第 5章 曲线和曲面
第 5章 曲线和曲面
5.1 参数表示曲线和曲面的基础知识
5.1.1 曲线和曲面的表示方法
1．显式表示
显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式，
且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来。
2．隐式表示
隐式表示不要求坐标变量之间一一对应，它只是规定
了各坐标变量必须满足的关系。
3．参数表示
参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形
式。假定用 t表示参数，参数 t在 [0,1]区间内变化，当
t=0时，对应曲线段的起点，当 t=1时，对应曲线段的终
点。
第 5章 曲线和曲面
与显式、隐式方程相比，用参数方程表示曲线
和曲面更为通用，其优越性主要体现在以下几个
方面：
（ 1）曲线的边界容易确定。
（ 2）点动成线。
（ 3）具有几何不变性。
（ 4）易于变换。
（ 5）易于处理斜率为无穷大的情形。
（ 6）表示能力强。
第 5章 曲线和曲面
5.1.2 位置矢量, 切矢量, 法矢量, 曲率与
挠率
1,位置矢量
2,切矢量
3,法矢量
主法矢量, 副法矢量
法平面, 密切平面, 副法平面
]1,0[)](),(),([)( ?? ttztytxtP
)](')(')('[)(')( tztytxdtdPtPtT ???
第 5章 曲线和曲面
4,曲率和挠率
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0lim)(
第 5章 曲线和曲面
5.1.3 样条表示
1,插值, 逼近和拟合
给定一组称为控制点的有序坐标点，通过这些控制点，
可以构造出一条样条曲线：
如果样条曲线顺序通过每一个控制点，称为对这些控
制点进行插值，所构造的曲线称为插值样条曲线；
如果样条曲线在某种意义下最接近这些控制点（不一
定通过每个控制点），称为对这些控制点进行逼近，所构
造的曲线为逼近样条曲线；
插值和逼近统称为拟合。
第 5章 曲线和曲面
2,曲线的连续性
（ 1） 参数连续性
?0阶参数连续性
?1阶参数连续性
?2阶参数连续性
（ 2）几何连续性
?0阶几何连续性
?1阶几何连续性
?2阶几何连续性
第 5章 曲线和曲面
5.2 Hermite曲线
5.2.1 n次参数多项式曲线
给定 n+1个控制点，可以得到如下 n次参数多
项式曲线 p(t)：
经过分解，上式可改写为如下形式：
通常，将 T·M矩阵称为 n次参数多项式曲线的
基函数（或称调和函数、混合函数）。
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111
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第 5章 曲线和曲面
5.2.2 三次 Hermite曲线的定义
如果给定一段三次参数样条曲线的两个端点的位置矢量
为 p(0),p(1)，切矢量为 p’(0),p’(1)，则三次 Hermite
曲线的矩阵表示为：
通常，将 T称为矢量矩阵，将 Mh称为通用变换矩阵，将
Gh称为 Hermite系数，将 T?Mh称为 Hermite基函数。
? ?
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p
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第 5章 曲线和曲面
5.3 Bezier曲线
5.3.1 Bezier曲线的定义
在空间给定 n+1个控制点，其位置矢量表示
为 Pi（ i = 0,1,…,n）。可以逼近生成如下的 n
次 Bezier曲线：
其中,称为伯恩斯坦（ Bernstein）基
函数，它的多项式表示为：
]1,0[)()(
0
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ttBPtP
n
i
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)(,tB ni
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第 5章 曲线和曲面
依次用直线段连接相邻的两个控制点 Pi,Pi+1，
（ i = 0,1,…,n – 1），便得到一条 n边的折线
P0P1P2… Pn，将这样一条 n边的折线称为 Bezier控
制多边形（或特征多边形），简称为 Bezier多边
形。
Bezier曲线和它的控制多边形十分逼近，通
常认为控制多边形是对 Bezier曲线的大致勾画，
因此在设计中可以通过调整控制多边形的形状来
控制 Bezier曲线的形状。
第 5章 曲线和曲面
1．一次 Bezier曲线（ n=1）
一次多项式，有两个控制点，其矩阵表示为：
显然，它是一条以 P0为起点、以 P1为终点的直线段。
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P
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第 5章 曲线和曲面
2．二次 Bezier曲线（ n=2）
二次多项式，有三个控制点，其矩阵表示为：
显然，它是一条以 P0为起点、以 P2为终点的抛物线。
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022
121
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ii
第 5章 曲线和曲面
3．三次 Bezier曲线（ n=3）
三次多项式，有四个控制点，其矩阵表示为：
可知，三次 Bezier曲线是一条以 P0为起点、以 P3为终
点的自由曲线。
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0001
0033
0363
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ii
第 5章 曲线和曲面
5.3.2 Bernstein基函数的性质
1．正性
2．端点性质
3．权性（规范性）
4．对称性
5．最大值
6．递推性
7．导函数
第 5章 曲线和曲面
5.3.3 Bezier曲线的性质
1,端点性质
?位置矢量
?切矢量
?二阶导矢
2,对称性
3,凸包性
4,几何不变性
5,变差缩减性
6,仿射不变性
第 5章 曲线和曲面
5.3.4 Bezier曲线的生成
1,Bezier曲线的生成算法
参见例 5-2
2,手工绘制一段 Bezier曲线
3,Bezier曲线的连接
4,Bezier曲线的升阶与降阶
第 5章 曲线和曲面
5.4 B样条曲线
5.4.1 B样条曲线的定义
在空间给定 m + n + 1个控制点，用向量 Pi表
示（ i = 0,1,…,m + n），称 n次参数曲线：
为 n次 B样条的第 i段曲线 (i = 0,1,…,m)。
其中,Fl,n(t)是新引进的 B样条基函数，即：
这样一共有 m + 1段 B样条曲线，统称为 n次 B
样条曲线。
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n
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第 5章 曲线和曲面
依次用直线段连接相邻的两个控制点 Pi+l与
Pi+l+1（ l = 0,1,…,n –1），将得到的折线称为
第 i段的 B控制多边形。
由第 i段的 B控制多边形决定的 B样条曲线称为
第 i段 B样条曲线。
由于任意一段的 B样条曲线具有相同的几何性
质，因此取 i = 0，即第 0段的 B样条曲线进行研
究，第 0段的 B样条曲线定义式为：
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n
l
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0
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10 ?? t
第 5章 曲线和曲面
5.4.2 B样条曲线的表示及性质
以三次 B样条曲线为例：
1,三次 B样条曲线的矩阵表示
10
0141
0303
0363
1331
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6
1
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3
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第 5章 曲线和曲面
2,三次 B样条曲线的端点性质
?位置矢量
?切矢量
?二阶导数
3,三次 B样条曲线的连续性
第 5章 曲线和曲面
5.4.3 B样条曲线的生成
1,B样条曲线的生成算法
参见例 5-9
2,反求三次 B样条曲线控制点
3,B样条曲线与 Bezier曲线的转换
第 5章 曲线和曲面
5.5 Coons曲面
5.5.1 参数曲面的基本概念
定义双参数曲面的方程为：
P(u,v),u,v∈ [0,1]
则曲面片的四条边界可以由参数曲线 P(u,0),
P(u,1),P(0,v),P(1,v)定义，曲面片的四个角
点可以由 P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)定义。
第 5章 曲线和曲面
5.5.2 Coons曲面的定义
应用 Hermite曲线的基函数，可以构造出一个
双三次 Coons曲面，其矩阵表示为：
其中：
TT VU M C MvuP ?),(
]1[],1[ 2323 vvvVuuuU ??
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0100
1233
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第 5章 曲线和曲面
它称为角点信息矩阵。
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矢扭量切向
切向量点角
u
v
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uvuvuu
uvuvuu
vv
vv
11101110
01000100
11101110
01000100
第 5章 曲线和曲面
5.5.3 Coons曲面的拼合
设有两块相邻的曲面片 P与 Q,两块 Coons曲
面片的拼接分为沿 u方向的拼接和沿 v方向的拼接。
以沿 u方向的拼接为例,
1．若要满足 G 0连续，则要求 P与 Q有共同的
边界，即 。
2．若要满足 G 1连续，则要求 P与 Q在共同的
边界上有相同的切平面，即, k为
常数。 )1(0
qupu vkv ?
qp vv 10 ?
第 5章 曲线和曲面
5.6 Bezier曲面
5.6.1 Bezier曲面的定义及性质
1,Bezier曲面的定义
在空间给定 (n+1)× (m+1)个点 Pij(i=0,1… n;
j=0,1… m)，则可逼近生成一个 n× m次的 Bezier曲面片，
其定义为：
称 Pij为 P(u,v)的控制顶点；把由两组多边形
Pi0Pi1… Pim (i=0,1,… n)和 P0jP1j… Pnj (j=0,1,… m)组成
的网格称为 P(u,v)的控制多面体（控制网格），记为 {Pij}。
同样,P(u,v)是对 {Pij}的逼近,{Pij}是 P(u,v)的大致形
状的勾画。
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0 0
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n
i
m
j
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第 5章 曲线和曲面
由 16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个双三次
(3× 3次 )Bezier曲面片，其矩阵表示为：
其中：
?
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?
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0001
0033
0363
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03020100
PPPp
PPPP
PPPP
PPPP
G
第 5章 曲线和曲面
2,Bezier曲面的性质
Bezier曲面的许多性质与 Bezier曲线的许多性质完全
一致。
?端点性质
?边界线的位置
?凸包性
第 5章 曲线和曲面
5.6.2 Bezier曲面的生成
参见例 5-10
第 5章 曲线和曲面
5.7 B样条曲面
5.7.1 B样条曲面的定义
在空间给定 (n+1)× (m+1)个点 Pij(i=0,1… n;
j=0,1… m)，则可逼近生成一个 n× m次的 B样条
曲面片，其定义为：
相比于 Bezier曲面,B样条曲面要更加逼近于
控制网格。
]1,0[,)()(),(,
0 0
,?? ? ?
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vuvFuFPvuP mi
n
i
m
j
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第 5章 曲线和曲面
由 16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个
双三次 (3× 3次 )B样条曲面片，它的矩阵表示为：
其中：
?
?
?
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?
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PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
G
第 5章 曲线和曲面
5.7.2 B样条曲面的生成
参见例 5-11
第 5章 曲线和曲面
5.1 参数表示曲线和曲面的基础知识
5.1.1 曲线和曲面的表示方法
1．显式表示
显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式，
且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来。
2．隐式表示
隐式表示不要求坐标变量之间一一对应，它只是规定
了各坐标变量必须满足的关系。
3．参数表示
参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形
式。假定用 t表示参数，参数 t在 [0,1]区间内变化，当
t=0时，对应曲线段的起点，当 t=1时，对应曲线段的终
点。
第 5章 曲线和曲面
与显式、隐式方程相比，用参数方程表示曲线
和曲面更为通用，其优越性主要体现在以下几个
方面：
（ 1）曲线的边界容易确定。
（ 2）点动成线。
（ 3）具有几何不变性。
（ 4）易于变换。
（ 5）易于处理斜率为无穷大的情形。
（ 6）表示能力强。
第 5章 曲线和曲面
5.1.2 位置矢量, 切矢量, 法矢量, 曲率与
挠率
1,位置矢量
2,切矢量
3,法矢量
主法矢量, 副法矢量
法平面, 密切平面, 副法平面
]1,0[)](),(),([)( ?? ttztytxtP
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第 5章 曲线和曲面
4,曲率和挠率
ctk c ?
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0lim)(
ct c ?
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第 5章 曲线和曲面
5.1.3 样条表示
1,插值, 逼近和拟合
给定一组称为控制点的有序坐标点，通过这些控制点，
可以构造出一条样条曲线：
如果样条曲线顺序通过每一个控制点，称为对这些控
制点进行插值，所构造的曲线称为插值样条曲线；
如果样条曲线在某种意义下最接近这些控制点（不一
定通过每个控制点），称为对这些控制点进行逼近，所构
造的曲线为逼近样条曲线；
插值和逼近统称为拟合。
第 5章 曲线和曲面
2,曲线的连续性
（ 1） 参数连续性
?0阶参数连续性
?1阶参数连续性
?2阶参数连续性
（ 2）几何连续性
?0阶几何连续性
?1阶几何连续性
?2阶几何连续性
第 5章 曲线和曲面
5.2 Hermite曲线
5.2.1 n次参数多项式曲线
给定 n+1个控制点，可以得到如下 n次参数多
项式曲线 p(t)：
经过分解，上式可改写为如下形式：
通常，将 T·M矩阵称为 n次参数多项式曲线的
基函数（或称调和函数、混合函数）。
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第 5章 曲线和曲面
5.2.2 三次 Hermite曲线的定义
如果给定一段三次参数样条曲线的两个端点的位置矢量
为 p(0),p(1)，切矢量为 p’(0),p’(1)，则三次 Hermite
曲线的矩阵表示为：
通常，将 T称为矢量矩阵，将 Mh称为通用变换矩阵，将
Gh称为 Hermite系数，将 T?Mh称为 Hermite基函数。
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)0(
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第 5章 曲线和曲面
5.3 Bezier曲线
5.3.1 Bezier曲线的定义
在空间给定 n+1个控制点，其位置矢量表示
为 Pi（ i = 0,1,…,n）。可以逼近生成如下的 n
次 Bezier曲线：
其中,称为伯恩斯坦（ Bernstein）基
函数，它的多项式表示为：
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第 5章 曲线和曲面
依次用直线段连接相邻的两个控制点 Pi,Pi+1，
（ i = 0,1,…,n – 1），便得到一条 n边的折线
P0P1P2… Pn，将这样一条 n边的折线称为 Bezier控
制多边形（或特征多边形），简称为 Bezier多边
形。
Bezier曲线和它的控制多边形十分逼近，通
常认为控制多边形是对 Bezier曲线的大致勾画，
因此在设计中可以通过调整控制多边形的形状来
控制 Bezier曲线的形状。
第 5章 曲线和曲面
1．一次 Bezier曲线（ n=1）
一次多项式，有两个控制点，其矩阵表示为：
显然，它是一条以 P0为起点、以 P1为终点的直线段。
? ? [ 0,1 ]t
01
11
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i
ii
第 5章 曲线和曲面
2．二次 Bezier曲线（ n=2）
二次多项式，有三个控制点，其矩阵表示为：
显然，它是一条以 P0为起点、以 P2为终点的抛物线。
? ? [ 0,1 ]t
001
022
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ii
第 5章 曲线和曲面
3．三次 Bezier曲线（ n=3）
三次多项式，有四个控制点，其矩阵表示为：
可知，三次 Bezier曲线是一条以 P0为起点、以 P3为终
点的自由曲线。
? ? [ 0,1 ] t
0001
0033
0363
1331
1
)()()()()()(
3
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第 5章 曲线和曲面
5.3.2 Bernstein基函数的性质
1．正性
2．端点性质
3．权性（规范性）
4．对称性
5．最大值
6．递推性
7．导函数
第 5章 曲线和曲面
5.3.3 Bezier曲线的性质
1,端点性质
?位置矢量
?切矢量
?二阶导矢
2,对称性
3,凸包性
4,几何不变性
5,变差缩减性
6,仿射不变性
第 5章 曲线和曲面
5.3.4 Bezier曲线的生成
1,Bezier曲线的生成算法
参见例 5-2
2,手工绘制一段 Bezier曲线
3,Bezier曲线的连接
4,Bezier曲线的升阶与降阶
第 5章 曲线和曲面
5.4 B样条曲线
5.4.1 B样条曲线的定义
在空间给定 m + n + 1个控制点，用向量 Pi表
示（ i = 0,1,…,m + n），称 n次参数曲线：
为 n次 B样条的第 i段曲线 (i = 0,1,…,m)。
其中,Fl,n(t)是新引进的 B样条基函数，即：
这样一共有 m + 1段 B样条曲线，统称为 n次 B
样条曲线。
nlttFPtP
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第 5章 曲线和曲面
依次用直线段连接相邻的两个控制点 Pi+l与
Pi+l+1（ l = 0,1,…,n –1），将得到的折线称为
第 i段的 B控制多边形。
由第 i段的 B控制多边形决定的 B样条曲线称为
第 i段 B样条曲线。
由于任意一段的 B样条曲线具有相同的几何性
质，因此取 i = 0，即第 0段的 B样条曲线进行研
究，第 0段的 B样条曲线定义式为：
?
?
?
n
l
nll tFPtP
0
,)()(
10 ?? t
第 5章 曲线和曲面
5.4.2 B样条曲线的表示及性质
以三次 B样条曲线为例：
1,三次 B样条曲线的矩阵表示
10
0141
0303
0363
1331
)1(
6
1
)(
3
2
1
0
23
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
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?
?
??
? t
P
P
P
P
ttttP
第 5章 曲线和曲面
2,三次 B样条曲线的端点性质
?位置矢量
?切矢量
?二阶导数
3,三次 B样条曲线的连续性
第 5章 曲线和曲面
5.4.3 B样条曲线的生成
1,B样条曲线的生成算法
参见例 5-9
2,反求三次 B样条曲线控制点
3,B样条曲线与 Bezier曲线的转换
第 5章 曲线和曲面
5.5 Coons曲面
5.5.1 参数曲面的基本概念
定义双参数曲面的方程为：
P(u,v),u,v∈ [0,1]
则曲面片的四条边界可以由参数曲线 P(u,0),
P(u,1),P(0,v),P(1,v)定义，曲面片的四个角
点可以由 P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)定义。
第 5章 曲线和曲面
5.5.2 Coons曲面的定义
应用 Hermite曲线的基函数，可以构造出一个
双三次 Coons曲面，其矩阵表示为：
其中：
TT VU M C MvuP ?),(
]1[],1[ 2323 vvvVuuuU ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
0001
0100
1233
1122
M
第 5章 曲线和曲面
它称为角点信息矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
矢扭量切向
切向量点角
u
v
C
uvuvuu
uvuvuu
vv
vv
11101110
01000100
11101110
01000100
第 5章 曲线和曲面
5.5.3 Coons曲面的拼合
设有两块相邻的曲面片 P与 Q,两块 Coons曲
面片的拼接分为沿 u方向的拼接和沿 v方向的拼接。
以沿 u方向的拼接为例,
1．若要满足 G 0连续，则要求 P与 Q有共同的
边界，即 。
2．若要满足 G 1连续，则要求 P与 Q在共同的
边界上有相同的切平面，即, k为
常数。 )1(0
qupu vkv ?
qp vv 10 ?
第 5章 曲线和曲面
5.6 Bezier曲面
5.6.1 Bezier曲面的定义及性质
1,Bezier曲面的定义
在空间给定 (n+1)× (m+1)个点 Pij(i=0,1… n;
j=0,1… m)，则可逼近生成一个 n× m次的 Bezier曲面片，
其定义为：
称 Pij为 P(u,v)的控制顶点；把由两组多边形
Pi0Pi1… Pim (i=0,1,… n)和 P0jP1j… Pnj (j=0,1,… m)组成
的网格称为 P(u,v)的控制多面体（控制网格），记为 {Pij}。
同样,P(u,v)是对 {Pij}的逼近,{Pij}是 P(u,v)的大致形
状的勾画。
]1,0[,)()(),(,
0 0
,?? ? ?
? ?
vuvBuBPvuP mi
n
i
m
j
niij
第 5章 曲线和曲面
由 16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个双三次
(3× 3次 )Bezier曲面片，其矩阵表示为：
其中：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0001
0033
0363
1331
bM
TTbb VGMUMvuP ?),(
? ?123 uuuU ? ? ?123 vvvV ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
33323130
23222120
13121110
03020100
PPPp
PPPP
PPPP
PPPP
G
第 5章 曲线和曲面
2,Bezier曲面的性质
Bezier曲面的许多性质与 Bezier曲线的许多性质完全
一致。
?端点性质
?边界线的位置
?凸包性
第 5章 曲线和曲面
5.6.2 Bezier曲面的生成
参见例 5-10
第 5章 曲线和曲面
5.7 B样条曲面
5.7.1 B样条曲面的定义
在空间给定 (n+1)× (m+1)个点 Pij(i=0,1… n;
j=0,1… m)，则可逼近生成一个 n× m次的 B样条
曲面片，其定义为：
相比于 Bezier曲面,B样条曲面要更加逼近于
控制网格。
]1,0[,)()(),(,
0 0
,?? ? ?
? ?
vuvFuFPvuP mi
n
i
m
j
niij
第 5章 曲线和曲面
由 16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个
双三次 (3× 3次 )B样条曲面片，它的矩阵表示为：
其中：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0141
0303
0363
1331
6
1
BM
TTBB VGMUMvuP ?),(
? ?123 uuuU ? ? ?123 vvvV ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
33323130
23222120
13121110
03020100
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
G
第 5章 曲线和曲面
5.7.2 B样条曲面的生成
参见例 5-11
