第三章 流体力学基本方程
1,流体运动的基本概念 -流体运动的特征
2.并由 质量守恒 和 牛顿第二定律 出发，建
立研究 流体 运动的基本方程,
3,总流的动力学。
1．拉格朗日 (Lagrange)法
3-1 描述流体运动的方法
拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个
流体质点自始至终的运动过程,如果知道的了所有
流体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也
就清楚了, 是 质点 --时间 描述法。
(,,,)
(,,,)
(,,,)
x x a b c t
y y a b c t
z z a b c t
??
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质点运动的轨迹
a,b,c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标,
称为 拉格朗日变量,用来指定 质点 。
t --- 时间变量。
速度,
x
u
t
y
v
t
z
w
t
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加速度,
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质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得 速度 和 加速度,
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也
无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况
外，在工程流体力学中 很少采用 拉格朗日法。
x,y,z --欧拉变量,指定空间位置。
欧拉法是常用的方法。
2．欧拉 (Euler)法
欧拉法以 以考察不同流体质点通过固定空间
点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况,,
即着眼于各种运动要素的场分布,流场法,是 空间 --
时间 描述法。
),,,( tzyxuu xx ? ),,,( tzyxuu zz ?),,,( tzyxuu yy ?
),,,( tzyx?? ?),,,( tzyxpp ?
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
a
z
u
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?三个分量。
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?? uuuua
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??
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?? uuuu
加速度是流速场的全 导数。
全加速度,随体导数,质点导数
质点的加速度包括两个部分：
（ 1）当地加速度 （ 时变加速度,局地加速度 ）
— 特定空间点处 速度对时间的变化率；
（ 2）迁移加速度 （ 位变加速度,对流加速度 ）
— 对应于质点 空间位置改变 所产生的速度变化。
当地加速度 迁移加速度
),,,( tzyxuu ?
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
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??? uuuuua
3-2 描述流体运动的一些基本概念
一．恒定流与非恒定流 (定常流与非 定常 流 )
),,( zyxuu ?
),,( zyx?? ?
),,( zyxpp ?
流场中所有的运动
要素不随时间变化
),,,( tzyxuu ?
),,,( tzyx?? ?
),,,( tzyxpp ?
流场中所有的运动
要素随时间变化
0
0
0
?
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t
t
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t
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0
0
0
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t
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u
二．迹线,流线
迹线 --- 流体质点的 运动轨迹 线。
流线 --- 某一时刻 处处与速度矢量 相切 的空间曲线 -瞬时性。
u2
u1
u3 u
4
流线的特征
1,恒定流时,流线的形状和位置不随时间改变
2,恒定流时,流线与迹线重合。
3,流线不能相交
流速矢量 V 与微元弧长 ds 相平行，所以
流线方程
dsVA
流线的微分方程
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长，
为流体质点在 A 点的流速 。kjiu
zyx uuu ???
zyx u
dz
u
dy
u
dx ??
例 已知平面流动
求 t = 0 时, 过点 M (-1,-1) 的流线 。
d x d y
x t y t?? ? ?
? ? ? ?l n l n l nx t y t c? ? ? ? ? ?
( ) ( )x t y t c? ? ? ?
解 由式 得
将 t = 0,x = -1,y = -1 代入，得瞬时流线
xy = 1,流线是双曲线。
积分后得到：
x
y
yx u
dy
u
dx ?
txu x ?? tyu y ???
三．流管,流束与总流
流管 --- 由流线组成的管状曲面。
流束 --- 流管内的流体。
例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。
总流 ------多个流束的集合。
四．过水断面,流量,断面平均流速
过水断面 ---与流束或总流流线成正交的断面。
AdA,
流量 ---单位时间内通过某一过水断面的流体体
积称为流量。
? ??? A AudAdQQ
断面平均流速
A
QV ? AVQ ?
五．一元流,二元流,三元流
一元流动 -- 流动参数只与 一个坐标变量 有关。
x例
二元流动 - 流动参数与 两个坐标变量 有关。
三元流动 (空间流动 ) -- 流动参数与 三个坐标变量 有关。
),( txuu ?
),,( tzsuu ?
z
y
M
s
B
B
M
3-3 连续性方程
一 微分形式的连续方程
流入的流体 -流出的流体
=微元体内流体的增加
z
x
yx?
y?
z? yu
2
dy
y
uu y
y ?
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y方向 流入的流体 -流出的流体 d xd y d z
y
u y
?
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x方向 流入的流体 -流出的流体
z方向 流入的流体 -流出的流体
d xd yd zyu x??? )( ?
d xd yd zyu z??? )( ?
微元 体内流体的增加
d x d y d zt???
0)()()( ???????????? zuyuxut zyx ????
连续性方程
连续性方程
对于三维定常流动，
对于不可压缩流体的三维流动 (? = const.)，
0)()()( ???????????? zuyuxut zyx ????
0)()()( ????????? zuyuxu zyx ???
0????????? zuyuxu zyx
对于不可压缩流体的二维流动 (? = const.)，
0?????? yuxu yx
例 不可压缩流体平面流动的速度分布为
22,u a x y x? ? ? v x y b y? ? ?
求 a,b 的值。
解 由不可压缩流体二维流动的连续性方程知道
2 1 0uv a x x bxy??? ? ? ? ? ???
由此得到 。0,5,1ab??
二 恒定总流的连续方程
2
2
1
1
dA1
dA2
u1
u2
从 1-1断面流入 dtdAu
111?
从 2-2断面流入 dtdAu
222?
dtdAudtdAu 222111 ?? ?恒定
不可压
2211 dAudAu ?
.2211 c ons tdAudAudQ ???
对于总流 ??? ??
AAA dAudAudQ 2211
.2211 vAvAQ ??
1,流体运动的基本概念 -流体运动的特征
2.并由 质量守恒 和 牛顿第二定律 出发，建
立研究 流体 运动的基本方程,
3,总流的动力学。
1．拉格朗日 (Lagrange)法
3-1 描述流体运动的方法
拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个
流体质点自始至终的运动过程,如果知道的了所有
流体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也
就清楚了, 是 质点 --时间 描述法。
(,,,)
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质点运动的轨迹
a,b,c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标,
称为 拉格朗日变量,用来指定 质点 。
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由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也
无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况
外，在工程流体力学中 很少采用 拉格朗日法。
x,y,z --欧拉变量,指定空间位置。
欧拉法是常用的方法。
2．欧拉 (Euler)法
欧拉法以 以考察不同流体质点通过固定空间
点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况,,
即着眼于各种运动要素的场分布,流场法,是 空间 --
时间 描述法。
),,,( tzyxuu xx ? ),,,( tzyxuu zz ?),,,( tzyxuu yy ?
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欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
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加速度是流速场的全 导数。
全加速度,随体导数,质点导数
质点的加速度包括两个部分：
（ 1）当地加速度 （ 时变加速度,局地加速度 ）
— 特定空间点处 速度对时间的变化率；
（ 2）迁移加速度 （ 位变加速度,对流加速度 ）
— 对应于质点 空间位置改变 所产生的速度变化。
当地加速度 迁移加速度
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3-2 描述流体运动的一些基本概念
一．恒定流与非恒定流 (定常流与非 定常 流 )
),,( zyxuu ?
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流场中所有的运动
要素不随时间变化
),,,( tzyxuu ?
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二．迹线,流线
迹线 --- 流体质点的 运动轨迹 线。
流线 --- 某一时刻 处处与速度矢量 相切 的空间曲线 -瞬时性。
u2
u1
u3 u
4
流线的特征
1,恒定流时,流线的形状和位置不随时间改变
2,恒定流时,流线与迹线重合。
3,流线不能相交
流速矢量 V 与微元弧长 ds 相平行，所以
流线方程
dsVA
流线的微分方程
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长，
为流体质点在 A 点的流速 。kjiu
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求 t = 0 时, 过点 M (-1,-1) 的流线 。
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解 由式 得
将 t = 0,x = -1,y = -1 代入，得瞬时流线
xy = 1,流线是双曲线。
积分后得到：
x
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txu x ?? tyu y ???
三．流管,流束与总流
流管 --- 由流线组成的管状曲面。
流束 --- 流管内的流体。
例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。
总流 ------多个流束的集合。
四．过水断面,流量,断面平均流速
过水断面 ---与流束或总流流线成正交的断面。
AdA,
流量 ---单位时间内通过某一过水断面的流体体
积称为流量。
? ??? A AudAdQQ
断面平均流速
A
QV ? AVQ ?
五．一元流,二元流,三元流
一元流动 -- 流动参数只与 一个坐标变量 有关。
x例
二元流动 - 流动参数与 两个坐标变量 有关。
三元流动 (空间流动 ) -- 流动参数与 三个坐标变量 有关。
),( txuu ?
),,( tzsuu ?
z
y
M
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B
B
M
3-3 连续性方程
一 微分形式的连续方程
流入的流体 -流出的流体
=微元体内流体的增加
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y方向 流入的流体 -流出的流体 d xd y d z
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x方向 流入的流体 -流出的流体
z方向 流入的流体 -流出的流体
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微元 体内流体的增加
d x d y d zt???
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连续性方程
连续性方程
对于三维定常流动，
对于不可压缩流体的三维流动 (? = const.)，
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对于不可压缩流体的二维流动 (? = const.)，
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例 不可压缩流体平面流动的速度分布为
22,u a x y x? ? ? v x y b y? ? ?
求 a,b 的值。
解 由不可压缩流体二维流动的连续性方程知道
2 1 0uv a x x bxy??? ? ? ? ? ???
由此得到 。0,5,1ab??
二 恒定总流的连续方程
2
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从 1-1断面流入 dtdAu
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从 2-2断面流入 dtdAu
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