第十章 线性系统的状态空间综合法
mA
4z
1z 2z
3z
a
b
~u(t)
一、能控性概念举例如下：交流电桥
$1 线性系统的能控性与能观测性能控的。
状态完全都是能控的，称系统是系统的所有状态如果是能控的则称初始状态移到任意的终端转初始状态内，能使系统从任意的间间隔在有限的时的控制作用如果存在一个不受约束能控性的概念为：
)t(X
,)t(X),t(X
)t(X)t~t(
u ( t )
0
0
00f
说明,(1) 定义仅要求输入 u(t)能在有限的时间内,使系统的状态由状态空间中的一点转移到另一 任意状态 。
(2) 没有限制输出量的大小,没有规定转移轨迹 。
。则系统就是完全能控的时均能找到这样的和任意一点作为作为状态平面中的任意一点说以过程如下图所示。如果用下，系统的状态转移的作某一个例：一个二维系统，在
),()(
)(
)tt( )(
0
f0
tutX
tX
ttu
f
t
1x
2x
0t ft
)( 0tx )( ftx
为非奇异阵内为常值，在式中
A
1 ) T(ktkT u ( t )
( 1 ) )B u ( k T)A X( k T1 ) T(kX
00
000
二、线性系统的能控性
1、线性定常离散系统的能控性
(1) 单输入 n阶离散系统能控的条件
为能控。式成立时，称矩阵对当的能控性矩阵。是的控制矩阵；为的系统矩阵为其中件为：状态完全能控的充要条阶离散系统单输入
BA( * )
nnBABAABB
1nB
nn A
( * ) nBABAABBr a n k
)B u ( k T)A X ( k T1 ) T(k X
n
-1n2
-1n2
000
定理 1
。试分析该系统的能控性状态方程为设线性定常离散系统的例
)u ( k T
1
0
1
)X ( k T
011-
2-20
001
1 ) T(k X
.1
000
控。因此系统的状态完全能解：
3
2-02
02-0
011
r a n k
3-1-1
2-2-0
111
r a n k
BAABBr a n k
2
。试分析该系统的能控性状态方程为：设线性定常离散系统的例
)u ( k T
1
0
0
)X ( k T
34-1
010
1-21
1 ) T(k X
2.
000
3
0
1
1
0
0
34-1
010
1-21
A B
解：
称不能控。该系统不完全能控，简
32
831
000
4-1-0
ra n kBAABBra n k
8
0
4-
1
0
0
82-1
010
4-80
B A
2
2
为能控。式成立时，称矩阵对当的控制向量是的向量是的控制矩阵；为的系统矩阵；为其中件为：状态完全能控的充要条阶离散系统为设多输入
BA( 2 );1ru;1nX
rnB
nn A
( 2 ) nBABAABBr a n k
( 1 ) )B u ( k T)A X ( k T1 ) T(k X
n
-1n2
000
2、多输入 n阶线性离散系统的能控性的条件定理 2
)u ( k T
00
10
01
)X ( k T
301
010
1-21
1 ) T(k X
.3
000
。试分析该系统的能控性系统的状态方程为设多输入线性定常离散例
的。该系统是状态完全能控解：
3BAABBr a n k
24
10
40
01
10
21
301
010
1-21
)AB(AB A
01
10
21
00
10
01
301
010
1-21
A B
2
2
nBABAABBra n k
,rra n k B ( 3 )
r-n2?
应用下式比较方便：时当说明,
T-1n-1n2
-1n2
BAABBBABAABBr a n k
BABAABBr a n k
( 2 )
比较方便：矩阵的秩时，应用下式在计算行数少于列数的
,
nBABAABB ( 1 )
-1n2
即可停止计算。现上述条件已经成立，计算，当计算到某步发一定要全部在计算该阵的秩时，不控入离散系统状态完全能时，多输能控性矩阵的秩为当?
矩阵。为矩阵时，为当矩阵。为矩阵时，为当
nrnBABAABBrnB ( 2)
nnBABAABB1nB ( 1)
-1n2
-1n2
三、线性定常连续系统的能控性说明：
nBABAABBra n k
:
BUAXX
n
)tt(t )t(u
-1n2
f0
件是状态完全能控的充要条阶线性定常连续系统能控性判据：
段连续函数定义：存在无约束的分
。试判断该系统的能控性设有三维状态方程为：例
u
1-1-
11
12
X
310
020
231
X
.1
32
2-2-1-1-
2211
2312
ra n kABBra n k
2-2-
22
23
1-1-
11
12
310
020
231
A B
2ra n k B
控的。该系统是状态不完全能解：
四,线性连续系统的输出能控性
1、定义：
),t(y)t(y
,)t~t(),t(u
f0
0f
统是输出完全能控的。
则称系转移到终端输出将任意初始输出内能在有限的时间间隔控制作用向量无约束的分段连续的如果存在一个在幅值上
lDBCACABCBr an k
-1n
2、输出能控的充要条件的矩阵。是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是其中输出方程分别为：
状态方程与设线性定常连续系统的
rlD nlC
rnB nn A
1ru
1ly 1nx
( 2 ) DuCX y
( 1 ) BuAX X
X
X
01y
u
1-
1
X
X
21
10
X
X
2
1
2
1
2
1
出能控性。试确定系统的状态和输为例：设系统的动态方程
-1
1
1
21
10
01C A B
1
1
1
01CB
1
1
1
1
21
10
AB解：
的。，而输出却是完全能控系统是状态不完全能控
101-1r a n kDCABCBr a n k
21
11-
1-1
r a n kABBr a n k
.
,( t )X
t
)t~t()t(X
t)t(X
)t(y
)t~t(
0
0f0
00
0f
或者系统具有能观测性简称系统是能观测的是完全能观测的状态观测的则称时刻的所有状态都是能若系统在上是能观测的；在时间间隔始状态时刻的初的每一个分量。则称初始状态统的的量测值，能够确定系内取得的输出间隔如果根据在有限的时间五、线性系统的能观测性的概念
1、定义：
yx
xxy,
yx
2
11
2
。系统不是完全能观测的的信息中观测到因而此却不能从的，但是是可观测，故状态因为没有任何联系之间与输出量在这个系统中，状态变
2、举例
1/s 2x
)t(x 02
1
1/s yx1?
)t(x 01
2
u
000
nlrnnn1l1r1n
00
000
j ) T(iy,,1 ) T(ky),Ti(y
,
i
21
C,B,A,y,u,X
( 2 ) )C X ( k T)y ( k T
( 1 ) )B u ( k T)A X ( k T1 ) T(kX
.1
.
输出的观测时刻上对系统个及其以后有限个采样据在第
）描述的系统，如果根）和（对于由方程（
式中定义：
观测性线性定常离散系统的能六六、线性定常离散系统的能观测性
1、定义
)C X ( k T)y ( k T
)Bu ( k T)A X ( k T1 ) T(k X
n
00
000
是完全能观测的充要条件阶线性定常离散系统为
2、能观测性的充要条件能观测性。
全能观测，或具有观测的，则称系统为完采样时刻上都是能观测的。若系统在任意个采样时刻上是能则称系统在第态个采样时刻上系统的状能唯一的确定出第
i),X ( i T
i
0
对。
为能观测）成立时，称矩阵对当（
称为能观测性矩阵，
为已知，矩阵控制向量其中
CA3
CACAC
)u ( k T
( 3 ) n
CA
CA
C
ra n k
T
-1n
0
-1n
矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵；矩阵设有如下系统：
nlC ;1ly;rnB ;1ru
nnA ;1nx
Cxy
BuAxx
七、线性定常连续系统的能观测性
nCACACr a n k
:
T1n
即条件为状态完全能观测的充要
。试确定系统的可观测性设系统的动态方程为例
X
X
01y
u
1
3
X
X
10
02
X
X
1.
2
1
2
1
2
1
系统是不可观测的。
解：
21
02-
01
ra n k
CA
C
ra n k
02-
10
02
01
CA
和能控性。试确定系统的可观测性设系统的动态方程为例
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
X
X
11
01
y
y
u
u
01
12
X
X
11
11
X
X
2.
系统状态完全能控。
系统完全能观测解：
2
1-301
1-11-2
ra n kABBra n k
13
11
01
12
11
11
AB
2
20
1-1
11-
01
ra n k
CA
C
ra n k
20
11
11
11
11
01
CA
的。则系统状态一定是能控矩阵具有如下形式，如果其一个单输入系统能控标准形能控与能观测标准形八
1
0
0
0
B
1000
0100
0010
A
:BA
BuAXX
.1
.
121
aaaa
nnn
八、能控与能观测标准形
1、能控标准形
2
1
2
2
1
1
1121
2
11121
1
0
1
0
1
0
0
1000
0100
0010
BA
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1000
0100
0010
A B
1
aa
a
aaaaa
aaaaa
nnn
nnn
）证明如下：（
3
2
1
321
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
121
3
1
0
2
1
0
1
0
1000
0100
0010
B A
aaaa
aa
a
aa
a
aaaa
nnn
。矩阵变换为能控标准形将其系统矩阵及控制则可以通过非奇异变换控的状态完全能维单输入线性定常系统若定理系统的状态完全能控。因此
,
n:
,
n
1
100
1000
10000
r a n k
1321
2
1
n
定理,若 n维单输入线性定常系统的状态完全能控，则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及控制矩阵变换为能控标准形。
PBB
P A P A
P
P
P
P
BAABB100P
2
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1n
1
最后求得然后求首先求法）能控标准形的求取方（
n
A
A
u
1
1
0
X
041
020
122
X ( 2 )
u
1
1-
X
21-
01
X 1
）（
准形。控制矩阵变换为能控标统矩阵及例：试将下列系统的系
10
2
1
2
1
P
P
P
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
-
10P
2
1
2
1
2
1
2
3
-
ABB
31
1-1-
ABB )1(
1
1
1
-1
A
解：
1
0
1
1-
10
2
1
2
1
PBB
32-
10
10
1-2
21-
01
10
2
1
2
1
P A PA
10
1-2
P
1
-1
1
-1
32-4
2-23-
11-2
P
P
P
P
11-2
112
225
012
100P
112
225
012
BAABB
94-1
42-1
2-10
BAABB 2
2
1
1
1
1
1
2
2
A
A
）（
1
0
0
1
1
0
32-4
2-23-
11-2
4-5-2-
100
010
102-
121
012
041
020
122
32-4
2-23-
11-2
P A PA
102-
121
012
P
1
-1
1
-1
PBB
100C
100
010
001
000
A
:
CXy
1
.2
1
2
1
测。则系统状态一定可以观具有如下标准形式的系统矩阵和输出矩阵
）若单输出系统（
能观测标准形
a
a
a
a
BuAXX
n
n
n
2、能观标准形
1
2
1
-1
2
-1-1
-1
100
010
001
000
ATTA
C T Z y
BuTA T ZTZ
CXy
BuAXX
XTZ TZ X
,2
a
a
a
a
CA
n
n
n
变为能观测标准形则有或作变换为能观测标准形的方法）变换（
T3 T2 1
CA
1
0
0
T
TATTT
T
100CTC
1
-1
1
-1
1
1
1
-1n
11
2
）求取（）求取（）求取（
骤是：化为能观测标准形的步，将可按下式来确定变换矩阵
n
n
CA
CA
C
CA
CA
C
A
42
3-1-
TTT
2
1-
1
0
22-
1-0
T
22-
1-0
01
2
1
-1-
CA
C
11
1
-1
A
解：
准形。试将其变换为能观测标为例：设系统的状态方程
X
2
1
-1-y
X
20
1-1
X
10
42
3-1-
2
1
--CTC
31
2-0
T
20
1-1
2
1
1
2
3
2
ATT
2
1
1
2
3
2
T
2
-1
2
-1
A
T
T
T
2
1
BC
CB
A A
,)
(
)
(
.
能观测能控能观测能控能观测能控的充要条件相同，即能控或状态完全状态完全能观测系统的充要条件与其对偶态完全能观测或状状态完全能控控制系统对偶原理九
s
s
九、对偶原理的行。矩阵中没有元素全为零结论：
）（
能控能控的另一种表达形式线性定常系统状态完全十
BP
u
z
z
z
00
00
00
BuPA P ZP1
.1
.
1
2
1
21
22221
11211
n
2
1
n
2
1
11
rnrnn
r
r
u
u
fff
fff
fff
Z
十、线性定常系统状态完全能控能观测的另一种表达形式
1、能控性结论,P-1B矩阵中没有元素全为 零的行。
行。的各行不含整行为零的互不相同的特征值对应全部为零的行。阵中各行不含整行元素应的每个约当块最后一行对结论：
）（
b.
BPa.
u
z
z
z
0
0
00
0
0
1
0
00
00
10
01
Z 2
-1
2
1
21
22221
11211
n
2
1
6
1
1
1
1
1
rnrnn
r
r
n
u
u
fff
fff
fff
结论：
a、每个约当块最后一行对应的 P-1B阵中各行不含整行元素全 部为零的行。
b、互不相同的特征值对应的各行不含整行为零的行。
测。，则系统状态完全能观不含整列元素为零的列结论：
个互不相同的特征值时有）当（
能观测
CP
C P Z
nA
y
Z
00
00
00
Z
1
.2
n
2
1
2、能观测性结论：
CP不含整列元素为零的列，则系统状态完全能观测。
变换为约当矩阵有重特征值时，可以将当 AA)2(
n
0
0
00
0
0
1
0
00
00
10
01
A
6
1
1
1
1
1
结论：
a.CP矩阵中与互不相同特征值对应的各列不含整行元素全为零的列。
b.CP矩阵中与每个约当块第一列对应的各列不含整行元素全为零的列。
十一、线性定常离散系统的状态完全能控与完全能观测和传递函数的关系
(1)若单输入单输出系统的传递函数没有零极点对消则该系统状态完全能控，完全能观测。
(2)若传递函数出现零极点相互对消，则视状态变量的选择，它将是不能控或者不能观测的。
C P Z ( s )y ( s )
)()P()(
P
C P Zy
PZ
PZ X
CXy
BUAXX
A1.
11-1
21
2
1
12
1
-1
1-1
sBuPAPsIsZ
CP
BPAP
BUPA P Z
n
nn
取有互不相同的特征值时当
1、当 A有互不相同的特征值时
ii
n
i i
i
n
n
n
i i
i
n
n
n
a
s
a
ss
zszsk
su
sy
s
s
s
s
su
sy
BPAPPsICP
su
sy
i
11
1
1
i
2
1
2
1
21
111
)()(
)()(
)(
)(
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
2
44
3
1
13
2
1
2312
1
332211
4
3
2
1
2
1
2
11
3
1
2
11
4321
111
2
1
1
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
000
0
1
00
0
)(
11
0
0
)(
1
)(
11
)(
)(
)(
1
1
ss
ss
s
s
ss
sss
BPAPPsICP
Su
sy
APPJ
2、当 A有重特征值时
0,0
)()(
)()(
))()((
)(
)(
444133
43
2
4
3
1
3
2
1
2
1
1
2
3
1
321
aa
aa
s
a
s
a
s
a
s
a
ss
zszszsk
su
sy
则有件为无零极点对消的充要条十二、线性时变系统的能控性与能观测性
1、能控性
2、能观测性
2 1
2.
2 1
1.
.
）判别标准（）定义（
能观测性
）判别标准（）定义（
能控性与能观测性线性时变系统的能控性十二
2 1
2.
2 1
1.
.
）判别标准（）定义（
能观测性
）判别标准（）定义（
能控性与能观测性线性时变系统的能控性十二
$2 线性系统的结构分解和能观测性量的能控矩阵来判断各个状态变和由化为对角阵则将有互不相同的特征值，若步骤：
CPBP2.
C P Zy
BUPZZ
AA.1
-1
-1
32.5
AA.4
.3
。和步骤重复步骤为约当矩阵具有重特征值，则化若态变量进行分类按上述方框图对各个状
oc
co
oc
oc
u y
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
17002041
63005013
00
29
00
61
00
34
75
31
50
15
10
11
30
13
40
14
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
$3 线性系统的状态反馈与输出反馈
CXy
BrXBF-AX
）（?
)(tr
A
CB?
)(ty)(tX? )(tX)(tU
一、问题的提出二、具有状态反馈与输出反馈的状态空间表达式
F
CXy
BuAXX
1.状态反馈
CXy
BuXHC-AX
）（?
A
CB?
)(ty)(tU )(tX? )(tX
H
2.输出反馈
fafafafa
1000
0100
0010
BFA
ffffF
1
0
0
0
B
aaaa
1000
0100
0010
A
n132n21n1n
n321
12n1nn
结论,状态反馈和输出反馈不改变系统的能控性三、具有状态反馈与输出反馈的线性定常系统的能控性控。充要条件为状态完全能定理：实现状态反馈的的目的。达到改变系统动态性能
，从而改变目的：改变反馈矩阵
B F ),-(AF1.
四、极点配置为任意形和）（
具有能控标准形和）（
能控系统，设系统状态完全（一）对于方法：
BA2
BA1
S I S O
.2
n1n
1n
1
n
n1n
1n
1
12-1nn
12n1nn
asasas
cscsc
U ( s )
s)(Y
ccccC
1
0
0
0
B
aaaa
1000
0100
0010
A
则设系统的输出矩阵为具有能控标准形和）（ BA1
)fa(s)fa(s)fa(s
cscsc
U ( s )
s)(Y
fafafafa
1000
0100
0010
BFA
ffffF
1n21n
1n
n1
n
n1n
1n
1
n132n21n1n
n-1n21
则为设系统的状态反馈矩阵适当选择 fi可使系统的极点按性能指标要求得到任意配置极点配置步骤
n-1n21
n1n1n1
21
n1n
1n
1
n
2
1n21n
1n
n1
n
1
ffffF
afa a fa
3
asasas)2(
)fa(s)fa(
s)fa(s)BFA(sI)1(
阵得到系统的状态反馈矩
，对应项相等，即）令（
希望特征多项式为
u
1
0
0
X
X
X
320
100
010
X
X
X
)1(
3
2
1
3
2
1
解：
的位置上。极点配置在
，要求系统的矩阵试确定系统的状态反馈的传递函数为：例：已知线性定常系统
j1s,2s
F
)2s)(1s(s
1
)s(U
)s(Y
21
0
32
10
01
)(
32
100
010
)2(
321
321
321
fsff
s
s
BFAsI
fff
BFA
fffF设可以进行极点配置。
，故其状态完全能控，因系统具有能控标准形
1
4
4
4
62
43
0464
)1)(1)(2(
)3(
3
2
1
1
2
3
23
f
f
f
f
f
f
sss
jsjss
得到：由对应的系数相等可以
：希望系统的特征方程为
-1
-4
-4
-3
++
++
+
+
-2
yx?1
2x3xur
为任意型和）（ BA2
极点配置步骤
n-1n21
n1n1n1
21
n1n
1n
1
n
2
1n21n
1n
n1
n
1
ffffF
afa a fa
4
asasas)3(
)fa(s)fa(
s)fa(s)BFA(sI)2(
)1(
阵得到系统的状态反馈矩
，对应项相等，即）令（
希望特征多项式为判定系统能控性
s
1
1
1
s2
1
s
10
yx?1
2x3xu
为：例：已知系统的方框图
。
闭环极点配置在试用状态反馈使系统的
jss 22,5 21
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
3
322
211
x
x
x
001y
u
10
0
0
x
x
x
000
1-20
011-
x
x
x
xy
10x
x2x
xxx
,1:
u
x
解法解
402 8 s9ssj 2 )-2j 2 ) ( s25 ) ( S(S
0
101010
1-2-S0
01-1S
B F )-(A-sI
101010
120
011
3
0010
20100
1000
r a n kBAABBr a n k
23
321
321
2
fsff
fff
BFA
点的配置系统可以进行任意的极
1f 4f 2f 321,，
：由对应项相等可以得到
111
011-
001
10
1
AP
AP
P
P
001
10
1
BAABB100P
001
012-
100
10
1
BAABB2.
2
1
1
1
-1
2
1
-1
2
解法
001CPC
1
0
0
B
120
100
010
APPA
11-2-
011
001
10P
C
C
-1
c
-1
则有
142
103040
40289
)2()1(
)(
23
12
2
3
3
PFF
F
sss
fsfsfs
FBAsI
c
c
ccc
CCC
(3) A和 B为任意型，转换为 (1)型,F=FcP
注意：
(1) 状态反馈不能改变系统的零点。
(2) 状态反馈可任意极点配置的充要条件是
(A,B,C)可控 。
u)BZAZ( ZP X
3.
P2.
1.
M I M O
nrF
BrB F ) X-(AX
Fx-ru
CXy
BUAXX
)(
Ccc
c
作线性非奇异变换求系统的变换矩阵判断系统的能控性系统的极点的步骤是：任意配置状态的常数矩阵为其中则有：
反馈方程为：
系统对于二 M I M O
12101
2
1210
c
-1
cc
1
2
1
2
1000
0100
0010
000
000
000
000
0
1000
0100
0010
00
APPA
h
h
h
h
00
1
0
0
0
1
0
0
0
00
1
BPB
cC
r
n
rr
nn
r
n
CnCCC
C
X
z
n
bAAbbbAAbbbAAbb
bbbBB
BABAABB
PPPP
P
F
F
sss
1
2
1
221
1
11
21
12
21
21
.7
.6
,,.5
.4
，即：将能控性矩阵重新排列写为：其中系统的能控性矩阵为：
的确定变换矩阵求求程式写出反馈系统的特征方按极点配置要求的阵计算反馈系统的系统矩选取状态反馈矩阵，并线性无关个列向量中有又设在列向量由此可选列向量，于是有个线性无关的中有设在列向量
22
1
22
111
2
11
1
1)-C ( n
1
1
111)-C ( n
1
10111
1
11
11
1
11
bP
AP
P
0
:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
bAAbb
bAbA
bAb
b
bAbbAbA
bAAbb
n
cn
n
Cn1)-C ( n1)-C ( n1)--C ( nc1
c1
21222
2
12
1
1)--C ( n
2121)-C ( n
2)-C ( n
n11)-C ( n2
1)-C ( n20212
1
12
PPPPPP
P
AAAP
A-P
P
0PhPh
PAA
121
2
2
2
21
1
1
11
2
2
2
最后求得变换矩阵为：
为止。向量依次类推，直到选出列由此可选于是又有
bbbb
bAb
b
hbbbbA
c
-3S-2S-1
BUAXX
F
01
10
01
B
300
020
001
321
X
上。，及，的极点配置在
，要求将系统矩阵试确定系统的状态反馈分别为：及控制矩阵阵的双输入系统的系统矩例：已知状态完全能控
S
A
BA
2
2
221
2
11
2
321
bbbbbb
090301
402010
010101
BAABB
,2
.1
AAAA
PPPP
P
CCCC
C
能控性矩阵为求解的公式为：求要求的系统极点。所以可以通过状态反馈全能控，因为给定系统的状态完解：
-3 -4
0
0
0
1
0
1
3
0
1
9
0
1
0bbb
bbb,b,b
000931
421000
000111
01
21
10111
2
111
2
11
，
所以有：
及向量中有两个线性无关的列
AA
AAA
0PhPhbAb
PP
b,b,b
1-
0
3-
bbP
1
0
1
bP
c31c22102
c2c3
2
2
22
111c2
1c3
线性无关及列向量中只有一个列向量与又有列向量 AA
A
2P
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
P
110
001
130
P
0
1
0
bP
c
1-
c
c
2c1
01
00
10
01
10
01
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
BPB
43-0
100
002
110
001
130
300
020
001
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
APPA
ZP3,X
1-
CC
C
1-
Cc
c
560
100
001
FB-A
03)2 ) ( s1 ) ( s(sD ( s )
5.
f-4f30
100
00f-2
FB-A
00f
ff0
4,F
ZCC
1110
20
ZCC
20
1110
Z
系统的特征方程式求，写出反馈按系统极点的配置的要
003
930
F
9f
3f
3f
5f-4
6f3
-1f-2
F6.
Z
11
10
20
11
10
20
Z
解得对应的系数相等有求
030
1506-
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
003
930
PFF
F7.
1-
CZX
X
求解
A
H
CB?
)(ty)(tU )(tX? )(tX
四、输出反馈定理：对于可控系统（ A,B,C）要通过输出反馈阵 H来任意配置闭环系统的极点的充要条件是（ A,B,C）可以观测。
1
40
13
4013)8)(5(
)1()()2(
2
0
01
2
10
01
)1(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
S
s
s
h
h
H
ssss
hshsHCAsI
r a n k
CA
C
r a n k
r a n kABBr a n k
馈进行极点配置该系统可以通过输出反判断能控性和能观测性解：
8-5-H
01C
10
01
B
01
0
A
2
S
。和，使极点配置在试选取一例：已知
$4 线性系统的状态观测器用。导的准确性，故很少采扰也混在一起，影响求程中，干的导数，而在求导的过及缺点：要确定
。从而确定之间的关系，和方程推导出直接由状态方程和输出方法一：
解决的方法问题的提出状态观测器一
uy
x
yx
.2
.1
.
一、状态观测器方法二：状态观测器
ee
eeee
CXy
yyFBUAXX
)(?
C
eF
A
u
B? C
y
A
+
-
-
ey
eX
B
0)]()([
))()(()()(
))((
)(
l i m
00
))((
0
tXtX
tXtXetXtX
XXCFAXX
CXy
yyFBUAXX
e
t
e
ttCFA
e
eee
ee
eeee
e
系统状态完全能观测。
意配置的充要条件是状态观测器的极点的任,
二、反馈矩阵 Fe的确定
02C
1
0
B
32
10
A
CXy
BUAXX
.1
.
式中设系统的动态方程为：例举例三
10s,10s
CF-A
21
e
的特征值要求为中试设计状态观测器，其三、举例解：
2
1
e
e
f
f
F
,F
2
20
02
ra n k
CA
C
ra n k
20
32
10
02)1(
的极点配置的要求。
满足状态观测器系统可以适当选择
CA
2 3,5f 1 0 022f6f
8,5f 202f3
01 0 02 0 s1 0 )1 0 ) ( s(s
0
3s2f2
1-2f
C)F-(A-sI
3-2f-2-
12f-
02f
02f
-
32
10
CF-A
02f
02f
02
f
f
CF
( 2 )
221
11
2
2
1
e
2
1
2
1
e
2
1
2
1
e
故有而要求的是
s
s
设计出一个观测器。
试就下述系统例
.2
1
2
21
xy
ux
xx
2
1
2
1
2
1
01y
1
0
10
01
x
x
u
x
x
x
x
解：
。根，器有两个相等的负实数则状态观测同时最好是和定性，常数，为保证系统的稳应该为和里为了使系统能实现，这
12,1
2
122
1
21
2
2
11
1,2
21
2
e
2
1
e
f
2
1
-
,f
4
1
f0,f
0f
ff
2
f4ff-
s
0fsfsC)F-(A-sI
0f-
1f-
CF-A
2
10
01
ra n k
CA
C
ra n k
s
四．分离定理
状态反馈和状态观测器的设计可以相互独立地进行．
)(tu
B? C
)(ty
A
-
)(tXe
F
观测器态状
)(tX)(tr
$5 线性系统的解耦
TC2
D
冷却水
F
TC1
蒸汽
B
一、基本概念
CXy
BUAXX
)()()()()(
1
SBUAsICsUsGsy
)()()()()()()(
)()()()()()()(
)()()()()()()(
2211
22221212
12121111
susgsusgsusgsy
susgsusgsusgsy
susgsusgsusgsy
llllll
ll
ll
耦合,M I M O 系统中每个输入 u I 控制所有全部输出 y I,
或者说每个输出受控于所有全部输入
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()(y
)()()(y
)()()(y
l,1,2,ji,j,i,0)(g
2
1
22
11
2
1
l
2222
1111
ij
su
su
su
sg
sg
sg
sy
sy
sy
susgs
susgs
susgs
s
llll
lll
则若解耦：每个输出仅受控于一个相应的输入。
标志：解耦系统的传递矩阵具有对角线矩阵形式
)(
)(
)(
)(
22
11
sg
sg
sg
sG
ll
为：要求闭环传递函数矩阵输出是相互独立的，即个个输入和使系统的设计一个补偿器串联补偿解耦二
llll,( s )G
.
c?
)(
)(
)(
)(
22
11
s
s
s
s
ll
r u
H
y
)(sGc )(sGp
二、串联补偿解耦
11
c
1
11
c
1
1
)]()[()()(G
)()]([)(
IH
)]()[()()(G
)(])([)(
)()()()(
sIssGs
sGsGIs
sHIssGs
sGHsGIs
sGsGBAsICsG
p
p
cp
时当
r u
H
y
)(sGc )(sGp
CXy
BUAXX
M I M O
的传递矩阵为线性定常系统设
三、状态反馈解耦
)s(00
0)s(0
00)s(
( s )
nn
22
11
耦系统：使下图所示的系统为解制规律为非对角矩阵，选取控
HrFXu
sG
sG
sG
BAsICsG
l
)(
)(
)(
)(
2
1
1
H B C?
F
A
+
+
r u x y
+
1
1
1
1
1
00
0
1
0
00
1
B F )(A-sIC( s )
)(
2
1
n
d
d
d
s
s
s
BH
CXy
B H rXBFAX
函数为要求该解耦系统的传递
100
001
C
00
11-
11
B
310
020
011
A
CXy
BUAXX
其中多输出线性定常系统输入例：已知完全能控的多
解：
变换矩阵。
输入解耦的状态反馈矩阵及试设计用以实现积分型系统存在耦合现象和阵为：给定系统的传递函数矩
0gg
65s-s
1
65s-s
1
-
2s
1
23s-s
3-s
BA)-C ( s I
( s )G
( s )G
G ( s )
( 1 )
2112
22
2
1-
2
1
型解耦的充要条件。满足给定系统实现积分为非奇异确定
0E
11-
11
E
E
E
11-E 11
]122m i nd
011m i nd
E( 2 )
2
1
21
1-
2
1-
1
E
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
3
2
1
2
9
2
2
1
950
011C
N
HF,N,( 3 )
1
1
2
2
1
EH
NEF
AC
A
计算
2
1
1
0
0
1
)(
)(
)()4(
s
s
BHBFAsIC
s
s计算
$6 线性系统的实现约当标准形的实现对角标准形的实现能观测标准形的实现能控标准形的实现系统的实现三具有可以实现的条件二概念一
.4,3
.2,1
.
.
.
S I S O
一、概念二、具有可以实现的条件三,SISO系统的实现
mA
4z
1z 2z
3z
a
b
~u(t)
一、能控性概念举例如下：交流电桥
$1 线性系统的能控性与能观测性能控的。
状态完全都是能控的，称系统是系统的所有状态如果是能控的则称初始状态移到任意的终端转初始状态内，能使系统从任意的间间隔在有限的时的控制作用如果存在一个不受约束能控性的概念为：
)t(X
,)t(X),t(X
)t(X)t~t(
u ( t )
0
0
00f
说明,(1) 定义仅要求输入 u(t)能在有限的时间内,使系统的状态由状态空间中的一点转移到另一 任意状态 。
(2) 没有限制输出量的大小,没有规定转移轨迹 。
。则系统就是完全能控的时均能找到这样的和任意一点作为作为状态平面中的任意一点说以过程如下图所示。如果用下，系统的状态转移的作某一个例：一个二维系统，在
),()(
)(
)tt( )(
0
f0
tutX
tX
ttu
f
t
1x
2x
0t ft
)( 0tx )( ftx
为非奇异阵内为常值，在式中
A
1 ) T(ktkT u ( t )
( 1 ) )B u ( k T)A X( k T1 ) T(kX
00
000
二、线性系统的能控性
1、线性定常离散系统的能控性
(1) 单输入 n阶离散系统能控的条件
为能控。式成立时，称矩阵对当的能控性矩阵。是的控制矩阵；为的系统矩阵为其中件为：状态完全能控的充要条阶离散系统单输入
BA( * )
nnBABAABB
1nB
nn A
( * ) nBABAABBr a n k
)B u ( k T)A X ( k T1 ) T(k X
n
-1n2
-1n2
000
定理 1
。试分析该系统的能控性状态方程为设线性定常离散系统的例
)u ( k T
1
0
1
)X ( k T
011-
2-20
001
1 ) T(k X
.1
000
控。因此系统的状态完全能解：
3
2-02
02-0
011
r a n k
3-1-1
2-2-0
111
r a n k
BAABBr a n k
2
。试分析该系统的能控性状态方程为：设线性定常离散系统的例
)u ( k T
1
0
0
)X ( k T
34-1
010
1-21
1 ) T(k X
2.
000
3
0
1
1
0
0
34-1
010
1-21
A B
解：
称不能控。该系统不完全能控，简
32
831
000
4-1-0
ra n kBAABBra n k
8
0
4-
1
0
0
82-1
010
4-80
B A
2
2
为能控。式成立时，称矩阵对当的控制向量是的向量是的控制矩阵；为的系统矩阵；为其中件为：状态完全能控的充要条阶离散系统为设多输入
BA( 2 );1ru;1nX
rnB
nn A
( 2 ) nBABAABBr a n k
( 1 ) )B u ( k T)A X ( k T1 ) T(k X
n
-1n2
000
2、多输入 n阶线性离散系统的能控性的条件定理 2
)u ( k T
00
10
01
)X ( k T
301
010
1-21
1 ) T(k X
.3
000
。试分析该系统的能控性系统的状态方程为设多输入线性定常离散例
的。该系统是状态完全能控解：
3BAABBr a n k
24
10
40
01
10
21
301
010
1-21
)AB(AB A
01
10
21
00
10
01
301
010
1-21
A B
2
2
nBABAABBra n k
,rra n k B ( 3 )
r-n2?
应用下式比较方便：时当说明,
T-1n-1n2
-1n2
BAABBBABAABBr a n k
BABAABBr a n k
( 2 )
比较方便：矩阵的秩时，应用下式在计算行数少于列数的
,
nBABAABB ( 1 )
-1n2
即可停止计算。现上述条件已经成立，计算，当计算到某步发一定要全部在计算该阵的秩时，不控入离散系统状态完全能时，多输能控性矩阵的秩为当?
矩阵。为矩阵时，为当矩阵。为矩阵时，为当
nrnBABAABBrnB ( 2)
nnBABAABB1nB ( 1)
-1n2
-1n2
三、线性定常连续系统的能控性说明：
nBABAABBra n k
:
BUAXX
n
)tt(t )t(u
-1n2
f0
件是状态完全能控的充要条阶线性定常连续系统能控性判据：
段连续函数定义：存在无约束的分
。试判断该系统的能控性设有三维状态方程为：例
u
1-1-
11
12
X
310
020
231
X
.1
32
2-2-1-1-
2211
2312
ra n kABBra n k
2-2-
22
23
1-1-
11
12
310
020
231
A B
2ra n k B
控的。该系统是状态不完全能解：
四,线性连续系统的输出能控性
1、定义：
),t(y)t(y
,)t~t(),t(u
f0
0f
统是输出完全能控的。
则称系转移到终端输出将任意初始输出内能在有限的时间间隔控制作用向量无约束的分段连续的如果存在一个在幅值上
lDBCACABCBr an k
-1n
2、输出能控的充要条件的矩阵。是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是的矩阵；是其中输出方程分别为：
状态方程与设线性定常连续系统的
rlD nlC
rnB nn A
1ru
1ly 1nx
( 2 ) DuCX y
( 1 ) BuAX X
X
X
01y
u
1-
1
X
X
21
10
X
X
2
1
2
1
2
1
出能控性。试确定系统的状态和输为例：设系统的动态方程
-1
1
1
21
10
01C A B
1
1
1
01CB
1
1
1
1
21
10
AB解：
的。，而输出却是完全能控系统是状态不完全能控
101-1r a n kDCABCBr a n k
21
11-
1-1
r a n kABBr a n k
.
,( t )X
t
)t~t()t(X
t)t(X
)t(y
)t~t(
0
0f0
00
0f
或者系统具有能观测性简称系统是能观测的是完全能观测的状态观测的则称时刻的所有状态都是能若系统在上是能观测的；在时间间隔始状态时刻的初的每一个分量。则称初始状态统的的量测值，能够确定系内取得的输出间隔如果根据在有限的时间五、线性系统的能观测性的概念
1、定义：
yx
xxy,
yx
2
11
2
。系统不是完全能观测的的信息中观测到因而此却不能从的，但是是可观测，故状态因为没有任何联系之间与输出量在这个系统中，状态变
2、举例
1/s 2x
)t(x 02
1
1/s yx1?
)t(x 01
2
u
000
nlrnnn1l1r1n
00
000
j ) T(iy,,1 ) T(ky),Ti(y
,
i
21
C,B,A,y,u,X
( 2 ) )C X ( k T)y ( k T
( 1 ) )B u ( k T)A X ( k T1 ) T(kX
.1
.
输出的观测时刻上对系统个及其以后有限个采样据在第
）描述的系统，如果根）和（对于由方程（
式中定义：
观测性线性定常离散系统的能六六、线性定常离散系统的能观测性
1、定义
)C X ( k T)y ( k T
)Bu ( k T)A X ( k T1 ) T(k X
n
00
000
是完全能观测的充要条件阶线性定常离散系统为
2、能观测性的充要条件能观测性。
全能观测，或具有观测的，则称系统为完采样时刻上都是能观测的。若系统在任意个采样时刻上是能则称系统在第态个采样时刻上系统的状能唯一的确定出第
i),X ( i T
i
0
对。
为能观测）成立时，称矩阵对当（
称为能观测性矩阵，
为已知，矩阵控制向量其中
CA3
CACAC
)u ( k T
( 3 ) n
CA
CA
C
ra n k
T
-1n
0
-1n
矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵；矩阵设有如下系统：
nlC ;1ly;rnB ;1ru
nnA ;1nx
Cxy
BuAxx
七、线性定常连续系统的能观测性
nCACACr a n k
:
T1n
即条件为状态完全能观测的充要
。试确定系统的可观测性设系统的动态方程为例
X
X
01y
u
1
3
X
X
10
02
X
X
1.
2
1
2
1
2
1
系统是不可观测的。
解：
21
02-
01
ra n k
CA
C
ra n k
02-
10
02
01
CA
和能控性。试确定系统的可观测性设系统的动态方程为例
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
X
X
11
01
y
y
u
u
01
12
X
X
11
11
X
X
2.
系统状态完全能控。
系统完全能观测解：
2
1-301
1-11-2
ra n kABBra n k
13
11
01
12
11
11
AB
2
20
1-1
11-
01
ra n k
CA
C
ra n k
20
11
11
11
11
01
CA
的。则系统状态一定是能控矩阵具有如下形式，如果其一个单输入系统能控标准形能控与能观测标准形八
1
0
0
0
B
1000
0100
0010
A
:BA
BuAXX
.1
.
121
aaaa
nnn
八、能控与能观测标准形
1、能控标准形
2
1
2
2
1
1
1121
2
11121
1
0
1
0
1
0
0
1000
0100
0010
BA
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1000
0100
0010
A B
1
aa
a
aaaaa
aaaaa
nnn
nnn
）证明如下：（
3
2
1
321
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
121
3
1
0
2
1
0
1
0
1000
0100
0010
B A
aaaa
aa
a
aa
a
aaaa
nnn
。矩阵变换为能控标准形将其系统矩阵及控制则可以通过非奇异变换控的状态完全能维单输入线性定常系统若定理系统的状态完全能控。因此
,
n:
,
n
1
100
1000
10000
r a n k
1321
2
1
n
定理,若 n维单输入线性定常系统的状态完全能控，则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及控制矩阵变换为能控标准形。
PBB
P A P A
P
P
P
P
BAABB100P
2
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1n
1
最后求得然后求首先求法）能控标准形的求取方（
n
A
A
u
1
1
0
X
041
020
122
X ( 2 )
u
1
1-
X
21-
01
X 1
）（
准形。控制矩阵变换为能控标统矩阵及例：试将下列系统的系
10
2
1
2
1
P
P
P
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
-
10P
2
1
2
1
2
1
2
3
-
ABB
31
1-1-
ABB )1(
1
1
1
-1
A
解：
1
0
1
1-
10
2
1
2
1
PBB
32-
10
10
1-2
21-
01
10
2
1
2
1
P A PA
10
1-2
P
1
-1
1
-1
32-4
2-23-
11-2
P
P
P
P
11-2
112
225
012
100P
112
225
012
BAABB
94-1
42-1
2-10
BAABB 2
2
1
1
1
1
1
2
2
A
A
）（
1
0
0
1
1
0
32-4
2-23-
11-2
4-5-2-
100
010
102-
121
012
041
020
122
32-4
2-23-
11-2
P A PA
102-
121
012
P
1
-1
1
-1
PBB
100C
100
010
001
000
A
:
CXy
1
.2
1
2
1
测。则系统状态一定可以观具有如下标准形式的系统矩阵和输出矩阵
）若单输出系统（
能观测标准形
a
a
a
a
BuAXX
n
n
n
2、能观标准形
1
2
1
-1
2
-1-1
-1
100
010
001
000
ATTA
C T Z y
BuTA T ZTZ
CXy
BuAXX
XTZ TZ X
,2
a
a
a
a
CA
n
n
n
变为能观测标准形则有或作变换为能观测标准形的方法）变换（
T3 T2 1
CA
1
0
0
T
TATTT
T
100CTC
1
-1
1
-1
1
1
1
-1n
11
2
）求取（）求取（）求取（
骤是：化为能观测标准形的步，将可按下式来确定变换矩阵
n
n
CA
CA
C
CA
CA
C
A
42
3-1-
TTT
2
1-
1
0
22-
1-0
T
22-
1-0
01
2
1
-1-
CA
C
11
1
-1
A
解：
准形。试将其变换为能观测标为例：设系统的状态方程
X
2
1
-1-y
X
20
1-1
X
10
42
3-1-
2
1
--CTC
31
2-0
T
20
1-1
2
1
1
2
3
2
ATT
2
1
1
2
3
2
T
2
-1
2
-1
A
T
T
T
2
1
BC
CB
A A
,)
(
)
(
.
能观测能控能观测能控能观测能控的充要条件相同，即能控或状态完全状态完全能观测系统的充要条件与其对偶态完全能观测或状状态完全能控控制系统对偶原理九
s
s
九、对偶原理的行。矩阵中没有元素全为零结论：
）（
能控能控的另一种表达形式线性定常系统状态完全十
BP
u
z
z
z
00
00
00
BuPA P ZP1
.1
.
1
2
1
21
22221
11211
n
2
1
n
2
1
11
rnrnn
r
r
u
u
fff
fff
fff
Z
十、线性定常系统状态完全能控能观测的另一种表达形式
1、能控性结论,P-1B矩阵中没有元素全为 零的行。
行。的各行不含整行为零的互不相同的特征值对应全部为零的行。阵中各行不含整行元素应的每个约当块最后一行对结论：
）（
b.
BPa.
u
z
z
z
0
0
00
0
0
1
0
00
00
10
01
Z 2
-1
2
1
21
22221
11211
n
2
1
6
1
1
1
1
1
rnrnn
r
r
n
u
u
fff
fff
fff
结论：
a、每个约当块最后一行对应的 P-1B阵中各行不含整行元素全 部为零的行。
b、互不相同的特征值对应的各行不含整行为零的行。
测。，则系统状态完全能观不含整列元素为零的列结论：
个互不相同的特征值时有）当（
能观测
CP
C P Z
nA
y
Z
00
00
00
Z
1
.2
n
2
1
2、能观测性结论：
CP不含整列元素为零的列，则系统状态完全能观测。
变换为约当矩阵有重特征值时，可以将当 AA)2(
n
0
0
00
0
0
1
0
00
00
10
01
A
6
1
1
1
1
1
结论：
a.CP矩阵中与互不相同特征值对应的各列不含整行元素全为零的列。
b.CP矩阵中与每个约当块第一列对应的各列不含整行元素全为零的列。
十一、线性定常离散系统的状态完全能控与完全能观测和传递函数的关系
(1)若单输入单输出系统的传递函数没有零极点对消则该系统状态完全能控，完全能观测。
(2)若传递函数出现零极点相互对消，则视状态变量的选择，它将是不能控或者不能观测的。
C P Z ( s )y ( s )
)()P()(
P
C P Zy
PZ
PZ X
CXy
BUAXX
A1.
11-1
21
2
1
12
1
-1
1-1
sBuPAPsIsZ
CP
BPAP
BUPA P Z
n
nn
取有互不相同的特征值时当
1、当 A有互不相同的特征值时
ii
n
i i
i
n
n
n
i i
i
n
n
n
a
s
a
ss
zszsk
su
sy
s
s
s
s
su
sy
BPAPPsICP
su
sy
i
11
1
1
i
2
1
2
1
21
111
)()(
)()(
)(
)(
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
2
44
3
1
13
2
1
2312
1
332211
4
3
2
1
2
1
2
11
3
1
2
11
4321
111
2
1
1
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
000
0
1
00
0
)(
11
0
0
)(
1
)(
11
)(
)(
)(
1
1
ss
ss
s
s
ss
sss
BPAPPsICP
Su
sy
APPJ
2、当 A有重特征值时
0,0
)()(
)()(
))()((
)(
)(
444133
43
2
4
3
1
3
2
1
2
1
1
2
3
1
321
aa
aa
s
a
s
a
s
a
s
a
ss
zszszsk
su
sy
则有件为无零极点对消的充要条十二、线性时变系统的能控性与能观测性
1、能控性
2、能观测性
2 1
2.
2 1
1.
.
）判别标准（）定义（
能观测性
）判别标准（）定义（
能控性与能观测性线性时变系统的能控性十二
2 1
2.
2 1
1.
.
）判别标准（）定义（
能观测性
）判别标准（）定义（
能控性与能观测性线性时变系统的能控性十二
$2 线性系统的结构分解和能观测性量的能控矩阵来判断各个状态变和由化为对角阵则将有互不相同的特征值，若步骤：
CPBP2.
C P Zy
BUPZZ
AA.1
-1
-1
32.5
AA.4
.3
。和步骤重复步骤为约当矩阵具有重特征值，则化若态变量进行分类按上述方框图对各个状
oc
co
oc
oc
u y
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
17002041
63005013
00
29
00
61
00
34
75
31
50
15
10
11
30
13
40
14
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
$3 线性系统的状态反馈与输出反馈
CXy
BrXBF-AX
）（?
)(tr
A
CB?
)(ty)(tX? )(tX)(tU
一、问题的提出二、具有状态反馈与输出反馈的状态空间表达式
F
CXy
BuAXX
1.状态反馈
CXy
BuXHC-AX
）（?
A
CB?
)(ty)(tU )(tX? )(tX
H
2.输出反馈
fafafafa
1000
0100
0010
BFA
ffffF
1
0
0
0
B
aaaa
1000
0100
0010
A
n132n21n1n
n321
12n1nn
结论,状态反馈和输出反馈不改变系统的能控性三、具有状态反馈与输出反馈的线性定常系统的能控性控。充要条件为状态完全能定理：实现状态反馈的的目的。达到改变系统动态性能
，从而改变目的：改变反馈矩阵
B F ),-(AF1.
四、极点配置为任意形和）（
具有能控标准形和）（
能控系统，设系统状态完全（一）对于方法：
BA2
BA1
S I S O
.2
n1n
1n
1
n
n1n
1n
1
12-1nn
12n1nn
asasas
cscsc
U ( s )
s)(Y
ccccC
1
0
0
0
B
aaaa
1000
0100
0010
A
则设系统的输出矩阵为具有能控标准形和）（ BA1
)fa(s)fa(s)fa(s
cscsc
U ( s )
s)(Y
fafafafa
1000
0100
0010
BFA
ffffF
1n21n
1n
n1
n
n1n
1n
1
n132n21n1n
n-1n21
则为设系统的状态反馈矩阵适当选择 fi可使系统的极点按性能指标要求得到任意配置极点配置步骤
n-1n21
n1n1n1
21
n1n
1n
1
n
2
1n21n
1n
n1
n
1
ffffF
afa a fa
3
asasas)2(
)fa(s)fa(
s)fa(s)BFA(sI)1(
阵得到系统的状态反馈矩
，对应项相等，即）令（
希望特征多项式为
u
1
0
0
X
X
X
320
100
010
X
X
X
)1(
3
2
1
3
2
1
解：
的位置上。极点配置在
，要求系统的矩阵试确定系统的状态反馈的传递函数为：例：已知线性定常系统
j1s,2s
F
)2s)(1s(s
1
)s(U
)s(Y
21
0
32
10
01
)(
32
100
010
)2(
321
321
321
fsff
s
s
BFAsI
fff
BFA
fffF设可以进行极点配置。
，故其状态完全能控，因系统具有能控标准形
1
4
4
4
62
43
0464
)1)(1)(2(
)3(
3
2
1
1
2
3
23
f
f
f
f
f
f
sss
jsjss
得到：由对应的系数相等可以
：希望系统的特征方程为
-1
-4
-4
-3
++
++
+
+
-2
yx?1
2x3xur
为任意型和）（ BA2
极点配置步骤
n-1n21
n1n1n1
21
n1n
1n
1
n
2
1n21n
1n
n1
n
1
ffffF
afa a fa
4
asasas)3(
)fa(s)fa(
s)fa(s)BFA(sI)2(
)1(
阵得到系统的状态反馈矩
，对应项相等，即）令（
希望特征多项式为判定系统能控性
s
1
1
1
s2
1
s
10
yx?1
2x3xu
为：例：已知系统的方框图
。
闭环极点配置在试用状态反馈使系统的
jss 22,5 21
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
3
322
211
x
x
x
001y
u
10
0
0
x
x
x
000
1-20
011-
x
x
x
xy
10x
x2x
xxx
,1:
u
x
解法解
402 8 s9ssj 2 )-2j 2 ) ( s25 ) ( S(S
0
101010
1-2-S0
01-1S
B F )-(A-sI
101010
120
011
3
0010
20100
1000
r a n kBAABBr a n k
23
321
321
2
fsff
fff
BFA
点的配置系统可以进行任意的极
1f 4f 2f 321,，
：由对应项相等可以得到
111
011-
001
10
1
AP
AP
P
P
001
10
1
BAABB100P
001
012-
100
10
1
BAABB2.
2
1
1
1
-1
2
1
-1
2
解法
001CPC
1
0
0
B
120
100
010
APPA
11-2-
011
001
10P
C
C
-1
c
-1
则有
142
103040
40289
)2()1(
)(
23
12
2
3
3
PFF
F
sss
fsfsfs
FBAsI
c
c
ccc
CCC
(3) A和 B为任意型，转换为 (1)型,F=FcP
注意：
(1) 状态反馈不能改变系统的零点。
(2) 状态反馈可任意极点配置的充要条件是
(A,B,C)可控 。
u)BZAZ( ZP X
3.
P2.
1.
M I M O
nrF
BrB F ) X-(AX
Fx-ru
CXy
BUAXX
)(
Ccc
c
作线性非奇异变换求系统的变换矩阵判断系统的能控性系统的极点的步骤是：任意配置状态的常数矩阵为其中则有：
反馈方程为：
系统对于二 M I M O
12101
2
1210
c
-1
cc
1
2
1
2
1000
0100
0010
000
000
000
000
0
1000
0100
0010
00
APPA
h
h
h
h
00
1
0
0
0
1
0
0
0
00
1
BPB
cC
r
n
rr
nn
r
n
CnCCC
C
X
z
n
bAAbbbAAbbbAAbb
bbbBB
BABAABB
PPPP
P
F
F
sss
1
2
1
221
1
11
21
12
21
21
.7
.6
,,.5
.4
，即：将能控性矩阵重新排列写为：其中系统的能控性矩阵为：
的确定变换矩阵求求程式写出反馈系统的特征方按极点配置要求的阵计算反馈系统的系统矩选取状态反馈矩阵，并线性无关个列向量中有又设在列向量由此可选列向量，于是有个线性无关的中有设在列向量
22
1
22
111
2
11
1
1)-C ( n
1
1
111)-C ( n
1
10111
1
11
11
1
11
bP
AP
P
0
:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
bAAbb
bAbA
bAb
b
bAbbAbA
bAAbb
n
cn
n
Cn1)-C ( n1)-C ( n1)--C ( nc1
c1
21222
2
12
1
1)--C ( n
2121)-C ( n
2)-C ( n
n11)-C ( n2
1)-C ( n20212
1
12
PPPPPP
P
AAAP
A-P
P
0PhPh
PAA
121
2
2
2
21
1
1
11
2
2
2
最后求得变换矩阵为：
为止。向量依次类推，直到选出列由此可选于是又有
bbbb
bAb
b
hbbbbA
c
-3S-2S-1
BUAXX
F
01
10
01
B
300
020
001
321
X
上。，及，的极点配置在
，要求将系统矩阵试确定系统的状态反馈分别为：及控制矩阵阵的双输入系统的系统矩例：已知状态完全能控
S
A
BA
2
2
221
2
11
2
321
bbbbbb
090301
402010
010101
BAABB
,2
.1
AAAA
PPPP
P
CCCC
C
能控性矩阵为求解的公式为：求要求的系统极点。所以可以通过状态反馈全能控，因为给定系统的状态完解：
-3 -4
0
0
0
1
0
1
3
0
1
9
0
1
0bbb
bbb,b,b
000931
421000
000111
01
21
10111
2
111
2
11
，
所以有：
及向量中有两个线性无关的列
AA
AAA
0PhPhbAb
PP
b,b,b
1-
0
3-
bbP
1
0
1
bP
c31c22102
c2c3
2
2
22
111c2
1c3
线性无关及列向量中只有一个列向量与又有列向量 AA
A
2P
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
P
110
001
130
P
0
1
0
bP
c
1-
c
c
2c1
01
00
10
01
10
01
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
BPB
43-0
100
002
110
001
130
300
020
001
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
APPA
ZP3,X
1-
CC
C
1-
Cc
c
560
100
001
FB-A
03)2 ) ( s1 ) ( s(sD ( s )
5.
f-4f30
100
00f-2
FB-A
00f
ff0
4,F
ZCC
1110
20
ZCC
20
1110
Z
系统的特征方程式求，写出反馈按系统极点的配置的要
003
930
F
9f
3f
3f
5f-4
6f3
-1f-2
F6.
Z
11
10
20
11
10
20
Z
解得对应的系数相等有求
030
1506-
2
3
0
2
1
-
2
1
0
2
1
-
010
003
930
PFF
F7.
1-
CZX
X
求解
A
H
CB?
)(ty)(tU )(tX? )(tX
四、输出反馈定理：对于可控系统（ A,B,C）要通过输出反馈阵 H来任意配置闭环系统的极点的充要条件是（ A,B,C）可以观测。
1
40
13
4013)8)(5(
)1()()2(
2
0
01
2
10
01
)1(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
S
s
s
h
h
H
ssss
hshsHCAsI
r a n k
CA
C
r a n k
r a n kABBr a n k
馈进行极点配置该系统可以通过输出反判断能控性和能观测性解：
8-5-H
01C
10
01
B
01
0
A
2
S
。和，使极点配置在试选取一例：已知
$4 线性系统的状态观测器用。导的准确性，故很少采扰也混在一起，影响求程中，干的导数，而在求导的过及缺点：要确定
。从而确定之间的关系，和方程推导出直接由状态方程和输出方法一：
解决的方法问题的提出状态观测器一
uy
x
yx
.2
.1
.
一、状态观测器方法二：状态观测器
ee
eeee
CXy
yyFBUAXX
)(?
C
eF
A
u
B? C
y
A
+
-
-
ey
eX
B
0)]()([
))()(()()(
))((
)(
l i m
00
))((
0
tXtX
tXtXetXtX
XXCFAXX
CXy
yyFBUAXX
e
t
e
ttCFA
e
eee
ee
eeee
e
系统状态完全能观测。
意配置的充要条件是状态观测器的极点的任,
二、反馈矩阵 Fe的确定
02C
1
0
B
32
10
A
CXy
BUAXX
.1
.
式中设系统的动态方程为：例举例三
10s,10s
CF-A
21
e
的特征值要求为中试设计状态观测器，其三、举例解：
2
1
e
e
f
f
F
,F
2
20
02
ra n k
CA
C
ra n k
20
32
10
02)1(
的极点配置的要求。
满足状态观测器系统可以适当选择
CA
2 3,5f 1 0 022f6f
8,5f 202f3
01 0 02 0 s1 0 )1 0 ) ( s(s
0
3s2f2
1-2f
C)F-(A-sI
3-2f-2-
12f-
02f
02f
-
32
10
CF-A
02f
02f
02
f
f
CF
( 2 )
221
11
2
2
1
e
2
1
2
1
e
2
1
2
1
e
故有而要求的是
s
s
设计出一个观测器。
试就下述系统例
.2
1
2
21
xy
ux
xx
2
1
2
1
2
1
01y
1
0
10
01
x
x
u
x
x
x
x
解：
。根，器有两个相等的负实数则状态观测同时最好是和定性，常数，为保证系统的稳应该为和里为了使系统能实现，这
12,1
2
122
1
21
2
2
11
1,2
21
2
e
2
1
e
f
2
1
-
,f
4
1
f0,f
0f
ff
2
f4ff-
s
0fsfsC)F-(A-sI
0f-
1f-
CF-A
2
10
01
ra n k
CA
C
ra n k
s
四．分离定理
状态反馈和状态观测器的设计可以相互独立地进行．
)(tu
B? C
)(ty
A
-
)(tXe
F
观测器态状
)(tX)(tr
$5 线性系统的解耦
TC2
D
冷却水
F
TC1
蒸汽
B
一、基本概念
CXy
BUAXX
)()()()()(
1
SBUAsICsUsGsy
)()()()()()()(
)()()()()()()(
)()()()()()()(
2211
22221212
12121111
susgsusgsusgsy
susgsusgsusgsy
susgsusgsusgsy
llllll
ll
ll
耦合,M I M O 系统中每个输入 u I 控制所有全部输出 y I,
或者说每个输出受控于所有全部输入
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()(y
)()()(y
)()()(y
l,1,2,ji,j,i,0)(g
2
1
22
11
2
1
l
2222
1111
ij
su
su
su
sg
sg
sg
sy
sy
sy
susgs
susgs
susgs
s
llll
lll
则若解耦：每个输出仅受控于一个相应的输入。
标志：解耦系统的传递矩阵具有对角线矩阵形式
)(
)(
)(
)(
22
11
sg
sg
sg
sG
ll
为：要求闭环传递函数矩阵输出是相互独立的，即个个输入和使系统的设计一个补偿器串联补偿解耦二
llll,( s )G
.
c?
)(
)(
)(
)(
22
11
s
s
s
s
ll
r u
H
y
)(sGc )(sGp
二、串联补偿解耦
11
c
1
11
c
1
1
)]()[()()(G
)()]([)(
IH
)]()[()()(G
)(])([)(
)()()()(
sIssGs
sGsGIs
sHIssGs
sGHsGIs
sGsGBAsICsG
p
p
cp
时当
r u
H
y
)(sGc )(sGp
CXy
BUAXX
M I M O
的传递矩阵为线性定常系统设
三、状态反馈解耦
)s(00
0)s(0
00)s(
( s )
nn
22
11
耦系统：使下图所示的系统为解制规律为非对角矩阵，选取控
HrFXu
sG
sG
sG
BAsICsG
l
)(
)(
)(
)(
2
1
1
H B C?
F
A
+
+
r u x y
+
1
1
1
1
1
00
0
1
0
00
1
B F )(A-sIC( s )
)(
2
1
n
d
d
d
s
s
s
BH
CXy
B H rXBFAX
函数为要求该解耦系统的传递
100
001
C
00
11-
11
B
310
020
011
A
CXy
BUAXX
其中多输出线性定常系统输入例：已知完全能控的多
解：
变换矩阵。
输入解耦的状态反馈矩阵及试设计用以实现积分型系统存在耦合现象和阵为：给定系统的传递函数矩
0gg
65s-s
1
65s-s
1
-
2s
1
23s-s
3-s
BA)-C ( s I
( s )G
( s )G
G ( s )
( 1 )
2112
22
2
1-
2
1
型解耦的充要条件。满足给定系统实现积分为非奇异确定
0E
11-
11
E
E
E
11-E 11
]122m i nd
011m i nd
E( 2 )
2
1
21
1-
2
1-
1
E
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
3
2
1
2
9
2
2
1
950
011C
N
HF,N,( 3 )
1
1
2
2
1
EH
NEF
AC
A
计算
2
1
1
0
0
1
)(
)(
)()4(
s
s
BHBFAsIC
s
s计算
$6 线性系统的实现约当标准形的实现对角标准形的实现能观测标准形的实现能控标准形的实现系统的实现三具有可以实现的条件二概念一
.4,3
.2,1
.
.
.
S I S O
一、概念二、具有可以实现的条件三,SISO系统的实现
