概率论与数理统计
讲授 印凡成
河海大学数学系列基础课程 CAI
本课程与其他数学基础课的关系
?微积分
?线性代数
序 言
一,确定性数学
初等数学、高等数学 (微积分 )、线性代数等
二,随机数学 ---以概率论为代表
1.赌博 人口统计 出生率 性别等
2.非确定性现象, 抛硬币 掷骰子 发大水等
3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学
---概率论
三,理论联系实际最活跃的学科
1.应用性,
概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、
科技等领域
2.渗透性,
与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究
方向。 例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠
性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、
数量经济等
四,概率论的内容构成
基础部分 ---概率论,
古典概率 随机变量及其分布
分布函数 数字特征等
应用部分 ---数理统计,
统计量构造 参数估计
假设检验 回归分析等
深入部分 ---随机过程,
马尔可夫过程 平稳过程
随机分析等
第一章 随机事件和概率
? 随机试验
? 样本空间、随机事件
? 频率和概率
? 古典概型
? 几何概型
? 概率的公理化结构
? 条件概率
? 事件的独立性
? 贝努里概型
1.1 随机试验
一、随机试验 (简称“试验” )的例子
随机试验可表为 E
E1,抛一枚硬币，分别用,H” 和,T” 表示出正面和反面 ;
E2,抛两枚硬币，考虑可能出现的结果；
E3,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数 i;
E4,掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；
二、随机试验的特征
E5,记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；
E6,对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果 ;
E7,在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
1.可在相同条件下重复进行 ;
2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果 ;
3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1、样本空间,所有基本事件组成的集合称为样
本空间，记为 ?={?}；
2、样本点, 样本空间的元素称为样本点，样本点
即基本事件，记为 ?.
例如
对应 E1的 样本空间为 ?={H,T}；
对应 E2的 样本空间为
?={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}；
对应 E5的 样本空间为 ?={0,1,2,… } ；
二、随机事件
1.定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫
“随机事件”,简称“事件”,
2.基本事件, 不可能再分解的事件,即试验的结果，
常记为,?”,
3.两个特殊事件, 必然事件 Ω、不可能事件 ?.
任何事件均是某些样本点组成的集合,
例如 对于试验与 E5,以下 A, B即为两个 随机事件,
A＝,至少出一个正面” ＝ {(H,H),(H,T),(T,H)}；
B＝,至少 m次少于 n次”＝ {m,m+1,…,n － 1}。
三、事件之间的关系
1.包含关系,,A发生必导致 B发生”记为 A?B
A＝ B ? A?B且 B?A.
2.和事件, A?B
3.积事件, A?B＝ AB
4.差事件、对立事件 (余事件 ),A－ B称为 A与 B的差事件
5.互 不相容性,AB＝ ?
A,B互为 对立事件 ?A?B＝ ?,且 AB＝ ?;BABA;BBB ????? 易知的对立事件称为
四、事件与集合对应关系类比
概率论 集合论
样本空间 ?＝ {?}
事件 子集
事件 A发生 ??A
事件 A不发生 ??A
必然事件 ?
不可能事件 ?
事件 A发生导致事件 B发生 A?B
概率论 集合论
事件 A与 B至少有一个发生 A?B
事件 A与 B同时发生 A?B(或 AB)
事件 A发生而 B不发生 A－ B
事件 A与 B互不相容 AB＝ ?
五、事件的运算
1、交换律,A?B＝ B?A,AB＝ BA
2、结合律, (A?B)?C＝ A?(B?C)，
(AB)C＝ A(BC)
3、分配律, (A?B)C＝ (AC)?(BC)，
(AB)?C＝ (A?B)(B?C)
4、对偶 (De Morgan)律,
.AA,AA
BAAB,BABA
k
k
k
k
k
k
k
k ????
??
??
??
可推广
1.3 频率与概率
一、频率
1.定义 事件 A在 n次重复试验中出现 nA次，则比值
nA/n称为事件 A在 n次重复试验中出现的频率，记为 fn(A),
即
fn(A)＝ nA/n.
2.频率的性质
(1) 非负性,fn(A) ≥ 0；
(2) 规范性,fn(?)＝ 1；
(3) 可加性：若 AB＝ ?, 则
fn(A?B)＝ fn(A) ＋ fn(B).
实践证明：当试验次数 n增大时,fn(A) 逐渐
趋向一个定值 。
二, 概率
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀
质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者 n nH fn(H)
De Morgan 2048 0161 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K,Pearson 12000 6019 0.5016
K,Pearson 24000 12012 0.5005
1.定义 若对随机试验 E所对应的样本空间 ?中的每一事件
A,均赋予一实数 P(A),集合函数 P(A)满足条件：
(1)非负性, 对任 一事件 A,有 P(A) ≥ 0；
(2) 规范性, P(?)＝ 1；
(3) 可列可加性, 设 A1,A2,…,是一列两两互不相容的事
件，即 AiAj＝ ?,(i?j),i,j＝ 1,2,…,有
P( A1 ?A2 ?… )＝ P(A1) ＋ P(A2)+…,(1.1)
则称 P(A)为事件 A的 概率 。
2.概率的性质
(1) 不可能事件概率零, P(?)＝ 0； (1.2)
(2) 有限 可加性, 设 A1,A2,…A n,是 n个两两互不相容
的事件，即 AiAj＝ ?, (i?j),i,j＝ 1,2,…,n,则 有
P( A1 ?A2 ?… ?An)＝ P(A1) ＋ P(A2)+… P(A n); (1.3)
(3) 单调不减性,若事件 B?A,则 P(B)≥ P(A),且
P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)； (1.4)
(4) 互补性, P(A)＝ 1－ P(A),且 P(A)? 1 ; (1.5)
(5) 加法公式,对任意两事件 A,B,有
P(A?B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB) (1.6)
公式 (1.6)可推广到 任意 n个 事件 A1,A2,…, An的情形；
(6) 可分性, 对任意两事件 A,B,有
P(A)＝ P(AB)＋ P(AB ), (1.7)
一般的，有如下定义
定义 事件组 A1,A2,…, An (n可为 ?)，称为样
本空间 ?的一个划分 (或完备事件组 )，若满足：
.n,.,,,2,1j,i),ji(,AA)ii(;A)i(
ji
n
1i
i
????
??
?
?
1.4 古典概型
一、古典概型的特征
1.有限性：样本空间 ?＝ {?1,? 2,…,? n };
2.等可能性,P(?i)＝ 1/n,(i＝ 1,2,…,n),
古典概型也称为 等可能 概型。
二、古典概型的计算公式
P(A)＝
n
Ak
n
kA )(＝＝
中样本点总数
中所含样本点数
?
设事件 A中包含 k个样本点 (基本事件 )
例 1,掷一颗骰子，求出 6点的概率。
例 2,做试验 E：,将一枚硬币连抛 2次”,
观测出正、反面的情形。
(1) 写出 E的 样本 空间；
(2) 设 A1＝,恰有一次出正面”,求 P(A1)；
(3) 设 A2＝,至少出一次正面”,求 P(A2).
例 3,袋中有 6只乒乓球，其中 4白 2红，现从中
取二次，每次取一只 (分别考虑 有放回 和 无放回
取球的情形 )。求
(1) 全是白球的概率；
(2) 两球色相同的概率；
(3) 至少一只白球的概率。
三、古典概型的几类基本问题
1、抽球问题 设袋中有 N个球，其中有 M
个白球，现从中任 抽 n个 球，问这 n个 球中恰
有 k个白球的概率是多少?
2、取数问题 设有 1～ 7七位数字,从中
任取三个不同的数字组成一个三 位数,求 这
三 位数是偶数的概率。
3、分配问题 把 n个 球随机地
分配到 m个盒子中去,问 每盒中
至多 有一 球的概率是多少？
4、配对问题 从五双不同的鞋
子中任意地取出四只，问其中至
少有两只成双 的概率是多少?
例 4,设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到 N个房
间中的任意一间去住 (n?N),求下列事件的概率：
(1)指定的 n个房间每个房间各有一人 ;
(2)恰好有 n个房间，每个房间各有一人。
例 5,某班级有 n 个人 (n?365)，
问至少一两个人的生日在同一天
的概率有多大？
例 6,(De Mere问题 )一颗 骰子掷 4次至少得一个六点
与两颗骰子掷 24次至少得一个双六，这两件事，哪
一个有更多的机会遇到？
1.5 几何概型
一、几何概型的特征
1.基本事件数无限, ?＝ {?},?充满区域 ? ；
2.等可能性,随机点落在某区域 g的概率与区域
g的测度 (长度、面积、体积等 )成正比，而与其
位置及形状无关。
二、几何概型的计算公式
的测度
的测度＝
?
g)A(P
g
其中 Ag表示“在区域 ?中随机地取一点落在 区域 g中
”
这一事件。
例 1,(会面问题 )两人相约 7点到 8点在某地
会面，先到者等候另一人 20分钟，过时可
离去，试求两人会面的概率。
例 2,(蒲丰 (Buffon)投针问题 )1777年法国
科学家蒲丰提出了下列著名问题：
平面上画着一些平行线，它们
之间的距离都等于 a,向此 平面上 任
投一长度为 l(I<a)的针，试求此针与任一 平行线相交的
概率。
a l
x ?
可求得其概率
a
l2P
?＝
利用蒙特－卡洛 (Monte-Carlo)法可求得圆周率 ?
的近似值。 (参见教材 P.13)
1.6 概率的公理化结构
公理 1 事件域公理
样本空间 ?的部分子集所组成的集合 F若满足以下
三个条件,
(F.1) ??F；
(F.2) 若 A?F, 则 A＝ ?－ A ? F；
(F.3) 若有一列 Ai?F,i＝ 1,2,…,则可列和,
则称其为 ?上的 ?域 (或 ?代数 )，也 称其为 ?上的 事件 域 。
二元体 ( ?,F )称为 可测空间。
?? ?
1i
i FA
＝
由公理 1可推得如下 性质,
(1) ??F;
(2) 若 A,B?F,则 A?B ?F,A－ B ?F,AB ?F;
(3) 若有一列 Ai?F,i＝ 1,2,…,
则,
FA
1i
i ?
?
?
＝
公理 2 概率公理 设 (?,F)为可测空间，在事件域 F上
定义一个实值函数 P(A),A?F,满足：
(1)非负性,P(A)?0,对任意 A?F;
(2)规范性,P(? )＝ 1;
(3)可列可加性：若有一列 Ai?F,i＝ 1,2,…,A iAj＝ ?,使得
则称 P(A),A?F为 ?域 F上的 概率测度,简称“, 概率” 。
满足公理 1和公理 2的三元体 (?,F,P)称为概率空间。
?
?
?
?
?
?
1j
j
1j
j )A(P)A(P ?
1.7 条件概率及概率计算公式
一、条件概率
设 A,B是 ?中的两个事件，即 A,B ?F,则
(1.7.1)
称为事件 A发生的条件下事件 B发生的 条件概率 。
条件概率 P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式
计算之外，也可在缩减的样本空间 ?A里直接计算。
)A(P
)AB(P)A|B(P ?
二、乘法公式
例 1,一只盒子中混有 100只新, 红 白
旧乒乓球，各有红、白两色，分 新 40 30
类如右：若取得的是一只红球,旧 20 10
试求该红球是新球的概率。
设 A,B?F,则
P(AB)＝ P(A)P(B|A),(1.7.2)
式 (1.1.7)就称为事件 A,B的概率 乘法公式 。
式 (1.1.7)还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝ P(A)P(B|A)P(C|AB),(1.7.3)
一般的，有下列公式：
P(A1A2…A n)＝ P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…A n－ 1),(1.7.4)
例 2,袋中有十只球，其中九白一红，十人依次从袋
中各取一球 (不放回 )，问第一个人取得红球的概率是
多少？第二、第三,…,最后一个人取得红球的概率
各是多少？
三、全概率公式与贝叶斯 (Bayes)公式
定理 1,设 A1,…,A n是 ?的一个划分，且 P(Ai)>0，
(i＝ 1,…, n),则对任何事件 B?F,有
(1.7.5)
式 (1.7.3)就称为 全概率公式。
?
?
n
1i
ii )A|B(P)A(P)B(P ＝
例 3,某厂有三个车间生产同一种产品，已知三个车间
的产量分别占总产量的 1/4,1/4,1/2，且次品率分别
为 2％,1％,3％，试求该厂这种产品的次品率。
定理 1,设 A1,…,A n是 ?的一个划分，且 P(Ai) > 0，
(i＝ 1,…, n),则对任何事件 B?F,有
(1.7.6)
式 (1.7.4)就称为 贝叶斯公式 或 逆 概率公式。
)n,.,,,1j(,
)A|B(P)A(P
)A|B(P)A(P
)B|A(P n
1i
ii
jj
j ??
?
?
例 4,在无线电通讯中，由于随机因素的影响，当发
出短号,?” 时,收到,?”,“不清” 和长号“－”
的概率分别是 0.7,0.2和 0.1，当发出长号,?” 时，
收到“－”,“不清” 和, ?”,的概率分别是 0.9
,0.1和 0.若在整个发报过程中信号,?” 及“－” 出
现的概率分别是 0.6和 0.4，当收到信号“不清” 时，
试推测原发信号。
1.8 事件的独立性
一、两事件独立
定义 1,设 A,B是两事件，若
P(B)＝ P(B|A) (1.8.1)
则称事件 A与 B相互独立。
式 (1.8.1)等价于：
P(AB)＝ P(A)P(B) (1.8.2)
二、多个事件的独立
定理,以下四件事等价：
(1)事件 A,B相互独立； (2)事件 A,B相互独立；
(3)事件 A,B相互独立； (4)事件 A,B相互独立。
定义 2,若三个事件 A,B,C满足：
(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),
则称事件 A,B,C两两相互独立 ；若在此基础上还满足：
(2) P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C),(1.8.3)
则称事件 A,B,C相互独立 。
三、事件独立性的应用
一般地，设 A1,A2,…, An是 n个事件,如果对任意 k
(1?k?n),任意的 1?i1?i2 ?… ?in? n,具有等式
P(A i1 Ai2 … A in)＝ P(A i1)P(Ai2)…P(A in) (1.8.4)
则称 n个事件 A1,A2,…, An相互独立 。
1,加法公式的简化,若 事件 A1,A2,…, An相互独立,则
P(A1?A2 ?… ?An)＝ 1－ P(A1)P(A2) … P(A n) (1.8.5)
2,在可靠性理论上的应用
1.9贝努里概型
一、贝努里 (Bernoulli)概型
1.只有两个可能结果的试验称为 贝努里试验,常记为 E。
E也叫做,成功－失败试验”,,成功” 的概率常用 p＝ P(A)
表示，其中 A＝,成功”。
2.把 E重复独立地进行 n次，所得的 试验称为 n重 贝努里试验,
记为 En。
3.把 E重复独立地进行可列多次,所得的 试验称为 可列重
贝努里试验,记为 E?。
二、贝努里概型中几个重要事件的概率
以上三种贝努里试验统称为 贝努里概型 。
1.En中成功 k次的概率是
2.E?中首次成功发生在第 k次试验的概率是
3.E?中第 r次成功发生在第 k次试验的概率是
)nk0(,)p1(p knkknC ??? ?
,.,, )2,1k(,p)p1( 1k ?? ?
)kr1(,p)p1( rrk1r 1kC ??? ???
第二章 离散型随机变量及其分布
? 随机变量的概念
? 一维离散型随机变量的分布律
? 二维离散型随机变量
? 离散型随机变量函数的分布律
2.1 随机变量的概念
实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间
?＝ {?}＝ {H,T}
可规定随机变量
X＝ X(?)＝
随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函
数。
?
?
?
?
?
T0
H1
＝，
＝，
RX ??：
定义 设随机试验 E的样本空间是 ?,X＝ X(?),???是定义
在 ?上的一个单值实函数。若对任意实数 x,样本点 ?的
集合 {?| X(?)?x}＝ {X?x}是一随机事件，则 X(?)称为随机
变量，简记为 X,随机变量一般用英文大写字母 X,Y,Z
等表示,也可用希腊字母 ?,?,?等表示。
随机变量的分类：
随机变量
??
?
?
?
?
?
?
奇异型（混合型）
连续型
非离散型
离散型随机变量
2.2 一维离散型随机变量的分布律
一、分布律
1,定义 若随机变量 X取值 x1,x2,…,x n,… 且取这些值的概率
依次为 p1,p2,…,p n,…,则称 X为离散型随机变量，而称
P{X=xk}=pk,(k=1,2,… )
为 X的分布律或概率分布 。可表为
X～ P{X=xk}=pk,(k=1,2,… ),
或
X x1 x2 … x n …
P p1 p2 … p n … ~X
2,分布律的性质
(1) pk ? 0,k＝ 1,2,… ;
(2)
例 1 设袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑。现从中任取 3
只球 (不放回 )，求抽得的白球数 X为 k的概率。
解 k可取值 0,1,2
?
? 1k
k,1p ＝
.
C
CC}kX{P
3
5
k3
3
k
2
?
＝＝
二、几个常用的离散型分布
1,退化分布 (单点分布 )
X～ P{X＝ a}＝ 1,其中 a为常数。
2,(0－ 1)分布 (两点分布 )
X～ P{X＝ k}＝ pk(1－ p)1－ k,(0<p<1) k＝ 0,1
3,几何分布
X～ P{X＝ k}＝ (1－ p)k－ 1 p,(0<p<1) k＝ 1,2,…
4,二项分布 B(n,p)
X～ P{X＝ k}＝ pk(1－ p)n－ k,
(0<p<1) k＝ 0,1,2,…,n
knC
5,负二项分布
X～ P{X＝ k}＝ pr(1－ p)k－ r,k＝ r,r+1,…,
( r?1,0<p<1 )
负二项分布又叫巴斯卡 (Pascal)分布，可记为 NB(r,p).
6,超几何分布
X～
1r 1kC??
)M,nm i n (,.,,,2,1,0k,
C
CC}kX{P
n
N
kn
MN
k
M ?
?
?＝＝
??? e
!k
k
称 X服从参数为 (N,M,n)的超几何分布,
7,泊松 (Poisson)分布 P(?)
X～ P{X＝ k}＝,k＝ 0,1,2,… ( ??0)
三、常用分布律之间的关系
1,(0－ 1)分布和二项分布的关系
(0－ 1)分布是二项分布 B(n,p)中 n＝ 1时 的特款；
2,几何分布和负二项分布的关系
几何分布是负二项分布 NB(r,p)中 r＝ 1时 的特款；
3,超几何分布和二项分布的关系
定理 1 设在超几何分布 中,n是一个取定的正整数，而
则
k＝ 0,1,2,…,n
pNMlimN ＝＝??
,)p1(pC
C
CCl i m knkk
Nn
N
kn
MN
k
M
N
?
?
?
??
?＝
4,二项分布和泊松分布的关系
定理 2 设随机变量 Xn~B(n,pn),(n＝ 0,1,2,…),且
?为常数，则
k＝ 0,1,2,…
,0nplim nn ?????
,e!k)p1(pCl i m
k
kn
n
k
n
k
nn
???
??
?? ＝
,e!k)p1(pC kknkkn ??? ???
该定理也称为 泊松定理 。
该定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布，当 n很大,p很小
时,二项分布就可近似地看成是泊松分布，即
其中 ?＝ np,一般的，当 n?10, p?0.1时就 可用 泊松分布近似代替二
项分布。
例 2 某人射击的命中率为 0.02，他独立射击 400次，试求其命中次数
不少于 2的概率。
解 设 X表示 400次独立射击中命中的次数，则 X～ B(400,0.02),故
P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ 0.98400－ (400)(0.02)(0.98399)＝ 0.997165.
另解 (用泊松分布 ) 由于 ?近似等于 np＝ (400)(0.02)＝ 8,故
近似地有
P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ 0.996981.
这里用 泊松分布 近似计算的相对误差仅为 0.0185%.
0k,e!k8}kX{PX 8k ??＝＝～
2.3二维离散型随机变量
一、联合分布律
? 若二维随机变量 (X,Y)只能取至多可列个值 (xi,yj),(i,j＝
1,2,… ), 则称 (X,Y)为 二维离散型随机变量 。
? 若二维离散型随机变量 (X,Y) 取 (xi,yj)的概率为 pij,则称
P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),为二维离散型随
机变量 (X,Y)的分布律，或随机变量 X与 Y的 联合分布 律,
可记为
? (X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
联合分布 律 的 性质
(1) pij ?0,i,j＝ 1,2,… ； (2)
1p
1i 1j
ij＝? ?
? ?
X Y y1 y2 … y j …
x1 p11 p12,.,P1j,.,
x2 p21 p22,.,P2j,.,
Xi pi1 pi2,.,Pij,.,
...
...
...,..,..
...,..,..
二维离散型随机变量的分布律 也可列表表示如下：
二、边缘分布律
若随机变量 X与 Y的 联合分布 律 为
(X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
则称
P{X＝ xi}＝ pi.＝, i＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 X的边缘分布律 ；
P{Y＝ yj}＝ p.j＝, j＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 Y的边缘分布律 。
边缘分布律自然也 满足分布律的性质。
??1j ijp
??1i ijp
三、条件分布律
设随机变量 X与 Y的 联合分布 律 为
(X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
X和 Y的边缘分布律分别为
P{X＝ xi}＝ pi.＝, i＝ 1,2,…
和
P{Y＝ yj}＝ p.j＝, j＝ 1,2,…
若对固定的 j,p.j>0,则称
pi|j＝ i= 1,2,…
为 Y＝ yj的 条件下,X的 条件分布律 ;
,pp}yY|xX{P
j.
ij
ji ＝??
??1j ijp
??1i ijp
同理,若对固定的 i,pi,>0,则称
pj|i＝ j= 1,2,…
为 X＝ xi的 条件下,Y的 条件分布律 ;
条件分布律也满足分布律的性质
例 1 一射手进行射击，命中目标的概率为 p (0<p<1),射击进行到命中
目标两次为止，现用 X表示首次命中目标所进行的射击次数，用 Y表示
总共进行的射击次数。试求 X和 Y的联合分布律及边缘分布律。
解 由题意知（ X,Y） 的分布律为
P{X=m,Y=y}＝ p2(1－ p)n－ 2,m=1,2,…,n － 1； n=2,3,…
X服从参数为 p的几何分布，其分布律为
P{X=m}＝ p(1－ p)m－ 1,m=1,2,…
,pp}xX|yY{P
.i
ij
ij ＝??
Y服从参数为 2,p的负二项分布，其分布律为
P{Y=y}＝ (n－ 1)p2(1－ p)n－ 2,n=2,3,…
(X和 Y的边缘 分布律 也可由联合 分布律求得 )。
于是当 n=2,3,… 时
Pm|n＝ P{X=x|Y=y}＝ m＝ 1,2,…,n － 1;
当 m=1,2,… 时
Pn|m＝ P{Y=y|X=x}＝ n＝ m+1,m+2,…
,1n 1)p1(p)1n( )p1(p 2n2
2n2
???
?
?
?
＝
,)p1(p)p1(p )p1(p 1mn1m
2n2
??
?
?
??? ＝
四、离散型随机变量的相互独立性
设随机变量 X与 Y的 联合分布 律 为
(X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
若对 任意的 i,j,有 pij ＝ pi,p,J，即
P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ P{X＝ xi}P{Y＝ yj}
则称随机变量 X与 Y相互独立 。
上述概念不难推广到 n维离散型随机变量的情形。例
如，设 X1,X2,…,X n分别可取 这些实值，
且对任意的 i1,i2,…,i n有
则称随机变量 X1,X2,…,X n相互独立。
( n )i( 2 )i( 1 )i
n21 xxx,...,,
}X,.,,,X{P}X,.,,,X{P n1n(1 ( n )i( 1 )i( n )i1)i n1n1 xxxx ?????
2.4 离散型随机变量函数的分布律
一、一维离散型随机变量函数的分布律
定理 1 设 X一个随机变量,若 y＝ g(x)是一元单值实函数，
则 Y＝ g(X)也是一个随机变量。
若 X～ P{X＝ xk}＝ pk,k＝ 1,2,… 则
Y＝ g(X)～ P{Y＝ g(xk)}＝ pk, k＝ 1,2,…
其中 g(xk)有相同的，其对应概率合并。
显然,Y的分布律也满足分布律的性质。
二、多维离散型随机变量函数的分布律
定理 2 设 X1,X2,…,X n一个 n维随机变量,若 y＝
g(x1,x2,…,x n)是一个 n元实值函数，则 Y＝ g(X1,X2，
…,X n)也是一个随机变量。
以二维为例，若
(X,Y)～ P(X＝ xi,Y＝ yk)＝ pik, i,k＝ 1,2,…
则
Y＝ g(X,Y)～ P{Y＝ zl}＝ ＝ pl,l＝ 1,2,…
?
? lki z)y,x(g:k,i
ikp
例 1 设 X～ P(?1),Y～ P(?2),且 X与 Y相互独立，求 Z＝
X＋ Y的分布律。
解 P{Z＝ k} ＝ P{X+Y=k}＝
＝
＝
k＝ 0,1,2,…
以上划线部分称为整值随机变量的 卷积公式 。
?
?
???
k
0i
}ikY,iX{P
?
?
???
k
0i
}ikY{P}iX{P
,e!k )(e)!ik(e!i )(
k
21
k
0i
ik
2
i
1 2121 ????
?
??
?
?? ???
?
??? ＝
例 2 设随机变量 (X,Y)的分布律为
Y X 0 1 2 3 4 5
0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
(1) 求 P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
(2) 求 W＝ X＋ Y的分布律 ;
(3) 求 V＝ max(X,Y)的分布律；
(4) 求 U＝ min(X,Y)的分布律。
解 (1) 因为 P{Y=2}＝ 0.25,P{X=0}＝ 0.03,故
P{X=2|Y=2}＝ 5/25＝ 1/5; P{Y=3|X=0}＝ 1/3.
(2) 因为 W＝ X＋ Y可取值 0,1,2,3,4,5,6,7,8,故其分布
律为
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
(3) 因为 V＝ max(X,Y)可取值 0,1,2,3,4,5,故其分布律为
V 0 1 2 3 4 5
P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
(4) 因为 U＝ min(X,Y)可取值 0,1,2,3,故其分布律为
U 0 1 2 3
P 0.28 0.30 0.25 0.17
第三章 连续型随机变量及其分
? 分布函数
? 一维连续性随机变量及其分布
? 二维连续性随机变量及其分布
? 连续性随机变量函数的密度函数
3.1 分布函数
一、分布函数的概念
定义 设 X随机变量，对任意实数 x,事件 {X?x}的概率
P {X?x}称为随机变量 X的分布函数。记为 F(x),即
F(x)＝ P {X?x}.
易知，对任意实数 a,b (a<b),
P {a<X?b}＝ P{X?b}－ P{X?a}＝ F(b)－ F(a).
二、分布函数的性质
1、单调不减性：若 x1<x2,则 F(x1)?F(x2);
2,非负规范性：对任意实数 x,0?F(x)?1,且
3,右连续性：对任意实数 x，
反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的
分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质 。;1)x(Fli m)(F,0)x(Fli m)(F xx ???????? ??????
).x(F)x(Fl i m)0x(F 0xx0
0
??? ??
分布函数的概念可推广到 n维随机变量的情形。事实
上，对 n维随机变量 (X1,X2,…,X n),的联合
F(X1,X2,…,X n)＝ P(X1?,X2 ?x2,…,X n ?xn)
称为的 n维随机变量 (X1,X2,…,X n)的 分布函数，或 随机
变量 X1,X2,…,X n的联合 分布函数。
一般的，对离散型随机变量
X～ P{X= xk}＝ pk,k＝ 1,2,…
其分布函数为
?
?
???
xx:k
k
k
p}xX{P)x(F
三、实例
例 1 设随机变量 X具分布律 X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
试求出 X的分布函数。
解 其图形如下：
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2x,1
2x1,7.0
1x0,1.0
1x,0
)x(F ＝
)x(F
x
0
1
1 2
。
。
。
例 2 设 陀螺 顶面圆周为单位圆，现在其上从 0～ 1均匀刻
度，若让 X表示 陀螺 静止时其 顶面圆周 与地面的接触点，
则 X是随机变量，求 X的分布函数。
解 其图形为：
易知，有
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1x,1
1x0,x
0x,0
)xX(P)x(F ＝＝
F
x
10
1
? ?? ??? ??x,0 1x01)x(f,du)u(f)x(F 其它，＝其中，＝
3.2 一维连续性随机变量及其分布
一、密度函数
1,定义 对于随机变量 X,若存在非负可积函数 f(x)，
(-?<x<+?),使对任意实数 x,都有
则称 X为连续型随机变量,f(x)为 X的 概率密度函数,简
称 概率密度 或 密度函数, 常记为
X～ f(x),(-?<x<+?)
密度函数的 几何意义 为
? ??? x du)u(f)xX(P)x(F ＝＝
??? ba du)u(f)bXa(P ＝
2,密度函数的性质
(1) f(x)?0,(-?<x<?)； (2)
性质 (1),(2)是密度函数的充要性质；
(3) 若 x是 f(x)的连续点，则 f(x) ＝
3,对任意实数 b,若 X～ f(x),(-?<x<?),则 P{X=b}＝ 0
事实上，
从而，
.1dx)x(f ＝? ????
.dx)x(flim}bXa{Plim}bX{P ba
baba ??? ??
??? ＝＝
??????? ba dx)x(f}bXa{P}bXa{P}bXa{P ＝＝＝
.dx )x(dF
二、几个常用的连续型分布
1,均匀分布
若 X～ f(x)＝
则称 X在 (a,b)内服从 均匀分布。
对任意实数 c,d (a<c<d<b),都有
这说明 X落在 (a,b)中任一区间的概率只与该区间的长度
成正比，而与该区间的位置无关，这就是均匀分布的 概
率意义 。
??
?
?
? ??
?
，其它0
bxa,
ab
1
。 。ab 1?
0 a b
ab
1),cd(dx
ab
1dx)x(f}dXc{P d
c
d
c ??????? ? ? ＝＝＝＝
)x(f
x
2,指数分布
若 X～
则称 X服从参数为 ?>0的 指数分布。
易知，
例 已知
X～
解 (1) 由 得,k＝ 1/2;
(2)
?
?
?
?
?? ??
0x,0
0x,e)x(f x＝
.1dxedx)x(f;0)x(f 0 x ???? ? ????? ?? ??
)x(f
x0
?
?
?
?
??
0x,0
0x,ke)x(f 2/x＝
求 (1) k的值 ; (2) P{|X|<1}.
k2dxke1 0 2/x ?? ? ?? ?
.e1dxe21dx)x(f}1|X{|P 2/110 2/x1 1 ??? ????? ??
3,正态分布
若随机变量
其中 ?>0, ?为实数，则称 X服从参数为 ?2,?的 正态分布,
记为 N(?,?2),可表为 X～ N(?,?2).
易知 f(x)?0; 令 可得
正态分布有三个特性：
??????
??
? ?
???
x,e
2
1)x(f~X 2
2
2
)x(
??? ??? ???? ?
????
??
?????? 1dte21dxe2 1dx)x(f 2
t
2
)x( 2
2
2
,xt ????
(1) 单峰对称
其图形关于直线 x=?对称； f(?)＝ maxf(x)＝,
(2)有两个拐点
( ?－ ?,f (?－ ?) )； ( ?＋ ?,f (?＋ ?) )，
(3) ?的大小直接影响概率的分布
?越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖；
?越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。
正态分布也称为高斯 (Gauss)分布。
??2
1
4.标准正态分布
参数 ?＝ 0,?2＝ 1的正态分布称为 标准正态分布，
可表为 N(0,1)。为了区别于一般的正态分布，其密度函
数表示为
分布函数表示为
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读
者查阅 ?(x)的值。
.x,e21)x( 2
x 2
????????? ?
?????????? ? ?? ?? x,dte}xX{P)x( x 2
t
2
1
2
注解, (1) ?(x)＝ 1－ ?(－ x)；
(2) 若 X～ N(?,?2),则 F(x)＝ P{X?x}＝
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。
).x( ? ???
? x
)x(f
0
3.3二维连续型随机变量及其分布
一、联合分布及边缘分布
1,联合分布函数
设 (X,Y)是二维随机变量,(x,y)?R2,则称
F(X,Y)=P{X?x,Y?y}
为 (X,Y)的分布函数，或 X与 Y的联合分布函数。
几何意义：对于 (x1,y1),(x2,y2)?R2,(x1< x2,y1<y2 ),则
P{x1<X? x2,y1<y?y2 }
＝ F(x2,y2)－ F(x1,y2)－ F (x2,y1)＋ F (x1,y1).
分布函数 F(x,y)具有如下性质,y {x1<X ? x2,y1 <Y ? y2}
(1)非负规范 对任意 (x,y) ?R2,y2
0? F(x,y) ? 1,且 F(+?,+?)＝ 1; y1
F(－ ?,－ ?)＝ F(x,y)＝ 0,0 x1 x2 x
F(x,－ ?) ＝ F(x,y) ＝ 0＝ F(x,y)＝ F(－ ?,y).
(2)单调不减
对任意 y ?R,当 x1<x2时,F(x1,y) ? F(x2,y)；
对任意 x ?R,当 y1<y2时,F(x,y1) ? F(x,y2).
???
???
y
x
lim
???x
lim
???y
lim
(3)右连续
对任意 y?R,
对任意 x?R,
(4)矩形不等式
对于任意 (x1,y1),(x2,y2)?R2,(x1< x2,y1<y2 ),
F(x2,y2)－ F(x1,y2)－ F (x2,y1)＋ F (x1,y1)?0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数 F(x,y)都
可以作为某个二维随机变量 (X,Y)的分布函数。
);y,x(F)y,x(Fl i m)y,0x(F 0xx0
0
??? ??
).y,x(F)y,x(Fl i m)0y,x(F 0yy0
0
??? ??
2,边缘分布
FX(x)＝ F (x,+?)＝ ＝ P{X?x} 称为二维
随机变量 (X,Y)关于 X的边缘分布函数；
FY(y)＝ F (+?,y)＝ ＝ P{Y?y} 称为二维
随机变量 (X,Y)关于 Y的边缘分布函数,
边缘分布实际上
是高维随机变量的某个
(某些 )低维分量的分布 。
)y,x(Flimy ???
)y,x(Flimx ???
二、二维连续型随机变量及其密度函数
1,定义
对于二维随机变量 (X,Y),若存在一个非负可积函
数 f (x,y),使对 ?(x,y)?R2,其分布函数
则称 (X,Y)为二维连续型随机变量,f (x,y)为 (X,Y)的
密度函数 (概率密度 )，或 X与 Y的 联合密度函数,可记为
(X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2
? ?
?? ??
?
x y
,d u d v)v,u(f)y,x(F
2,联合密度 f(x,y)的性质
(1)非负性,f (x,y)?0,(x,y)?R2;
(2)完备性：
反之，具有以上两个性质的二元函数 f (x,y),必是某
个二维连续型随机变量的密度函数。此外,f (x,y)还有下
述性质
(3)若 f (x,y)在 (x,y)?R2处连续，则有
??
?
?
?
?
?
－－; 1 dxdy ) y,x ( f
);y,x(fyx )y,x(F
2
????
(4)对于任意平面区域 G? R2,
P{(X,Y)?G}＝
例 设 (X,Y)～ f (x,y)＝
求,(1)常数 A； (2) (X,Y)的分布函数 F(x,y)；
(3) (X,Y)落在三角形区域 D,x?0,y?0,2x+3y?6内
的概率。
解 (1)由密度函数性质知
故 A＝ 6；
??
G
.d x d y)y,x(f
?
?
? ????
其它,0
0y,0x,Ae )y3x2(
,6Ad x d yAed x d y)y,x(f1
0 0
)y3x2(? ? ? ?
?
??
?
??
? ?
?? ???
(2)
当 x?0或 y?0时，显然有 F(x,y)＝ 0，
当 x>0且 y>0时，有
综上得
(3)由 f (x,y)的性质知
? ?
?? ??
?
x y
,d u d v)v,u(f)y,x(F
? ? ???? ???? x0 y0 y3x2)v3u2(,)e1)(e1(d u d ve6)y,x(F
?
?
? ????? ??
其它,0
0y,0x),e1)(e1()y,x(F y3x2
?? ? ?
?
?????
D
3
0
3
x26
0
)y3x2( dye6dxd xd y)y,x(f}D)Y,X{(P
y
2
1 D
0 1 2 3 x
2x+3y=6
? ????? ???30 66x2 9 8 3.0e71dx)ee(2
3,两个常用的二维连续型分布
(1)二维均匀分布
若二维随机变量 (X,Y)的密度函数为
则称 (X,Y)在区域 G上 (内 ) 服从均匀分布。
该分布的密度函数显然满足密度函数的两个
充要性质,即 非负性 和 完备性 。
??
?
?
? ??
?
其它
，
的面积
,0
RG)y,x(
G
1
)y,x(f
2
其中,?1,?2为实数,?1>0,?2>0,| ? |<1，则称 (X,Y)
服从参数为 ?1,?2,?1,?2,?的二维正态分布，可记为
,e
12
1
)y,x(f
]
)y()y)(x(
2
)x(
[
)1(2
1
2
21
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2 ?
??
?
??
????
??
?
??
??
?
?????
?
? ?? ? ? ? ?－ －,1d x d y)y,x(f
(2)二维正态分布 N(?1,?2,?1,?2,?)
若二维随机变量 (X,Y)的密度函数为
可以验证,f (x,y)满足密度函数的两个充要性质，事
实上,(1) f (x,y)?0； (2)
),,,,(N~)Y,X( 222121 ?????
三、边缘密度函数
设 (X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2,则称
为 (X,Y)关于 X的边缘密度函数；
同理，称
为 (X,Y)关于 Y的边缘密度函数。
易知 N(?1,?2,?1,?2,?)的边缘密度函数 fX(x)是 N(?1,?1)
的密度函数，而 fX(x)是 N(?2,?2)的密度函数，故 二维正态
分布的边缘分布也是正态分布 。
? ???? dy)y,x(f)x(f X
? ???? dx)y,x(f)y(f Y
四、条件密度函数
FX|Y(x|y)＝ P{X?x|Y=y}
＝
称为已知 Y＝ y条件下,X的条件分布函数。
若已知 (X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2,则由于
}yyYy|xX{Plim 0y ????????
dx
)y(dF
y
)y,x(F
)y(F)y(F
)y,x(F)y,x(F
l i m
}yYy{P
}yYy,xX{P
l i m)y|x(F
Y
YY
0y
0y
Y|X
?
?
?
??
??
?
???
????
?
?
?
??
??
＝
可见,故称
为已知 Y＝ y条件下,X的 条件密度函数 ;
同理，称
为已知 Y＝ y条件下,X的 条件密度函数 。
?? ???? ?
x
YY
x
.du
)y(f
)y,u(f
)y(f
du)y,u(f
的密度函数的作用，起到了 )y|x(F)y(f )y,x(f Y|X
Y
0)y(fx,Ry,)y(f )y,x(f)x|y(f X
x
X|Y ??? 固定且满足
0)y(fy,Rx,)y(f )y,x(f)y|x(f Y
Y
Y|X ??? 固定且满足
五、随机变量的独立性
1、随机变量相互独立的一般定义
设 X1,X2,…, Xn为 n 个随机变量，若对任意
(x1,x2,…,x n)?Rn,有
P{X1?x1,…,X n?xn}＝ P{X1?x1}…P{X n?xn}
即 F(x1,x2,…,x n)＝ FX1(x1)FX2(x2)…F Xn(xn),
则称 X1,X2,…, Xn相互独立。
2、随机变量相互独立的等价定义
对于离散型随机变量的情形，在第二章 2.3节中
已经予以介绍。
}X,.,,,X{P}X,.,,,X{P n1n(1 ( n )i( 1 )i( n )i1)i n1n1 xxxx ?????
若对任意整数 i1,i2,…,i n及实数 有
则称离散型随机变量 X1,X2,…,X n相互独立。
定理 1 设 (X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2,fX(x),fY(y)分别
为 X与 Y的边缘密度，则 X与 Y相互独立等价于
f (x,y)＝ fX(x)fY(y),对任意 (x,y)?R2
几乎处处成立 。
易知,对任意 (x,y)?R2
f (x,y)＝ fX(x)fY(y)? fX|Y(x|y)＝ fX(x)或 fY|X(y|x)＝ fY(y).
( n )i( 2 )i( 1 )i
n21 xxx,...,,
定理 1可以推广到 n维连续型随机变量的情形,
设 X1,X2,…, Xn为 n 个连续型随机变量，若对任意
的 (x1,x2,…,x n)?Rn，
f (x1,x2,…,x n)＝ fX1(x1)fX2(x2)…f Xn(xn)
几乎处处成立，则称 X1,X2,…, Xn相互独立。
定理 2 设 (X1,,X2,…,X n )与 (Y1,Y2,…, Yn )相互独立，
则 Xi (i=1,2,…,m)) 与 Y1 (i=1,2,…,n) 相互独立；又若 h,
g是连续函数，则 h(X1,,X2,…,X n )与 g(Y1,Y2,…, Yn )相
互独立,
3.4 连续型随机变量函数的密度函数
一、一维变量的情形
1、一般方法
若 X~f(x),-?< x< +?,Y=g(X)为随机变量 X 的函数，
则可先求 Y的分布函数
FY (y) ＝ P{Y?y}＝ P {g(X) ?y}＝
然后再求 Y的密度函数
fY (y)＝
此法也叫,分布函数法,。
? ? y)x(g dx)x(f
dy
)y(dF Y
2、公式法
若 X～ f(x),x?R,y=g(x)是 单调可导 函数，则
Y＝ g(X)~?Y(y)＝
其中 h(y)为 y＝ g(x)的反函数,?＝ min{g(-?),g(+?)}，
?＝ max{g(-?),g(+?)}.
注意,只有当 Y是 X的单调可导函数时，才可用以
上公式推求 Y的密度函数。
??
? ?????
其它,0
y|,)y(h|)]y(h[f
二、多个随机变量函数的密度函数
1、一般的方法,分布函数法
若 (X1,X2,…,X n)~f (x1,x2,…,x n),(x1,x2,…,x n)?Rn,
Y=g(X1,X2,…,X n),则可先求 Y的分布函数,
然后再求出 Y的密度函数,
}y)X,.,,,X(g{P}yY{P)y(F n1Y ????;dx.,,dx)x,.,,,x(f.,, n1
y)x,...,x(g
n1
n1 ?
? ??
.dy )y(dF)y(F)y(f YYY ???
2、几个常用函数的密度函数
(1)和的分布
已知 (X,Y)～ f(x,y),(x,y)?R2,求 Z＝ X＋ Y的密度。
z x+y=z
x+y? z
0 z
}zYXZ{P}zZ{P)z(F Z ???????
? ???
?
??
?
????
??
yz
zyx
d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f
? ?
??
?
??
??
z;dy)y,yu(fdz
? ?
?
??
?
?
?????
－
或
.dx)xz,x(dy)y,yz(f)z(f Z
若 X与 Y相互独立，则 Z＝ X＋ Y的密度函数
上式称为连续型随机变量的 卷积公式 。
(2)商的分布
已知 (X,Y)～ f(x,y),(x,y)?R2,求 Z＝ 的密度。
.dx)xz(f)x(fdy)y(f)yz(f)z(f YXYXZ ??? ? ?
?
??
?
??
或
＝
Y
X
??
?
?????
z
y
x
Z )y,x(f}zY
X{P}zZ{P)z(F?
?? ????
1 2G G
d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f
其中 G1,G2如右图所示
类似地，可得
从而，
y
G1
0 x
G2
,du)dy)y,yu(f)y((d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f z 0
G
0
yz
2
? ??? ? ? ?? ??? ? ??? －
? ??? ?? z 0 du)dy)y,yu(yf(
?? ? ?? ??
1G
0
yz d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f
－
?
? ??? ???? zZ,du)dy)y,yz(f|y|()z(F
? ?????,dy)y,yz(f|y|)z(f Z
特别，当 X,Y相互独立时，上式可化为
其中 fX(x),fY(y)分别为 X和 Y的密度函数。
? ????,dy)y(f)yz(f|y|)z(f YXZ
3、极大 (小 )统计量的分布
设 X1,X2,…,X n相互独立，其分布函数分为 F1(x1),
F2(x2),…,F n(xn),则
M＝ max{X1,X2,…,X n },N＝ min{X1,X2,…,X n }
分别称为 X1,X2,…,X n的 极大和极小统计量 。现分别求出
M和 N的分布函数,
FM(z)＝ P{M?z}＝ P{max{X1,X2,…,X n}?z}
＝ P{X1?z,…,X n?z}＝ P{X1?z} … P{X n?z}
＝ F1(z) … F n(z)＝
FN(z)＝ P{N?z}＝ P{min{X1,X2,…,X n}?z}
＝ 1－ P{min{X1,X2,…,X n}>z}
＝ 1－ P{X1>z,…,X n>z} ＝ 1－ P{X1>z} …P{X n>z}
＝ 1－,)]z(F1[n
1i
i?
?
?；?
?
n
1i
i )z(F
特别，当 X1,X2,…,X n独立同分布 (分布函数相同 )
时，则有
FM(z)＝ [F(z)]n;
FN(z)＝ 1－ [1－ F(z)]n.
进一步地，若 X1,X2,…,X n独立且具相同的密度函
数 f (x),则 M和 N的密度函数分别由以下二式表出
fM(z)＝ n[F(z)]n－ 1f (z)；
fN(z)＝ n[1－ F(z)]n－ 1f (z).
第四章 随机变量的数字特征
? 数学期望
? 方差
? 协方差和相关系数
? 矩
? 几个重要随机变量的期望和方差
4.1数学期望
一 ?加权平均数
例 设某班 40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：
分数 40 60 70 80 90 100
人数 1 6 9 15 7 2
则学生的平均成绩是总分 ÷ 总人数 (分 )。即
)(5.762715961 )1 00)(2()90)(7()80)(15()70)(9()60)(6()40)(1( 分?????? ?????
或
后一种计算方法可认为是 40,60,70,80,90和 100这六个数的
加权平均数。一般地说，
有 其中
?i称为数 xi的权重,可见 平均值 即 加权平均数 。
)(5.76)10 0(402)90(407)80(4015)70(409)60(406)40(401 分??????
,
1
?
?
n
i
ii x? ?
?
??
n
i
ii
1
.1,0 ??
现引进 r.v.X表示学生得分，则 X有分布律
X 40 60 70 80 90 100
P 1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40
40P{X=40}+60P{X=60}+70P{X=70}+80P{X=80}+90P{X=90}+100P{X=100}
即取值乘取值的概率相加即得平均值。这就是 r.v.的 数学期
望 的概念
二,离散型随机变量的数学期望
1.定义
若 X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,绝对收敛，则
称该和式为 r.v.X的 数学期望,简称 期望 或 均值 。记为
E（ X）或 EX即
??
?1k
kk px
.}{)(
1
??
?
??
k
kk xXPxXE
2.定理与推论
定理 1 若 X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则 Y=g(X)的期望
.)()]([)(
1
k
k
k pxgXgEYE ?
?
?
??
推论 若 (X,Y) ~ P{X=xi,Y=yj,}= pij,i,j=1,2,…,则
Z= g(X,Y)的期望
.),()],([)(
11
ij
i
ji
j
pyxgYXgEZE ??
?
?
?
?
??
三,连续型随机变量的数学期望
1.离散化分析
设 X~f(x),-?<x<?,现在 [a,b]上考虑 r.v,X的期望,E*(X)。把
[a,b]等分成 n个小区间，插入分点,a=x0< x1<…< x n=b,其中
?xi= xi -xi-1=(b-a)/n,i=1,2,…,n,则
.x)x(fdx)x(f}xXx{P ixx ii1i i
1i
????? ?
??
于是 X落在 (xi-1,xi]上的概率可认为是 X集中在点 xi处的概率。
故
??
?
???
??
?
??
?
b
a
n
1i
iii
n
*
n
1i
iii
*
.dx)x(xfx)x(fxl i m)X(E
,x)x(fx)X(E
从而
? ? ???
??
???
?? b
a
b
a
.dx)x(xfdx)x(xfl i m)X(E
2.定义 若 X~f(x),-?<x<?,绝对收敛，则称其为连续型
r.v,X的数学期望。即
???? dx)x(xf
? ????,dx)x(xf)X(E
四 ?数学期望的性质
3?定理与 推论
定理 2 若 X~f(x),-?<x<?,则 Y=g(X)的 期望
? ?????,dx)x(f)x(g)]X(g[E)Y(E
推论 若 (X,Y) ~f (x,y),-?<x<?,-?<y<?,则 Z=g(X,Y)的 期望
? ???? ?????,d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E)Z(E
1,E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数 ;
2,E(X+Y)=E(X)+E(Y);
3,若 X与 Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y).
例 1 用 Y表示伯努利试验中首次成功时失败的次数，则
Y~P{Y= k}=(1-p)kp,k=0,1,2,…,
? ??
?
?
?
? ???????
0k 1k
1kk,/pp)(1p)k ( 1pp)(1pp)k ( 1E ( Y )
例 2 设
期望不存在。
例 3 设
?
? ?
????
?
?
?
?
?
?
1 1
2
2
,|ln)/1()(
,1,0
,1,/1
)(~
xdxxxXE
x
xx
xfX
? ? ?????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
??
?
?
1
0 1
.
2
3
)1()1()(
,0
,1,)1(
,10,1
)(~
dxeexdxexXE
xee
xe
xfX
xx
x
x
则
其它
4.2 方差
一, 定义与性质
方差 是衡量随机变量取值与其均值的 偏离程度 的一个数字特征。
1.定义 若 E(X)存在，则称 E[X-E(X)]2 为 r.v,X的 方差,记为 D(X),
或 Var(X),
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
连续型情形
离散型情形
可见
,)()]([
},{)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
xXPXEx
XD k
kk
2.推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2,
3,方差的性质
(1) D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数；
(2) 若 X,Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);
(3) D(X)=0?存在 常数 C，使 P{X=C}=1,且 C=E(X);
(4) 对任意 C?R,E(X?C)2 ? D(X),且
minE(X?C)2=E[X?E(X)]2=D(X).
另外，
)(XD
称为 X的 均方差 或 标准差,其量纲
与 X的一致。
二,几个重要 r.v.的期望与方差
1,二项分布 b(n,p)
X~P{X= k}= (1?p)k pn? k,k=0,1,2,…,nk
nC
).p1(np)np(npp)1n(n)X(D
,npp)1n(nnp)p1(p
)!1k(!k
!n
)1k(k
)X(E)]1X(X[E)X(E;np)p1(p
)!kn(!k
!n
k)X(E
22
n
2k
2knk
2
n
1k
knk
??????
?????
?
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2,泊松分布 p(?)
? ?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
?????
????
0k 1k
1kk
k;
)!1k(
ee
!k
k)X(E
.,,,2,1,0k,e
!k
}kX{P~X
.)X(D
,e
!k
)1k(k
)X(E)]1X(X[E)X(E
22
2k
2
k
2
????????
??????
?
??
???
?
?
?
??
3,均匀 分布 U(a,b)
.
12
)ab(
)
2
ba
(
3
baba
)X(D
,
3
baba
dx
ab
x
)X(E;
2
ba
dx
ab
x
)X(E
,,0
,bxa,
ab
1
)x(f~X
2
2
22
22b
a
b
a
2
2
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
? ?
其他
4,正态 分布 N(?,?2)
?????
??
? ?
???
x,e
2
1)x(f~X 2
2
2
)x(;dte)t(
2
1
dxe
2
x
)X(E
2
t
x
t
2
)x(
2
2
2
?????
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
??
??
令
.dte
2
t d e
2
dtet
2
1
dxe
2
)x(
]X[E)X(D
22
t2
2
t2
2
t
22
x
t
2
)x(2
2
22
2
2
2
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
????
??
?
?
?
??
??
??
?
?
??
??
??
?
?
??
??
??
令
4.3 协方差，相关系数
一,协方差定义与性质
1.协方差定义 若 r.v,X的期望 E(X)和 Y的期望 E(Y)存在,则
称 E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}为 X与 Y的 协方差,记为 cov(X,Y),即
cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]},
2.协方差性质
(1) cov(X,Y)=cov(Y,X);
(2) cov(aX,bY)=abcov(X,Y),其中 a,b为 常数；
二,相关系数
(3) cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);
(4) cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E (Y)；
(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2cov(X,Y).? ?
1,定义 若 r.v,X,Y的方差和协方差均存在,且 DX>0,
DY>0，则
DYDX
)Y,Xc o v (
XY ????
称为 X与 Y的 相关系数,
若 ?XY=0，则称 X与 Y不相关,否则称 X与 Y相关。
DX
)X(EXX * ?? 称为 X的标准化，易知 EX
*=0,DX*=1.
Cov(X*,Y*) 称为 X与 Y的标准化协方差，易知
).Y,Xc o v ()YX(EDYDX )Y,Xc o v ( ****XY ????
引理 对于 r.v.X,Y,有 [E(XY)]2?E(X2)E(Y2).
.0)X(E)Y(E4)]XY(E[4
,0)X(E)XY(tE2)Y(Et)tYX(E)t(Q
222
2222
???
???????证 即 [E(XY)]2?E(X2)E(Y2).
该不等式称为 柯西 (Cauchy)不等式,
2.相关系数的性质
(1) |?XY|?1；
(2) |?XY|=1?存在 常数 a,b 使 P{X= aY+b}=1；
(3) X与 Y不相关 ? cov(X,Y)=0;
(4) X与 Y独立，则 X与 Y不相关，反之不然。
证 (1)由引理知
.1)Y(D)X(D)Y(E)X(E|)YX(E||| **2*2***XY ?????
(2),?” 若 |?XY|=1,则 由引理知：判别式
.)4(),3(
.1}0YtX{P0)t(Q""
);Y(E
)Y(D
)X(D
t)X(Eb,
)Y(D
)X(D
ta
.1}baYX{P,1}0YtX{P
*
0
*
0
00
*
0
*
显然
即得由
其中
即这说明
??????
????
??????
.0)tYX(D)tYX(E)t(Q,Rt
,0)Y(E)X(E)]YX(E[
**2**
00
2*2*2**
??????
??
使故存在
例 设 (X,Y)在 D={(X,Y),x2+y2?1}上服从均匀分布，则
X与 Y不相关，但不是相互独立的。
.Y,X.0)Y,Xco v (
,0dy
y
x d x)XY(E
,0)Y(E,0dx
x
dy)X(E
,.0
,1yx,
1
)y,x(f~)Y,X(
1
1
x1
x1
y1
y1
1
1
22
2
2
2
2
不相关这说明
又
同理
解
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
? ?
??
?
?
??
?
???
?
.YX
),0(f)0(f
41
)0,0(f
)0,0()y,x(f
,0
,1y1,y1
2
)y(f
,0
,1x1,x1
2
)x(f
YX2
2
Y
2
X
不相互独立与
的连续点对于
其它
其它
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
????
???
三,切比雪夫不等式
若 r.v.X的期望和方差存在，则对任意 ??0，有
.)X(D1}|)X(EX{|P 2??????
这就是著名的 切比雪夫 (Chebyshev)不等式。
它有以下几种等价的形式：
.k 11}k|X{|Pk 1}k|X{|P 22 ??????????? 或
记 ?2=D(X),?=E(X),则对 k>0,有;)X(D}|)X(EX{|P 2?????
4.4 矩、协方差矩阵
一, 矩
1,K阶原点矩 Ak=E(Xk),k=1,2,…
而 E(|X|k)称为 X的 K阶绝对原点矩；
2,K阶中心矩 Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…
而 E|X-E(X)|k称为 X的 K阶绝对中心矩；
易知 E(X)=A1,D(X)=B2.
3,K+l阶 混合 原点矩
E(Xk Yl),k,l=0,1,2,… ；
4,K+l阶 混合 中心矩
E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l},k,l=0,1,2,… ；
易知 cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}
是 1+1阶混合中心矩 。
可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学
期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
二, 协方差矩阵
1.定义 设 X1,…,X n为 n个 r.v.,记 cij=cov(Xi,Xj),
I,j=1,2,…,n,则称由 cij组成的矩阵为 r.v,X1,…,X n
的协方差矩阵 C。即
2.协方差矩阵的性质
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
nn2n1n
n22221
n11211
nnij
c.,,cc
.,,.,,.,,.,,
c.,,cc
c.,,cc
)c(C
(1) C=C’,其中 C’为 C的转置 ;
(2) C是 非负定矩阵,即对任意 n维实向量 ?=(?1,…,?n)’.有
?’ C??0.
证,(1)显然；
(2) ?’C?=?’E[(X??)(X??)’]?=E[?’ (X ??)(X ??)’?]
=E[(?’(X ??))(?’(X ??))’]?0，
其中 X=(X1,…,X n)’,?=(?1,?,?n)’,?i=Xi 。
则设例 ),,,,,(N~)X,X(1 22212121 ?????
),1(|C|,C 222212
221
21
2
1 ??????
?
?
?
?
?
????
?????
).C,(N~)'X,X(X,)',(,)'x,x(x
) },x(C)'x(
2
1ex p {
|C|2
1)x,x(f
212121
1
2/121
???????
?????
?
? ?
可记为其中
.nX,
)'X,,X(X)',,(,)'x,,x(x
) },x(C)'x(
2
1
e x p {
|C|)2(
1
)x(f
)C,(N~)'X,,X(X,
n1n1n1
1
2/12/n
n1
维正态分布服从称均值向量
的为其中
则
若一般地
???
?
??????
?????
?
?
??
?
X =(X1,X2)’的概率密度为
.),,,,,(N~)Y,X(2 XY222121 ???????? 则设例
? ?
?
??
?
??
???????
?
??
?
?
??
?
d x d y)y,x(f)y)(x()]EYY)(EXX[(E
,
y
t,
x
s,
21
2
2
1
1 则令先做变量代换证
21
2
v
22
t
21
1/)ts(v
]tst2s[
)1(2
1
2
21
dve)t1v(dtte
2
d s d ts t e
12
222
22
2
????
????
?
??
?
???
??
?
??
? ?
?
??
?
?
??
?
?????
?
??
?
??
???
??
?
令
故 ?XY=?.
可见，若（ X,Y）服从二维正态分布，则 X与 Y独立
的 充分必要条件 是 X与 Y不相关 。
另外，由 协方差矩阵 可以证明,相互独立正态随机变
量的线性组合还是正态随机变量 。即若 X1,…, Xn相互独
立，且
).,(N~X 2i
n
1i
2
i
n
1i
ii
n
1i
ii ????? ???
???
n,,1i),,(N~X 2iii ????,则对任意常数 ?1, … ?n
第五章 大数定律与中心极限定理
? 依概率收敛
? 大数定律
? 依分布收敛
? 中心极限定理
5.1 大数定律
一,依概率收敛
设 {Xn}为随机变量序列,X为随机变量，若存在 ?>0,使得
1}|XX{|Plim nn ??????
则称 {Xn}依概率收敛 于 X,可记为
.XX Pn ? ??
,EXn1EYn1Yn1,XY
n
1k
kn
n
1k
P
nkn ??
??
?? ??? 若有现令
.}X{
.1}|EYn1Yn1{|Pl i m,0
n
nnn
服从大数定律则称
即对任意的 ??????
??
二,几个常用的大数定律
1.切比雪夫 大数定律
设 {Xn}为独立随机变量序列，若 EXk<?,DXk?C，
C为正数,k=1,2,…,( 称 {Xn}为 方差一致有界 ),则 {Xn}服
从大数定律。即
.EXn1EYn1Yn1
n
1k
kn
P
n ?
?
?? ??
推论 1 若 {Xn}为独立 同分布 随机变量序列,且 EXk=? <?,
DXk= ?2<?,k=1,2,… 则 {Xn}服从大数定律。
推论 2 若 {Xn}为独立随机变量序列,满足马尔可夫条件：
,0)Yn1(Dlim nn ???
则 {Xn}服从大数定律。
2.伯努里 大数定律
设 {Xn}为独立随机变量序列,且 Xk~B(1,pk),0< pk <1,
k=1,2,… 则 {Xn}服从大数定律。
3,辛钦大数定律
若 {Xn}为独立 同分布 随机变量序列,且 EXk=? <?,
k=1,2,… 则 {Xn}服从大数定律。
大数定律说的是：对于 随机变量序列 {Xn}，只要它
满足一定的条件，即有
?
?
?
?
?
?? ??
n
1k
kn
n
1k
kn
P
n
.XY
,EX
n
1
EY
n
1
Y
n
1
其中
大数定律 可以用来说明 频率的稳定性。
5.2 中心极限定理
一,依分布收敛
设 {Xn}为随机变量序列,X为随机变量，其对应的分
布函数分别为 Fn(x),F(x),若在 F(x)的连续点，有
),x(F)x(Fl i m nn ???
则称 {Xn}依分布收敛 于 X,可记为,XX L
n ? ??
.}X{
),1,0(N~Y.v.rY,XY
n
n
1k
L*
nnkn
满足中心极限定理则称
的标准化若现令 ?? ??? ?
?
二,几个常用的中心极限定理
1.独立同分布 中心极限定理 (Levy-Lindeberg)
设 {Xn}为独立 同分布 随机变量序列，若 EXk=?<?，
DXk= ?2 <?,k=1,2,…,则 {Xn}满足中心极限 定理。
2.李雅普诺夫中心极限定理 (Liapunov)
设 {Xn}为独立随机变量序列，若 EXk=?k<?，
.}X{
),0n(,0|X|E
B
1
,0
.B,...,2,1k,DX
n
n
1k
2
kk2
n
n
1k
2
k
2
n
2
kk
满足中心极限定理则
使得若存在
记
??????
???????
?
?
?
??
??
?
3.德莫佛 -拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)
设随机变量 ?n(n=1,2,...)服从参数为 n,p(0<p<1)的二项
分布，则 ).1,0(N~L*
n ?? ???
三,大数定律与中心极限定理的关系
对于独立同分布 r.v.序列 {Xn}，大数定律给出了前 n项
算术平均值所遵循的规律 ; 而中心极限定理则在 n充分大时,
给出了 {Xn}前 n项之和落在某区间 (a,b]的近似概率，事实上
).n na()n nb(}bYa{P n ????????????
例 1 在一家保险公司里有 10000个人参加寿命保险，
每人每年付 12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为
0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得 1000元，问：
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)保险公司一年的利润不少于 40000元,60000元，
80000元的概率各是多少？
解 设 r.v.X表示一年内死亡的人数，则 X~B(n,p),其
中 n= 10000,p=0.6%，于是
(1)P=P{1000X?12(10000)>0}=1?P{X?120}=1 ??(7.75)=0;
(2)P1=P{12(10000)?1000X?40000}=P{X?80}=?(2.58)=0.9952;
P2=P{12(10000)?1000X?60000}=P{X?60}=?(0)=0.50;
P3=P{12(10000)?1000X?80000}=P{X??20}=1??(2.58)
= 0.0048,
答,(1)保险公司亏本的概率为 0；
(2)保险公司一年的利润不少于 40000元,60000元，
80000元的概率分别是 0.9952,0.50,0.0048,
例 2 某单位的电话交换机下设 200部分机，经调查每部分机一天内只
有 5%的时间使用外线。设各分机使用外线与否相互独立，试问要装
多少条外线，可使每部分机使用外线时有外线可供使用的概率不少
于 90%。
解 设装 N条外线可满足要求,r.v.X表示某时刻使用外线的分机数，
则 X~B(n,p),其中 n= 200,p=0.05，于是
.14N
,96.13N,2 8 5.1
5.9
10N
,9 0 0 6.0)
5.9
10N
(
)24.3()
5.9
10N
(
)
5.9
10
()
5.9
10N
(}NX0{P90.0
?
??
?
?
?
?
???
?
??
???
?
?????
故可取
可解得亦即即
答 略。
讲授 印凡成
河海大学数学系列基础课程 CAI
本课程与其他数学基础课的关系
?微积分
?线性代数
序 言
一,确定性数学
初等数学、高等数学 (微积分 )、线性代数等
二,随机数学 ---以概率论为代表
1.赌博 人口统计 出生率 性别等
2.非确定性现象, 抛硬币 掷骰子 发大水等
3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学
---概率论
三,理论联系实际最活跃的学科
1.应用性,
概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、
科技等领域
2.渗透性,
与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究
方向。 例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠
性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、
数量经济等
四,概率论的内容构成
基础部分 ---概率论,
古典概率 随机变量及其分布
分布函数 数字特征等
应用部分 ---数理统计,
统计量构造 参数估计
假设检验 回归分析等
深入部分 ---随机过程,
马尔可夫过程 平稳过程
随机分析等
第一章 随机事件和概率
? 随机试验
? 样本空间、随机事件
? 频率和概率
? 古典概型
? 几何概型
? 概率的公理化结构
? 条件概率
? 事件的独立性
? 贝努里概型
1.1 随机试验
一、随机试验 (简称“试验” )的例子
随机试验可表为 E
E1,抛一枚硬币，分别用,H” 和,T” 表示出正面和反面 ;
E2,抛两枚硬币，考虑可能出现的结果；
E3,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数 i;
E4,掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；
二、随机试验的特征
E5,记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；
E6,对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果 ;
E7,在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
1.可在相同条件下重复进行 ;
2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果 ;
3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1、样本空间,所有基本事件组成的集合称为样
本空间，记为 ?={?}；
2、样本点, 样本空间的元素称为样本点，样本点
即基本事件，记为 ?.
例如
对应 E1的 样本空间为 ?={H,T}；
对应 E2的 样本空间为
?={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}；
对应 E5的 样本空间为 ?={0,1,2,… } ；
二、随机事件
1.定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫
“随机事件”,简称“事件”,
2.基本事件, 不可能再分解的事件,即试验的结果，
常记为,?”,
3.两个特殊事件, 必然事件 Ω、不可能事件 ?.
任何事件均是某些样本点组成的集合,
例如 对于试验与 E5,以下 A, B即为两个 随机事件,
A＝,至少出一个正面” ＝ {(H,H),(H,T),(T,H)}；
B＝,至少 m次少于 n次”＝ {m,m+1,…,n － 1}。
三、事件之间的关系
1.包含关系,,A发生必导致 B发生”记为 A?B
A＝ B ? A?B且 B?A.
2.和事件, A?B
3.积事件, A?B＝ AB
4.差事件、对立事件 (余事件 ),A－ B称为 A与 B的差事件
5.互 不相容性,AB＝ ?
A,B互为 对立事件 ?A?B＝ ?,且 AB＝ ?;BABA;BBB ????? 易知的对立事件称为
四、事件与集合对应关系类比
概率论 集合论
样本空间 ?＝ {?}
事件 子集
事件 A发生 ??A
事件 A不发生 ??A
必然事件 ?
不可能事件 ?
事件 A发生导致事件 B发生 A?B
概率论 集合论
事件 A与 B至少有一个发生 A?B
事件 A与 B同时发生 A?B(或 AB)
事件 A发生而 B不发生 A－ B
事件 A与 B互不相容 AB＝ ?
五、事件的运算
1、交换律,A?B＝ B?A,AB＝ BA
2、结合律, (A?B)?C＝ A?(B?C)，
(AB)C＝ A(BC)
3、分配律, (A?B)C＝ (AC)?(BC)，
(AB)?C＝ (A?B)(B?C)
4、对偶 (De Morgan)律,
.AA,AA
BAAB,BABA
k
k
k
k
k
k
k
k ????
??
??
??
可推广
1.3 频率与概率
一、频率
1.定义 事件 A在 n次重复试验中出现 nA次，则比值
nA/n称为事件 A在 n次重复试验中出现的频率，记为 fn(A),
即
fn(A)＝ nA/n.
2.频率的性质
(1) 非负性,fn(A) ≥ 0；
(2) 规范性,fn(?)＝ 1；
(3) 可加性：若 AB＝ ?, 则
fn(A?B)＝ fn(A) ＋ fn(B).
实践证明：当试验次数 n增大时,fn(A) 逐渐
趋向一个定值 。
二, 概率
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀
质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者 n nH fn(H)
De Morgan 2048 0161 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K,Pearson 12000 6019 0.5016
K,Pearson 24000 12012 0.5005
1.定义 若对随机试验 E所对应的样本空间 ?中的每一事件
A,均赋予一实数 P(A),集合函数 P(A)满足条件：
(1)非负性, 对任 一事件 A,有 P(A) ≥ 0；
(2) 规范性, P(?)＝ 1；
(3) 可列可加性, 设 A1,A2,…,是一列两两互不相容的事
件，即 AiAj＝ ?,(i?j),i,j＝ 1,2,…,有
P( A1 ?A2 ?… )＝ P(A1) ＋ P(A2)+…,(1.1)
则称 P(A)为事件 A的 概率 。
2.概率的性质
(1) 不可能事件概率零, P(?)＝ 0； (1.2)
(2) 有限 可加性, 设 A1,A2,…A n,是 n个两两互不相容
的事件，即 AiAj＝ ?, (i?j),i,j＝ 1,2,…,n,则 有
P( A1 ?A2 ?… ?An)＝ P(A1) ＋ P(A2)+… P(A n); (1.3)
(3) 单调不减性,若事件 B?A,则 P(B)≥ P(A),且
P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)； (1.4)
(4) 互补性, P(A)＝ 1－ P(A),且 P(A)? 1 ; (1.5)
(5) 加法公式,对任意两事件 A,B,有
P(A?B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB) (1.6)
公式 (1.6)可推广到 任意 n个 事件 A1,A2,…, An的情形；
(6) 可分性, 对任意两事件 A,B,有
P(A)＝ P(AB)＋ P(AB ), (1.7)
一般的，有如下定义
定义 事件组 A1,A2,…, An (n可为 ?)，称为样
本空间 ?的一个划分 (或完备事件组 )，若满足：
.n,.,,,2,1j,i),ji(,AA)ii(;A)i(
ji
n
1i
i
????
??
?
?
1.4 古典概型
一、古典概型的特征
1.有限性：样本空间 ?＝ {?1,? 2,…,? n };
2.等可能性,P(?i)＝ 1/n,(i＝ 1,2,…,n),
古典概型也称为 等可能 概型。
二、古典概型的计算公式
P(A)＝
n
Ak
n
kA )(＝＝
中样本点总数
中所含样本点数
?
设事件 A中包含 k个样本点 (基本事件 )
例 1,掷一颗骰子，求出 6点的概率。
例 2,做试验 E：,将一枚硬币连抛 2次”,
观测出正、反面的情形。
(1) 写出 E的 样本 空间；
(2) 设 A1＝,恰有一次出正面”,求 P(A1)；
(3) 设 A2＝,至少出一次正面”,求 P(A2).
例 3,袋中有 6只乒乓球，其中 4白 2红，现从中
取二次，每次取一只 (分别考虑 有放回 和 无放回
取球的情形 )。求
(1) 全是白球的概率；
(2) 两球色相同的概率；
(3) 至少一只白球的概率。
三、古典概型的几类基本问题
1、抽球问题 设袋中有 N个球，其中有 M
个白球，现从中任 抽 n个 球，问这 n个 球中恰
有 k个白球的概率是多少?
2、取数问题 设有 1～ 7七位数字,从中
任取三个不同的数字组成一个三 位数,求 这
三 位数是偶数的概率。
3、分配问题 把 n个 球随机地
分配到 m个盒子中去,问 每盒中
至多 有一 球的概率是多少？
4、配对问题 从五双不同的鞋
子中任意地取出四只，问其中至
少有两只成双 的概率是多少?
例 4,设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到 N个房
间中的任意一间去住 (n?N),求下列事件的概率：
(1)指定的 n个房间每个房间各有一人 ;
(2)恰好有 n个房间，每个房间各有一人。
例 5,某班级有 n 个人 (n?365)，
问至少一两个人的生日在同一天
的概率有多大？
例 6,(De Mere问题 )一颗 骰子掷 4次至少得一个六点
与两颗骰子掷 24次至少得一个双六，这两件事，哪
一个有更多的机会遇到？
1.5 几何概型
一、几何概型的特征
1.基本事件数无限, ?＝ {?},?充满区域 ? ；
2.等可能性,随机点落在某区域 g的概率与区域
g的测度 (长度、面积、体积等 )成正比，而与其
位置及形状无关。
二、几何概型的计算公式
的测度
的测度＝
?
g)A(P
g
其中 Ag表示“在区域 ?中随机地取一点落在 区域 g中
”
这一事件。
例 1,(会面问题 )两人相约 7点到 8点在某地
会面，先到者等候另一人 20分钟，过时可
离去，试求两人会面的概率。
例 2,(蒲丰 (Buffon)投针问题 )1777年法国
科学家蒲丰提出了下列著名问题：
平面上画着一些平行线，它们
之间的距离都等于 a,向此 平面上 任
投一长度为 l(I<a)的针，试求此针与任一 平行线相交的
概率。
a l
x ?
可求得其概率
a
l2P
?＝
利用蒙特－卡洛 (Monte-Carlo)法可求得圆周率 ?
的近似值。 (参见教材 P.13)
1.6 概率的公理化结构
公理 1 事件域公理
样本空间 ?的部分子集所组成的集合 F若满足以下
三个条件,
(F.1) ??F；
(F.2) 若 A?F, 则 A＝ ?－ A ? F；
(F.3) 若有一列 Ai?F,i＝ 1,2,…,则可列和,
则称其为 ?上的 ?域 (或 ?代数 )，也 称其为 ?上的 事件 域 。
二元体 ( ?,F )称为 可测空间。
?? ?
1i
i FA
＝
由公理 1可推得如下 性质,
(1) ??F;
(2) 若 A,B?F,则 A?B ?F,A－ B ?F,AB ?F;
(3) 若有一列 Ai?F,i＝ 1,2,…,
则,
FA
1i
i ?
?
?
＝
公理 2 概率公理 设 (?,F)为可测空间，在事件域 F上
定义一个实值函数 P(A),A?F,满足：
(1)非负性,P(A)?0,对任意 A?F;
(2)规范性,P(? )＝ 1;
(3)可列可加性：若有一列 Ai?F,i＝ 1,2,…,A iAj＝ ?,使得
则称 P(A),A?F为 ?域 F上的 概率测度,简称“, 概率” 。
满足公理 1和公理 2的三元体 (?,F,P)称为概率空间。
?
?
?
?
?
?
1j
j
1j
j )A(P)A(P ?
1.7 条件概率及概率计算公式
一、条件概率
设 A,B是 ?中的两个事件，即 A,B ?F,则
(1.7.1)
称为事件 A发生的条件下事件 B发生的 条件概率 。
条件概率 P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式
计算之外，也可在缩减的样本空间 ?A里直接计算。
)A(P
)AB(P)A|B(P ?
二、乘法公式
例 1,一只盒子中混有 100只新, 红 白
旧乒乓球，各有红、白两色，分 新 40 30
类如右：若取得的是一只红球,旧 20 10
试求该红球是新球的概率。
设 A,B?F,则
P(AB)＝ P(A)P(B|A),(1.7.2)
式 (1.1.7)就称为事件 A,B的概率 乘法公式 。
式 (1.1.7)还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝ P(A)P(B|A)P(C|AB),(1.7.3)
一般的，有下列公式：
P(A1A2…A n)＝ P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…A n－ 1),(1.7.4)
例 2,袋中有十只球，其中九白一红，十人依次从袋
中各取一球 (不放回 )，问第一个人取得红球的概率是
多少？第二、第三,…,最后一个人取得红球的概率
各是多少？
三、全概率公式与贝叶斯 (Bayes)公式
定理 1,设 A1,…,A n是 ?的一个划分，且 P(Ai)>0，
(i＝ 1,…, n),则对任何事件 B?F,有
(1.7.5)
式 (1.7.3)就称为 全概率公式。
?
?
n
1i
ii )A|B(P)A(P)B(P ＝
例 3,某厂有三个车间生产同一种产品，已知三个车间
的产量分别占总产量的 1/4,1/4,1/2，且次品率分别
为 2％,1％,3％，试求该厂这种产品的次品率。
定理 1,设 A1,…,A n是 ?的一个划分，且 P(Ai) > 0，
(i＝ 1,…, n),则对任何事件 B?F,有
(1.7.6)
式 (1.7.4)就称为 贝叶斯公式 或 逆 概率公式。
)n,.,,,1j(,
)A|B(P)A(P
)A|B(P)A(P
)B|A(P n
1i
ii
jj
j ??
?
?
例 4,在无线电通讯中，由于随机因素的影响，当发
出短号,?” 时,收到,?”,“不清” 和长号“－”
的概率分别是 0.7,0.2和 0.1，当发出长号,?” 时，
收到“－”,“不清” 和, ?”,的概率分别是 0.9
,0.1和 0.若在整个发报过程中信号,?” 及“－” 出
现的概率分别是 0.6和 0.4，当收到信号“不清” 时，
试推测原发信号。
1.8 事件的独立性
一、两事件独立
定义 1,设 A,B是两事件，若
P(B)＝ P(B|A) (1.8.1)
则称事件 A与 B相互独立。
式 (1.8.1)等价于：
P(AB)＝ P(A)P(B) (1.8.2)
二、多个事件的独立
定理,以下四件事等价：
(1)事件 A,B相互独立； (2)事件 A,B相互独立；
(3)事件 A,B相互独立； (4)事件 A,B相互独立。
定义 2,若三个事件 A,B,C满足：
(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),
则称事件 A,B,C两两相互独立 ；若在此基础上还满足：
(2) P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C),(1.8.3)
则称事件 A,B,C相互独立 。
三、事件独立性的应用
一般地，设 A1,A2,…, An是 n个事件,如果对任意 k
(1?k?n),任意的 1?i1?i2 ?… ?in? n,具有等式
P(A i1 Ai2 … A in)＝ P(A i1)P(Ai2)…P(A in) (1.8.4)
则称 n个事件 A1,A2,…, An相互独立 。
1,加法公式的简化,若 事件 A1,A2,…, An相互独立,则
P(A1?A2 ?… ?An)＝ 1－ P(A1)P(A2) … P(A n) (1.8.5)
2,在可靠性理论上的应用
1.9贝努里概型
一、贝努里 (Bernoulli)概型
1.只有两个可能结果的试验称为 贝努里试验,常记为 E。
E也叫做,成功－失败试验”,,成功” 的概率常用 p＝ P(A)
表示，其中 A＝,成功”。
2.把 E重复独立地进行 n次，所得的 试验称为 n重 贝努里试验,
记为 En。
3.把 E重复独立地进行可列多次,所得的 试验称为 可列重
贝努里试验,记为 E?。
二、贝努里概型中几个重要事件的概率
以上三种贝努里试验统称为 贝努里概型 。
1.En中成功 k次的概率是
2.E?中首次成功发生在第 k次试验的概率是
3.E?中第 r次成功发生在第 k次试验的概率是
)nk0(,)p1(p knkknC ??? ?
,.,, )2,1k(,p)p1( 1k ?? ?
)kr1(,p)p1( rrk1r 1kC ??? ???
第二章 离散型随机变量及其分布
? 随机变量的概念
? 一维离散型随机变量的分布律
? 二维离散型随机变量
? 离散型随机变量函数的分布律
2.1 随机变量的概念
实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间
?＝ {?}＝ {H,T}
可规定随机变量
X＝ X(?)＝
随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函
数。
?
?
?
?
?
T0
H1
＝，
＝，
RX ??：
定义 设随机试验 E的样本空间是 ?,X＝ X(?),???是定义
在 ?上的一个单值实函数。若对任意实数 x,样本点 ?的
集合 {?| X(?)?x}＝ {X?x}是一随机事件，则 X(?)称为随机
变量，简记为 X,随机变量一般用英文大写字母 X,Y,Z
等表示,也可用希腊字母 ?,?,?等表示。
随机变量的分类：
随机变量
??
?
?
?
?
?
?
奇异型（混合型）
连续型
非离散型
离散型随机变量
2.2 一维离散型随机变量的分布律
一、分布律
1,定义 若随机变量 X取值 x1,x2,…,x n,… 且取这些值的概率
依次为 p1,p2,…,p n,…,则称 X为离散型随机变量，而称
P{X=xk}=pk,(k=1,2,… )
为 X的分布律或概率分布 。可表为
X～ P{X=xk}=pk,(k=1,2,… ),
或
X x1 x2 … x n …
P p1 p2 … p n … ~X
2,分布律的性质
(1) pk ? 0,k＝ 1,2,… ;
(2)
例 1 设袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑。现从中任取 3
只球 (不放回 )，求抽得的白球数 X为 k的概率。
解 k可取值 0,1,2
?
? 1k
k,1p ＝
.
C
CC}kX{P
3
5
k3
3
k
2
?
＝＝
二、几个常用的离散型分布
1,退化分布 (单点分布 )
X～ P{X＝ a}＝ 1,其中 a为常数。
2,(0－ 1)分布 (两点分布 )
X～ P{X＝ k}＝ pk(1－ p)1－ k,(0<p<1) k＝ 0,1
3,几何分布
X～ P{X＝ k}＝ (1－ p)k－ 1 p,(0<p<1) k＝ 1,2,…
4,二项分布 B(n,p)
X～ P{X＝ k}＝ pk(1－ p)n－ k,
(0<p<1) k＝ 0,1,2,…,n
knC
5,负二项分布
X～ P{X＝ k}＝ pr(1－ p)k－ r,k＝ r,r+1,…,
( r?1,0<p<1 )
负二项分布又叫巴斯卡 (Pascal)分布，可记为 NB(r,p).
6,超几何分布
X～
1r 1kC??
)M,nm i n (,.,,,2,1,0k,
C
CC}kX{P
n
N
kn
MN
k
M ?
?
?＝＝
??? e
!k
k
称 X服从参数为 (N,M,n)的超几何分布,
7,泊松 (Poisson)分布 P(?)
X～ P{X＝ k}＝,k＝ 0,1,2,… ( ??0)
三、常用分布律之间的关系
1,(0－ 1)分布和二项分布的关系
(0－ 1)分布是二项分布 B(n,p)中 n＝ 1时 的特款；
2,几何分布和负二项分布的关系
几何分布是负二项分布 NB(r,p)中 r＝ 1时 的特款；
3,超几何分布和二项分布的关系
定理 1 设在超几何分布 中,n是一个取定的正整数，而
则
k＝ 0,1,2,…,n
pNMlimN ＝＝??
,)p1(pC
C
CCl i m knkk
Nn
N
kn
MN
k
M
N
?
?
?
??
?＝
4,二项分布和泊松分布的关系
定理 2 设随机变量 Xn~B(n,pn),(n＝ 0,1,2,…),且
?为常数，则
k＝ 0,1,2,…
,0nplim nn ?????
,e!k)p1(pCl i m
k
kn
n
k
n
k
nn
???
??
?? ＝
,e!k)p1(pC kknkkn ??? ???
该定理也称为 泊松定理 。
该定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布，当 n很大,p很小
时,二项分布就可近似地看成是泊松分布，即
其中 ?＝ np,一般的，当 n?10, p?0.1时就 可用 泊松分布近似代替二
项分布。
例 2 某人射击的命中率为 0.02，他独立射击 400次，试求其命中次数
不少于 2的概率。
解 设 X表示 400次独立射击中命中的次数，则 X～ B(400,0.02),故
P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ 0.98400－ (400)(0.02)(0.98399)＝ 0.997165.
另解 (用泊松分布 ) 由于 ?近似等于 np＝ (400)(0.02)＝ 8,故
近似地有
P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1}
＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ 0.996981.
这里用 泊松分布 近似计算的相对误差仅为 0.0185%.
0k,e!k8}kX{PX 8k ??＝＝～
2.3二维离散型随机变量
一、联合分布律
? 若二维随机变量 (X,Y)只能取至多可列个值 (xi,yj),(i,j＝
1,2,… ), 则称 (X,Y)为 二维离散型随机变量 。
? 若二维离散型随机变量 (X,Y) 取 (xi,yj)的概率为 pij,则称
P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),为二维离散型随
机变量 (X,Y)的分布律，或随机变量 X与 Y的 联合分布 律,
可记为
? (X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
联合分布 律 的 性质
(1) pij ?0,i,j＝ 1,2,… ； (2)
1p
1i 1j
ij＝? ?
? ?
X Y y1 y2 … y j …
x1 p11 p12,.,P1j,.,
x2 p21 p22,.,P2j,.,
Xi pi1 pi2,.,Pij,.,
...
...
...,..,..
...,..,..
二维离散型随机变量的分布律 也可列表表示如下：
二、边缘分布律
若随机变量 X与 Y的 联合分布 律 为
(X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
则称
P{X＝ xi}＝ pi.＝, i＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 X的边缘分布律 ；
P{Y＝ yj}＝ p.j＝, j＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 Y的边缘分布律 。
边缘分布律自然也 满足分布律的性质。
??1j ijp
??1i ijp
三、条件分布律
设随机变量 X与 Y的 联合分布 律 为
(X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
X和 Y的边缘分布律分别为
P{X＝ xi}＝ pi.＝, i＝ 1,2,…
和
P{Y＝ yj}＝ p.j＝, j＝ 1,2,…
若对固定的 j,p.j>0,则称
pi|j＝ i= 1,2,…
为 Y＝ yj的 条件下,X的 条件分布律 ;
,pp}yY|xX{P
j.
ij
ji ＝??
??1j ijp
??1i ijp
同理,若对固定的 i,pi,>0,则称
pj|i＝ j= 1,2,…
为 X＝ xi的 条件下,Y的 条件分布律 ;
条件分布律也满足分布律的性质
例 1 一射手进行射击，命中目标的概率为 p (0<p<1),射击进行到命中
目标两次为止，现用 X表示首次命中目标所进行的射击次数，用 Y表示
总共进行的射击次数。试求 X和 Y的联合分布律及边缘分布律。
解 由题意知（ X,Y） 的分布律为
P{X=m,Y=y}＝ p2(1－ p)n－ 2,m=1,2,…,n － 1； n=2,3,…
X服从参数为 p的几何分布，其分布律为
P{X=m}＝ p(1－ p)m－ 1,m=1,2,…
,pp}xX|yY{P
.i
ij
ij ＝??
Y服从参数为 2,p的负二项分布，其分布律为
P{Y=y}＝ (n－ 1)p2(1－ p)n－ 2,n=2,3,…
(X和 Y的边缘 分布律 也可由联合 分布律求得 )。
于是当 n=2,3,… 时
Pm|n＝ P{X=x|Y=y}＝ m＝ 1,2,…,n － 1;
当 m=1,2,… 时
Pn|m＝ P{Y=y|X=x}＝ n＝ m+1,m+2,…
,1n 1)p1(p)1n( )p1(p 2n2
2n2
???
?
?
?
＝
,)p1(p)p1(p )p1(p 1mn1m
2n2
??
?
?
??? ＝
四、离散型随机变量的相互独立性
设随机变量 X与 Y的 联合分布 律 为
(X,Y)～ P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ pij, (i,j＝ 1,2,… ),
若对 任意的 i,j,有 pij ＝ pi,p,J，即
P{X＝ xi,Y＝ yj,}＝ P{X＝ xi}P{Y＝ yj}
则称随机变量 X与 Y相互独立 。
上述概念不难推广到 n维离散型随机变量的情形。例
如，设 X1,X2,…,X n分别可取 这些实值，
且对任意的 i1,i2,…,i n有
则称随机变量 X1,X2,…,X n相互独立。
( n )i( 2 )i( 1 )i
n21 xxx,...,,
}X,.,,,X{P}X,.,,,X{P n1n(1 ( n )i( 1 )i( n )i1)i n1n1 xxxx ?????
2.4 离散型随机变量函数的分布律
一、一维离散型随机变量函数的分布律
定理 1 设 X一个随机变量,若 y＝ g(x)是一元单值实函数，
则 Y＝ g(X)也是一个随机变量。
若 X～ P{X＝ xk}＝ pk,k＝ 1,2,… 则
Y＝ g(X)～ P{Y＝ g(xk)}＝ pk, k＝ 1,2,…
其中 g(xk)有相同的，其对应概率合并。
显然,Y的分布律也满足分布律的性质。
二、多维离散型随机变量函数的分布律
定理 2 设 X1,X2,…,X n一个 n维随机变量,若 y＝
g(x1,x2,…,x n)是一个 n元实值函数，则 Y＝ g(X1,X2，
…,X n)也是一个随机变量。
以二维为例，若
(X,Y)～ P(X＝ xi,Y＝ yk)＝ pik, i,k＝ 1,2,…
则
Y＝ g(X,Y)～ P{Y＝ zl}＝ ＝ pl,l＝ 1,2,…
?
? lki z)y,x(g:k,i
ikp
例 1 设 X～ P(?1),Y～ P(?2),且 X与 Y相互独立，求 Z＝
X＋ Y的分布律。
解 P{Z＝ k} ＝ P{X+Y=k}＝
＝
＝
k＝ 0,1,2,…
以上划线部分称为整值随机变量的 卷积公式 。
?
?
???
k
0i
}ikY,iX{P
?
?
???
k
0i
}ikY{P}iX{P
,e!k )(e)!ik(e!i )(
k
21
k
0i
ik
2
i
1 2121 ????
?
??
?
?? ???
?
??? ＝
例 2 设随机变量 (X,Y)的分布律为
Y X 0 1 2 3 4 5
0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
(1) 求 P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
(2) 求 W＝ X＋ Y的分布律 ;
(3) 求 V＝ max(X,Y)的分布律；
(4) 求 U＝ min(X,Y)的分布律。
解 (1) 因为 P{Y=2}＝ 0.25,P{X=0}＝ 0.03,故
P{X=2|Y=2}＝ 5/25＝ 1/5; P{Y=3|X=0}＝ 1/3.
(2) 因为 W＝ X＋ Y可取值 0,1,2,3,4,5,6,7,8,故其分布
律为
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
(3) 因为 V＝ max(X,Y)可取值 0,1,2,3,4,5,故其分布律为
V 0 1 2 3 4 5
P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
(4) 因为 U＝ min(X,Y)可取值 0,1,2,3,故其分布律为
U 0 1 2 3
P 0.28 0.30 0.25 0.17
第三章 连续型随机变量及其分
? 分布函数
? 一维连续性随机变量及其分布
? 二维连续性随机变量及其分布
? 连续性随机变量函数的密度函数
3.1 分布函数
一、分布函数的概念
定义 设 X随机变量，对任意实数 x,事件 {X?x}的概率
P {X?x}称为随机变量 X的分布函数。记为 F(x),即
F(x)＝ P {X?x}.
易知，对任意实数 a,b (a<b),
P {a<X?b}＝ P{X?b}－ P{X?a}＝ F(b)－ F(a).
二、分布函数的性质
1、单调不减性：若 x1<x2,则 F(x1)?F(x2);
2,非负规范性：对任意实数 x,0?F(x)?1,且
3,右连续性：对任意实数 x，
反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的
分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质 。;1)x(Fli m)(F,0)x(Fli m)(F xx ???????? ??????
).x(F)x(Fl i m)0x(F 0xx0
0
??? ??
分布函数的概念可推广到 n维随机变量的情形。事实
上，对 n维随机变量 (X1,X2,…,X n),的联合
F(X1,X2,…,X n)＝ P(X1?,X2 ?x2,…,X n ?xn)
称为的 n维随机变量 (X1,X2,…,X n)的 分布函数，或 随机
变量 X1,X2,…,X n的联合 分布函数。
一般的，对离散型随机变量
X～ P{X= xk}＝ pk,k＝ 1,2,…
其分布函数为
?
?
???
xx:k
k
k
p}xX{P)x(F
三、实例
例 1 设随机变量 X具分布律 X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
试求出 X的分布函数。
解 其图形如下：
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
2x,1
2x1,7.0
1x0,1.0
1x,0
)x(F ＝
)x(F
x
0
1
1 2
。
。
。
例 2 设 陀螺 顶面圆周为单位圆，现在其上从 0～ 1均匀刻
度，若让 X表示 陀螺 静止时其 顶面圆周 与地面的接触点，
则 X是随机变量，求 X的分布函数。
解 其图形为：
易知，有
?
?
?
?
?
?
??
?
?
1x,1
1x0,x
0x,0
)xX(P)x(F ＝＝
F
x
10
1
? ?? ??? ??x,0 1x01)x(f,du)u(f)x(F 其它，＝其中，＝
3.2 一维连续性随机变量及其分布
一、密度函数
1,定义 对于随机变量 X,若存在非负可积函数 f(x)，
(-?<x<+?),使对任意实数 x,都有
则称 X为连续型随机变量,f(x)为 X的 概率密度函数,简
称 概率密度 或 密度函数, 常记为
X～ f(x),(-?<x<+?)
密度函数的 几何意义 为
? ??? x du)u(f)xX(P)x(F ＝＝
??? ba du)u(f)bXa(P ＝
2,密度函数的性质
(1) f(x)?0,(-?<x<?)； (2)
性质 (1),(2)是密度函数的充要性质；
(3) 若 x是 f(x)的连续点，则 f(x) ＝
3,对任意实数 b,若 X～ f(x),(-?<x<?),则 P{X=b}＝ 0
事实上，
从而，
.1dx)x(f ＝? ????
.dx)x(flim}bXa{Plim}bX{P ba
baba ??? ??
??? ＝＝
??????? ba dx)x(f}bXa{P}bXa{P}bXa{P ＝＝＝
.dx )x(dF
二、几个常用的连续型分布
1,均匀分布
若 X～ f(x)＝
则称 X在 (a,b)内服从 均匀分布。
对任意实数 c,d (a<c<d<b),都有
这说明 X落在 (a,b)中任一区间的概率只与该区间的长度
成正比，而与该区间的位置无关，这就是均匀分布的 概
率意义 。
??
?
?
? ??
?
，其它0
bxa,
ab
1
。 。ab 1?
0 a b
ab
1),cd(dx
ab
1dx)x(f}dXc{P d
c
d
c ??????? ? ? ＝＝＝＝
)x(f
x
2,指数分布
若 X～
则称 X服从参数为 ?>0的 指数分布。
易知，
例 已知
X～
解 (1) 由 得,k＝ 1/2;
(2)
?
?
?
?
?? ??
0x,0
0x,e)x(f x＝
.1dxedx)x(f;0)x(f 0 x ???? ? ????? ?? ??
)x(f
x0
?
?
?
?
??
0x,0
0x,ke)x(f 2/x＝
求 (1) k的值 ; (2) P{|X|<1}.
k2dxke1 0 2/x ?? ? ?? ?
.e1dxe21dx)x(f}1|X{|P 2/110 2/x1 1 ??? ????? ??
3,正态分布
若随机变量
其中 ?>0, ?为实数，则称 X服从参数为 ?2,?的 正态分布,
记为 N(?,?2),可表为 X～ N(?,?2).
易知 f(x)?0; 令 可得
正态分布有三个特性：
??????
??
? ?
???
x,e
2
1)x(f~X 2
2
2
)x(
??? ??? ???? ?
????
??
?????? 1dte21dxe2 1dx)x(f 2
t
2
)x( 2
2
2
,xt ????
(1) 单峰对称
其图形关于直线 x=?对称； f(?)＝ maxf(x)＝,
(2)有两个拐点
( ?－ ?,f (?－ ?) )； ( ?＋ ?,f (?＋ ?) )，
(3) ?的大小直接影响概率的分布
?越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖；
?越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。
正态分布也称为高斯 (Gauss)分布。
??2
1
4.标准正态分布
参数 ?＝ 0,?2＝ 1的正态分布称为 标准正态分布，
可表为 N(0,1)。为了区别于一般的正态分布，其密度函
数表示为
分布函数表示为
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读
者查阅 ?(x)的值。
.x,e21)x( 2
x 2
????????? ?
?????????? ? ?? ?? x,dte}xX{P)x( x 2
t
2
1
2
注解, (1) ?(x)＝ 1－ ?(－ x)；
(2) 若 X～ N(?,?2),则 F(x)＝ P{X?x}＝
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。
).x( ? ???
? x
)x(f
0
3.3二维连续型随机变量及其分布
一、联合分布及边缘分布
1,联合分布函数
设 (X,Y)是二维随机变量,(x,y)?R2,则称
F(X,Y)=P{X?x,Y?y}
为 (X,Y)的分布函数，或 X与 Y的联合分布函数。
几何意义：对于 (x1,y1),(x2,y2)?R2,(x1< x2,y1<y2 ),则
P{x1<X? x2,y1<y?y2 }
＝ F(x2,y2)－ F(x1,y2)－ F (x2,y1)＋ F (x1,y1).
分布函数 F(x,y)具有如下性质,y {x1<X ? x2,y1 <Y ? y2}
(1)非负规范 对任意 (x,y) ?R2,y2
0? F(x,y) ? 1,且 F(+?,+?)＝ 1; y1
F(－ ?,－ ?)＝ F(x,y)＝ 0,0 x1 x2 x
F(x,－ ?) ＝ F(x,y) ＝ 0＝ F(x,y)＝ F(－ ?,y).
(2)单调不减
对任意 y ?R,当 x1<x2时,F(x1,y) ? F(x2,y)；
对任意 x ?R,当 y1<y2时,F(x,y1) ? F(x,y2).
???
???
y
x
lim
???x
lim
???y
lim
(3)右连续
对任意 y?R,
对任意 x?R,
(4)矩形不等式
对于任意 (x1,y1),(x2,y2)?R2,(x1< x2,y1<y2 ),
F(x2,y2)－ F(x1,y2)－ F (x2,y1)＋ F (x1,y1)?0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数 F(x,y)都
可以作为某个二维随机变量 (X,Y)的分布函数。
);y,x(F)y,x(Fl i m)y,0x(F 0xx0
0
??? ??
).y,x(F)y,x(Fl i m)0y,x(F 0yy0
0
??? ??
2,边缘分布
FX(x)＝ F (x,+?)＝ ＝ P{X?x} 称为二维
随机变量 (X,Y)关于 X的边缘分布函数；
FY(y)＝ F (+?,y)＝ ＝ P{Y?y} 称为二维
随机变量 (X,Y)关于 Y的边缘分布函数,
边缘分布实际上
是高维随机变量的某个
(某些 )低维分量的分布 。
)y,x(Flimy ???
)y,x(Flimx ???
二、二维连续型随机变量及其密度函数
1,定义
对于二维随机变量 (X,Y),若存在一个非负可积函
数 f (x,y),使对 ?(x,y)?R2,其分布函数
则称 (X,Y)为二维连续型随机变量,f (x,y)为 (X,Y)的
密度函数 (概率密度 )，或 X与 Y的 联合密度函数,可记为
(X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2
? ?
?? ??
?
x y
,d u d v)v,u(f)y,x(F
2,联合密度 f(x,y)的性质
(1)非负性,f (x,y)?0,(x,y)?R2;
(2)完备性：
反之，具有以上两个性质的二元函数 f (x,y),必是某
个二维连续型随机变量的密度函数。此外,f (x,y)还有下
述性质
(3)若 f (x,y)在 (x,y)?R2处连续，则有
??
?
?
?
?
?
－－; 1 dxdy ) y,x ( f
);y,x(fyx )y,x(F
2
????
(4)对于任意平面区域 G? R2,
P{(X,Y)?G}＝
例 设 (X,Y)～ f (x,y)＝
求,(1)常数 A； (2) (X,Y)的分布函数 F(x,y)；
(3) (X,Y)落在三角形区域 D,x?0,y?0,2x+3y?6内
的概率。
解 (1)由密度函数性质知
故 A＝ 6；
??
G
.d x d y)y,x(f
?
?
? ????
其它,0
0y,0x,Ae )y3x2(
,6Ad x d yAed x d y)y,x(f1
0 0
)y3x2(? ? ? ?
?
??
?
??
? ?
?? ???
(2)
当 x?0或 y?0时，显然有 F(x,y)＝ 0，
当 x>0且 y>0时，有
综上得
(3)由 f (x,y)的性质知
? ?
?? ??
?
x y
,d u d v)v,u(f)y,x(F
? ? ???? ???? x0 y0 y3x2)v3u2(,)e1)(e1(d u d ve6)y,x(F
?
?
? ????? ??
其它,0
0y,0x),e1)(e1()y,x(F y3x2
?? ? ?
?
?????
D
3
0
3
x26
0
)y3x2( dye6dxd xd y)y,x(f}D)Y,X{(P
y
2
1 D
0 1 2 3 x
2x+3y=6
? ????? ???30 66x2 9 8 3.0e71dx)ee(2
3,两个常用的二维连续型分布
(1)二维均匀分布
若二维随机变量 (X,Y)的密度函数为
则称 (X,Y)在区域 G上 (内 ) 服从均匀分布。
该分布的密度函数显然满足密度函数的两个
充要性质,即 非负性 和 完备性 。
??
?
?
? ??
?
其它
，
的面积
,0
RG)y,x(
G
1
)y,x(f
2
其中,?1,?2为实数,?1>0,?2>0,| ? |<1，则称 (X,Y)
服从参数为 ?1,?2,?1,?2,?的二维正态分布，可记为
,e
12
1
)y,x(f
]
)y()y)(x(
2
)x(
[
)1(2
1
2
21
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2 ?
??
?
??
????
??
?
??
??
?
?????
?
? ?? ? ? ? ?－ －,1d x d y)y,x(f
(2)二维正态分布 N(?1,?2,?1,?2,?)
若二维随机变量 (X,Y)的密度函数为
可以验证,f (x,y)满足密度函数的两个充要性质，事
实上,(1) f (x,y)?0； (2)
),,,,(N~)Y,X( 222121 ?????
三、边缘密度函数
设 (X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2,则称
为 (X,Y)关于 X的边缘密度函数；
同理，称
为 (X,Y)关于 Y的边缘密度函数。
易知 N(?1,?2,?1,?2,?)的边缘密度函数 fX(x)是 N(?1,?1)
的密度函数，而 fX(x)是 N(?2,?2)的密度函数，故 二维正态
分布的边缘分布也是正态分布 。
? ???? dy)y,x(f)x(f X
? ???? dx)y,x(f)y(f Y
四、条件密度函数
FX|Y(x|y)＝ P{X?x|Y=y}
＝
称为已知 Y＝ y条件下,X的条件分布函数。
若已知 (X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2,则由于
}yyYy|xX{Plim 0y ????????
dx
)y(dF
y
)y,x(F
)y(F)y(F
)y,x(F)y,x(F
l i m
}yYy{P
}yYy,xX{P
l i m)y|x(F
Y
YY
0y
0y
Y|X
?
?
?
??
??
?
???
????
?
?
?
??
??
＝
可见,故称
为已知 Y＝ y条件下,X的 条件密度函数 ;
同理，称
为已知 Y＝ y条件下,X的 条件密度函数 。
?? ???? ?
x
YY
x
.du
)y(f
)y,u(f
)y(f
du)y,u(f
的密度函数的作用，起到了 )y|x(F)y(f )y,x(f Y|X
Y
0)y(fx,Ry,)y(f )y,x(f)x|y(f X
x
X|Y ??? 固定且满足
0)y(fy,Rx,)y(f )y,x(f)y|x(f Y
Y
Y|X ??? 固定且满足
五、随机变量的独立性
1、随机变量相互独立的一般定义
设 X1,X2,…, Xn为 n 个随机变量，若对任意
(x1,x2,…,x n)?Rn,有
P{X1?x1,…,X n?xn}＝ P{X1?x1}…P{X n?xn}
即 F(x1,x2,…,x n)＝ FX1(x1)FX2(x2)…F Xn(xn),
则称 X1,X2,…, Xn相互独立。
2、随机变量相互独立的等价定义
对于离散型随机变量的情形，在第二章 2.3节中
已经予以介绍。
}X,.,,,X{P}X,.,,,X{P n1n(1 ( n )i( 1 )i( n )i1)i n1n1 xxxx ?????
若对任意整数 i1,i2,…,i n及实数 有
则称离散型随机变量 X1,X2,…,X n相互独立。
定理 1 设 (X,Y)～ f (x,y),(x,y)?R2,fX(x),fY(y)分别
为 X与 Y的边缘密度，则 X与 Y相互独立等价于
f (x,y)＝ fX(x)fY(y),对任意 (x,y)?R2
几乎处处成立 。
易知,对任意 (x,y)?R2
f (x,y)＝ fX(x)fY(y)? fX|Y(x|y)＝ fX(x)或 fY|X(y|x)＝ fY(y).
( n )i( 2 )i( 1 )i
n21 xxx,...,,
定理 1可以推广到 n维连续型随机变量的情形,
设 X1,X2,…, Xn为 n 个连续型随机变量，若对任意
的 (x1,x2,…,x n)?Rn，
f (x1,x2,…,x n)＝ fX1(x1)fX2(x2)…f Xn(xn)
几乎处处成立，则称 X1,X2,…, Xn相互独立。
定理 2 设 (X1,,X2,…,X n )与 (Y1,Y2,…, Yn )相互独立，
则 Xi (i=1,2,…,m)) 与 Y1 (i=1,2,…,n) 相互独立；又若 h,
g是连续函数，则 h(X1,,X2,…,X n )与 g(Y1,Y2,…, Yn )相
互独立,
3.4 连续型随机变量函数的密度函数
一、一维变量的情形
1、一般方法
若 X~f(x),-?< x< +?,Y=g(X)为随机变量 X 的函数，
则可先求 Y的分布函数
FY (y) ＝ P{Y?y}＝ P {g(X) ?y}＝
然后再求 Y的密度函数
fY (y)＝
此法也叫,分布函数法,。
? ? y)x(g dx)x(f
dy
)y(dF Y
2、公式法
若 X～ f(x),x?R,y=g(x)是 单调可导 函数，则
Y＝ g(X)~?Y(y)＝
其中 h(y)为 y＝ g(x)的反函数,?＝ min{g(-?),g(+?)}，
?＝ max{g(-?),g(+?)}.
注意,只有当 Y是 X的单调可导函数时，才可用以
上公式推求 Y的密度函数。
??
? ?????
其它,0
y|,)y(h|)]y(h[f
二、多个随机变量函数的密度函数
1、一般的方法,分布函数法
若 (X1,X2,…,X n)~f (x1,x2,…,x n),(x1,x2,…,x n)?Rn,
Y=g(X1,X2,…,X n),则可先求 Y的分布函数,
然后再求出 Y的密度函数,
}y)X,.,,,X(g{P}yY{P)y(F n1Y ????;dx.,,dx)x,.,,,x(f.,, n1
y)x,...,x(g
n1
n1 ?
? ??
.dy )y(dF)y(F)y(f YYY ???
2、几个常用函数的密度函数
(1)和的分布
已知 (X,Y)～ f(x,y),(x,y)?R2,求 Z＝ X＋ Y的密度。
z x+y=z
x+y? z
0 z
}zYXZ{P}zZ{P)z(F Z ???????
? ???
?
??
?
????
??
yz
zyx
d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f
? ?
??
?
??
??
z;dy)y,yu(fdz
? ?
?
??
?
?
?????
－
或
.dx)xz,x(dy)y,yz(f)z(f Z
若 X与 Y相互独立，则 Z＝ X＋ Y的密度函数
上式称为连续型随机变量的 卷积公式 。
(2)商的分布
已知 (X,Y)～ f(x,y),(x,y)?R2,求 Z＝ 的密度。
.dx)xz(f)x(fdy)y(f)yz(f)z(f YXYXZ ??? ? ?
?
??
?
??
或
＝
Y
X
??
?
?????
z
y
x
Z )y,x(f}zY
X{P}zZ{P)z(F?
?? ????
1 2G G
d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f
其中 G1,G2如右图所示
类似地，可得
从而，
y
G1
0 x
G2
,du)dy)y,yu(f)y((d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f z 0
G
0
yz
2
? ??? ? ? ?? ??? ? ??? －
? ??? ?? z 0 du)dy)y,yu(yf(
?? ? ?? ??
1G
0
yz d x d y)y,x(fd x d y)y,x(f
－
?
? ??? ???? zZ,du)dy)y,yz(f|y|()z(F
? ?????,dy)y,yz(f|y|)z(f Z
特别，当 X,Y相互独立时，上式可化为
其中 fX(x),fY(y)分别为 X和 Y的密度函数。
? ????,dy)y(f)yz(f|y|)z(f YXZ
3、极大 (小 )统计量的分布
设 X1,X2,…,X n相互独立，其分布函数分为 F1(x1),
F2(x2),…,F n(xn),则
M＝ max{X1,X2,…,X n },N＝ min{X1,X2,…,X n }
分别称为 X1,X2,…,X n的 极大和极小统计量 。现分别求出
M和 N的分布函数,
FM(z)＝ P{M?z}＝ P{max{X1,X2,…,X n}?z}
＝ P{X1?z,…,X n?z}＝ P{X1?z} … P{X n?z}
＝ F1(z) … F n(z)＝
FN(z)＝ P{N?z}＝ P{min{X1,X2,…,X n}?z}
＝ 1－ P{min{X1,X2,…,X n}>z}
＝ 1－ P{X1>z,…,X n>z} ＝ 1－ P{X1>z} …P{X n>z}
＝ 1－,)]z(F1[n
1i
i?
?
?；?
?
n
1i
i )z(F
特别，当 X1,X2,…,X n独立同分布 (分布函数相同 )
时，则有
FM(z)＝ [F(z)]n;
FN(z)＝ 1－ [1－ F(z)]n.
进一步地，若 X1,X2,…,X n独立且具相同的密度函
数 f (x),则 M和 N的密度函数分别由以下二式表出
fM(z)＝ n[F(z)]n－ 1f (z)；
fN(z)＝ n[1－ F(z)]n－ 1f (z).
第四章 随机变量的数字特征
? 数学期望
? 方差
? 协方差和相关系数
? 矩
? 几个重要随机变量的期望和方差
4.1数学期望
一 ?加权平均数
例 设某班 40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：
分数 40 60 70 80 90 100
人数 1 6 9 15 7 2
则学生的平均成绩是总分 ÷ 总人数 (分 )。即
)(5.762715961 )1 00)(2()90)(7()80)(15()70)(9()60)(6()40)(1( 分?????? ?????
或
后一种计算方法可认为是 40,60,70,80,90和 100这六个数的
加权平均数。一般地说，
有 其中
?i称为数 xi的权重,可见 平均值 即 加权平均数 。
)(5.76)10 0(402)90(407)80(4015)70(409)60(406)40(401 分??????
,
1
?
?
n
i
ii x? ?
?
??
n
i
ii
1
.1,0 ??
现引进 r.v.X表示学生得分，则 X有分布律
X 40 60 70 80 90 100
P 1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40
40P{X=40}+60P{X=60}+70P{X=70}+80P{X=80}+90P{X=90}+100P{X=100}
即取值乘取值的概率相加即得平均值。这就是 r.v.的 数学期
望 的概念
二,离散型随机变量的数学期望
1.定义
若 X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,绝对收敛，则
称该和式为 r.v.X的 数学期望,简称 期望 或 均值 。记为
E（ X）或 EX即
??
?1k
kk px
.}{)(
1
??
?
??
k
kk xXPxXE
2.定理与推论
定理 1 若 X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则 Y=g(X)的期望
.)()]([)(
1
k
k
k pxgXgEYE ?
?
?
??
推论 若 (X,Y) ~ P{X=xi,Y=yj,}= pij,i,j=1,2,…,则
Z= g(X,Y)的期望
.),()],([)(
11
ij
i
ji
j
pyxgYXgEZE ??
?
?
?
?
??
三,连续型随机变量的数学期望
1.离散化分析
设 X~f(x),-?<x<?,现在 [a,b]上考虑 r.v,X的期望,E*(X)。把
[a,b]等分成 n个小区间，插入分点,a=x0< x1<…< x n=b,其中
?xi= xi -xi-1=(b-a)/n,i=1,2,…,n,则
.x)x(fdx)x(f}xXx{P ixx ii1i i
1i
????? ?
??
于是 X落在 (xi-1,xi]上的概率可认为是 X集中在点 xi处的概率。
故
??
?
???
??
?
??
?
b
a
n
1i
iii
n
*
n
1i
iii
*
.dx)x(xfx)x(fxl i m)X(E
,x)x(fx)X(E
从而
? ? ???
??
???
?? b
a
b
a
.dx)x(xfdx)x(xfl i m)X(E
2.定义 若 X~f(x),-?<x<?,绝对收敛，则称其为连续型
r.v,X的数学期望。即
???? dx)x(xf
? ????,dx)x(xf)X(E
四 ?数学期望的性质
3?定理与 推论
定理 2 若 X~f(x),-?<x<?,则 Y=g(X)的 期望
? ?????,dx)x(f)x(g)]X(g[E)Y(E
推论 若 (X,Y) ~f (x,y),-?<x<?,-?<y<?,则 Z=g(X,Y)的 期望
? ???? ?????,d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E)Z(E
1,E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数 ;
2,E(X+Y)=E(X)+E(Y);
3,若 X与 Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y).
例 1 用 Y表示伯努利试验中首次成功时失败的次数，则
Y~P{Y= k}=(1-p)kp,k=0,1,2,…,
? ??
?
?
?
? ???????
0k 1k
1kk,/pp)(1p)k ( 1pp)(1pp)k ( 1E ( Y )
例 2 设
期望不存在。
例 3 设
?
? ?
????
?
?
?
?
?
?
1 1
2
2
,|ln)/1()(
,1,0
,1,/1
)(~
xdxxxXE
x
xx
xfX
? ? ?????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
??
?
?
1
0 1
.
2
3
)1()1()(
,0
,1,)1(
,10,1
)(~
dxeexdxexXE
xee
xe
xfX
xx
x
x
则
其它
4.2 方差
一, 定义与性质
方差 是衡量随机变量取值与其均值的 偏离程度 的一个数字特征。
1.定义 若 E(X)存在，则称 E[X-E(X)]2 为 r.v,X的 方差,记为 D(X),
或 Var(X),
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
连续型情形
离散型情形
可见
,)()]([
},{)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
xXPXEx
XD k
kk
2.推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2,
3,方差的性质
(1) D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数；
(2) 若 X,Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);
(3) D(X)=0?存在 常数 C，使 P{X=C}=1,且 C=E(X);
(4) 对任意 C?R,E(X?C)2 ? D(X),且
minE(X?C)2=E[X?E(X)]2=D(X).
另外，
)(XD
称为 X的 均方差 或 标准差,其量纲
与 X的一致。
二,几个重要 r.v.的期望与方差
1,二项分布 b(n,p)
X~P{X= k}= (1?p)k pn? k,k=0,1,2,…,nk
nC
).p1(np)np(npp)1n(n)X(D
,npp)1n(nnp)p1(p
)!1k(!k
!n
)1k(k
)X(E)]1X(X[E)X(E;np)p1(p
)!kn(!k
!n
k)X(E
22
n
2k
2knk
2
n
1k
knk
??????
?????
?
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2,泊松分布 p(?)
? ?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
?????
????
0k 1k
1kk
k;
)!1k(
ee
!k
k)X(E
.,,,2,1,0k,e
!k
}kX{P~X
.)X(D
,e
!k
)1k(k
)X(E)]1X(X[E)X(E
22
2k
2
k
2
????????
??????
?
??
???
?
?
?
??
3,均匀 分布 U(a,b)
.
12
)ab(
)
2
ba
(
3
baba
)X(D
,
3
baba
dx
ab
x
)X(E;
2
ba
dx
ab
x
)X(E
,,0
,bxa,
ab
1
)x(f~X
2
2
22
22b
a
b
a
2
2
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
? ?
其他
4,正态 分布 N(?,?2)
?????
??
? ?
???
x,e
2
1)x(f~X 2
2
2
)x(;dte)t(
2
1
dxe
2
x
)X(E
2
t
x
t
2
)x(
2
2
2
?????
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
??
??
令
.dte
2
t d e
2
dtet
2
1
dxe
2
)x(
]X[E)X(D
22
t2
2
t2
2
t
22
x
t
2
)x(2
2
22
2
2
2
??
?
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?
?
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?
?
?
??
??
????
??
?
?
?
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??
??
?
?
??
??
??
?
?
??
??
??
令
4.3 协方差，相关系数
一,协方差定义与性质
1.协方差定义 若 r.v,X的期望 E(X)和 Y的期望 E(Y)存在,则
称 E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}为 X与 Y的 协方差,记为 cov(X,Y),即
cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]},
2.协方差性质
(1) cov(X,Y)=cov(Y,X);
(2) cov(aX,bY)=abcov(X,Y),其中 a,b为 常数；
二,相关系数
(3) cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);
(4) cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E (Y)；
(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2cov(X,Y).? ?
1,定义 若 r.v,X,Y的方差和协方差均存在,且 DX>0,
DY>0，则
DYDX
)Y,Xc o v (
XY ????
称为 X与 Y的 相关系数,
若 ?XY=0，则称 X与 Y不相关,否则称 X与 Y相关。
DX
)X(EXX * ?? 称为 X的标准化，易知 EX
*=0,DX*=1.
Cov(X*,Y*) 称为 X与 Y的标准化协方差，易知
).Y,Xc o v ()YX(EDYDX )Y,Xc o v ( ****XY ????
引理 对于 r.v.X,Y,有 [E(XY)]2?E(X2)E(Y2).
.0)X(E)Y(E4)]XY(E[4
,0)X(E)XY(tE2)Y(Et)tYX(E)t(Q
222
2222
???
???????证 即 [E(XY)]2?E(X2)E(Y2).
该不等式称为 柯西 (Cauchy)不等式,
2.相关系数的性质
(1) |?XY|?1；
(2) |?XY|=1?存在 常数 a,b 使 P{X= aY+b}=1；
(3) X与 Y不相关 ? cov(X,Y)=0;
(4) X与 Y独立，则 X与 Y不相关，反之不然。
证 (1)由引理知
.1)Y(D)X(D)Y(E)X(E|)YX(E||| **2*2***XY ?????
(2),?” 若 |?XY|=1,则 由引理知：判别式
.)4(),3(
.1}0YtX{P0)t(Q""
);Y(E
)Y(D
)X(D
t)X(Eb,
)Y(D
)X(D
ta
.1}baYX{P,1}0YtX{P
*
0
*
0
00
*
0
*
显然
即得由
其中
即这说明
??????
????
??????
.0)tYX(D)tYX(E)t(Q,Rt
,0)Y(E)X(E)]YX(E[
**2**
00
2*2*2**
??????
??
使故存在
例 设 (X,Y)在 D={(X,Y),x2+y2?1}上服从均匀分布，则
X与 Y不相关，但不是相互独立的。
.Y,X.0)Y,Xco v (
,0dy
y
x d x)XY(E
,0)Y(E,0dx
x
dy)X(E
,.0
,1yx,
1
)y,x(f~)Y,X(
1
1
x1
x1
y1
y1
1
1
22
2
2
2
2
不相关这说明
又
同理
解
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
? ?
??
?
?
??
?
???
?
.YX
),0(f)0(f
41
)0,0(f
)0,0()y,x(f
,0
,1y1,y1
2
)y(f
,0
,1x1,x1
2
)x(f
YX2
2
Y
2
X
不相互独立与
的连续点对于
其它
其它
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
????
???
三,切比雪夫不等式
若 r.v.X的期望和方差存在，则对任意 ??0，有
.)X(D1}|)X(EX{|P 2??????
这就是著名的 切比雪夫 (Chebyshev)不等式。
它有以下几种等价的形式：
.k 11}k|X{|Pk 1}k|X{|P 22 ??????????? 或
记 ?2=D(X),?=E(X),则对 k>0,有;)X(D}|)X(EX{|P 2?????
4.4 矩、协方差矩阵
一, 矩
1,K阶原点矩 Ak=E(Xk),k=1,2,…
而 E(|X|k)称为 X的 K阶绝对原点矩；
2,K阶中心矩 Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…
而 E|X-E(X)|k称为 X的 K阶绝对中心矩；
易知 E(X)=A1,D(X)=B2.
3,K+l阶 混合 原点矩
E(Xk Yl),k,l=0,1,2,… ；
4,K+l阶 混合 中心矩
E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l},k,l=0,1,2,… ；
易知 cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}
是 1+1阶混合中心矩 。
可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学
期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
二, 协方差矩阵
1.定义 设 X1,…,X n为 n个 r.v.,记 cij=cov(Xi,Xj),
I,j=1,2,…,n,则称由 cij组成的矩阵为 r.v,X1,…,X n
的协方差矩阵 C。即
2.协方差矩阵的性质
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
nn2n1n
n22221
n11211
nnij
c.,,cc
.,,.,,.,,.,,
c.,,cc
c.,,cc
)c(C
(1) C=C’,其中 C’为 C的转置 ;
(2) C是 非负定矩阵,即对任意 n维实向量 ?=(?1,…,?n)’.有
?’ C??0.
证,(1)显然；
(2) ?’C?=?’E[(X??)(X??)’]?=E[?’ (X ??)(X ??)’?]
=E[(?’(X ??))(?’(X ??))’]?0，
其中 X=(X1,…,X n)’,?=(?1,?,?n)’,?i=Xi 。
则设例 ),,,,,(N~)X,X(1 22212121 ?????
),1(|C|,C 222212
221
21
2
1 ??????
?
?
?
?
?
????
?????
).C,(N~)'X,X(X,)',(,)'x,x(x
) },x(C)'x(
2
1ex p {
|C|2
1)x,x(f
212121
1
2/121
???????
?????
?
? ?
可记为其中
.nX,
)'X,,X(X)',,(,)'x,,x(x
) },x(C)'x(
2
1
e x p {
|C|)2(
1
)x(f
)C,(N~)'X,,X(X,
n1n1n1
1
2/12/n
n1
维正态分布服从称均值向量
的为其中
则
若一般地
???
?
??????
?????
?
?
??
?
X =(X1,X2)’的概率密度为
.),,,,,(N~)Y,X(2 XY222121 ???????? 则设例
? ?
?
??
?
??
???????
?
??
?
?
??
?
d x d y)y,x(f)y)(x()]EYY)(EXX[(E
,
y
t,
x
s,
21
2
2
1
1 则令先做变量代换证
21
2
v
22
t
21
1/)ts(v
]tst2s[
)1(2
1
2
21
dve)t1v(dtte
2
d s d ts t e
12
222
22
2
????
????
?
??
?
???
??
?
??
? ?
?
??
?
?
??
?
?????
?
??
?
??
???
??
?
令
故 ?XY=?.
可见，若（ X,Y）服从二维正态分布，则 X与 Y独立
的 充分必要条件 是 X与 Y不相关 。
另外，由 协方差矩阵 可以证明,相互独立正态随机变
量的线性组合还是正态随机变量 。即若 X1,…, Xn相互独
立，且
).,(N~X 2i
n
1i
2
i
n
1i
ii
n
1i
ii ????? ???
???
n,,1i),,(N~X 2iii ????,则对任意常数 ?1, … ?n
第五章 大数定律与中心极限定理
? 依概率收敛
? 大数定律
? 依分布收敛
? 中心极限定理
5.1 大数定律
一,依概率收敛
设 {Xn}为随机变量序列,X为随机变量，若存在 ?>0,使得
1}|XX{|Plim nn ??????
则称 {Xn}依概率收敛 于 X,可记为
.XX Pn ? ??
,EXn1EYn1Yn1,XY
n
1k
kn
n
1k
P
nkn ??
??
?? ??? 若有现令
.}X{
.1}|EYn1Yn1{|Pl i m,0
n
nnn
服从大数定律则称
即对任意的 ??????
??
二,几个常用的大数定律
1.切比雪夫 大数定律
设 {Xn}为独立随机变量序列，若 EXk<?,DXk?C，
C为正数,k=1,2,…,( 称 {Xn}为 方差一致有界 ),则 {Xn}服
从大数定律。即
.EXn1EYn1Yn1
n
1k
kn
P
n ?
?
?? ??
推论 1 若 {Xn}为独立 同分布 随机变量序列,且 EXk=? <?,
DXk= ?2<?,k=1,2,… 则 {Xn}服从大数定律。
推论 2 若 {Xn}为独立随机变量序列,满足马尔可夫条件：
,0)Yn1(Dlim nn ???
则 {Xn}服从大数定律。
2.伯努里 大数定律
设 {Xn}为独立随机变量序列,且 Xk~B(1,pk),0< pk <1,
k=1,2,… 则 {Xn}服从大数定律。
3,辛钦大数定律
若 {Xn}为独立 同分布 随机变量序列,且 EXk=? <?,
k=1,2,… 则 {Xn}服从大数定律。
大数定律说的是：对于 随机变量序列 {Xn}，只要它
满足一定的条件，即有
?
?
?
?
?
?? ??
n
1k
kn
n
1k
kn
P
n
.XY
,EX
n
1
EY
n
1
Y
n
1
其中
大数定律 可以用来说明 频率的稳定性。
5.2 中心极限定理
一,依分布收敛
设 {Xn}为随机变量序列,X为随机变量，其对应的分
布函数分别为 Fn(x),F(x),若在 F(x)的连续点，有
),x(F)x(Fl i m nn ???
则称 {Xn}依分布收敛 于 X,可记为,XX L
n ? ??
.}X{
),1,0(N~Y.v.rY,XY
n
n
1k
L*
nnkn
满足中心极限定理则称
的标准化若现令 ?? ??? ?
?
二,几个常用的中心极限定理
1.独立同分布 中心极限定理 (Levy-Lindeberg)
设 {Xn}为独立 同分布 随机变量序列，若 EXk=?<?，
DXk= ?2 <?,k=1,2,…,则 {Xn}满足中心极限 定理。
2.李雅普诺夫中心极限定理 (Liapunov)
设 {Xn}为独立随机变量序列，若 EXk=?k<?，
.}X{
),0n(,0|X|E
B
1
,0
.B,...,2,1k,DX
n
n
1k
2
kk2
n
n
1k
2
k
2
n
2
kk
满足中心极限定理则
使得若存在
记
??????
???????
?
?
?
??
??
?
3.德莫佛 -拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)
设随机变量 ?n(n=1,2,...)服从参数为 n,p(0<p<1)的二项
分布，则 ).1,0(N~L*
n ?? ???
三,大数定律与中心极限定理的关系
对于独立同分布 r.v.序列 {Xn}，大数定律给出了前 n项
算术平均值所遵循的规律 ; 而中心极限定理则在 n充分大时,
给出了 {Xn}前 n项之和落在某区间 (a,b]的近似概率，事实上
).n na()n nb(}bYa{P n ????????????
例 1 在一家保险公司里有 10000个人参加寿命保险，
每人每年付 12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为
0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得 1000元，问：
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)保险公司一年的利润不少于 40000元,60000元，
80000元的概率各是多少？
解 设 r.v.X表示一年内死亡的人数，则 X~B(n,p),其
中 n= 10000,p=0.6%，于是
(1)P=P{1000X?12(10000)>0}=1?P{X?120}=1 ??(7.75)=0;
(2)P1=P{12(10000)?1000X?40000}=P{X?80}=?(2.58)=0.9952;
P2=P{12(10000)?1000X?60000}=P{X?60}=?(0)=0.50;
P3=P{12(10000)?1000X?80000}=P{X??20}=1??(2.58)
= 0.0048,
答,(1)保险公司亏本的概率为 0；
(2)保险公司一年的利润不少于 40000元,60000元，
80000元的概率分别是 0.9952,0.50,0.0048,
例 2 某单位的电话交换机下设 200部分机，经调查每部分机一天内只
有 5%的时间使用外线。设各分机使用外线与否相互独立，试问要装
多少条外线，可使每部分机使用外线时有外线可供使用的概率不少
于 90%。
解 设装 N条外线可满足要求,r.v.X表示某时刻使用外线的分机数，
则 X~B(n,p),其中 n= 200,p=0.05，于是
.14N
,96.13N,2 8 5.1
5.9
10N
,9 0 0 6.0)
5.9
10N
(
)24.3()
5.9
10N
(
)
5.9
10
()
5.9
10N
(}NX0{P90.0
?
??
?
?
?
?
???
?
??
???
?
?????
故可取
可解得亦即即
答 略。
