§3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 教学目的要求： 掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等几个基本概念及其性质,并会求一些随机变量及函数的数学期望与方差,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：在前面我们研究了随机变量及其函数的分布,这是关于随机变量的一种完全的描述.然而在很多情况下,关于随机变量的研究,我们需要知道的并不要求这样完全,而只须知道关于它的一些数字特征就够了.在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中,最重要的就是随机变量的数学期望、方差及矩.学习本节,要求学生掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等基本概念及性质,并会求一些随机变量及函数的数学期望与方差. 2．教学重点：随机变量的数学期望与方差等基本概念,一些随机变量及函数的数学期望与方差的求法. 3．教学难点：会求一些随机变量及函数的数学期望与方差. 教 学 过 程 ： 一、导入: 我们已经知道离散型随机变量的数学期望为:  现在,自然要问连续型随机变量的数学期望是什么？我们就来讨论这个问题。 设是一个连续型随机变量,密度函数为p(x),取分点: x0<x1<…<xn+1 则随机变量落在=(xi,xi+1)中概率为: P(∈)= 当相当小时,就有 P(∈)≈p(xi), i=0,1,…,n 这时,分布列为:  的离散型随机变量可以看是的一种近似,而这个离散型随机变量的数学期望为:  它近似地表达了连续型随机变量的平均值.当分点愈密时,这种近似也就愈好,由数学分析知上述和式以积分为极限,因而我们有下定义: 二、连续型随机变量及其函数的数学期望: 1.定义: 定义3.7 设是一个连续型随机变量,密度函数为,当时,称的数学期望存在,且E=. 这里要求的理由与离散型时要求的理由是相同的.同离散型情形一样,连续型随机变量的数学期望E是的可能取值(关于概率)的平均. [例3.17] 设在[a,b]上均匀分布,求E. [解] 由例3.1知的密度函数为: p(x)= 故 E===. 这个结果是显然的.因为在[a,b]上均匀分布,它取值的平均值当然应该在[a,b]的中间,也就是. [例3.18] 设的密度函数是参数为的指数分布,求E. [解] E==-==. 指数分布是最有用的“寿命分布”之一,由上述计算可知,一个元器件的寿命分布如果是参数为λ的指数分布,则它的平均寿命为.如果某种元器件的平均寿命为10k(k=1,2,…)小时,则相应的λ=10-k.在电子工业中人们就称该产品是“k级”产品.由此可知,k越大,则产品的平均寿命越长,使用也就越可靠. [例3.19] 设ξ是N(μ,σ2)分布的随机变量,求Eξ. [解] 有: Eξ= 令z=,则: Eξ===μ. 由此可知,正态分布N(μ,σ2)中的参数μ恰是服从该分布的随机变量的数学期望. [例3.20] 若随机变量ξ的密度函数为p(x)=,问Eξ是否存在？ [解] 因为 =∞ 所以Eξ不存在. 以(3.64)式为密度函数的分布,称为柯西(Cauchy)分布. 离散型 连续型  值域 ξ=ai,i=1,2,… -∞<ξ<+∞  概率元素 pi=P(ξ=ai) p(x)dx  P(a≤ξ≤b)    P(ξ<x)    Eξ    Ef(ξ)  ?  这一节,为了引出连续型随机变量数学期望的定义,我们用离散型随机变量去近似一个连续型随机变量,这是一个非常有用的方法,通常称为是“把连续的问题离散化”.通过离散化,可以把离散场合的许多概念和结论推广到连续的场合,也可以对连续场合的问题作近似计算.由此可以想到,把离散型和连续型随机变量的有关概念和计算式加以比较是有意义的,右表就是这样的对比: 在表中可以看到对离散型随机变量分布列pi求和的式子,对连续型随机变量全部变成对密度函数p(x)求相应的积分.这是很有启发性的,读者可能知道当年门捷列夫在作出化学元素周期表以后,曾利用这个元素周期表对当时尚未发现的元素作了科学的预测.现在我们也可以对表中的“?”作预测.若ξ是连续型随机变量,密度函数为p(x),你一定能想到这时应该有: Ef(ξ)=. 人们的确证明了下面的定理. 2.定理: 定理3.2 若ξ是连续型随机变量,密度函数为p(x),又f(x)是实变量x的函数,且  则有: Ef(ξ)= 如果f(x)满足定理3.1的条件,那么利用定理3.1即可证明本定理(定理的严格证明可以参阅[1]).对多维情形也有类似的定理,仍以二维为例,有 定理3.3 设(ξ,η)是二维连续型随机变量,密度函数为p(x,y),又f(x,y)是二元函数,则随机变量ζ=f(ξ,η)的数学期望为: Eζ=Ef(ξ,η)= 这里,当然也要求上述积分为绝对收敛. 3.性质: 如同离散型随机变量,连续型随机变量的数学期望也具有下述性质: (1) 若a≤ξ≤b,则Eξ存在,且a≤Eξ≤b; (2) 对任一二维连续型随机变量(ξ,η),若Eξ、Eη存在,则对任意的实数k1、k2,E(k1ξ+k2η)存在且E(k1ξ+k2η)=k1Eξ+k2Eη; (3) 又若ξ、η相互独立,则E(ξη)存在且E(ξη)=Eξ·Eη. 这些性质的证明也与离散型场合相同,只要把那里的和号“∑”换成积分号“∫”,并把分布列换成密度函数就可以了,我们把它留给大家作为—个练习. 接下来大家大概会想到应该讨论连续型随机变量的方差了.正是如此,在前一章中已经知道E(-E)2可以衡量随机变量离开它的均值E的平均偏离程度,因而我们理所当然地有下述定义. 二、连续型随机变量的方差: