概率论与数理统计综合练习2004.10（仅供内部交流）
N（0，1）分布表，t分布表略，请大家练习时参看课本。根据自己的实际情况选择做题。
一、是非题（对或错）
掷两枚匀质硬币，都出现正面的概率是1/2
若P(A)>0，则事件A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立
若随机变量X的方差存在，则恒有
设随机变量X、Y的方差存在，则X、Y相互独立的充要条件是
D（X+Y）=D（X）+ D（Y）
二、填空题
已知P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(B|A)=0.2, 则
设有10件产品，其中3件次品，现任取2件，则其中恰有1件次品的概率= ;其中至少有1件次品的概率= .
设有8人，每人等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（N>=8），则在指定的8个房间中各有一人住的概率= ；恰好有8个房间，其中各住一人的概率= .
进行重复独立试验，每次试验中P(A)=0.12, X表示在10次试验中A发生次数，则P(X=k)= ; Y表示直到A首次发生为止的试验次数，则P(Y=k)= .
设总体，样本，设，，则 ； ； ； 。
设总体X在（0，）内均匀分布，为未知参数，已知样本均值，则的矩估计值= 。
将n个球随机地放入N个盒子中去，每个盒子至多有一只球的概率是
设随机变量X的分布律为
X
-2
-1
0
1
3
pk
1/5
1/6
1/5
1/15
11/30
则的分律为
若随机变量X、Y相互独立，且D(X)=36, D(Y)=25, 则D(X-Y)=
设两正态总体，的参数都为未知，它们相应的容量分别为的两相互独立样本的样本方差为，则方差比的以为置信度的置信区间为
设两正态总体，的参数都为未知，现分别从两正态总体中抽得容量分别为的两相互独立样本，若要检验假设,应先根据自由度为 的 分布检验 ；再根据自由度为 的 分布检验 。
三、一大批产品的优质率是30%，每次任取一件，用X表示首次取到优质品时已经取得的非优质品件数，试求出X的分布律和数学期望。
四、（1）已知P(A)=1/4, P(B|A)=1/2, P(A|B)=1/3, 试求P（A∪B）；
（2）试证：若事件A、B相互独立，则事件A与也相互独立。
五、
叙述全概率公式的条件与结论，并证明之。
某电子元件损坏概率与电源电压有关。当电源电压低于200V时，元件损坏概率为0.10；当电源电压为200~240时，元件损坏概率为0.001；当电源电压高于240V时，元件损坏概率为0.20。设电源电压。求电子元件损坏的概率；电子元件损坏时，电源电压为200~240V的概率。
六、有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有3只红球7只白球，第二个箱子装有4只红球6只白球，第三个箱子装有5只红球5只白球，现用掷骰子来决定从哪个箱子里取出1只球，若出1点，则从第一个箱子里取出1只球，若出6点，则从第三个箱子里取出1只球，若出的是其他点，则从第二个箱子里取出1只球。
试求取出的是1只红球的概率；
已知取出的是1只红球，求这只红球是来自第三个箱子的概率。
七、设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，产量各占全部零件的45%,35%,20%，各车间的次品率依次为0.04, 0.02, 0.05，现从混合零件中任取一个
1、求该零件为次品的概率
若该零件为奖品，求它是由甲车间生产的概率。
八、某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售，已知其中有三箱牛奶已变酸，若你去购买第六箱牛奶（已售出五箱牛奶），
求你碰巧买到已变酸牛奶的概率；
若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶，求已售出的五箱牛奶中恰好有两箱是已变酸牛奶的概率。
九、设顾客在银行窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为
某顾客在银行窗口等待服务，若超过5分钟他就离开。他一个月要到银行4次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求出Y的均值和
十、机床加工某种轴的长度服从正态分布N(10, 0.01)，如果轴的长度在范围内为合格品（单位：厘米），今加工四根轴，求恰有三根是合格品的概率。（精确到小数点后面三位）
十一、
设X的密度函数为
;
求：（1）X的分布函数F(x);
(2) E(X)与D(X)
(3)Y=2X+3的密度函数
十二、设随机变量X的密度为
求
常数a;
概率
E(X),D(X)
的分布函数F(x)
十三、设随机变量
证明Y=aX+b ()也服从正态分布
已知，求使（请查表）
十 四、
设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
Y
X
-1
0
1
-1
0
1
验证X与Y不相关，亦不相互独立。
十五、设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律为
Y
X
0
1
2
-1
0.1
0.15
0.1
0
0.05
0
0.2
1
0.15
0.05
0.05
2
0
0.05
0.1
求：
1、X、Y的边缘分布律
2、max(X,Y)的分布律
X+Y的分布律
X与Y是否独立
十六、已知二维随机变量（X，Y）在三角形区域D：上服从均匀分布
1.写出X与Y的联合概率密度；
2.求出边缘密度fX(x)；
求出Z=X+Y的概率密度。
十七、已知二维随机变量（X，Y）在三角形区域
上服从均匀分布
写出X与Y的联合概率密度；
求出边缘密度
求出Z=X+Y的概率密度。
十八、设（X，Y）的联合密度函数为
求：（1）A值及P（X+ Y<1）;
(2) 边际密度函数与；
（3）Z=X+Y的密度函数
十九、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求
常数A
关于X及Y的边缘概率密度
Z=X+Y的概率密度
讨论X与Y的独立性并说明理由。
二十、设随机变量（X，Y）的概率密度为
求1、Z=X+Y的概率密度；
2、关于X和关于Y的边缘概率密度；并指出X和Y是否相互独立，为什么？
二十一、把m个相同的球任意地放入M个相同的盒子中（设盒子足够大，可装得下所有的球），求有球的盒子数的均值。
二十二、某郊外工厂用交通车在市内接送职工上、下班。某天下班后有20名职工上车返城回家，交通车可在沿途9个车站停靠下人。若某站无人下车，则车不停。设途中没有人再上车，且各人是否下车相互独立，求该天返城
交通车在某站不停的概率；
交通车的平均停靠次数。
二十三、设有N件产品，其中有D件次品，从中不放回地任取n件，求
n件中所含次品数X的分布律
E（X）
二十四、设X、Y独立同正态分布，试求Z1和Z2的相关系数。
二十五、设样本来自泊松（Poisson）总体X~为未知参数。
（1）试用极大似然估计法求
（2）讨论的极大似然估计量的无偏性。
二十六、设为来自某总体X的一个样本，其概率密度函数为
其中a已知，θ>0为未知参数。
试求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量；
讨论未知参数θ的极大似然估计量的无偏性，并说明理由。
二十七、设为来自某总体X的一个样本，其概率密度函数为
其中为未知参数。
试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量；
讨论矩估计量的无偏性，并说明理由。
二十八、设为未知参数，是来自X的一个样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求及的估计量，并讨论的极大似然估计量的无偏性。
二十九、设随机变量X在区间上服从均匀分布，其密度函数为
由此总体中抽出一容量为n的样本，求：
的极大似然估计
若和是参数的两个独立无偏估计量，而且的方差是的方差的两倍，试找出常数和使得是的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差为最小。
三十、某水泥厂用自动包装机包装水泥。已知包装重量，每包的额定重量为50千克。某日开工后抽取9包，测得其重量分别是（单位：千克）：
49.65 49.35 50.25 50.50 49.15 49.85 49.75 51.05 50.25
(1)试问该包装机工作是否正常？即提出假设，并在显著性水平下按解题步骤作出判断；
(2)求的置信度为0.95的置信区间。
注：以上计算精确到有效数字四位。
三十一、某车间用包装机包装糖果，每包糖果的额定重量是0.5kg, 包装重量，
某日开工后抽取9包，测得其重量分别是（单位：千克）：
0.506 0.518 0.497 0.511 0.498 0.524 0.520 0.515 0.512
(1)提出假设，推断这天包装机工作是否正常？（，显著性水平）；
(2)若未知，求出的置信度为0.95的置信区间。
三十二、一水果店为了要提前贮备某种秋季出售的应时商品，已知该商品每出售一千克获利润a元，如到秋季末尚有剩余商品未能售完，则每千克将亏损b元。设在任一秋季内，该商品的总销售量为Ｘ千克，它的分布密度为
如贮备t千克，该商品的利润为Ｔ（Ｘ，t），试建立T(X, t) 的表达式;
为使该商品利润最大（即利润的期望值最大），应贮备多少千克？
三十四、设，其中随机变量服从参数为的泊松分布，在（0，3）内服从均匀分布。已知与相互独立，试求X的期望和方差。
