第九章 线性系统的状态空间分析法一,基本概念
1.状态,
2.状态变量,
3.状态向量,
4.状态空间,
系统的运动状态。
决定控制系统状态的变量。
$1 线性定常系统的状态空间描述便是状态向量。分量它的各个的状态向量可以选作被控过程便所确定则向量及由向量唯一地如果向量取向量为该被控过程选为已知的作用函数向量作用到被控过程设在时间间隔
)(,),(),(
.P
X ( t )T),U ( t)X ( t
)t(t X ( t )),X ( t
,U
pT],[t
21
00
00
0
tXtXtX
n
二,状态变量的选取
1n
)1n(
1
n
.
1n
)1n(
1
xy
x
uyayaya
n
2
1
( n )
x
y x
yx
y
选取三,由微分议程建立状态空间表达式,
1.作用函数不含导数项时的 n纪念阶线性系统的状态空间表达式输出矩阵输入矩阵系统矩阵输出方程状态方程则有
0]0 [1C
1
0
0
B
a-
0 1 0 0
0 0 1 0
A
c x y
B u Axx
11n
.
aa
n
状态变量图
-a1
-a2
-an-1
-an
X2u X1=yXn-1Xn
+
：间表达式。方框图如下试写出该系统的状态空为设控制系统的运动方程
uyyy 23
)2(?
-3
-2
u 2X? 12 XX yX?1
+
例 1.
0 1C
x
x
0 1CXy
1
0
B
3- 2-
1 0
A
BuAXX
x
x
3- 2-
1
x
x
2
1
2
1
2
1
其中即则有选取
u
1
00
x
x
ux3x2x
xx
yx
y
2
1
212
21
1
解,
间表达式。试写出该系统的状态空如下设某控制系统的方框图
,
ryy2y3
1s2s3s
1
)2s)(1s(s
1
1
)2s)(1s(s
1
)2(
23
( 3 )
y
R ( s )
Y ( s )
则
)2)(1(
1
sss
R(S) Y(S)
+ _
例 2.
解,
BrAXX
x
x
x
3213
3
2
23
2
1
rx3x2xx
xx
xx
yx
yx
y
2
1
)2(
1
所以取
x
x
x
0 1 CXy
0 0 1C
1
0
0
B
3- 2- 1-
1 0 0
0 1 0
A
3
2
1
其中
dtti
cdt
di
LRite
te
R L C
)(
1
)(
)(
,
回路方程为：
的作用下，网络的方程及输出方程。在试写出该网络的状态网络设有一
R L
e(t) C
)(0 te
例 3.
e
LC
1
0
L
R
LC
1
0
ex
e
e
LC
1
e
LC
1
dt
de
L
R
dt
e
ee
dt
de
RC
dt
e
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
x
x
- -
1
x
x
x
x
d
d
LC
2
1
2
1
12
1
2
2
则有取解法 1:
0 1C
y
x
x
0 1y
1
0
B
3- 2-
1 0
A
BuAXX
2
1
CX
e
0
而其中即
)(te )(0 te1x? 2x
1/L 1/C
-R/L
-1/LC
21 xx
2
1
20
2
1
2
1
12
21
2
1
x
x
C
1
0x
C
1
i d t
C
1
)t(e
)t(e
0
L
1
x
x
01
LC
1
L
R
x
x
xx
)t(e
L
1
x
LC
1
x
L
R
i d tx
ix
x
1
则有选取解法 2.
1/L 1/C
-R/L
-1/LC
1x? 1x)(te 2x? )(02 tex?
+
2
1
20
2
1
2
1
12
21
2
1
x
x
10xi d t
C
1
)t(e
)t(e
0
L
1
x
x
0
C
1
L
1
L
R
x
x
x
C
1
x
)t(e
L
1
x
L
1
x
L
R
i d t
C
1
x
ix
x
1
则有选取解法 3.
结论,状态变量不唯一,状态变量的选取不同,
状态空间表达式也不同。
ubububub
xaxaxax
xx
xx
yxx
yxx
yx
ububububyayayay
n1n
)1n(
1
)n(
0
n121n1nn
32
21
)1n(
1nn
12
1
n1n
)1n(
1
)n(
0n1n
)1n(
1
)n(
则有若选取
2.作用函数含导数项时的 n阶线性系统的状态空间表达式
(1).直接法,
选取状态变量的原则是,
在由包含状态变量的 n个微分议程构成的系统状态议程解中任何一个微分议程均不含有作用函数的导数项。
DUCXy
BUAXX
uhxx
uhxx
ubyx
1n1nn
112
01
uhxx
uhxx
uhxx
n1nn
232
121
DUCXy
BUAXX
uhxx
uhxx
ubyx
1n1nn
112
01
0 1C
y
x
x
0 1y
1
0
B
3- 2-
1 0
A
BuAXX
2
1
0
CX
e
而其中即
nh
1?nh 0b1h2h
nx 2x 1x1x?1?nx?u y
1a?
2a?
1 na
na?
变量图。
间表达式，并画出状态试写出该系统的状态空为：设控制系统的运动方程
uu4uy89yy
( 2 )( 2 )( 3 )
38( - 5 )9-18-0)0-(1ha-ha-)ba-(bh
-519-0)8-(4ha-)ba-(bh
109-1ba-bh
1b 4b 1b 0b
0a 8a 9a
21120333
110222
0111
3210
321
例 1.
解,
uxxx
uxx
ux
u
ux
y
3898
5
x
5xx
x
x
:
323
32
21
23
12
1
即：
则选取的状态变量为
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001y
u
38
5
1
9-8-0
100
010
x
x
x
x
x
x
x
x
x
画出状态变量图。
态空间表达式，写出下图所示系统的状
2
11
s611
6
s
s+-r y
61 1 s6ss
61 1 s
11
6s
11
6
s
1
11
6s
11
6
s
R ( s )
Y ( s )
23
2
2
s
s
6b 11b 0b b
6a 11a 6a
6rr116yy11y6y
3210
321
例 2.
解,
6116
x
- 6 0ha-ha-)ba-(bh
11011ha-)ba-(bh
0ba-bh
xx
xx
b-yx
33213
232
121
21120333
110222
0111
223
112
01
rhxxxx
rhxx
rhx
rh
rh
r
则有选取
3
2
1
3
2
1
3
2
1
223
112
1
001y
r
60-
11
0
6116
100
010
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
rhxx
rhx
yx
因此选间表达式。，试写出该图的状态空已知系统的结构图如下.
nn
nn
nn
nn
asasas
bsbsbsb
1
1
1
1
1
10
u(s) Y(s)
，则有，引入中间变量将上图作等效变换如下 z
nn
nn asasas
1
1
1
1
nnnn bsbsbsb 1110?
U(s) Y(s)Z(s)
(2) 中间变量法
( 2 )
Z ( s )
Y ( s )
( 1 )
1
U ( s )
Z ( s )
1
1
10
1
1
1
nn
nn
nn
nn
bsbsbsb
asasas
( 5 )
xx
xx
xx
x
)3(
( 4 ) zbzbzbzby
z ( s )bs z ( s )bz ( s )sbz ( s )sby ( s )
( 3 ) uzazazaz
u ( s )z ( s )as z ( s )az ( s )saz ( s )saz ( s )s
)1(
-1nn
)2(
2-n-1n
12
1
n-1n
- 1)(n
1
( n )
0
n-1n
-1n
1
n
0
n-1n
- 1)(n
1
( n )
n-1n
2-n
2
-1n
1
n
n
n
z
z
z
z
选取对由以上二式得
n
2
1
1-1nn0
n
2
1
12-1nn0
1n2-1nn11n2-1n-1n2n10
n
2
1
12-n-1nn
n
2
1
x
x
x
bbbub
x
x
x
a-a-a-a-b
xbxbxb)xa-xa--xa-xa-(uby
u
1
0
0
x
x
x
a-a-a-a-
1
000
0100
0010
x
x
x
n
2
1
1-1nn
0
x
x
x
bbby
0b
则得到在一般情况下状态方程表达式。的试求
uu4uy89yy ( 2 ))2()3(
u
1
0
0
x
x
x
980
100
010
x
x
x
1b 4b 1b 0b
0a 8a 9a
3
2
1
3
2
1
3210
321
3
2
1
141y
x
x
x
例 4.
解,
1
4
-8
-9 1x2x
3x
u y
nn
nn asasas
1
1
1
1
U ( s )
Z ( s )
u
1
0
0
x
x
x
0100
0010
x
x
x
)(x)(x
)(x)(x
)(x)(x
)()(x
n
2
1
121n
2
1
1-nn
23
12
1
aaaa
sss
sss
sss
szs
nnn
则
n
x
x
x
2
1
001z
四,由传递函数建立空间表达式由传递函数结合状态变量图导出空间表达式
（ 1）直接程序法 direct program method
由传递函数直接画出状态变量图，再由状态变量图直接写出状态空间表达式
)()44()(
)(8)(9)()(
891
)(
)(
891
44
)(
)(
89
44
)(
)(
)(
321
21
21
21
321
23
2
sEssssY
sEssEssUsE
ss
sU
sE
ss
sss
sU
sY
sss
ss
sU
sY
sG
3x 2x 1x)(su )(sy
9?
8?
4
)(sE
)(1 sEs? )(2 sEs? )(3 sEs?
4
44
98
321
323
32
21
xxxy
uxxx
xx
xx
3
2
1
3
2
1
3
2
1
144y
u
1
0
0
980
100
010
x
x
x
x
x
x
x
x
x
（ 2）并联程序法 parallel program method
由传递函数化为部分分式后画出状态变量图，
再由状态变量图写出状态空间表达式。
单元画为利用直接程序法，将此部分分式的基本单元为
assU
sX
1
)(
)(
-a
x
u y
x?
321
33
22
1
14
9
7
1
2
1
8
xxxy
uxx
uxx
ux
3
2
1
3
2
1
3
2
1
14
9
7
1
2
1
y u
1
1
1
800
010
000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
1
14
9
1
1
7
11
2
1
)(
)(
ssssU
sY
-1
2x
u
2x? -1/7
-8
3x3x? 9/14
1x
y
1x? -1/2
（ 3）迭代程序法 iterative program method
由传递函数化成因子连乘积形式后画出状态变量图，再由状态变量图直接写出状态空间表达式
)()()(
)(as-U ( s ))(
1
)(
)(
1
1
)(
)(
)(
)(
1
-1
11
1
sEbssEsX
sEsE
as
sU
sE
as
bs
sU
sX
as
bs
sU
sX
单元画为利用直接程序法，将此基本单元为
xu yx?
-a
b
8
2
1
2
s
1
)8)(1(
)2(
89
44
)(
)(
2
23
2
s
s
s
s
sss
s
sss
ss
sU
sY
32133
3213223
212
1
62
882
xxxxxy
xxxxxxx
xxx
ux
3
2
1
3
2
1
3
2
1
6-11y u
0
0
1
80\11
011
000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2x
u
2x?
-1
2?
1x
3x y3x
-8
2
1.状态变量的选择不唯一。
2.状态变量不一定要在物理上可测量 。 yxyx 21,
3.状态变量在数学形式上应力求简单。
4.有时输入也可看成状态变量，称为广义状态变量，这时系统变成只有用广义状态变量来描述的齐次微分方程了。
)( ass
K
bs
cs
yu
)(
1
as?bs
k
yu
s
K
1x2x3x
五,根据系统的方框图求状态空间表达式
1.系统中不含振荡环节的情况
(1)把各个环节化为最简单形式的组合一阶惯性环节和比例环节
(2)把各个环节的输出选做状态变量
)]()([)(
)]()()([)(
)(
1
)(
13
132
21
sxsu
bs
k
sx
sxsusx
s
K
sx
sx
as
sx
1
313
312
211
xy
kubxkxx
KuKxKxx
xaxx
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
0
0
0
01
x
x
x
y
u
k
K
x
x
x
bk
KK
a
x
x
x
)()()()(
)()()()(
)()()(
313
312
211
skusbxskxssx
sKusKxsKxssx
sxsaxssx
G ( s )-1
G ( s )
( s )G
( s )G1
( s )G
G ( s )
G ( s )k
s
a
k
s
k
0
0
0
0
21
2
2
0
21
2
asaasa
2.系统中含有振荡环节的情况
(1) 把各个环节化为最单间组合,若干个一阶惯性环节和比例环节
(2) 对于二阶系统,把它看作一个单位反馈系统的输出
(3) 把各个环节的输出 选做状态变量
01
2 asas
K
bs?
1
yu
cs
ds
1
1
as?s
a0
y
0K
1
1
as?s
a0
y
0Kbs?1
cs
k
1x2x3x
4x
4
3
2
1
4
3
2
1
0
1
4
3
2
1
0001
0
1
0
0
001
01
00
001
x
x
x
x
y
u
x
x
x
x
c
kb
Ka
a
x
x
x
x
DUCXY
BUAXX
u
u
u
ddd
ddd
ddd
x
x
x
cc
cc
y
y
y
u
u
u
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aa
aa
x
x
x
r
2
1
nrn2n1
2r2221
1r1211
n
2
1
21
22221
11211
n
2
1
r
2
1
nrn2n1
2r2221
1r1211
n
2
1
21
22221
11211
n
2
1
在这里
nnnn
n
n
nnnn
n
n
ccc
c
c
aaa
a
a
六,多输入多输出 系统的状态空间表达式
rlD
nlC
rnB
nn A
：系统的结构图如下所示为直接传递矩阵为输出矩阵为控制矩阵为系统矩阵其中
yu B C?
D
A
X? X+
DUCXY
BUAXX
间表达式。试写出该系统的状态空已知
2414232
2312112211
( 2 )
1
ubyayay
ubububyayay
112110222
10111
23
112
11
babhababh
bbabh
yx
uhxx
yx
其中选取?
例 1.
解,
3
2
1
2
1
3211
2
1
4
3112
1
3
2
1
34
21
3
2
1
2433143
23111232212
1121
100
001
xy xy
0
0
0
0
010
x
)(x
x
x
x
x
y
y
y
u
u
b
bbab
b
x
x
x
aa
aa
x
x
x
ubxaxa
ububabxaxa
ubx
则有
A-SI-SI
1
11
APP
BuPAPZPZ
PZX
BuAXX
其中其中
七,状态变量的非唯一性
1-mn mn
b
U ( s )
Y ( s )
1
1
1
1
10
设这里
nn
nn
m
mm
asasas
bsbs
八、状态空间表达式的规范化形式
1.能控标准形
:B A
CXy
BuAXX
两矩阵具有如下形式，若为系统的状态空间表达式
形的表达式。试求取对应的能控标准的微分方程为设某三阶线性定常系统矩阵可以是任意的。中则称为能控标准形，其
uu2u32yy34yy
C
1
0
0
0
B
a-a-a-a-
1000
0100
0010
A
( 2 ))2()3(
12-n-1nn
123
Z ( s )
Y ( s )
234
1
U ( s )
Z ( s )
U ( s )
Z ( s )
Z ( s )
Y ( s )
U ( s )
Y ( s )
2
234
123
U ( s )
Y ( s )
)1(
2
23
23
2
ss
sss
sss
ss
）（
系统的传递函数为解,
形的表达式。试求取对应的能控标准的微分方程为设某三阶线性定常系统
uu2u32yy34yy
( 2 ))2()3(
例 1.
321y
u
1
0
0
432
100
010
( 3 )
z( s )( s )x( s )x
z( s )( s )x( s )x
z( s )( s )x
( t )z( t )x( t )x
( t )z( t )x( t )x
z( t )( t )x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
23
12
1
23
12
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ss
ss
100C
a- 1 000
a-0 010
a-0 001
a-0 000
A
C A
CXy
BuAXX
1
2-n
-1n
n
两矩阵具有如下形式，若为系统的状态空间表达式
2.能观测标准形形的表达式。试求取对应的能观标准的微分方程为设某三阶线性定常系统
：并且通过观察可以知道则称为能观测标准形，
能控能观测能控能观测能控能观测
uu2u32yy34yy
CB
BC
A A
( 2 ))2()3(
T
T
T
100C
3
2
1
B
410
301
200
A
100y u
3
2
1
410
301
200
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
解,
形的表达式。试求取对应的能观标准的微分方程为设某三阶线性定常系统
uu2u32yy34yy
( 2))2()3(
例 2.
n
00
0
00
00
A
2
1
3.对角标准形
(1).定义,
(2).思路
n
00
0
00
00
A
2
1
CB 和求得
)w ( s ) (l i mc
-s
c
-s
c
-s
c
-s
c
U ( s )
Y ( s )
W ( s )( 3 )
i
n
1i i
i
n
n
2
2
1
1
i
s
s
i
这里
uxx
susxssx
s
su
sx
iii
ii
i
i
)()()(
)(
)(
Xcccy
UX
n
n
21
2
1
1
1
1
00
0
00
00
X
(4).状态变量的选取空间表达式。试求对角标准形的状态函数为已知某三阶系统的传递
8147s
12s
W ( s )
23
ss
3
2
1
3
2
1
3
2
1
23
6
7
-
2
3
3
1
-y
u
1
1
1
400
020
001
( 2 )
4s
7 / 6-
2s
3 / 2
1s
1 / 3-
8147s
12s
W ( s ))1(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ss
例 3.
解,
n
n
cccCB?
21
2
1
1
0
0
,
00
1
00
01
A
和求得的条件下在满足
4.约当标准形
(1).定义,
(2).思路,
00
1
00
01
A
2
1
n
])[ w ( s ) (
ds
d
1 ) !-(n
1
l i mc
-s
c
)-(s
c
)-(s
c
U ( s )
Y ( s )
) W ( s
n
-1n
-1n
i
1
n
1
1
2
1
1
i
s
nn
s
i
这里
1
2
1
1
1
1
2
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
s
su
sx
s
su
sx
s
su
sx
s
su
sx
n
n
n
n
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
1
111
3212
2111
susxssx
sxsxssx
sxsxssx
sxsxssx
nn
nnn
(3)
(4).状态变量的选择
n
2
1
21
n
2
1
1
1
1
n
2
1
x
x
x
1
0
0
x
x
x
1
1
1
x
x
x
n
cccy
u
空间表达式。试求约当标准形的状态为已知某系统的传递函数
3
2
23
2
2)-(s
152s
8126s
152s
W ( s )
s
ss
s
3
2
1
3
2
1
3
2
1
41319y
u
1
0
0
200
120
012
x
x
x
x
x
x
x
x
x
例 4.
解,(1)
(2)
2)-(s
2
2)-(s
13
2)-(s
19
2)-(s
152s
s) W ( 233
2
s
n
2
1
1111
n
2
1
2
1
1
1
1
n
2
1
1
1
1
1
1
11
x
x
x
1
1
1
1
0
0
x
x
x
00
0
00
00
0
0
00
1
00
01
x
x
x
)()()()(
)(
nrr
n
r
r
n
n
r
rr
r
ccccy
u
s
c
s
c
s
c
s
c
sW
5.推广
DBA)-( s I
U ( s )
Y ( s )
) W ( s
DuCXy
BuAXX
-1
C
最后求得已知系统的传递矩阵为
九,由控制系统的空间表达式确定系统的传递函数矩阵
(1) 古典控制论主要是以传递函数作为数学模型,
为了利用古典控制论的久经考验的成果来分析设计控制系统,常常有必要将状态空表达式转换为传递函数矩阵,
U (s )
Y (s )W (s )?
DuCXy
B u AXX
四种标准形
DBASIc 1)(
ububububyayayay nnnnnnnn 1)1(1)(01)1(1)(
自动控制系统三种数学模型之间的关系
。试求该系统的传递函数设某控制系统的方程为
2
1
2
1
2
1
21y u
5
2
x
x
1-3
1-5-
x
x
x
x
86S
591 2 s
86S
1
5
2
5S3
1-1S
21
U ( s )
Y ( s )
W ( s )
5S3
1-1S
86S
1
1S3-
15S
A)-( S I
22
2
1
-1
SS
S
例 1.
解,
求系统的传递函数。
已知 13C
1
0
B
5-6-
10
A
求系统的传递函数。
已知 01C
2-
1
B
5-6-
10
A
例 2.
例 3.
解,
说明,由于选取状态变量的非唯一性,所建立的系统空间状态表达式也是唯一的,然而,尽管同一系统具有不同的状态空间表达式,但系统的传递函数矩阵却是唯一的。
65s
3s
U ( s )
Y ( s )
( s ) W
2
s
$2线性定常系统的分析
AXX
0
x
X
aaa
aaa
aaa
A
BUAXX
2
1
nnn2n1
2n2221
1n1211
时当其中方程为设线性定常系统的状态
U
x
x
n
一,齐次状态方程的解
kk22at
at
ta
k!
1
ta
2!
1
at1e
x ( 0 )e( t ) x
atl n x ( 0 )-l n x a d t
x
dx
a x
dt
dx
A
这里指数函数对上式进行求解，得到程一个普通的一阶微分方为一维的，则上式变为若上式中
axx
01
0
3
23
0
2
12
01
k2
210
-1k
k
2
321
k
k2
210
!
1
b
1
b
!3
1
b
3
1
b
2
1
b
2
1
b
bb
)tbtbtbb(
tkbt3tb2b
( * )
b ( * ) tbtbtbb X ( t )
( t ),
bA
k
A
k
bAA
bAA
A
A
b
AXX
axxXAXX
k
kk
k
k
比较等式两边有得到代入将向量的解的形式，有仿造的解为设
1.矩阵指数法
)0(
!
1
tA
2!
1
AtIe
) X ( 0 )
!
1
tA
2!
1
At(It) X (
( 0 )b 0t
)b
!
1
tA
2!
1
At(It) X (
*
k22At
k22
0
0
k22
XeX
tA
k
tA
k
AXX
X
tA
k
At
k
k
k
矩阵指数可以记做的解为则得到则有令
）中有代入（
说明,
(1)齐次状态方程的解表示状态向量 X(t)由初始状态 X(0)向任意时刻的状态 X(t)转移的内在特性,该特性通过矩阵指数具体描述。
(2)eAt称为矩阵指数 (n*n矩阵 ),不适合于手算,
使用计算机来计算非常方便 。
上述方程。试用矩阵指数法来求解程为设某控制系统的状态方
x
x
00
10
x
x
2
1
2
1
)0(x
)0(x
10
t1
)(x
)(x
x ( 0 )ex ( t )
10
t1
t
00
10
10
01
AtIe
00
00
A A
00
00
00
10
00
10
A
2
1
2
1At
At
n3
2
t
t
例 1.
解,
x ( 0 )A)-( s Ix ( t )
x ( 0 )A)-( s Ix ( s )
x ( 0 )A ) x ( s )-( s I
A x ( s )x ( 0 )-s x ( s )
AXX
-11
-1
L
对其取拉氏变换有已知系统的状态方程 为
2.拉普拉斯法
A)-( s Ie
!
1
!2
1
A)-( s I
s
A
s
I
A)-( s I
I)
s
A
s
I
A ) (-sI
-11At
22-11
13
2
2
-1
13
2
2
L
tA
k
tAAtIL
s
A
s
A
s
A
s
A
kk
k
k
k
k
（
3.两种方法的关系试求解该状态方程。
程为已知给定系统的状态方
2
1
2
1
x
x
2-1-
10
x
x
,
22
22
1-
1)(s
s
1)(s
1-
1)(s
1
1)(s
2s
)d e t (
)a d j (
2s1
1-s
AsI
AsI
AsI
AsI
如下：根据已知条件求解过程例 2.
解,
)0(x
)0(x
)1(
)1(
)(x
)(x
)0(A)-( s Ix ( t )
)1(
)1(
1)(s
s
1)(s
1-
1)(s
1
1)(s
2s
A)-( s I
2
1
2
1
-11
22
22
1
-11
tt
tt
tt
tt
ette
teet
t
t
xL
ette
teet
L
L
A)-( s Ie( t )
-11At?
L
二,状态转移矩阵
1.定义
2.状态转移矩阵的性质
(1) 自身性
(2) 反逆性
(3) 传递性
(4)
(5)
(6) ( n t )(t)
n
( 0 ) I
( - t )( t ) 1
)t-(t)t-(t)t-(t
020112
)(t)(t)t(t
2121
( t )A( t )
:
32
10
21
10
)1(
1
法求解提示：可以通过两种方
。和求已知
n
( t )( t )
A( 2)
A
例,
(1) 通过性质
(2) 通过直接计算
。和试求状态转移矩阵设系统的状态方程为：
(t)(t)
u2x--xx
xx
-1
212
21
3,状态转移矩阵的计算
(1) 拉普拉斯法例 1.
tt
tt
-11
22
22
-1
e)t1(te
tee)t1(
A)-( s IL(t)
1s
1
1)(s
1
1)(s
1
1)(s
1
1s
1
1)(s
1
s1
12s
12)s ( s
1
A)-( s I
2s1
1s
A)-( s I
21
10
A
tt
tt
1
1
e)t1(te
tee)t1(
( t )
( - t )( t )
得到由解,
PePPtA
k
tAAtIP
tAPP
k
tAPPA P tPIee
APPA
Atkk
kk
A P tPtA
1221
1
2211
~
1
)
!
1
!2
1
(
)(
!
1
)(
!2
1
~
1
(2) 根据 eAt定义的直接计算法
(3) 变换系统矩阵 A为对角线矩阵的计算 法
1)公式的推导
eM
!
eM
)
!
e (
At
0
At
0
At
的近似矩阵。为其中
Tt
Tt
K
k
kk
Tt
k
kk
k
tA
k
tA
2)变换矩阵 P的求取
(a) 一般方法
。试求解矩阵为设例
(t)
6116
100
010
AA 1
PP
n)1,2,(i PAP
P
00
00
00e
PPPe(t)
21
ii
-1-1P
2
1
1-
n
i
t
t
t
A P t
PP
e
e
n
P
00
00
00e
PPPe(t)
-1-1P
2
1
1-
t
t
t
A P t
ne
e
PP
n)1,2,(i PAP
21
ii
n
i
PP?
T
321i
ii
i
PP
n)1,2,(i PAP
3-2-1-
03)2 ) (1 ) ((
6116
10
01
A-I
PP
ii
PP
i
和，因此，求得特征根为特征方程为：
与特征值有关，因此，，而首先求出解,
1
1
1
P
1P
1P
1P
PP6P116P-
PP
PP
P
P
P
P
P
P
6116
100
010
-PAP -1
1
31
21
11
31312111
2131
1121
21
21
11
31
21
11
111
故解得
，有对于?
T
421P
P2P6P116P-
P2P
P2P
P
P
P
2
P
P
P
6116
100
010
- 2,
2
32322212
2232
1222
32
22
12
32
22
12
2
解得有对于?
5.05.11
143
5.05.23
P
941
321
111
P
9
3
1
P
:3
1-
3
3
，解得对于?
ttttttttt
ttttttttt
ttttttttt
eeeeeeeee
eeeeeeeee
eeeeeeeee
323232
323232
323232
3t-
2t-
t-
-1
3t-
2t-
-t
5.445.05.13165.29123
5.425.05.485.2363
5.05.05.145.233
5.05.11
143
5.05.23
e00
0e0
00e
941
321
111
p
e00
0e0
00e
P( T )
AP
1111
P
P,A
(
aaaa-
1000
0100
0010
A
1n
n
1n
3
1n
2
-1n
1
2
n
2
3
2
2
2
1
n321
n1
12n1nn
对角化可使则特矩阵可以取为下列的范德蒙则具有各异的特征值友矩阵）
(b) 如果状态矩阵 A具有如下标准形式
9
6
1
P
4
2
1
P
1
0
1
P 2
3-2-1-
0321A-I 1
321
）（
对应的特征向量为，，所以特征值为
））（）（（）（
。矩阵指数试用化对角标准形法求矩阵已知
At
e
511-6-
611-6-
1-10
A
例,
解,
ttttttttt
tttttt
ttttttttt
eeeeeeeee
eeeeee
eeeeeeeee
323232
32323
323232
-1
91225.13165.29123
669866
325.145.233
( t ) 3
1-
2
3
1
34-3-
2-
2
5
3
P
941
620
111
P
）（
求得
-4 -1
0)2)(1(
54
1-
A-I
21
移矩阵。试求取该系统的状态转设系统的状态方程为例：
u5x-- 4 xx
xx
212
21
解,
(1) 求特征根
5-4-
10
A
可求得系统矩阵
1-
1
P -1P
1P
0PP
P
P
P
P
5-4-
10
PAP
-1
112
11
1211
12
11
12
11
111
1
即得到取有来说，有对于
(2) 求变换阵
4-1-
11
P
4-
1
P 1P
P
P
4
P
P
5-4-
10
,-4
221
22
21
22
21
2
解得取有来说对于?
4-0
01-
APP
3
1
3
1
3
1
3
4
P
-1
-1(3)求变换矩阵的逆阵其它同上。
4-1-
1111
P
3
4
3
1
3
4
3
4
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
1
3
1
3
4
e0
0e
4-1-
11
P
e0
0e
P( t )
21
44
44
at-
t-
1-
at-
t-
tttt
tttt
eeee
eeee
(4)求取 ф(t)
2-1-
1111
P
-2 -1
0)2)(1(
32
1-
A-I
21
21
。该系统的状态转移矩阵为对角线矩阵计算试通过变换已知系统矩阵例：
A
3-2-
10
A
解,
222
22
Pe P( t )
0
0e
ee
2-0
01-
APP
1-1-
12
P
22
22
1-t
2
t-
A P tPt
1-
1-
tttt
tttt
t
eeee
eeee
e
为约当形矩阵。
异变换变换，但可以通过线性非奇线矩阵变换为对角的情况下，不能将量数小于解出独立的特征向彼此不等，则一般在按个特征值，而其余的值个重特征个特征值中有的若系统矩阵
A
Am
mn
mnAa
nmm
1
211
,,
)(
4.变换系统矩阵 A为约当形矩阵的计算方法
n
m
m
m
000
0
000
000
000
0
0
00
1
0
0
00
0
01
APPJ
3
2
1
1
1
1
1-
约当标准形如下所示：
J0
0J
J
P
e000000
e00000
00e0000
00e
)!3(
e00
00e
)!2(
ee0
00e
)!1(
e
!2
1
ee
P
PPe)(
n
1
1-
3
2
1
2
1-Jt
n
1
1
11
111
1111
由一个约当块引申到
t
t
t
t
m
t
t
m
tt
t
m
ttt
At
m
m
t
m
t
t
m
t
tt
et
(1)由约当形矩阵 J来求 ф(t)
称为广义的特征向量。从
。，，
量重特征值对应的特征向的来求取；其次求取由公式征向量对应的特个彼此不相等的特征根首先对
m32
1-mm1
121
11
m21
1
iii2m1m
P,,P,P
PA ) P-I(
PA ) P-I(
0A ) P-I(
PPP
m
n),1,(i PAP P,P,P
m-n
m
n
(2)变换阵 P的求取
a.一般法
33
32
31
33
32
31
3333
321
-1
P
P
P
2
P
P
P
423
201
5-60
P A P2 )1(
PPPP
200
010
011
APPJ
来说，有对
为约当形矩阵。试变换，的特征值为已知系统矩阵例
A 2 1
423
201
5-60
A
321
解,
0
P
P
P
223
22-1
56-2
0P22P3P
0P2P2P
0P56P-P2
P2P42P3P
P2P2P
P2P56P
33
32
31
333231
333231
333231
33333231
323331
313332
1-
1/2-
1
PPPP
1P 2/1P
1P
PPPP
0
223
22-1
56-2
T
3332313
3332
31
T
3332313
解得选有无穷多组解。
有无穷多组解。
来说，有对于
P
0
3-2-3-
2-11-
56-1
0
P
P
P
3-2-3-
2-11-
56-1
0A ) P-I( PAP
1 )11(
1
13
12
11
11111
21
7
5
7
3
1-
P
P
P
P
P
P
3-2-3-
2-11-
56-1
-PA ) P-I(
APPP
7
5
7
3
1P
13
12
11
23
22
21
121
2211
T
11
由选
T
2
23
22
21
2
49
66
49
22
1P
49
46
P
49
22
P
1P
P
0
3-2-3-
2-11-
56-1
解得选取也有无穷多组解。
222-8-
7-287
56-2
P
98
1
-
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
-1
200
010
011
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
423
201
5-60
222-8-
7-287
56-2
APP
-1
：重根，对应的约当块为的
，对且它们彼此并不相等时个特征值而其余的重特征值的特征值中有则当
m
,,,
m-n,mA
a-a-a-
1
0000
0100
0010
A
1
n1m
1
12-n1-nn
a
(b)若系统矩阵具有友矩阵的形式,即,
1-m
1
1
1-m
1
1
1
m21
T
1
1
2
ii1
1
mm
1
1
1
d
Pd
d
dP
P
PPP
1P
000
1
00
00
换矩阵为则与约当块相对应 的变
：对应的独立特征向 量为与
n
为约当阵。试变换及具有二重特征值已知系统矩阵例
A
2 1
032
100
010
A
321
42-1
211-
101
2
1
101
P
dP
PP
2
31
2
1
312
1
1
1
解,
200
01-0
011-
42-1
211-
101
032
100
010
121
3-36
1-2-8
9
1
P
121
3-36
1-2-8
9
1
P
09P
-1
-1
AP
变换为约当矩阵。试将已知系统矩阵例
A
21-1-
1-21
1-12
A
(c) 矩阵 A具有 m重特征根,但由方程
AP1=λ 1P1 ( i=1,2,…,n)
能解出 m个独立的特征向量 P1,…,Pm,则由这 m个独立的特征向量构成的变换矩阵
P=[P1,.,Pm Pm-1,.,Pn]T
仍可以将 A变换成对角矩阵 → 约当矩阵的特殊形式,
T
2131112
T
1131211
131211
21
21
11
31
21
11
1111
321
2
101P 1PP 0P
110P 1PP 0P
0PPP
P
P
P
P
P
P
211
121
112
P-AP 1
4 1
04)-(1)-(
2-11
12-1-
11-2-
A-I
得到取得到取有，对于及求得特征值为
解,
111
101
110
P
111P
P
P
P
4
P
P
P
211
121
112
PAP 4
T
3
33
32
31
33
32
31
3333
解得来说，有对
400
010
001
111
101
110
21-1-
1-21
1-12
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
APP
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
P
-1
-1
1-JtAt
J
J
J
Jt
2
1
PPee( t )
e000
0e0
00e
e
J000
0J0
00J
J
l
2
1
t
t
t
l
求得
(d)由约当阵 J来求 ф(t)
。定系统的状态转移矩阵型矩阵的方法来计算给为约当试通过变换及特征值为的已知系统矩阵例
A,2 1
423
201
5-60
A
321
98
1
-
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
已经求得解,
:J
200
010
011
APPJ
222-8-
7-287
56-2
P
1-
1-
的矩阵指数为所以约当型矩阵
2t
t
tt
Jt
e00
0e0
0tee
e
tt2ttt2ttt2t
tt2ttt2ttt2t
tt2ttt2ttt2t
2t
t
tt
-1Jt
e5e32e-e2022e22ee58e3e
e3ee-e1210e11ee3e44e
e72e2ee28e2222e-e7e98e-
222-8-
7-287
56-2
e00
0e0
0tee
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
PPe( t )
ttt
ttt
ttt
IaaAaaaAa
AAAa
IAA
AAAAAA
IAAA
IAAAAD
A
AD
AD
nnn
n
n
111
1-n
2
2
1
n
2
1-n
1
2
n1-n
1-n
11
n
2
1-n
n
1
11n
n1-n
1-n
1
n
n1-n
1-n
1
n
n1-n
1-n
1
n
)()a(
aa
)aaa(-a
aaa*
aaa
0aaa)(
0D ( A )
0aaa)(
)(nnA
。都满足自己的特征方程，即每个方阵则有即：
是其特征多项式，方阵，为设
5.应用 Cayley-hamilton定理的计算方法
a,Cayley-Hamilton定理
t
t
t
n
nn
n
n
ne
e
2
1e
1
1
1
(t)
(t)
(t)
-1
12
n
1
2
2
21
1
1
2
11
-1n
1
0
b,Ф(t) 的计算
c,待定系数的计算
(1) 若 A有互异特征值 λ 1,λ 2,…,λn 时
-1n
-1n10
At ( t ) A( t ) A( t )e
t
n
t
t
t
n
n
n
n
t
t
t
nn
n
1
1
1
1
e
)!1(
e
!2
e
e
10000
1
!2
)2)(1(
3100
)1(3210
1
(t)
(t)
(t)
1
2
-1
3
11
1
1
2
11
1
1
3
1
2
11
-1n
1
0
(2).若 A有 n重特征值 λ 1 时
).(
5-4-
10
A
tH a m i l t o nC a y l e y
定理求解试用已知系统的系统矩阵为例：
-4 - 1,
04)1 ) ((
54
1
A-
,A
21
特征值的特征多项式为解,
5-4-
10
e
3
1
-e
3
1
10
01
e
3
1
e
3
4
)()((t)
e
3
1
-e
3
1
e
3
1
e
3
4
e
e
4-1
1-1
)(
)(
4t-t-4t-t-
10
4t-t-
4t-t-
4t-
t-
-1
1
0
Att
t
t
4t-t-4t-t-
4t-t-4t-t-
e
3
4
e
3
1
e
3
4
e
3
4
e
3
1
-e
3
1
e
3
1
e
3
4
t
t
t
m
t
n
nnnn
n
mmmm
mn
n
n
n
mn
n
m
e
e
m
t
m
mnn
nn
n
t
1
1
1
e
)!1(
e
1
1
10000
)!1(
)1()1(
1000
!2
)2)(1(
3100
)1(3210
1
(t)
)(
(t)
(t)
1
132
1
1
3
1
2
11
1
3
11
2
1
2
11
1
1
1
3
1
2
1
-1n
-1m
0
(3) 当有 m重根时,有 n-m个单根,
2 1
02)-(1)(A-
032
100
010
A
321
2
，
，已知系统矩阵为：矩阵的例：试计算下面
At
eA
解,(1) 求 A的特征值,
2 1
02)-(1)(A-
321
2
，
2t-
t-
t-
2
1
0
2t
t-
t-
2
1
0
2
32310
121
2
12110
e
te
e
13-1-
232-
168
9
1
)(
)(
)(
e
te
e
)(
)(
)(
421
2-10
11-1
)()()(
e)(2)(
e)()()(
3
1
1
t
t
t
t
t
t
ettt
ttt
ttt
t
t
t
2tt-t-
2tt-t-
2t-t-t
ee3e-
e2e32e-
ee68e
9
1
t
t
t
(2) 求系数
t-2tt-2tt-2t
t-2tt-2tt-2t
t-2tt-2tt-2t
2
210
e)35(4ee)83(8ee)46(4e
e)32(2ee)35(4ee)62(2e
e)31(ee)32(2ee)68(e
)()()(
( t )
ttt
ttt
ttt
AtAtt
e
At
(3) 求 ф(t)
6.变换系统矩阵为模式矩阵的计算方法
a.定义：
b.P阵的求取：
A
-
)(
,
2121
111
111
111
11
11
A
A
jq
Aqqj
q
记则有的特征向量为设
11
2121
PP
-
PP
PM
P
A
AP
则有
-
M
j-,
1
21
APP
j
-1MtAt
tc o sts i n-
ts i ntc o s
tt
0-
0
t
0
0
t
-Mt
PPee(t)
eeeee
j--1 j-1
0)1)(1(2)2(
22
1-
A
A
x
x
2-2-
10
x
x
21
2
1
2
1
量为与友矩阵对应的特征向解得的特征值为为模式矩阵。试化矩阵设系统的状态方程为例
jj
c,eMt的计算：
解,
j--1 j-1
0)1)(1(2)2(
22
1-
A
A
x
x
2-2-
10
x
x
21
2
1
2
1
量为与友矩阵对应的特征向解得的特征值为为模式矩阵。试化矩阵设系统的状态方程为
jj
C o s tSS
SSC o s t
C o s tS
SC o s t
C o s tS
SC o s t
in
i n ti n t2
i n ti n t
e
11
01
i n t
i n t
e
11-
01
PPe(t)
i n t
i n t
ee
1-1-
11-
11-
01
2-2-
10
11
01
APPM
11
01
P
11-
01
P
2j
ee
tS
2j
ee
tCos
j
1
0
1-
1
q
j1-
1
q
j1-
1
q
t-t--1Mt
t-Mt
-1
-1
11
tjtj-
tjtj-
121
验算由欧拉公式得
t
0
)d) B u (-(t( t ) x ( 0 )x ( t )
三,非齐次状态议程的解
1.一般法
BUAXX
t
AtAtAt
t
AtAt
AttA
t
A
t
At
t
A
AtAt
AtAt
AtAt
dBUeeXetX
dBUeXtXe
XtXeXedXe
d
d
dBUedXe
d
d
BUetXe
dt
d
tXe
dt
d
tAXtXe
BUeAXXe
BUAXX
0
0
0
0
00
)()0()(
)()0()(
)0()()())((
)())((
))((
))(())()((
)(
t0 )d) B u (-(t( t ) x ( 0 )x ( t )
)()()0()()(
)()0()()(
)()()0()(
11 sBUAsIXAsIsX
sBUXsXAsI
sBUsAXXssX
B u ( s )A)-( s ILx ( 0 )A)-( s IL x ( t ) -1-1-1-1
2.拉普拉斯法
t
t0 0
)d) B u (-(t) x ( 0 )t-(tx ( t )
3.两种方法的关系
4.初始时刻不为零时
完全相同的。由此可见，两种方法是由卷积定理可得
)d) B u (-(t )dB u (eB u ( s )A)-( s IL
)d()f-(tf( s )( s ) FFL
( t )eA)-( s IL
t
0
t
0
)-(tA1-1-
t
0
221
1-
At1-1-
1
。输出方程为且已知时非齐次方程的解，试求当设系统的状态方程为例
1
1
1
212
21
xy
0
1
x
x
C os tS i n tu ( t )
u2x--xx
xx
1
)0(
)0(
01C
1
0
B
2-1-
10
A
解,
C o s t
2
1
-S i n t
2
1
tee
2
3
y ( t )
C o s t ) d( S i n t)e-(tt ) e(1
)d) B u (-(t( t ) x ( 0 ) C
CX( 2 ) y
t ) e(1te
tet ) e(1
( t )
( t )( 1 )
t-t-
t
0
)-(t-t-
t
0
t-t-
t-t-
C
求响应。非齐次方程的单位阶跃试用拉普拉斯法求解该已知系统中例
1
0
B
2-1-
10
A
2
2
2
22
22
1-
t-t-
-t-t
1)(s
1
1)s ( s
1
s
1
1
0
1)(s
s
1)(s
1
1)(s
1
1)(s
2s
B u ( s )A)-( s I ( 2 )
t ) e(1te
tet ) e(1
( t ))1(
解,
t-
t-t-
1
1
t-t-
t-t-
t-
-t-t
-1-1
te
te-e-1
)0(x
)0(x
t ) e(1te
tet ) e(1
( 3 ) x ( t )
te
te-e-1
B u ( s )A)-( s IL
$4 线性时变系统的分析
u
1
0
0
x
x
x
ta-ta-ta-ta-
x
x
x
uytaytaytay
n
2
1
12-n1-nn
n
2
1
nn
n( n )
)()()()(
1000
0100
0010
)()()(
.
1
)1(
1一,线性时变系统的状态空间表达式
XtCy
UtBXtAX
)(
)()(
001C
x
x
x
001y
n
2
1
),(
),()(),(
:),(
)x ( t),( x ( t )
)()(
0
00
0
00
tt
tttAtt
tt
tt
tXtAX
满足条件其中其解为：
的解为齐次状态方程为：
二,齐次状态方程的解三,状态转移矩阵
。求系统的状态转移矩阵初始时刻态方程为：线性时变系统的齐次状或者可以交换时，与
( t,0 )0,t
)(x
)(x
at0
0t
)(x
)(x
( * ) )()()()(
)()()()(
)(
2!
1
)(),(
)()( 1.
0
2
1
2
1
1221
2
)(
0
0 0
00
0
0
t
t
t
t
tAtAtAtA
tAdAdAtA
dAdAett
dAtA
t
t
t
t
t
t
t
t
dA
t
t
t
t
。求系统的状态转移矩阵初始时刻状态方程为：：线性时变系统的齐次例或者可以交换时，与状态转移矩阵三
( t,0 )0,t
)(x
)(x
at0
0t
)(x
)(x
1
( * ) )()()()(
)()()()(
)(2!1)(),(
)()( 1.
.
0
2
1
2
1
1221
2)(
0
0 0
00
0
0
t
t
t
t
tAtAtAtA
tAdAdAtA
dAdAett
dAtA
t
t
t
t
t
t
t
t
dA
t
t
t
t
。求系统的状态转移矩阵初始时刻态方程为：线性时变系统的齐次状或者可以交换时，与状态转移矩阵三
( t,0)0,t
)(x
)(x
at0
0t
)(x
)(x
( *) )()()()(
)()()()(
)(
2!
1
)(),(
)()( 1.
.
0
2
1
2
1
1221
2
)(
0
0 0
00
0
0
t
t
t
t
tAtAtAtA
tAdAdAtA
dAdAett
dAtA
t
t
t
t
t
t
t
t
dA
t
t
t
t
例 1.
t
2
2
t
2
tt
21
2
21
1
1
2
2
21
2
21
2
2
1
1
at
2
1
0
0t
2
1
d
a0
0
dA
dA
2!
1
dA( t,0 ) ( 2 )
tAtAtAtA
tta0
0tt
at0
0t
at0
0t
tAtA
tta0
0tt
at0
0t
at0
0t
tAtA ( 1 )
at0
0t
A ( t )
00
00
1221
12
21
)(
)()(
)()()()(
)()(
)()(
满足互换条件系统矩阵为：
解,
422
42
42
4
2
2
2
2
t
ta
8
1
at
2
1
0
0t
8
1
t
2
1
t
ta
8
1
0
0t
8
1
at
2
1
0
0t
2
1
d
a0
0
2!
1
1
1
)0,(
2
1
0
说明,
t
t t
t
0
t
ddAAdA)t( t,
dAtA
tA
0 0
11
0
0
)()()(
)()()2(
( * ))()1(
不可以交换时与恒成立。为对角矩阵时，
( t,0 )
tx
tx
e0
0t
tx
tx
2
1
at-
2
1
阵试求系统的状态转移矩态方程为线性时变系统的齐次状例
)(
)(
)(
)(
:.
不满足互换条件
)()()()(
e0
et0
e0
t0
e0
t0
)()(
e0
et0
e0
t0
e0
t0
)()(( 1 )
1221
)ta ( t-
at-
1
at-
1
at-
2
12
)ta ( t-
- a t
1
at-
2
at-
1
21
21
1
12
21
2
21
tAtAtAtA
tAtA
tAtA
解,
222
2
2
2
332
0
0 0
11
00
0 0
11
0
1
2
11
2
1
0
2
1111
)1(
)()(
)1(
)(
)()()(
aa
e
a
te
a
t
aa
te
a
te
a
0
d
e
a
1
0
t
2
1
0
e0
0
ddAA
e
a
1
0
t
2
1
0
d
e0
0
dA
ddAAdA( t,0 ) ( 2 )
atat
atat
t
at
2
a
t
t
at
2
a
t
tt
22
2
2
3
2
32
222
2
2
2
332
2
31
2
1
)1(
1
10
1
)
2
1
2
1
(
11
1
2
11
2
1
0
2
1111
)1(
a
e
a
te
a
e
a
a
t
a
te
a
te
a
1
aa
e
a
te
a
t
aa
te
a
te
a
0
e
a
1
0
t
2
1
0
10
01
( t,0 )
atatat
atat
atat
atat
at
2
)t,(t)t,(t c.
)t,(t)t,(t)t,(t b.
)t,(t a.
1001
020112
00
1?
(3) 状态转移矩阵的性质
$5线性离散系统的分析
)()()1(
)2()1()(
1
21
kukyakya
nkyankyanky
nn
一,线性定常离散系统的状态空间表达式
1.化标量差分方程为离散的状态方程
(1) 控制函数仅含 bnu(k)时线性定常系统的状态空间表达式
)1()1()(
)2()1()(
)1()1()(
)()(
1
23
12
1
nkykxkx
kykxkx
kykxkx
kykx
nn
选取
C X ( k )y( k )
kBUkAXkX
kx
kx
kx
001y
u ( k )
1
0
0
kx
kx
kx
a-a-a-a-
kx
kx
kx
n
2
1
n
2
1
12-n1-nn
n
)()()1(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1000
0100
0010
)1(
)1(
)1(
2
1
则有
kuhkxkx
kuhkxkx
kuhkxkx
kubkykx
kubkubnkubkub
kyakya
nkyankyanky
nnn
nn
nn
)()1()(
)()1()(
)()1()(
)()()(
)()1()1()(
)()1(
)2()1()(
11
223
112
01
110
1
21
选取
(2) 控制函数含 u(k),u(k+1),… u(k+n)项时线性定常系统的状态空间表达式,
)(x
)(x
)(x
001y
h
h
h
)(x
)(x
)(x
a-a-a-a-
1
000
0100
0010
)1(
)1(
)1(
ha-)ba-(bh
ba-bh
n
2
1
n
2
1
n
2
1
12-n-1nn
2
1
11110
110222
0111
k
k
k
k
k
k
kx
kx
kx
hahababh
n
nnnnn
则有
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
0
n
nn
azazaz
zzz
b
azazaz
bzbzbzb
U ( Z )
Y ( Z )
z
kubnkub
kyakya
nkyankyanky
1
1
1
1
2
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
21
)()(
)()1(
)2()1()(
变换。求取零状态下的
2.化脉冲传递函数为离散状态方程
。式，并画出状态变量图写出系统状态空间表达系统的差分方程为：例
2)-0,8u( k-1)-3,6u( k2u( k)
2)-0,1y ( k1)-0,7y ( ky ( k)
u ( k )
1
0
kx
kx
0,7-0,1-
10
kx
kx
zz
1-2,2 z
2
z0,7 z1
z2,2 z
2
z0,7 z1
z3,6 z2
U ( z )
Y ( z )
( 1 )
2
1
2
1
21-
1-
1-
-1
)(
)(
)1(
)1(
1.07.01.0
1.0
8.0
2
2
2
2
解,
2 u ( k )
)(x
)(x
2,21-y ( k )
2
1
k
k
)(2 kx
)(1 kx
-0.7
2.2
2
-0.1
1?z 1?z -1
u(k) y(k)
1
0
1
0
1
)1(
)(
k
i
k
k
j
jkk
jku( i ) B( k ) x ( 0 )x ( k )
( 0 )
( k )A1)(k
A( k )
)1,2,3,(k jBuAx ( 0 )Ax ( k )
记
二,线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法 (递推法 )
时状态方程的解。及试用递推法求取当式中状态方程为设线性定常离散系统的例
)0(
k1u ( k)
1-
1
( 0)x
( 0)x
X ( 0)
1
1
B
1-0.16-
10
A
B u ( k)A X ( k)1)X ( k
2
1
为变换矩阵做相似变换。比较困难，所以把由于直接计算
P APPA
AA
1-0,1 6-
10
Ak
1-
1
k
k
k
)(
8.02.0
11
P
- 0,8 2.0
00,8 )2 ) (.0(
10,1 6
1-
0A-
11
P,A
21
21
解得即所以有为友矩阵?
5-1-
54
0,8-0
00,2-
0,8-0,2-
11
3
1
PA P )P(P A
PAPA P )P(A
0,8-0
00,2-
8.02.0
11
1-0,1 6-
10
10,2
1-0,8-
0,6-
1
APP
5-1-
54
3
1
10,2
1-0,8-
0,6-
1
P
k
-1k-1k
k-1k-1k
1
-1
-1
-1k
0i
-1i
1
-1k
0i
i
-1k
0i
kk
kk
k
kkkk
kkkk
1)-i-Bu ( kPA
1)-i-Bu ( k
1)-i-( i ) Bu ( k
3,2 ( - 0,8 )0,2 ( - 0,2 )
4 ( - 0,8 )( - 0,2 )-
3
1
x ( 0 )A( k ) x ( 0 )
4 ( - 0,8 )( - 0,2 )-0,8 ( - 0,8 )0,8 ( - 0,2 )-
5 ( - 0,8 )-5 ( - 0,2 )( - 0,8 )-4 ( - 0,2 )
3
1
P
A
18
7
)8.0(
9
6.17
)2.0(
3
7.1
18
25
)8.0(
9
22
)2.0(
6
17
1)-i-( i ) B u ( k( k ) x ( 0 )x ( k )
BP
)8.0(0
0)2.0(
8.00
02.0
10
01
P
-1k
0i
-1
2
2
kk
kk
。变换法求解该状态方程试用
：已知系统的运动方程为
z
0)(k 1u ( k ) 1-1( 0 ) x
1
0B
3-2-
10A
B u ( k )A x ( k )1)(k x
)(A)-( z Ix ( 0 )A)-( z I x ( k ) -11-11
zBuZzZ
2.Z变换法例,
。变换法求解该状态方程试用
：已知系统的运动方程为
z
0)(k 1u ( k)
1-
1
( 0) x
1
0
B
3-2-
10
A
B u ( k)A x ( k)1)(k x
)(A)-( z Ix ( 0)A)-( z I x ( k)
-11-11
zBuZzZ
k
k
-1-1-1
-1
-1
( - 2 )-
( - 1 )
2z
z
-
1z
z
z)0(zxA)-(zz ( 2 )
2z
2
1z
1-
2z
2
1z
2-
2z
1
1z
1
2z
1
1z
2
3z2
1-z
A-z ( 1 )
z 变换法如下：运用解,
)2(
3
2
)1(
2
1
6
1
)2(
3
1
)1(
2
1
6
1
)(A)-(zz)0(A)-(zz( 4 ) x ( k )
6
1
)2(
3
2
)1(
2
1
6
1
)2(
3
1
)1(
2
1
-
1
2)1 ) ( z(z
z
2)1 ) ( z(z
1
z
)(A)-(zz ( 3 )
-1-1-1-1
-1
-1-1
kk
kk
kk
kk
zBuzx
z
z
zBu
3.两种方法的关系
4.说明
(1) 迭代法比较适合于计算机计算。
(2) Z变换法是当系统的阶次低时适合于手算。
1
0
1
1
)()(
k
j
1-
k1-
ju1 ) Bj-(kzBuA)-( z IZ
AzA)-( z IZ
$6 线性连续状态方程的离散化
0
0
T
At
0
*)A ( T
0
*
00
*
00
*
0
Bd te)(TB e)(TA
)) u ( k T(TB)) x ( k T(TA1 ) T(kx
BUAXX
0
其中将其进行离散化后则有程为设某线性系统的状态方
一,线性定常系统的离散化
)()(])1[(
)()(])1[(
)()(
)()(])1[(
0,
)()(])1[(
)1(,
)()()(
0
0
00
0
0
0
)(
0
0
)(
00
00
0
0
)(
00
00
)1(
)]1[(
00
000
)(
0
)(
0
0
0
0
0
0
0
00
0
00
0
0
00
0
0
kTB d t UekTXeTkX
B d teB d teBde
kTUBdekTXeTkX
kTUkTU
dkTBUekTXeTkX
T kT
dBUekTXeTkX
TktkTt
dBUetXetX
T
AtAT
T
At
T
At
T
TA
T
TAAT
T
TAAT
Tk
kT
TkAAT
t
t
tAttA
令
。试将该状态方程离散化态方程为已知线性定常系统的状例
u
1
0
x
x
2-2-
10
x
x
2
1
2
1
tttt
tttt
1-1-At
1-1-
Tt
-1-1)A ( T
0
*
eeee
eeee
A)-(sLe
s1s
1-
s1s
2-
s1s
1
s1s
2
s2
13s
2)1 ) ( s(s
1
A)-(sL
A)-(sLe)(TA
0
22
22
222
2
2
2
2
2
2
1
2
1
0
解,
)u ( k T
2
1
2
1
)( k Tx
)( k Tx
222
2
1 ) T(kx
1 ) T(kx
2
1
2
1
1
0
222
2
)(TB
222
2
e)(T A
0
T2T
T2T
02
01
T2TT2T
T2TT2T
02
01
T2T
T2T
T
0
22
22
T
0
0
*
T2TT2T
T2TT2T
)A ( T
0
*
00
00
0000
0000
00
00
0
0
0000
0000
0
ee
ee
eeee
eeee
ee
ee
dt
eeee
eeee
B d te
eeee
eeee
tttt
tttt
At
)B ( k TT)( k TB
)A ( k TT)( k TA
000
*
000
*
二,线性时变系统的离散化
1.精确法
2.近似法
)dB(Tk)( k TB
TkTk)( k TA
0
0
Tk
kT
00
*
000
*
)1(
,)1(
,)1(
)) u ( k T( k TB)) x ( k T( k TA1 ) T(kx
B ( t ) u ( t )A ( t ) x ( t )( t )x
00
*
00
*
0
以得到：对其进行离散化后，可态方程为已知线性时变系统的状
1.状态,
2.状态变量,
3.状态向量,
4.状态空间,
系统的运动状态。
决定控制系统状态的变量。
$1 线性定常系统的状态空间描述便是状态向量。分量它的各个的状态向量可以选作被控过程便所确定则向量及由向量唯一地如果向量取向量为该被控过程选为已知的作用函数向量作用到被控过程设在时间间隔
)(,),(),(
.P
X ( t )T),U ( t)X ( t
)t(t X ( t )),X ( t
,U
pT],[t
21
00
00
0
tXtXtX
n
二,状态变量的选取
1n
)1n(
1
n
.
1n
)1n(
1
xy
x
uyayaya
n
2
1
( n )
x
y x
yx
y
选取三,由微分议程建立状态空间表达式,
1.作用函数不含导数项时的 n纪念阶线性系统的状态空间表达式输出矩阵输入矩阵系统矩阵输出方程状态方程则有
0]0 [1C
1
0
0
B
a-
0 1 0 0
0 0 1 0
A
c x y
B u Axx
11n
.
aa
n
状态变量图
-a1
-a2
-an-1
-an
X2u X1=yXn-1Xn
+
：间表达式。方框图如下试写出该系统的状态空为设控制系统的运动方程
uyyy 23
)2(?
-3
-2
u 2X? 12 XX yX?1
+
例 1.
0 1C
x
x
0 1CXy
1
0
B
3- 2-
1 0
A
BuAXX
x
x
3- 2-
1
x
x
2
1
2
1
2
1
其中即则有选取
u
1
00
x
x
ux3x2x
xx
yx
y
2
1
212
21
1
解,
间表达式。试写出该系统的状态空如下设某控制系统的方框图
,
ryy2y3
1s2s3s
1
)2s)(1s(s
1
1
)2s)(1s(s
1
)2(
23
( 3 )
y
R ( s )
Y ( s )
则
)2)(1(
1
sss
R(S) Y(S)
+ _
例 2.
解,
BrAXX
x
x
x
3213
3
2
23
2
1
rx3x2xx
xx
xx
yx
yx
y
2
1
)2(
1
所以取
x
x
x
0 1 CXy
0 0 1C
1
0
0
B
3- 2- 1-
1 0 0
0 1 0
A
3
2
1
其中
dtti
cdt
di
LRite
te
R L C
)(
1
)(
)(
,
回路方程为：
的作用下，网络的方程及输出方程。在试写出该网络的状态网络设有一
R L
e(t) C
)(0 te
例 3.
e
LC
1
0
L
R
LC
1
0
ex
e
e
LC
1
e
LC
1
dt
de
L
R
dt
e
ee
dt
de
RC
dt
e
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
x
x
- -
1
x
x
x
x
d
d
LC
2
1
2
1
12
1
2
2
则有取解法 1:
0 1C
y
x
x
0 1y
1
0
B
3- 2-
1 0
A
BuAXX
2
1
CX
e
0
而其中即
)(te )(0 te1x? 2x
1/L 1/C
-R/L
-1/LC
21 xx
2
1
20
2
1
2
1
12
21
2
1
x
x
C
1
0x
C
1
i d t
C
1
)t(e
)t(e
0
L
1
x
x
01
LC
1
L
R
x
x
xx
)t(e
L
1
x
LC
1
x
L
R
i d tx
ix
x
1
则有选取解法 2.
1/L 1/C
-R/L
-1/LC
1x? 1x)(te 2x? )(02 tex?
+
2
1
20
2
1
2
1
12
21
2
1
x
x
10xi d t
C
1
)t(e
)t(e
0
L
1
x
x
0
C
1
L
1
L
R
x
x
x
C
1
x
)t(e
L
1
x
L
1
x
L
R
i d t
C
1
x
ix
x
1
则有选取解法 3.
结论,状态变量不唯一,状态变量的选取不同,
状态空间表达式也不同。
ubububub
xaxaxax
xx
xx
yxx
yxx
yx
ububububyayayay
n1n
)1n(
1
)n(
0
n121n1nn
32
21
)1n(
1nn
12
1
n1n
)1n(
1
)n(
0n1n
)1n(
1
)n(
则有若选取
2.作用函数含导数项时的 n阶线性系统的状态空间表达式
(1).直接法,
选取状态变量的原则是,
在由包含状态变量的 n个微分议程构成的系统状态议程解中任何一个微分议程均不含有作用函数的导数项。
DUCXy
BUAXX
uhxx
uhxx
ubyx
1n1nn
112
01
uhxx
uhxx
uhxx
n1nn
232
121
DUCXy
BUAXX
uhxx
uhxx
ubyx
1n1nn
112
01
0 1C
y
x
x
0 1y
1
0
B
3- 2-
1 0
A
BuAXX
2
1
0
CX
e
而其中即
nh
1?nh 0b1h2h
nx 2x 1x1x?1?nx?u y
1a?
2a?
1 na
na?
变量图。
间表达式，并画出状态试写出该系统的状态空为：设控制系统的运动方程
uu4uy89yy
( 2 )( 2 )( 3 )
38( - 5 )9-18-0)0-(1ha-ha-)ba-(bh
-519-0)8-(4ha-)ba-(bh
109-1ba-bh
1b 4b 1b 0b
0a 8a 9a
21120333
110222
0111
3210
321
例 1.
解,
uxxx
uxx
ux
u
ux
y
3898
5
x
5xx
x
x
:
323
32
21
23
12
1
即：
则选取的状态变量为
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001y
u
38
5
1
9-8-0
100
010
x
x
x
x
x
x
x
x
x
画出状态变量图。
态空间表达式，写出下图所示系统的状
2
11
s611
6
s
s+-r y
61 1 s6ss
61 1 s
11
6s
11
6
s
1
11
6s
11
6
s
R ( s )
Y ( s )
23
2
2
s
s
6b 11b 0b b
6a 11a 6a
6rr116yy11y6y
3210
321
例 2.
解,
6116
x
- 6 0ha-ha-)ba-(bh
11011ha-)ba-(bh
0ba-bh
xx
xx
b-yx
33213
232
121
21120333
110222
0111
223
112
01
rhxxxx
rhxx
rhx
rh
rh
r
则有选取
3
2
1
3
2
1
3
2
1
223
112
1
001y
r
60-
11
0
6116
100
010
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
rhxx
rhx
yx
因此选间表达式。，试写出该图的状态空已知系统的结构图如下.
nn
nn
nn
nn
asasas
bsbsbsb
1
1
1
1
1
10
u(s) Y(s)
，则有，引入中间变量将上图作等效变换如下 z
nn
nn asasas
1
1
1
1
nnnn bsbsbsb 1110?
U(s) Y(s)Z(s)
(2) 中间变量法
( 2 )
Z ( s )
Y ( s )
( 1 )
1
U ( s )
Z ( s )
1
1
10
1
1
1
nn
nn
nn
nn
bsbsbsb
asasas
( 5 )
xx
xx
xx
x
)3(
( 4 ) zbzbzbzby
z ( s )bs z ( s )bz ( s )sbz ( s )sby ( s )
( 3 ) uzazazaz
u ( s )z ( s )as z ( s )az ( s )saz ( s )saz ( s )s
)1(
-1nn
)2(
2-n-1n
12
1
n-1n
- 1)(n
1
( n )
0
n-1n
-1n
1
n
0
n-1n
- 1)(n
1
( n )
n-1n
2-n
2
-1n
1
n
n
n
z
z
z
z
选取对由以上二式得
n
2
1
1-1nn0
n
2
1
12-1nn0
1n2-1nn11n2-1n-1n2n10
n
2
1
12-n-1nn
n
2
1
x
x
x
bbbub
x
x
x
a-a-a-a-b
xbxbxb)xa-xa--xa-xa-(uby
u
1
0
0
x
x
x
a-a-a-a-
1
000
0100
0010
x
x
x
n
2
1
1-1nn
0
x
x
x
bbby
0b
则得到在一般情况下状态方程表达式。的试求
uu4uy89yy ( 2 ))2()3(
u
1
0
0
x
x
x
980
100
010
x
x
x
1b 4b 1b 0b
0a 8a 9a
3
2
1
3
2
1
3210
321
3
2
1
141y
x
x
x
例 4.
解,
1
4
-8
-9 1x2x
3x
u y
nn
nn asasas
1
1
1
1
U ( s )
Z ( s )
u
1
0
0
x
x
x
0100
0010
x
x
x
)(x)(x
)(x)(x
)(x)(x
)()(x
n
2
1
121n
2
1
1-nn
23
12
1
aaaa
sss
sss
sss
szs
nnn
则
n
x
x
x
2
1
001z
四,由传递函数建立空间表达式由传递函数结合状态变量图导出空间表达式
（ 1）直接程序法 direct program method
由传递函数直接画出状态变量图，再由状态变量图直接写出状态空间表达式
)()44()(
)(8)(9)()(
891
)(
)(
891
44
)(
)(
89
44
)(
)(
)(
321
21
21
21
321
23
2
sEssssY
sEssEssUsE
ss
sU
sE
ss
sss
sU
sY
sss
ss
sU
sY
sG
3x 2x 1x)(su )(sy
9?
8?
4
)(sE
)(1 sEs? )(2 sEs? )(3 sEs?
4
44
98
321
323
32
21
xxxy
uxxx
xx
xx
3
2
1
3
2
1
3
2
1
144y
u
1
0
0
980
100
010
x
x
x
x
x
x
x
x
x
（ 2）并联程序法 parallel program method
由传递函数化为部分分式后画出状态变量图，
再由状态变量图写出状态空间表达式。
单元画为利用直接程序法，将此部分分式的基本单元为
assU
sX
1
)(
)(
-a
x
u y
x?
321
33
22
1
14
9
7
1
2
1
8
xxxy
uxx
uxx
ux
3
2
1
3
2
1
3
2
1
14
9
7
1
2
1
y u
1
1
1
800
010
000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
1
14
9
1
1
7
11
2
1
)(
)(
ssssU
sY
-1
2x
u
2x? -1/7
-8
3x3x? 9/14
1x
y
1x? -1/2
（ 3）迭代程序法 iterative program method
由传递函数化成因子连乘积形式后画出状态变量图，再由状态变量图直接写出状态空间表达式
)()()(
)(as-U ( s ))(
1
)(
)(
1
1
)(
)(
)(
)(
1
-1
11
1
sEbssEsX
sEsE
as
sU
sE
as
bs
sU
sX
as
bs
sU
sX
单元画为利用直接程序法，将此基本单元为
xu yx?
-a
b
8
2
1
2
s
1
)8)(1(
)2(
89
44
)(
)(
2
23
2
s
s
s
s
sss
s
sss
ss
sU
sY
32133
3213223
212
1
62
882
xxxxxy
xxxxxxx
xxx
ux
3
2
1
3
2
1
3
2
1
6-11y u
0
0
1
80\11
011
000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2x
u
2x?
-1
2?
1x
3x y3x
-8
2
1.状态变量的选择不唯一。
2.状态变量不一定要在物理上可测量 。 yxyx 21,
3.状态变量在数学形式上应力求简单。
4.有时输入也可看成状态变量，称为广义状态变量，这时系统变成只有用广义状态变量来描述的齐次微分方程了。
)( ass
K
bs
cs
yu
)(
1
as?bs
k
yu
s
K
1x2x3x
五,根据系统的方框图求状态空间表达式
1.系统中不含振荡环节的情况
(1)把各个环节化为最简单形式的组合一阶惯性环节和比例环节
(2)把各个环节的输出选做状态变量
)]()([)(
)]()()([)(
)(
1
)(
13
132
21
sxsu
bs
k
sx
sxsusx
s
K
sx
sx
as
sx
1
313
312
211
xy
kubxkxx
KuKxKxx
xaxx
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
0
0
0
01
x
x
x
y
u
k
K
x
x
x
bk
KK
a
x
x
x
)()()()(
)()()()(
)()()(
313
312
211
skusbxskxssx
sKusKxsKxssx
sxsaxssx
G ( s )-1
G ( s )
( s )G
( s )G1
( s )G
G ( s )
G ( s )k
s
a
k
s
k
0
0
0
0
21
2
2
0
21
2
asaasa
2.系统中含有振荡环节的情况
(1) 把各个环节化为最单间组合,若干个一阶惯性环节和比例环节
(2) 对于二阶系统,把它看作一个单位反馈系统的输出
(3) 把各个环节的输出 选做状态变量
01
2 asas
K
bs?
1
yu
cs
ds
1
1
as?s
a0
y
0K
1
1
as?s
a0
y
0Kbs?1
cs
k
1x2x3x
4x
4
3
2
1
4
3
2
1
0
1
4
3
2
1
0001
0
1
0
0
001
01
00
001
x
x
x
x
y
u
x
x
x
x
c
kb
Ka
a
x
x
x
x
DUCXY
BUAXX
u
u
u
ddd
ddd
ddd
x
x
x
cc
cc
y
y
y
u
u
u
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aa
aa
x
x
x
r
2
1
nrn2n1
2r2221
1r1211
n
2
1
21
22221
11211
n
2
1
r
2
1
nrn2n1
2r2221
1r1211
n
2
1
21
22221
11211
n
2
1
在这里
nnnn
n
n
nnnn
n
n
ccc
c
c
aaa
a
a
六,多输入多输出 系统的状态空间表达式
rlD
nlC
rnB
nn A
：系统的结构图如下所示为直接传递矩阵为输出矩阵为控制矩阵为系统矩阵其中
yu B C?
D
A
X? X+
DUCXY
BUAXX
间表达式。试写出该系统的状态空已知
2414232
2312112211
( 2 )
1
ubyayay
ubububyayay
112110222
10111
23
112
11
babhababh
bbabh
yx
uhxx
yx
其中选取?
例 1.
解,
3
2
1
2
1
3211
2
1
4
3112
1
3
2
1
34
21
3
2
1
2433143
23111232212
1121
100
001
xy xy
0
0
0
0
010
x
)(x
x
x
x
x
y
y
y
u
u
b
bbab
b
x
x
x
aa
aa
x
x
x
ubxaxa
ububabxaxa
ubx
则有
A-SI-SI
1
11
APP
BuPAPZPZ
PZX
BuAXX
其中其中
七,状态变量的非唯一性
1-mn mn
b
U ( s )
Y ( s )
1
1
1
1
10
设这里
nn
nn
m
mm
asasas
bsbs
八、状态空间表达式的规范化形式
1.能控标准形
:B A
CXy
BuAXX
两矩阵具有如下形式，若为系统的状态空间表达式
形的表达式。试求取对应的能控标准的微分方程为设某三阶线性定常系统矩阵可以是任意的。中则称为能控标准形，其
uu2u32yy34yy
C
1
0
0
0
B
a-a-a-a-
1000
0100
0010
A
( 2 ))2()3(
12-n-1nn
123
Z ( s )
Y ( s )
234
1
U ( s )
Z ( s )
U ( s )
Z ( s )
Z ( s )
Y ( s )
U ( s )
Y ( s )
2
234
123
U ( s )
Y ( s )
)1(
2
23
23
2
ss
sss
sss
ss
）（
系统的传递函数为解,
形的表达式。试求取对应的能控标准的微分方程为设某三阶线性定常系统
uu2u32yy34yy
( 2 ))2()3(
例 1.
321y
u
1
0
0
432
100
010
( 3 )
z( s )( s )x( s )x
z( s )( s )x( s )x
z( s )( s )x
( t )z( t )x( t )x
( t )z( t )x( t )x
z( t )( t )x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
23
12
1
23
12
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ss
ss
100C
a- 1 000
a-0 010
a-0 001
a-0 000
A
C A
CXy
BuAXX
1
2-n
-1n
n
两矩阵具有如下形式，若为系统的状态空间表达式
2.能观测标准形形的表达式。试求取对应的能观标准的微分方程为设某三阶线性定常系统
：并且通过观察可以知道则称为能观测标准形，
能控能观测能控能观测能控能观测
uu2u32yy34yy
CB
BC
A A
( 2 ))2()3(
T
T
T
100C
3
2
1
B
410
301
200
A
100y u
3
2
1
410
301
200
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
解,
形的表达式。试求取对应的能观标准的微分方程为设某三阶线性定常系统
uu2u32yy34yy
( 2))2()3(
例 2.
n
00
0
00
00
A
2
1
3.对角标准形
(1).定义,
(2).思路
n
00
0
00
00
A
2
1
CB 和求得
)w ( s ) (l i mc
-s
c
-s
c
-s
c
-s
c
U ( s )
Y ( s )
W ( s )( 3 )
i
n
1i i
i
n
n
2
2
1
1
i
s
s
i
这里
uxx
susxssx
s
su
sx
iii
ii
i
i
)()()(
)(
)(
Xcccy
UX
n
n
21
2
1
1
1
1
00
0
00
00
X
(4).状态变量的选取空间表达式。试求对角标准形的状态函数为已知某三阶系统的传递
8147s
12s
W ( s )
23
ss
3
2
1
3
2
1
3
2
1
23
6
7
-
2
3
3
1
-y
u
1
1
1
400
020
001
( 2 )
4s
7 / 6-
2s
3 / 2
1s
1 / 3-
8147s
12s
W ( s ))1(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ss
例 3.
解,
n
n
cccCB?
21
2
1
1
0
0
,
00
1
00
01
A
和求得的条件下在满足
4.约当标准形
(1).定义,
(2).思路,
00
1
00
01
A
2
1
n
])[ w ( s ) (
ds
d
1 ) !-(n
1
l i mc
-s
c
)-(s
c
)-(s
c
U ( s )
Y ( s )
) W ( s
n
-1n
-1n
i
1
n
1
1
2
1
1
i
s
nn
s
i
这里
1
2
1
1
1
1
2
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
s
su
sx
s
su
sx
s
su
sx
s
su
sx
n
n
n
n
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
1
111
3212
2111
susxssx
sxsxssx
sxsxssx
sxsxssx
nn
nnn
(3)
(4).状态变量的选择
n
2
1
21
n
2
1
1
1
1
n
2
1
x
x
x
1
0
0
x
x
x
1
1
1
x
x
x
n
cccy
u
空间表达式。试求约当标准形的状态为已知某系统的传递函数
3
2
23
2
2)-(s
152s
8126s
152s
W ( s )
s
ss
s
3
2
1
3
2
1
3
2
1
41319y
u
1
0
0
200
120
012
x
x
x
x
x
x
x
x
x
例 4.
解,(1)
(2)
2)-(s
2
2)-(s
13
2)-(s
19
2)-(s
152s
s) W ( 233
2
s
n
2
1
1111
n
2
1
2
1
1
1
1
n
2
1
1
1
1
1
1
11
x
x
x
1
1
1
1
0
0
x
x
x
00
0
00
00
0
0
00
1
00
01
x
x
x
)()()()(
)(
nrr
n
r
r
n
n
r
rr
r
ccccy
u
s
c
s
c
s
c
s
c
sW
5.推广
DBA)-( s I
U ( s )
Y ( s )
) W ( s
DuCXy
BuAXX
-1
C
最后求得已知系统的传递矩阵为
九,由控制系统的空间表达式确定系统的传递函数矩阵
(1) 古典控制论主要是以传递函数作为数学模型,
为了利用古典控制论的久经考验的成果来分析设计控制系统,常常有必要将状态空表达式转换为传递函数矩阵,
U (s )
Y (s )W (s )?
DuCXy
B u AXX
四种标准形
DBASIc 1)(
ububububyayayay nnnnnnnn 1)1(1)(01)1(1)(
自动控制系统三种数学模型之间的关系
。试求该系统的传递函数设某控制系统的方程为
2
1
2
1
2
1
21y u
5
2
x
x
1-3
1-5-
x
x
x
x
86S
591 2 s
86S
1
5
2
5S3
1-1S
21
U ( s )
Y ( s )
W ( s )
5S3
1-1S
86S
1
1S3-
15S
A)-( S I
22
2
1
-1
SS
S
例 1.
解,
求系统的传递函数。
已知 13C
1
0
B
5-6-
10
A
求系统的传递函数。
已知 01C
2-
1
B
5-6-
10
A
例 2.
例 3.
解,
说明,由于选取状态变量的非唯一性,所建立的系统空间状态表达式也是唯一的,然而,尽管同一系统具有不同的状态空间表达式,但系统的传递函数矩阵却是唯一的。
65s
3s
U ( s )
Y ( s )
( s ) W
2
s
$2线性定常系统的分析
AXX
0
x
X
aaa
aaa
aaa
A
BUAXX
2
1
nnn2n1
2n2221
1n1211
时当其中方程为设线性定常系统的状态
U
x
x
n
一,齐次状态方程的解
kk22at
at
ta
k!
1
ta
2!
1
at1e
x ( 0 )e( t ) x
atl n x ( 0 )-l n x a d t
x
dx
a x
dt
dx
A
这里指数函数对上式进行求解，得到程一个普通的一阶微分方为一维的，则上式变为若上式中
axx
01
0
3
23
0
2
12
01
k2
210
-1k
k
2
321
k
k2
210
!
1
b
1
b
!3
1
b
3
1
b
2
1
b
2
1
b
bb
)tbtbtbb(
tkbt3tb2b
( * )
b ( * ) tbtbtbb X ( t )
( t ),
bA
k
A
k
bAA
bAA
A
A
b
AXX
axxXAXX
k
kk
k
k
比较等式两边有得到代入将向量的解的形式，有仿造的解为设
1.矩阵指数法
)0(
!
1
tA
2!
1
AtIe
) X ( 0 )
!
1
tA
2!
1
At(It) X (
( 0 )b 0t
)b
!
1
tA
2!
1
At(It) X (
*
k22At
k22
0
0
k22
XeX
tA
k
tA
k
AXX
X
tA
k
At
k
k
k
矩阵指数可以记做的解为则得到则有令
）中有代入（
说明,
(1)齐次状态方程的解表示状态向量 X(t)由初始状态 X(0)向任意时刻的状态 X(t)转移的内在特性,该特性通过矩阵指数具体描述。
(2)eAt称为矩阵指数 (n*n矩阵 ),不适合于手算,
使用计算机来计算非常方便 。
上述方程。试用矩阵指数法来求解程为设某控制系统的状态方
x
x
00
10
x
x
2
1
2
1
)0(x
)0(x
10
t1
)(x
)(x
x ( 0 )ex ( t )
10
t1
t
00
10
10
01
AtIe
00
00
A A
00
00
00
10
00
10
A
2
1
2
1At
At
n3
2
t
t
例 1.
解,
x ( 0 )A)-( s Ix ( t )
x ( 0 )A)-( s Ix ( s )
x ( 0 )A ) x ( s )-( s I
A x ( s )x ( 0 )-s x ( s )
AXX
-11
-1
L
对其取拉氏变换有已知系统的状态方程 为
2.拉普拉斯法
A)-( s Ie
!
1
!2
1
A)-( s I
s
A
s
I
A)-( s I
I)
s
A
s
I
A ) (-sI
-11At
22-11
13
2
2
-1
13
2
2
L
tA
k
tAAtIL
s
A
s
A
s
A
s
A
kk
k
k
k
k
（
3.两种方法的关系试求解该状态方程。
程为已知给定系统的状态方
2
1
2
1
x
x
2-1-
10
x
x
,
22
22
1-
1)(s
s
1)(s
1-
1)(s
1
1)(s
2s
)d e t (
)a d j (
2s1
1-s
AsI
AsI
AsI
AsI
如下：根据已知条件求解过程例 2.
解,
)0(x
)0(x
)1(
)1(
)(x
)(x
)0(A)-( s Ix ( t )
)1(
)1(
1)(s
s
1)(s
1-
1)(s
1
1)(s
2s
A)-( s I
2
1
2
1
-11
22
22
1
-11
tt
tt
tt
tt
ette
teet
t
t
xL
ette
teet
L
L
A)-( s Ie( t )
-11At?
L
二,状态转移矩阵
1.定义
2.状态转移矩阵的性质
(1) 自身性
(2) 反逆性
(3) 传递性
(4)
(5)
(6) ( n t )(t)
n
( 0 ) I
( - t )( t ) 1
)t-(t)t-(t)t-(t
020112
)(t)(t)t(t
2121
( t )A( t )
:
32
10
21
10
)1(
1
法求解提示：可以通过两种方
。和求已知
n
( t )( t )
A( 2)
A
例,
(1) 通过性质
(2) 通过直接计算
。和试求状态转移矩阵设系统的状态方程为：
(t)(t)
u2x--xx
xx
-1
212
21
3,状态转移矩阵的计算
(1) 拉普拉斯法例 1.
tt
tt
-11
22
22
-1
e)t1(te
tee)t1(
A)-( s IL(t)
1s
1
1)(s
1
1)(s
1
1)(s
1
1s
1
1)(s
1
s1
12s
12)s ( s
1
A)-( s I
2s1
1s
A)-( s I
21
10
A
tt
tt
1
1
e)t1(te
tee)t1(
( t )
( - t )( t )
得到由解,
PePPtA
k
tAAtIP
tAPP
k
tAPPA P tPIee
APPA
Atkk
kk
A P tPtA
1221
1
2211
~
1
)
!
1
!2
1
(
)(
!
1
)(
!2
1
~
1
(2) 根据 eAt定义的直接计算法
(3) 变换系统矩阵 A为对角线矩阵的计算 法
1)公式的推导
eM
!
eM
)
!
e (
At
0
At
0
At
的近似矩阵。为其中
Tt
Tt
K
k
kk
Tt
k
kk
k
tA
k
tA
2)变换矩阵 P的求取
(a) 一般方法
。试求解矩阵为设例
(t)
6116
100
010
AA 1
PP
n)1,2,(i PAP
P
00
00
00e
PPPe(t)
21
ii
-1-1P
2
1
1-
n
i
t
t
t
A P t
PP
e
e
n
P
00
00
00e
PPPe(t)
-1-1P
2
1
1-
t
t
t
A P t
ne
e
PP
n)1,2,(i PAP
21
ii
n
i
PP?
T
321i
ii
i
PP
n)1,2,(i PAP
3-2-1-
03)2 ) (1 ) ((
6116
10
01
A-I
PP
ii
PP
i
和，因此，求得特征根为特征方程为：
与特征值有关，因此，，而首先求出解,
1
1
1
P
1P
1P
1P
PP6P116P-
PP
PP
P
P
P
P
P
P
6116
100
010
-PAP -1
1
31
21
11
31312111
2131
1121
21
21
11
31
21
11
111
故解得
，有对于?
T
421P
P2P6P116P-
P2P
P2P
P
P
P
2
P
P
P
6116
100
010
- 2,
2
32322212
2232
1222
32
22
12
32
22
12
2
解得有对于?
5.05.11
143
5.05.23
P
941
321
111
P
9
3
1
P
:3
1-
3
3
，解得对于?
ttttttttt
ttttttttt
ttttttttt
eeeeeeeee
eeeeeeeee
eeeeeeeee
323232
323232
323232
3t-
2t-
t-
-1
3t-
2t-
-t
5.445.05.13165.29123
5.425.05.485.2363
5.05.05.145.233
5.05.11
143
5.05.23
e00
0e0
00e
941
321
111
p
e00
0e0
00e
P( T )
AP
1111
P
P,A
(
aaaa-
1000
0100
0010
A
1n
n
1n
3
1n
2
-1n
1
2
n
2
3
2
2
2
1
n321
n1
12n1nn
对角化可使则特矩阵可以取为下列的范德蒙则具有各异的特征值友矩阵）
(b) 如果状态矩阵 A具有如下标准形式
9
6
1
P
4
2
1
P
1
0
1
P 2
3-2-1-
0321A-I 1
321
）（
对应的特征向量为，，所以特征值为
））（）（（）（
。矩阵指数试用化对角标准形法求矩阵已知
At
e
511-6-
611-6-
1-10
A
例,
解,
ttttttttt
tttttt
ttttttttt
eeeeeeeee
eeeeee
eeeeeeeee
323232
32323
323232
-1
91225.13165.29123
669866
325.145.233
( t ) 3
1-
2
3
1
34-3-
2-
2
5
3
P
941
620
111
P
）（
求得
-4 -1
0)2)(1(
54
1-
A-I
21
移矩阵。试求取该系统的状态转设系统的状态方程为例：
u5x-- 4 xx
xx
212
21
解,
(1) 求特征根
5-4-
10
A
可求得系统矩阵
1-
1
P -1P
1P
0PP
P
P
P
P
5-4-
10
PAP
-1
112
11
1211
12
11
12
11
111
1
即得到取有来说，有对于
(2) 求变换阵
4-1-
11
P
4-
1
P 1P
P
P
4
P
P
5-4-
10
,-4
221
22
21
22
21
2
解得取有来说对于?
4-0
01-
APP
3
1
3
1
3
1
3
4
P
-1
-1(3)求变换矩阵的逆阵其它同上。
4-1-
1111
P
3
4
3
1
3
4
3
4
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
1
3
1
3
4
e0
0e
4-1-
11
P
e0
0e
P( t )
21
44
44
at-
t-
1-
at-
t-
tttt
tttt
eeee
eeee
(4)求取 ф(t)
2-1-
1111
P
-2 -1
0)2)(1(
32
1-
A-I
21
21
。该系统的状态转移矩阵为对角线矩阵计算试通过变换已知系统矩阵例：
A
3-2-
10
A
解,
222
22
Pe P( t )
0
0e
ee
2-0
01-
APP
1-1-
12
P
22
22
1-t
2
t-
A P tPt
1-
1-
tttt
tttt
t
eeee
eeee
e
为约当形矩阵。
异变换变换，但可以通过线性非奇线矩阵变换为对角的情况下，不能将量数小于解出独立的特征向彼此不等，则一般在按个特征值，而其余的值个重特征个特征值中有的若系统矩阵
A
Am
mn
mnAa
nmm
1
211
,,
)(
4.变换系统矩阵 A为约当形矩阵的计算方法
n
m
m
m
000
0
000
000
000
0
0
00
1
0
0
00
0
01
APPJ
3
2
1
1
1
1
1-
约当标准形如下所示：
J0
0J
J
P
e000000
e00000
00e0000
00e
)!3(
e00
00e
)!2(
ee0
00e
)!1(
e
!2
1
ee
P
PPe)(
n
1
1-
3
2
1
2
1-Jt
n
1
1
11
111
1111
由一个约当块引申到
t
t
t
t
m
t
t
m
tt
t
m
ttt
At
m
m
t
m
t
t
m
t
tt
et
(1)由约当形矩阵 J来求 ф(t)
称为广义的特征向量。从
。，，
量重特征值对应的特征向的来求取；其次求取由公式征向量对应的特个彼此不相等的特征根首先对
m32
1-mm1
121
11
m21
1
iii2m1m
P,,P,P
PA ) P-I(
PA ) P-I(
0A ) P-I(
PPP
m
n),1,(i PAP P,P,P
m-n
m
n
(2)变换阵 P的求取
a.一般法
33
32
31
33
32
31
3333
321
-1
P
P
P
2
P
P
P
423
201
5-60
P A P2 )1(
PPPP
200
010
011
APPJ
来说，有对
为约当形矩阵。试变换，的特征值为已知系统矩阵例
A 2 1
423
201
5-60
A
321
解,
0
P
P
P
223
22-1
56-2
0P22P3P
0P2P2P
0P56P-P2
P2P42P3P
P2P2P
P2P56P
33
32
31
333231
333231
333231
33333231
323331
313332
1-
1/2-
1
PPPP
1P 2/1P
1P
PPPP
0
223
22-1
56-2
T
3332313
3332
31
T
3332313
解得选有无穷多组解。
有无穷多组解。
来说，有对于
P
0
3-2-3-
2-11-
56-1
0
P
P
P
3-2-3-
2-11-
56-1
0A ) P-I( PAP
1 )11(
1
13
12
11
11111
21
7
5
7
3
1-
P
P
P
P
P
P
3-2-3-
2-11-
56-1
-PA ) P-I(
APPP
7
5
7
3
1P
13
12
11
23
22
21
121
2211
T
11
由选
T
2
23
22
21
2
49
66
49
22
1P
49
46
P
49
22
P
1P
P
0
3-2-3-
2-11-
56-1
解得选取也有无穷多组解。
222-8-
7-287
56-2
P
98
1
-
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
-1
200
010
011
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
423
201
5-60
222-8-
7-287
56-2
APP
-1
：重根，对应的约当块为的
，对且它们彼此并不相等时个特征值而其余的重特征值的特征值中有则当
m
,,,
m-n,mA
a-a-a-
1
0000
0100
0010
A
1
n1m
1
12-n1-nn
a
(b)若系统矩阵具有友矩阵的形式,即,
1-m
1
1
1-m
1
1
1
m21
T
1
1
2
ii1
1
mm
1
1
1
d
Pd
d
dP
P
PPP
1P
000
1
00
00
换矩阵为则与约当块相对应 的变
：对应的独立特征向 量为与
n
为约当阵。试变换及具有二重特征值已知系统矩阵例
A
2 1
032
100
010
A
321
42-1
211-
101
2
1
101
P
dP
PP
2
31
2
1
312
1
1
1
解,
200
01-0
011-
42-1
211-
101
032
100
010
121
3-36
1-2-8
9
1
P
121
3-36
1-2-8
9
1
P
09P
-1
-1
AP
变换为约当矩阵。试将已知系统矩阵例
A
21-1-
1-21
1-12
A
(c) 矩阵 A具有 m重特征根,但由方程
AP1=λ 1P1 ( i=1,2,…,n)
能解出 m个独立的特征向量 P1,…,Pm,则由这 m个独立的特征向量构成的变换矩阵
P=[P1,.,Pm Pm-1,.,Pn]T
仍可以将 A变换成对角矩阵 → 约当矩阵的特殊形式,
T
2131112
T
1131211
131211
21
21
11
31
21
11
1111
321
2
101P 1PP 0P
110P 1PP 0P
0PPP
P
P
P
P
P
P
211
121
112
P-AP 1
4 1
04)-(1)-(
2-11
12-1-
11-2-
A-I
得到取得到取有，对于及求得特征值为
解,
111
101
110
P
111P
P
P
P
4
P
P
P
211
121
112
PAP 4
T
3
33
32
31
33
32
31
3333
解得来说，有对
400
010
001
111
101
110
21-1-
1-21
1-12
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
APP
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
P
-1
-1
1-JtAt
J
J
J
Jt
2
1
PPee( t )
e000
0e0
00e
e
J000
0J0
00J
J
l
2
1
t
t
t
l
求得
(d)由约当阵 J来求 ф(t)
。定系统的状态转移矩阵型矩阵的方法来计算给为约当试通过变换及特征值为的已知系统矩阵例
A,2 1
423
201
5-60
A
321
98
1
-
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
P
已经求得解,
:J
200
010
011
APPJ
222-8-
7-287
56-2
P
1-
1-
的矩阵指数为所以约当型矩阵
2t
t
tt
Jt
e00
0e0
0tee
e
tt2ttt2ttt2t
tt2ttt2ttt2t
tt2ttt2ttt2t
2t
t
tt
-1Jt
e5e32e-e2022e22ee58e3e
e3ee-e1210e11ee3e44e
e72e2ee28e2222e-e7e98e-
222-8-
7-287
56-2
e00
0e0
0tee
1-
49
66
-
7
5
-
2
1
-
49
22
-
7
3
-
111
PPe( t )
ttt
ttt
ttt
IaaAaaaAa
AAAa
IAA
AAAAAA
IAAA
IAAAAD
A
AD
AD
nnn
n
n
111
1-n
2
2
1
n
2
1-n
1
2
n1-n
1-n
11
n
2
1-n
n
1
11n
n1-n
1-n
1
n
n1-n
1-n
1
n
n1-n
1-n
1
n
)()a(
aa
)aaa(-a
aaa*
aaa
0aaa)(
0D ( A )
0aaa)(
)(nnA
。都满足自己的特征方程，即每个方阵则有即：
是其特征多项式，方阵，为设
5.应用 Cayley-hamilton定理的计算方法
a,Cayley-Hamilton定理
t
t
t
n
nn
n
n
ne
e
2
1e
1
1
1
(t)
(t)
(t)
-1
12
n
1
2
2
21
1
1
2
11
-1n
1
0
b,Ф(t) 的计算
c,待定系数的计算
(1) 若 A有互异特征值 λ 1,λ 2,…,λn 时
-1n
-1n10
At ( t ) A( t ) A( t )e
t
n
t
t
t
n
n
n
n
t
t
t
nn
n
1
1
1
1
e
)!1(
e
!2
e
e
10000
1
!2
)2)(1(
3100
)1(3210
1
(t)
(t)
(t)
1
2
-1
3
11
1
1
2
11
1
1
3
1
2
11
-1n
1
0
(2).若 A有 n重特征值 λ 1 时
).(
5-4-
10
A
tH a m i l t o nC a y l e y
定理求解试用已知系统的系统矩阵为例：
-4 - 1,
04)1 ) ((
54
1
A-
,A
21
特征值的特征多项式为解,
5-4-
10
e
3
1
-e
3
1
10
01
e
3
1
e
3
4
)()((t)
e
3
1
-e
3
1
e
3
1
e
3
4
e
e
4-1
1-1
)(
)(
4t-t-4t-t-
10
4t-t-
4t-t-
4t-
t-
-1
1
0
Att
t
t
4t-t-4t-t-
4t-t-4t-t-
e
3
4
e
3
1
e
3
4
e
3
4
e
3
1
-e
3
1
e
3
1
e
3
4
t
t
t
m
t
n
nnnn
n
mmmm
mn
n
n
n
mn
n
m
e
e
m
t
m
mnn
nn
n
t
1
1
1
e
)!1(
e
1
1
10000
)!1(
)1()1(
1000
!2
)2)(1(
3100
)1(3210
1
(t)
)(
(t)
(t)
1
132
1
1
3
1
2
11
1
3
11
2
1
2
11
1
1
1
3
1
2
1
-1n
-1m
0
(3) 当有 m重根时,有 n-m个单根,
2 1
02)-(1)(A-
032
100
010
A
321
2
，
，已知系统矩阵为：矩阵的例：试计算下面
At
eA
解,(1) 求 A的特征值,
2 1
02)-(1)(A-
321
2
，
2t-
t-
t-
2
1
0
2t
t-
t-
2
1
0
2
32310
121
2
12110
e
te
e
13-1-
232-
168
9
1
)(
)(
)(
e
te
e
)(
)(
)(
421
2-10
11-1
)()()(
e)(2)(
e)()()(
3
1
1
t
t
t
t
t
t
ettt
ttt
ttt
t
t
t
2tt-t-
2tt-t-
2t-t-t
ee3e-
e2e32e-
ee68e
9
1
t
t
t
(2) 求系数
t-2tt-2tt-2t
t-2tt-2tt-2t
t-2tt-2tt-2t
2
210
e)35(4ee)83(8ee)46(4e
e)32(2ee)35(4ee)62(2e
e)31(ee)32(2ee)68(e
)()()(
( t )
ttt
ttt
ttt
AtAtt
e
At
(3) 求 ф(t)
6.变换系统矩阵为模式矩阵的计算方法
a.定义：
b.P阵的求取：
A
-
)(
,
2121
111
111
111
11
11
A
A
jq
Aqqj
q
记则有的特征向量为设
11
2121
PP
-
PP
PM
P
A
AP
则有
-
M
j-,
1
21
APP
j
-1MtAt
tc o sts i n-
ts i ntc o s
tt
0-
0
t
0
0
t
-Mt
PPee(t)
eeeee
j--1 j-1
0)1)(1(2)2(
22
1-
A
A
x
x
2-2-
10
x
x
21
2
1
2
1
量为与友矩阵对应的特征向解得的特征值为为模式矩阵。试化矩阵设系统的状态方程为例
jj
c,eMt的计算：
解,
j--1 j-1
0)1)(1(2)2(
22
1-
A
A
x
x
2-2-
10
x
x
21
2
1
2
1
量为与友矩阵对应的特征向解得的特征值为为模式矩阵。试化矩阵设系统的状态方程为
jj
C o s tSS
SSC o s t
C o s tS
SC o s t
C o s tS
SC o s t
in
i n ti n t2
i n ti n t
e
11
01
i n t
i n t
e
11-
01
PPe(t)
i n t
i n t
ee
1-1-
11-
11-
01
2-2-
10
11
01
APPM
11
01
P
11-
01
P
2j
ee
tS
2j
ee
tCos
j
1
0
1-
1
q
j1-
1
q
j1-
1
q
t-t--1Mt
t-Mt
-1
-1
11
tjtj-
tjtj-
121
验算由欧拉公式得
t
0
)d) B u (-(t( t ) x ( 0 )x ( t )
三,非齐次状态议程的解
1.一般法
BUAXX
t
AtAtAt
t
AtAt
AttA
t
A
t
At
t
A
AtAt
AtAt
AtAt
dBUeeXetX
dBUeXtXe
XtXeXedXe
d
d
dBUedXe
d
d
BUetXe
dt
d
tXe
dt
d
tAXtXe
BUeAXXe
BUAXX
0
0
0
0
00
)()0()(
)()0()(
)0()()())((
)())((
))((
))(())()((
)(
t0 )d) B u (-(t( t ) x ( 0 )x ( t )
)()()0()()(
)()0()()(
)()()0()(
11 sBUAsIXAsIsX
sBUXsXAsI
sBUsAXXssX
B u ( s )A)-( s ILx ( 0 )A)-( s IL x ( t ) -1-1-1-1
2.拉普拉斯法
t
t0 0
)d) B u (-(t) x ( 0 )t-(tx ( t )
3.两种方法的关系
4.初始时刻不为零时
完全相同的。由此可见，两种方法是由卷积定理可得
)d) B u (-(t )dB u (eB u ( s )A)-( s IL
)d()f-(tf( s )( s ) FFL
( t )eA)-( s IL
t
0
t
0
)-(tA1-1-
t
0
221
1-
At1-1-
1
。输出方程为且已知时非齐次方程的解，试求当设系统的状态方程为例
1
1
1
212
21
xy
0
1
x
x
C os tS i n tu ( t )
u2x--xx
xx
1
)0(
)0(
01C
1
0
B
2-1-
10
A
解,
C o s t
2
1
-S i n t
2
1
tee
2
3
y ( t )
C o s t ) d( S i n t)e-(tt ) e(1
)d) B u (-(t( t ) x ( 0 ) C
CX( 2 ) y
t ) e(1te
tet ) e(1
( t )
( t )( 1 )
t-t-
t
0
)-(t-t-
t
0
t-t-
t-t-
C
求响应。非齐次方程的单位阶跃试用拉普拉斯法求解该已知系统中例
1
0
B
2-1-
10
A
2
2
2
22
22
1-
t-t-
-t-t
1)(s
1
1)s ( s
1
s
1
1
0
1)(s
s
1)(s
1
1)(s
1
1)(s
2s
B u ( s )A)-( s I ( 2 )
t ) e(1te
tet ) e(1
( t ))1(
解,
t-
t-t-
1
1
t-t-
t-t-
t-
-t-t
-1-1
te
te-e-1
)0(x
)0(x
t ) e(1te
tet ) e(1
( 3 ) x ( t )
te
te-e-1
B u ( s )A)-( s IL
$4 线性时变系统的分析
u
1
0
0
x
x
x
ta-ta-ta-ta-
x
x
x
uytaytaytay
n
2
1
12-n1-nn
n
2
1
nn
n( n )
)()()()(
1000
0100
0010
)()()(
.
1
)1(
1一,线性时变系统的状态空间表达式
XtCy
UtBXtAX
)(
)()(
001C
x
x
x
001y
n
2
1
),(
),()(),(
:),(
)x ( t),( x ( t )
)()(
0
00
0
00
tt
tttAtt
tt
tt
tXtAX
满足条件其中其解为：
的解为齐次状态方程为：
二,齐次状态方程的解三,状态转移矩阵
。求系统的状态转移矩阵初始时刻态方程为：线性时变系统的齐次状或者可以交换时，与
( t,0 )0,t
)(x
)(x
at0
0t
)(x
)(x
( * ) )()()()(
)()()()(
)(
2!
1
)(),(
)()( 1.
0
2
1
2
1
1221
2
)(
0
0 0
00
0
0
t
t
t
t
tAtAtAtA
tAdAdAtA
dAdAett
dAtA
t
t
t
t
t
t
t
t
dA
t
t
t
t
。求系统的状态转移矩阵初始时刻状态方程为：：线性时变系统的齐次例或者可以交换时，与状态转移矩阵三
( t,0 )0,t
)(x
)(x
at0
0t
)(x
)(x
1
( * ) )()()()(
)()()()(
)(2!1)(),(
)()( 1.
.
0
2
1
2
1
1221
2)(
0
0 0
00
0
0
t
t
t
t
tAtAtAtA
tAdAdAtA
dAdAett
dAtA
t
t
t
t
t
t
t
t
dA
t
t
t
t
。求系统的状态转移矩阵初始时刻态方程为：线性时变系统的齐次状或者可以交换时，与状态转移矩阵三
( t,0)0,t
)(x
)(x
at0
0t
)(x
)(x
( *) )()()()(
)()()()(
)(
2!
1
)(),(
)()( 1.
.
0
2
1
2
1
1221
2
)(
0
0 0
00
0
0
t
t
t
t
tAtAtAtA
tAdAdAtA
dAdAett
dAtA
t
t
t
t
t
t
t
t
dA
t
t
t
t
例 1.
t
2
2
t
2
tt
21
2
21
1
1
2
2
21
2
21
2
2
1
1
at
2
1
0
0t
2
1
d
a0
0
dA
dA
2!
1
dA( t,0 ) ( 2 )
tAtAtAtA
tta0
0tt
at0
0t
at0
0t
tAtA
tta0
0tt
at0
0t
at0
0t
tAtA ( 1 )
at0
0t
A ( t )
00
00
1221
12
21
)(
)()(
)()()()(
)()(
)()(
满足互换条件系统矩阵为：
解,
422
42
42
4
2
2
2
2
t
ta
8
1
at
2
1
0
0t
8
1
t
2
1
t
ta
8
1
0
0t
8
1
at
2
1
0
0t
2
1
d
a0
0
2!
1
1
1
)0,(
2
1
0
说明,
t
t t
t
0
t
ddAAdA)t( t,
dAtA
tA
0 0
11
0
0
)()()(
)()()2(
( * ))()1(
不可以交换时与恒成立。为对角矩阵时，
( t,0 )
tx
tx
e0
0t
tx
tx
2
1
at-
2
1
阵试求系统的状态转移矩态方程为线性时变系统的齐次状例
)(
)(
)(
)(
:.
不满足互换条件
)()()()(
e0
et0
e0
t0
e0
t0
)()(
e0
et0
e0
t0
e0
t0
)()(( 1 )
1221
)ta ( t-
at-
1
at-
1
at-
2
12
)ta ( t-
- a t
1
at-
2
at-
1
21
21
1
12
21
2
21
tAtAtAtA
tAtA
tAtA
解,
222
2
2
2
332
0
0 0
11
00
0 0
11
0
1
2
11
2
1
0
2
1111
)1(
)()(
)1(
)(
)()()(
aa
e
a
te
a
t
aa
te
a
te
a
0
d
e
a
1
0
t
2
1
0
e0
0
ddAA
e
a
1
0
t
2
1
0
d
e0
0
dA
ddAAdA( t,0 ) ( 2 )
atat
atat
t
at
2
a
t
t
at
2
a
t
tt
22
2
2
3
2
32
222
2
2
2
332
2
31
2
1
)1(
1
10
1
)
2
1
2
1
(
11
1
2
11
2
1
0
2
1111
)1(
a
e
a
te
a
e
a
a
t
a
te
a
te
a
1
aa
e
a
te
a
t
aa
te
a
te
a
0
e
a
1
0
t
2
1
0
10
01
( t,0 )
atatat
atat
atat
atat
at
2
)t,(t)t,(t c.
)t,(t)t,(t)t,(t b.
)t,(t a.
1001
020112
00
1?
(3) 状态转移矩阵的性质
$5线性离散系统的分析
)()()1(
)2()1()(
1
21
kukyakya
nkyankyanky
nn
一,线性定常离散系统的状态空间表达式
1.化标量差分方程为离散的状态方程
(1) 控制函数仅含 bnu(k)时线性定常系统的状态空间表达式
)1()1()(
)2()1()(
)1()1()(
)()(
1
23
12
1
nkykxkx
kykxkx
kykxkx
kykx
nn
选取
C X ( k )y( k )
kBUkAXkX
kx
kx
kx
001y
u ( k )
1
0
0
kx
kx
kx
a-a-a-a-
kx
kx
kx
n
2
1
n
2
1
12-n1-nn
n
)()()1(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1000
0100
0010
)1(
)1(
)1(
2
1
则有
kuhkxkx
kuhkxkx
kuhkxkx
kubkykx
kubkubnkubkub
kyakya
nkyankyanky
nnn
nn
nn
)()1()(
)()1()(
)()1()(
)()()(
)()1()1()(
)()1(
)2()1()(
11
223
112
01
110
1
21
选取
(2) 控制函数含 u(k),u(k+1),… u(k+n)项时线性定常系统的状态空间表达式,
)(x
)(x
)(x
001y
h
h
h
)(x
)(x
)(x
a-a-a-a-
1
000
0100
0010
)1(
)1(
)1(
ha-)ba-(bh
ba-bh
n
2
1
n
2
1
n
2
1
12-n-1nn
2
1
11110
110222
0111
k
k
k
k
k
k
kx
kx
kx
hahababh
n
nnnnn
则有
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
0
n
nn
azazaz
zzz
b
azazaz
bzbzbzb
U ( Z )
Y ( Z )
z
kubnkub
kyakya
nkyankyanky
1
1
1
1
2
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
21
)()(
)()1(
)2()1()(
变换。求取零状态下的
2.化脉冲传递函数为离散状态方程
。式，并画出状态变量图写出系统状态空间表达系统的差分方程为：例
2)-0,8u( k-1)-3,6u( k2u( k)
2)-0,1y ( k1)-0,7y ( ky ( k)
u ( k )
1
0
kx
kx
0,7-0,1-
10
kx
kx
zz
1-2,2 z
2
z0,7 z1
z2,2 z
2
z0,7 z1
z3,6 z2
U ( z )
Y ( z )
( 1 )
2
1
2
1
21-
1-
1-
-1
)(
)(
)1(
)1(
1.07.01.0
1.0
8.0
2
2
2
2
解,
2 u ( k )
)(x
)(x
2,21-y ( k )
2
1
k
k
)(2 kx
)(1 kx
-0.7
2.2
2
-0.1
1?z 1?z -1
u(k) y(k)
1
0
1
0
1
)1(
)(
k
i
k
k
j
jkk
jku( i ) B( k ) x ( 0 )x ( k )
( 0 )
( k )A1)(k
A( k )
)1,2,3,(k jBuAx ( 0 )Ax ( k )
记
二,线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法 (递推法 )
时状态方程的解。及试用递推法求取当式中状态方程为设线性定常离散系统的例
)0(
k1u ( k)
1-
1
( 0)x
( 0)x
X ( 0)
1
1
B
1-0.16-
10
A
B u ( k)A X ( k)1)X ( k
2
1
为变换矩阵做相似变换。比较困难，所以把由于直接计算
P APPA
AA
1-0,1 6-
10
Ak
1-
1
k
k
k
)(
8.02.0
11
P
- 0,8 2.0
00,8 )2 ) (.0(
10,1 6
1-
0A-
11
P,A
21
21
解得即所以有为友矩阵?
5-1-
54
0,8-0
00,2-
0,8-0,2-
11
3
1
PA P )P(P A
PAPA P )P(A
0,8-0
00,2-
8.02.0
11
1-0,1 6-
10
10,2
1-0,8-
0,6-
1
APP
5-1-
54
3
1
10,2
1-0,8-
0,6-
1
P
k
-1k-1k
k-1k-1k
1
-1
-1
-1k
0i
-1i
1
-1k
0i
i
-1k
0i
kk
kk
k
kkkk
kkkk
1)-i-Bu ( kPA
1)-i-Bu ( k
1)-i-( i ) Bu ( k
3,2 ( - 0,8 )0,2 ( - 0,2 )
4 ( - 0,8 )( - 0,2 )-
3
1
x ( 0 )A( k ) x ( 0 )
4 ( - 0,8 )( - 0,2 )-0,8 ( - 0,8 )0,8 ( - 0,2 )-
5 ( - 0,8 )-5 ( - 0,2 )( - 0,8 )-4 ( - 0,2 )
3
1
P
A
18
7
)8.0(
9
6.17
)2.0(
3
7.1
18
25
)8.0(
9
22
)2.0(
6
17
1)-i-( i ) B u ( k( k ) x ( 0 )x ( k )
BP
)8.0(0
0)2.0(
8.00
02.0
10
01
P
-1k
0i
-1
2
2
kk
kk
。变换法求解该状态方程试用
：已知系统的运动方程为
z
0)(k 1u ( k ) 1-1( 0 ) x
1
0B
3-2-
10A
B u ( k )A x ( k )1)(k x
)(A)-( z Ix ( 0 )A)-( z I x ( k ) -11-11
zBuZzZ
2.Z变换法例,
。变换法求解该状态方程试用
：已知系统的运动方程为
z
0)(k 1u ( k)
1-
1
( 0) x
1
0
B
3-2-
10
A
B u ( k)A x ( k)1)(k x
)(A)-( z Ix ( 0)A)-( z I x ( k)
-11-11
zBuZzZ
k
k
-1-1-1
-1
-1
( - 2 )-
( - 1 )
2z
z
-
1z
z
z)0(zxA)-(zz ( 2 )
2z
2
1z
1-
2z
2
1z
2-
2z
1
1z
1
2z
1
1z
2
3z2
1-z
A-z ( 1 )
z 变换法如下：运用解,
)2(
3
2
)1(
2
1
6
1
)2(
3
1
)1(
2
1
6
1
)(A)-(zz)0(A)-(zz( 4 ) x ( k )
6
1
)2(
3
2
)1(
2
1
6
1
)2(
3
1
)1(
2
1
-
1
2)1 ) ( z(z
z
2)1 ) ( z(z
1
z
)(A)-(zz ( 3 )
-1-1-1-1
-1
-1-1
kk
kk
kk
kk
zBuzx
z
z
zBu
3.两种方法的关系
4.说明
(1) 迭代法比较适合于计算机计算。
(2) Z变换法是当系统的阶次低时适合于手算。
1
0
1
1
)()(
k
j
1-
k1-
ju1 ) Bj-(kzBuA)-( z IZ
AzA)-( z IZ
$6 线性连续状态方程的离散化
0
0
T
At
0
*)A ( T
0
*
00
*
00
*
0
Bd te)(TB e)(TA
)) u ( k T(TB)) x ( k T(TA1 ) T(kx
BUAXX
0
其中将其进行离散化后则有程为设某线性系统的状态方
一,线性定常系统的离散化
)()(])1[(
)()(])1[(
)()(
)()(])1[(
0,
)()(])1[(
)1(,
)()()(
0
0
00
0
0
0
)(
0
0
)(
00
00
0
0
)(
00
00
)1(
)]1[(
00
000
)(
0
)(
0
0
0
0
0
0
0
00
0
00
0
0
00
0
0
kTB d t UekTXeTkX
B d teB d teBde
kTUBdekTXeTkX
kTUkTU
dkTBUekTXeTkX
T kT
dBUekTXeTkX
TktkTt
dBUetXetX
T
AtAT
T
At
T
At
T
TA
T
TAAT
T
TAAT
Tk
kT
TkAAT
t
t
tAttA
令
。试将该状态方程离散化态方程为已知线性定常系统的状例
u
1
0
x
x
2-2-
10
x
x
2
1
2
1
tttt
tttt
1-1-At
1-1-
Tt
-1-1)A ( T
0
*
eeee
eeee
A)-(sLe
s1s
1-
s1s
2-
s1s
1
s1s
2
s2
13s
2)1 ) ( s(s
1
A)-(sL
A)-(sLe)(TA
0
22
22
222
2
2
2
2
2
2
1
2
1
0
解,
)u ( k T
2
1
2
1
)( k Tx
)( k Tx
222
2
1 ) T(kx
1 ) T(kx
2
1
2
1
1
0
222
2
)(TB
222
2
e)(T A
0
T2T
T2T
02
01
T2TT2T
T2TT2T
02
01
T2T
T2T
T
0
22
22
T
0
0
*
T2TT2T
T2TT2T
)A ( T
0
*
00
00
0000
0000
00
00
0
0
0000
0000
0
ee
ee
eeee
eeee
ee
ee
dt
eeee
eeee
B d te
eeee
eeee
tttt
tttt
At
)B ( k TT)( k TB
)A ( k TT)( k TA
000
*
000
*
二,线性时变系统的离散化
1.精确法
2.近似法
)dB(Tk)( k TB
TkTk)( k TA
0
0
Tk
kT
00
*
000
*
)1(
,)1(
,)1(
)) u ( k T( k TB)) x ( k T( k TA1 ) T(kx
B ( t ) u ( t )A ( t ) x ( t )( t )x
00
*
00
*
0
以得到：对其进行离散化后，可态方程为已知线性时变系统的状
