第一章 事件与概率 §1.1 随机事件与样本空间 教学目的要求： 掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,了解事件之间的关系和事件之间的一些运算. 2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关系和事件之间的一些运算. 3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明. 教 学 过 程 ： 我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意. 一、几个基本概念： 1．随机试验： 一个试验如果满足下述条件： ⑴ 试验可以在相同的情形下重复进行； ⑵ 试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个； ⑶ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现那一个结果. 就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验. 2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件. 3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示. 4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示. [例]1.1 在前述试验中,令 ω1={取得白球}, ω2={取得黑球} 则 Ω={ω1,ω2} [例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球,令 i ={取得球的号码为i} 则 Ω={1,2,…,10} [例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令 i={收到的呼唤次数为i} 则 Ω={1,2,…} [例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为t℃} 则 Ω=[0,100] 5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性,所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母A,B,C等表示事件. 在试验中,如果出现A中所包含的某一个基本事件ω,则称作A发生,并记作ω∈A. 我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已.又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形. 一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算. 二、事件之间的关系和运算： 1．如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款,并记作A?B或B?A.如图1.1. 因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定 Φ?A. 2．如果有A?B,B?A同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2. 3．“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并记作A∪B.如图1.3. 4．“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).如图1.4. 5．“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差,记作A－B.如图1.5. 6．若事件A与B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=Φ,则称事件A与B互不相容.如图1.6. 7．若A是一个事件,令=Ω－A,称是A的对立事件或逆事件.如图1.7. 显然有： A=Φ, A∪=Ω, =A 8．若有n个事件：A1,A2,…,An,则“A1,A2,…,An中至少发生其中的一个”这样的事件称作A1,A2,…,An的并,并记作A1∪A2∪…∪An或；若“A1,A2,…,An同时发生”,这样的事件称作A1,A2,…,An的交,记作A1A2…An或.  大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数中集合间的关系和运算之间是完全可以互类比的.下面给出这种类比的对应关系： 概率论 集合论  样本空间 Ω={ω}  事件 子集  事件A发生 ω∈A  事件A不发生 ω(A  必然事件 Ω  不可能事件 Φ  事件A发生导致B发生 A(B  “事件A与B至少有一个发生” A∪B  “事件A与B同时发生” A∩B  “事件A发生而B不发生” A－B  事件A与B互不相容 AB=Φ  在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们. [例] 1.5 设A、B、C是Ω中的随机事件,则 事件“A与B发生,C不发生”可以表示成：或AB－C或AB－ABC. 事件“A、B、C中至少有二个发生”可以表示成：AB∪AC∪BC或. 事件“A、B、C中恰好发生二个”可以表示成：. 事件“A、B、C中有不多于一个事件发生”可以表示成： . 事件“A发生而B与C都不发生”可以表示成：或A－B－C或A－(B∪C). 事件“A、B、C恰好发生一个”可以表示成：. 事件“A、B、C中至少发生一个”可以表示成：或. 三、事件的运算规则： 交换律：A∪B=B∪A AB=BA 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(BC) 分配律：(A∪B)C=AC∪BC (AB)∪C=(A∪C)(B∪C) 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)：  四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一个类,记作?,称作事件域,即 ?={A：A((,(是事件} 在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈?,Φ∈?.又讨论了事件间的运算“∪” 、“∩”和“－”,如果A与B都是事件,即A∈?,B∈?,非常自然地要求A∪B、AB、A－B也是事件.因此,如果有A∈?、B∈?,就要求 A∪B∈?、AB∈?、A－B∈? 用集合论的语言来说,就是事件域?关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过归纳与整理,事件域?应该满足下述要求： ⑴ Ω∈?； ⑵ 若A∈?,则∈?； ⑶ 若∈?,i=1,2, …,n,则∈?. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔代数.对于样本空间Ω,如果?是Ω的一切子集的全体,那么显然?是一个布尔代数. §1.2 概率和频率 教学目的要求： 通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义. 2．教学重点：概率的性质及公理化定义. 3．教学难点：概率的公理化定义. 教 学 过 程 ： 回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其中 ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是?,因为我们知道盒子中白球数和黑球数都是5个.现在引入一个定义如下： 一、频率和概率的定义： 定义1.1 随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲 学的终结》,人民出版社,1972年,第38页)． 人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性． 在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正面的频率,应接近于50％,为了验证这点,历史上曾有不少人做过这个试验,其结果如下: 实验者 掷硬币次数 出现正面次数 频 率  蒲 丰 4040 2048 0.5069  皮尔逊 12000 6019 0.5016  皮尔逊 24000 12012 0.5005  又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母.　在进行了更深入的研究之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一份统计表．其他各种文字也都有着类似的规律． 字母 空格 E T O A N I R S  频率 0.2 0.105 0.072 0.0654 0.063 0.059 0.055 0.054 0.052  字母 H D L C F U M P Y  频率 0.047 0.035 0.029 0.023 0.0225 0.0225 0.021 0.0175 0.012  字母 W G B V K X J Q Z  频率 0.012 0.011 0.0105 0.008 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001  字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是十分有用的． 对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存在的．就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性．一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能性大小的度量—一概率,究竟是多大呢？在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球和黑球都是5个,才得以断定=1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢？在引言中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数n的增大,比值会逐渐稳定到1/2(n白表示出现白球的次数),记 == 称为事件ω1在n次试验中出现的频率．频率当然也在一定程度上反映了发生可能性的大小．尽管每作—串(n次)试验,所得到的频率可以各不相同,但是只要n相当大,与是会非常“靠近”的．因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似．在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率逐渐稳定到1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步即可得到=1／2这个结论.这件事情其实质与测量长度和面积—样的平常,给定一根木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”．这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释． 二、频率和概率的性质： 1.频率的性质: 现在让我们比较仔细地考察一下频率．如果随机事件A在n次反复试验中发生了n白次,称 = 为A的频率．易知频率具有下述性质． (1)．非负性：即≥0； (2)．规范性,即若Ω是必然事件,则＝1； (3)．有限可加性：即若A、B互不相容(即AB=Φ),则 ＝十 这三条性质的论证是很直观的,因为 (1). ≥0,所以≥0； (2). Ω是必然事件,所以,从而=1； (3). 若A∪B发生,意味着A、B中至少发生其中之一,又因为A与B互不相容(即不能同时发生),所以A∪B发生的次数一定是A发生次数与B发生次数之和,即,从而有 ＝十 成立． 频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推出．作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质： (1) 不可能事件的频率为零,即=0； (2) 若A?B,则≤,由此还可推得对任一事件A,有≤1； (3) 对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若AiAj=Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则  2. 概率的性质: 因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有的．因为对每一个随机事件A,都有一个概率P(A)与之对应,而在§1中我们已经知道事件域?是一个布尔代数,所以概P实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数(因为?中的元素是集合),它应该具有下述性质： (1)．非负性：P(A)≥0,对A∈?； (2)．规范性：P(Ω)＝1； (3)．有限可加性：若Ai∈?,i＝1,2,…,n,且AiAj＝Φ(i≠j),则  由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域?和概率P,其中?是一个布尔代数,P是定义在?上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了． §1.3 古典概型 教学目的要求： 通过本节的学习,使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公式,并能灵活运用它们解决实际问题. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的. 2．教学重点：古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法. 3．教学难点：古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用. 教 学 过 程 ： 在§2中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域?和概率P来描述的．对一个随机事件A,如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本的课题. 我们先讨论一类最简单的随机试验. 一、古典概型的定义与计算公式: 1.古典概型的定义: 有一类最简单的随机试验,它具有下述特征： (1) 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为n个,并记它们为ω1、ω2、…、ωn. (2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 P(ω1)=P(ω2)=…P(ωn) 这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用. 2.古典概型的计算公式: 对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域?为Ω的所有子集的全体．这时,连同Φ、Ω在内, ?中含有2n个事件,并且从概率的有限可加性知: 1＝P(Ω)＝P(ω1)+P(ω2)+…+P(ωn) 于是 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)=1/n 对任意一个随机事件A∈?,如果A是k个基本事件的和,即 A＝, 则  (A中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A的有利事件数),不难验证,上述的概率P(·)的确具有非负性、规范性和有限可加性. 事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此. 前节例1.1及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事件的概率计算都这么容易．事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目．在这些计算中,经常要用到一些排列与组合公式． 二、基本的组合分析公式 1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理与加法原理．为说明这两条原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏. 王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火车,还可以坐船；从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法？ 图2.1的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道,王经理共有6种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法． 　　把上海—天津,再从天津—北京看作相继进行的两个过程,分别记为A1与A2．一般地,假设完成过程A1共有n1种方法(在我们的游戏中n1＝3),完成A2共有n2种方法(本例中n2＝2),那末,完成整个过程一共有n1×n2种方法(这里3×2＝6)．这就是所谓的乘法原理． 现在把游戏的条件稍微改变一下．假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的一地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种呢？ 　　直接采用类似图2.1(b)的表示方法,便知此时共有5种走法,如图2.2所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法．这样,进行过程A1或A2的方法一共有n1+n2种.这就是加法原理． 容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况．利用上述原理,可以导出排列与组合的公式. 2．排列： 所谓排列,是从共有n个元素的总体中取出r个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地取出r个元素). 这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中；另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有r≤n． 　　(1)在有放回选取中,从n个元素中取出r个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有nr种． 　　(2)在不放回选取中,从n个元素中取出r个元素进行排列,其总数为 　　　　　　　　＝n(n－1)(n－2)…(n－r＋1) 这种排列称为选排列.特别当r＝n时,称为全排列． (3)n个元素的全排列数为Pn＝n(n－1)…3·2·1＝n！ 3．组合: (1)从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:  这里是二项展开式的系数,(a+b)n= (2)若r1＋r2＋…＋rk＝n,把n个不同的元素分成k个部分,第一部分r1个,第二部分r2个,……,第k部分rk个,则不同的分法有:  种,上式中的数称为多项系数,因为它是(x1＋x2＋…＋xk)n展开式中的系数,当k＝2时,即为组合数． (3)若n个元素中有n1个带足标“1”,n2个带足标“2”,……,nk个带足标“k”,且n1＋n2＋…＋nk=n,从这n个元素中取出r个,使得带有足标“i”的元素有ri个(1≤i≤k),而r1＋r2＋…＋rk=r,这时不同取法的总数为:  这里当然要求ri≤ni. 4．一些常用等式: 把排列公式推广到r是正整数而n是任意实数x的场合,有时是需要的,这时记 ＝x(x-1)(x-2)…(x-r＋1) 同样定义  及 0!=1, =1. 对于正整数n,若r>n,则=0. 这样一来二项系数有性质: ,  由于  故  利用幂级数乘法又可以证明 特别地  即  现在举一些求A∈?的概率P(A)的例子.在下面的讨论中,如无特别需要,常常把事件域?略去. 三、概率直接计算的例子： [例1]一部四本头的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少? [解] 若以a,b,c,d,分别表示自左向右排列的书的卷号,则上述文集放置的方式可与向量(a,b,c,d)建立一一对应,因为a,b,c,d取值于1,2,3,4,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数4!=24,由于文集按“任意的”次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为：2/24=1/12 [例2] 有10个电阻,其电阻值分别为1Ω,2Ω,…,10Ω,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于5Ω,一个等于5Ω,另一个大于5Ω,问取一次就能达到要求的概率． [解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为,有利场合数为. 故所求概率为P= [例3]某城有N部卡车,车牌号从1到N,有一个外地人到该城去,把遇到的n部车子的牌号抄下(可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码正好为k的概率．(1≤k≤N) [解]这种抄法可以看作是对N个车牌号进行n次有放回的抽样．所有可能的抽法共有Nn种,以它为样本点全体．由于每部卡车被遇到的机会可以认为相同,因此这是一个古典概型概率的计算问题,有利场合数可以这样考虑：先考虑最大车牌号不大于k的取法,这样取法共有kn种,再考虑最大车牌号不大于k-1的取法,其数目有(k-1)n种,因此有kn-(k-1)n种取法其最大车牌号正好为k,这就是有利场合的数目,因而所求概率为 P= 　　[例4]设有n个球,每个都能以同样的概率1/N落到N个格子(N≥n)的每一个格子中,试求: (1)某指定的n个格子中各有一个球的概率; (2)任何n个格子中各有一个球的概率． [解]这是一个古典概型问题,由于每个球可落入N个格子中的任一个,所以n个球在N个格子中的分布相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列,故共有Nn种可能分布. 在第一个问题中,有利场合相当于n个球在那指定的n个格子中全排列,总数为n!,因而所求概率为 P1=n!/Nn. 在第二个问题中,n个房间可以任意,即可以从N个房间中任意选出n个来,这种选法共有种,对于每种选定的n个房间,有利场合正如第一个问题一样为n!,故所求概率为  　　这个例子是古典概型中一个很典型的问题,不少实际问题可以归结为它．例如,若把球解释为粒子,把格子解释为相空间中的小区域,则这个问题便相应于统计物理学中的马克斯威尔—波尔茨曼(MaxWell-Boltzmann)统计． 　　概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n个人中没有两个人生日相同的概率．若把n个人看作上面问题中的n个球,而把一年的365天作为格子,则N=365,这时P2就给出所求的概率.例如当n=40时,P2=0.109,这个概率是意外的小. [例5] (抽签问题)袋中有a只黑球,b只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只摸出来,求第k次摸出的一只球是黑球的概率(1≤k≤a+b). 　[第一种解法] 把a只黑球及b只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b位置上,则可能的排列法相当于把a+b个元素进行全排列,总数为(a+b)!,把它们作为样本点全体．有利场合数为a×(a+b-1)!,这是因为第k次摸得黑球有a种取法,而另外(a+b-1)次摸球相当于a+b-1只球进行全排列,有(a+b-1)!种构成法,故所求概率为  这个结果与k无关．回想—下,就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关. [第二种解法] 把a只黑球看作是没有区别的,把b只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b位置上,因若把a只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球,而黑球的位置可以有种放法,以这种放法作为样本点.这时有利场合数为,这是由于第k次取得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任取a-1个位置,因此共有种放法．所以所求概率为  两种不同的解法答案相同,注意考察一下两种解法的不同,就会发现主要在于选取的样本空间不同．在前—种解法中把球看作是“有个性的”,而在后一种解法中则对同色球不加区别,因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列,第二种解法则不注意顺序而用组合,但最后还是得出了相同的答案. 这种情况的产生并不奇怪,这说明对于同一随机现象,可以用不同的模型来描述,只要方法正确,结论总是一致的.在这个例子中,第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的a!·b!个样本点合并而成的． 这个例子告诉我们,在计算样本点总数及有利场合数时,必须对同一个确定的样本空间考虑,因此其中一个考虑顺序,另一个也必须考虑顺序,否则结果一定不正确． 既然同一个随机现象可用不同的样本空间来描述,因此对同一个概率也常常有多种不同的求法,我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题,为此熟悉同一问题的多种不同解法是重要的. 例如,对例5就存在着多种不同的解法,上面提供的只是比较自然的两种.注意到在这两种解法中,我们对不同的k用的是同一个样本空间,也就是说：我们构造了一个可以描述a十b次摸球的样本空间,并利用它一举解决了“第k(1≤k≤a+b)次摸得黑球”这一概率的计算．假如允许对不同的k用不同的样本空间,则我们完全可以构造一个只包含前k次试验,甚至只包含第k次试验的样本空间,这时也能求得有关概率.特别是选用最后一种样本空间简直马上可以看出正确答案,不过这种做法对初学者或许不那么容易理解． 　　四、古典概率的计算方法: 　　求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作： 　　一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现豹可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题. 　　二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n,事件A包含的样本点数(即A的有利场合的数目)为k,那么事件A的概率是 P(A)=== 三是根据公式要求,确定n和k的数值.这是解题的关键性一步,计算方法灵活多变,没有一个固定的模式.古典概率一种解法,大体都是围绕n和k的计算而展开的. 五、几类基本问题: 抛硬币、掷骰(tóu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力. 本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用. [例1](摸球问题)袋中有α个白球,β个黑球： (1)从中任取出a＋b个(a,b∈N,α≤a,b≤β,试求所取出的球恰有a个白球和b个黑球的概率； (2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率； (3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率. 思考方法 这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中任取a+b个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑. [解](1)设A1表示事件“所取的a+b个球中恰有a个白球和b个黑球”.从α+β个球中任意摸出a+b个,有种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事件A1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a个,从β个黑球中任取b个的取法种数,共种.所以 P(A1)= (2)设A2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得,有种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有种取法.因此,A2所包含的样本点数为.于是 P(A2)= (3)袋中只剩白球时(设此事件为A3),取出的球必为β个黑球,i个白球(i=0,1,…,α-1).用Bi表示事件“取出β个黑球,i个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,…,α-1),则事件B0,B1,…,Bα-1,β必两两互不相容,且A3=B0+B1+…+Bα-1． 依概率的有限可加性,有 P(A3)=P(B0)+P(B1)+P(B2)+ …+P(Bα-1) 依事件Bi的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从α+β个球中任取i+β个球的排列.所以,样本点总数为.注意到i+β个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+β个球中,最后取出的一个应是黑球.这样,事件Bi的有利场合,就是i+β-1个球的全排列(β个黑球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球).显然,i个白球可从α个白球中取得,有种取法;β-1个黑球可从β个黑球中取得,有种取法,．从而事件Bi所包含的样本点数为.于是 P(Bi)= = 把诸P(Bi)的值代入(1)式,并注意到 +… 即得 P(A3)= …== 评注 如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会,我们再来看下面的例子： (1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：① 5只都是好的概率为多少？② 5只中有2只坏的概率为多少？ (答案：①;②) (2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率. 　　　　　　 (答案:) (3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率. 　　　　　　　　 (答案：) (4)用火车运载两类产品,甲类n件,乙类m件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率. 　 (答案:) (5)一个班级有2n个男生和2n个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率. 　　　　　　　　 (答案：) (6)从数1,2,…,n中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率. 　　　　　 (答案：当n为偶数时,p=；当n为奇数时,p=) 不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题(例1(1)).我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此., [例2](分球入盒问题)把n个球以同样的概率分配到Ｎ(n≤Ｎ)个盒子中的每一个中去,试求下列各事件的概率： (1)Ａ：某指定n个盒子中各有一球； (2)Ｂ：恰有n个盒子,其中各有一球; (3)Ｃ：某指定盒子中恰有m(m≤n)个球. 思考方法　解答本题时,要发掘“n个球以同样的概率分配到Ｎ个盒子中的每一个中去”一语的含义.这句话意思是说,每一个球,被分配到任意一个盒子中去是等可能的；也就是说每一个球各有Ｎ种不同的去向. [解]　因为n个球中的每一个球,都以同样的概率进入Ｎ个盒子中的任意一个,所以样本点总数为Nn. (1)n个球分别分配到Ｎ个预先指定的盒子中去,相当于n个球的全排列,因此事件Ａ所包含的样本点数为An,于是 P(A)=． (2)对于事件Ｂ,ｎ个盒子可自Ｎ个盒子中任意选取,有种选法,因而事件Ｂ包含个样本点,于是 P(B)=. (8)事件Ｃ中的ｍ个球,可以从n个球中任意选取有种选法,其余的n-m个球可以任意分配到另外Ｎ-1个盒子中去,有(N-1)n-m种分配法.因而事件Ｃ包含个样本点.这样 P(C)=. 评注 不难发现当n和Ｎ确定时P(C)只依赖于m.如果把P(C)记作Pm,依二项式定理有 . 上述等式的概率意义是十分明显的.就是对于某个指定的盒子来说,进入盒子中的球数不外是0,1,...,n;从而这n+1种情形的和事件为必然事件,其概率必为1.这个问题实质上就是贝努利(Bernoulli)概型. n个球在Ｎ个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验.为了阐明这一点,我们列举一些貌异质同的试验： (1)生日.ｎ个人的生日的可能情形,相当于ｎ个球放入Ｎ=365个盒子中的不同排列(假定一年有365天). (2)性别.ｎ个人的性别分布,相当于把ｎ个球放入Ｎ=2个盒子中. (3)意外事件.如果把ｎ个意外事件按其发生在星期几来分类,相当于ｎ个球放入Ｎ=7个盒子中. (4)掷骰子.掷ｎ颗骰子的可能结果,相当于把ｎ个球放入Ｎ=6个盒子中. (5)质点入格.ｎ个质点落于Ｎ个格子中的可能情形,相当于ｎ个球分入Ｎ个盒子中. (6)旅客下站.一列火车中有ｎ名旅客,它在Ｎ个站上都停.旅客下站的各种能情形,相当于n个球分到Ｎ个盒子中的各种情形. (7)住房分配.n个人被分配到Ｎ个房间中去住,则人相当于球,房间相当于盒子. (8)印刷错误.ｎ个印刷错误在一本具有Ｎ页的书中的一切可能的分布,相当于ｎ个球放入Ｎ个盒子中的一切可能分布(ｎ必须小于每一页的字数). 从上面所列举的部分试验,我们不难体会分球入盒的模型的意义.因而使例2成为古典概率中的典型问题之一,为一类实际问题的求解,提供了有效的途径.作为练习,读者可利用本题的思想方法,解答下列各题： (1)同时掷4颗质量均匀的骰子,求出现完全不相同的点数的概率. 　　　　　　　　　　　　 (答案： ) (2)设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一星期中任意两天但不是都在同一天的概率. 　　　　　　　　　 (答案：) (3)有n个质点,每个质点都等可能地落于Ｎ(ｎ≤Ｎ)个格子中的每一个.试求每一格子至多含一点的概率. 　　　　　　　　　　 (答案：) (4)设有n个人,每个人都等可能地被分配到n个房间中的任一间去住.求恰有一个空房间的概率. (答案:．) [例3] (随机取数问题)从1,2,…,10这十个数中任取一个,假定各个数都以同样的概率被取中,取后还原,先后取出7个数,试求下列各事件的概率： (1)A1：7个数全不相同； (2)A2：不含10与1； (3)A3：10恰好出现两次； (4)A4：10至少出现两次； (5)A5：取到的最大数恰好为6． 思考方法 本题所及的随机试验,就取样方法来说,属于返回取样.也就是说,把某数取出后还原,下次仍有同样的可能再取到这个数.注意到这一特点,运用上节介绍的思想方法,原题就不难得解. [解] 依题设样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列.所以样本点总数为107． (1)事件A1,要求所取的7个数是互不相同的,考虑到各个数取出时有先后顺序之分,所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列.因此,A1所包含的样本点数为.于是 P(A1)=. (2)事件A2：先后取出的7个数中不含10与1,所以,这7个数只能从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中取得.注意到实验属于有返回取样,则A2的有利场合,相当于8个相异元素允许重复的7元排列.于是,A2所包含的样本点数为87,有 P(A2)=. (3)事件A3中出现的两次10,可以是7次取数中的任意两次,有种取法,其余的5次,每次可以取剩下的9个数中的任一个,共有95种取法.于是A3的有利场合为.由此 P(A3)=. (4)事件A4是六个两两互不相容事件“10恰好出现k次”(k=2,3,4,5,6,7)的和,因此 P(A4)=. 也可以先考察A4的逆事件.这里是事件“10恰好出现一次或一次也不出现”显然 P()=. (5)事件A5的有利场合,就是6个相异元素(1,2,3,4,5,6)允许重复的最大数恰好为6的7元排列.这种排列可以分为6出现1次,2次,3次,4次,5次,6次,7次等七类,显然,它们的排列数依次是,,于是 P(A5)=. 事件A5的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列,有67种,它可以分为两类,一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列.注意到第二类重复排列有57种,则第一类重复排列有67-57种.于是． P(A5)=. 评注 例3是一个比较典型的返回取样问题,解题的思想方法,对于同类问题具有指导意义.但决不能把它作为现成的公式乱套,即使同是随机取数问题,也须斟酌题意灵活运用.例如,下面的四个问题,表面看结构相仿,实质上差别较大,读者不妨一试,以资鉴别. (1)电话号码有五个数字组成,求电话号码由完全不同的数字组成的概率. 　　　　　　　　　 (答案：．) (2)某单位印刷的一种单据,编号由五个数字组成,从00001开始,求任取其中一张,编号由完全不同的数组成的概率. 　　　　　　　　　 (答案:．) (3)在0至9这十个数字中,不放回地任取5个,求能排成由完全不同的数字组成的五位数的概率. 　　　　　　　 (答案:．) (4)在0至9这十个数字中,有放回地任取5个,求能排成由完全不同的数字组成的6位数的概率. (答案:．) [例4](选票问题)假定在一次选举中,候选人甲得a票,候选人乙得b票,且a＞b,试求下列事件的概率： (1)Ａ：在计票过程中,甲、乙的票数在某个时刻相等； (2)Ｂ：在计票过程中,甲的票数总比乙的票数多; (3)Ｃ：在计票过程中,甲的是数总不落后于乙. 思考方法 本题结构比较复杂,不大容易入手.为了便于分析,我们不妨考虑一个简化问题,比如,令a=3,b=2．这时,样本空间就是3张属于甲的选票和2张属于乙的选票的全排列.显然这是一个不尽相异元素的全排列问题,其排列种数为．如果把样本点具体写出来,就是 ①乙乙甲甲甲,②乙甲乙甲甲,③乙甲甲乙甲,④乙甲甲甲乙,⑤甲甲乙乙甲,⑥甲乙乙甲甲,⑦甲乙甲乙甲,⑧甲乙甲甲乙,⑨甲甲乙甲乙,⑩甲甲甲乙乙. 为了直观地反映事件Ａ,Ｂ,Ｃ的情形,我们可以利用平面坐标的思想,建立样本点和平面折线的对应关系.具体地说,以横轴表示计票张数,纵轴表示计票过程中甲、乙两候选人所得票数之差；先依样本点在计票过程中的情形,在坐标平面上确定点的位置,再用线段把各点连成折线.如图3-3[1]所示,点Ｏ(0,0)表示计票起点；点Ａ(1,-1)表示第一张选票是属于乙的,甲、乙票数之差等于-1；点Ｂ(2,-2)表示第二张选票也是属于乙的,这时共计了两张选票,甲、乙票数之差等于-2；点Ｃ(3,-1)表示第三张选票是属于甲的,这时共计了三张选票,甲、乙票数之差等于-1；点Ｄ(4,0)表示第四张选票是属于甲的,这时共计了四张选票,甲、乙票数之差等于0,即两人得票数相等；点Ｅ(5,1)表示第五张选票也是属于甲的,这时共计了五张选票,甲、乙票数之差等于1.这样,图3-3[1]的折线就形象地刻划了样本点“乙乙甲甲甲”在计票过程中的情形.同样,图3-3[2]至[10]的各条折线,刻划了其余九个样本点在计票过程中的情形.  经过上述处理,我们从图3-3就可以形象地看到：事件Ａ包含的样本点,它们所对应的折线,除起点外,与横轴至少有一个公共点；事件Ｂ包含的样本点,它们所对应的折线,除起点外,图形全在横轴的上方,与横轴没有其余的公共点；事件Ｃ的样本点,它们所对应的折线,在横轴的上方,且与横轴允许有其余的公共点.这样,从图中容易得到,Ａ的样本点数为8,Ｂ的样本点数为2,Ｃ的样本点数为5．于是 P(A)=8/10=0.8; P(B)=2/10=0.2; P(C)=5/10=0.5. 分析到这里,简化问题得以解决.为了能用于指导原题的解答,我们还需对简化问题作进一步的考察.细酌题中的各个事件,从图3-3可以得到以下结论： 1.在计票过程中,甲的票数总比乙少的情形是不可能发生的.事实上,如果甲的票数总比乙少,那么甲的得票总数将比乙少,与条件a＞b相矛盾.这就表明,事件Ａ与Ｂ必为互逆事件. 2.事件Ｂ的样本点,对应于图3-3[9]、[10]所示的折线.这两个样本点的共同特点是：甲先得一票；如果把这一票扣除,那么余下的四票就组成甲得2票、乙得2票时,事件“在计票过程中,甲的票数总不落后于乙”的样本点.这样,我们就可把事件Ｂ与事件Ｃ联系起来,相互转化. 3.从1、2可知,解题的关键,在于推求P(A)；而计算P(A)的关键,又在于确定Ａ的样本点数.从图3-3不难看出,A的样本点可以分为两类：一类是第一张选票属于乙的;另一类是第一张选票属于甲的.前一类样本点数,相当于3张属于甲的选票和2-1=1张属于乙的选票的全排列数：．后一类样本点数,似难直接推算.但从图3-3可以看出.如果把这一类样本点所对应的折线,从起点到首次触到横轴的部分,对横轴作一次反射,那么就得到第一类样本点(参考图3—3[1]—[4]与[5]—[8].这就是说,两类样本点在所作的反射下是一一对应的.所以,第二类样本点数等于第一类样本点数.分析到这里,原题就不难解出了. [解] 依题设,样本空间就是a张屋于甲的选票与b张属于乙的选票的全排列.这是一个不尽相异元素的排列问题,排列种数为,这就是样本点的总数. (1)为了计算A的样本点数.我们把A的每个样本点表示成形如图3—3的折线,横标为计票张数,纵标为甲、乙票数之差；斜率为1的线段表示计票过程中甲得票,斜率为-1的线段表示计票过程中乙得票.这样,可以把A的样本点分成两类：第一类为第一张选票属于乙的,在这种场合,于某个时刻必然会出现甲、乙两人的票数相等(因为a>b)；第二类为第一张选票属于甲,且在某时刻甲、乙两人的票数相等. 这里,第一类样本点数,相当于a张属于甲的选票与b-1张属于乙的选票的全排列数,有种. 对于第二类样本点的任一折线,从起点到首次触到横轴的部分对横轴作一次反射,其余部分保持不变,就得到第一类样本点的一条折线(图3-4).不难证明,用这样的方法可以建立起第一类与第二类样本点之间的一一对应关系.所以,第二类样本点数也是．这样,事件Ａ的样本点数为．于是 P(A)=  (2)在a＞b的条件下,事件Ｂ是事件Ａ的逆事件,所以 P(B)=1-P(A)=1-. (3)为了方便起见,我们用Ca,b记事件“在计票过程中,甲的票数总不落后于乙”;用Ba,b记事件“在计票过程中,甲的票数总比乙多”(足码a,b表示在计票过程中一共有a＋b张选票,其中a张属于甲的,b张属于乙的).容易看出,Ba,b的样本点,它们所对应的折线,全在横轴的上方.所以,如果把第一张属于甲的选票去掉(相当于把横轴向上平移一个单位),那么余下的折线仍在新横轴的上方,最多与新横轴有若干个公共点(图3-5),从而必是Ca-1,b的样本点.也就是说,Ca-1,b的样本点数与Ba,b的样本点数相等. 因此,Ca-1,b的样本点数为 . 而对应的样本点总数为．于是 P(Ca-1,b)=. 在上式中用a＋1替换a,即得 P(C)=P(Ca,b)=.  评注 在解题过程中,我们借助了几何直观,把每个样本点都用坐标平面上的一条折线来表示,并采用了反射的技巧,建立起事件Ａ的两类样本点之间的一一对应关系,把本来难以入手的问题,转化为容易求解的排列问题.本题涉及到较多的理论问题,深入进行考察,还可得到许多有趣的结论,有兴趣的读者可以阅读威廉．费勒(William Feuer)的名著《概率论及其应用》(胡迪鹤等译,科学出版社1964年11月第一版). 例4是一个典型的古典概率问题.利用本题的结论和思想方法,不难解答下列问题： (1)一口袋中有m个白球及n个黑球,且m＞n,从袋中一个个把球取出(不返回),直至把球全部取出.求在整个摸球过程中,得到相同个数黑、白球的概率. 　　　　　　　　　　　 (答案：．) (2)掷均匀硬币几次,求总共掷出m次正面(m＞n/2)且在整个投掷过程中掷出反面次数总小于正面次数的概率. 　　　　　　　　　　　　　 (答案：．) (3)剧院售票处有2n个人排队买票,其中n人只有五角钱一张的钞票,其余几个人只有一元钱的钞票.开始售票时售票处无钱可找,而每个人只买一张五角钱的票.求售票处不会找不出钱的概率. 　　　　　　　　　　　　 (答案：．) (4)一口袋中有n个白球和n个黑球.从袋中一个个把球取出(不返回),直至球全部取出.求在摸完全部球之前,摸出的白球个数总比摸出的黑球个数多的概率. 　　 (答案：．) §1.4 概率的公理化定义及概率的性质 教学目的要求： 使学生掌握几何概率的含义及计算,并由此导出概率的性质及概率的公理化定义. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：几何概率是很有启发性的一类问题,它可将试验由结果为有限个的情况扩展到结果为无限个的情况,从而扩大了概率的研究范围,并由此拓展了概率的性质.引出了概率的公理化定义. 2．教学重点：几何概率的含义、计算及概率的性质、概率的公理化定义. 3．教学难点：几何概率的计算. 教 学 过 程 ： 一个随机试验，如果它的数学模型是古典概型，那么描述这个试验的样本空间Ω、事件域?和概率P已在§3中得到解决。在古典概型中,试验的结果是有限的，这不能不说是一个很大的限制，人们当然要竭力突破这个限制，以扩大自己的研究范围。一般地说，当试验结果为无限时，会出现一些本质性的困难，使问题不象有限时那么容易解决。这里讨论其中具有某种“等可能性”的一类问题。 一、几何概率的定义： 如果我们在一个面积为SΩ的区域Ω中，等可能地任意投点（见图）。这里“等可能”的确切意义是这样的：设在区域Ω中有任意一个小区域A，如果它的面积为SA，则点落入A中的可能性大小与SA成正比，而与A的位置及形状无关。如果“点落入小区域A”这个随机事件仍然记作A，则由P(Ω)=1可得 P(A)= 这一概率通常称作几何概率。请注意，如果是在一个线段上投点，那么面积应改为长度；如果在一个立方体内投点，则面积应改为体积；余类推。它也有许多应用，下面是两个例子。 [例1]（会面问题）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去。求两人能会面的概率。 [解] 以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是  在平面上建立直角坐标系如图.则(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示。这是一个几何概率问题，由等可能性知 P(A)=. [例2] 蒲丰（Buffon）投针问题.平面上画有等距离的平行线,平行线间的距离为a(a>0),向平面任意投掷一枚长为(<a)的针,试求针与平行线相交的概率. [解] 以x表示针的中点与最近一条平行线间的距离,又以表示针与此直线间的交角（见图）,易知有 0≤x≤a/2, 0≤≤ 由这两式可以确定x-平面上的一个矩形Ω .这是为了针与平行线相交,其充要条件是 x≤sin/2 由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分.由等可能性知 P(A)= 如果、a为已知,则以值代入上式即可计算得P(A)之值,反过来,如果已知P(A)的值,则也可以利用上式去求,而关于P(A)的值,正如§2中所提到的,可以用频率去近似它.如果投针N次,其中针与平行线相交n次,则频率为n/N,于是 . 历史上有一些学者曾亲自做过这个试验,下表记录了他们的试验结果（把a折算为单位长）： 试 验 者 年份 投掷次数 相交次数 得到π的近似值 针 长  Wolf 1850 5000 2532 3.1596 0.8  Smith 1855 3204 1218.5 3.1554 0.6  DeMorgan,C. 1860 600 382.5 3.137 1.0  Fox 1884 1030 489 3.1595 0.75  Lazzerini 1901 3408 1808 3.1415929 0.83  Reina 1925 2520 859 3.1795 0.5419  这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机试验,使一个事件的概率与某一未知数有关,然后通过重复试验,以频率近似概率,即可求得未知数的近似解.当然,试验次数要相当多,也是够麻烦的. 随着电子计算机的出现, 人们便利用计算机来模拟所设计的随机试验, 使得这种方法得到了迅速的发展和广泛的应用. 人们称这种计算方法为随机模拟法，也称为蒙特-卡洛(Monte-Carlo)法. 二、贝特朗(Bertrand)奇论： 几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用.十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案，下面就是一个著名的例子． [贝特朗奇论] 在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？ 这是一个几何概率问题，但是基于对术语“随机地”的含义的不同解释，这个问题却存在多种不同答案，下面是其中的三种． [解法一] 任何弦交圆周二点，不失一般性，先固定其中—点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率等于1/3． [解法二] 弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径．当且公仅当它与圆心的距离小于1/2时，其长才大于，因此所求概率为1/2． [解法三] 弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时，弦长大于，此小圆面积为大圆面积的1/4，故所求概率等于1/4． 同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在取弦时采用不同的等可能性假定．在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布．这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的． 从上面的分析可以看出，贝特朗奇论不足为奇.为了加深理解，我们再来看一个初等数学问题：“一块正方形木板有4个角，锯掉一个角，还有几个角？”这是一个简单的智力测验题，由于题中没有明确指出“锯掉一个角”的具体锯法，因而其答案也是不确定的.如右图，对应于三种不同的锯法，可以得到三种不同的答案：5个角、4个角、3个角.从日常生活经验来看，对这个问题的不同答案，我们是不会感到奇怪的. 因此在使用术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义；这又因试验而异． 由于采用等可能性来定义概率有这种困难，因此后来就选择另外的途径．即在定义概率这一基本概念时只指明概率应具有的基本性质，而把具体概率的给定放在一边．这样做的好处是能针对不同的随机试验给定适当的概率． 现在,我们比较仔细地来考察这一类投点问题.为了方便起见,设Ω是一个单位正方形,A是样本空间Ω的一个子集.由等可能性知道P(A)=SA. 这里SA是A的面积.容易验证这样的概率P的确具有非负性、规范性和有限可加性,看来问题是轻而易举地解决了.但是,切莫高兴得太早,还有一个非常基本的问题没有解决,从过去的讨论已经知道,概率P是在事件域?上有定义的集合函数,它的非负性、规范性和有限可加性也只是在?上才有意义.现在我们不免要问,在述投点试验中,事件域?究竟是什么？在古典概型中,已经知道?可以是Ω的一切子集的全体,很自然地会认为在投点试验中, ?也可以是Ω的一切子集的全体.遗憾的是，这样的“推广”是行不通的．由于等可能性，已知对于Ω的子集A有P(A)＝SA，这里SA是A的面积，因而A不能是Ω的任意子集，至少应该是Ω中“具有面积”的一类子集．说到这里，大家一定会觉得奇怪，难道在单位正方形Ω中还有“不具有面积”的子集吗？一点都不假，人们已经证明了这种“不具有面积’的子集确实存在，这种集合称作不可测集．对这一个问题的进一步讨论已经超出本书的范围，这里我们要求大家接受Ω中“不具有面积”的子集确实存在这一事实，现在回到我们所关心的问题上来.由前面的讨论我们知道在投点试验中，事件域?不能是Ω的一切子集的全体，而只能是Ω的一切“具有面积”的子集的全体．容易验证，这样的事件域?是—个布尔代数，对于A∈?，P(A)= SA.也很容易验证，这样的概率P的确是?上非负的、规范的、有限可加的集合函数．于是Ω, ?,P三者描述了这个投点试验. 由上述投点试验可以看到，只要构造适当的随机试验，面积就成了概率，这就告诉我们．面积具有的性质，概率也应该具有．面积当然具有非负性和有限可加性，这再一次说明了概率应该具有非负性和有限可加性，除此以外，还有什么值得引起我们注意的呢？如果在单位正方形中有一列两两互不相交的小区域A1，A2, …,每个小区域的面积是S1,S2,…,很自然的我们可以问：这些小区域总的面积是多少？按照前面的记号，这些小区域并可以记作A=.总的面积SA应该是这些小区域面积的和,即SA=.再把面积理解成概率,前式就成为: P(A)= 这个事实很重要,它告诉我们: 如果有一列有面积的互不相交的小区域A1,A2, …,它们的面积依次为S1,S2, …,则A1,A2, …的并A=仍然有面积,而且A的面积等于这些小区域的面积的和,即SA=. 把上面关于面积的论述,“翻译”成为概率的论述,就可以得到下面的结论: 如果有一列互不相容的随机事件A1,A2, …(即Ai∈?,i=1,2, …,且当i≠j时AiAj＝Φ),它们的概率依次是P(A1),P(A2),…,则有A1,A2,…的并A=仍然是随机事件,即Ai∈?,且A的概率等于Ai(i＝1,2,…)的概率之和,即P(A)= . 三、事件域的性质和概率的性质： 1.事件域的性质： 在§1中我们已经知道事件域?是一个布尔代数,它关于有限并是封闭的.由上述结论可知, ?不仅对有限是封闭,而且对可列并的运算也应该封闭.因而事件域?具有下述性质: (F.1) Ω∈?; (F.2) 若A∈?,则∈?; (F.3) 若Ai∈?,i=1,2, …,则∈?. 对具有上述三个性质的集合类,通常称作是一个δ-代数(或δ-域),所以事件域应该是一个δ-代数.由前面的讨论可证一个δ-代数必定是一个布尔代数(因为由(F.1),(F.2)知Φ∈?,若Ai∈?,i=1,2, …,n,则令An+1=An+2=…=Φ,就有=∈?). 2．概率的性质： 在§2中已经知道概率P在事件域?上具有有限可加性,而由上述的结论: P(A)=  可知,概率不仅应该具有有限可加性,而且还应该具有可列可加性(也称完全可加性)．(下面要证明概率的可列可加性蕴含着有限可加性.)因而在δ-代数?上有定义的概率P应该具有性质: (P.1) 非负性: P(A)≥0,对A∈?; (P.2) 规范性: P(Ω)＝1; (P.3) 可列可加性:若Ai∈?,i=1,2,…,且AiAj=Φ(i≠j),则P()=. 通常,在δ-代数?上有定义的非负、可列可加的集函数称作是?上的测度,因而面积(还有长度、体积等)是测度,而概率不过是事件域?上的一个规范化的测度. 3．概率空间的定义： 由上面的讨论可知,描述一个随机试验的数学模型应该有三件东西: (1) 样本空间Ω; (2) 事件域(δ-代数) ?; (3) 概率(?上的规范测度)P. 习惯上常把这三者写成(Ω,?,P)并称它是一个概率空间．由此,给出一个具体的随机试验,数学上就可以把它抽象成一个概率空间(Ω, ?,P)． 四、概率的公理化定义： 在§2中已经指出概率是随机事件出现可能性大小的度量、那是对具体的随机事件来说的.如果撇开具体的随机试验,从纯数学的角度看,概率又是什么呢？现在可以给出严格的定义. 定义1.2 概率是定义在δ-代数?上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数. 在数学中,有许多的数学分支(如欧几里得几何等)是用一些公理体系建立起来的,现在我们也采用了这种公理化的方法,把前面总结的(P.1)、(P.2)和(P.3)三条(公理)归结成上述的定义． 五、概率的一些重要性质： 由概率的非负性、规范性和可列可加性出发、可以证明它的一些重要性质: (1) 不可能事件的概率为0,即P(Φ)=0. 证明 因为Ω=Ω∪φ∪φ∪…,所以P(Ω)=P(Ω)+P(φ)+ … 从而 P(φ)＝0. (2) 概率具有有限可加性．即若AiAj=φ(1≤i≠j≤n),则 P()= 证明 因为=A1∪A2∪…∪An∪φ∪φ∪… 由可列可加性及P(φ)=0即得 P()=. (3) 对任一随机事件A,有P()=1-P(A). 证明 因为A∪=Ω,A=φ 所以1=P(Ω)＝P(A∪)=P(A)+P(). (4) 若A?B,则P(A-B)=P(A)-P(B). 证明 因为当A?B时,有 A=B∪(A-B)且B∩(A-B)=φ 由有限可加性有 P(A)=P(B)+P(A-B) 移项后即得欲证之等式,并从概率的非负性即得下述的系. 系 若A?B,则P(A)≥P(B). (5) 对任意的两个事件A、B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB). 证明 因为 A∪B=A∪(B-AB)且A∩(B-AB)=φ 所以有 P(A∪B)=P(A)+P(B-AB) 又因为AB?B,从而由性质(4)即得 P(A∪B)＝P(A)十P(B)-P(AB). 系 P(A∪B)≤P(A)+P(B). 性质(5)还可以用归纳法推广到任意有限个事件.设A1,A2, …,An是n个随机事件,则有 P()=-+-…+(-1)n-1. 这个公式也称为概率的-般加法公式. 从性质(2)可知,由可列可加性可以推得有限可加性,而由有限可加性一般并不能推出可列可加性.这两者之间的差异可以用另-种形式来描述. 设An∈?(n＝1,2, …),且An?An+1,则称{An}是?中的一个单调不减的集合序列. 定义1.3 对于?上的集合函数P,若对?中的任一单调不减的集合序列{An},有  则称集合函数P在?上是下连续的,其中. 下面的定理很好地说明了有限可加性和可列可加性之间的差异. 定理1.1 若P是?上非负的、规范的集函数,则P具有可列可加性的充要条件是 (1) P是有限可加的; (2) P在?上是下连续的. 定理的证明不在这里叙述.有兴趣的同学可以自己推导或参阅有关的参考书(概率论,复旦大学编,人民教育出版社1979). [例1] 某人一次写了n封信,又写了n个信封,如果他任意地将n张信纸装入n个信封中.问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少？ [解] 令Ai={第i张信纸恰好装进第i个信封} 则所求概率为P(),易知有 P(Ai)=, =1, P(AiAj)= (i≠j),  同理可得  … … … … … … . 由概率的一般加法公式我们得到 P()= (显然,当n充分大时,它近似于1-e-1.) 这个例子是历史上有名的“匹配问题”. §1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 教学目的要求： 条件概率是概率论中另一重要概念.学习本节要求使学生理解条件概率的概念，并掌握条件概率的求法，会适当地运用全概率公式和贝叶斯公式. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：条件概率是概率论的基本概念.下节的基本概念—独立性与条件概率关系紧密.而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式.因此要掌握此概念及有关的计算公式，为后面内容打下基础. 2．教学重点：条件概率的概念，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式. 3．教学难点：前面三个公式各自的适用条件及不同的情形. 教 学 过 程 ： 前面讨论了事件和概率这两个概念,大家一定看到对一个给定的随机试验,要找到一个指定的随机事件A∈?的概率P(A),需要花很大的力气,现在将讨论继续引向深入．前面曾经提到,如果有两个随机事件A,B∈?,则有加法公式： P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(AB) 特别地,当A,B是互不相容的两个事件时,有 P(A∪B)＝P(A)+P(B) 这时由P(A)及P(B)即可求得P(A∪B)．但在一般情形下,为求得P(A∪B),还应该知道P(AB),因而,很自然地要问:能不能通过P(A)、P(B)求得P(AB)？如何求？让我们先看一个简单的例子． [例1] 某个班级有学生40人,其中有共青团员15人,全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表,那么这个代表恰好在第一小组内的概率为10/40=1/4．现在要在班级任选一个共青团员当团员代表,问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？大多数读者一定会立即算出这个概率是4/15．这两个概率不相同是容易理解的,因为在第二个问题里,任选的一个学生必须是团员,这就比第一个问题多了一个“附加的”条件,如果我们记 A＝{在班内任选一个学生,该学生属于第一小组} B＝{在班内任选一个学生,该学生是共青团员} 可以看到,在第一个问题里求得的是P(A),而在第二个问题里,是在“已知事件B发生”的附加条件下,求A发生的概率,这个概率称作是在B发生的条件下,A发生的条件概率,并且记作P(A|B). 于是有 P(A|B)=. 这虽然是一个特殊的例子，但是容易验证对一般的古典概型，只要P(B)>0，上述等式总是成立的.在几何概率的场合(以面积为例)，如果在单位正方形内等可能地投点(见右图)： 若已知B发生，这时A发生的概率为 P(A|B)= 由此可知对上述的两个具有“等可能性”的概率模型，总有P(A|B)=成立.其实，还可以验证，这个关系式对频率也是成立的.于是，从这些共性中得到启发，引入下面的一般的定义. 一、条件概率的定义及性质： 1. 条件概率的定义: 定义1.4 若(Ω, ?,P)是一个概率空间,B∈?,且P(B)>0,则对任意的A∈?,称 P(A|B)=  为在已知事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率. 由这个定义可知,对任意两个事件A、B,若P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B). 并称上式为概率的乘法公式. 2. 条件概率的性质: 不难验证条件概率P(·|B)具有概率的三个基本性质: (1) 非负性:对任意的A∈?,P(A|B)≥0; (2) 规范性:P(Ω|B)=1; (3) 可列可加性:对任意的一列两两互不相容的事件Ai,i＝1,2,…),有  由此可知,对给定的一个概率空间(Ω, ?,P)和事件B∈?,如果P(B)>0,则条件概率P(·|B)也是(Ω, ?)上的-个概率测度.特别地,当B=Ω时, P(·|B)就是原来的概率测度P(·),所以不妨把原来的概率看成是条件概率的极端情形. 3. 讲解例题: [例2] 见教材P.35例1.15. [例3] 见教材P.35例1.16. 例1.16中所采用的方法是概率论中颇为有用的一种方法.为求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单事件之并．求出这些较简单事件的概率,再利用加法公式即得所要求的复杂事件的概率.把这个方法一般化,便得到下述定理: 二、全概率公式: 定理1.2 设B1,B2,…是一列互不相容的事件,且有  与 P(Bi)>0, i=1,2,… 则对任一事件A,有 P(A)=. 证明 P(A)=P(A∩Ω)=P[A∩()]＝ P[]==. 这个公式通常称作全概率公式,它是概率论中最基本的公式之一．例1.16中用到的只是它的最简单的情形,下面是又一个例子: [例4] 见教材P.37例1.17. [例5] 见教材P.38例1.18. 三、贝叶斯公式: 在上面的计算中,事实上已经建立了一个极为有用的公式、常常称为贝叶斯公式．我们把它表示为通常的定理形式: 定理1.3 若B1,B2,…为一列互不相容的事件,且 =Ω 与 P(Bi)>0, i=1,2,… 则对任一事件A,有 P(Bi|A)=, i=1,2,… 这个定理的证明已在例1.18的计算中给出,大家不妨自己再严格地复述一遍. 先验概率:在全概率公式中,P(Bi)是在试验以前就已经知道的概率,所以习惯地称它们为先验(先于试验)概率. 后验概率:条件概率P(Bi|A)反映了在试验以后,对A发生的“来源”(即次品的来源)的各种可能性的大小,通常称作后验概率. [例6] 见教材P.40例1.19. §1.6 独立性 教学目的要求： 使学生掌握独立性概念,并对相应随机试验进行研究,如并联、串联系统的可靠性. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：独立性是概率论中最重要的概念之一.独立性是概率论特有的概念,它的引进大大推动了概率论的发展,前期概率论中最重要的一些结果大都是在独立性的假定下获得的,只有到了近代才开始研究一些不独立但常在另一种较弱独立性假定下的概率模型.因此独立性是概率论其他内容的重要基础,必须较好地掌握它. 2．教学重点：独立性的概念及概率的计算. 3．教学难点：独立性假定下的概率计算. 教 学 过 程 ： 在上一节我们知道了条件概率这个概念.在已知事件A发生的条件下,B发生的可能性为条件概率 P(B|A)= 并且由此得到了一般的概率乘法公式: P(AB)=P(A)P(B|A) 现在可以提出一个问题,如果事件B发生与否不受事件A是否发生的影响,那么会出现什么样的情况呢？为此,需要把“事件B发生与否不受事件A是否发生的影响”这句话表达成数学的语言,事实上,事件B发生与否不受事件A的影响,也就是意味有 P(B)=P(B|A) 这时乘法公式就有了更自然的形式: P(AB)=P(A)·P(B) 由此启示我们引入下述定义: 一、独立性的定义: 定义1.5 对任意的两个事件A、B,若 P(AB)=P(A)·P(B) 成立,则称事件A、B是相互独立的,简称为独立的． 依这个定义．容易验证必然事件Ω与不可能事件φ与任何事件是相互独立的.这一事实读者不会感到意外,因为必然事件Ω与不可能事件φ的发生与否,的确是不受任何事件的影响的,也不影响其它事件是否发生. [例1] 分别掷两枚均匀的硬币,令 A={硬币甲出现正面} B={硬币乙出现正面} 验证事件A、B是相互独立的. 证明 这时样本空间 Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} 共含有4个基本事件,它们是等可能的,各有概率为 1/4 ,而 A={(正,正),(正,反)} B={(正,正),(反,正)}　 AB={(正,正)} 由此知 P(A)=P(B)=1/2 这时有 P(AB)=1/4=P(A)·P(B) 成立,所以事件A、B是相互独立的. [例2] 见教材P.43例1.21. 现在我们已经知道当事件A、B互不相容时,有加法公式: P(A∪B)=P(A)+P(B) 如果事件A与B互相独立,则有乘法公式: P(AB)＝P(A)·P(B) 这两个公式的外形是很类似的,一个是关于并的加法公式,而另一个是关于积的乘法公式．由概率的有限可加性已知加法公式对任意有限个事件都成立，例如有A、B、C三个事件，它们两两互不相容，这时就有 P(A∪B∪C)＝P(A)+P(B)+P(C) 由两个公式的相似外形,你可能会产生一种猜测:如果事件A、B、C两两独立，就有乘法公式 P(A∩B∩C)=P(A)·P(B)·P(C) 成立.遗憾的是这个猜测一般说来并不成立.事件A、B、C两两独立，依定义有下述三个等式： P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) 同时成立，但是由这三个等式并不能保证 P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C) 也一定成立．下面的例子证实了这一点． [例3] 见教材P.45例1.22. 二、任意三个及多个事件的独立性: 定义1.6 对任意三个事件A、B、C，如果有  四个等式同时成立，则称事件A、B、C相互独立. 现在,可以讨论更一般的情形.设A1,A2,…,An是n个事件,如果对于任意的k(1<k≤n)和任意的一组1≤i1<i2<…<ik≤n,都有等式  成立,则称A1、A2、…、An是n个相互独立的事件．由此可知n个事件的相互独立性，需要有  个等式来保证. 三、独立性的应用--并联系统与串联系统的可靠性: 在前面的讨论中已经指出：事件的独立性可以使得实际问题的计算得到简化，下面是一个应用的例子。 [例4] 见教材P.46例1.23. 这是一个颇有启发性的例子．用相同的元件组成一个系统,完成相同的功能，只是由于设计的联结方式不同，得到的可靠度就不同．从而告诫我们：事先应精心设计以提高产品（或工程）的可靠度，这是可靠性工程学中的-个重要课题. §1.7贝努里概型 教学目的要求： 使学生掌握贝努里概型的概念及其概率计算方法;使学生对于实际问题易于判断哪些属于贝努里概型,并学会运用所学知识解决有关问题,培养实际应用能力. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：贝努里概型是概率论中最重要的概型之一.正是通过对这个概率模型的不断地深入研究,才逐渐提出了概率论特有的课题,创造出相应的工具与方法.因此我们说它的引进大大推动了概率论的发展,它对后来概率论的研究有着不可估量的影响. 贝努里概型在应用上也很重要,是概率论其他内容的重要基础,必须较好地掌握它. 2．教学重点：贝努里概型的概念、应用及概率的计算. 3．教学难点：贝努里概型的实际应用. 教 学 过 程 ： 现在用事件的独立性来研究一类问题． 如果我们一次抛掷n枚相同的硬币，要求“恰好出现k个正面”这一事件的概率Pn(k),这样一个“一次抛掷n枚相同硬币”的随机试验，可以用另一种等价的方式来进行：每次抛掷一枚硬币，共抛掷n次．容易理解，这n次抛掷的结果是相互独立的，因而如果把相同条件下抛掷一枚硬币看作是一次试验，就意味着这n次试验是相互独立的．这里所谓“试验是相互独立的”，意思就是说试验的结果是相互独立的. 一、贝努里概型的概念: 一般地说，如果试验E只有两个可能的结果：A及, 并且P(A)=p，P()=1-p=q(其中0<p<1),把E独立地重复n次构成了一个试验,这个试验称作n重贝努里(Bernoulli)试验.有时简称为贝努里试验或贝努里概型,并记作En. 由此可知,上述一次抛掷n枚相同硬币的试验就可以看作是一个n重贝努里试验. 一个贝努里试验的结果可以记作： ω=(ω1,ω2, …,ωn) 其中的ωi(1≤i≤n)或者为A或者为,因而这样的ω共有2n个(为什么？),它们的全体就是这个贝努里试验的样本空间Ω,对于ω=(ω1,ω2,…,ωn)∈Ω,如果ωi(1≤i≤n)中有k个为A,则必有n-k个为,于是由独立性即得: P(ω)=pkqn-k. 比如n=5,ω=(A,,A,,),则 P(ω)＝p·q·p·q·q＝p2q3. 如果要求“n重贝努里试验中事件A出现k次”这一事件的概率,那也是很容易的.为此记 Bk＝{n重贝努里试验中事件A出现k次} 由概率的有限可加性即得 P(Bk)=. 对于ω∈Bk,已知P(ω)=pk·qn-k,而Bk中这样的ω共有个,所以 P(Bk)= pkqn-k, 0≤k≤n 回到本节开始时提出的问题,如果硬币是均匀的,则p＝1/2,于是“抛掷n枚相同的硬币,恰好出现k个正面”这一事件的概率为Pn(k)=  这就解答了问题. 二、讲解例题: [例1] 金工车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12分钟,且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床,问这10台机床能够正常工作的概率为多大? [解] 50千瓦电力可同时供给5台机床开动,因而10台机床中同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作.而每台机床只有“开动”与“不开动”两种情况,且“开动”的概率为12/60=1/5,“不开动”的概率为4/5.设10台机床中正在开动着的机床台数为,则P(=k)=, 0≤k≤10 于是同时开动着的机床台数不超过5台的概率为 P(≤5)= 由此可知这10台机床能正常工作的概率为0.994,也就是说这10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影晌.因为在电力供应为50千瓦的条件下,机床不能正常工作的概率仅为0.006,相当于在一个工作班的8小时(即480分钟)内,不能正常工作的时间只有480×0.006=2.88分钟,还不到3分钟. [例2] 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强,当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时,校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式,提了三种方案: （1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人; 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问:对系队来说,哪一种方案有利？ [解] 设系队得胜人数为,则在上述三种方案中,系队胜利的概率为 (1)  (2)  (3)  由此可知第一种方案对系队最为有利(当然,对校队最为不利).这在直觉上是容易理解的,因为参加比赛的人数愈少,系队侥幸获胜的可能性也就愈大.如果双方只出一个人比赛,则系队胜利的概率就是0.4,这不是很明显的事情吗! [例3] 某人有一串m把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.有一天该人酒醉后回家,下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开门,问该人在第k次才把门打开的概率多大？ [解] 因为该人每次从m把钥匙中任取一把(试用后不做记号又放回),所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰被选中的概率为1/m,易知这是一个贝努里试验．在第k次才把门打开,意味着前面的k-1次都没有打开,于是由独立性即得 P(第k次才把门打开)=(1-1/m)…(1-1/m)·(1/m)=(1/m)·(1-1/m)k-1 贝努里概型是概率论中研究得最多的一种数学模型,尽管它比较简单,却也概括了许多实际问题,因而很有实用价值.由贝努里概型可以解决许多有意义的问题.值得一提的是,由贝努里概型可以解决一类随机游动的问题,这是一类富有启发性和广泛应用性的问题大家可以在《概率论》(复旦大学编,人民教育出版社,1979)中找到一些基本的介绍.