第五章 数理统计的基本概念 教学目的要求： 1.要求学生掌握数理统计的基本概念，如：总体、样本、样本分布函数、样本函数、统计量等。 2.会求样本分布函数，作直方图等处理数据的常用方法。 3.掌握样本均值、样本方差、样本原点矩、样本中心矩等常用统计量。 教学重点： 1.数理统计中常用的三大分布，如：-分布、t-分布、F-分布的定义和性质。 2.正态总体统计量的分布 教学难点： 正态总体统计量的基本性质。 §５.1 母体与子样、经验分布函数 一、数理统计的基本内容： 收集、整理、分析观测大量随机现象所得的实验数据。 二、数理统计的基本任务： 研究如何进行观测以及如何根据观测得到的统计资料，对被研究的随机现象的一般概念特征作出科学的推断。 三、基本概念： 总体：研究对象的全体所构成的集合（随机变量x可能取值集合代表总体某一指标）。 个体：组成总体的每一个单位。 样本：抽样结果得到x的一组实验数据（或观测值）。 样本容量：样本中包含的个体的个数。 四、基本原则： 随机抽样 即：等可能的独立的抽取 由样本推断总体 五、基本假设： 无限总体（n/N≤0.1经验值） 独立同分布 六、样本分布函数：（经验分布函数） 设总体x中抽取容量为n样本，得到下面的样本频率分布表： 观测值      … …    总 计  频 数     … …    n  频 率      … …    1   其中 <<… … < t≤n; =/n； =n； =1; 则有样本分布函数：  具有性质：⑴ 0≤（x）≤1 ⑵ （x）是非减函数 ⑶ （-）=0 （+）=1 ⑷ （x）在每个观测值 处是左连续的，且为跳跃的， 跳跃度等于频率 （i=1,2,3,… … t） 设总体分布函数为（x），当n→时，由贝努里大数定理知  P(（x）-（x）>）=0 可见当样本容量充分大时 （x）（x） 进一步由格里汶科定理  当n→时 P{（x）-（x）}0 §5．2 统计量及其分布 一、样本函数： 从总体中抽取样本，，… …,,得到的观测值分别是，，…, ， 则函数 g(，，… …,)叫样本函数（n维随机函数）。 二、统计量： 样本函数g(，，… …,)中不含任何未知参数的随机变量。 三、常用统计量： ⑴ 样本均值= 观测值= ⑵样本方差==  观测值= = 通常分母n换成n-1，以保证无偏性。 ⑶样本标准差　观测值　； ⑷样本的k阶原点矩　 观测值　 ⑸样本的k阶中心矩观测值； 其中Ｕ1０　　＝　　 其中　观测值＝＝ 当样本容量较大时，观测值 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 四、数理统计中的常用分布： 　⑴　-分布：　设随机变量，，… …,相互独立，并且都服从正态分布 N(0,1),则＝… …+的概率密度 　　　　　x＞0; 0 x≤0; Th1 k 2*k; Th2 设与独立，且　　 则 Th3 上侧分位数，满足的数则给定 ０<<1; 2.　t-分布： 　　 则随机变量t=的概率密度为 　当自由度k,t-分布趋近与标准 正态分布N(0,1) 3. F-分布: 　 则 的概率密度为： ＝　　　x＞0; =0 x≤0; 其中 分子自由度（第一自由度） 分母自由度（第二自由度）； §5.3 次序统计量 Def 5.3第i个次序统计量ξ(i):是关于子样ξ1，ξ2，、、ξn的函数，无论ξ1，ξ2，、、、ξn取得怎样一组观测值x1,x2,、、、xn,它总是以其中第i个顺序值x(i)为其 观测值. 注：⑴ n个次序统计量，ξ（1）≤ξ（2）、、、≤ξ（n） ξ（1）为最小次序统计量 ， ξ（n）为最大统计量 ⑵ ξ1，ξ2，、、ξn相互独立 ，不一定有ξ（1）ξ（2）、、、ξ（n）相互独立 ，如P243 例5.2中 P(ξ（1）=0)=19/27≠9/13 P(ξ（1）=0∣ξ（2）=1) 二、次序统计量的分布： （母体ξ是连续型） Th5.5 若 母体ξ有密度函数f（x）>0,a≤x≤b 分布函数F（x）,( ξ1，ξ2，、、ξn)为取自母体的一个子样，则第i个次序统计量ξ(i)的密度函数    证明： 事件{第i个次序统计量ξ(i) （y,y+）} {ξ（1）ξ（2）、、、ξ（n）∈(a,y), ξ(i)(y,y+) , 而  k=1,2、、、I+1  t=I+1,、、、、、    令 时， 由的连续性知   例   为容量为4 的 ， 求 的密度函数和分布函数 求 解：      Cor1:最大次序统计量的密度函数为 Cor2: 最小次序统计量 的密度函数为 Th5.6: 任意两个次序统计量的联合分布密度函数为  证s=1,2,3,、、、、I-1, k=I+1,、、、、j-1, =j+1,、、、、、、、n 当 a时 当 时 定理得证 其它统计量： 1 、 极差 2、 子样中位数 若n为奇数 若n为偶数 3、母体的P-分位数 ：若， 为母体分布函数 4、子样的P-分位数，若k=的次序统计量 Th3: 若母体有密度函数 ， 为P-分位数，若在x=处连续且 大于零 ，则