第五章 线性系统的频域分析
§ 1 频率响应及其描述
1
1
2
1
12j
1
)(
s1
1
d
1
1
2
1
12j
1
-)(
s1
1
d
j-s
d
js
d
1s1
1
( S ) U
t A s i n U
RCT
UUT
RC
22
222
22
221
21
220
i
1TS
1
( S )U
( S )U
i0dt
dU
i
0
0
j a r c t g T
js
j a r c t g T
js
eTjjT
A
js
A
Ts
eTjjT
A
js
A
Ts
Ts
aA
Ts
则设式中网络的微分方程为右图所示的
R
UI U0C
一．频率特性
a.RC网络
1.频率特性的基本概念
22
2
22 1)1(s1
1a
1
T
TATsa
Ts Ts?
j
e
a r c t g Tt
ededtU
edede
j
tjtj
tjtj
T
t
2
e
s i n
)s i n (
)(lim
( t )U
j
T1
A
210
t
21T
a
0
22
这里应用欧拉公式
jS1TS
1
Tj1
1
Tj1
1
j
jT1
1
Tj a r c t g-
T1
1
1
1
3,
,
,
,
ee2.
).(ar c t gT -
),(
,,1.
:
)jT(1
1
22
22
率特性的频称为网络变化的规律频率和相角随正弦输入电压稳态输出时电压幅值入作用下它描述了网络在正弦输相频特性滞后相角比输入电压幅频特性幅值是输入电压的其频率与输入电压相同弦电压网络的稳态输出仍是正说明
T
)( y
,,,,,
ec ec ed ed(t) y
)j-)(sj(s)())((
)(
Y ( S )
X ( s ) txs i nX ( t )
)(
)())((
)(
Y ( s )
)())((
)(
)(
)(
G ( s )
)(
)(
G ( s )
.
21ss
21
ts
n
ts
1
tj
2
tj-
1
1
121
21
22
21
21
n1
tjtj
n
n
n
n
n
n
ededt
t
SSS
ss
c
ss
c
js
d
js
d
x
ssssss
sB
s
x
sX
ssssss
sB
ssssss
sB
sA
sB
sX
sY
b
时所以当都有负实部由于极点对于稳定系统一般系统
|)G ( - j||)G ( j|
)G ( - j - e|)G ( - j|)G ( - j
)G ( j e|)G ( j|)G ( j
2j
)XG ( j
)j-(s
s
X
G ( s )d
2j
)XG ( - j
-)j(s
s
X
G ( s )d
j-
j
jS222
-jS221
)tY s i n (( t )y
2
|)G ( j|
2
e|)G ( j|
2
e|)G ( j|
-( t )y
ss
)()(
j-j
ss
j
ee
X
e
j
X
e
j
X
tjtj
tjtj
,
,:
G ( s ))G ( j 4.
e)G ( j)G ( j
,3.
,
)0()0(,
,,
,2.
|)G ( j|Y / X,
1.
,
js
)G ( jj
系统的理论依据。够从频率特性出发研究这就是频率响应能表征了系统的运动规律也及微分方程一样频率特性和传递函数以结论频率特性的求取记为称为频率特性幅频特性和相频特性总特性的或滞后其相位产生超前的谐波信号时当系统输入不同频率它描述在稳态情况下为相频特性称的非线性函数是相位差输出信号与输入信号的称为幅频特性线性函数的非与输入信号的幅值比是在稳态求出的输出信号说明
微分方程频率特性传递函数 系统
pj
js?
ps?
§ 2 典型环节的频率响应
.
,
,N y qu i s t,
)G ( j,0,
)(
)V(
a r c t g)G ( j
)()U(|)G ( j|
)j V ()U ( j)G ( j
)G ( j,
)j V ()U()]I m [ G ( j)]R e [ G ( j)G ( j
.
)12()1(
12
1
1
1
s
1
K
1sasasa
1)sbsbsK ( b
G ( s )
.
1
1
2
1
2
1
111
11
22
)(
11
22
)(
11
v
1
1-n
1-n
n
n
1
1-m
1-m
m
m
2
1
2
1
性和相频特性而且也表示幅频特特性表示了实频特性和虚频它不仅图或称图即为频率特性的极坐标端点的轨迹时从当极坐标图则坐标来表示可以用一矢量及其端点时当极坐标图二环节控制系统中常见的典型一
U
V
SSs
sTsTsT
iii
lm
j
j
l
j
iii
hvn
i
i
h
i
Im
0
1
Re
90)G ( j |)G ( j|
)G ( j G ( s )
3,
90)G ( j 0|)G ( j|
- 90)G ( j |)G ( j| 0
- 90)G ( j |)G ( j|
)G ( j G ( s )
2,
0)G ( j
K|)G ( j|
K)G ( j sG
1,
.
1
j
1
s
1
js
K
微分环节积分环节比例环节频率响应典型环节的极坐标图及三
0 Re
Im
0
K Re
Im
0 ) V (0
T) V (1)U(
Tj1)G ( j 1TSG ( S )
5.
)V()G ( j 0
)( )- (V)-(U
)]I m [ G ( j) V ()]R e [ ( j)U(
90)G ( j 0|)G ( j|
45)G ( j 707.0|)G ( j|
0)G ( j |)G ( j| 0
- ar c t gT)G ( j |)G ( j|
)G ( j G ( S )
.4
2
2
K
)1(
TK
2
2
K
T1
K
22
2
K
1
KT-
T1
K
2
21
T1
K
1
)1(
11
222
222
22
2222
22
22
一阶微分环节恒为负与时为下半圆当惯性环节
T
T
T
T
jTK
jT
K
TS
K
KK
K
Im
Re
0
T1
Im
Re
极坐标图型的形状不同的取值不同振荡环节
,
180)G ( j 0|)G ( j|
90)G ( j |)G ( j| 1
0)G ( j 1|)G ( j| 0 0
- a r c t g)G ( j |)G ( j|
)V(
) U (
)G ( j
10 G ( S )
.6
2
1
-1
2
4)-(1
1
)2()1(
2
)2()1(
1
)2()1(
21
2)(1
1
2
2
2
222
222
222
2
222
2
222
2
22
2
n
j
jj
SS
n
nn
nn
n
nn
n
1?
2?
3?
321
n?
n?
n?
180)G ( j |)G ( j|
90)G ( j 2|)G ( j| 1
0)G ( j 1|)G ( j| 0 0
-1
2
a r c t g)G ( j
4)-(1|)G ( j|
2)1(12-T)G ( j
1
T 12TG ( S)
.7
2
2222
n
222
n
22
n
jTj
TSS
二阶微分环节
(1,j0)
- 90)G ( j 0|)G ( j|
- 135)G ( j |)G ( j|
- 180)G ( j 1|)G ( j| 0
T-j) v (-1)u( - 180)G ( j
|)G ( j|
)G ( j
G ( S )
.9
,
1)(v)(u
-)G ( j 1|)G ( j|
- s i n) v (c os)u(
j s i n-c ose)G ( j
eG ( S )
.8
2
11
T1
1
T1
Tj-1-
1-Tj
1
1-TS
1
22
j-
s-
22
22
T
Tar c t g
不稳定环节环端点在单位圆上无限循极坐标图为一单位圆延时环节
=0
Re
Im
0(-1,j0)
0
,
G ( s ) 1,1)s ( T sK
解图。试绘制其例 N y q u is t
0)V(lim )U(lim
)][ G ( jIm)V(
-)]R e [ G ( j) U (
j- )G ( j
- 180)G ( j 0|)G ( j|
- 90)G ( j |)G ( j| 0
- 90)G ( j
|)G ( j|
)G ( j
00
)T(1
k-
T1
KT
)T(1
K
T1
KT-
T1
K
)jT(1j
K
22
22
2222
22
kT
ar c t gT
Re-(kT,j0)
Im
0
四．极坐标图举例
,
G ( S ) 2,S)TS ) ( 1T(1S K
21
2
解例
图与虚轴的交点由此得出这时得令
N y qu i s t
)K ( T
)]I m [ G ( j
T
1
0)]R e [ G ( j
)]I m [ G ( j)]R e [ G ( j)G ( j
- 36 0)G ( j 0|)G ( j|
- 18 0)G ( j |)G ( j| 0
T- 18 0)G ( j
T1T1
|)G ( j|
)T)(1T(1)(j
)G ( j
21
21
21
21
22
2
22
1
2
21
2
2
3
TT
T
T
ar c t gar c t gT
K
jj
K
,
)T(T G ( S ) 3,12)1( 1)SK ( T
2
1
解例STS
)(lim
)()(lim
)T(1
)1(
T1
)(
)G ( j
- 90)G ( j 0|)G ( j|
- 90)G ( j |)G ( j| 0
- 90)G ( j
1
T1K
|)G ( j|
0
21
0
22
2
21
22
21
21
22
2
22
1
V
TTKU
TTK
j
TTk
ar c t gTar c t gT
T
Re
K(T1-T2)
Im
)()(
)(1
)(
)(
)(1
)(
)(
)()](1[ )(1
)()(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)1(
)(1
)(
)(
)(
.
111
1
1
1
111
11
)(
jG
jG
QA
OA
jG
jG
A
jGjGQA
jG
N y qui s tjG
eA
jG
jG
jR
jC
sG
sG
sR
sC
j
图中在开环频率响应向量作图法应单位反馈系统的频率响二
G(s)
A
Q
O-1
)( 1
)( 1
)( 1
Im
Rm
2
2
2
22
2
2
22
22
2
)
1
()
1
(
)1(
1QA
OA
M
jVU)G ( j
M
)2(
M
M
V
M
M
U
VU
VU
M
jVU
jVU
圆图等查图表法
222
21
21
21
)
2
1
(
4
1
)
2
1
()
2
1
(U
1
)(,
U1
V
a r c t g
U
V
a r c t g
1
NN
V
tgtg
tgtg
tgNtg
jVU
jVU
N
得由记圆图等
§ 5 Nyquist稳定判据部。的全部零点均具有负实现在却变成辅助函数有负实部的全部极点均具是原系统稳定的充要条件由上述关系知由此我们看到选取辅助函数开环传函为函为右图所示系统的闭环传辅助函数一
)(,
)(,
)())((
)Z-(S)Z-)(SZ-k( S
G ( S ) H ( S )1F ( S )
)())((
bsbsbsb
G ( S ) H ( S )( S )G
G ( S ) H ( S )1
G ( S )
( S )G
.
21
n21
21
01
1-m
1-m
m
m
k
B
SF
SG
pspspss
pspspss
B
vn
v
vn
v
GB(S)
零点 极点相同
F(S)
零点 极点相同
GK(S)
零点 极点
G(s) C(s)R(s)
H(s)
不包围原点表示次逆时针包围原点表示次顺时针包围原点表示点的次数按顺时针方向包围原平面上的映射在运动沿以顺时针方向当点在这种情况下的任何极点与零点不通过而内平面的封闭轨线部极点与零点均分布在的全以及点数目其中包括重极点与重零的零点数目为极点数目为又设为单值连续正则函数点外平面的有限个奇除在是复变量的多项式之比设幅角原理二
F
F
F
FSS
SS
N
N
N
SF
SSF
S
SF
SFZSFP
SSF
0
0N
0N
P-ZN
)]([,
,.)(
,
)(,,
)(,)(.,
,)(
.
-2)Z-(SF ( S )
,,2)(
,
,)(
,( a )S)Z-(S
)P-(S--)P-(S-)Z-(S)Z-(SF ( S )
F ( S )
)()(
,B
,F ( S ),
,
,,
:
i
Si
n1n1
)P-(S)P-(S
)Z-(S)Z-k ( S
S
n1
n1
所以其余均为零外等于除了时而不含极点与其他零点含零点内只当的相位角变化即向量复数路线变动时的按图表示这里的变化的相位角造成了这个变化回到点点出发沿它从也相应的变化这样变化时当回到原来的位置顺时针转一圈绕从这点移动使上选择点在有关幅角定理的说明
i
i
Si
F
i
ZS
Z
ZS
SFSF
B
S
Z
SA
jw
S
A
.Zi
(a)
[S]
B
F Re
Im [F(S)]
(b)
( 3)
( 2),( 1),,R( 3)
,-( 2)( 1),
,s
,
a,s
( 1),s
,
.
s
面。段就封闭了整个右半平因此的趋于无穷大的圆弧组成段由半径的整个虚轴组成到两段是由其中轨线。
称为为平面右半部的封闭轨线的整个可选包括虚轴在内况下在虚轴无开环极点的情的情况平面虚轴上无开环极点轨迹平面的推导稳定判据三
N y qu i s t
N y qu i s t
N y qu i s t
s
jw
(3)
(1)
(2)
r
0
[s]
s
,
.
,0,
,
,,
,)(
,
)(,
.
极点的情况相同。
同时和虚轴不含开环内包围在修正轨线与极点都将平面右半部的全部零点所以零也将趋于时当修正回避掉的一些面积由于这些右侧绕过反时针方向从这些点的按以无穷小为半径的圆弧补以该点为圆心则在这些点增平面的原点或虚轴上时点处于所以当函数有若干个极的任何极点函数不能通过由于应用幅角定理时的情况平面原点处有开环极点
S
S
S
r
SF
SF
Sb
(1)
(2)r=0 (3)
Im
Re?
s
[F(s)]
。故零极点数相等函数的曲线所包围的说明即则其曲线不包围原点若其图形如图所示函数做出。轨迹按平面上的轨迹平面上的
0P-ZN,
F ( S ),0
,
)(N y qu i s t[ F ( S ) ]
N y qu i s t[ F ( S ) ] )2(
S
N
SF
(1,j0) Re
Im [F(S)]
.
)]([
,)0,1(
][,
)]([ )0( - 1,
][,
)]([][
1-F ( S )G ( S ) H ( S ),
][,)()(1)(
])[3(
N
SF
Nj
GH
SFj
GH
SFGH
GHSHSGSF
N y qu i s tGH
F
圈数包围原点的平面上就等于在的圈数平面上包围在上的原点平面点就是上的平面所构成的新复平面位之后平面虚轴右移了一个单平面只是将可见因为平面上的情况与此相似平面上的情况以上研究了轨迹平面上的
.(-1,j0)
[GH]
图。时的完整开环频率响应可以通过对称关系画出应因此通常绘制的频率响平面的实轴称于对与由于响应时完整开环频率在这两部分构成闭环系统
运动向沿虚轴从段在第
运动向沿虚轴从段在第的关系。
响应与闭环系统的开环频率上映射平面在顺时针运动一周时沿下面分析当点
-
0 )()(
,)()(
)()()()(),()(
-
|)()(||)()(
0,0 s ( 2 )
|)()(||)()(
0-,0 s ( 1 )
)) H ( jG ( jG ( S ) H ( S )
)()(,S
)()(
)()(
-
jHjG
sHsG
jHjGjHjGjHjG
ejHjGsHsG
jj
ejHjGsHsG
jj
SHSG
jHjGj
js
jHjGj
js
F
点。
不包围时变到本从当平面上的开环频率响应件为条则闭环系统稳定的充要即平面左半部的全部极点均分布在若的极点数目平面右半部位于为开环传递函数中其次按逆时针方向包围时变到本从当平面上的开环频率响应件是闭环系统稳定的充要条稳定判据
)0,1(
,),) H ( jG ( j
)]) H ( j[ G ( j,
0,P,
sG ( s ) H ( s ),
sG ( s ) H ( s )
,)0,1(,
),) H ( jG ( j
)]) H ( j[ G ( j,
:
j
P
Pj
N y qui s t
r ad
jHjG
e
r
K
sasas
sbsbK
sHsG
res
jsjs
j
r
resn
n
m
m
res
j
r
j
r
j
r
顺时针转过沿半径为无穷大的圆弧到平面上的映射轨线由这说明增补段在时到当
00
)]()([
lim
)1(
)1(
)()(
lim
00
0
lim
1
1
lim
0
00?
)1(
)1(
)()(
2
Tss
sK
sHsG
函数为设闭环系统的开环传递例穿越。
故称正将产生正的增量伴随这种穿越的相移因为线段一次的必从上而下穿越负实轴则一周方向包围开函频率响应按逆时针正穿越正负穿越的定义线图的相频特性的对应图的负实轴横轴以上区域对应单位圆外图的横轴对应图的单位圆图的对应关系图与的稳定性稳定判据分析闭环系统图应用根据四
,)) H ( jG ( j
,)( - 1,-)) H ( jG ( j
,j 0)( - 1,,
2,
B ode
- 18 0)) H ( jG ( j N y qu i s t c,
0|)) H ( jG ( j|20 l g
1|)) H ( jG ( j| b,
0|)) H ( jG ( j|20 l g B ode
1|)) H ( jG ( j| N y qu i s t a,
N y qu i s t1.B ode
.
N y qui s tB od e
线从上而下穿越频段上图在对应上的负穿越线段上产生一次从下而在则点一周方向包围开环频率响应按顺时针负穿越线从下而上穿越频段上图在对应
)) H ( jG ( j,0|)) H ( jG ( j|2 0 l gB o d e
),1()()(
)0,1(,
-
)) H ( jG ( j,0|)) H ( jG ( j|2 0 l gB o d e
jHjG
j
-1
负正
Im
Re
[GH]
w
w
正负
||lg20 G
G?
.
,0;.2P/
-)) H ( jG ( j,
db 0|)) H ( jG ( j|20l g,
:.3
。存在任何穿越越次数差应等于零或不上述正负穿若数平面右半部的开环极点为位于其中等于线的正负穿越次数差应与相频特性的频段内在幅频特性件闭环系统稳定的充要条判据如下性图分析闭环系统的稳定根据
PSP
N y qui s tB ode
w
w
- +?180
0
系统稳定。次数差为零显然正负穿越,?
例：
w=0w=+?+-
P=0
-1
-P,
0)(0900
)(jG90
90,0 )) H ( jG ( j
)(G ( S) H ( S)
:
1
1
S
1
V
定性。数差判别闭环系统的稳线的正负穿越次值及增补相频特性对然后再根据延长的位于横轴无穷远处向时的这时需将至变化从变化时由在分环节时当开环传函含有串联积说明
v
v
v
SG
-270
0
180?P=0
0
0
系统不稳定?
)) H ( jG ( j180
)( - 180-)) H ( jG ( j)(
).(,
)) H ( jG ( j
,,
)(0)) H ( jG ( j l og20
,
1)) H ( jG ( j
.
,
N y qu i s t)) H ( jG ( j:
,
0
c
cc
ccc
c
cc
c
cc
cc
dB
B ode
即记作上追补的附加相移响应的相移界稳定性需在开环频率使闭环系统具有临上在剪切频率相角裕度有图上在环频率响应的剪切频率称为控制系统开率上的单位圆相交处的频图与开环频率响应剪切频率相角裕度一
§ 6 控制系统的相对稳定性
c? )) H ( jG ( j cc
c
)) H ( jG ( j cc
)()()(l og20l og20
.
)()(
,:
)()(
1
,,
,)()(,
180:
.
dBjHjGK
jHjG
jHjG
K
K
jHjG
ggg
gg
g
gg
g
g
ggg
或缩小的倍数增大特性值将开环频率响应的幅频定需使闭环系统具有临界稳上在角频率含义即记作控制系统的幅值裕度称为的倒数开环频率特性值上时的角频率等于在开环频率响应的相移定义幅值裕度二
(db)
wc
r
Kg
wg
Kg(db) wc
r
wg
0l o g20
1
0
,:
g
g
K
K
需欲使系统稳定结论的关系式。和阻尼比试求取相角裕度环传递函数设二阶系统具有下列开例
)2(
G ( s ) H ( s )
2
n
n
ss?
24
24
241
2
241
a r c t g
nc
解：
解,
)2(
)()(
2
n
n
wjwjw
w
jwHjwG
222
2
4
)()(
n
n
www
w
jwHjwG
n
w
w
a r c t gjwHjwG
2
90)()(
1)()(?
cc
jwHjwG
，即
1
4
222
2
ncc
n
www
w
解得
42222
)4( nncc wwww
42224
4 ncnc wwww
4442222
4)2( nnnc wwww
42222
412
nnc
www
22422
241
nnc
www
24
241
nc
ww
n
c
cc
w
w
a r c t gjwHjwG
2
90)()(
2
241
90
22
a r c t g
)()(180
cc
jwHjwG
2
241
90
22
a r c t g
)
2
241
(
22
a r c t gc t gtg
)
2
241
(
1
22
a r ct gtg
22 241
2
22 241
2
a r c t g
bb
r
r
M
M
AAM
A
A
的截止频率反映系统带宽谐振频率相对谐振峰值频率的角宽反映复现输入信号的带闭环幅频特性的零频值确定的频域标有通过闭环幅频特性的频域指标根据闭环幅频特性确定一
~0)5(
)4(
)0(/)3(
~0)2(
);0()1(
:)(
.
m a x
`
`
§ 7 频域指标与时域指标间的关系
maxA
)(?A
)0(A
)0(707.0 A
M? r? b?
6.控制系统的相对稳定性一,相角裕度
W c 处 1)()(?jwHjwG
在 B o d e 图上 2 0 l g 0)()(?cc jwHjwG
)()(1 8 0 cc jwHjwG
对于 P = 0 的控制系统，预使其稳定，其相角裕度必须为正。一般取
60~30
剪切频率,开环频率响应 G ( j w ) H ( j w ) 与 N y g u i s t 图的单位圆相交处的角频率称为 W c 。
相角裕度：在剪切频率 W c 上，使闭环系统具有临界稳定性需在开环频率响应的相移? G ( j w c ) H ( j w c ) 上追补的附加相移，称为控制系统的相角裕度。
二,幅值裕度在开环频率响应等于?180? 时的角频率 gw 上，开环幅频特性值
)()( gg jwHjwG 的倒数，称为控制系统的幅值裕度，即作 gk,即
)()(
1
gg
g jwHjwGk?
g
k 的意义：在角频率
g
w 上，使闭环系统具有临界稳定性需将开环频率响应的幅频特性值 )()( gg jwHjwG 增大或缩小的倍数。
1)()(?
gg
jwHjwG,即 )()( jwHjwG 不包围 （ -1,)0j 点，则
g
k 1?,规定幅值裕度为正，反之为负。
对于 P = 0 的系统,1?gk 系统稳定若令 gk 具有 dB 量纲，则有，
2 0 l g )()(lg20 ggg jwHjwGk ( d B )
2 0 l g 0?gk 2 0 l g 0)()(?gg jwHjwG 幅值裕度为正
2 0 l g 0?gk 2 0 l g 0)()(?gg jwHjwG 幅值裕度为负例 设二阶系统具有下列开环传递函数
)
2
2(
)()(
n
n
wss
w
sHsG
试求取其相角裕度? 与阻尼比? 之间的关系
(db)
wc
r
Kg
wg
Kg(db) wc
r
wg
7频域指标与时域指标之间的关系
,根据闭环幅频特性确定时域指标闭环幅频特性
)(
)(
)(
jwR
jwC
wA?
零频值 A ( 0 )
谐振频率 m a x,Aw r 对应的频率 rw
截止频率 bw,0,7 0 7 A ( 0 ) 处所对应的频率带宽,bw~0 频区 0,,7 0 7 A ( 0 )
Am a x
A ( 0 )
w
b
w
r
w
M
Mw,由给定大于零的微量决定的角频率
Mw~0 反映输入信号带宽
1,闭环幅频特性零频值 A ( 0 ) 与代表控制系统型别的参数? 之间的关系
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
)()(
1
sHKsH
h
1|)(
01
s
sH
令
jws?
得
)()(
)(
1
1
)(
)(
1
)()(1
)(
)(
11
1
jwHKjwG
jw
K
jwG
jw
K
jwHjwG
jwG
wA
h
)()()(
)(
11
1
jwHjwGKKjw
jwKG
h
)(
1
)(
1
sG
s
KsG
1|)(
01
s
sG
当 0 时
h
KK
K
A
1
)0(
0 时
h
K
A
1
)0(?
对单位反馈系统
1)(?sH
0
时
K
K
A
!
)0(
0 A ( 0 ) = 1
§ 1 频率响应及其描述
1
1
2
1
12j
1
)(
s1
1
d
1
1
2
1
12j
1
-)(
s1
1
d
j-s
d
js
d
1s1
1
( S ) U
t A s i n U
RCT
UUT
RC
22
222
22
221
21
220
i
1TS
1
( S )U
( S )U
i0dt
dU
i
0
0
j a r c t g T
js
j a r c t g T
js
eTjjT
A
js
A
Ts
eTjjT
A
js
A
Ts
Ts
aA
Ts
则设式中网络的微分方程为右图所示的
R
UI U0C
一．频率特性
a.RC网络
1.频率特性的基本概念
22
2
22 1)1(s1
1a
1
T
TATsa
Ts Ts?
j
e
a r c t g Tt
ededtU
edede
j
tjtj
tjtj
T
t
2
e
s i n
)s i n (
)(lim
( t )U
j
T1
A
210
t
21T
a
0
22
这里应用欧拉公式
jS1TS
1
Tj1
1
Tj1
1
j
jT1
1
Tj a r c t g-
T1
1
1
1
3,
,
,
,
ee2.
).(ar c t gT -
),(
,,1.
:
)jT(1
1
22
22
率特性的频称为网络变化的规律频率和相角随正弦输入电压稳态输出时电压幅值入作用下它描述了网络在正弦输相频特性滞后相角比输入电压幅频特性幅值是输入电压的其频率与输入电压相同弦电压网络的稳态输出仍是正说明
T
)( y
,,,,,
ec ec ed ed(t) y
)j-)(sj(s)())((
)(
Y ( S )
X ( s ) txs i nX ( t )
)(
)())((
)(
Y ( s )
)())((
)(
)(
)(
G ( s )
)(
)(
G ( s )
.
21ss
21
ts
n
ts
1
tj
2
tj-
1
1
121
21
22
21
21
n1
tjtj
n
n
n
n
n
n
ededt
t
SSS
ss
c
ss
c
js
d
js
d
x
ssssss
sB
s
x
sX
ssssss
sB
ssssss
sB
sA
sB
sX
sY
b
时所以当都有负实部由于极点对于稳定系统一般系统
|)G ( - j||)G ( j|
)G ( - j - e|)G ( - j|)G ( - j
)G ( j e|)G ( j|)G ( j
2j
)XG ( j
)j-(s
s
X
G ( s )d
2j
)XG ( - j
-)j(s
s
X
G ( s )d
j-
j
jS222
-jS221
)tY s i n (( t )y
2
|)G ( j|
2
e|)G ( j|
2
e|)G ( j|
-( t )y
ss
)()(
j-j
ss
j
ee
X
e
j
X
e
j
X
tjtj
tjtj
,
,:
G ( s ))G ( j 4.
e)G ( j)G ( j
,3.
,
)0()0(,
,,
,2.
|)G ( j|Y / X,
1.
,
js
)G ( jj
系统的理论依据。够从频率特性出发研究这就是频率响应能表征了系统的运动规律也及微分方程一样频率特性和传递函数以结论频率特性的求取记为称为频率特性幅频特性和相频特性总特性的或滞后其相位产生超前的谐波信号时当系统输入不同频率它描述在稳态情况下为相频特性称的非线性函数是相位差输出信号与输入信号的称为幅频特性线性函数的非与输入信号的幅值比是在稳态求出的输出信号说明
微分方程频率特性传递函数 系统
pj
js?
ps?
§ 2 典型环节的频率响应
.
,
,N y qu i s t,
)G ( j,0,
)(
)V(
a r c t g)G ( j
)()U(|)G ( j|
)j V ()U ( j)G ( j
)G ( j,
)j V ()U()]I m [ G ( j)]R e [ G ( j)G ( j
.
)12()1(
12
1
1
1
s
1
K
1sasasa
1)sbsbsK ( b
G ( s )
.
1
1
2
1
2
1
111
11
22
)(
11
22
)(
11
v
1
1-n
1-n
n
n
1
1-m
1-m
m
m
2
1
2
1
性和相频特性而且也表示幅频特特性表示了实频特性和虚频它不仅图或称图即为频率特性的极坐标端点的轨迹时从当极坐标图则坐标来表示可以用一矢量及其端点时当极坐标图二环节控制系统中常见的典型一
U
V
SSs
sTsTsT
iii
lm
j
j
l
j
iii
hvn
i
i
h
i
Im
0
1
Re
90)G ( j |)G ( j|
)G ( j G ( s )
3,
90)G ( j 0|)G ( j|
- 90)G ( j |)G ( j| 0
- 90)G ( j |)G ( j|
)G ( j G ( s )
2,
0)G ( j
K|)G ( j|
K)G ( j sG
1,
.
1
j
1
s
1
js
K
微分环节积分环节比例环节频率响应典型环节的极坐标图及三
0 Re
Im
0
K Re
Im
0 ) V (0
T) V (1)U(
Tj1)G ( j 1TSG ( S )
5.
)V()G ( j 0
)( )- (V)-(U
)]I m [ G ( j) V ()]R e [ ( j)U(
90)G ( j 0|)G ( j|
45)G ( j 707.0|)G ( j|
0)G ( j |)G ( j| 0
- ar c t gT)G ( j |)G ( j|
)G ( j G ( S )
.4
2
2
K
)1(
TK
2
2
K
T1
K
22
2
K
1
KT-
T1
K
2
21
T1
K
1
)1(
11
222
222
22
2222
22
22
一阶微分环节恒为负与时为下半圆当惯性环节
T
T
T
T
jTK
jT
K
TS
K
KK
K
Im
Re
0
T1
Im
Re
极坐标图型的形状不同的取值不同振荡环节
,
180)G ( j 0|)G ( j|
90)G ( j |)G ( j| 1
0)G ( j 1|)G ( j| 0 0
- a r c t g)G ( j |)G ( j|
)V(
) U (
)G ( j
10 G ( S )
.6
2
1
-1
2
4)-(1
1
)2()1(
2
)2()1(
1
)2()1(
21
2)(1
1
2
2
2
222
222
222
2
222
2
222
2
22
2
n
j
jj
SS
n
nn
nn
n
nn
n
1?
2?
3?
321
n?
n?
n?
180)G ( j |)G ( j|
90)G ( j 2|)G ( j| 1
0)G ( j 1|)G ( j| 0 0
-1
2
a r c t g)G ( j
4)-(1|)G ( j|
2)1(12-T)G ( j
1
T 12TG ( S)
.7
2
2222
n
222
n
22
n
jTj
TSS
二阶微分环节
(1,j0)
- 90)G ( j 0|)G ( j|
- 135)G ( j |)G ( j|
- 180)G ( j 1|)G ( j| 0
T-j) v (-1)u( - 180)G ( j
|)G ( j|
)G ( j
G ( S )
.9
,
1)(v)(u
-)G ( j 1|)G ( j|
- s i n) v (c os)u(
j s i n-c ose)G ( j
eG ( S )
.8
2
11
T1
1
T1
Tj-1-
1-Tj
1
1-TS
1
22
j-
s-
22
22
T
Tar c t g
不稳定环节环端点在单位圆上无限循极坐标图为一单位圆延时环节
=0
Re
Im
0(-1,j0)
0
,
G ( s ) 1,1)s ( T sK
解图。试绘制其例 N y q u is t
0)V(lim )U(lim
)][ G ( jIm)V(
-)]R e [ G ( j) U (
j- )G ( j
- 180)G ( j 0|)G ( j|
- 90)G ( j |)G ( j| 0
- 90)G ( j
|)G ( j|
)G ( j
00
)T(1
k-
T1
KT
)T(1
K
T1
KT-
T1
K
)jT(1j
K
22
22
2222
22
kT
ar c t gT
Re-(kT,j0)
Im
0
四．极坐标图举例
,
G ( S ) 2,S)TS ) ( 1T(1S K
21
2
解例
图与虚轴的交点由此得出这时得令
N y qu i s t
)K ( T
)]I m [ G ( j
T
1
0)]R e [ G ( j
)]I m [ G ( j)]R e [ G ( j)G ( j
- 36 0)G ( j 0|)G ( j|
- 18 0)G ( j |)G ( j| 0
T- 18 0)G ( j
T1T1
|)G ( j|
)T)(1T(1)(j
)G ( j
21
21
21
21
22
2
22
1
2
21
2
2
3
TT
T
T
ar c t gar c t gT
K
jj
K
,
)T(T G ( S ) 3,12)1( 1)SK ( T
2
1
解例STS
)(lim
)()(lim
)T(1
)1(
T1
)(
)G ( j
- 90)G ( j 0|)G ( j|
- 90)G ( j |)G ( j| 0
- 90)G ( j
1
T1K
|)G ( j|
0
21
0
22
2
21
22
21
21
22
2
22
1
V
TTKU
TTK
j
TTk
ar c t gTar c t gT
T
Re
K(T1-T2)
Im
)()(
)(1
)(
)(
)(1
)(
)(
)()](1[ )(1
)()(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)1(
)(1
)(
)(
)(
.
111
1
1
1
111
11
)(
jG
jG
QA
OA
jG
jG
A
jGjGQA
jG
N y qui s tjG
eA
jG
jG
jR
jC
sG
sG
sR
sC
j
图中在开环频率响应向量作图法应单位反馈系统的频率响二
G(s)
A
Q
O-1
)( 1
)( 1
)( 1
Im
Rm
2
2
2
22
2
2
22
22
2
)
1
()
1
(
)1(
1QA
OA
M
jVU)G ( j
M
)2(
M
M
V
M
M
U
VU
VU
M
jVU
jVU
圆图等查图表法
222
21
21
21
)
2
1
(
4
1
)
2
1
()
2
1
(U
1
)(,
U1
V
a r c t g
U
V
a r c t g
1
NN
V
tgtg
tgtg
tgNtg
jVU
jVU
N
得由记圆图等
§ 5 Nyquist稳定判据部。的全部零点均具有负实现在却变成辅助函数有负实部的全部极点均具是原系统稳定的充要条件由上述关系知由此我们看到选取辅助函数开环传函为函为右图所示系统的闭环传辅助函数一
)(,
)(,
)())((
)Z-(S)Z-)(SZ-k( S
G ( S ) H ( S )1F ( S )
)())((
bsbsbsb
G ( S ) H ( S )( S )G
G ( S ) H ( S )1
G ( S )
( S )G
.
21
n21
21
01
1-m
1-m
m
m
k
B
SF
SG
pspspss
pspspss
B
vn
v
vn
v
GB(S)
零点 极点相同
F(S)
零点 极点相同
GK(S)
零点 极点
G(s) C(s)R(s)
H(s)
不包围原点表示次逆时针包围原点表示次顺时针包围原点表示点的次数按顺时针方向包围原平面上的映射在运动沿以顺时针方向当点在这种情况下的任何极点与零点不通过而内平面的封闭轨线部极点与零点均分布在的全以及点数目其中包括重极点与重零的零点数目为极点数目为又设为单值连续正则函数点外平面的有限个奇除在是复变量的多项式之比设幅角原理二
F
F
F
FSS
SS
N
N
N
SF
SSF
S
SF
SFZSFP
SSF
0
0N
0N
P-ZN
)]([,
,.)(
,
)(,,
)(,)(.,
,)(
.
-2)Z-(SF ( S )
,,2)(
,
,)(
,( a )S)Z-(S
)P-(S--)P-(S-)Z-(S)Z-(SF ( S )
F ( S )
)()(
,B
,F ( S ),
,
,,
:
i
Si
n1n1
)P-(S)P-(S
)Z-(S)Z-k ( S
S
n1
n1
所以其余均为零外等于除了时而不含极点与其他零点含零点内只当的相位角变化即向量复数路线变动时的按图表示这里的变化的相位角造成了这个变化回到点点出发沿它从也相应的变化这样变化时当回到原来的位置顺时针转一圈绕从这点移动使上选择点在有关幅角定理的说明
i
i
Si
F
i
ZS
Z
ZS
SFSF
B
S
Z
SA
jw
S
A
.Zi
(a)
[S]
B
F Re
Im [F(S)]
(b)
( 3)
( 2),( 1),,R( 3)
,-( 2)( 1),
,s
,
a,s
( 1),s
,
.
s
面。段就封闭了整个右半平因此的趋于无穷大的圆弧组成段由半径的整个虚轴组成到两段是由其中轨线。
称为为平面右半部的封闭轨线的整个可选包括虚轴在内况下在虚轴无开环极点的情的情况平面虚轴上无开环极点轨迹平面的推导稳定判据三
N y qu i s t
N y qu i s t
N y qu i s t
s
jw
(3)
(1)
(2)
r
0
[s]
s
,
.
,0,
,
,,
,)(
,
)(,
.
极点的情况相同。
同时和虚轴不含开环内包围在修正轨线与极点都将平面右半部的全部零点所以零也将趋于时当修正回避掉的一些面积由于这些右侧绕过反时针方向从这些点的按以无穷小为半径的圆弧补以该点为圆心则在这些点增平面的原点或虚轴上时点处于所以当函数有若干个极的任何极点函数不能通过由于应用幅角定理时的情况平面原点处有开环极点
S
S
S
r
SF
SF
Sb
(1)
(2)r=0 (3)
Im
Re?
s
[F(s)]
。故零极点数相等函数的曲线所包围的说明即则其曲线不包围原点若其图形如图所示函数做出。轨迹按平面上的轨迹平面上的
0P-ZN,
F ( S ),0
,
)(N y qu i s t[ F ( S ) ]
N y qu i s t[ F ( S ) ] )2(
S
N
SF
(1,j0) Re
Im [F(S)]
.
)]([
,)0,1(
][,
)]([ )0( - 1,
][,
)]([][
1-F ( S )G ( S ) H ( S ),
][,)()(1)(
])[3(
N
SF
Nj
GH
SFj
GH
SFGH
GHSHSGSF
N y qu i s tGH
F
圈数包围原点的平面上就等于在的圈数平面上包围在上的原点平面点就是上的平面所构成的新复平面位之后平面虚轴右移了一个单平面只是将可见因为平面上的情况与此相似平面上的情况以上研究了轨迹平面上的
.(-1,j0)
[GH]
图。时的完整开环频率响应可以通过对称关系画出应因此通常绘制的频率响平面的实轴称于对与由于响应时完整开环频率在这两部分构成闭环系统
运动向沿虚轴从段在第
运动向沿虚轴从段在第的关系。
响应与闭环系统的开环频率上映射平面在顺时针运动一周时沿下面分析当点
-
0 )()(
,)()(
)()()()(),()(
-
|)()(||)()(
0,0 s ( 2 )
|)()(||)()(
0-,0 s ( 1 )
)) H ( jG ( jG ( S ) H ( S )
)()(,S
)()(
)()(
-
jHjG
sHsG
jHjGjHjGjHjG
ejHjGsHsG
jj
ejHjGsHsG
jj
SHSG
jHjGj
js
jHjGj
js
F
点。
不包围时变到本从当平面上的开环频率响应件为条则闭环系统稳定的充要即平面左半部的全部极点均分布在若的极点数目平面右半部位于为开环传递函数中其次按逆时针方向包围时变到本从当平面上的开环频率响应件是闭环系统稳定的充要条稳定判据
)0,1(
,),) H ( jG ( j
)]) H ( j[ G ( j,
0,P,
sG ( s ) H ( s ),
sG ( s ) H ( s )
,)0,1(,
),) H ( jG ( j
)]) H ( j[ G ( j,
:
j
P
Pj
N y qui s t
r ad
jHjG
e
r
K
sasas
sbsbK
sHsG
res
jsjs
j
r
resn
n
m
m
res
j
r
j
r
j
r
顺时针转过沿半径为无穷大的圆弧到平面上的映射轨线由这说明增补段在时到当
00
)]()([
lim
)1(
)1(
)()(
lim
00
0
lim
1
1
lim
0
00?
)1(
)1(
)()(
2
Tss
sK
sHsG
函数为设闭环系统的开环传递例穿越。
故称正将产生正的增量伴随这种穿越的相移因为线段一次的必从上而下穿越负实轴则一周方向包围开函频率响应按逆时针正穿越正负穿越的定义线图的相频特性的对应图的负实轴横轴以上区域对应单位圆外图的横轴对应图的单位圆图的对应关系图与的稳定性稳定判据分析闭环系统图应用根据四
,)) H ( jG ( j
,)( - 1,-)) H ( jG ( j
,j 0)( - 1,,
2,
B ode
- 18 0)) H ( jG ( j N y qu i s t c,
0|)) H ( jG ( j|20 l g
1|)) H ( jG ( j| b,
0|)) H ( jG ( j|20 l g B ode
1|)) H ( jG ( j| N y qu i s t a,
N y qu i s t1.B ode
.
N y qui s tB od e
线从上而下穿越频段上图在对应上的负穿越线段上产生一次从下而在则点一周方向包围开环频率响应按顺时针负穿越线从下而上穿越频段上图在对应
)) H ( jG ( j,0|)) H ( jG ( j|2 0 l gB o d e
),1()()(
)0,1(,
-
)) H ( jG ( j,0|)) H ( jG ( j|2 0 l gB o d e
jHjG
j
-1
负正
Im
Re
[GH]
w
w
正负
||lg20 G
G?
.
,0;.2P/
-)) H ( jG ( j,
db 0|)) H ( jG ( j|20l g,
:.3
。存在任何穿越越次数差应等于零或不上述正负穿若数平面右半部的开环极点为位于其中等于线的正负穿越次数差应与相频特性的频段内在幅频特性件闭环系统稳定的充要条判据如下性图分析闭环系统的稳定根据
PSP
N y qui s tB ode
w
w
- +?180
0
系统稳定。次数差为零显然正负穿越,?
例：
w=0w=+?+-
P=0
-1
-P,
0)(0900
)(jG90
90,0 )) H ( jG ( j
)(G ( S) H ( S)
:
1
1
S
1
V
定性。数差判别闭环系统的稳线的正负穿越次值及增补相频特性对然后再根据延长的位于横轴无穷远处向时的这时需将至变化从变化时由在分环节时当开环传函含有串联积说明
v
v
v
SG
-270
0
180?P=0
0
0
系统不稳定?
)) H ( jG ( j180
)( - 180-)) H ( jG ( j)(
).(,
)) H ( jG ( j
,,
)(0)) H ( jG ( j l og20
,
1)) H ( jG ( j
.
,
N y qu i s t)) H ( jG ( j:
,
0
c
cc
ccc
c
cc
c
cc
cc
dB
B ode
即记作上追补的附加相移响应的相移界稳定性需在开环频率使闭环系统具有临上在剪切频率相角裕度有图上在环频率响应的剪切频率称为控制系统开率上的单位圆相交处的频图与开环频率响应剪切频率相角裕度一
§ 6 控制系统的相对稳定性
c? )) H ( jG ( j cc
c
)) H ( jG ( j cc
)()()(l og20l og20
.
)()(
,:
)()(
1
,,
,)()(,
180:
.
dBjHjGK
jHjG
jHjG
K
K
jHjG
ggg
gg
g
gg
g
g
ggg
或缩小的倍数增大特性值将开环频率响应的幅频定需使闭环系统具有临界稳上在角频率含义即记作控制系统的幅值裕度称为的倒数开环频率特性值上时的角频率等于在开环频率响应的相移定义幅值裕度二
(db)
wc
r
Kg
wg
Kg(db) wc
r
wg
0l o g20
1
0
,:
g
g
K
K
需欲使系统稳定结论的关系式。和阻尼比试求取相角裕度环传递函数设二阶系统具有下列开例
)2(
G ( s ) H ( s )
2
n
n
ss?
24
24
241
2
241
a r c t g
nc
解：
解,
)2(
)()(
2
n
n
wjwjw
w
jwHjwG
222
2
4
)()(
n
n
www
w
jwHjwG
n
w
w
a r c t gjwHjwG
2
90)()(
1)()(?
cc
jwHjwG
，即
1
4
222
2
ncc
n
www
w
解得
42222
)4( nncc wwww
42224
4 ncnc wwww
4442222
4)2( nnnc wwww
42222
412
nnc
www
22422
241
nnc
www
24
241
nc
ww
n
c
cc
w
w
a r c t gjwHjwG
2
90)()(
2
241
90
22
a r c t g
)()(180
cc
jwHjwG
2
241
90
22
a r c t g
)
2
241
(
22
a r c t gc t gtg
)
2
241
(
1
22
a r ct gtg
22 241
2
22 241
2
a r c t g
bb
r
r
M
M
AAM
A
A
的截止频率反映系统带宽谐振频率相对谐振峰值频率的角宽反映复现输入信号的带闭环幅频特性的零频值确定的频域标有通过闭环幅频特性的频域指标根据闭环幅频特性确定一
~0)5(
)4(
)0(/)3(
~0)2(
);0()1(
:)(
.
m a x
`
`
§ 7 频域指标与时域指标间的关系
maxA
)(?A
)0(A
)0(707.0 A
M? r? b?
6.控制系统的相对稳定性一,相角裕度
W c 处 1)()(?jwHjwG
在 B o d e 图上 2 0 l g 0)()(?cc jwHjwG
)()(1 8 0 cc jwHjwG
对于 P = 0 的控制系统，预使其稳定，其相角裕度必须为正。一般取
60~30
剪切频率,开环频率响应 G ( j w ) H ( j w ) 与 N y g u i s t 图的单位圆相交处的角频率称为 W c 。
相角裕度：在剪切频率 W c 上，使闭环系统具有临界稳定性需在开环频率响应的相移? G ( j w c ) H ( j w c ) 上追补的附加相移，称为控制系统的相角裕度。
二,幅值裕度在开环频率响应等于?180? 时的角频率 gw 上，开环幅频特性值
)()( gg jwHjwG 的倒数，称为控制系统的幅值裕度，即作 gk,即
)()(
1
gg
g jwHjwGk?
g
k 的意义：在角频率
g
w 上，使闭环系统具有临界稳定性需将开环频率响应的幅频特性值 )()( gg jwHjwG 增大或缩小的倍数。
1)()(?
gg
jwHjwG,即 )()( jwHjwG 不包围 （ -1,)0j 点，则
g
k 1?,规定幅值裕度为正，反之为负。
对于 P = 0 的系统,1?gk 系统稳定若令 gk 具有 dB 量纲，则有，
2 0 l g )()(lg20 ggg jwHjwGk ( d B )
2 0 l g 0?gk 2 0 l g 0)()(?gg jwHjwG 幅值裕度为正
2 0 l g 0?gk 2 0 l g 0)()(?gg jwHjwG 幅值裕度为负例 设二阶系统具有下列开环传递函数
)
2
2(
)()(
n
n
wss
w
sHsG
试求取其相角裕度? 与阻尼比? 之间的关系
(db)
wc
r
Kg
wg
Kg(db) wc
r
wg
7频域指标与时域指标之间的关系
,根据闭环幅频特性确定时域指标闭环幅频特性
)(
)(
)(
jwR
jwC
wA?
零频值 A ( 0 )
谐振频率 m a x,Aw r 对应的频率 rw
截止频率 bw,0,7 0 7 A ( 0 ) 处所对应的频率带宽,bw~0 频区 0,,7 0 7 A ( 0 )
Am a x
A ( 0 )
w
b
w
r
w
M
Mw,由给定大于零的微量决定的角频率
Mw~0 反映输入信号带宽
1,闭环幅频特性零频值 A ( 0 ) 与代表控制系统型别的参数? 之间的关系
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
)()(
1
sHKsH
h
1|)(
01
s
sH
令
jws?
得
)()(
)(
1
1
)(
)(
1
)()(1
)(
)(
11
1
jwHKjwG
jw
K
jwG
jw
K
jwHjwG
jwG
wA
h
)()()(
)(
11
1
jwHjwGKKjw
jwKG
h
)(
1
)(
1
sG
s
KsG
1|)(
01
s
sG
当 0 时
h
KK
K
A
1
)0(
0 时
h
K
A
1
)0(?
对单位反馈系统
1)(?sH
0
时
K
K
A
!
)0(
0 A ( 0 ) = 1
