第八章 方差分析和回归分析 §8.1 方差分析 教学目的: 1.了解单因素实验的方差分析. 2.了解双因素无重复实验的方差分析及双因素重复实验 的方差分析. 二、教学重点:单因素实验的方差分析. 三、教学难点:双因素重复实验的方差分析. 四、教学过程： (一)单因素的方差分析 单因素实验:为了考察某个因素A对所研究的随机变量X的影响是否显著,实验时让其他因素保持不变,仅让因素A改变. 水平:因素A在实验中所取的不同状态. 用 A,A,…………,A. 方差分析:检验同方差的若干正态母体均值是否相等的一种统计分析方法., 设在A水平下的实验结果Y~~N(u,) i=1,2,…,r. (分组总体) 每组进行七次实验,获得七次实验结果, .j=1,2,…,t, (组内观测值) 随机误差,与的差. ~~ N(0,). 的数据结构构成形式 = i=1,2,…,r: j=1,2,…,t. 检验:  引入 ① 一般平均 =. ②因素A在第i 个水平A下的效应 ==. 则. 此时 , 因此要检验的原假设为 :  各组内样本均值 == 。 总的均值 == （其中n=rt） 统计量：总的偏差平方和  = 由于 = =+ = 其中 ①称组内平方和（误差平方的偏差和）反映了实验过程中各种随机因素所引起的随机误差。（偶然误差）  = ②：称为组间平方和，反映了各组样本之间的差异程度，即由于因素A的不同水平所引起的系统误差。  = = = = =r（t-1） =（n-r） = =+ =+- =+ 若为真 ，则及均为的无偏估计。 故， =的比值不能太大，否则不真。 由于一切~ ~ 且相互独立 。 由于一切  根分布可加性  且 与相互独立 故， 。 赫伦定理：设x为n个独立N(0,1)的随机变量,Q=为x变量,若Q=Q Q++Q其中Q是某些正态变量的平方和。这些变量分别是 x,xx的线性组合，其自由度为f，则若Q相互独立，且为X()变量 () 证： 必要性： 若QQ,Q相互独立 且Q～x  则由-分布的可加性知Q=Q～x() 又有Q～x 从而 n= 充分性： 设为正态变量  且Q 由假设知 在中必可选出个，而其余的可由这个线性表示，不妨设，可由线性表示，代入Q得：Q为的一个非负二次型 化成标准二次型Q=  是的线性组合，由于是x的线性组合。 (二)双因子方差分析 设在某实验中，二因子在变动，因子取个不同水平因子取S不同水平 在水平组合下的实验结果独立的服从 引入：       则  一．若 无交互的方差分析模型  检验假设    2. 构造统计量 ～ ～ 给出显著性水平，查分布表，确定拒绝域 计算值 = 其中= S== S== S=S-S-S 其中： S 是由随机因素所引起的偶然误差 S是由因素A的不同水平所引起的系统误差 S是由因素B的不同水平所引起的系统误差 理论依据 引理1 证 S = S+S+S S==++  （其中交叉项乘积的代数和为零） 在H，H为真时。 （2） S~ S~ 由线形关系式=0 S~ 由线形关系式=0 S中有r+s个线形关系式   且只有r+s-1个相互独立的 其自由度rs-（+s-1）=（r-1）（s-1） 例P 二．交互作用下的二因子方差分析。 =  （，其中n=rst） 与 与 与有类似前面的记法    S=  =(+(+() = ++st +rt =++ 理论依据： （r-1）   S~X（rst-1） 由于rst-1=rs（t-1）+（r-1）（t-1）+r-1+s-1 S~X（rs（t-1）） P例8.3 作业.P8.2 §8.2线性回归分析的数学模型 一、教学目的 理解回归分析的基本的概念，掌握一元线性回归方程。 掌握线性相关性的显著性检验 会利用一元线性回归方程进行预测 了解一些可线性化的非线性回归及多项式回归问题 了解二元线性回归分析 二、教学重点： 1.线性回归分析及其常用方法——最小二乘法。 2.二元线性回归分析。 三、教学难点： 1.运用相关数学软件计算线回归分析中有关统计量的观测值的方法 2.决线性回归分析问题 引入 1.现实世界中变量之间的关系可以分成两大类 一类：确定性的关系：如U=IR，S=R等 二类：非确定性的关系：如血压与年龄 （不能用一个确定的函数关系式表达出来） 随机变量（至少其中一个是随机变量）之间的关系 回归分析： 1.寻找这类不确定的变量间的数学关系式，并进行统计推的一种方法。 （最简单的关系式是线性回归） 2设x是可以精确测量或控制的非随机变量，y是s随机变量。当X取x时，Y的概率分析与x有关，则称Y与X之间有相关关系。 当X取x时，y的概率分析与 X有关，则称 Y X 之间有相关关系。 当X=x时 E（y）= 作为y的估计值 即 =称作y关于x的回归方程 3. 线性回归分析：  即试验结果y的一部分由x的线性函数引起 ，另一部分有由随机因素引起  进行若干次独立试验，得到的结果为 由  4．多元回归分析  n组观测植   解决问题 根据样本估计未知参数 对此数量关系式的可信度进行统计检验。 检验各变量 分别对指标是否有显著性影响。 二 参数估计  Q()=min() = 由最小二乘法原理 令 j=1，2，……p 即：正规方程组  1.用矩阵形式表示： 为结构矩阵 为正规系数矩阵。 为常数项矩阵，此时 最小二乘估。 对应 的预测值。=+++ 2.估计 （1）残差 实测值与回归值的差。 （2）残差向量 =-=-=[] 残差平方和（剩余平方和） = = =-+- =- = 定理8.2 =(n-p-1) =E=E=E= E=E=E( = ==0 E=D=D =D = E= = == Cor1: 为 的无偏估计。 例1． 求一元线性回归  中参数 ，的最小二乘估计及 的无偏估计。 解： 令   正规方程组  即  解出  其中      例8．6 求 P元中化回归模型：   中参数 的最小二乘估计与的无偏估计。 其中 解：先解出结构矩阵     其中   正规方程组    即