换
3．旋转变换
基本的旋转变换是指将图形围绕圆心逆时针转动一个 θ
角度的变换。
假定从 P点绕原点逆时针旋转 θ角到 P’点，构造旋转矩
阵 T：
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第 4章 图形变换
4．对称变换
（ 1） 关于 X轴的对称变换
点 P(x,y)关于 X轴的对称点为 P’(x,-y)，构造对
称矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 2）关于 Y轴的对称变换
点 P(x,y)关于 Y轴的对称点为 P’(-x,y)，构造对称矩
阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 3）关于坐标原点的对称变换
点 P(x,y)关于坐标原点的对称点为 P’(-x,-y)，构
造对称矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 4）关于 y=x（ +45° ）直线的对称变换
点 P(x,y)关于 y=x直线的对称点为 P’(y,x),构造对
称矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 5）关于 y=-x（ -45° ）直线的对称变换
点 P(x,y)关于 y=-x直线的对称点为 P’(-y,-x)，构造
对称矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
5,错切变换
错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性
物体的变形处理。
第 4章 图形变换
（ 1）沿 X轴方向关于 y的错切
点 P(x,y) 沿 X轴方向关于 y进行错切变换，错切角度
为 α。令 e=tgα，构造错切矩阵 T：
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100
01
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eT
第 4章 图形变换
（ 2）沿 Y轴方向关于 x的错切
点 P(x,y) 沿 Y轴方向关于 x进行错切变换，错切角度
为 β。令 b=tgβ，构造错切矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
6,变换矩阵的功能分区
五种二维基本变换，它们的变换矩阵都可以用如下的
3*3矩阵来描述：
（ 1）左上角的 2*2子块可实现比例、旋转、对称、
错切四种基本变换；
（ 2）左下角的 1*2子块可实现平移变换；
（ 3）右上角的 2*1子块可实现投影变换；
（ 4）右下角的 1*1子块可实现整体比例变换。
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T
第 4章 图形变换
4.1.3 复合变换
对于任何一个比较复杂的变换，都可以转换成
若干个连续进行的基本变换。这些基本几何变换
的组合称为复合变换，也称为级联变换。
设图形经过 n次基本几何变换，其变换矩阵分
别为 T1,T2,…,Tn，则称 T=T1?T2?… ?Tn为复
合变换矩阵。
第 4章 图形变换
1,连续平移变换
2,连续比例变换
3,连续旋转变换
4,相对任一参考点的二维几何变换
5,以平面内任一直线为对称轴进行对称变换
第 4章 图形变换
4.2 三维图形几何变换
4.2.1 三维图形的基本变换
如果用 P= [x y z 1]表示三维空间上一个
未被变换的点，用 P’= [x’ y’ z’ 1]表示 P点经某
种变换后的新点，用一个 4*4矩阵 T表示变换矩阵：
则图形变换可以统一表示为,P’=P·T
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T
第 4章 图形变换
同样可对三维图形几何变换的 4*4矩阵 T进行
功能分区，其中：
（ 1）左上角的 3*3子块可实现比例、旋转、
对称、错切四种基本变换；
（ 2）左下角的 1*3子块可实现平移变换；
（ 3）右上角的 3*1子块可实现投影变换；
（ 4）右下角的 1*1子块可实现整体比例变换。
第 4章 图形变换
1,平移变换
假定从点 P平移到点 P’,点 P沿 X方向的平移量为 l，点
P沿 Y方向的平移量为 m，沿 Z方向的平移量为 n，则可构
造平移矩阵 T：
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1
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T
第 4章 图形变换
2．比例变换
（ 1）局部比例变换
假定点 P相对于坐标原点沿 X方向放缩 Sx倍，沿 Y方向
放缩 Sy倍，沿 Z方向放缩 Sz倍，其中 Sx,Sy和 Sz称为比
例系数，则可构造比例矩阵 T：
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1000
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Sy
Sx
T
第 4章 图形变换
（ 2）整体比例变换
其变换矩阵为：
S的取值所起到的作用与二维变换相同。
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S
T
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第 4章 图形变换
3,旋转变换
下面讨论的三种基本旋转变换，都是考虑在右手坐标
系下，某点绕坐标轴逆时针旋转 θ角的情况 。
（ 1） 绕 Z轴旋转
构造旋转矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 2） 绕 X轴旋转
构造旋转矩阵 T：
（ 3） 绕 Y轴旋转
构造旋转矩阵 T：
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第 4章 图形变换
4,对称变换
（ 1） 关于坐标原点的对称变换
（ 2） 关于坐标轴的对称变换 （ 以关于 X轴的对称变换为例 ）
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第 4章 图形变换
（ 3）关于坐标平面的对称变换（以关于 XOY坐标平面的
对称变换为例）
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T
第 4章 图形变换
5．错切变换
三维图形错切变换可以沿 X轴,Y轴,Z轴三个方向产
生错切变换，构造错切变换矩阵 T：
根据元素所在的列，可以判断出是沿哪个坐标轴方向
进行错切。
根据元素所在的行，可以判断出是关于哪个坐标变量
的错切。
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第 4章 图形变换
4.2.2 复合变换
1,相对空间任一点的几何变换
2,相对空间任一直线的几何变换
第 4章 图形变换
4.3 投影变换
4.3.1 投影变换的基本概念
将三维空间中的物体变为二维图形表示的过程
称为投影变换。
投影变换的分类：
第 4章 图形变换
投影的要素包括投影对象、投影中心、投影平
面、投影线和投影。要作投影变换的物体称为投
影对象；在三维空间中，选择一个点，记这个点
为投影中心；不经过这个点再定义一个平面，记
这个平面为投影平面；从投影中心向投影平面引
任意多条射线，记这些射线为投影线；穿过物体
的投影线与投影面相交，在投影面上形成物体的
像，这个像记为三维物体在二维投影面上的投影。
第 4章 图形变换
投影变换可分为两大类：透视投影和平行投影。
它们的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面
之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影
面之间的距离是无限的。
第 4章 图形变换
4.3.2 平行投影
平行投影的投影中心与投影平面之间的距离为
无穷远；投影线之间相互平行；平行线的平行投影仍
是平行线。
按照投影方向与投影平面的交角不同，平行投
影分为两类：正平行投影和斜平行投影。
第 4章 图形变换
1．正平行投影
正平行投影的投影方向垂直于投影平面。
按照投影平面与坐标轴的交角不同，正平行投影又可
分为两类：正投影与正轴测。
当投影平面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为正投
影；否则，得到的投影为正轴测。
第 4章 图形变换
（ 1）正投影
正投影也称为三视图。按照投影平面是否与 Y轴,X轴、
Z轴垂直，正投影分为主视图、侧视图和俯视图三种，此时投
影方向分别与这个坐标轴的方向一致。
第 4章 图形变换
（ 2） 正轴测
根据变形系数之间的关系, 正轴测投影可分为正等测
投影, 正二测投影, 正三测投影 。
第 4章 图形变换
2,斜平行投影
斜平行投影的投影方向不垂直于投影平面，而是与投
影面成 α夹角。
在工程制图中，经常选择一些兼有美观及绘图方便的
α 角来作斜平行投影，常用的两种是斜等测和斜二测。
第 4章 图形变换
4.3.3 透视投影
1,透视投影的术语和分类
透视投影的投影中心与投影平面之间的距离为有限的。
投影线（视线）从投影中心（视点）出发，投影线是不平
行的。
对于透视投影，一束平行于投影平面的平行线的投影
仍可保持平行，而不平行于投影平面的平行线的投影会收
敛到一个点，这个点称为灭点（ Vanishing Point）。
平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为
主灭点。
第 4章 图形变换
根据主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点
透视和三点透视。
（ 1）一点透视：有一个主灭点，即投影平面与一个
坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。
（ 2）二点透视：有两个主灭点，即投影平面与两个
坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。
（ 3）三点透视：有三个主灭点，即投影面与三个坐
标轴都相交。
第 4章 图形变换
2,透视投影的表示方法
假设投影中心在坐标原点，投影平面与 Z轴垂直，
在 z＝ d的位置上。点 P(x,y,z)在投影平面上的投影点为：
P’(x’,y’,d)，构造透视投影的变换矩阵 T：
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d
T
第 4章 图形变换
3,透视异常
（ 1）透视缩小效应
（ 2）灭点效应
（ 3）观察混淆
（ 4）布局失真
第 4章 图形变换
4.4 坐标系统及其变换
4.4.1 坐标系统
1．建模坐标系（ MC）
2．世界坐标系（ WC）
3．观察坐标系（ VC）
4．投影坐标系（ PC）
5．设备坐标系（ DC）
第 4章 图形变换
4.4.2 模型变换
模型变换是将建模坐标系中的形体转换为世界
坐标系中描述的变换。一旦用户定义建模坐标系
中的, 局部, 物体，通过指定建模坐标系的原点
在世界坐标系中的位置，然后通过前面介绍过的
几何变换，就可很容易地将, 局部, 物体放入世
界坐标系内，使它由局部上升为全局。
第 4章 图形变换
4.4.3 观察变换
观察变换是将一个三维对象在世界坐标系统中
的坐标转变为在观察坐标系统中的坐标过程。
1,观察平面
2,观察体
3,规范化观察体
4,从世界坐标系到观察坐标系的变换
第 4章 图形变换
4.4.4 窗口 -视区变换
窗口用来确定要显示的物体，视区确定实际显
示图形。实际情况中，窗口与视区的大小往往不一样。
如果要在视区正确地显示形体，必须将其从窗口变换
到视区，此过程称为窗口 -视区变换。
第 4章 图形变换
构造窗口 -视区变换的变换矩阵 T：
其中：
wy b
wy bwy t
vybvyt
vybd
wy bwy t
vybvyt
c
wx l
wx lwx r
vxlvxr
vxlb
wx lwx r
vxlvxr
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db
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T
第 4章 图形变换
4.1 二维图形几何变换
4.1.1 齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是将一个原本是 n维的
向量用一个 n+1维向量来表示。例如：二维坐标
点 P(x,y)的齐次坐标为：
(H?x,H?y,H)
其中,H是任一不为 0的比例系数。
第 4章 图形变换
4.1.2 二维图形的基本变换
如果用 P= [x y 1]表示 XY平面上一个未被
变换的点，用 P’= [x’ y’ 1]表示 P点经某种变换
后的新点，用一个 3*3矩阵 T表示变换矩阵：
则图形变换可以统一表示为,P’=P·T
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T
第 4章 图形变换
1,平移变换
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换。
假定从点 P平移到点 P’,点 P沿 X方向的平移量为 m，沿 Y
方向的平移量为 n，构造平移矩阵 T：
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1
010
001
nm
T
第 4章 图形变换
2．比例变换
基本的比例变换是指图形相对于坐标原点，按比例系数
(Sx,Sy)放大或缩小的变换。
假定点 P相对于坐标原点沿 X方向放缩 Sx倍，沿 Y方向
放缩 Sy倍，构造比例矩阵 T：
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Sy
Sx
T
第 4章 图形变换
如果比例变换矩阵为如下形式：
此时进行整体比例变换，比例系数为 (1/S,1/S)。
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S
T
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第 4章 图形变换
3．旋转变换
基本的旋转变换是指将图形围绕圆心逆时针转动一个 θ
角度的变换。
假定从 P点绕原点逆时针旋转 θ角到 P’点，构造旋转矩
阵 T：
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T
第 4章 图形变换
4．对称变换
（ 1） 关于 X轴的对称变换
点 P(x,y)关于 X轴的对称点为 P’(x,-y)，构造对
称矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 2）关于 Y轴的对称变换
点 P(x,y)关于 Y轴的对称点为 P’(-x,y)，构造对称矩
阵 T：
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100
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T
第 4章 图形变换
（ 3）关于坐标原点的对称变换
点 P(x,y)关于坐标原点的对称点为 P’(-x,-y)，构
造对称矩阵 T：
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100
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T
第 4章 图形变换
（ 4）关于 y=x（ +45° ）直线的对称变换
点 P(x,y)关于 y=x直线的对称点为 P’(y,x),构造对
称矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
（ 5）关于 y=-x（ -45° ）直线的对称变换
点 P(x,y)关于 y=-x直线的对称点为 P’(-y,-x)，构造
对称矩阵 T：
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100
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010
T
第 4章 图形变换
5,错切变换
错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性
物体的变形处理。
第 4章 图形变换
（ 1）沿 X轴方向关于 y的错切
点 P(x,y) 沿 X轴方向关于 y进行错切变换，错切角度
为 α。令 e=tgα，构造错切矩阵 T：
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第 4章 图形变换
（ 2）沿 Y轴方向关于 x的错切
点 P(x,y) 沿 Y轴方向关于 x进行错切变换，错切角度
为 β。令 b=tgβ，构造错切矩阵 T：
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01 b
T
第 4章 图形变换
6,变换矩阵的功能分区
五种二维基本变换，它们的变换矩阵都可以用如下的
3*3矩阵来描述：
（ 1）左上角的 2*2子块可实现比例、旋转、对称、
错切四种基本变换；
（ 2）左下角的 1*2子块可实现平移变换；
（ 3）右上角的 2*1子块可实现投影变换；
（ 4）右下角的 1*1子块可实现整体比例变换。
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T
第 4章 图形变换
4.1.3 复合变换
对于任何一个比较复杂的变换，都可以转换成
若干个连续进行的基本变换。这些基本几何变换
的组合称为复合变换，也称为级联变换。
设图形经过 n次基本几何变换，其变换矩阵分
别为 T1,T2,…,Tn，则称 T=T1?T2?… ?Tn为复
合变换矩阵。
第 4章 图形变换
1,连续平移变换
2,连续比例变换
3,连续旋转变换
4,相对任一参考点的二维几何变换
5,以平面内任一直线为对称轴进行对称变换
第 4章 图形变换
4.2 三维图形几何变换
4.2.1 三维图形的基本变换
如果用 P= [x y z 1]表示三维空间上一个
未被变换的点，用 P’= [x’ y’ z’ 1]表示 P点经某
种变换后的新点，用一个 4*4矩阵 T表示变换矩阵：
则图形变换可以统一表示为,P’=P·T
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snml
rihg
qfed
pcba
T
第 4章 图形变换
同样可对三维图形几何变换的 4*4矩阵 T进行
功能分区，其中：
（ 1）左上角的 3*3子块可实现比例、旋转、
对称、错切四种基本变换；
（ 2）左下角的 1*3子块可实现平移变换；
（ 3）右上角的 3*1子块可实现投影变换；
（ 4）右下角的 1*1子块可实现整体比例变换。
第 4章 图形变换
1,平移变换
假定从点 P平移到点 P’,点 P沿 X方向的平移量为 l，点
P沿 Y方向的平移量为 m，沿 Z方向的平移量为 n，则可构
造平移矩阵 T：
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第 4章 图形变换
2．比例变换
（ 1）局部比例变换
假定点 P相对于坐标原点沿 X方向放缩 Sx倍，沿 Y方向
放缩 Sy倍，沿 Z方向放缩 Sz倍，其中 Sx,Sy和 Sz称为比
例系数，则可构造比例矩阵 T：
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Sx
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第 4章 图形变换
（ 2）整体比例变换
其变换矩阵为：
S的取值所起到的作用与二维变换相同。
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S
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0001
第 4章 图形变换
3,旋转变换
下面讨论的三种基本旋转变换，都是考虑在右手坐标
系下，某点绕坐标轴逆时针旋转 θ角的情况 。
（ 1） 绕 Z轴旋转
构造旋转矩阵 T：
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第 4章 图形变换
（ 2） 绕 X轴旋转
构造旋转矩阵 T：
（ 3） 绕 Y轴旋转
构造旋转矩阵 T：
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T
第 4章 图形变换
4,对称变换
（ 1） 关于坐标原点的对称变换
（ 2） 关于坐标轴的对称变换 （ 以关于 X轴的对称变换为例 ）
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第 4章 图形变换
（ 3）关于坐标平面的对称变换（以关于 XOY坐标平面的
对称变换为例）
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T
第 4章 图形变换
5．错切变换
三维图形错切变换可以沿 X轴,Y轴,Z轴三个方向产
生错切变换，构造错切变换矩阵 T：
根据元素所在的列，可以判断出是沿哪个坐标轴方向
进行错切。
根据元素所在的行，可以判断出是关于哪个坐标变量
的错切。
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01
01
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T
第 4章 图形变换
4.2.2 复合变换
1,相对空间任一点的几何变换
2,相对空间任一直线的几何变换
第 4章 图形变换
4.3 投影变换
4.3.1 投影变换的基本概念
将三维空间中的物体变为二维图形表示的过程
称为投影变换。
投影变换的分类：
第 4章 图形变换
投影的要素包括投影对象、投影中心、投影平
面、投影线和投影。要作投影变换的物体称为投
影对象；在三维空间中，选择一个点，记这个点
为投影中心；不经过这个点再定义一个平面，记
这个平面为投影平面；从投影中心向投影平面引
任意多条射线，记这些射线为投影线；穿过物体
的投影线与投影面相交，在投影面上形成物体的
像，这个像记为三维物体在二维投影面上的投影。
第 4章 图形变换
投影变换可分为两大类：透视投影和平行投影。
它们的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面
之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影
面之间的距离是无限的。
第 4章 图形变换
4.3.2 平行投影
平行投影的投影中心与投影平面之间的距离为
无穷远；投影线之间相互平行；平行线的平行投影仍
是平行线。
按照投影方向与投影平面的交角不同，平行投
影分为两类：正平行投影和斜平行投影。
第 4章 图形变换
1．正平行投影
正平行投影的投影方向垂直于投影平面。
按照投影平面与坐标轴的交角不同，正平行投影又可
分为两类：正投影与正轴测。
当投影平面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为正投
影；否则，得到的投影为正轴测。
第 4章 图形变换
（ 1）正投影
正投影也称为三视图。按照投影平面是否与 Y轴,X轴、
Z轴垂直，正投影分为主视图、侧视图和俯视图三种，此时投
影方向分别与这个坐标轴的方向一致。
第 4章 图形变换
（ 2） 正轴测
根据变形系数之间的关系, 正轴测投影可分为正等测
投影, 正二测投影, 正三测投影 。
第 4章 图形变换
2,斜平行投影
斜平行投影的投影方向不垂直于投影平面，而是与投
影面成 α夹角。
在工程制图中，经常选择一些兼有美观及绘图方便的
α 角来作斜平行投影，常用的两种是斜等测和斜二测。
第 4章 图形变换
4.3.3 透视投影
1,透视投影的术语和分类
透视投影的投影中心与投影平面之间的距离为有限的。
投影线（视线）从投影中心（视点）出发，投影线是不平
行的。
对于透视投影，一束平行于投影平面的平行线的投影
仍可保持平行，而不平行于投影平面的平行线的投影会收
敛到一个点，这个点称为灭点（ Vanishing Point）。
平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为
主灭点。
第 4章 图形变换
根据主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点
透视和三点透视。
（ 1）一点透视：有一个主灭点，即投影平面与一个
坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。
（ 2）二点透视：有两个主灭点，即投影平面与两个
坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。
（ 3）三点透视：有三个主灭点，即投影面与三个坐
标轴都相交。
第 4章 图形变换
2,透视投影的表示方法
假设投影中心在坐标原点，投影平面与 Z轴垂直，
在 z＝ d的位置上。点 P(x,y,z)在投影平面上的投影点为：
P’(x’,y’,d)，构造透视投影的变换矩阵 T：
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0010
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T
第 4章 图形变换
3,透视异常
（ 1）透视缩小效应
（ 2）灭点效应
（ 3）观察混淆
（ 4）布局失真
第 4章 图形变换
4.4 坐标系统及其变换
4.4.1 坐标系统
1．建模坐标系（ MC）
2．世界坐标系（ WC）
3．观察坐标系（ VC）
4．投影坐标系（ PC）
5．设备坐标系（ DC）
第 4章 图形变换
4.4.2 模型变换
模型变换是将建模坐标系中的形体转换为世界
坐标系中描述的变换。一旦用户定义建模坐标系
中的, 局部, 物体，通过指定建模坐标系的原点
在世界坐标系中的位置，然后通过前面介绍过的
几何变换，就可很容易地将, 局部, 物体放入世
界坐标系内，使它由局部上升为全局。
第 4章 图形变换
4.4.3 观察变换
观察变换是将一个三维对象在世界坐标系统中
的坐标转变为在观察坐标系统中的坐标过程。
1,观察平面
2,观察体
3,规范化观察体
4,从世界坐标系到观察坐标系的变换
第 4章 图形变换
4.4.4 窗口 -视区变换
窗口用来确定要显示的物体，视区确定实际显
示图形。实际情况中，窗口与视区的大小往往不一样。
如果要在视区正确地显示形体，必须将其从窗口变换
到视区，此过程称为窗口 -视区变换。
第 4章 图形变换
构造窗口 -视区变换的变换矩阵 T：
其中：
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wy bwy t
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vybd
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