第
四
章
晶
体
的
对
称
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
对称的现象在自然界和我们日常生活中都
很常见。如蝴蝶、花冠等动植物的形体以及某
些用具、器皿都常呈对称的图形。
图 4－ 1 蝴蝶的对称
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
目的和要求
? 理解晶体对称的特点。
? 熟练掌握对称面、对称轴、对称中心和旋转反伸轴的特点和对
称操作。
? 理解对称定律,通过典型模型掌握对称要素组合 定律 。
? 掌握常见的对称型，要求学生能熟练地在晶体模型上找出对称
要素。
? 熟练掌握晶体按对称分类的体系，熟悉对称型的国际符号。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
主要内容
§ 4－ 1 对称的概念和特点
§ 4－ 2 对称操作和对称要素
§ 4－ 3 对称要素的组合规律
§ 4－ 4 对称型及其推导
§ 4－ 5 晶体的分类
§ 4－ 6 五次对称轴、二十面体与准晶
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 1 对称的概念和特点
? 对称的概念,对称就是物体相同部分有规律
的重复。
? 对称的特点：
1,取决于“格子构造”
2,表现：相同晶面、晶棱和角顶的规律重复
3,特点：
? 从某种意义上说，晶体都是对称的
? 晶体的对称是“有限”的
? 取决于内部格子构造，因此，物理性质对称
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 2 对称操作和对称要素
? 对称操作,
欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一定的操
作，这种操作就称之为对称操作。
? 对称要素：
在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素（点、线、
面）称为 对称要素 。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
1,对称面（ P）, 假想平面
（ 1）对称操作,通过晶体中心，并把晶体平分为
互为镜像反映 的两个相等部分。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6 图 4－ 2 P1和 P2为对称面（ a）,AD非对称面（ b）
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
a b
图 4－ 3 立方体的九个对称面 9P（ a）及其赤平投影（ b）
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 2） 对称面与晶面、晶棱的关系：
1) 垂直平分晶面
2) 垂直晶棱并通过它的中心
3) 包含晶棱
（ 3） 晶体对称面的表示：数目＋符号（ P）
注意：晶体中可以没有 P,也可能存在一个或几个 P.
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
2、对称轴（ Ln）,假想直线
（ 1）对称操作,晶体绕此直线旋转一定角度后，
晶体的相等部分作有规律的重复。
（ 2）相关概念,
轴次（ n）：晶体旋转 360 ° 重复的次数
基转角（ a）：重复时旋转到最小角度
n＝ 360° / a
（ 3）表示方法：
先写高次轴，后写低次轴；
同一种对称轴的数目写在对称轴符号前面
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
图 4－ 4 晶体中的对称轴 L2,L3,L4,L6举例
L2 L3 L4 L6
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 4） Ln可能出露的位置：
1) 对应晶面的中心：
2) 柱、立方体对应晶棱的中点；
3) 立方体、四面体对应角顶连线；
4) 双锥、偏方面体角顶与对应晶面中心；
5) 单锥角顶
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
? 注意：
1) 晶体中可有一种或几种对称轴。
2) 每一种对称轴可有一个或同时存在多个。
3) 晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴 (对称定
律 )
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
图 4-5 垂直对称轴所形成的多边形网孔
a,b,c,d,e,f,g分别表示垂直 L2, L3,L4,L5,L6,L7、
L8的多边形网孔，五、七、八边形网孔不能无间隙排列
g
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
3、对称中心（ C）,假想点
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸。
图 4-6 具有对称中心（ C）的图形 A与 A1,B与 B1的对应点
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
4、旋转反伸轴（ ）,一根假想的直线
（ 1） 对称操作,围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点
反伸的复合操作。图形围绕此直线旋转一定角度后，再
对此直线上的一个点进行反伸，可使相等部分重复。
(2)表示方法：旋转反伸轴以 表示，轴次 n为 1,2,3、
4,6。相应的基转角为 360°, 180°, 120°, 90°, 60° 。
niL
niL
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 3）旋转反伸轴与简单对称要素的关系：
?
??
??
?
?
PLL
CLL
PL
CL
i
i
i
i
36
33
2
1
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 3 对称要素的组合规律
在结晶多面体中，可以有一个要素单独存在，也可
以有若干个对称要素组合在一起共存。
对称要素的组合规律如下：
22 ?? ?? nLLLL nn
PCLPL nn ?? ?)( 偶
nPLPL n?? ΙΙn
IIPnLnLLL nini )12()12( 212212 ???? ????
IIII PnLnLPL nini )12()12( 21212 ???? ???
IIII nPnLLPL nini 222 ???
IInPnLLLL nini 2222 ?? ??
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律一：如果有一个二次轴 L2垂直 n次轴 Ln，则必有 n个 L2垂直 Ln 。
即：
22 ?? ?? nLLLL nn
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律二：如果有一个对称面 P包含垂直偶次轴 Ln，则在
其交点处必存在对称中心 C。即：
PCLPL nn ?? ?)( 偶
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律三：如果有一个对称面 P包含对称轴 Ln，则必有 n个 P包含 L2。
即：
nPLPL nΙΙn ??
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律四：如果有一个二次轴 L2垂直旋转反伸轴 Lni，或者有一个
对称面 P包含 Lni,当 n为奇数时，必有 n个 L2垂直 Lni和 n个对称面包
含 Lni。即：
当 n为偶数时，必有 n/2个 L2垂直 Lni和 n/2个 P包含 Lni,即：
（其中,n＝ 0,1,2…… ） IIII nPnLLPL nini 222 ???
IInPnLLLL nini 2222 ?? ??
IIPnLnLLL nini )12()12( 212212 ???? ????
IIII PnLnLPL nini )12()12( 21212 ???? ???
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 4 对称型及其推导
? 对称型,全部对称要素的组合，也称点群。
? 数目,所有晶体中，可能出现的对称型共有 32种。
? 表示方法,先写高次轴，再写低次轴，然后写对称
面，最后写对称中心
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
?推导, 为了便于推导，我们把对称要素的组合分为两
类：
1,A类：高次轴 ≤ 1的组合
2,B类：高次轴 ≥ 1的组合
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
1,A类对称型的推导,可能的组合共有以下七种情
况：
（ 1） Ln单独存在 L2,L3,L4,L6。
（ 2） 对称轴与对称轴的组合。即：
)( 22122 LLLnLLLL nn ??? ???
26
24
23
222
6
4
3
)3(2
?
?
?
?
LL
LL
LL
LLL
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 3） 对称轴 Ln与垂直它的对称面 P的组合。即：
PCLPL nn )()( 偶偶 ?? ?
PCLPL
PCLPL
PCLPL
66
44
22
??
??
??
?
?
?
PLPL nn )()( 奇奇 ?? ?
63
1
iLPL
PPL
??
??
?
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 4） 对称轴 Ln与包含它的对称面 P的组合。即：
nPLPL nn ?? II
PL
PL
PL
PL
PPL
6
4
3
2
6
4
3
2
1
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 5） 对称轴 Ln与垂直它的对称面 以及平行它的
对称面 的组合。即
)()1(22 CPnnLLLPPLPPL nnn ???????? ??? IIII
PCLPL nn )()( 偶偶 ?? ?
nPLPL nn ?? II )()1(2 CPnnLL n ?
22 ?? ?? nLLLL nn
PCLL
PCLL
PLLPLL
PCLPCLL
PLPLL
i
76
54
3343
3332
22
26
24
2623
222
221
?
?
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 6） 旋转反伸轴 单独存在，此时可能出现的对称型有n
iL
PLL
L
CLL
PL
CL
i
i
i
i
i
36
4
33
2
1
?
?
?
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 7） 旋转反伸轴 与垂直它的 L2（或包含它的 P）的组
合,此时可能出现的对称型为,niL
PLLPLL
PLLPLL
PLPLL
PCLLPLL
PCLPLL
i
ii
i
i
i
4333
2222
2
33
2326
2424
222
2323
221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
II
II
II
II
II
IIPnLnLLL nini )12()12( 212212 ???? ????
IIII PnLnLPL nini )12()12( 21212 ???? ???
IInPnLLLL nini 2222 ?? ??
IIII nPnLLPL nini 222 ???
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
小结
?Ln与 P或 L2斜交 Ln>1,故不考虑此两种情
况；
?A类对称型共推导出 27种。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
2,B类对称型的推导,可能的组合就是高次轴 Ln与 L2
的组合，即,。共出现五种对称型。 mnm LLLL )(n ???
234234
2332
643643
3443
LLLLLL
LLLL
???
??
PCLLLPLLLL n 9643643 234234 ?? 的不产生新
?? PLLL n 的不产生新34 43 PLL PCLL
i 643
343
34
32
综合 A,B两类，晶体中可能有的对称型共 32种，每
种对称型中的对称要素的空间分布及其赤平投影详见图
库。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 5 晶体的分类
?晶体分类体系
根据对称特点，可以对晶体进行合理的科学分类。
分类依据及分类体系见表。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
表 4－ 1 晶体的分类
晶族 晶系 对称特点 对称型种类 国际符号 晶类名称
低
级
晶
族
（
无
高
次
轴
）
三斜晶系 无 L2，无 P L
1
C
1 单面晶类
平行双晶类面
单斜晶系 L2或 P不多于 1个
L2
P
L2 PC
2
m
2/m
轴双面晶类
反映双面晶类
斜方柱晶类
斜方晶系 L
2或 P多于 1个 3L
2
L2 2P
3L2 3PC
222
mm(mm2)
mmm
斜方四面体晶类
斜方单锥晶类
斜方双锥晶类
中
级
晶
族
（
只
有
一
个
高
次
轴
）
四方晶系 有 1个 L4或
L4
L4 4L2
L4 PC
L4 4P
L4 4L2 5PC
4
42(422)
4/m
4mm
4/mmm
四方单锥晶类
四方偏方面体晶类
四方双锥晶类
复四方单锥晶类
复四方双锥晶类
四方四面体晶类
复四方偏三角面体晶类PCLLL
i
i
32 24
4
1
4iL
m24
4
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
续表 4－ 1 晶体的分类
晶族 晶系 对称特点 对称型种类 国际符号 晶类名称
中
级
晶
族
（
只
有
一
个
高
次
轴
三方晶系 有 1个 L3
L3
L33L2
L33P
L3C
L33L23PC
3
32
3m
三方单锥晶类
三方偏方面体晶类
复三方单锥晶类
菱面体晶类
复三方偏三角面体晶类
六方晶系 有 1个 L6或
L6
L66L2
L6PC
L66P
L66L27PC
6
62（ 622）
6/m
6mm
6/mmm
三方双锥晶类
复三方双锥晶类
六方单锥晶类
六方偏方面体晶类
六方单锥晶类
复六方单锥晶类
复六方双锥晶类
高
级
晶
族
（
有
数
个
高
次
轴
） 等轴晶系
有 4个 L3
3L24L3
3L24L33PC
3Li44L36P
3L44L36L2
3L44L36L29PC
23
m3
43（ 432）
m3m
五角三四面体晶类
偏方复十二面体晶类
六四面体晶类
五角三八面体晶类
六八面体晶类
6iL
PLL
L
i
i
33 26
6 m
m
m
26
6
)23(3
3
m34
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
1,分类原则
晶类, 属于同一对称型的晶体归为一类，称为晶类。
? 晶体中存在 32种对称型亦即有 32晶类。
晶类 晶族晶系
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
? 有无高次轴、有一个或多个高次轴分为三大晶族：
?低级晶族,无高次轴
?中级晶族：只有一个高次轴
?高级晶族：有数个高次轴
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
?三大晶族根据进一步对称特点划分为七大晶系：
三斜晶系：无 L2，无 P
?低级晶族, 单斜晶系,L2或 P≤ 1
斜方晶系,L2或 P > 1
三方晶系：只有一个 L3
?中级晶族：四方晶系：只有一个 L4或 Li4
六方晶系：只有一个 L6或 Li6
?高级晶族：等轴晶系：有四个 L3
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
2、各对称型中对称要素的空间分布（详见图库）：
? 三斜晶系
? 低级晶族,单斜晶系
? 斜方晶系
? 三方晶系
? 中级晶族：四方晶系
? 六方晶系
? 高级晶族：等轴晶系
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
3、对称型的符号：
（ 1）圣佛利斯符号,C,D,i,S,V,T,O
（ 2）国际符号,国际符号是一种比较简明的符号，它
既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位。
以 1,2,3,4,5,6和 分别表示各种
轴次的对称轴和旋转反伸轴。以 m表示对称面。
?若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或
横线隔开，如 L2 PC以 2/m表示。
?排列 顺序：各晶系不同。（ 如图）
654321,、、、、
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 6 五次对称轴、二十面体与准晶
? 长期以来，人们熟知固态物质有非晶质和晶质之分。
前者其组成质点的排列是长程无序；后者的组成质点
排列长程有序，且在三维空间作周期重复，即具有格
子构造。
? 1984年在 AlMn合金的透射电子显微镜的研究中首次
发现了五次对称轴。其结构中配位多面体是定向长程
有序的，但没有平移周期。这类物质被认为是介于非
晶质和晶质之间的一种新物态 —— 准晶态。
? 这部分内容不作课堂介绍，详见有关资料。
四
章
晶
体
的
对
称
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
对称的现象在自然界和我们日常生活中都
很常见。如蝴蝶、花冠等动植物的形体以及某
些用具、器皿都常呈对称的图形。
图 4－ 1 蝴蝶的对称
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
目的和要求
? 理解晶体对称的特点。
? 熟练掌握对称面、对称轴、对称中心和旋转反伸轴的特点和对
称操作。
? 理解对称定律,通过典型模型掌握对称要素组合 定律 。
? 掌握常见的对称型，要求学生能熟练地在晶体模型上找出对称
要素。
? 熟练掌握晶体按对称分类的体系，熟悉对称型的国际符号。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
主要内容
§ 4－ 1 对称的概念和特点
§ 4－ 2 对称操作和对称要素
§ 4－ 3 对称要素的组合规律
§ 4－ 4 对称型及其推导
§ 4－ 5 晶体的分类
§ 4－ 6 五次对称轴、二十面体与准晶
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 1 对称的概念和特点
? 对称的概念,对称就是物体相同部分有规律
的重复。
? 对称的特点：
1,取决于“格子构造”
2,表现：相同晶面、晶棱和角顶的规律重复
3,特点：
? 从某种意义上说，晶体都是对称的
? 晶体的对称是“有限”的
? 取决于内部格子构造，因此，物理性质对称
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 2 对称操作和对称要素
? 对称操作,
欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一定的操
作，这种操作就称之为对称操作。
? 对称要素：
在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素（点、线、
面）称为 对称要素 。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
1,对称面（ P）, 假想平面
（ 1）对称操作,通过晶体中心，并把晶体平分为
互为镜像反映 的两个相等部分。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6 图 4－ 2 P1和 P2为对称面（ a）,AD非对称面（ b）
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
a b
图 4－ 3 立方体的九个对称面 9P（ a）及其赤平投影（ b）
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 2） 对称面与晶面、晶棱的关系：
1) 垂直平分晶面
2) 垂直晶棱并通过它的中心
3) 包含晶棱
（ 3） 晶体对称面的表示：数目＋符号（ P）
注意：晶体中可以没有 P,也可能存在一个或几个 P.
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
2、对称轴（ Ln）,假想直线
（ 1）对称操作,晶体绕此直线旋转一定角度后，
晶体的相等部分作有规律的重复。
（ 2）相关概念,
轴次（ n）：晶体旋转 360 ° 重复的次数
基转角（ a）：重复时旋转到最小角度
n＝ 360° / a
（ 3）表示方法：
先写高次轴，后写低次轴；
同一种对称轴的数目写在对称轴符号前面
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
图 4－ 4 晶体中的对称轴 L2,L3,L4,L6举例
L2 L3 L4 L6
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 4） Ln可能出露的位置：
1) 对应晶面的中心：
2) 柱、立方体对应晶棱的中点；
3) 立方体、四面体对应角顶连线；
4) 双锥、偏方面体角顶与对应晶面中心；
5) 单锥角顶
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
? 注意：
1) 晶体中可有一种或几种对称轴。
2) 每一种对称轴可有一个或同时存在多个。
3) 晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴 (对称定
律 )
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
图 4-5 垂直对称轴所形成的多边形网孔
a,b,c,d,e,f,g分别表示垂直 L2, L3,L4,L5,L6,L7、
L8的多边形网孔，五、七、八边形网孔不能无间隙排列
g
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
3、对称中心（ C）,假想点
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸。
图 4-6 具有对称中心（ C）的图形 A与 A1,B与 B1的对应点
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
4、旋转反伸轴（ ）,一根假想的直线
（ 1） 对称操作,围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点
反伸的复合操作。图形围绕此直线旋转一定角度后，再
对此直线上的一个点进行反伸，可使相等部分重复。
(2)表示方法：旋转反伸轴以 表示，轴次 n为 1,2,3、
4,6。相应的基转角为 360°, 180°, 120°, 90°, 60° 。
niL
niL
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 3）旋转反伸轴与简单对称要素的关系：
?
??
??
?
?
PLL
CLL
PL
CL
i
i
i
i
36
33
2
1
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 3 对称要素的组合规律
在结晶多面体中，可以有一个要素单独存在，也可
以有若干个对称要素组合在一起共存。
对称要素的组合规律如下：
22 ?? ?? nLLLL nn
PCLPL nn ?? ?)( 偶
nPLPL n?? ΙΙn
IIPnLnLLL nini )12()12( 212212 ???? ????
IIII PnLnLPL nini )12()12( 21212 ???? ???
IIII nPnLLPL nini 222 ???
IInPnLLLL nini 2222 ?? ??
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律一：如果有一个二次轴 L2垂直 n次轴 Ln，则必有 n个 L2垂直 Ln 。
即：
22 ?? ?? nLLLL nn
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律二：如果有一个对称面 P包含垂直偶次轴 Ln，则在
其交点处必存在对称中心 C。即：
PCLPL nn ?? ?)( 偶
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律三：如果有一个对称面 P包含对称轴 Ln，则必有 n个 P包含 L2。
即：
nPLPL nΙΙn ??
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
组合规律四：如果有一个二次轴 L2垂直旋转反伸轴 Lni，或者有一个
对称面 P包含 Lni,当 n为奇数时，必有 n个 L2垂直 Lni和 n个对称面包
含 Lni。即：
当 n为偶数时，必有 n/2个 L2垂直 Lni和 n/2个 P包含 Lni,即：
（其中,n＝ 0,1,2…… ） IIII nPnLLPL nini 222 ???
IInPnLLLL nini 2222 ?? ??
IIPnLnLLL nini )12()12( 212212 ???? ????
IIII PnLnLPL nini )12()12( 21212 ???? ???
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 4 对称型及其推导
? 对称型,全部对称要素的组合，也称点群。
? 数目,所有晶体中，可能出现的对称型共有 32种。
? 表示方法,先写高次轴，再写低次轴，然后写对称
面，最后写对称中心
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
?推导, 为了便于推导，我们把对称要素的组合分为两
类：
1,A类：高次轴 ≤ 1的组合
2,B类：高次轴 ≥ 1的组合
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
1,A类对称型的推导,可能的组合共有以下七种情
况：
（ 1） Ln单独存在 L2,L3,L4,L6。
（ 2） 对称轴与对称轴的组合。即：
)( 22122 LLLnLLLL nn ??? ???
26
24
23
222
6
4
3
)3(2
?
?
?
?
LL
LL
LL
LLL
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 3） 对称轴 Ln与垂直它的对称面 P的组合。即：
PCLPL nn )()( 偶偶 ?? ?
PCLPL
PCLPL
PCLPL
66
44
22
??
??
??
?
?
?
PLPL nn )()( 奇奇 ?? ?
63
1
iLPL
PPL
??
??
?
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 4） 对称轴 Ln与包含它的对称面 P的组合。即：
nPLPL nn ?? II
PL
PL
PL
PL
PPL
6
4
3
2
6
4
3
2
1
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 5） 对称轴 Ln与垂直它的对称面 以及平行它的
对称面 的组合。即
)()1(22 CPnnLLLPPLPPL nnn ???????? ??? IIII
PCLPL nn )()( 偶偶 ?? ?
nPLPL nn ?? II )()1(2 CPnnLL n ?
22 ?? ?? nLLLL nn
PCLL
PCLL
PLLPLL
PCLPCLL
PLPLL
i
76
54
3343
3332
22
26
24
2623
222
221
?
?
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 6） 旋转反伸轴 单独存在，此时可能出现的对称型有n
iL
PLL
L
CLL
PL
CL
i
i
i
i
i
36
4
33
2
1
?
?
?
?
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
（ 7） 旋转反伸轴 与垂直它的 L2（或包含它的 P）的组
合,此时可能出现的对称型为,niL
PLLPLL
PLLPLL
PLPLL
PCLLPLL
PCLPLL
i
ii
i
i
i
4333
2222
2
33
2326
2424
222
2323
221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
II
II
II
II
II
IIPnLnLLL nini )12()12( 212212 ???? ????
IIII PnLnLPL nini )12()12( 21212 ???? ???
IInPnLLLL nini 2222 ?? ??
IIII nPnLLPL nini 222 ???
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
小结
?Ln与 P或 L2斜交 Ln>1,故不考虑此两种情
况；
?A类对称型共推导出 27种。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
2,B类对称型的推导,可能的组合就是高次轴 Ln与 L2
的组合，即,。共出现五种对称型。 mnm LLLL )(n ???
234234
2332
643643
3443
LLLLLL
LLLL
???
??
PCLLLPLLLL n 9643643 234234 ?? 的不产生新
?? PLLL n 的不产生新34 43 PLL PCLL
i 643
343
34
32
综合 A,B两类，晶体中可能有的对称型共 32种，每
种对称型中的对称要素的空间分布及其赤平投影详见图
库。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 5 晶体的分类
?晶体分类体系
根据对称特点，可以对晶体进行合理的科学分类。
分类依据及分类体系见表。
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
表 4－ 1 晶体的分类
晶族 晶系 对称特点 对称型种类 国际符号 晶类名称
低
级
晶
族
（
无
高
次
轴
）
三斜晶系 无 L2，无 P L
1
C
1 单面晶类
平行双晶类面
单斜晶系 L2或 P不多于 1个
L2
P
L2 PC
2
m
2/m
轴双面晶类
反映双面晶类
斜方柱晶类
斜方晶系 L
2或 P多于 1个 3L
2
L2 2P
3L2 3PC
222
mm(mm2)
mmm
斜方四面体晶类
斜方单锥晶类
斜方双锥晶类
中
级
晶
族
（
只
有
一
个
高
次
轴
）
四方晶系 有 1个 L4或
L4
L4 4L2
L4 PC
L4 4P
L4 4L2 5PC
4
42(422)
4/m
4mm
4/mmm
四方单锥晶类
四方偏方面体晶类
四方双锥晶类
复四方单锥晶类
复四方双锥晶类
四方四面体晶类
复四方偏三角面体晶类PCLLL
i
i
32 24
4
1
4iL
m24
4
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
续表 4－ 1 晶体的分类
晶族 晶系 对称特点 对称型种类 国际符号 晶类名称
中
级
晶
族
（
只
有
一
个
高
次
轴
三方晶系 有 1个 L3
L3
L33L2
L33P
L3C
L33L23PC
3
32
3m
三方单锥晶类
三方偏方面体晶类
复三方单锥晶类
菱面体晶类
复三方偏三角面体晶类
六方晶系 有 1个 L6或
L6
L66L2
L6PC
L66P
L66L27PC
6
62（ 622）
6/m
6mm
6/mmm
三方双锥晶类
复三方双锥晶类
六方单锥晶类
六方偏方面体晶类
六方单锥晶类
复六方单锥晶类
复六方双锥晶类
高
级
晶
族
（
有
数
个
高
次
轴
） 等轴晶系
有 4个 L3
3L24L3
3L24L33PC
3Li44L36P
3L44L36L2
3L44L36L29PC
23
m3
43（ 432）
m3m
五角三四面体晶类
偏方复十二面体晶类
六四面体晶类
五角三八面体晶类
六八面体晶类
6iL
PLL
L
i
i
33 26
6 m
m
m
26
6
)23(3
3
m34
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
1,分类原则
晶类, 属于同一对称型的晶体归为一类，称为晶类。
? 晶体中存在 32种对称型亦即有 32晶类。
晶类 晶族晶系
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
? 有无高次轴、有一个或多个高次轴分为三大晶族：
?低级晶族,无高次轴
?中级晶族：只有一个高次轴
?高级晶族：有数个高次轴
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
?三大晶族根据进一步对称特点划分为七大晶系：
三斜晶系：无 L2，无 P
?低级晶族, 单斜晶系,L2或 P≤ 1
斜方晶系,L2或 P > 1
三方晶系：只有一个 L3
?中级晶族：四方晶系：只有一个 L4或 Li4
六方晶系：只有一个 L6或 Li6
?高级晶族：等轴晶系：有四个 L3
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
2、各对称型中对称要素的空间分布（详见图库）：
? 三斜晶系
? 低级晶族,单斜晶系
? 斜方晶系
? 三方晶系
? 中级晶族：四方晶系
? 六方晶系
? 高级晶族：等轴晶系
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
3、对称型的符号：
（ 1）圣佛利斯符号,C,D,i,S,V,T,O
（ 2）国际符号,国际符号是一种比较简明的符号，它
既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位。
以 1,2,3,4,5,6和 分别表示各种
轴次的对称轴和旋转反伸轴。以 m表示对称面。
?若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或
横线隔开，如 L2 PC以 2/m表示。
?排列 顺序：各晶系不同。（ 如图）
654321,、、、、
§ 4— 3
§ 4— 4
§ 4— 2
§ 4— 1
§ 4— 5
§ 4— 6
§ 4－ 6 五次对称轴、二十面体与准晶
? 长期以来，人们熟知固态物质有非晶质和晶质之分。
前者其组成质点的排列是长程无序；后者的组成质点
排列长程有序，且在三维空间作周期重复，即具有格
子构造。
? 1984年在 AlMn合金的透射电子显微镜的研究中首次
发现了五次对称轴。其结构中配位多面体是定向长程
有序的，但没有平移周期。这类物质被认为是介于非
晶质和晶质之间的一种新物态 —— 准晶态。
? 这部分内容不作课堂介绍，详见有关资料。
