第二章 控制系统的数学模型
§ 1 控制系统的运动方程式
确定系统的输入量和输出量
根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程
消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式列写系统运动方程的步骤入变量的运动方程。
为输压U为输出变量和以输入电压U
试求出以输出电成的电路，如图所示.
和电阻R 组设有由电感L,电容C 例1
12
L
i
U2U1
R
C
1
U
2
U
dt
2
du
RC
2
dt
2
U
2
d
LC
代入（3 ）并整理得
UCi 即 i
C
1
。
U 对（2 ）式求导得
（3 ）
2
U
dt
di
LRi
1
U
（2 ） idt
C
1
C
U
2
U
dt
di
L
L
U
Ri
R
U
（1 ）
C
U
L
U
R
U
1
U
有解：根据基尔霍夫定律
2
2
U2U1
R L
Ci
解：
系统的运动方程作用产生位移Y,求该物体受到外力系统，图中质量为m的如图所示为一弹簧阻尼 例2,
y
m m 0
dtdyf?
F K ）yfP
2
（m P
则有：
2
dt
2
d
2
P
dt
d
P 记
FKy
dt
dy
f
2
dt
y
2
d
m
dt
dy
f
f
F Ky
s
F
f
F
s
FFFma
根据牛顿定律输出量：位移y 输入量：外力F
yK
解：
试建立其数学模型已知二串联液体储罐,例3,
数—阀1,阀2 的阻力系—
2
，R
1
R
数—储罐1,2 的容量系—
2
，C
1
C
间）流出量的变化（单位时—阀2 开度改变引起的—
f
Q
（单位时间）的变化引起的流量变化
2
—液位h—
h
Q
1
h
1
k
1
1
Q
2
h
2
k
1
h
Q
dt
2
dh
2
C）
f
Q
h
（Q-
1
Q
dt
1
dh
1
C
1
Q
in
Q
f
，Q
IN
，输入量Q
2
输出量h
dt
f
dQ
2
R
1
T
f
Q
2
R
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
T
1
（T
2
dt
2
h
2
d
2
T
1
T
dt
f
dQ
2
R
1
R
1
C-
f
Q
2
R-
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
R
2
C
1
R
1
（C
2
dt
2
h
2
d
2
R
2
C
1
R
1
C
之间的关系式：
2
输出参数h
（干扰作用）与
f
（调节参数）和Q
in
参数Q消去中间变量可得输入
Ua 4
解：
的系统运动方程为输出量时及角位移动机输出轴角速度为输入变量和分别以电以电枢电压统，如图所示，试列写设有带载直流电动机系例
消去中间变量得：
磁力矩为在恒定磁场中产生的电电枢电流
，当电动机空载时，
成正比，即而电动机的反电动势与运动方程为：
流电动机电枢回路的根据基尔霍夫定律，直
iCMi
0M
CeE
UEiR
M
L
aa
fM
dt
d
J
dt
di
L
a
可得相应运动方程。为输出量，则根据关系若以
）（）（
，则由牛顿定律有时，当电动机输出轴带负载
）（）（
dt
d
MR
dt
dM
LUCCCfR
dt
d
fLJR
dt
d
JL
dt
La
L
aaMeMaaaa
2
2
L
L
aMeMaaa2
2
a
M-f-M
dt
d
J
0M
UCCCfR
dt
d
fLJR
d
JL
§ 2 非线性运动方程的线性化
§ 将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。
§ 小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。
解：
）处展开，进行线性化，在预期工作点（
），（的非线性函数和，将具有两个自变量例
00
1
YX
YXFZYX?
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXF
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXFYXF
YX
Y
YY
XX
Y
F
YX
YY
XX
YX
F
Y
YY
Y
F
X
XX
X
F
YXFYXFZ
YX
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
0
0
2
2
0
0
2
[
2
1
0
|
0
|
00
00
）（）（），（
）（
）（），（），（
项有的二阶及二阶以上高阶，忽略
）（）（
）（
！
），（），（
）邻域有，在（
XXfX
dx
df
XFXF
X
dX
fd
X
dx
df
XFXFY
YXXFY
XX
XXXX
）（）（）（）（
）（）（
！
）（）（）（
），）线性化，工作点为（（将例
，
00
2
2
2
0
00
0
00
2
1
.2
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲线。
说明：
A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或偏导数存在,如图所示的继电器特性,的各界导数处处不存在,本质非线性；
B.必须明确工作点的参数；
C.如果非线性运动方程较接近线性时,则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用,反之,只能适用于变量的微小变化 。
1X
§ 3 传递函数与方块图
—,定义传递函数,初始条件为 零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
)(
1
)
1
1
10
(
)(
2
)
1
2
1
1
0
(
,
tx
m
bp
m
b
m
pb
m
pb
tx
n
ap
n
a
n
pa
n
pa
n
p
为设描述系统的微分方程解：
网络的传递函数，试求例 CLR1
1
2
1
1
2
12
1
2
12
1
2
L C P
R C SL C SSU
SU
SG
SUSUR C SL C P
tUtUR C P
）（）（
条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始
）（）（）（由前面知
naSna
n
Sa
n
S
mb
m
Sb
m
Sb
SX
SX
SG
1
1
1
1
10
)(
1
)(
2
则其传递函数为二 传递函数的性质
1,线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。
2,传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关,但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。
)),.....(
2
)(
1
P-(S
)),.....(
2
)(
1
Z-(S
kG ( S )
nPSPS
mZSZS
3.传递函数是复变量 S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数
N大于等于分子多项式的次数 M,。MN?
4.传递函数写成的形式,则 和 为 G(S)
的零点和极点 。 mZZZZ?321,,nPPPP?321,,
5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。
G(S)X1(S)
X2(S)
X(S) X(S)
X(S)
( S )G ( S ) X( S )X 12?
三,方块图
1.定义,每个环节的功能和信号流向的图解表示；
(3).分支点,信号分出的一点,称为分支点,通过分支点的信号都是相同的；
(4).方框,对信号进行的数学变换；
( S )X-( S )XE ( S ) 21?
2.常用符号及术语
E(S)X1(S)
X2(S)
(2).相加点 (比较点）
(1).信号线,带箭头的直线,箭头表示信号方向；
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
（ 5）,方框图的串联,并联,反馈连接 。
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
)(
n
G( S )
2
( S ) G
1
GG ( S ) S
( S )( S ) GGG ( S )
)()()(X
)()()(X
21
113
322
SXSGS
SXSGS
3,方框图的运算
(1)串联连接的传递函数结论：二环节串联传递函数等于二传函之积 。
推广,N环节串联,传递函数等于 N个环节传函之积 。
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
)(.,,,)()()( 21 SGSGSGSG n
)()(
)(
)()(
( S )X
( S )X
G( S ) 21
1
43
1
2 SGSG
SX
SXSX
(2)并联连接的传递函数结论：二环节并联,其等效传函等于二环节传函之和 。
推广,N环节并联,其等效传函等于各环节传函之和 。
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
)()(1
)(
)(
( S )X
( S )
( S )( S ) X( S ) GG-( S )( S ) XG( S )X
( S ) ]( S ) XG-( S )( S ) [ XG( S )X ( 4 )( 3 )
( 4 ) Y ( S ) ]-( S )( S ) [ XG( S )X ( 1 )( 2 )
( 3 ) ( S )( S ) XGY ( S )
( 2 ) Y ( S )-( S )X( S )
( 1 ) )()()(
21
1
1
2
221112
22112
112
22
1
12
SGSG
SG
SX
E
SESGSX
代入代入
(3)反馈回路传递函数的求取前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；
反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道 。
反馈通道传函前向通道传函前向通道传函闭环传函
1
当为正反馈时
)()(1
)(
)(
21
1
SGSG
SG
S
结论：
)1(
:1 递函数试求如图所示系统的传例
G1(S)
G2(S)
G3(S)
G4(S)
( S )( S ) G( S ) GG( S )( S ) G( S ) GG
)()]()()[()(
431421
4321
SGSGSGSGSG
)()()()(1
( S )( S ) GG
( S )
4321
21
SGSGSGSG?
(2) G1(S)
G2(S)
G3(S) G4(S)
§ 4 控制系统的传递函数
)(
)()()(1
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
21
2
21
21
12
2
11
SF
SHSGSG
SG
SR
SHSGSG
SGSG
SC
SFSXSX
SXSGSC
SCSHSY
SYSRS
SSGSX
G1(S) G2(S)
H(S)
R(S) X1(S) X
2(S)
Y(S)
-
C(S)?(S)
F(S)
(1)若则定义,C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭环传函,记为,即开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积称为开环传函,记为 G(S)。
单位反馈：若 H(S)=1,则系统称为单位反馈系统 。
)(S?
)()()(1
)()(
)(
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
21
21
SHSGSG
SGSG
SR
SC
S
SHSGSG
SGSG
SR
SC
0)(?SF
(2)若定义,C(S)/F(S)为被控信号对于扰动信号的闭环传函,记为 。
(3)
令 称为误差传函
(S)-1(S)
(S),
)(1
)(
)(
)(
)(
)()(
2
)(
1
1
)()()(
2
(S)H (S)
2
(S)G
1
G1
R(S)
(S)
)(
)()(
2
)(
1
1
)(
2
)(
)(
0)(
e
e
SG
SR
SR
s
S
e
SHSGSG
SFSHSG
S
f
SHSGSG
SG
SF
SC
SR
)(Sf?
§ 5 控制系统方框图及其简化控制系统方框图：应用函数方框把控制系统的全部变量联系起来以描述信号在系统中流通过程的图示 。
一,方框图的绘制步骤,
1.写出组成系统的各环节的运动方程 (传递函数 )；
2,根据传递函数画出相应的函数方框；
3,按信号流向将函数方框一一连接起来 。
:
1
解源网络的结构图试绘制如图所示无例式有由 (1)
(4))(CS1(S)IRc1
(3)I(S)R(S)U
(2)(S)U(S)RI(S)U
(1)(S)I(S)II(S)
211112
2020
011i011
2121
SIiRdti
iRu
uRiui
iii
C
i i1
i2
R1 R2U
i
U0
I2(S)
I1(S) I(S)++
R1 CS
I1(S)
I2(S)
R2
I(S) U0(S)
)]()([
1
)(
)2(
0i1 SUSU
R
SI
式变换对
U0(S)UI(S) I1(S)
1/R+
-
)()(
)4(
112 SCS IRSI?
式变换对式有对 )3(
Ui(S) U0(S)I1(S) I2(S) I(S)
+-U
0(S)
1/R R2CSR1 +
二,方框图的简化
G(S)
G(S)X1
X2
X2
X2
X1
X2G(S)
G(S) X2X1
X1
(1)分支点前移分支点等效移动规则分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
(2) 分支点后移分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数的方框 。
G(S)
1/G(S)
X1 X2
X1
G(S)
1/G(S)
X1
X2
X3
-
G(S)X
1
X2
X3
-
x2
x3
x1
G(s)
G(s)
G(s)
x1 x2
x3
(1) 相加点前移
2,相加点等效移动规则相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框
(2) 相加点后移相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
G1 G2 G3 G4
G5
G7
G6
-
-
-
B
A
并求其闭环传递函数。
试对其进行简化图所示设多环系统的方框图如例
,,1
(1) 前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；
(2) 各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变 。
3.方框图的简化原则处移至将分支点解 BA:
G1 G2 G3 G4
G4G5
G7
G6
-
-
-
点后移或者相加点后移另外亦可把则得将系统的闭环传函
B
GGGGGGGGGGG
GGGG
S
632543743211
4321
)(
§ 6 信号流图
x1 x4x3x2a bc 1
节点：用以表示变量或信号的点称为节点,用
,o”表示 。
传输：两节点间的增益或传递函数称为传输 。
支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段支路的增益即为传输 。
源点：只有输出支路而无输入支路的节点 （ 与系统的输入信号相对应 ） 。
一,信号流图的常用术语,
阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点,与输出信号相对应 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点 。
通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径 。
开通路：如通路与任意节点相交不多于一次,称为开通路 。
闭通路：如果通路的终点就是通路的起点,而与任何其它 节点相交次数不多于一次,则称为闭通路或回路 。
回路增益：回路中各支路传输的乘积 。
不接触回路：回路间没有任何共有节点,则称其为不接触回路 。
前向通路：从源点到阱点的通路上,通过任何节点不多于一次,称为前向通路,前向通路中各支路传输的乘积,称为前向通路增益 。
二,信号流图的基本性质
x1 x4x3x2a bc 1
1,以节点代表变量,源点代表输入量,阱点代表输出量,用混合节点代表变量或信号的汇合 。 在混合节点处,出支路的信号等于各支路信号的叠加 。
2,以支路表示变量或信号的传输和变换过程,信号只能沿着支路的箭头方向传输 。 在信号流图中每经过一条支路,相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节 。
3,增加一个具有单位传输的支路,可以把混合节点化为阱点 。
4,对于同一系统,信号流图的形式不是唯一的 。 信号流图和方框图是一一对应的,且可以互相转化 。
三,信号流图的简化
X1
X2
X3 X4a1
a2
a3 X1
X2
X4a1a3
a2a4
a
b
X1 X2
X1 X2aba?1
(1) 串联支路的总传输等于各支路传输之积 ;
(2) 并联支路的总传输等于各支路传输之和 ;
(3) 混合节点可以通过移动支路的方法消去 ;
(4) 回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路 。
四,梅森增益公式余子式。称为前向通道特征式的后的特征式路条前向通道相接触的回中除去与第在益乘积之和每三个互不接触回路增乘积之和每两互不接触回路增益所有回路增益之和其中即信号流图的特征式条前相通道的通路增益第总增益
,
L:
....,..L-1
,--
1
p
a
a
bca
a
1
K
LLL
LL
LLLLL
Kp
p
p
k
d e f
fed
bc
cb
d e f
fedcb
k
n
k
kk
。图所示系统的传递函数使用梅森增益公式求下例 1
74321543632
4321
11
11
74321543632321
74321354323211
43211
GGGGGGGGGGG1
GGGG
P
1
P
R ( S )
C ( S )
)( 1
1)(1
GGGGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
接触三个回路均与不存在互不接触回路各回路增益分别为信号流图共有三个回路间只有一条前向通路与解
P
GGGGGGGGGGGLLL
GGGL
GGGGP
SC
R(S) 1 1G1
-G7
-G6
-G5
G3G2 C(S)G4
例 2.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数
R(S) 1 1G1 G3G2
C(S)
G4
-1
-H1-H2
CG1 G2 G3
G4
- - -
H1
H2
R
4124232321121
41321
2211
21
21
4124232321121
54321
415244
232332121211
4123211
1
GGGGG
PP
1
P
R ( S )
C ( S )
1 1
1
)(1
GGL HGL
HGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
GGHGHGGGGGHGG
PP
GGHGHGGGGGHGG
LLLLL
HGGL
GGPGGGP
SC
接触和五个回路均与不存在互不接触回路各回路增益分别为信号流图共有五个回路间有两条前向通路与解
§ 1 控制系统的运动方程式
确定系统的输入量和输出量
根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程
消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式列写系统运动方程的步骤入变量的运动方程。
为输压U为输出变量和以输入电压U
试求出以输出电成的电路，如图所示.
和电阻R 组设有由电感L,电容C 例1
12
L
i
U2U1
R
C
1
U
2
U
dt
2
du
RC
2
dt
2
U
2
d
LC
代入（3 ）并整理得
UCi 即 i
C
1
。
U 对（2 ）式求导得
（3 ）
2
U
dt
di
LRi
1
U
（2 ） idt
C
1
C
U
2
U
dt
di
L
L
U
Ri
R
U
（1 ）
C
U
L
U
R
U
1
U
有解：根据基尔霍夫定律
2
2
U2U1
R L
Ci
解：
系统的运动方程作用产生位移Y,求该物体受到外力系统，图中质量为m的如图所示为一弹簧阻尼 例2,
y
m m 0
dtdyf?
F K ）yfP
2
（m P
则有：
2
dt
2
d
2
P
dt
d
P 记
FKy
dt
dy
f
2
dt
y
2
d
m
dt
dy
f
f
F Ky
s
F
f
F
s
FFFma
根据牛顿定律输出量：位移y 输入量：外力F
yK
解：
试建立其数学模型已知二串联液体储罐,例3,
数—阀1,阀2 的阻力系—
2
，R
1
R
数—储罐1,2 的容量系—
2
，C
1
C
间）流出量的变化（单位时—阀2 开度改变引起的—
f
Q
（单位时间）的变化引起的流量变化
2
—液位h—
h
Q
1
h
1
k
1
1
Q
2
h
2
k
1
h
Q
dt
2
dh
2
C）
f
Q
h
（Q-
1
Q
dt
1
dh
1
C
1
Q
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Q
f
，Q
IN
，输入量Q
2
输出量h
dt
f
dQ
2
R
1
T
f
Q
2
R
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Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
T
1
（T
2
dt
2
h
2
d
2
T
1
T
dt
f
dQ
2
R
1
R
1
C-
f
Q
2
R-
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
R
2
C
1
R
1
（C
2
dt
2
h
2
d
2
R
2
C
1
R
1
C
之间的关系式：
2
输出参数h
（干扰作用）与
f
（调节参数）和Q
in
参数Q消去中间变量可得输入
Ua 4
解：
的系统运动方程为输出量时及角位移动机输出轴角速度为输入变量和分别以电以电枢电压统，如图所示，试列写设有带载直流电动机系例
消去中间变量得：
磁力矩为在恒定磁场中产生的电电枢电流
，当电动机空载时，
成正比，即而电动机的反电动势与运动方程为：
流电动机电枢回路的根据基尔霍夫定律，直
iCMi
0M
CeE
UEiR
M
L
aa
fM
dt
d
J
dt
di
L
a
可得相应运动方程。为输出量，则根据关系若以
）（）（
，则由牛顿定律有时，当电动机输出轴带负载
）（）（
dt
d
MR
dt
dM
LUCCCfR
dt
d
fLJR
dt
d
JL
dt
La
L
aaMeMaaaa
2
2
L
L
aMeMaaa2
2
a
M-f-M
dt
d
J
0M
UCCCfR
dt
d
fLJR
d
JL
§ 2 非线性运动方程的线性化
§ 将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。
§ 小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。
解：
）处展开，进行线性化，在预期工作点（
），（的非线性函数和，将具有两个自变量例
00
1
YX
YXFZYX?
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXF
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXFYXF
YX
Y
YY
XX
Y
F
YX
YY
XX
YX
F
Y
YY
Y
F
X
XX
X
F
YXFYXFZ
YX
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
0
0
2
2
0
0
2
[
2
1
0
|
0
|
00
00
）（）（），（
）（
）（），（），（
项有的二阶及二阶以上高阶，忽略
）（）（
）（
！
），（），（
）邻域有，在（
XXfX
dx
df
XFXF
X
dX
fd
X
dx
df
XFXFY
YXXFY
XX
XXXX
）（）（）（）（
）（）（
！
）（）（）（
），）线性化，工作点为（（将例
，
00
2
2
2
0
00
0
00
2
1
.2
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲线。
说明：
A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或偏导数存在,如图所示的继电器特性,的各界导数处处不存在,本质非线性；
B.必须明确工作点的参数；
C.如果非线性运动方程较接近线性时,则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用,反之,只能适用于变量的微小变化 。
1X
§ 3 传递函数与方块图
—,定义传递函数,初始条件为 零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
)(
1
)
1
1
10
(
)(
2
)
1
2
1
1
0
(
,
tx
m
bp
m
b
m
pb
m
pb
tx
n
ap
n
a
n
pa
n
pa
n
p
为设描述系统的微分方程解：
网络的传递函数，试求例 CLR1
1
2
1
1
2
12
1
2
12
1
2
L C P
R C SL C SSU
SU
SG
SUSUR C SL C P
tUtUR C P
）（）（
条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始
）（）（）（由前面知
naSna
n
Sa
n
S
mb
m
Sb
m
Sb
SX
SX
SG
1
1
1
1
10
)(
1
)(
2
则其传递函数为二 传递函数的性质
1,线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。
2,传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关,但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。
)),.....(
2
)(
1
P-(S
)),.....(
2
)(
1
Z-(S
kG ( S )
nPSPS
mZSZS
3.传递函数是复变量 S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数
N大于等于分子多项式的次数 M,。MN?
4.传递函数写成的形式,则 和 为 G(S)
的零点和极点 。 mZZZZ?321,,nPPPP?321,,
5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。
G(S)X1(S)
X2(S)
X(S) X(S)
X(S)
( S )G ( S ) X( S )X 12?
三,方块图
1.定义,每个环节的功能和信号流向的图解表示；
(3).分支点,信号分出的一点,称为分支点,通过分支点的信号都是相同的；
(4).方框,对信号进行的数学变换；
( S )X-( S )XE ( S ) 21?
2.常用符号及术语
E(S)X1(S)
X2(S)
(2).相加点 (比较点）
(1).信号线,带箭头的直线,箭头表示信号方向；
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
（ 5）,方框图的串联,并联,反馈连接 。
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
)(
n
G( S )
2
( S ) G
1
GG ( S ) S
( S )( S ) GGG ( S )
)()()(X
)()()(X
21
113
322
SXSGS
SXSGS
3,方框图的运算
(1)串联连接的传递函数结论：二环节串联传递函数等于二传函之积 。
推广,N环节串联,传递函数等于 N个环节传函之积 。
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
)(.,,,)()()( 21 SGSGSGSG n
)()(
)(
)()(
( S )X
( S )X
G( S ) 21
1
43
1
2 SGSG
SX
SXSX
(2)并联连接的传递函数结论：二环节并联,其等效传函等于二环节传函之和 。
推广,N环节并联,其等效传函等于各环节传函之和 。
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
)()(1
)(
)(
( S )X
( S )
( S )( S ) X( S ) GG-( S )( S ) XG( S )X
( S ) ]( S ) XG-( S )( S ) [ XG( S )X ( 4 )( 3 )
( 4 ) Y ( S ) ]-( S )( S ) [ XG( S )X ( 1 )( 2 )
( 3 ) ( S )( S ) XGY ( S )
( 2 ) Y ( S )-( S )X( S )
( 1 ) )()()(
21
1
1
2
221112
22112
112
22
1
12
SGSG
SG
SX
E
SESGSX
代入代入
(3)反馈回路传递函数的求取前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；
反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道 。
反馈通道传函前向通道传函前向通道传函闭环传函
1
当为正反馈时
)()(1
)(
)(
21
1
SGSG
SG
S
结论：
)1(
:1 递函数试求如图所示系统的传例
G1(S)
G2(S)
G3(S)
G4(S)
( S )( S ) G( S ) GG( S )( S ) G( S ) GG
)()]()()[()(
431421
4321
SGSGSGSGSG
)()()()(1
( S )( S ) GG
( S )
4321
21
SGSGSGSG?
(2) G1(S)
G2(S)
G3(S) G4(S)
§ 4 控制系统的传递函数
)(
)()()(1
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
21
2
21
21
12
2
11
SF
SHSGSG
SG
SR
SHSGSG
SGSG
SC
SFSXSX
SXSGSC
SCSHSY
SYSRS
SSGSX
G1(S) G2(S)
H(S)
R(S) X1(S) X
2(S)
Y(S)
-
C(S)?(S)
F(S)
(1)若则定义,C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭环传函,记为,即开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积称为开环传函,记为 G(S)。
单位反馈：若 H(S)=1,则系统称为单位反馈系统 。
)(S?
)()()(1
)()(
)(
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
21
21
SHSGSG
SGSG
SR
SC
S
SHSGSG
SGSG
SR
SC
0)(?SF
(2)若定义,C(S)/F(S)为被控信号对于扰动信号的闭环传函,记为 。
(3)
令 称为误差传函
(S)-1(S)
(S),
)(1
)(
)(
)(
)(
)()(
2
)(
1
1
)()()(
2
(S)H (S)
2
(S)G
1
G1
R(S)
(S)
)(
)()(
2
)(
1
1
)(
2
)(
)(
0)(
e
e
SG
SR
SR
s
S
e
SHSGSG
SFSHSG
S
f
SHSGSG
SG
SF
SC
SR
)(Sf?
§ 5 控制系统方框图及其简化控制系统方框图：应用函数方框把控制系统的全部变量联系起来以描述信号在系统中流通过程的图示 。
一,方框图的绘制步骤,
1.写出组成系统的各环节的运动方程 (传递函数 )；
2,根据传递函数画出相应的函数方框；
3,按信号流向将函数方框一一连接起来 。
:
1
解源网络的结构图试绘制如图所示无例式有由 (1)
(4))(CS1(S)IRc1
(3)I(S)R(S)U
(2)(S)U(S)RI(S)U
(1)(S)I(S)II(S)
211112
2020
011i011
2121
SIiRdti
iRu
uRiui
iii
C
i i1
i2
R1 R2U
i
U0
I2(S)
I1(S) I(S)++
R1 CS
I1(S)
I2(S)
R2
I(S) U0(S)
)]()([
1
)(
)2(
0i1 SUSU
R
SI
式变换对
U0(S)UI(S) I1(S)
1/R+
-
)()(
)4(
112 SCS IRSI?
式变换对式有对 )3(
Ui(S) U0(S)I1(S) I2(S) I(S)
+-U
0(S)
1/R R2CSR1 +
二,方框图的简化
G(S)
G(S)X1
X2
X2
X2
X1
X2G(S)
G(S) X2X1
X1
(1)分支点前移分支点等效移动规则分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
(2) 分支点后移分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数的方框 。
G(S)
1/G(S)
X1 X2
X1
G(S)
1/G(S)
X1
X2
X3
-
G(S)X
1
X2
X3
-
x2
x3
x1
G(s)
G(s)
G(s)
x1 x2
x3
(1) 相加点前移
2,相加点等效移动规则相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框
(2) 相加点后移相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
G1 G2 G3 G4
G5
G7
G6
-
-
-
B
A
并求其闭环传递函数。
试对其进行简化图所示设多环系统的方框图如例
,,1
(1) 前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；
(2) 各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变 。
3.方框图的简化原则处移至将分支点解 BA:
G1 G2 G3 G4
G4G5
G7
G6
-
-
-
点后移或者相加点后移另外亦可把则得将系统的闭环传函
B
GGGGGGGGGGG
GGGG
S
632543743211
4321
)(
§ 6 信号流图
x1 x4x3x2a bc 1
节点：用以表示变量或信号的点称为节点,用
,o”表示 。
传输：两节点间的增益或传递函数称为传输 。
支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段支路的增益即为传输 。
源点：只有输出支路而无输入支路的节点 （ 与系统的输入信号相对应 ） 。
一,信号流图的常用术语,
阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点,与输出信号相对应 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点 。
通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径 。
开通路：如通路与任意节点相交不多于一次,称为开通路 。
闭通路：如果通路的终点就是通路的起点,而与任何其它 节点相交次数不多于一次,则称为闭通路或回路 。
回路增益：回路中各支路传输的乘积 。
不接触回路：回路间没有任何共有节点,则称其为不接触回路 。
前向通路：从源点到阱点的通路上,通过任何节点不多于一次,称为前向通路,前向通路中各支路传输的乘积,称为前向通路增益 。
二,信号流图的基本性质
x1 x4x3x2a bc 1
1,以节点代表变量,源点代表输入量,阱点代表输出量,用混合节点代表变量或信号的汇合 。 在混合节点处,出支路的信号等于各支路信号的叠加 。
2,以支路表示变量或信号的传输和变换过程,信号只能沿着支路的箭头方向传输 。 在信号流图中每经过一条支路,相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节 。
3,增加一个具有单位传输的支路,可以把混合节点化为阱点 。
4,对于同一系统,信号流图的形式不是唯一的 。 信号流图和方框图是一一对应的,且可以互相转化 。
三,信号流图的简化
X1
X2
X3 X4a1
a2
a3 X1
X2
X4a1a3
a2a4
a
b
X1 X2
X1 X2aba?1
(1) 串联支路的总传输等于各支路传输之积 ;
(2) 并联支路的总传输等于各支路传输之和 ;
(3) 混合节点可以通过移动支路的方法消去 ;
(4) 回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路 。
四,梅森增益公式余子式。称为前向通道特征式的后的特征式路条前向通道相接触的回中除去与第在益乘积之和每三个互不接触回路增乘积之和每两互不接触回路增益所有回路增益之和其中即信号流图的特征式条前相通道的通路增益第总增益
,
L:
....,..L-1
,--
1
p
a
a
bca
a
1
K
LLL
LL
LLLLL
Kp
p
p
k
d e f
fed
bc
cb
d e f
fedcb
k
n
k
kk
。图所示系统的传递函数使用梅森增益公式求下例 1
74321543632
4321
11
11
74321543632321
74321354323211
43211
GGGGGGGGGGG1
GGGG
P
1
P
R ( S )
C ( S )
)( 1
1)(1
GGGGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
接触三个回路均与不存在互不接触回路各回路增益分别为信号流图共有三个回路间只有一条前向通路与解
P
GGGGGGGGGGGLLL
GGGL
GGGGP
SC
R(S) 1 1G1
-G7
-G6
-G5
G3G2 C(S)G4
例 2.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数
R(S) 1 1G1 G3G2
C(S)
G4
-1
-H1-H2
CG1 G2 G3
G4
- - -
H1
H2
R
4124232321121
41321
2211
21
21
4124232321121
54321
415244
232332121211
4123211
1
GGGGG
PP
1
P
R ( S )
C ( S )
1 1
1
)(1
GGL HGL
HGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
GGHGHGGGGGHGG
PP
GGHGHGGGGGHGG
LLLLL
HGGL
GGPGGGP
SC
接触和五个回路均与不存在互不接触回路各回路增益分别为信号流图共有五个回路间有两条前向通路与解
