3.3 流体运动的微分方程
化简后得到
y
pfa
yy ?
???
?
1
1.理想液体的运动方程式
yy zayxzfyxzx
y
y
ppzxy
y
pp ???????????
?
??????
?
?? ??)
2()2(
maF ?
2
p dxp
x
??
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dz dydx
z
y
x
o
p 2
p dxp
x
??
?fx
流体微元
z
p
fa
y
p
fa
x
p
fa
zz
yy
xx
?
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?
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??
?
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?
1
1
1
同理可得
欧拉运动方程式
2.实际液体的运动方程式
)(
1
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
fa
z
u
y
u
x
u
y
p
fa
z
u
y
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x
p
fa
yyy
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yyy
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xxx
xx
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?
?
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?
3.5 伯努利方程
一,理想流体恒定流沿流线的能量方程式
ds
? dzg?
sds
dpp?
p
dAmaF ?
d A d s ad A d s fdAdppp d A s ?? ???? )(
)(suu ?
ds
dpfa
s ?
1??
)2(
2u
ds
d
ds
duu
dt
ds
ds
du
dt
dua ????
ds
dp
ds
dzg
ds
dpgu
ds
d
???
11co s)
2(
2
??????
0)2(
2
??? gugpzdsd ?
Cgugpz ??? 2
2
?
对不可压缩流体 tc os??
z
单位重流体的 重力势能 位置水头
p
g?
单位重流体的 压强势能 压力水头
2
2
u
g
2
2
puz
gg?
??
总机械能 总水头
物理意义 几何意义
单位重流体的 动能 流速水头 s
z
p
g?
2
2
u
g
2
2
u
g
p
g?
z
基准面
总水头线
2
2
puzC
gg?? ? ?
理想流体 能量方程式的物理意义
沿流线机械能守恒
适用条件：
(1) 定常 流动 ； (2) 理想 流体；
(3) 不可压缩 流体； (4)质量力只有 重力 ；
二 压强沿流线法向的变化
2
r
ua
r??
当曲率半径 r 很大，
pzC
g???
沿着 流线的法向 r 有：
向心加速度,
dr
dpfa
rr ?
1??
dr
dzggf
r ???? c o s
dr
dp
dr
dzg
r
u
?
12 ???? )(2
?
pgz
dr
dz
r
u ??
0
2
?ru
dz dr?
g
u sp+dp
r?
p
三 均匀流,渐变流,急变流
均匀流和渐变流的过水断面上,动水压强分布规律于静水压
强相同,即同一过水断面上各点的测压管水头为常数：
pzC
g???四,理想流体 总流的伯努 利方程
管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个 总流,
由多个微元流束组成 。
假设 A1,A2是缓变流截面，对于微元流束：
22
1 1 2 2
12 22
p u p uzz
g g g g??? ? ? ? ?
A1 A2
dA1 dA2
u1 u2gdQdAgudAgu ??? ?? 2211
gdQgugpzgdQgugpz ???? )2()2(
2
22
2
2
11
1 ?????
A1 A2
dA1 dA2
u1 u2
?? ?????
21
)2()2(
2
22
2
2
11
1
AA
gdQgugpzgdQgugpz ????
通过断面 1和 2的能量
QgpzdQgpzdQgpz
AA
)()()( ??? ????? ??
其中
QgVdQgVdQgu
AA 222
222
21
?? ?? ?? AV dAu 3
3?
??
g
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 ???? ?????
3-6 伯努利方程应用举例
2
00 1
0 1 1 2
pp Vzz
g g g???? ? ? ?
h
0
1
p
0
p
0
1 1? ?01z z h??
1 2V g h?
五,实际流体的 伯努 利方程
1.沿流线
g
u
g
pz
g
u
g
pz
22
2
22
2
2
11
1 ????? ??
'
2
22
2
2
11
1 22 whg
u
g
pz
g
u
g
pz ??????
??
2.对于总流
whg
V
g
pz
g
V
g
pz ??????
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 ????
例 水深 1.5 m，大截面开口水箱，箱
底接一长 2 m的开口竖直管，假设
管中流动定常，求竖直管中 2-2截
面上 的压强。
1 0V ?
解 考虑缓 变流截面 1-1,2-2和 3-3，取
23 1a? ??
把基准面 O-O取在 3-3上, 对 1-1和 3-3
写出总流的伯努利方程
13 ap p p??
O O
1 1
2 2
1.5m
1.0m
1.0m
3 3
g
V
g
pz
g
pz
2
2
22
2
1
1 ???? ?? smzzgV /2 8 5.8)(2 313 ???
对 2-2和 3-3写出总流的伯努利方程
O O
1 1
2 2
1.5m
1.0m
1.0m
3 3
应用条件,
(1)恒定 (定常 )
(2)不可压流体
(3)重力场
(4)无其它能量的输入或输出
(5)总流量沿程不变
注意点,
(1)所选过流断面为均匀流或渐变流
(2)基准面选取任意,统一
(3)压强项可取绝对,相对,统一
(4)计算断面测压管水头时,可选断面任一点
(5)动能修正系数,一般可取为 1
g
Vz
g
V
g
pz
22
2
3
3
2
22
2 ???? ?
32 VV ?
9806)( 232 ???? zzgp ?
假设测压管所在断面 1,2为
缓变流截面，截面形心点为计
算点，对断面 1,2写出伯努利
方程，取 ?1 ?? 2 ? 1, 得
例 文丘里流量计原理。
g
V
g
pz
g
V
g
pz
22
2
22
2
2
11
1 ????? ??
2211 AVAV ?
2
2
1
1
2
1
12 ??
?
?
???
???
d
dV
A
AVV
???
?
???
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???
?
???
? ??
?
?
?
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?
?
?
?
???
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???
?
?
g
pz
g
pz
d
d
g
V
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2
2
1
1
4
2
2
2
2 1
2
?h
A1 A2
??
V1 V2
p1 p2
?
1z
2z
压差与测压管液面高度差的关系为：
最后得到流量：
?-- 流量 修正系数 ( ? ≈ 0.95 ~ 0.98 )
?? 11 gzp ?
?h
A1 A2
??
V1 V2
p1 p2
?
1z
2z
hghzgp ????? ')( 22 ??
hgpzgpz ?????
?
?
???
? ??
???
?
???
? ?
?
??
??
'2
2
1
1
4
12
2
2
22 )/(1
2)1'(
4 dd
hgdAVQ
?
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