第
六
章
单
形
和
聚
形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
我们在以上的章节中研究了晶体的对称和
定向。但属于同一对称型的晶体，可以具有完
全不同的形态。如图所示的立方体和八面体，
同属于 m3m对称型，但形态迥异。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
本章将讨论晶体的具体形态。
晶体的形态：
? 单形,同种晶面所组成。
? 聚形,由两种以上的晶面所组成，称为聚形。聚形
由单形聚合而成。
+ =
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
目的和要求
? 熟悉最常见单形的形号；要求学生能熟练地从晶体模型上确定
对称型、晶系、单形及形号；
? 理解单形的概念及推导方法，了解单形分类，了解 47种几何单
形，重点掌握 20种左右常见单形；
? 明确几何单形、结晶单形和聚形的概念；
? 学会从聚形中分析单形的步骤和方法。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
主要内容
§ 6— 1 单形
§ 6— 2 聚形
§ 6— 3 各晶系晶体定向及单形分述
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
§ 6— 1 单形
1、概念：
? 由对称要素联系起来的一组晶面的总合。
? 特点,
1) 在理想情况下每一个晶面都同形等大
2) 具有相同的性质
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 1 单形
立方体和八面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2、单形符号：
? 形号 代表晶面的晶面符号
? 概念,在单形中选择一个代表面，把该晶面的晶面
指数用,{ }”括起来，用以表征组成该单行的一组晶
面的结晶学取向的符号。
? 形号的选择原则,
1) 一般选择正指数最多的晶面
2) 遵循“先前、次右、后上”的原则
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3、单形的推导
? 原始晶面＋全部对称要素作用 一个单形
? 不同对称型 不同单形
? 同一对称型＋原始晶面对称要素相对位置不同
不同单形
? 推导出,几何单形,47种 结晶单形,146种
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
47种几何单形,
?属于低级晶族的单形,7种
?属于中级晶族的单形, 25种
?属于高级晶族的单形,15种
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 低级晶族的单形,7种
1) 单面
2) 平行双面
3) 双面：轴双面 /反映双面
4) 斜方柱
5) 斜方四面
6) 体斜方单锥
7) 斜方双锥
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 2 mm2中单形的推导（ 1）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 3 mm2中单形的推导（ 2）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
斜方双锥 {hkl}
{111}
斜方柱 {hk0}
{110}
图 6－ 4 mm2中单形的推导（ 3）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 中级晶族的单形, 25种
1) 柱类, 若干晶面围成柱体。它们的交棱相互平行
并平行于高次轴（ Z轴），因此在形号中,Z轴上
的指数为 0。
按横截面的形状可分为：
三方晶系 四方晶系 六方晶系
三方柱
复三方柱
四方柱
复四方柱
六方柱
复六方柱
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
1,横截面形状不同。
2,对应边的特点不同。
复三方柱和六方柱有何区别？
图 6－ 5 复三方柱和六方柱横截面形状对比图
ABCDEF为六方柱的横截面； A’BC’DE’F为复三方柱横截面
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 单锥类,属于本类的单形由若干个晶面相交于
高次轴上的一点而形成的单锥体。
按横截面的形状分为：
三方晶系 四方晶系 六方晶系
三方单锥
复三方单锥
四方单锥
复四方单锥
六方单锥
复六方单锥
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 双锥类,由若干个晶面分别相交于高次轴上的
两点而形成双锥体。
按横截面形状分为：
三方晶系 四方晶系 六方晶系
三方双锥
复三方双锥
四方双锥
复四方双锥
六方双锥
复六方双锥
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4) 四方四面体和复四方偏三角面体
? 四方四面体由互不平行的四个等腰三角形晶
面组成。
? 将四方四面体的每个晶面平方成两个不等边
的偏三角形晶面，则这八个晶面组成的单形
为复四方三角面体。它的通过中心的横截面
为复四边形。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
5) 菱面体与复三方偏三角面体
? 菱面体由两两平行的六个菱形的晶面组成。
? 若将菱面体的每个晶面平分为两个不等边的偏
三角形晶面，这样的十二个晶面组成的单形为
复三方偏三角面体。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
6) 偏方面体类
? 组成本类的晶面都呈具有两个等边的偏四方形。
? 三方偏方面体
? 四方偏方面体
? 六方偏方面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 高级晶族的单形,15种
1) 四面体组：
? 四面体
? 三角三四面体
? 四角三四面体
? 五角三四面体
? 六四面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 八面体组：
? 三角三八面体
? 四角三八面体
? 五角三八面体
? 六八面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 立方体组：
? 立方体
? 四六面体
? 五角十二面体
? 偏方复十二面体
? 菱形十二面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4、单形的其他划分方法
1) 一般形与特殊形
2) 开形和闭形
3) 左形和右形
4) 正形和负形
5) 定形和变形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
1) 一般形与特殊形,这是根据单形晶面与对称要
素的相对位置划分的。
? 特殊形 —— 凡是单形晶面处于特殊位置，即晶
面垂直或平行于任何对称要素，或者与相同的
对称要素以等角相交，这种单形称为特殊形。
? 一般形 —— 单形晶面处于一般位置，即不与任
何对称要素垂直或平行（等轴晶系中的一般形
有时可以平行三次轴的情况除外），也不与相
同的对称要素以等角相交，这种单形称为一般
形。
? 一个对称型中只可能有一种一般形，晶类即以
其一般形的名称来命名。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 开形和闭形,根据单形的晶面是否可以自相闭
合来划分的。
? 开形 —— 凡是单形的晶面不能封闭一定空间
者称为开形。 如：各种柱、平行双面等。
? 闭形 —— 凡是其晶面可以封闭一定空间者称
为闭形。 例如：各种双锥以及等轴晶系的全
部单形等。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 左形和右形
? 互为镜像，但不能以旋转操作使之重合的
两个图形，称为左右形。
? 左右形只出现在仅具有对称轴而不具对称
面、对称中心和旋转反伸轴的对称型中。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 6 五角三四面体的左形（ a）和右形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 7 五角三八面体的左形（ a）和右形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4) 正形和负形
? 取向不同的两个相同的单形, 如果相互能借助
旋转操作而彼此重合者, 互为正负形 。
图 6－ 8 四面体的正形（ a）和负形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 9 五角十二面体的正形（ a）和负形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
5) 定形和变形
? 一种单形的晶面间的角度为恒定者，属于定形；
反之属于变形。
? 属于定形的单形：单面、平行双面、三方柱、
四方柱、六方柱、四面体、八面体、和菱形十
二面体
? 其余均属于变形。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 10 具有不同面角的五角十二面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
§ 6— 2 聚形
1、概念,两个以上的单形的聚合称为聚形 。
?特点：晶面种类数＝单形数
2、聚合原则：
?属于同一对称型的单形才能相聚。
?同一对称型的不同单形聚合：立方体＋八面体
?同一对称型的相同单形聚合：平行双面
? 注：平行双面、单面可与中级、低级晶族的单形聚合。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 11 四方柱和四方双锥的聚形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 12 立方体和菱形十二面体的聚形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3、聚形分析
1) 判别一个聚形由何种单形组成，可依据对称型、
单形晶面的数目和位置、晶面符号以及假想单形
的晶面扩展相交以后设想单形的形状等，进行综
合分析。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 步骤：
? 分析对称型
? 分析晶面种类数 确定单形数
? 晶体定向 确定晶面的相对位置
? 假想晶面扩展相交后的单形，进行综合分析。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
§ 6— 3 各晶系晶体定向及单形分述
1、等轴晶系
1) 晶体定向,等轴晶系晶体的对称特点是皆有 4L3；
在不同晶类中，分别选择相互垂直彼此相等的三
个 L4或 L4i或 L2为晶轴；
2) 晶体常数特点,a＝ b＝ c,a＝ b＝ g＝ 90?
3) 本系包括 5个晶类,15种几何单形。
? 六八面体晶类 五角三八面体晶类
? 六四面体晶类 偏方复十二面体晶类
? 五角三四面体晶类
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 六八面体晶类（ m3m）
1) 对称要素的赤平投影如图
图 6－ 13 六八面体晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 投影图的最小重复单位是以 L4,L3,L2为角顶
的三角形。据此，单形的原始晶面与对称要素
和晶轴的相对位置共有七种，从而可导出以下
七种单形。
立方体 {100} 四六面体 {hk0}
菱形十二面体 {110} 三角三八面体 {hhl}
八面体 {111} 四角三八面体 {hkk}，
六八面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 五角三八面体晶类（ 432）
1) 对称型上与六八面体晶类比较，取消了全部对称
面。
2) 导出单形七种，有六种和六八面体晶类导出的单
形重复，故新的几何单形只有一种：
? 五角三八面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 六四面体晶类 (43m)
1) 与六八面体晶类比较，取消了相互垂直并分别平
行（ 100）（ 010）（ 001）的三个对称面。
2) 导出七个单形有三个重复，故最后有四个新的单
形：
四角三四面体 {hkk} 四面体 {111}
三角三四面体 {hhl} 六四面体 {hkl}。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 14 六四面体晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 偏方复十二面体晶类（ m3）
1) 与六八面体晶类比较，取消了六个轴间（二次晶
轴之间）对称面和六个二次轴，从而使作为晶轴
的原三个四次轴变为二次轴。
2) 除去重复的单形新导出两种单形：
3)
五角十二面体 {hk0} 偏方复十二面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 五角三四面体晶类 (23)
1) 与偏方十二面体晶类比较，进一步减少了三个对
称面。
2) 除去重复的单形，导出新单形一个：
?
五角三四面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 15 等轴晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 16 等轴晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 17 等轴晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2、四方晶系
1) 晶体定向,以 L4或 Li4为 Z轴；垂直 Z轴并相互垂直
的 L2或 P的法线为 X,Y轴。 无 L2或 P时,X,Y轴
平行晶棱选取。
2) 晶体常数特点, a＝ b ? c a＝ b＝ g＝ 90?
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 本晶系包括 9种几何单形,
? 四方柱 {110},{100} 复四方柱 {hk0}
? 四方单锥 {hhl}={111} 复四方单锥 {hkl}
? 四方双锥 {hhl}={111} 复四方双锥,{hkl}
? 四方四面体 {hhl}={111} 复四方偏三角面体
{hkl}
? 四方偏方面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 18 复四方双锥晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 19 四方晶系聚形举例（一）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 20 四方晶系聚形举例（二）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3、三方、六方晶系
1) 晶体定向,以 L3,L6,Li6为 Z轴。垂直 Z轴并彼此
以 120 ?相交的 L2或 P的法线为 X,Y,U轴，无无
L2或 P时,X,Y,U轴平行晶棱选取。
2) 晶体常数特点,a＝ b ? c a＝ b＝ 90? g＝ 120?
3) 晶面符号包括四个指数，前三个指数的代数和必
等于零，即,h＋ k＋ i＝ 0
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 21 复六方双锥晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1 a b
图 6－ 22 三种六方柱横切面的对比
a第一及第二六方柱； b第一及第三六方柱
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4) 导出的单形如下：
? 三方柱,复三方柱
? 六方柱,复六方柱
? 三方单锥,复三方单锥
? 六方单锥,复六方单锥
? 三方双锥,复三方双锥
? 六方双锥,复六方双锥
? 菱面体,
? 复三方偏三角面体,
? 三方偏方面体,六方偏方面体
? ? ? ? ? ?0,0211,0110 ihk
? ? ? ? ? ?0,0211,0110 ihk
? ?0ihk
? ?0ihk
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ?lihk
? ?lihk
? ?lihk
? ?lihk
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ?lihk ? ?lihk
? ?lihk
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 23 三方、六方晶系聚形举例（一）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 24 三方、六方晶系聚形举例（二）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4、斜方晶系
1) 晶体定向,以相互垂直的 3个 L2为 X,Y,Z轴；
对于 L2 2P对称型, 以 L2为 Z轴,P的法线为 X,Y
轴。
2) 晶体常数特点, a ?b ? c a＝ b＝ g＝ 90?
3) 导出的单形有以下几种：
? 斜方柱,{hk0},{110}, {h0l},{101},{0kl}，
{011}
? 斜方四面体, {hkl},{111}
? 斜方单锥, {hkl}, {111}
? 斜方双锥, {hkl}, {111}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 25 重晶石的两种定向
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 26 斜方晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
5、单斜晶系
1) 晶体定向,以 L2或 P的法线为 Y轴，以垂直 Y轴的
两晶棱方向为 X,Z轴。
2) 晶体常数特点, a ?b ? c a＝ g＝ 90? b> 90?
3) 导出的单形有以下几种：
双面：轴双面,{hkl},{hk0},{0kl}
反映双面,{hkl},{hk0},{0kl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 27 单斜晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
6、三斜晶系
1) 晶体定向,不在同一个平面上，且近于垂直的三
个晶棱的方向为 X,Y,Z轴。
2) 晶体常数特点, a ?b ? c a ? g ?b ? 90?
3) 导出的单形有以下几种：
平行双面,{hkl},{0kl},{h0l},{hk0},{100},{010},{001}
单 面,{hkl},{0kl},{h0l},{hk0},{100},{010},{001}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 28 三斜晶系聚形举例
六
章
单
形
和
聚
形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
我们在以上的章节中研究了晶体的对称和
定向。但属于同一对称型的晶体，可以具有完
全不同的形态。如图所示的立方体和八面体，
同属于 m3m对称型，但形态迥异。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
本章将讨论晶体的具体形态。
晶体的形态：
? 单形,同种晶面所组成。
? 聚形,由两种以上的晶面所组成，称为聚形。聚形
由单形聚合而成。
+ =
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
目的和要求
? 熟悉最常见单形的形号；要求学生能熟练地从晶体模型上确定
对称型、晶系、单形及形号；
? 理解单形的概念及推导方法，了解单形分类，了解 47种几何单
形，重点掌握 20种左右常见单形；
? 明确几何单形、结晶单形和聚形的概念；
? 学会从聚形中分析单形的步骤和方法。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
主要内容
§ 6— 1 单形
§ 6— 2 聚形
§ 6— 3 各晶系晶体定向及单形分述
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
§ 6— 1 单形
1、概念：
? 由对称要素联系起来的一组晶面的总合。
? 特点,
1) 在理想情况下每一个晶面都同形等大
2) 具有相同的性质
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 1 单形
立方体和八面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2、单形符号：
? 形号 代表晶面的晶面符号
? 概念,在单形中选择一个代表面，把该晶面的晶面
指数用,{ }”括起来，用以表征组成该单行的一组晶
面的结晶学取向的符号。
? 形号的选择原则,
1) 一般选择正指数最多的晶面
2) 遵循“先前、次右、后上”的原则
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3、单形的推导
? 原始晶面＋全部对称要素作用 一个单形
? 不同对称型 不同单形
? 同一对称型＋原始晶面对称要素相对位置不同
不同单形
? 推导出,几何单形,47种 结晶单形,146种
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
47种几何单形,
?属于低级晶族的单形,7种
?属于中级晶族的单形, 25种
?属于高级晶族的单形,15种
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 低级晶族的单形,7种
1) 单面
2) 平行双面
3) 双面：轴双面 /反映双面
4) 斜方柱
5) 斜方四面
6) 体斜方单锥
7) 斜方双锥
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 2 mm2中单形的推导（ 1）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 3 mm2中单形的推导（ 2）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
斜方双锥 {hkl}
{111}
斜方柱 {hk0}
{110}
图 6－ 4 mm2中单形的推导（ 3）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 中级晶族的单形, 25种
1) 柱类, 若干晶面围成柱体。它们的交棱相互平行
并平行于高次轴（ Z轴），因此在形号中,Z轴上
的指数为 0。
按横截面的形状可分为：
三方晶系 四方晶系 六方晶系
三方柱
复三方柱
四方柱
复四方柱
六方柱
复六方柱
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
1,横截面形状不同。
2,对应边的特点不同。
复三方柱和六方柱有何区别？
图 6－ 5 复三方柱和六方柱横截面形状对比图
ABCDEF为六方柱的横截面； A’BC’DE’F为复三方柱横截面
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 单锥类,属于本类的单形由若干个晶面相交于
高次轴上的一点而形成的单锥体。
按横截面的形状分为：
三方晶系 四方晶系 六方晶系
三方单锥
复三方单锥
四方单锥
复四方单锥
六方单锥
复六方单锥
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 双锥类,由若干个晶面分别相交于高次轴上的
两点而形成双锥体。
按横截面形状分为：
三方晶系 四方晶系 六方晶系
三方双锥
复三方双锥
四方双锥
复四方双锥
六方双锥
复六方双锥
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4) 四方四面体和复四方偏三角面体
? 四方四面体由互不平行的四个等腰三角形晶
面组成。
? 将四方四面体的每个晶面平方成两个不等边
的偏三角形晶面，则这八个晶面组成的单形
为复四方三角面体。它的通过中心的横截面
为复四边形。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
5) 菱面体与复三方偏三角面体
? 菱面体由两两平行的六个菱形的晶面组成。
? 若将菱面体的每个晶面平分为两个不等边的偏
三角形晶面，这样的十二个晶面组成的单形为
复三方偏三角面体。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
6) 偏方面体类
? 组成本类的晶面都呈具有两个等边的偏四方形。
? 三方偏方面体
? 四方偏方面体
? 六方偏方面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 高级晶族的单形,15种
1) 四面体组：
? 四面体
? 三角三四面体
? 四角三四面体
? 五角三四面体
? 六四面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 八面体组：
? 三角三八面体
? 四角三八面体
? 五角三八面体
? 六八面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 立方体组：
? 立方体
? 四六面体
? 五角十二面体
? 偏方复十二面体
? 菱形十二面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4、单形的其他划分方法
1) 一般形与特殊形
2) 开形和闭形
3) 左形和右形
4) 正形和负形
5) 定形和变形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
1) 一般形与特殊形,这是根据单形晶面与对称要
素的相对位置划分的。
? 特殊形 —— 凡是单形晶面处于特殊位置，即晶
面垂直或平行于任何对称要素，或者与相同的
对称要素以等角相交，这种单形称为特殊形。
? 一般形 —— 单形晶面处于一般位置，即不与任
何对称要素垂直或平行（等轴晶系中的一般形
有时可以平行三次轴的情况除外），也不与相
同的对称要素以等角相交，这种单形称为一般
形。
? 一个对称型中只可能有一种一般形，晶类即以
其一般形的名称来命名。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 开形和闭形,根据单形的晶面是否可以自相闭
合来划分的。
? 开形 —— 凡是单形的晶面不能封闭一定空间
者称为开形。 如：各种柱、平行双面等。
? 闭形 —— 凡是其晶面可以封闭一定空间者称
为闭形。 例如：各种双锥以及等轴晶系的全
部单形等。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 左形和右形
? 互为镜像，但不能以旋转操作使之重合的
两个图形，称为左右形。
? 左右形只出现在仅具有对称轴而不具对称
面、对称中心和旋转反伸轴的对称型中。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 6 五角三四面体的左形（ a）和右形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 7 五角三八面体的左形（ a）和右形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4) 正形和负形
? 取向不同的两个相同的单形, 如果相互能借助
旋转操作而彼此重合者, 互为正负形 。
图 6－ 8 四面体的正形（ a）和负形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 9 五角十二面体的正形（ a）和负形（ b）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
5) 定形和变形
? 一种单形的晶面间的角度为恒定者，属于定形；
反之属于变形。
? 属于定形的单形：单面、平行双面、三方柱、
四方柱、六方柱、四面体、八面体、和菱形十
二面体
? 其余均属于变形。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 10 具有不同面角的五角十二面体
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
§ 6— 2 聚形
1、概念,两个以上的单形的聚合称为聚形 。
?特点：晶面种类数＝单形数
2、聚合原则：
?属于同一对称型的单形才能相聚。
?同一对称型的不同单形聚合：立方体＋八面体
?同一对称型的相同单形聚合：平行双面
? 注：平行双面、单面可与中级、低级晶族的单形聚合。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 11 四方柱和四方双锥的聚形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 12 立方体和菱形十二面体的聚形
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3、聚形分析
1) 判别一个聚形由何种单形组成，可依据对称型、
单形晶面的数目和位置、晶面符号以及假想单形
的晶面扩展相交以后设想单形的形状等，进行综
合分析。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 步骤：
? 分析对称型
? 分析晶面种类数 确定单形数
? 晶体定向 确定晶面的相对位置
? 假想晶面扩展相交后的单形，进行综合分析。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
§ 6— 3 各晶系晶体定向及单形分述
1、等轴晶系
1) 晶体定向,等轴晶系晶体的对称特点是皆有 4L3；
在不同晶类中，分别选择相互垂直彼此相等的三
个 L4或 L4i或 L2为晶轴；
2) 晶体常数特点,a＝ b＝ c,a＝ b＝ g＝ 90?
3) 本系包括 5个晶类,15种几何单形。
? 六八面体晶类 五角三八面体晶类
? 六四面体晶类 偏方复十二面体晶类
? 五角三四面体晶类
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 六八面体晶类（ m3m）
1) 对称要素的赤平投影如图
图 6－ 13 六八面体晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2) 投影图的最小重复单位是以 L4,L3,L2为角顶
的三角形。据此，单形的原始晶面与对称要素
和晶轴的相对位置共有七种，从而可导出以下
七种单形。
立方体 {100} 四六面体 {hk0}
菱形十二面体 {110} 三角三八面体 {hhl}
八面体 {111} 四角三八面体 {hkk}，
六八面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 五角三八面体晶类（ 432）
1) 对称型上与六八面体晶类比较，取消了全部对称
面。
2) 导出单形七种，有六种和六八面体晶类导出的单
形重复，故新的几何单形只有一种：
? 五角三八面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 六四面体晶类 (43m)
1) 与六八面体晶类比较，取消了相互垂直并分别平
行（ 100）（ 010）（ 001）的三个对称面。
2) 导出七个单形有三个重复，故最后有四个新的单
形：
四角三四面体 {hkk} 四面体 {111}
三角三四面体 {hhl} 六四面体 {hkl}。
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 14 六四面体晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 偏方复十二面体晶类（ m3）
1) 与六八面体晶类比较，取消了六个轴间（二次晶
轴之间）对称面和六个二次轴，从而使作为晶轴
的原三个四次轴变为二次轴。
2) 除去重复的单形新导出两种单形：
3)
五角十二面体 {hk0} 偏方复十二面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
? 五角三四面体晶类 (23)
1) 与偏方十二面体晶类比较，进一步减少了三个对
称面。
2) 除去重复的单形，导出新单形一个：
?
五角三四面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 15 等轴晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 16 等轴晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 17 等轴晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
2、四方晶系
1) 晶体定向,以 L4或 Li4为 Z轴；垂直 Z轴并相互垂直
的 L2或 P的法线为 X,Y轴。 无 L2或 P时,X,Y轴
平行晶棱选取。
2) 晶体常数特点, a＝ b ? c a＝ b＝ g＝ 90?
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3) 本晶系包括 9种几何单形,
? 四方柱 {110},{100} 复四方柱 {hk0}
? 四方单锥 {hhl}={111} 复四方单锥 {hkl}
? 四方双锥 {hhl}={111} 复四方双锥,{hkl}
? 四方四面体 {hhl}={111} 复四方偏三角面体
{hkl}
? 四方偏方面体 {hkl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 18 复四方双锥晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 19 四方晶系聚形举例（一）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 20 四方晶系聚形举例（二）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
3、三方、六方晶系
1) 晶体定向,以 L3,L6,Li6为 Z轴。垂直 Z轴并彼此
以 120 ?相交的 L2或 P的法线为 X,Y,U轴，无无
L2或 P时,X,Y,U轴平行晶棱选取。
2) 晶体常数特点,a＝ b ? c a＝ b＝ 90? g＝ 120?
3) 晶面符号包括四个指数，前三个指数的代数和必
等于零，即,h＋ k＋ i＝ 0
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 21 复六方双锥晶类对称要素及单形的赤平投影
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1 a b
图 6－ 22 三种六方柱横切面的对比
a第一及第二六方柱； b第一及第三六方柱
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4) 导出的单形如下：
? 三方柱,复三方柱
? 六方柱,复六方柱
? 三方单锥,复三方单锥
? 六方单锥,复六方单锥
? 三方双锥,复三方双锥
? 六方双锥,复六方双锥
? 菱面体,
? 复三方偏三角面体,
? 三方偏方面体,六方偏方面体
? ? ? ? ? ?0,0211,0110 ihk
? ? ? ? ? ?0,0211,0110 ihk
? ?0ihk
? ?0ihk
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ?lihk
? ?lihk
? ?lihk
? ?lihk
? ? ? ? ? ?lihklhhhlhh,2,0
? ?lihk ? ?lihk
? ?lihk
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 23 三方、六方晶系聚形举例（一）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 24 三方、六方晶系聚形举例（二）
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
4、斜方晶系
1) 晶体定向,以相互垂直的 3个 L2为 X,Y,Z轴；
对于 L2 2P对称型, 以 L2为 Z轴,P的法线为 X,Y
轴。
2) 晶体常数特点, a ?b ? c a＝ b＝ g＝ 90?
3) 导出的单形有以下几种：
? 斜方柱,{hk0},{110}, {h0l},{101},{0kl}，
{011}
? 斜方四面体, {hkl},{111}
? 斜方单锥, {hkl}, {111}
? 斜方双锥, {hkl}, {111}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 25 重晶石的两种定向
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 26 斜方晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
5、单斜晶系
1) 晶体定向,以 L2或 P的法线为 Y轴，以垂直 Y轴的
两晶棱方向为 X,Z轴。
2) 晶体常数特点, a ?b ? c a＝ g＝ 90? b> 90?
3) 导出的单形有以下几种：
双面：轴双面,{hkl},{hk0},{0kl}
反映双面,{hkl},{hk0},{0kl}
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
图 6－ 27 单斜晶系聚形举例
§ 6— 3
§ 6— 2
§ 6— 1
6、三斜晶系
1) 晶体定向,不在同一个平面上，且近于垂直的三
个晶棱的方向为 X,Y,Z轴。
2) 晶体常数特点, a ?b ? c a ? g ?b ? 90?
3) 导出的单形有以下几种：
平行双面,{hkl},{0kl},{h0l},{hk0},{100},{010},{001}
单 面,{hkl},{0kl},{h0l},{hk0},{100},{010},{001}
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§ 6— 1
图 6－ 28 三斜晶系聚形举例
