自控原理 CAI
1 引言第七章 非线性控制系统分析非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统,包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节,则称这类系统为非线性系统,其特性不能用线性微分方程来描述 。
一,控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中,一些是组成控制系统的元件所固有的,如饱和特性,死区特性和滞环特性等,这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的,如继电器特性,变增益特性,在控制系统中加入这类特性,一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性 。
非线性系统分析
)( tx
atetk a s i g n e
atetke
)()(
)()(
饱和特性式中
a
线性区宽度
k
线性区特性的斜率
)( te
0)(1
0)(1)(
te
tets i g n e
（ 2） 死区特性
ateta s i gn etek
atetx
)()()(
)(0)(
式中?a 死区宽度
k - 线性输出的斜率式中2 间隙宽度
k 间隙特性斜率危害：使系统输出信号在相位上产生滞后,从而降低系统的相对稳定性,使系统产生自持振荡 。
（ 4） 继电器特性
0)()(
0)()(
0)()(
)(
txtb s i g n e
txtek
txtek
tx
功能：改善系统性能的切换元件
（ 4） 继电器特性
0)(,)(
0)(,)(
)()(
0)(,)(0
0)(,)(0
)(
temateb
temateb
atetb s i g n e
tematea
teatema
tx
变增益特性
atetek
atetek
tx
)()(
)()(
)(
2
1
式中 21,kk - 变增益特性斜率
a - 切换点特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特二,非线性控制系统的特性
（ 1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，
它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，
一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。
（ 2） 在线性系统中,系统的稳定性只与其结构和参数有关,而与初始条件无关 。 对于线性定常系统,稳定性仅取决于特征根在 s平面的分布 。 但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外,还和初始条件有关 。 在不同的初始条件下,运动的最终状态可能完全不同 。 如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的,而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定 。 反之,也可能初始值大时系统稳定,而初始值小时系统不稳定 。 甚至还会出现更为复杂的情况 。
（ 3） 在非线性系统中,除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外,往往即使无外作用存在,系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡 。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡,简称自振荡 。
改变非系统的结构和参数,可以改变自持振荡的振幅和频率,或消除自持振荡 。
对线性系统,围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式,其中不可能产生稳定的自持振荡 。
（ 4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
三,非线性系统的研究方法现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。
对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统：相平面法高阶系统：描述函数法
2.相平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
一,基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
),( xxfx （ 1 ）
如果以 x 和 x? 作为变量，则可有
),( xxf
dt
xd
x
dt
dx
（ 2 ）
用第一个方程除第二个方程有
x
xxf
dx
xd
),(
（ 3 ）
这是一个以 x 为自变量，以 x? 为因变量的方程，如果能解出该方程，则可以用 （ 2 ）式把 tx,的关系计算出来。因此对方程 （ 1 ）的研究，可以用研究方程 （ 3 ）来代替。如果把方程 （ 1 ）看作质点的运动方程，则 x
代表质点的位置,x? 代表质点的速度 （因而也代表了质点的动量）。用 x 和 x? 描述方程 （ 1 ）的解，也就是用质点的状态 （如位置和动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x? 的平面称为相平面，相平面是二维的状态空间。
二,线性系统的相轨迹设描述系统运动的微分方程为
02
2
xwxwx
nn
分别取 x 和 x? 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标,上 述 方 程 为,
02
2
xwxw
dt
dx
dx
xd
nn
则
x
xwxw
dx
xd
nn
2
2?
上式代表描述二阶系统 自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 0?x 及
0?x?,即坐标原点 （ 0,0 ）处的斜率为
0
0
dx
xd?
，由此我们有奇点的定义奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点 。
（ 1 ）无阻尼运动形式 （ 0 ）?
dx
xd?
x
xw n
2
积分有 x d xwxdx n 2
2
2
2
2
A
w
x
x
n
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10(
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10(
（ 3 ）过阻尼运动形式 （ 1 ）
（ 4 ）负阻尼运动形式 （ 01 ）
（ 5 ） 1
（ 6）
三,相轨迹的绘制
（ 1 ）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x? 的关系用求解微分方程的办法找出 xx?,的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
a,消去参变量 t
由 ),( xxfx 直接解出 )( tx,通过求导得到 )( tx? 。在这两个解中消去作为参变量的 t,就得到 xx 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 0 Mx
其中 M 为常量，已知初始条件 xxx )0(,0)0(? 。求其相轨迹。
解,Mx,积分有
Mtx ( 1 ) 再积分一次有
2
2
1
Mtxx ( 2 )
由 ( 1 ),( 2 ) 式消去 t 有
)(2
2
xxMx
M = 1 M = - 1
b.直接积分法
dx
xd
x
dt
dx
dx
xd
dt
xd
x
),( xxf
dx
xd
x?
上式可分解为
dxxhxdxg )()(
则由
x
x
x
x
dxxhxdxg
)()(
可找出?
xx?
得关系在上式中 由 Mx 可有
Md xxdx
x
M
dx
xd
积分有
)(2
)(
2
1
2
2
xxMx
xxMx
可见两种方法求出的相轨迹是相同的
（ 2） 图解法
a.等倾线法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线原理：
),( xxfx
因
dx
xd
xx
故有
x
xxf
dx
xd
),(
式中
dx
xd?
为相轨迹在某一点的切线的斜率 令
dx
xd?
,则
x
xxf
),(
I
满足此方程的点
),( xx?
出的斜率必为
，有上式确定的 xx 关系曲线称为等倾线。相轨迹必然以
的斜率经过等倾线步骤：
a,根据等倾线方程式 I,做出不同? 值的等倾线
b,根轨初始条件确定相轨迹的起始点
c,从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二,第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
例 做出 0 xxx 的相轨迹 1)0(?x? 0)0(?x
解,（ 1 ）等倾线方程
xx
dx
xd
x
x
xx
dx
xd
故等倾线方程为
xx
1
1
显然为直线该等倾线的斜率为
1
1
tg
1
90
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为tg
45)1( a r c t g?
9
4
2
1
5.0
0
2.0
4.0
11
4
3
5.2
2
8.1
6.1
4.1
2.1
7.5
3.11
4.18
6.26
6.33
45
3.51
59
7.5
4.18
6.26
7.33
45
3.51
59
2.68
7.78
3.84
76
4.63
45
6.26
0
3.11
8.21
8.84
76
6.71
2.68
4.63
61
58
4.54
50
b,? 法原理：
),( xxfx 这里 ),( xxf? 是单值连续函数
xwxxfxwx
22
),(
式中适当选择 w 值，以使下面定义的? 函数值在所讨论的 x,x? 取值范围内，既不太大也不太小。 函数定义如下
2
2),(
),(
w
xwxxf
xx
函数值取决于变量 x 和 x?,而当 x 和 x? 变化很小时 ),( xx 可以看作一个常量。
0)(
1
2
xwx
x
xw
dx
xd
)(
1
2
积分有
22
11
22
1
2
2
11
22
1
22
1
2
1
2
))()(()()(
)()(
2
1
)(
2
1
)(
Ax
w
x
x
w
x
xwxwxx
dxxwxdx
这是一个以 )0,( 1? 为圆心，以 2112 )()( xwxA? 为半径的圆弧。 ),( 11 wxx?
附近的相轨迹可用这段圆弧来代替做图步骤
①在
w
x
x
平面上，根据初始状态的坐标 （ ),
w
x
x 计算出
②以 （ )0, 为圆心，过初始状态作一小段圆弧，使系统的状态从
),(
w
x
x
转移到 ),(
1
1
w
x
x
③根据 1x 和
w
x
1
求出 1? 后，以 )0,( 1? 为圆心，作过 ),(
1
1
w
x
x
的一段圆弧。系统状态又以 ),(
1
1
w
x
x
转移到 ),(
2
2
w
x
x
例：试用? 法做出由初始状态 0)0(,1)0( xx? 的系统 03 xxx 的相轨迹解：原方程变为
3
xxx
取,1 则
xxxxx
3
则 xxxxx
3
),(
相轨迹的起始点为 )0,1(1A
以原点为圆心,1 为半径做一圆弧四,由相轨迹求时间解
1,根据
x
x
t
求时间解在 xx 坐标上
t
x
x
x
x
t
在
w
x
x
坐标上
)(
1
w
x
x
w
t
由图可见
AB
AB
AB
x
x
t
BC
BC
BC
x
x
t
CD
CD
CD
x
x
t
x 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
CD
CD
CD x
x
t
x 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
2,根据 dx
x
t
1
求时间解
dt
dx
x
dx
x
tt
x
x
2
1
1
12
以
x
为横坐标，
x?
1
为纵坐标则有如下轨迹
dx
x
t
B
A
x
x
AB?
1
便是阴影部分的面积
3,根据圆弧近似求时间解
w
t
wt
相轨迹上由 A 点运动到 D 点的时间为
)(1 321
w
tttt CDBCABAD
五,非线性系统的相平面分析
1,基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹,所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环,或从极限环卷出 。 极限环内部 （ 或外部 ） 的相轨迹,总是不可能穿过极限环而进入它的外部 （ 或内部 ） 。
（ 1） 稳定极限环 在极限环附近,起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环 。 这时,系统表现为等幅持续振荡 。
（ 2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。
在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。
（ 3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环 ;
或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。
一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，
因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：
（ 1） 将非线性特性用分段的直线特性来表示,写出相应线段的数学表达式 。
（ 2） 首先在相平面上选择合适的坐标,一般常用误差及其导数分别为横纵坐标 。 然后将相平面根据非线性特性分成若干区域,使非线性特性在每个区域内都呈线性特性 。
（ 3） 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 。
（ 4） 在各个区域内分别画出各自的相轨迹 。
（ 5） 将相邻区域的相轨迹,根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来,便得到整个非线性系统的相轨迹 。
（ 6） 基于该相轨迹,全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例
2.非线性系统方框图如图所示,试取其系统在输入信号
（ 1 ） )(1)( tRtr （ 2 ） vtRtr)( 作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。
1?k 1?K 1?T 初始状态 0)0(?c 0)0(?c?
解：死区特性的数字表达式为
eeee
eeee
ee
x
0
线性部分微分方程为
KxccT
而
cre
故有 rrTKxeeT
根据死区特性，系统可分为三个区
I 区 rrTeeT
ee?
II 区
rrTeeKeeT
)(
ee
III 区
rrTeeKeeT
)(
ee
（ 1 ） )(1)( tRtr
三个区的微分部分分别为
I 0 eeT
ee?
II 0)(
eeKeeT
ee
III 0)(
eeKeeT
ee
在 I 区
Tde
ed 1?
常量 说明相轨迹是斜率为
T
1
的直线或 0?e? 的横轴在 II 区
e
eeKe
de
ed
)(
奇点为?
eee,0
奇点正好位于 I,II 区分界线上令
de
ed?
则有等倾线方程
1
)(
eeK
e
这里斜率为
1
K
得直线方程过
)0,(
e
点
2
5.1
2.1
1.1
5.0
1
0
1
45
4.63
7.78
7.5
4.63
90
45
6.26
3.64
3.56
50
8.84
6.26
45
0
45
同理在 III 区，等倾线为
1
)(
eeK
e
起始坐标
0)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
ccre
RcRcre
（ 2 ） vtRtr)(
veeTee? 渐近线 ve
veeKeeT )(ee? 实奇点 )0,(?e
K
v
veeKeeT )(ee 虚奇点 ( 0,?e
K
v
)
例 1 求下列方程的奇点，并确定奇点类型
（ 1 ） 02 2 xxx
（ 2 ） 0)1( 2 xxxx
解,奇点
0
0
dx
xd?
dx
xd
xx
x
xxf
dx
xd
),(
故可由
0),(,0 xxfxx
来确定奇点
（ 1 ）
)(
2
1
2
xxx
令
0
0
0)(
2
1
0
2
x
x
xx
x
在奇点处，将
),( xxf?
进行泰勒 ( T a y l o r ) 级数展开
xxx
x
xxf
xx
x
xxf
fxxf
x
x
x
x
2
1
)(
),(
)(
),(
)0,0(),(
0
0
0
0
故有
0
2
1
x
特征方程
0
2
1
2
2
1
j
故奇点为中心点
e
（ 2 ）
xxxx )1(
2
0
0
x
x?
xxx
即
0 xxx
01
2
2
31 j?
所以为不稳定焦点
m
e
例 3
解,
)(1
0
tr
KxeeT
cer
KxccT
M
M
M s i g n ex
0
0
mee
mee
ee
meee
eeme
0
0
0
0
e
e
e
e
I 0 eeT
0,
0,
emeee
eeeme
II 0 KMeeT
0,emee
ee
III 0 KMeeT
0,emee
ee
I 区 相轨迹斜率为
T
1
的直线或 0?e
II,III 区 等倾线
11
KM
e
KM
e
渐近线
KMeKMe0?
衰减振荡，最终稳态误差为常值
-
N ( A )
3.描述函数法一,本质非线性特性的谐波线性化
1,谐波线性化：具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下,在其非正弦周期函数的输出响应中,假设只有基波分量有意义,
从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 。
2,基波假设：自振状态下，非线性部分和线性部分的输入、输出均可视为为同频率的正弦信号 （这里自振即 0)(?tr ）
3,应用描述函数法分析非线性系统的前提
a.非线性特性具有奇对称性
b.非线性系统具有图 a所时的典型结构
c.非线性部分输出 x(t)中的基波分量最强
d.非线性部分 G(s)的低通滤波效应较好
4,描述函数定义 描述函数的模等于非正线周期输出的基波 )s i n ()( 111 wtxtx 的振幅与输入正弦 wtAte s i n)(? 的振幅 A 之比 Ax 1,其幅值为正线输出 )(1 tx 相对正弦输入 )( te 的相移 1?,因此
11)(?jeAxAN?
b.非线性特性的描述函数的求取方法设
wtAte s i n)(?
为非线性元件的正弦输入其非线性周期输出 )( tx 付立叶级数为
)s i nc o s()(
1
wtBn w tAAtx
n
n
n
)s i n (
1
n
n
n
n wtxA
式中
2
0
c o s)(
1
n w t d w ttxA
n
n
n
nnnn
B
A
a r c t gBAx
wtn w t dtxnB
22
2
0
1
)(s i n)()(
若非线性特性是奇对称的，则 )(,0 txA?
的基波分量为
wtBwtAtx s i nc o s)(
111
)s i n (
11
wtx
这里
2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
11
2
0
1
)(
)(s i n)(
1
B
A
j a r c t g
e
A
BA
AN
B
A
a r ct gBAx
wtwt dtxB
二．典型非线性特性的描述函数
（ 1） 饱和特性的描述函数饱和特性数学表达式为
wt
wt
wt
wtkA
b
wtkA
tx
1
11
1
0
s i n
s i n
)(
由于 x ( t ) 为单值积对称函数，故有 0,0 01 AA
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
21
11
2
1
2
11
2
22
1
2
1
2
1
111
1
0
0
1
0
2
2
0
2
)(1ar c s i n
2
)(
0
)(1ar c s i n
2
)(1)(1
2
1
ar c s i n
2
14
s i n1s i n1s i n
2
1
ar c s i n
2
14
c o s2s i n
4
1
2
14
c o s2s i n
2
12
c o s)2c o s1(
2
14
c o s)(s i n
2
4
)(s i n)(s i ns i n
4
1
1
1
2
1
1
1
1
A
a
A
a
A
a
ke
A
x
AN
BBAx
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
k
A
a
A
k
A
a
wtwt
kA
A
a
d wtwt
kA
wtbwtwt d
kA
wtwt dbwtwt dwtkA
B
A
j a r c t g
（ 2）死区特性描述函数
wtAte s i n)(?
死区特性数学表达式为
wtAte s i n)(?
死区特性数学表达式为
0
0
)s i n(
0
)(
1
11
1
wt
wt
wt
awtAktx
x ( t ) 为单值奇对称函数，故有
0,0,0
101
AA
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
2
111
222
2
)(1ar c s i n
2
2
c o s22s i n
2
122
c o s)2s i n
4
1
2
1
(
4
s i n)s i n(
4
111
1
A
a
A
aka
kakA
wtkawtwtkA
w t d w tawtAk
2
)(1a r c s i n
2
2
)(
A
a
A
a
A
ak
AN
（ 3） 间隙特性的描述函数
A
A
AA
2
1s in
)
2
1ar cs in (
2)s in (
1
1
1
wtwtAk
wtAk
wtwtAk
x
1
1
)s i n(
2
)(
2
0)s i n(
)( tx 为奇对称，但非单值 0
0
A
2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA =
2
0
2
)(c o s)s i n()(c o s)()(c o s)s i n(
2
1
wtw t dwtAkwtw t dAkwtw t dwtAk
=
1
1
s i n2c o s
4
s i n)(s i n2c o s
4
2
2
2
0
wtKwt
kA
wtAkwtKwt
kA
=
111
s i n)2c o s1(
4
)(s i n)()11(
4
2
K
kA
AkAkK
kA
=
)
2
1()
2
1(21
44
)()
2
1)((
2
2
2
A
K
A
kAkA
Ak
A
Akk
kA?
=
A
k
A
k
k
kA
A
k
kk
kA
222
22
2
2
2
22
2
2
= )22(2
2
A
kk
= )1(4
A
k?
2
0
1
s i n)(
1
w t d w ttxB =
2
0
2
1
1
s i n)s i n(s i n)(s i n)s i n(
2
w t d w twtAkw t d w tAkw t d w twtAk
11
1
co s)2s i n
4
1
2
1
(co s)(co s2s i n
4
1
2
1
(
2
2
2
0
2
0
wtkwtwtkAwtAkwtkwtwtkA
=?
)1()
2
1(2)
2
1a r c s i n (
2 AAAA
kA
1
1
2
1
2
111
)(
B
A
ar c t g
e
A
BA
A
A
j
A
B
AN
=
)1(
4
)1()
2
1(2)
2
1a r c s i n (
2
AA
k
j
AAAA
k?
A
（ 4）继电特性描述函数
A
me
meA
A
e
eA
0
2
02
0
1
01
ar c s in
)s in (
ar c s in
s in
)( tx 奇对称 00?A
wt
wtM
wt
tx
2
21
1
0
00
)(
2
0
1 c o s)(
1
w t d w ttxA
2
1
c o s
2
w t d w tM
2
1
s i n
2
wtM
)s i n( s i n
2
12
M
)1(
2
0
m
A
Me
2
0
1
s i n)(
1
w t d w ttxB
2020
12
)(1)(1
2
)c o s( c o s
2
s i n
2
2
1
A
e
A
meM
M
wt d wtM
A
A
j
A
B
AN 11)(
)1(
2
)(1)(1(
2 02020
M
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
1?m
20 )(14)(
A
e
A
MAN
00?e
A
MAN
4)(?
1M
2
020 4)(14)(
A
Mej
A
e
A
MAN
（ 5） 变增益特性的描述函数
)()()( 21 ANANAN
= )()()()( 2131211 ANANANAN
111 )( kAN?
0,0
01
AA
w t d w twtAkB s i ns i n
1 2
0
11?
Ak
Ak
wtwtAk
wt d wtAk
1
1
2
0
1
2
0
2
1
0
4
4
2s i n
4
1
2
14
s i n
4
wtAe
wtAkekx
s i n
s i n
11
1
1
)( k
A
B
AN
(6)典型非线性环节串联时的描述函数两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符和谐波线性化的条件，
故不存在描述函数 )(2 AN,求取串联环节的传递函数时应求取其等效非线性特性的描述函数。
例 1求取非线性环节的等效形式解,
axMy
eeeekx
00 )(
令 )( 0eeka
0e
k
a
e 即 0e
k
a
例 2
)(
22
xky
)(
11
ekx
1
2
121
1
2
12121112
)()(
k
kkk
ek
k
ekkkekky
三,非线性控制系统的描述函数分析
(1)控制系统的稳定性分析
)()(1
)()(
)(
)(
jwGAN
jwGAN
jwR
jwC
特征方程为
)(
1
)(
0)()(1
AN
jwG
jwGAN
非线性特性的负倒描述函数相当于
1)(jwG
N y q u i s t 图上分析斜波线性化系统稳的准则是
（ a ） )( jwG 不包围
)(
1
AN
曲线则系统稳定
（ b ） )( jwG 包围
)(
1
AN
曲线则系统不稳定
（ c ） )( jwG 于
)(
1
AN
曲线相交，则可能产生自持振荡
（ 2） 典型非线性特性对系统的稳定性的影响例 1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。
解：该继电特性的描述函数为
A
M
AN
4
)(?,这里 M = 1,其负倒特性为
A
AN 4)(
1?
虽然当 A 从0 变化时
)(
1
AN
从0 变化即
)(
1
AN
在 N y q u i s t 图上为负实轴线性部分
)2)(1(
10
)(
sss
sG
)()(Re
)2)(1(
10
)( jwGjIjwG
jwjwjw
jwG
m
2 7 0)(0)(
90)()(0
jwGjwGw
jwGjwGw
)( jwG
与
)(
1
AN
的交点为稳定极限环
)23(
10
)(
2
sss
sG
23
10
)(
2
jwwjw
jwG
)3()2(
3210
222
2
www
jww
j
)45(
)2(10
45
30
24
2
24
www
w
j
ww
由
)(
1
)(
AN
jwG
有,
)(
1
)(Re
0
0
AN
jwG
舍负2
0)(
0
0
w
jwGI
m
故 0
24
44)2(5)2(
30
A
解得,12.2
18
430
0
A
因此自持振荡的振幅和频率为
2,12.2
00
wA
例 2,研究如图所示的非线性系统，图中 7.0,7.1 0 eM,试判断是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。
继电特性的描述函数为
)1(
2
))(1)(1(
2
)(
2
02020
m
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
AN
这里 1?m 故有
200
0
0
0
200
0
2
0
)(1
4
)(
)(1
4
1
4
)(
A
e
A
e
AN
k
e
M
A
e
A
e
e
M
A
e
A
M
AN
1
)(
4
)(1
1
4)(
1
2
0
2
0
2000
e
A
e
A
A
B
A
BAN
极大值 2
0
e
A
A
e
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
)(
1
AN
- 7,8 9 - 4,8 1 - 2,7 4 - 2,1 4 - 1,8 1 - 1,6 4
2
1
0,8 0,9 0,9 5 1
- 1,5 7 - 1,6 4 - 2 - 2,6 5 -?
线性部分
)(
0
jwGk
w
1 2 0 1 5 0 1 8 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 4 0 0
)( jwG?
- 1 5 6,9
0
- 1 6 6,9
0
- 1 7 5,2
0
- 1 8 0
0
- 1 9 0,2
0
- 1 9 8,4
0
- 2 1 1
0
)(
0
jwGK
5,7 0 8 3,8 6 7 2,7 4 9 2,2 3 4 1,4 0 6 0,9 4 2 0,4 7 8
由图可知,交点处 2 0 0?w 时有
84.1
38.0
7.0
38.0
76.0
92.0
7.0
92.0
2
0
1
0
A
A
e
A
A
e
稳定
1 引言第七章 非线性控制系统分析非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统,包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节,则称这类系统为非线性系统,其特性不能用线性微分方程来描述 。
一,控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中,一些是组成控制系统的元件所固有的,如饱和特性,死区特性和滞环特性等,这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的,如继电器特性,变增益特性,在控制系统中加入这类特性,一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性 。
非线性系统分析
)( tx
atetk a s i g n e
atetke
)()(
)()(
饱和特性式中
a
线性区宽度
k
线性区特性的斜率
)( te
0)(1
0)(1)(
te
tets i g n e
（ 2） 死区特性
ateta s i gn etek
atetx
)()()(
)(0)(
式中?a 死区宽度
k - 线性输出的斜率式中2 间隙宽度
k 间隙特性斜率危害：使系统输出信号在相位上产生滞后,从而降低系统的相对稳定性,使系统产生自持振荡 。
（ 4） 继电器特性
0)()(
0)()(
0)()(
)(
txtb s i g n e
txtek
txtek
tx
功能：改善系统性能的切换元件
（ 4） 继电器特性
0)(,)(
0)(,)(
)()(
0)(,)(0
0)(,)(0
)(
temateb
temateb
atetb s i g n e
tematea
teatema
tx
变增益特性
atetek
atetek
tx
)()(
)()(
)(
2
1
式中 21,kk - 变增益特性斜率
a - 切换点特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特二,非线性控制系统的特性
（ 1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，
它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，
一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。
（ 2） 在线性系统中,系统的稳定性只与其结构和参数有关,而与初始条件无关 。 对于线性定常系统,稳定性仅取决于特征根在 s平面的分布 。 但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外,还和初始条件有关 。 在不同的初始条件下,运动的最终状态可能完全不同 。 如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的,而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定 。 反之,也可能初始值大时系统稳定,而初始值小时系统不稳定 。 甚至还会出现更为复杂的情况 。
（ 3） 在非线性系统中,除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外,往往即使无外作用存在,系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡 。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡,简称自振荡 。
改变非系统的结构和参数,可以改变自持振荡的振幅和频率,或消除自持振荡 。
对线性系统,围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式,其中不可能产生稳定的自持振荡 。
（ 4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
三,非线性系统的研究方法现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。
对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统：相平面法高阶系统：描述函数法
2.相平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
一,基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
),( xxfx （ 1 ）
如果以 x 和 x? 作为变量，则可有
),( xxf
dt
xd
x
dt
dx
（ 2 ）
用第一个方程除第二个方程有
x
xxf
dx
xd
),(
（ 3 ）
这是一个以 x 为自变量，以 x? 为因变量的方程，如果能解出该方程，则可以用 （ 2 ）式把 tx,的关系计算出来。因此对方程 （ 1 ）的研究，可以用研究方程 （ 3 ）来代替。如果把方程 （ 1 ）看作质点的运动方程，则 x
代表质点的位置,x? 代表质点的速度 （因而也代表了质点的动量）。用 x 和 x? 描述方程 （ 1 ）的解，也就是用质点的状态 （如位置和动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x? 的平面称为相平面，相平面是二维的状态空间。
二,线性系统的相轨迹设描述系统运动的微分方程为
02
2
xwxwx
nn
分别取 x 和 x? 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标,上 述 方 程 为,
02
2
xwxw
dt
dx
dx
xd
nn
则
x
xwxw
dx
xd
nn
2
2?
上式代表描述二阶系统 自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 0?x 及
0?x?,即坐标原点 （ 0,0 ）处的斜率为
0
0
dx
xd?
，由此我们有奇点的定义奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点 。
（ 1 ）无阻尼运动形式 （ 0 ）?
dx
xd?
x
xw n
2
积分有 x d xwxdx n 2
2
2
2
2
A
w
x
x
n
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10(
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10(
（ 3 ）过阻尼运动形式 （ 1 ）
（ 4 ）负阻尼运动形式 （ 01 ）
（ 5 ） 1
（ 6）
三,相轨迹的绘制
（ 1 ）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x? 的关系用求解微分方程的办法找出 xx?,的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
a,消去参变量 t
由 ),( xxfx 直接解出 )( tx,通过求导得到 )( tx? 。在这两个解中消去作为参变量的 t,就得到 xx 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 0 Mx
其中 M 为常量，已知初始条件 xxx )0(,0)0(? 。求其相轨迹。
解,Mx,积分有
Mtx ( 1 ) 再积分一次有
2
2
1
Mtxx ( 2 )
由 ( 1 ),( 2 ) 式消去 t 有
)(2
2
xxMx
M = 1 M = - 1
b.直接积分法
dx
xd
x
dt
dx
dx
xd
dt
xd
x
),( xxf
dx
xd
x?
上式可分解为
dxxhxdxg )()(
则由
x
x
x
x
dxxhxdxg
)()(
可找出?
xx?
得关系在上式中 由 Mx 可有
Md xxdx
x
M
dx
xd
积分有
)(2
)(
2
1
2
2
xxMx
xxMx
可见两种方法求出的相轨迹是相同的
（ 2） 图解法
a.等倾线法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线原理：
),( xxfx
因
dx
xd
xx
故有
x
xxf
dx
xd
),(
式中
dx
xd?
为相轨迹在某一点的切线的斜率 令
dx
xd?
,则
x
xxf
),(
I
满足此方程的点
),( xx?
出的斜率必为
，有上式确定的 xx 关系曲线称为等倾线。相轨迹必然以
的斜率经过等倾线步骤：
a,根据等倾线方程式 I,做出不同? 值的等倾线
b,根轨初始条件确定相轨迹的起始点
c,从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二,第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
例 做出 0 xxx 的相轨迹 1)0(?x? 0)0(?x
解,（ 1 ）等倾线方程
xx
dx
xd
x
x
xx
dx
xd
故等倾线方程为
xx
1
1
显然为直线该等倾线的斜率为
1
1
tg
1
90
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为tg
45)1( a r c t g?
9
4
2
1
5.0
0
2.0
4.0
11
4
3
5.2
2
8.1
6.1
4.1
2.1
7.5
3.11
4.18
6.26
6.33
45
3.51
59
7.5
4.18
6.26
7.33
45
3.51
59
2.68
7.78
3.84
76
4.63
45
6.26
0
3.11
8.21
8.84
76
6.71
2.68
4.63
61
58
4.54
50
b,? 法原理：
),( xxfx 这里 ),( xxf? 是单值连续函数
xwxxfxwx
22
),(
式中适当选择 w 值，以使下面定义的? 函数值在所讨论的 x,x? 取值范围内，既不太大也不太小。 函数定义如下
2
2),(
),(
w
xwxxf
xx
函数值取决于变量 x 和 x?,而当 x 和 x? 变化很小时 ),( xx 可以看作一个常量。
0)(
1
2
xwx
x
xw
dx
xd
)(
1
2
积分有
22
11
22
1
2
2
11
22
1
22
1
2
1
2
))()(()()(
)()(
2
1
)(
2
1
)(
Ax
w
x
x
w
x
xwxwxx
dxxwxdx
这是一个以 )0,( 1? 为圆心，以 2112 )()( xwxA? 为半径的圆弧。 ),( 11 wxx?
附近的相轨迹可用这段圆弧来代替做图步骤
①在
w
x
x
平面上，根据初始状态的坐标 （ ),
w
x
x 计算出
②以 （ )0, 为圆心，过初始状态作一小段圆弧，使系统的状态从
),(
w
x
x
转移到 ),(
1
1
w
x
x
③根据 1x 和
w
x
1
求出 1? 后，以 )0,( 1? 为圆心，作过 ),(
1
1
w
x
x
的一段圆弧。系统状态又以 ),(
1
1
w
x
x
转移到 ),(
2
2
w
x
x
例：试用? 法做出由初始状态 0)0(,1)0( xx? 的系统 03 xxx 的相轨迹解：原方程变为
3
xxx
取,1 则
xxxxx
3
则 xxxxx
3
),(
相轨迹的起始点为 )0,1(1A
以原点为圆心,1 为半径做一圆弧四,由相轨迹求时间解
1,根据
x
x
t
求时间解在 xx 坐标上
t
x
x
x
x
t
在
w
x
x
坐标上
)(
1
w
x
x
w
t
由图可见
AB
AB
AB
x
x
t
BC
BC
BC
x
x
t
CD
CD
CD
x
x
t
x 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
CD
CD
CD x
x
t
x 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
2,根据 dx
x
t
1
求时间解
dt
dx
x
dx
x
tt
x
x
2
1
1
12
以
x
为横坐标，
x?
1
为纵坐标则有如下轨迹
dx
x
t
B
A
x
x
AB?
1
便是阴影部分的面积
3,根据圆弧近似求时间解
w
t
wt
相轨迹上由 A 点运动到 D 点的时间为
)(1 321
w
tttt CDBCABAD
五,非线性系统的相平面分析
1,基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹,所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环,或从极限环卷出 。 极限环内部 （ 或外部 ） 的相轨迹,总是不可能穿过极限环而进入它的外部 （ 或内部 ） 。
（ 1） 稳定极限环 在极限环附近,起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环 。 这时,系统表现为等幅持续振荡 。
（ 2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。
在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。
（ 3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环 ;
或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。
一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，
因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：
（ 1） 将非线性特性用分段的直线特性来表示,写出相应线段的数学表达式 。
（ 2） 首先在相平面上选择合适的坐标,一般常用误差及其导数分别为横纵坐标 。 然后将相平面根据非线性特性分成若干区域,使非线性特性在每个区域内都呈线性特性 。
（ 3） 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 。
（ 4） 在各个区域内分别画出各自的相轨迹 。
（ 5） 将相邻区域的相轨迹,根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来,便得到整个非线性系统的相轨迹 。
（ 6） 基于该相轨迹,全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例
2.非线性系统方框图如图所示,试取其系统在输入信号
（ 1 ） )(1)( tRtr （ 2 ） vtRtr)( 作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。
1?k 1?K 1?T 初始状态 0)0(?c 0)0(?c?
解：死区特性的数字表达式为
eeee
eeee
ee
x
0
线性部分微分方程为
KxccT
而
cre
故有 rrTKxeeT
根据死区特性，系统可分为三个区
I 区 rrTeeT
ee?
II 区
rrTeeKeeT
)(
ee
III 区
rrTeeKeeT
)(
ee
（ 1 ） )(1)( tRtr
三个区的微分部分分别为
I 0 eeT
ee?
II 0)(
eeKeeT
ee
III 0)(
eeKeeT
ee
在 I 区
Tde
ed 1?
常量 说明相轨迹是斜率为
T
1
的直线或 0?e? 的横轴在 II 区
e
eeKe
de
ed
)(
奇点为?
eee,0
奇点正好位于 I,II 区分界线上令
de
ed?
则有等倾线方程
1
)(
eeK
e
这里斜率为
1
K
得直线方程过
)0,(
e
点
2
5.1
2.1
1.1
5.0
1
0
1
45
4.63
7.78
7.5
4.63
90
45
6.26
3.64
3.56
50
8.84
6.26
45
0
45
同理在 III 区，等倾线为
1
)(
eeK
e
起始坐标
0)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
ccre
RcRcre
（ 2 ） vtRtr)(
veeTee? 渐近线 ve
veeKeeT )(ee? 实奇点 )0,(?e
K
v
veeKeeT )(ee 虚奇点 ( 0,?e
K
v
)
例 1 求下列方程的奇点，并确定奇点类型
（ 1 ） 02 2 xxx
（ 2 ） 0)1( 2 xxxx
解,奇点
0
0
dx
xd?
dx
xd
xx
x
xxf
dx
xd
),(
故可由
0),(,0 xxfxx
来确定奇点
（ 1 ）
)(
2
1
2
xxx
令
0
0
0)(
2
1
0
2
x
x
xx
x
在奇点处，将
),( xxf?
进行泰勒 ( T a y l o r ) 级数展开
xxx
x
xxf
xx
x
xxf
fxxf
x
x
x
x
2
1
)(
),(
)(
),(
)0,0(),(
0
0
0
0
故有
0
2
1
x
特征方程
0
2
1
2
2
1
j
故奇点为中心点
e
（ 2 ）
xxxx )1(
2
0
0
x
x?
xxx
即
0 xxx
01
2
2
31 j?
所以为不稳定焦点
m
e
例 3
解,
)(1
0
tr
KxeeT
cer
KxccT
M
M
M s i g n ex
0
0
mee
mee
ee
meee
eeme
0
0
0
0
e
e
e
e
I 0 eeT
0,
0,
emeee
eeeme
II 0 KMeeT
0,emee
ee
III 0 KMeeT
0,emee
ee
I 区 相轨迹斜率为
T
1
的直线或 0?e
II,III 区 等倾线
11
KM
e
KM
e
渐近线
KMeKMe0?
衰减振荡，最终稳态误差为常值
-
N ( A )
3.描述函数法一,本质非线性特性的谐波线性化
1,谐波线性化：具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下,在其非正弦周期函数的输出响应中,假设只有基波分量有意义,
从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 。
2,基波假设：自振状态下，非线性部分和线性部分的输入、输出均可视为为同频率的正弦信号 （这里自振即 0)(?tr ）
3,应用描述函数法分析非线性系统的前提
a.非线性特性具有奇对称性
b.非线性系统具有图 a所时的典型结构
c.非线性部分输出 x(t)中的基波分量最强
d.非线性部分 G(s)的低通滤波效应较好
4,描述函数定义 描述函数的模等于非正线周期输出的基波 )s i n ()( 111 wtxtx 的振幅与输入正弦 wtAte s i n)(? 的振幅 A 之比 Ax 1,其幅值为正线输出 )(1 tx 相对正弦输入 )( te 的相移 1?,因此
11)(?jeAxAN?
b.非线性特性的描述函数的求取方法设
wtAte s i n)(?
为非线性元件的正弦输入其非线性周期输出 )( tx 付立叶级数为
)s i nc o s()(
1
wtBn w tAAtx
n
n
n
)s i n (
1
n
n
n
n wtxA
式中
2
0
c o s)(
1
n w t d w ttxA
n
n
n
nnnn
B
A
a r c t gBAx
wtn w t dtxnB
22
2
0
1
)(s i n)()(
若非线性特性是奇对称的，则 )(,0 txA?
的基波分量为
wtBwtAtx s i nc o s)(
111
)s i n (
11
wtx
这里
2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
11
2
0
1
)(
)(s i n)(
1
B
A
j a r c t g
e
A
BA
AN
B
A
a r ct gBAx
wtwt dtxB
二．典型非线性特性的描述函数
（ 1） 饱和特性的描述函数饱和特性数学表达式为
wt
wt
wt
wtkA
b
wtkA
tx
1
11
1
0
s i n
s i n
)(
由于 x ( t ) 为单值积对称函数，故有 0,0 01 AA
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
21
11
2
1
2
11
2
22
1
2
1
2
1
111
1
0
0
1
0
2
2
0
2
)(1ar c s i n
2
)(
0
)(1ar c s i n
2
)(1)(1
2
1
ar c s i n
2
14
s i n1s i n1s i n
2
1
ar c s i n
2
14
c o s2s i n
4
1
2
14
c o s2s i n
2
12
c o s)2c o s1(
2
14
c o s)(s i n
2
4
)(s i n)(s i ns i n
4
1
1
1
2
1
1
1
1
A
a
A
a
A
a
ke
A
x
AN
BBAx
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
k
A
a
A
k
A
a
wtwt
kA
A
a
d wtwt
kA
wtbwtwt d
kA
wtwt dbwtwt dwtkA
B
A
j a r c t g
（ 2）死区特性描述函数
wtAte s i n)(?
死区特性数学表达式为
wtAte s i n)(?
死区特性数学表达式为
0
0
)s i n(
0
)(
1
11
1
wt
wt
wt
awtAktx
x ( t ) 为单值奇对称函数，故有
0,0,0
101
AA
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
2
111
222
2
)(1ar c s i n
2
2
c o s22s i n
2
122
c o s)2s i n
4
1
2
1
(
4
s i n)s i n(
4
111
1
A
a
A
aka
kakA
wtkawtwtkA
w t d w tawtAk
2
)(1a r c s i n
2
2
)(
A
a
A
a
A
ak
AN
（ 3） 间隙特性的描述函数
A
A
AA
2
1s in
)
2
1ar cs in (
2)s in (
1
1
1
wtwtAk
wtAk
wtwtAk
x
1
1
)s i n(
2
)(
2
0)s i n(
)( tx 为奇对称，但非单值 0
0
A
2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA =
2
0
2
)(c o s)s i n()(c o s)()(c o s)s i n(
2
1
wtw t dwtAkwtw t dAkwtw t dwtAk
=
1
1
s i n2c o s
4
s i n)(s i n2c o s
4
2
2
2
0
wtKwt
kA
wtAkwtKwt
kA
=
111
s i n)2c o s1(
4
)(s i n)()11(
4
2
K
kA
AkAkK
kA
=
)
2
1()
2
1(21
44
)()
2
1)((
2
2
2
A
K
A
kAkA
Ak
A
Akk
kA?
=
A
k
A
k
k
kA
A
k
kk
kA
222
22
2
2
2
22
2
2
= )22(2
2
A
kk
= )1(4
A
k?
2
0
1
s i n)(
1
w t d w ttxB =
2
0
2
1
1
s i n)s i n(s i n)(s i n)s i n(
2
w t d w twtAkw t d w tAkw t d w twtAk
11
1
co s)2s i n
4
1
2
1
(co s)(co s2s i n
4
1
2
1
(
2
2
2
0
2
0
wtkwtwtkAwtAkwtkwtwtkA
=?
)1()
2
1(2)
2
1a r c s i n (
2 AAAA
kA
1
1
2
1
2
111
)(
B
A
ar c t g
e
A
BA
A
A
j
A
B
AN
=
)1(
4
)1()
2
1(2)
2
1a r c s i n (
2
AA
k
j
AAAA
k?
A
（ 4）继电特性描述函数
A
me
meA
A
e
eA
0
2
02
0
1
01
ar c s in
)s in (
ar c s in
s in
)( tx 奇对称 00?A
wt
wtM
wt
tx
2
21
1
0
00
)(
2
0
1 c o s)(
1
w t d w ttxA
2
1
c o s
2
w t d w tM
2
1
s i n
2
wtM
)s i n( s i n
2
12
M
)1(
2
0
m
A
Me
2
0
1
s i n)(
1
w t d w ttxB
2020
12
)(1)(1
2
)c o s( c o s
2
s i n
2
2
1
A
e
A
meM
M
wt d wtM
A
A
j
A
B
AN 11)(
)1(
2
)(1)(1(
2 02020
M
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
1?m
20 )(14)(
A
e
A
MAN
00?e
A
MAN
4)(?
1M
2
020 4)(14)(
A
Mej
A
e
A
MAN
（ 5） 变增益特性的描述函数
)()()( 21 ANANAN
= )()()()( 2131211 ANANANAN
111 )( kAN?
0,0
01
AA
w t d w twtAkB s i ns i n
1 2
0
11?
Ak
Ak
wtwtAk
wt d wtAk
1
1
2
0
1
2
0
2
1
0
4
4
2s i n
4
1
2
14
s i n
4
wtAe
wtAkekx
s i n
s i n
11
1
1
)( k
A
B
AN
(6)典型非线性环节串联时的描述函数两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符和谐波线性化的条件，
故不存在描述函数 )(2 AN,求取串联环节的传递函数时应求取其等效非线性特性的描述函数。
例 1求取非线性环节的等效形式解,
axMy
eeeekx
00 )(
令 )( 0eeka
0e
k
a
e 即 0e
k
a
例 2
)(
22
xky
)(
11
ekx
1
2
121
1
2
12121112
)()(
k
kkk
ek
k
ekkkekky
三,非线性控制系统的描述函数分析
(1)控制系统的稳定性分析
)()(1
)()(
)(
)(
jwGAN
jwGAN
jwR
jwC
特征方程为
)(
1
)(
0)()(1
AN
jwG
jwGAN
非线性特性的负倒描述函数相当于
1)(jwG
N y q u i s t 图上分析斜波线性化系统稳的准则是
（ a ） )( jwG 不包围
)(
1
AN
曲线则系统稳定
（ b ） )( jwG 包围
)(
1
AN
曲线则系统不稳定
（ c ） )( jwG 于
)(
1
AN
曲线相交，则可能产生自持振荡
（ 2） 典型非线性特性对系统的稳定性的影响例 1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。
解：该继电特性的描述函数为
A
M
AN
4
)(?,这里 M = 1,其负倒特性为
A
AN 4)(
1?
虽然当 A 从0 变化时
)(
1
AN
从0 变化即
)(
1
AN
在 N y q u i s t 图上为负实轴线性部分
)2)(1(
10
)(
sss
sG
)()(Re
)2)(1(
10
)( jwGjIjwG
jwjwjw
jwG
m
2 7 0)(0)(
90)()(0
jwGjwGw
jwGjwGw
)( jwG
与
)(
1
AN
的交点为稳定极限环
)23(
10
)(
2
sss
sG
23
10
)(
2
jwwjw
jwG
)3()2(
3210
222
2
www
jww
j
)45(
)2(10
45
30
24
2
24
www
w
j
ww
由
)(
1
)(
AN
jwG
有,
)(
1
)(Re
0
0
AN
jwG
舍负2
0)(
0
0
w
jwGI
m
故 0
24
44)2(5)2(
30
A
解得,12.2
18
430
0
A
因此自持振荡的振幅和频率为
2,12.2
00
wA
例 2,研究如图所示的非线性系统，图中 7.0,7.1 0 eM,试判断是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。
继电特性的描述函数为
)1(
2
))(1)(1(
2
)(
2
02020
m
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
AN
这里 1?m 故有
200
0
0
0
200
0
2
0
)(1
4
)(
)(1
4
1
4
)(
A
e
A
e
AN
k
e
M
A
e
A
e
e
M
A
e
A
M
AN
1
)(
4
)(1
1
4)(
1
2
0
2
0
2000
e
A
e
A
A
B
A
BAN
极大值 2
0
e
A
A
e
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
)(
1
AN
- 7,8 9 - 4,8 1 - 2,7 4 - 2,1 4 - 1,8 1 - 1,6 4
2
1
0,8 0,9 0,9 5 1
- 1,5 7 - 1,6 4 - 2 - 2,6 5 -?
线性部分
)(
0
jwGk
w
1 2 0 1 5 0 1 8 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 4 0 0
)( jwG?
- 1 5 6,9
0
- 1 6 6,9
0
- 1 7 5,2
0
- 1 8 0
0
- 1 9 0,2
0
- 1 9 8,4
0
- 2 1 1
0
)(
0
jwGK
5,7 0 8 3,8 6 7 2,7 4 9 2,2 3 4 1,4 0 6 0,9 4 2 0,4 7 8
由图可知,交点处 2 0 0?w 时有
84.1
38.0
7.0
38.0
76.0
92.0
7.0
92.0
2
0
1
0
A
A
e
A
A
e
稳定
