第四章 大数定理与中心极限定理 教学目的要求 1.了解随机变量序列的两种收敛性,即随机变量序列{}依概率收敛于,分布函数列{F(x)}弱收敛于分布函数F(x). 2.了解贝努力大数定理,车贝晓夫大数定理,辛钦大数定理及其应用. 3.了解列维定理(独立同分布的中心极限定理)与德莫弗—拉普拉斯定理.并会运用这些定理近似计算事件的概率. 教学重点 1.大数定理及其应用 2.中心极限定理及其应用 教学难点 1.辛钦大数定理 2.中心极限定理的应用 §4.1大数定律 引入 讨论概率“逐渐稳定于”频率问题:n重贝努力试验中事件A出现的概率为P,若通过观察,在n次试验中出现频率为u,是否有=P.即0,是否存在充分大的整数N,使对一切n>N有P.如:事件A出现n次,即,此时有可能发生=.于是=1.从而无论多么小的(0<<1-P),不存在N,当n>N时,使P成立.但事件{}发生的可能性很小.如:u=n.P(=1)=P(u=n)=P0(n). 定理4.1(贝努力大数定理)n重贝努力试验中事件A出现的概率为P,若在n次试验中出现频率为u,则P.即. 证明:令=,1.则,……是n个相互独立的随机变量,且E=P,D=q. 而=,D(u)=nD=npq,且-p==. 由车贝尔晓天不等式有: P(/-P/)=P(/-E()/n==0(n),即证. 实质上,讨论形如的随机变量在n0时的统计规律,其中{}是独立的服从同一个0-1分布的随机变量. 定义4.1若,,……是随机变量序列,如果存在常数列aa,……,使对任意的>0,有P(/-a/)=1,则称随机变量序列{}服从大数定理. 因此,得到比贝努力大数定理更广泛一些的契贝晓夫大数定理. 定理4.2设,,……是一列两两不相关的随机变量,且它的方差一致有界.即常数c>0,使Dc(i=1,2,…..)则对0有P(|-|<)=1. 证:P(|-|)==,(n). 推论1:(Possion大数定理)在一系列独立试验中,事件A在第k次出现的概率为Pk,则,有P()=1.(k=1,2,…). 证:此时D=由Th4.2可证. 推论2:习题P(马尔科夫大数定理) 进一步,将方差存在这个条件减弱,另一条件加强,独立同分布. Th4.3(辛钦大数定理):设……是一列独立同分布的随机变量,且数学期望E=A存在 (i=1,2……).则0有(||)=1. 大数定理本质是:当n很大时,随机变量在n次观察中的算术平均值会“靠近“它的期望值.即依概率收敛于a. 二、应用 例4.1设为独立分布随机变量序列,均服从参数为的Possion分布.由于E,D,因而P(/)=1. §4.2随机变量序列的两种收敛性 一、依概率收敛和依分布收敛 定义4.2设有一列随机变量 ……,若0有P(/)=1,则称随机变量序列{}依概率收敛于.并记作或(n). 相应的分布函数列{F(x)}是否有F(x)=F(x). 例4.2设都是服从退化分布的随机变量,且P(=0)=1. P(=-)=1,n=1,2,… 于是,0,当n>时有P()=P()=0,所以().此时的分布函数F(x)=的分布函数(x)=. 当x0时有F(x)=F(x)当x=0时F(X)=0=F(0).但此时x=0恰好是F(X)的不连续点. 定义4.3设F(x),(x),(x)…是一列分布函数.若对F(x)的每个连续点x,都有=F(x)成立,则称分布函数列{(x)}弱收敛于分布函数F(x).记作(x)F(x)(n). 定义4.4设随机变量序列(=1,2,3,…)的分布函数(x)弱收敛于随机变量. 则称依分布收敛于.并记作(n). 二、两者关系 Th4.4若(n)则(x)F(x)(n). 证:,R,由(<)=(,<)(x,<) (<x)(x,<),有F()(x)+P(). 若<x,由知P()P(x-)0(n),所以,有F()(x). 若>x同理可证(x)F(). 当<x≤,有≤≤(x)≤F().令x,,有F(x-0)(x)≤(x)≤F(x+0). 如果x是F(x)的连续点有(x)=F(x). 注意:(1)这个定理的逆不成立. 例4.3抛掷一枚均匀硬币.记=正面,=反面.则P()=P()=1/2.(w)=为一个随机变量,其分布函数为F(x)=. 若令(w)=-(w),显然(w)与(w)具有相同的分布函数,再令=,的分布函数记为(x),此时(x)=F(x).此时有(x)=F(x)=F(x),当然(x)F(x)(n),而对恒有P(>)=P(>)=10,可见不成立. (2)Th4.4的特殊情况. Th4.5随机变量序列C(C为常数)的充要条件为(x)F(x).其中F(x)是C的分布函数,即F(x)=. 证:必要性由Th4.4给出.充分性: ,P(>)=P(C+)+P(C+)=1-(C+)+(C-+0)1-1+0=0. Th4.6.特征函数的连续性定理.分布函数列{(x)}弱收敛于分布函数F(x)的充要条件为相应的特征函数列{(T)}收敛于F(x)的特征函数(t). 运用此定理可证明辛钦大数定律. 推广Th4.4:随机变量序列依概率收敛的四则运算性一般有如下:斯鲁茨基定理成立. Th4.7舌{},{},…,{}是k个随机变量序列,并且(n),(I=1,2,…,k)又R(,,…,)是k元变量的有理函数且R(,,…,),则有R(,,…,)R(,,…,),(n). §4.3中心极限定理 进一步研究独立随机变量和的分布,先进行中心化,,自加上的比分子取值增长快的因子n,0.现在,使分母放上一个增长不快不慢的因子.标准化=,此时E.讨论其分布函数的极限. Th4.8在n重贝努力试验中,事件A在每次试验中(DeMoivre-Laplace)出概率为P(0<p<1),为n次试验事件A出现的频率,则()=dt. 这个定理是Lindeberg-levy定理的一个特例. Th4.9若,,…,是一列独立同分布的随机变量.且E,k=1,2,…,则有=dt. 二、应用 1.设服从二项分布,即P(u=k)=pq0.当n很大时,P(au<b)=pq计算量大.但P(a<b)=P(). 当n->时,P()=,所以P(a<b) =.查正态分布表即可. 特别地P(=P(=P( ==2. 或P(=2. 例4.5某单位内部有260部电话分机,每个分机有4%要用外线电话(可以认为各个分机用不用分机是独立的)问总机需要多条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候? 解:令=是第i个分机用外线和不用外线的情况,其中i=1,2,3……,260,则有q=1-p=0.06;260架分布同时使用外线的分机数为,即=.求最小整数x使≥0.95,即=. 查表知:x=1.65*+260p=15.6116.