第三章 李雅普诺夫稳定性分析
$1 概 述电机电机电压为恒定的能力压自动调节系统中保持常见的电统的稳定性。例如这一种本能通常叫做系系统的下继续工作下去相对稳定状态的平衡状态新仍有能力自动地在另一但在外部干扰去掉后坏被破相对稳定状态虽然它的原有平衡状态干扰后外界也就是说，当系统受到先是一个稳定的系统。
正常的工作，它必须首一个自动控制系统要能
,
,
,)(
,,
)(,
系统的一个动态属性。
。可见稳定性乃是可能是一个稳定的系统显然它不其偏差量越来越大到外界干扰后假如系统在受敛性偏差量的过渡过程的收系统的外界干扰后定性就是系统受到小的所谓系统的稳由上面所讲的含义可见定系统。
统被称为不稳反之不具有稳定性的系系统系统被称为稳定的等都是。具有稳定性的行为一定的能力以及火箭飞行中保持航力机转速为一定的能自动调速系统中保持电
,,
,
,
,;
,
这类系统的最佳运行状态。在解决况，保证系统的正常和适应新的情要求而加以改变，才能往需要根据性能指标的
，往即使是系统结构的本身系统都是一些非线性或时变而且大较复杂现代控制系统的结构比是很难胜任的来说但一般些特定的系统上应用上述稳定判据尚能在某方法转化虽说通过一些对系统的统但对于非线性或时变系断定性进行判稳定性判据对系统的稳判据或可用性定常系统若所论的系统是一个线任意小的规定量衡位置的大小系统的被调量偏高其平式中
,
,.,
,,
,,
N y q u i s tH u r w i t z-
o u t h,
x ( t )
x ( t )l i m
R
t
定的。稳定的，否则便是不稳近周围是，则该系统在工作点附具有负实数部分的复根
，或者是式的根全部是负实数根如果线性化的特征方程以描述。的微分方程来近似地加范围内可以用线性化了近的一定非线性系统在工作点附定性，同时，他还指出系统的稳后根据解的性质来判断解系统的微分方程，然
。第一法是通过求简称第一法和第二法归纳成两种方法
，判断系统稳定性的问题年，李雅普诺夫就如何理论。而得到的一些稳定性的夫第二法方法还是基于李雅普诺稳定性方面，最通用的
)(
1 8 9 2
定性。因此应用李氏就能用来判断系统的稳出的稳定性理论准则函数符合李雅普诺夫提能量函数。只要这一但它并非是一个真正的衡量系统积蓄的能量，辅助函数，可以用它来李雅普诺夫创造了一个到一个极小值。由此，
则系统积蓄的能量必达系统运动到平衡点时，
时，平衡点，则当他指出：若系统有一个能量的观点出发得来的行分析和判断。它是从可以对系统的稳定性进求解系统的微分方程就法）的特点是不必李氏第二法（亦称直接
t
采用来说较简单控制系统在结构上相对一，何况过去的得到广泛应用的原因之氏稳定理论未能论未能得到广泛应用李期内李氏稳定理过去的一段相当长的时方法，这也是在的寻求李氏函数的一般有一个简便可惜直到目前为止还没数。
诺夫函此函数通常称为李雅普助函数到一个合适的辅定理的关键在于能否找
,
,
理论。
然后再谈稳定绍所以就这一类问题作介等概念衡点，渐近稳定性由于李氏理论用到了平进展。
也颇有面在如何寻求李氏函数方有成效的结果而且已经有了许多卓视和应用又重为人们所重研究分析所以近期对李氏理论的遇到很大困难判据对系统稳定性分析用其他已知的一些稳定于系统的结构日益复杂但正如前面所说的，由定判据已是能解决问题前面提到的其他一些稳
,,
,.
,
,
.
$2 系统微分方程的奇异解和稳定性的关系的函数及变量变化率为式中先从二阶系统谈起为明了起见二阶系统一
x
( 1 ) 0),(),(
d
.,
.
21
212
2
dt
dx
AA
x
dt
dx
xA
dt
dx
dt
dx
xA
dt
x
一、二阶系统
( 3 ) ),(
dt
dx
( 2 ) ),(
dt
dx
:上式可写成则,来描述X和X式用两个变量( 1 )若
21
2
21
1
21
xxQ
xxp
所代表的就是系统系统的微分方程的奇点因此即变量在奇点处无变化的变化率等于零或说在奇点上变量于零的点就是奇点式等凡能使由微分方程理论可知
,.,
,,
)3(),2(,
21
XX
的稳定性如何。计出系统在平衡点附近就可以近似地估将原有函数展开为级数用泰勒定理然后在坐标原点附近利位置移至坐标原点的坐标轴的转换将平衡点可以通过在不失一般性的情况下全面的了解。才能对系统的稳定性有况奇点的分布状统的稳定性时必须明了在分析系所以在运动过程中的平衡点
,
,
,
,
,.
的稳定性情况。地表示出该类奇点周围便能形象应轨迹在平衡点附近作出其相可以式所描述的系统由例如
,
,( 3 )( 2 ),,
2
2222121
2
1112212
2
2
2222112
2
1112111
1
dt
dx
xaxxaxaxbxa
dt
dx
:,( 3 )( 2 ),
xbxxbxbxbxa
即为级数式在坐标原点附近展开将
AXX,
X
X
b a
b a
X
X
,
( 5 )
dt
dx
( 4 )
dt
dx
:,
2
1
22
11
2
1
2111
2
2111
1
或写成即有忽略高次项
xbxa
xbxa
)()(
)0()0()(
)(
:
)(x,,,
( s )xb( s )xa( 0 )x( s )sx
( s )xb( s )xa( 0 )x( s )sx
:)5()4(,
,
( 5 )( 4 ),,
122121
2
2112
1
1
221222
211111
babasbas
xbxbs
sx
s
的根的分布情况要决定于其特征方程式的解主变量因此初始状态已知上式中式取拉氏变换和对对此析。再对剩下的变量进行分量消去一个后式中的变可将考察奇点特性时不稳定焦点位于右半平面上为共轭复数稳定焦点位于左半平面上为共轭复数种情况二阶系统的奇点共有六众所周知定了奇点的特性在复平面上的位置就决则根且皆为常数设的特征多项式为则
,,,( 2 )
.,,,( 1 )
:,
.,
2
4
0b,ba,
0
:)(x
21
21
21
2
1,2
2
1
baa
ba
s
1221
21
ba-bab
)b- ( aa
令
.,,,( 6 )
.,,,( 5 )
.,,,( 4 )
.,,,( 3 )
21
21
21
21
鞍点轴的左边位于为实数中心节点轴上位于为共轭复数不稳定节点位于右半平面上为实数稳定节点位于左半平面上为实数
jw
jw
( 2 ) 0),f(
t:
)(t)t,X( t,
,X,tt
)t,X( t,.t,n X
( 1 ) ),(
:.
.
0000
00
00
tX
XX
X
tXfX
e
皆能满足下列关系所有时间平衡状态即时方程的解表示初始条件为是观测的时间维状态向量为其中若一个系统可以描述为来描述系统的稳定性能或很难用相轨迹法对于高于二阶系统不可高阶系统二
值都系统的平衡点。式的一切凡满足平衡点为系统的平衡状态。则称时
X
X e
)2(:
,
二、高阶系统式的关系。一个解满足只有为非奇异时当性定常系统的一般解中求出。对线式不能从式得来平衡点只能从由上式可以看出
( 2 )0X,A
AXt)f ( X,X
)1(,)2(,
.( 3 )
( 3 ) 0t)f ( 0,
:
)2(,,
.,
,,
)2(A;,
的平衡状态表达式式即为常用的连续系统写成式可以因此坐标原点过坐标的转换将其移至孤立的平衡点可以通前面已经谈到任何彼此衡状态可能有一个或者多个平性系统但对于非线态系统有无穷多个平衡状无穷多解式有为奇异时当系统只有一个平衡状态因此
$3 李雅普诺夫意义下的稳定
。被称为系统的平衡状态则时当的稳定性的含义一，李雅普诺夫意义下同。原理中所讲的也有所不就其概念来说，与调节所示的那么简单，而且解释，不象定性的含义有其自己的定理论时，对于稳当李雅普诺夫谈到其稳
e
X
0),f(
)(l i m
tX
tx
e
t
时当 3n0,X e
状态平面表示一个圆时当它代表矢量的长度它等于：被称为欧几里德范数。
其中可写成的球域时为半径为圆心态应用范数表示以平衡状
,X
2,0X
)X()X()X(X
X X,
,X
2
2
2
1e
e
2
en
2
e22
2
e11e
ee
e
cxxX
n
XXxX
XRXR
n
状态空间表示一个球,232221 cxxxX
.,
)t(t X-)t,x(t,
,
)t,x(t,),()(
X-X
:)(
0e00
00
e
为给定的常数其中其范数为：的所有各点的球域的解是含有方程它的范数为件可以画出一个球域设对应于系统的初始条
txfXS
S
,
),(t X-)t,x( t,
,
X
0),(,0
),(
0
0e00
e
0
致稳定的平衡状态。则称这种平衡状态为一有关有关也与与一般决定球域大小的稳定的。
李雅普诺夫意义下是则称系统的平衡状态恒有时使得当存在一个实数点于任意选定的对若系统
t
X
t
X
t
txfX
e
1.李雅普诺夫稳定：
稳定。是李雅普诺夫意义下的系统的平衡状态则称出发的轨迹不离开无限增加时从
e
X
SSt ),()(
使得当若存在一个球域于每一个球域对定性可以解释为李雅普诺夫意义下的稳
),()(
,
SS
)(?S)(?S
eX
指的就是这种情况。
即近稳定的。则称此类平衡状态是渐之外，而且最后收敛于不仅不能超出球域时当内出发的任意一个解又从球域的稳定在李雅普诺夫意义下是如果平衡状态渐近稳定性
)(lim
)(
,)(,
X
.2
e
tx
XS
tS
t
e
)(?S
)(?S
eX
2.渐近稳定性
.
,
,,),(
,
的渐近稳定就叫做在大范围内那么系统的平衡状态于都收敛时当的每一个解如果有或大范围内的渐近稳定。这时的平衡状态称做是则迹都保持渐近稳定性果由这些状态出发的轨
ee
XX
ttxfX
如状态空间中的所有各点对于所有的状态大范围内的渐近稳定性 ),(,3
)(?S
)(?S
eX
3.大范围内的渐近稳定因而是有局限性的。到扰动的大小范围问题没有涉及只牵涉到小的扰动所讲的稳定性的概念中的要求。过去调节系统使它能满足系统稳定性的大小从而可以设法抑制干扰系统的抗干扰稳度才能明了这一知道渐近稳定性的范围个局部概念因为渐近稳定是一要的确定稳定的范围是很重定性的就一定是大范围渐近稳只要是渐进稳定的点线性系统只有一个平衡说明
,
,,
,,
,,
,2.
,
,,.1
:
说明：
不稳定的。
是之外，这时称平衡状态超出球域的轨迹最终会，使得从这一状态出发态一个初始状周围的球域内总存在着状态在平衡小不管这两个实数有多么数和任意一个实如果对于某个实数不稳定性
e
e
XS
X
X
)(
,,0
0
,.4
0
eX
4.不稳定性负定则称正定若有负定为正定。则标量函数如果正定有以下几种特征对所有的状态内的邻域设在零平衡状态标量函数的正定性定义二
)(,)(
)2(
)(
,0,0)(
,0,0)(
.)1(
:
0
:.
xVxV
xV
xxV
xxV
X
X
e
二、标量函数的下定性定义：
符号不定。称则也可为负既可为正有的状态对所有多小不论内的邻域在不定为负半定则称为正半定若有负半定为正半定。则称若有正半定
)(
,,)(,
,,0
)5(
.)(,)(
)4(
)(
,0,0)(
,0,0)(
)3(
xV
xVX
X
xVxV
xV
xxV
xxV
e
2
3
2
1
2
3
2
2
4
1
32 1
)()2(
2)()1(
x x X
.)(:
xxxV
xxxxV
x
xV
T
已知的正定性确定下列标量函数例
)(
0,0)(
0,0)(
正半定xV
xxV
xxV
0)(,0;0)(,0,)(, xVxxVxxV 为正定解
0)(
0)(,0;0,0x
0)(,0,
321
xV
xVxx
xVx
其余解
2
3
2
21
)(( 3 ) xxxxV
正半定有对于其余的时又解
)(
0)( X,
0,0)(
0)(,0,0x
0,0)(
0)(,0
213
xV
xV
xxV
xVxx
xxV
xVx
负半定则有对于其余的时解
)( 0,0)(
0,0)(
0)( x,
0)( - 2 xx0,x
0)(,0
231
xVxxV
xxV
xV
xV
xVx
2
3
2
2
2
1
2
321
2
1
2)()5(
)2()()4(
xxxxV
xxxxxV
不定解
)( 0)( 2
0)( 2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
xVxVxxx
xVxxx
正。的所有主子行列式均为即正定阵矩正定的充分必要条件是二次型一赛尔维斯特准则即为实对称矩阵其中单项式的纯量函数各项均为自变量的二次二次型则二次型及赛尔维斯特准三
PP
PXXxV
PPPPP
PPP
PPP
xPX
T
T
jiij
nnnn
n
,
)(.1
)(
,,
x
x
x xXV ( x )
:
.
n
1
2 1
1 12 11
n2 1
T
三、二次型赛乐维斯特准则正定即负定矩阵负定的充分必要条件是二次型
PP
PXXxV
pPP
PPP
PP
PP
P
T
nnnn
n
,
)(2.
0
0
0
21
11211
n
2221
1211
2
111
征值。不足之处是需要计算特来确定的特征值可根据的正定性对称矩阵为此负半定及不定性较困难的正半定特别是性的正定来确定矩阵依据其主子行列式的值的所有主子行列式较多由于较高阶数的正半定即负半定是矩阵负半定的充分必要条件二次型的所有主子行列式非负即正半定是矩阵正半定的充分必要条件二次型
,
,,
,,
,
,
)(4.
,
)(3.
PP
P
P
P
PP
PXXxV
PP
PXXxV
T
T
有的为负正它的特征值有的为不定的充分必要条件是不大于零是它的特征值均为负半定的充分必要条件不小于零是它的特征值均为正半定的充分必要条件它的特征值均为负负定的充分必要条件是它的特征值均为正正定的充分必要条件是二
,
5.
.
4.
.
3.
.2.
..1
0)(
P
P
P
P
P
P
定理：
019
2 1
1 10
010
x
x
1 1- 2-
1- 2 1
2- 1 10
x x
24221 0 xV ( x )
2
1
3
2
1
32 1
323121
2
3
2
2
2
1
xx
xxxxxxxx解
323121
2
3
2
2
2
1 242210xV ( x)
.)(.1
xxxxxxxx
xV
的正定性确定二次型例正定V ( x )
05
1 1- 2-
1- 2 1
2- 1 10
3
3
2
1
32 1
x
x
1- 0 0
0 2 0
0 0 1
x x xxxV解：
的正定性。确定例 232221 2xV ( x)2,xx
不定。定，故负，即符号不的特征值的符号有正有
V ( x )
P
1,2,1
0)1)(2)(1(
1 0 0
0 2- 0
0 0 1
321
P
才渐近稳定。负实数根时系统的状态的特征根均为为非奇异，且其中李氏第一法：
补充：
AA
)0(eX ( t )
At-
XAXX
试判断系统的稳定性。
其中已知例
1 2C
1
0
B
3- 0
0 2
CXy
.1
A
BUAXX?
)0(xe)( x
)0(x)( x
e 0
0
2
3t-
2
1
2
1
3t-
2
t
et
e
e
t
t
At
解：
。试判断该系统的稳定性已知例其输出必然是稳定的。系统的状态是稳定的，
即时当
0 1C
1
1
B
3- 0
0 2
.2
0 )(x)(x2)(
0)(x,0)(x,t
21
21
A
yttCXty
tt
)0( x
)0(x
)0(x
)0(x
e 0
0
)0(x
)(x
)(x
2
3
1
2
2
1
3t-
2
2
1
t
tt
At
e
ee
e
t
t
下：解：依据题意，解法如一定是稳定的。
却不输出是稳定的，而状态是稳定的有是稳定的时是不稳定的时
)( x)(
)( x
t)0(xe)(x
)( x
t)0(x)( x
2
2
2
3t-
2
1
1
2
1
tCXty
t
t
t
et
t
一定是不稳定的。状态不稳定时，其输出时当是不稳定的时是不稳定的时
y,t
)(x
)( x
,t)0(xe)(x
)( x
,t)0(x)(x
1
2
2
3t
2
1
1
2
1
tCXty
t
t
t
et
t
。试判断该系统的稳定性已知例 0 1C
1
0
B
3 0
0 2
.3
A
$4 判别稳定性的李雅普诺夫方法
B ( X )AXX
0,0
),(),(
.
附近展成泰勒级数在数存在则有连续的偏导对，若有在李氏第一法（间接法）一
ee
XX
xtxftxfX
一、李氏第一法（间接法）
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
t)f ( x,
A
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
T
状态。时，系统处于临界稳定）（当
）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似处稳定则系统在的特征值具有负实部，，一次近似
0
AAXX )3(
0X
AAXX )2(
0X
AAXX ( 1 )
e
e
XB
XB
偏导数的标量如果存在具有连续一阶中其
，
设系统的状态方程为定理无关则数与若该函李氏函数虚构的能量函数李氏第二法（直接法）二
)0(0),0(
),(
.1
)(t
t ),V ( x,--
.
ttf
txfX
xV
二、李氏第二法（直接法）
大范围内的渐近稳定。
态是，则在原点处的平衡状
，有着致渐近稳定的，如果随平衡状态是一则在状态空间原点处的为负定为正定并满足：函数
t)V ( x,
t)2,V ( x,
t)1,V ( x,
),,(
X
txV
稳定性。试分析其平衡状态时的已知例
)(
)(:
2
2
2
1212
2
2
2
1121
xxxxX
xxxxX
定。处为大范围内的渐近稳时又由于为负定为正定选取解出平衡状态令解
0x,V ( x ),x
)- 2 (x22( x )V
V ( x )
0,00,t)f ( x,X:
22
2
2
1221
2
2
2
1
21
xxxxx
xx
xx
X(0),
,:
.X
( x )V,XV ( x )
:
函数是李氏函数故动稳定性函数能够确定系统的运预选的说明趋向原点的速度状态则表示随着时间的推移而到状态空间原点的距离表示系统状态其几何意义为
V
V
时不恒为零。在及任意对任意负半定正定且满足条件偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶
。其中设系统的状态方程为定理
0
0000
0
,0),,,(.3
),(.2
),(.1
:
),,(
)(0),0(
),,(X
:
2.
tt
xtttxtV
txV
txV
txV
tttf
txf
定理 2
然而，又由于相切，在切点上能与某个特定的曲面故典型轨迹可不是负定而是负半定，由于
。
解出发的系统状态方程的时从初始状态表示在其中稳定。状态为大范围内的渐近状态空间原点处的平衡
，时，
当平衡状态为渐近稳定，则在状态空间原点处的
0t)( x,V
Ct)V ( x,
t)( x,V
),,(
),,(
)(
00
00
00
txtx
Xtt
txt
xVX
态的稳定性。试分析该系统的平衡状已知系统的状态方程为例
。是要继续向原点运动的间的推移它总切点上不动，而随着时不可能停留在于零，所以典型轨迹便时不恒等在和任意对任意
212
21
000
00
X
.1
0
),,,(
XX
XX
ttXt
ttxtV
并非唯一。定性，李氏函数的选取的稳同，但只要能说明系统可能使分析过程有所不不同，由于选取的李氏函数说明：由上面分析看出渐近稳定。
致衡状态是大范围内的一给定系统在原点处的平时，当为负定。
为正定选李氏函数为解：方法一：
,)(
2))(()(
2)(
2
1
)(
2
2
2
122112121
2
2
2
1
2
21
xVX
xxxxxxxxxxxV
xxxxxV
为负定为李氏函数。
选取正定函数解得系统的平衡状 态为由方法二
2
22211
2
2
2
1
21
222)(
)(
0,0
0),(
.
xxxxxxV
xxxV
xx
txfX
定。，是大范围内的渐近稳，
渐近稳定的，又由于处的平衡状态是因此，给定系统在原点零，只可能在原点处恒等于这表明而时不恒等于零。因为若又有
)(
)(
,0
0002
)(
1212
22
2
2
0
xVx
xV
xxxx
xxxV
ttxV
212
21
21
m
f
,
,
0
m
f
.2
xS i n x
l
g
x
xx
xx
S i n
l
g
，于是有选取统，其运动方程为具有空气阻尼的单摆系例
总能量等于其动能与定性问题。单摆系统的的稳平衡状态现在确定单摆系统的零于是有得即：
如下：态确定单摆系统的平衡状
0X
)2,1,0,(n
0
n
X
0
0
0
m
f
0
0)(
e
e
1
2
21
2
e
e
e
S i n x
x
xS i n x
l
g
x
xf
X
是渐近稳定的又由于为负半定而正定有氏函数为势能之和，于是选取李
0
0)(,
)(
)(
0,0)(
0,0)(
2
1
)c o s1()(
:
2
2
2
22
2
11
2
2
2
1
e
X
xV
fxlxxmlxm g l S i n xxV
xV
xxV
xxV
xmlxm g lxV
处恒为零。一的某为负半定，但在原点上，。
为正定，。
且满足条件：标量函数一阶偏导数的如果存在一个具有连续
）。（其中已知系统的状态方程为定理
x
txV
txV
xV
tttf
txfX
)(2
)(1
),(
0),0(
),,(
::3
0
态的稳定性。试分析该系统的平衡状
：已知系统的状态方程为例态之上。
定的等幅振荡状况下，系统保持一个稳稳定，在这种情义下的稳定，但非渐近状态是在李氏意则系统在原点处的平衡
12
21
.1
xx
kxx
定。是稳定的，但非渐近稳为零在任意状态上均可保持负半定正定且选取李氏函数为
：解：系统的平衡状态为
e
e
X
xV
xV
xkxxxxV
xVkkxxxV
X
)(
)(
022)(
)( )0()(
:
0
2
2211
2
2
2
1
的在同一邻域内也是正定，。
正定在原点附近的邻域内为，。
且满足条件：标量函数一阶偏导数的如果存在一个具有连续
）。（其中系统的状态方程为定理
)(2
)(1
),(
0),0(
),(
:.4
0
txV
txV
xV
tttf
txfX
.
)(
222)(
)()(
,0:
.
::
2
22211
2
2
2
1
212
21
系统是不稳定的正半定为正定的且选取解试分析该系统的稳定性已知系统的状态方程为例
xV
xxxxxxV
xVxxxV
X
xxx
xx
e
212
21
:
,
,
,
,:
xxx
xx
例如前一例题的情况函数进行分析。这时可以重新选取李氏在定是不稳定的系统的零平衡状态不一如果不满足定理的条件稳定的充分条件如果的充分条件是系统零平衡状态稳定上述定理李氏函数的选取要恰当注意
.:
.
,,
)(
0)(0
0)(0
0)(0
2224)(
,)(
)(
0:
21
21
21
2
2212211
2
2
2
1
的一般方法目前尚无构成李氏函数困难得出完全不同的结论可能当这说明李氏函数选择不系统将不稳定超出一定范围时不定这说明当初始状态时时时为正定的且选取
xV
xVxx
xVxx
xVxx
xxxxxxxxV
xV
xxxV
X
e
$5 应用李雅普诺夫方法分析线性系统的稳定性存在矩阵或实对称阵正定的赫米特矩阵有一个或实对称阵个正定的赫米特矩阵的矩阵。给定一为的矩阵，而为其中设系统的状态方程为定理夫稳定性分析。线性定常系统李雅普诺一
P
nnAn
XAXX
)(
)(
*1*
.1
.
一,线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析可选为李氏函数。
则定处是大范围内的渐近稳衡状态的唯一解，则系统在平这是方程
PXXxV
X
PAPA
T
e
T
)(
,
0
:
）为正定。（
应为负定，即必须有系统故对于渐近稳定为正定为正定，
）（
为正定的其中证明：选取
PAPA
QXXxV
xV
xVP
XPAPAXXPXPXXxV
P
PXXxV
T
T
TTTT
T
-Q
)(
:)(
,)(
)(
)(
PAPA
Q
QPAPA
P
P
QPAPA
Q
xV
T
T
T
则要方便的多，通常
，然后检查阵先指定正定矩是否也是正定的，这比的
，然后检查满足等式定一个正定的矩阵的符号特征时，首先指在判定说明：
,
0
0
:
)(.1
沿任意一条轨迹不恒如果
：矩阵的积分公式计算算也比较困难可用下面比较高时，其运方程组。当系统的阶数个代数的元素时，需要求解多即计算
，求矩阵解李氏方程
QXXV
dtQee
P
P
PQPAPA
T
AttA
T
T
.3
P
0.2
0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Q
最简单的是：
也可以去正半定矩阵，等于零，则 Q
于是有下面的定理。
个李氏函数。是该线性定常系统的一纯量函数的充要条件为有唯一正定实对称矩阵
，李氏方程阶正半定矩阵任意给定的一个全局渐近稳定，则唯一的零平衡状态线性定常系统卡尔曼定理：定理
PXXxV
nQQ
P
Qn
X
AXX
T
n
e
)(
)A ( A Qr a n k
:
0
.2
1TT
的稳定性。平衡状态
，确定系统零试构造系统的李氏函数程为二阶线性定常系统的方例
0
11
10
x
x
.1
2
1
2
1
e
X
x
x
，设选定解：方法一
Q
2
3
P
1P
2
1
P
12
0
12P-
10
01
11
10
1-0
1-0
11
22
12
2212
121122
12
2221
1211
2221
1211
2221
1211
）（
有由
PP
PPP
PP
PP
PP
PP
QPAPA
PP
PP
P
T
正定其中
P
P
0
4
5
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
2
1
2
1
2
3
P
2
111
QXXxxxV
xxxxPXXxV
X
T
T
e
)()(
2
3
)(
0
2
2
2
1
2
221
2
1
而内的渐近稳定的。
处是大范围因此，给定系统在
10
00
11
10
11
10
,
0
2
1010
1000
A
10
00
.
2221
1211
2221
1211
T
PP
PP
PP
PP
Q
XP
r a n kQQr a n k
Q
e
代入李氏方程将渐近稳定的。
是全局，由卡尔曼定理知存在对称矩阵则有选定方法二函数不唯一。说明：同一系统的李氏负半定即：所以解得：
2
2
2
2
2
1
11
22
12
)(
)(
2
1
)(
2
1
0
0
2
1
P
2
1
P
2
1
P
0P
xQXXxV
PXXxxxV
T
T
的取值范围。增益系统渐近稳定，试确定图如下，要求设线性定常系统的方框例
K
.2
+
-
k/(s+1) k/(s+2) 1/sr
krxkxx
xxx
xx
xr
s
k
x
x
s
x
x
s
x
313
322
21
13
32
21
2
)(
1
2
1
1
解：有图可得：
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1-0k-
12-0
010
0
0
0
1-0k-
12-0
010
x
x
x
x
x
x
r
r
kx
x
x
x
x
x
则有若
000
000
000
)0,0,0(,0
2
313
322
21
Q
X
xkxx
xxx
xx
选取解得平衡状态为令因此
有且是大范围内的渐近稳定
QPAPA
X
K
KK
r a n k
QQQr a n k
T
e
.
3
100100100
00000000
0000000
)(A A
2TT
( 3 ) 0
( 2 ) 02
( 1 ) 0
:
100
000
000
10
120
010
110
021
00
331312
231211
13
333231
232221
131211
333231
232221
131211
KPPP
KPPP
P
kppp
ppp
ppp
ppp
ppp
pppk
解得
( 1 0 )
2
1
-P-P
( 9 ) 03P-
( 8 ) 02P
( 7 ) 0P
1
( 6 ) 1)(2
( 5 ) 03
( 4 ) 0)22 ( P
3323
2223
2212
3312
3323
222313
2212
P
P
kP
PP
PPP
P
）代入有将（
K
K
K
KP
PP
212
6
P
( 1 2 )( 1 1 ),
( 1 2 )
2
P
K*( 1 0 )-( 9 )
( 1 1 ) 06
)8(2*)9(
12
2312
2312
解得有得到得到
K
K
K
P
P
K
K
P
212
3
P
( 8 )
212
6
)7(
212
22
33
12
23
中得到而代入中得到代入将
6K0
0K
0K2-12
:
212
6
212
0
212212
3
212
6
0
212
6
212
12
2
解得为正定的充要条件为准则知使根据 PS yl v es t er
KK
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
KK
P
:),(
),(
:
X,0X
A ( t ) X ( t )( t )X
::
.
ee
使得矩阵在一个连续的对称正定存称正定矩阵对任意给定的连续的对充要条件是处的大范围渐近稳定的则该系统在是该系统的平衡状态方程为设线性时变系统的状态定理诺夫稳定性分析线性时变系统的李雅普二
tP
tQ
二,线性时变系统的李雅普诺夫稳定性分析
为正定对称矩阵。其中氏函数为李选取证明为李氏函数并选取成立
)(,
)()()(),(
:
.
)()()(),(
,
)()()()()()(
tP
tXtPtXttXV
tXtPtXttXV
tQtAtPtPtAtP
T
T
T
)()()()()()(
)()()()()(( t ) Q
( 2 )( 1 ),,Q ( t )
( 2 ) )()()(),(
:,),(
,
( 1 ) )()()()()()()(
)()()()()()()()()(
),(
tQtAtPtPtAtP
tAtPtPtPtA
tXtQtXttXV
ttXV
tXtXtPtPtPtAtX
tXtPtXtXtPtXtXtPtX
ttXV
T
T
T
TT
TTT
得则由为连续正对称正定矩阵其中记为应为负定对于渐近稳定系统定理根据李雅普诺夫稳定性来计算矩阵阵时变系统的状态转移矩时，可以通过线性上式表明，当选定时，得到当取转移矩阵。为线性时变系统的状态其中分方程，其解为：上式为黎卡提矩阵的微
),(
)(
),(),(),()(),()(
:)(
),(
),()(),(),()(),()(
0
0
000
0
000
t
tQ
dtttttPtttP
tQ
tt
dtQttttPtttP
t
t
TT
t
t
TT
。系统矩阵，非奇异矩阵阶的为阶，为状态向量，其中状态方程为设线性定常离散系统的定理：
雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李三时变系统的稳定性。正定的性质来分析线性是否具有连续，对称，并根据矩阵来计算矩阵阵时变系统的状态转移矩时，可以通过线性上式表明，当选定
nnAnX
kAXkX
tPtP
t
tQ
1
)()1(
:
.
)().(
),(
)(
)()()(
:
0
0
kPXkXkXV
QPPAA
P
Q
X
X
T
T
e
e
为成立，且李氏函数可取使个正定赫米特矩阵
，存在一阵给定任意正定赫米特矩件为：处为渐近稳定的充要条在系统为系统的平衡状态，该设
）（
根据李氏定理，要求
）（
则之差代替定常系统，用于线性为正定赫米特矩阵，对其中证明：选
2 )()()(
:
1 )()(
)()1()(
),(
)()1(
)()()(
kQXkXkXV
kXPPAAkX
kXVkXVkXV
xV
kXVkXV
P
kPXkXkXV
T
TT
T
正定是必要条件。处渐近稳定，矩阵Ｐ为状态定，当要求系统在平衡解出的矩阵Ｐ是否为正
＝－
，然后进行验算由矩阵Ｑ，如可选Ｑ＝
或实对称特）先给定一个正定赫米说明：（
近稳定的充要条件为：得线性定常离散系统渐
）求）和（为正定矩阵，由（为负定，其中
0
)(1
21
e
T
T
X
PPAA
PPAAQ
Q
近稳定的条件。
状态处大范围渐为试求取该系统在平衡系统的状态方程例：已知线性定常离散也可以取为半正定。
于零，则矩阵Ｑ沿任一解的序列不恒等
－（２） 如果 )()()( kQXkXkXV
T
＝０Ｐ
－１
－１
＝解得Ｐ
－１０
０－１
＝
ＰＰ
ＰＰ
－
０
０
ＰＰ
ＰＰ
０
０
，有＝－，由解：选取Ｑ＝
１２
２
１
１１
２２２１
１２１１
２
１
２２２１
１２１１
２
１
PPAA
T
0
))((
0
2
2
1
２２
１２２２１
１２１１
２
１
１１
２
２
２
１
２
２
２２
１－ １－
１
ＰＰ
ＰＰ
１－
－１
Ｐ
１－
－１
０
０
１－
－１
而Ｐ＝
－１
－１
＝Ｐ
1
1
1
1
1
0))((
0)(
2
1
2
1
1
2
或解得
１－ １－
１－
２２
１
２
１
P
,
)2(
,,,)1(
:)(,:
1,1
21
求出
＝－
＝－
由离散
＝－或
＝－连续定常由一般正半定正定选取矩阵的步骤如下做李氏函数线性系统小结综合有
PPAA
QPPAA
PPAA
QPPAA
QQ
xV
T
T
T
T
.)()5(
)(
,)4(
.,
,
,P( 3 )
半定验证其是否是负定或负求出即为李氏函数后求出矩阵的各个元素确定出矩阵件下准则的条在满足上述的关系利用是正定对称矩阵的要求根据
xV
PXXxV
P
P
S y l v e s t er
T
$6 应用李雅普诺夫方法分析非线性系统的稳定性线性系统渐近稳定渐近稳定的。因此，非态，它可能是局部内非渐近稳定的平衡状系统中，在大范围稳定的。然而在非线性大范围内也是渐近渐近稳定的，则它必在衡状态是局部在线性系统中，如果平
.
025.0
:
2
其相平面如右图所示统的运动方程为不同。例如，某线性系性的涵义又有所性与线性系统渐近稳定
XXXX
稳定条件的李氏点周围最大范围内满足坐标原故通常总是设法找出在定的性质部稳由于非线性系统具有局性是局部的近稳定该非线性系统具有的渐因此穷远轨迹都将趋于无从阴影区域外出发的相都将趋于原点但在阴影区域内的相轨迹是渐近稳定的为鞍点。焦点原点为稳定系统有两个奇点
,
,
,.
,)0,0()0,2(,
)0,2(),0,0(
对又设即衡状态为坐标原点设已知该系统的一个平维向量为其中程为若非线性系统的运动方如下：
对此简述已经有了一些方法特殊情况下但在数的方法尚无统一的选取李氏函下在一般情况对非线性系统来说然而函数
)(,0)0(,
,
f ( x ),X
,,
.,
,,.
xff
nX
一,克拉索夫斯基方法数。其中可作为该系统的李氏函而且标量函数下都是负定的在所有充要条件是赫米特矩阵处渐近稳定的则该系统在平衡状态的一阶偏导数是连续的于
( x ) f ( x )*fV ( x )
,X
F ( x )( x )*F( x )F
0
),3,2,1(
e
i
X
niX?
n
n
n
xxx
xxx
xxx
n
2
n
1
n
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
fff
fff
fff
F ( x )
是正定的。显然时，对于时，
由于仅当的正定性。证明：
的渐近稳定。则平衡状态是大范围内时，有共轭转置矩阵。如果的及分别为矩阵及
)()(*)(
0)(0
0)0(0
)()(*)()1(
)()(*
)()()(*)(*
xfxfxV
xfX
fXX
xfxfxV
xfxf
X
xfxFxfxF
e
氏函数。
是该系统的李的，
是渐近稳定故系统的平衡状态是负定的。负定，故由于的符号性）（
)()(*)(
0
)()(
)()(
)(*
)()()(*)(*
)()(*)()(*( x )V
)()()(
)(
( x )f
)( 2
xfxfxV
X
xVxF
xfxFxf
xfxFxFxf
xfxfxfxf
xfxFXxF
dt
dx
x
xf
dt
xdf
xV
e
可能是稳定的。本方法提出的要求，也统即使不满足件，对于某些非线性系稳定的充分条态，本方法给出的只是的一个平衡状注意：对于非线性系统构造李氏函数。
判定其稳定性并试用克拉索夫斯基定理其中举书上例子：非线性系统的方程式为例
0
)(
)(X
)(.1
2
2
2
121
2
2
2
112
2
1
a
XXaXX
XXaXX
X
2
2
2
121
21
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
121
2
2
2
112
2
1
321
213
x
f
F ( x )
)(
)(
( x )f
( x )f
f ( x )
0
axaxxx
xxaxax
x
f
x
f
x
f
x
f
XXaXX
XXaXX
X
e
解：
2
2
2
1 2 1
2 1
2
2
2
1
2
2
2
1 2 1
2 1
2
2
2
1
2
2
2
1 2 1
2 1
2
2
2
1
6 2 4
4 2 6
(x) F
6 2 4
4 2 6
3 2 1
2 1 3
F(x) (x) * F (x) F
ax ax x ax
x ax ax ax
Sylvester
ax ax x ax
x ax ax ax
ax ax x x
x x ax ax
准则 由
.X
V ( x ),
.
0)()()(*)(
:
.F ( x ),( x )F
0)(12
16)62)(26(
026
e
32
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
11
是全局渐近稳定的故时当是正定的而李氏函数是负定的故是正定的由此可见
X
xxaxxxfxfxV
xxa
xxaaxaxaxax
axax
.0X
,2
e
3
2212
11
时的稳定性试分析平衡状态已知例
XXXX
XX
3
221
1
2
1
( x)f
( x)f
f ( x),
XXX
X
解
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
621
12
( x )F
-
621
12
311
01
310
11
F ( x )( x )*F
311
01
x
f
F ( x )
x
x
xx
x
x
f
x
f
x
f
x
f
.X
)(,
0)(
)()(*)(
:
.0X
01231)62(2
02
e
23
221
2
1
e
2
2
2
22
1
是大范围内的渐近稳定时当而李氏函数为处是渐近稳定的
xVX
xxxx
xfxfxV
xx
其中有不是时间的显函数，则的显函数，而是状态向量数，并假定表示一个假想的李氏函为平衡状态，用设变量梯度法二
XVx
x
V
x
x
V
x
x
V
V
XV
V
XtxfX
T
n
n
e
2
2
1
1
:
0),,(
..
二,变量梯度法关，可用下法计算：上式的积分值于路径无的线积分来求取，即：可以作为是，李氏函数为李氏函数的梯度。于
x
0
1
1
)(V dxV
V
V
V
V
x
V
x
V
V
T
n
n
就必须使矩阵数的线积分来求取标量函向量函数方向上的分量，要由在是其中
VV
XVV
dxV
dxVdxVV
ii
xxxxxxx
nn
xxx xxxxx
nnn
),,(
0
)0(
0
)0,(
0
2211
112211
321 43112
),,3,2,1,(
x
V
x
V
:,
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
F
i
j
j
i
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
nji?
即是对称矩阵
为负定或至少为负半定限制求出，由按假设步骤如下：定理。确定李氏函数的还必须满足李氏稳定性和度等于零，当然维旋的问题，使其的问题就转化成求一个理论的标量函数于是，满足李氏稳定性
V
VVXVV
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
V
V
V
T
nnnnn
nn
nn
)3(
( 2 )
)1(
VV
n
2211
2222121
1212111
确定渐近稳定的范围应用公式求结果重新校核
，故需要按所得的上步可能改变了必须是对称的。但矩阵待定系数中的个旋度方程确定应用
)7(
( 6 )
( 5 )
2
)1(
( 4 )
1
0
1?
x
ij
dxVV
V
V
Fa
V
nn
问题。并分析该系统的稳定性造李氏函数，试应用变量梯度法来构运动方程为例：已知非线性系统的
22
2
2
111
2x
xx
xxx
2121
121111
2 xxa
xaxa
V
V 的梯度为解：设
2
1
2
1
111221
2121
21
2
221
2
1
111221
221211212111
2
:,,,
.,21
,021
2)21(
1,0
)2()(V
x
x
V
V
V
Vaaa
xxxx
Vxx
xxxxV
aaa
XxxaXxaxaXV
T
得到中代入将的限制条件是负定则如果则取于是有
.F,
20
01
0
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
为对称阵所以满足旋度方程又得到
X
V
X
V
X
V
X
V
F
X
V
X
V
.
,21,
,
0
2
1
V
21
2
2
2
1
x
0
22
x
0
11
21
是渐近稳定的给定系统的范围内在因此它是一个李氏函数正定
xx
V
xxdxVdxV
$1 概 述电机电机电压为恒定的能力压自动调节系统中保持常见的电统的稳定性。例如这一种本能通常叫做系系统的下继续工作下去相对稳定状态的平衡状态新仍有能力自动地在另一但在外部干扰去掉后坏被破相对稳定状态虽然它的原有平衡状态干扰后外界也就是说，当系统受到先是一个稳定的系统。
正常的工作，它必须首一个自动控制系统要能
,
,
,)(
,,
)(,
系统的一个动态属性。
。可见稳定性乃是可能是一个稳定的系统显然它不其偏差量越来越大到外界干扰后假如系统在受敛性偏差量的过渡过程的收系统的外界干扰后定性就是系统受到小的所谓系统的稳由上面所讲的含义可见定系统。
统被称为不稳反之不具有稳定性的系系统系统被称为稳定的等都是。具有稳定性的行为一定的能力以及火箭飞行中保持航力机转速为一定的能自动调速系统中保持电
,,
,
,
,;
,
这类系统的最佳运行状态。在解决况，保证系统的正常和适应新的情要求而加以改变，才能往需要根据性能指标的
，往即使是系统结构的本身系统都是一些非线性或时变而且大较复杂现代控制系统的结构比是很难胜任的来说但一般些特定的系统上应用上述稳定判据尚能在某方法转化虽说通过一些对系统的统但对于非线性或时变系断定性进行判稳定性判据对系统的稳判据或可用性定常系统若所论的系统是一个线任意小的规定量衡位置的大小系统的被调量偏高其平式中
,
,.,
,,
,,
N y q u i s tH u r w i t z-
o u t h,
x ( t )
x ( t )l i m
R
t
定的。稳定的，否则便是不稳近周围是，则该系统在工作点附具有负实数部分的复根
，或者是式的根全部是负实数根如果线性化的特征方程以描述。的微分方程来近似地加范围内可以用线性化了近的一定非线性系统在工作点附定性，同时，他还指出系统的稳后根据解的性质来判断解系统的微分方程，然
。第一法是通过求简称第一法和第二法归纳成两种方法
，判断系统稳定性的问题年，李雅普诺夫就如何理论。而得到的一些稳定性的夫第二法方法还是基于李雅普诺稳定性方面，最通用的
)(
1 8 9 2
定性。因此应用李氏就能用来判断系统的稳出的稳定性理论准则函数符合李雅普诺夫提能量函数。只要这一但它并非是一个真正的衡量系统积蓄的能量，辅助函数，可以用它来李雅普诺夫创造了一个到一个极小值。由此，
则系统积蓄的能量必达系统运动到平衡点时，
时，平衡点，则当他指出：若系统有一个能量的观点出发得来的行分析和判断。它是从可以对系统的稳定性进求解系统的微分方程就法）的特点是不必李氏第二法（亦称直接
t
采用来说较简单控制系统在结构上相对一，何况过去的得到广泛应用的原因之氏稳定理论未能论未能得到广泛应用李期内李氏稳定理过去的一段相当长的时方法，这也是在的寻求李氏函数的一般有一个简便可惜直到目前为止还没数。
诺夫函此函数通常称为李雅普助函数到一个合适的辅定理的关键在于能否找
,
,
理论。
然后再谈稳定绍所以就这一类问题作介等概念衡点，渐近稳定性由于李氏理论用到了平进展。
也颇有面在如何寻求李氏函数方有成效的结果而且已经有了许多卓视和应用又重为人们所重研究分析所以近期对李氏理论的遇到很大困难判据对系统稳定性分析用其他已知的一些稳定于系统的结构日益复杂但正如前面所说的，由定判据已是能解决问题前面提到的其他一些稳
,,
,.
,
,
.
$2 系统微分方程的奇异解和稳定性的关系的函数及变量变化率为式中先从二阶系统谈起为明了起见二阶系统一
x
( 1 ) 0),(),(
d
.,
.
21
212
2
dt
dx
AA
x
dt
dx
xA
dt
dx
dt
dx
xA
dt
x
一、二阶系统
( 3 ) ),(
dt
dx
( 2 ) ),(
dt
dx
:上式可写成则,来描述X和X式用两个变量( 1 )若
21
2
21
1
21
xxQ
xxp
所代表的就是系统系统的微分方程的奇点因此即变量在奇点处无变化的变化率等于零或说在奇点上变量于零的点就是奇点式等凡能使由微分方程理论可知
,.,
,,
)3(),2(,
21
XX
的稳定性如何。计出系统在平衡点附近就可以近似地估将原有函数展开为级数用泰勒定理然后在坐标原点附近利位置移至坐标原点的坐标轴的转换将平衡点可以通过在不失一般性的情况下全面的了解。才能对系统的稳定性有况奇点的分布状统的稳定性时必须明了在分析系所以在运动过程中的平衡点
,
,
,
,
,.
的稳定性情况。地表示出该类奇点周围便能形象应轨迹在平衡点附近作出其相可以式所描述的系统由例如
,
,( 3 )( 2 ),,
2
2222121
2
1112212
2
2
2222112
2
1112111
1
dt
dx
xaxxaxaxbxa
dt
dx
:,( 3 )( 2 ),
xbxxbxbxbxa
即为级数式在坐标原点附近展开将
AXX,
X
X
b a
b a
X
X
,
( 5 )
dt
dx
( 4 )
dt
dx
:,
2
1
22
11
2
1
2111
2
2111
1
或写成即有忽略高次项
xbxa
xbxa
)()(
)0()0()(
)(
:
)(x,,,
( s )xb( s )xa( 0 )x( s )sx
( s )xb( s )xa( 0 )x( s )sx
:)5()4(,
,
( 5 )( 4 ),,
122121
2
2112
1
1
221222
211111
babasbas
xbxbs
sx
s
的根的分布情况要决定于其特征方程式的解主变量因此初始状态已知上式中式取拉氏变换和对对此析。再对剩下的变量进行分量消去一个后式中的变可将考察奇点特性时不稳定焦点位于右半平面上为共轭复数稳定焦点位于左半平面上为共轭复数种情况二阶系统的奇点共有六众所周知定了奇点的特性在复平面上的位置就决则根且皆为常数设的特征多项式为则
,,,( 2 )
.,,,( 1 )
:,
.,
2
4
0b,ba,
0
:)(x
21
21
21
2
1,2
2
1
baa
ba
s
1221
21
ba-bab
)b- ( aa
令
.,,,( 6 )
.,,,( 5 )
.,,,( 4 )
.,,,( 3 )
21
21
21
21
鞍点轴的左边位于为实数中心节点轴上位于为共轭复数不稳定节点位于右半平面上为实数稳定节点位于左半平面上为实数
jw
jw
( 2 ) 0),f(
t:
)(t)t,X( t,
,X,tt
)t,X( t,.t,n X
( 1 ) ),(
:.
.
0000
00
00
tX
XX
X
tXfX
e
皆能满足下列关系所有时间平衡状态即时方程的解表示初始条件为是观测的时间维状态向量为其中若一个系统可以描述为来描述系统的稳定性能或很难用相轨迹法对于高于二阶系统不可高阶系统二
值都系统的平衡点。式的一切凡满足平衡点为系统的平衡状态。则称时
X
X e
)2(:
,
二、高阶系统式的关系。一个解满足只有为非奇异时当性定常系统的一般解中求出。对线式不能从式得来平衡点只能从由上式可以看出
( 2 )0X,A
AXt)f ( X,X
)1(,)2(,
.( 3 )
( 3 ) 0t)f ( 0,
:
)2(,,
.,
,,
)2(A;,
的平衡状态表达式式即为常用的连续系统写成式可以因此坐标原点过坐标的转换将其移至孤立的平衡点可以通前面已经谈到任何彼此衡状态可能有一个或者多个平性系统但对于非线态系统有无穷多个平衡状无穷多解式有为奇异时当系统只有一个平衡状态因此
$3 李雅普诺夫意义下的稳定
。被称为系统的平衡状态则时当的稳定性的含义一，李雅普诺夫意义下同。原理中所讲的也有所不就其概念来说，与调节所示的那么简单，而且解释，不象定性的含义有其自己的定理论时，对于稳当李雅普诺夫谈到其稳
e
X
0),f(
)(l i m
tX
tx
e
t
时当 3n0,X e
状态平面表示一个圆时当它代表矢量的长度它等于：被称为欧几里德范数。
其中可写成的球域时为半径为圆心态应用范数表示以平衡状
,X
2,0X
)X()X()X(X
X X,
,X
2
2
2
1e
e
2
en
2
e22
2
e11e
ee
e
cxxX
n
XXxX
XRXR
n
状态空间表示一个球,232221 cxxxX
.,
)t(t X-)t,x(t,
,
)t,x(t,),()(
X-X
:)(
0e00
00
e
为给定的常数其中其范数为：的所有各点的球域的解是含有方程它的范数为件可以画出一个球域设对应于系统的初始条
txfXS
S
,
),(t X-)t,x( t,
,
X
0),(,0
),(
0
0e00
e
0
致稳定的平衡状态。则称这种平衡状态为一有关有关也与与一般决定球域大小的稳定的。
李雅普诺夫意义下是则称系统的平衡状态恒有时使得当存在一个实数点于任意选定的对若系统
t
X
t
X
t
txfX
e
1.李雅普诺夫稳定：
稳定。是李雅普诺夫意义下的系统的平衡状态则称出发的轨迹不离开无限增加时从
e
X
SSt ),()(
使得当若存在一个球域于每一个球域对定性可以解释为李雅普诺夫意义下的稳
),()(
,
SS
)(?S)(?S
eX
指的就是这种情况。
即近稳定的。则称此类平衡状态是渐之外，而且最后收敛于不仅不能超出球域时当内出发的任意一个解又从球域的稳定在李雅普诺夫意义下是如果平衡状态渐近稳定性
)(lim
)(
,)(,
X
.2
e
tx
XS
tS
t
e
)(?S
)(?S
eX
2.渐近稳定性
.
,
,,),(
,
的渐近稳定就叫做在大范围内那么系统的平衡状态于都收敛时当的每一个解如果有或大范围内的渐近稳定。这时的平衡状态称做是则迹都保持渐近稳定性果由这些状态出发的轨
ee
XX
ttxfX
如状态空间中的所有各点对于所有的状态大范围内的渐近稳定性 ),(,3
)(?S
)(?S
eX
3.大范围内的渐近稳定因而是有局限性的。到扰动的大小范围问题没有涉及只牵涉到小的扰动所讲的稳定性的概念中的要求。过去调节系统使它能满足系统稳定性的大小从而可以设法抑制干扰系统的抗干扰稳度才能明了这一知道渐近稳定性的范围个局部概念因为渐近稳定是一要的确定稳定的范围是很重定性的就一定是大范围渐近稳只要是渐进稳定的点线性系统只有一个平衡说明
,
,,
,,
,,
,2.
,
,,.1
:
说明：
不稳定的。
是之外，这时称平衡状态超出球域的轨迹最终会，使得从这一状态出发态一个初始状周围的球域内总存在着状态在平衡小不管这两个实数有多么数和任意一个实如果对于某个实数不稳定性
e
e
XS
X
X
)(
,,0
0
,.4
0
eX
4.不稳定性负定则称正定若有负定为正定。则标量函数如果正定有以下几种特征对所有的状态内的邻域设在零平衡状态标量函数的正定性定义二
)(,)(
)2(
)(
,0,0)(
,0,0)(
.)1(
:
0
:.
xVxV
xV
xxV
xxV
X
X
e
二、标量函数的下定性定义：
符号不定。称则也可为负既可为正有的状态对所有多小不论内的邻域在不定为负半定则称为正半定若有负半定为正半定。则称若有正半定
)(
,,)(,
,,0
)5(
.)(,)(
)4(
)(
,0,0)(
,0,0)(
)3(
xV
xVX
X
xVxV
xV
xxV
xxV
e
2
3
2
1
2
3
2
2
4
1
32 1
)()2(
2)()1(
x x X
.)(:
xxxV
xxxxV
x
xV
T
已知的正定性确定下列标量函数例
)(
0,0)(
0,0)(
正半定xV
xxV
xxV
0)(,0;0)(,0,)(, xVxxVxxV 为正定解
0)(
0)(,0;0,0x
0)(,0,
321
xV
xVxx
xVx
其余解
2
3
2
21
)(( 3 ) xxxxV
正半定有对于其余的时又解
)(
0)( X,
0,0)(
0)(,0,0x
0,0)(
0)(,0
213
xV
xV
xxV
xVxx
xxV
xVx
负半定则有对于其余的时解
)( 0,0)(
0,0)(
0)( x,
0)( - 2 xx0,x
0)(,0
231
xVxxV
xxV
xV
xV
xVx
2
3
2
2
2
1
2
321
2
1
2)()5(
)2()()4(
xxxxV
xxxxxV
不定解
)( 0)( 2
0)( 2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
xVxVxxx
xVxxx
正。的所有主子行列式均为即正定阵矩正定的充分必要条件是二次型一赛尔维斯特准则即为实对称矩阵其中单项式的纯量函数各项均为自变量的二次二次型则二次型及赛尔维斯特准三
PP
PXXxV
PPPPP
PPP
PPP
xPX
T
T
jiij
nnnn
n
,
)(.1
)(
,,
x
x
x xXV ( x )
:
.
n
1
2 1
1 12 11
n2 1
T
三、二次型赛乐维斯特准则正定即负定矩阵负定的充分必要条件是二次型
PP
PXXxV
pPP
PPP
PP
PP
P
T
nnnn
n
,
)(2.
0
0
0
21
11211
n
2221
1211
2
111
征值。不足之处是需要计算特来确定的特征值可根据的正定性对称矩阵为此负半定及不定性较困难的正半定特别是性的正定来确定矩阵依据其主子行列式的值的所有主子行列式较多由于较高阶数的正半定即负半定是矩阵负半定的充分必要条件二次型的所有主子行列式非负即正半定是矩阵正半定的充分必要条件二次型
,
,,
,,
,
,
)(4.
,
)(3.
PP
P
P
P
PP
PXXxV
PP
PXXxV
T
T
有的为负正它的特征值有的为不定的充分必要条件是不大于零是它的特征值均为负半定的充分必要条件不小于零是它的特征值均为正半定的充分必要条件它的特征值均为负负定的充分必要条件是它的特征值均为正正定的充分必要条件是二
,
5.
.
4.
.
3.
.2.
..1
0)(
P
P
P
P
P
P
定理：
019
2 1
1 10
010
x
x
1 1- 2-
1- 2 1
2- 1 10
x x
24221 0 xV ( x )
2
1
3
2
1
32 1
323121
2
3
2
2
2
1
xx
xxxxxxxx解
323121
2
3
2
2
2
1 242210xV ( x)
.)(.1
xxxxxxxx
xV
的正定性确定二次型例正定V ( x )
05
1 1- 2-
1- 2 1
2- 1 10
3
3
2
1
32 1
x
x
1- 0 0
0 2 0
0 0 1
x x xxxV解：
的正定性。确定例 232221 2xV ( x)2,xx
不定。定，故负，即符号不的特征值的符号有正有
V ( x )
P
1,2,1
0)1)(2)(1(
1 0 0
0 2- 0
0 0 1
321
P
才渐近稳定。负实数根时系统的状态的特征根均为为非奇异，且其中李氏第一法：
补充：
AA
)0(eX ( t )
At-
XAXX
试判断系统的稳定性。
其中已知例
1 2C
1
0
B
3- 0
0 2
CXy
.1
A
BUAXX?
)0(xe)( x
)0(x)( x
e 0
0
2
3t-
2
1
2
1
3t-
2
t
et
e
e
t
t
At
解：
。试判断该系统的稳定性已知例其输出必然是稳定的。系统的状态是稳定的，
即时当
0 1C
1
1
B
3- 0
0 2
.2
0 )(x)(x2)(
0)(x,0)(x,t
21
21
A
yttCXty
tt
)0( x
)0(x
)0(x
)0(x
e 0
0
)0(x
)(x
)(x
2
3
1
2
2
1
3t-
2
2
1
t
tt
At
e
ee
e
t
t
下：解：依据题意，解法如一定是稳定的。
却不输出是稳定的，而状态是稳定的有是稳定的时是不稳定的时
)( x)(
)( x
t)0(xe)(x
)( x
t)0(x)( x
2
2
2
3t-
2
1
1
2
1
tCXty
t
t
t
et
t
一定是不稳定的。状态不稳定时，其输出时当是不稳定的时是不稳定的时
y,t
)(x
)( x
,t)0(xe)(x
)( x
,t)0(x)(x
1
2
2
3t
2
1
1
2
1
tCXty
t
t
t
et
t
。试判断该系统的稳定性已知例 0 1C
1
0
B
3 0
0 2
.3
A
$4 判别稳定性的李雅普诺夫方法
B ( X )AXX
0,0
),(),(
.
附近展成泰勒级数在数存在则有连续的偏导对，若有在李氏第一法（间接法）一
ee
XX
xtxftxfX
一、李氏第一法（间接法）
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
t)f ( x,
A
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
T
状态。时，系统处于临界稳定）（当
）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似处稳定则系统在的特征值具有负实部，，一次近似
0
AAXX )3(
0X
AAXX )2(
0X
AAXX ( 1 )
e
e
XB
XB
偏导数的标量如果存在具有连续一阶中其
，
设系统的状态方程为定理无关则数与若该函李氏函数虚构的能量函数李氏第二法（直接法）二
)0(0),0(
),(
.1
)(t
t ),V ( x,--
.
ttf
txfX
xV
二、李氏第二法（直接法）
大范围内的渐近稳定。
态是，则在原点处的平衡状
，有着致渐近稳定的，如果随平衡状态是一则在状态空间原点处的为负定为正定并满足：函数
t)V ( x,
t)2,V ( x,
t)1,V ( x,
),,(
X
txV
稳定性。试分析其平衡状态时的已知例
)(
)(:
2
2
2
1212
2
2
2
1121
xxxxX
xxxxX
定。处为大范围内的渐近稳时又由于为负定为正定选取解出平衡状态令解
0x,V ( x ),x
)- 2 (x22( x )V
V ( x )
0,00,t)f ( x,X:
22
2
2
1221
2
2
2
1
21
xxxxx
xx
xx
X(0),
,:
.X
( x )V,XV ( x )
:
函数是李氏函数故动稳定性函数能够确定系统的运预选的说明趋向原点的速度状态则表示随着时间的推移而到状态空间原点的距离表示系统状态其几何意义为
V
V
时不恒为零。在及任意对任意负半定正定且满足条件偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶
。其中设系统的状态方程为定理
0
0000
0
,0),,,(.3
),(.2
),(.1
:
),,(
)(0),0(
),,(X
:
2.
tt
xtttxtV
txV
txV
txV
tttf
txf
定理 2
然而，又由于相切，在切点上能与某个特定的曲面故典型轨迹可不是负定而是负半定，由于
。
解出发的系统状态方程的时从初始状态表示在其中稳定。状态为大范围内的渐近状态空间原点处的平衡
，时，
当平衡状态为渐近稳定，则在状态空间原点处的
0t)( x,V
Ct)V ( x,
t)( x,V
),,(
),,(
)(
00
00
00
txtx
Xtt
txt
xVX
态的稳定性。试分析该系统的平衡状已知系统的状态方程为例
。是要继续向原点运动的间的推移它总切点上不动，而随着时不可能停留在于零，所以典型轨迹便时不恒等在和任意对任意
212
21
000
00
X
.1
0
),,,(
XX
XX
ttXt
ttxtV
并非唯一。定性，李氏函数的选取的稳同，但只要能说明系统可能使分析过程有所不不同，由于选取的李氏函数说明：由上面分析看出渐近稳定。
致衡状态是大范围内的一给定系统在原点处的平时，当为负定。
为正定选李氏函数为解：方法一：
,)(
2))(()(
2)(
2
1
)(
2
2
2
122112121
2
2
2
1
2
21
xVX
xxxxxxxxxxxV
xxxxxV
为负定为李氏函数。
选取正定函数解得系统的平衡状 态为由方法二
2
22211
2
2
2
1
21
222)(
)(
0,0
0),(
.
xxxxxxV
xxxV
xx
txfX
定。，是大范围内的渐近稳，
渐近稳定的，又由于处的平衡状态是因此，给定系统在原点零，只可能在原点处恒等于这表明而时不恒等于零。因为若又有
)(
)(
,0
0002
)(
1212
22
2
2
0
xVx
xV
xxxx
xxxV
ttxV
212
21
21
m
f
,
,
0
m
f
.2
xS i n x
l
g
x
xx
xx
S i n
l
g
，于是有选取统，其运动方程为具有空气阻尼的单摆系例
总能量等于其动能与定性问题。单摆系统的的稳平衡状态现在确定单摆系统的零于是有得即：
如下：态确定单摆系统的平衡状
0X
)2,1,0,(n
0
n
X
0
0
0
m
f
0
0)(
e
e
1
2
21
2
e
e
e
S i n x
x
xS i n x
l
g
x
xf
X
是渐近稳定的又由于为负半定而正定有氏函数为势能之和，于是选取李
0
0)(,
)(
)(
0,0)(
0,0)(
2
1
)c o s1()(
:
2
2
2
22
2
11
2
2
2
1
e
X
xV
fxlxxmlxm g l S i n xxV
xV
xxV
xxV
xmlxm g lxV
处恒为零。一的某为负半定，但在原点上，。
为正定，。
且满足条件：标量函数一阶偏导数的如果存在一个具有连续
）。（其中已知系统的状态方程为定理
x
txV
txV
xV
tttf
txfX
)(2
)(1
),(
0),0(
),,(
::3
0
态的稳定性。试分析该系统的平衡状
：已知系统的状态方程为例态之上。
定的等幅振荡状况下，系统保持一个稳稳定，在这种情义下的稳定，但非渐近状态是在李氏意则系统在原点处的平衡
12
21
.1
xx
kxx
定。是稳定的，但非渐近稳为零在任意状态上均可保持负半定正定且选取李氏函数为
：解：系统的平衡状态为
e
e
X
xV
xV
xkxxxxV
xVkkxxxV
X
)(
)(
022)(
)( )0()(
:
0
2
2211
2
2
2
1
的在同一邻域内也是正定，。
正定在原点附近的邻域内为，。
且满足条件：标量函数一阶偏导数的如果存在一个具有连续
）。（其中系统的状态方程为定理
)(2
)(1
),(
0),0(
),(
:.4
0
txV
txV
xV
tttf
txfX
.
)(
222)(
)()(
,0:
.
::
2
22211
2
2
2
1
212
21
系统是不稳定的正半定为正定的且选取解试分析该系统的稳定性已知系统的状态方程为例
xV
xxxxxxV
xVxxxV
X
xxx
xx
e
212
21
:
,
,
,
,:
xxx
xx
例如前一例题的情况函数进行分析。这时可以重新选取李氏在定是不稳定的系统的零平衡状态不一如果不满足定理的条件稳定的充分条件如果的充分条件是系统零平衡状态稳定上述定理李氏函数的选取要恰当注意
.:
.
,,
)(
0)(0
0)(0
0)(0
2224)(
,)(
)(
0:
21
21
21
2
2212211
2
2
2
1
的一般方法目前尚无构成李氏函数困难得出完全不同的结论可能当这说明李氏函数选择不系统将不稳定超出一定范围时不定这说明当初始状态时时时为正定的且选取
xV
xVxx
xVxx
xVxx
xxxxxxxxV
xV
xxxV
X
e
$5 应用李雅普诺夫方法分析线性系统的稳定性存在矩阵或实对称阵正定的赫米特矩阵有一个或实对称阵个正定的赫米特矩阵的矩阵。给定一为的矩阵，而为其中设系统的状态方程为定理夫稳定性分析。线性定常系统李雅普诺一
P
nnAn
XAXX
)(
)(
*1*
.1
.
一,线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析可选为李氏函数。
则定处是大范围内的渐近稳衡状态的唯一解，则系统在平这是方程
PXXxV
X
PAPA
T
e
T
)(
,
0
:
）为正定。（
应为负定，即必须有系统故对于渐近稳定为正定为正定，
）（
为正定的其中证明：选取
PAPA
QXXxV
xV
xVP
XPAPAXXPXPXXxV
P
PXXxV
T
T
TTTT
T
-Q
)(
:)(
,)(
)(
)(
PAPA
Q
QPAPA
P
P
QPAPA
Q
xV
T
T
T
则要方便的多，通常
，然后检查阵先指定正定矩是否也是正定的，这比的
，然后检查满足等式定一个正定的矩阵的符号特征时，首先指在判定说明：
,
0
0
:
)(.1
沿任意一条轨迹不恒如果
：矩阵的积分公式计算算也比较困难可用下面比较高时，其运方程组。当系统的阶数个代数的元素时，需要求解多即计算
，求矩阵解李氏方程
QXXV
dtQee
P
P
PQPAPA
T
AttA
T
T
.3
P
0.2
0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Q
最简单的是：
也可以去正半定矩阵，等于零，则 Q
于是有下面的定理。
个李氏函数。是该线性定常系统的一纯量函数的充要条件为有唯一正定实对称矩阵
，李氏方程阶正半定矩阵任意给定的一个全局渐近稳定，则唯一的零平衡状态线性定常系统卡尔曼定理：定理
PXXxV
nQQ
P
Qn
X
AXX
T
n
e
)(
)A ( A Qr a n k
:
0
.2
1TT
的稳定性。平衡状态
，确定系统零试构造系统的李氏函数程为二阶线性定常系统的方例
0
11
10
x
x
.1
2
1
2
1
e
X
x
x
，设选定解：方法一
Q
2
3
P
1P
2
1
P
12
0
12P-
10
01
11
10
1-0
1-0
11
22
12
2212
121122
12
2221
1211
2221
1211
2221
1211
）（
有由
PP
PPP
PP
PP
PP
PP
QPAPA
PP
PP
P
T
正定其中
P
P
0
4
5
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
2
1
2
1
2
3
P
2
111
QXXxxxV
xxxxPXXxV
X
T
T
e
)()(
2
3
)(
0
2
2
2
1
2
221
2
1
而内的渐近稳定的。
处是大范围因此，给定系统在
10
00
11
10
11
10
,
0
2
1010
1000
A
10
00
.
2221
1211
2221
1211
T
PP
PP
PP
PP
Q
XP
r a n kQQr a n k
Q
e
代入李氏方程将渐近稳定的。
是全局，由卡尔曼定理知存在对称矩阵则有选定方法二函数不唯一。说明：同一系统的李氏负半定即：所以解得：
2
2
2
2
2
1
11
22
12
)(
)(
2
1
)(
2
1
0
0
2
1
P
2
1
P
2
1
P
0P
xQXXxV
PXXxxxV
T
T
的取值范围。增益系统渐近稳定，试确定图如下，要求设线性定常系统的方框例
K
.2
+
-
k/(s+1) k/(s+2) 1/sr
krxkxx
xxx
xx
xr
s
k
x
x
s
x
x
s
x
313
322
21
13
32
21
2
)(
1
2
1
1
解：有图可得：
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1-0k-
12-0
010
0
0
0
1-0k-
12-0
010
x
x
x
x
x
x
r
r
kx
x
x
x
x
x
则有若
000
000
000
)0,0,0(,0
2
313
322
21
Q
X
xkxx
xxx
xx
选取解得平衡状态为令因此
有且是大范围内的渐近稳定
QPAPA
X
K
KK
r a n k
QQQr a n k
T
e
.
3
100100100
00000000
0000000
)(A A
2TT
( 3 ) 0
( 2 ) 02
( 1 ) 0
:
100
000
000
10
120
010
110
021
00
331312
231211
13
333231
232221
131211
333231
232221
131211
KPPP
KPPP
P
kppp
ppp
ppp
ppp
ppp
pppk
解得
( 1 0 )
2
1
-P-P
( 9 ) 03P-
( 8 ) 02P
( 7 ) 0P
1
( 6 ) 1)(2
( 5 ) 03
( 4 ) 0)22 ( P
3323
2223
2212
3312
3323
222313
2212
P
P
kP
PP
PPP
P
）代入有将（
K
K
K
KP
PP
212
6
P
( 1 2 )( 1 1 ),
( 1 2 )
2
P
K*( 1 0 )-( 9 )
( 1 1 ) 06
)8(2*)9(
12
2312
2312
解得有得到得到
K
K
K
P
P
K
K
P
212
3
P
( 8 )
212
6
)7(
212
22
33
12
23
中得到而代入中得到代入将
6K0
0K
0K2-12
:
212
6
212
0
212212
3
212
6
0
212
6
212
12
2
解得为正定的充要条件为准则知使根据 PS yl v es t er
KK
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
KK
P
:),(
),(
:
X,0X
A ( t ) X ( t )( t )X
::
.
ee
使得矩阵在一个连续的对称正定存称正定矩阵对任意给定的连续的对充要条件是处的大范围渐近稳定的则该系统在是该系统的平衡状态方程为设线性时变系统的状态定理诺夫稳定性分析线性时变系统的李雅普二
tP
tQ
二,线性时变系统的李雅普诺夫稳定性分析
为正定对称矩阵。其中氏函数为李选取证明为李氏函数并选取成立
)(,
)()()(),(
:
.
)()()(),(
,
)()()()()()(
tP
tXtPtXttXV
tXtPtXttXV
tQtAtPtPtAtP
T
T
T
)()()()()()(
)()()()()(( t ) Q
( 2 )( 1 ),,Q ( t )
( 2 ) )()()(),(
:,),(
,
( 1 ) )()()()()()()(
)()()()()()()()()(
),(
tQtAtPtPtAtP
tAtPtPtPtA
tXtQtXttXV
ttXV
tXtXtPtPtPtAtX
tXtPtXtXtPtXtXtPtX
ttXV
T
T
T
TT
TTT
得则由为连续正对称正定矩阵其中记为应为负定对于渐近稳定系统定理根据李雅普诺夫稳定性来计算矩阵阵时变系统的状态转移矩时，可以通过线性上式表明，当选定时，得到当取转移矩阵。为线性时变系统的状态其中分方程，其解为：上式为黎卡提矩阵的微
),(
)(
),(),(),()(),()(
:)(
),(
),()(),(),()(),()(
0
0
000
0
000
t
tQ
dtttttPtttP
tQ
tt
dtQttttPtttP
t
t
TT
t
t
TT
。系统矩阵，非奇异矩阵阶的为阶，为状态向量，其中状态方程为设线性定常离散系统的定理：
雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李三时变系统的稳定性。正定的性质来分析线性是否具有连续，对称，并根据矩阵来计算矩阵阵时变系统的状态转移矩时，可以通过线性上式表明，当选定
nnAnX
kAXkX
tPtP
t
tQ
1
)()1(
:
.
)().(
),(
)(
)()()(
:
0
0
kPXkXkXV
QPPAA
P
Q
X
X
T
T
e
e
为成立，且李氏函数可取使个正定赫米特矩阵
，存在一阵给定任意正定赫米特矩件为：处为渐近稳定的充要条在系统为系统的平衡状态，该设
）（
根据李氏定理，要求
）（
则之差代替定常系统，用于线性为正定赫米特矩阵，对其中证明：选
2 )()()(
:
1 )()(
)()1()(
),(
)()1(
)()()(
kQXkXkXV
kXPPAAkX
kXVkXVkXV
xV
kXVkXV
P
kPXkXkXV
T
TT
T
正定是必要条件。处渐近稳定，矩阵Ｐ为状态定，当要求系统在平衡解出的矩阵Ｐ是否为正
＝－
，然后进行验算由矩阵Ｑ，如可选Ｑ＝
或实对称特）先给定一个正定赫米说明：（
近稳定的充要条件为：得线性定常离散系统渐
）求）和（为正定矩阵，由（为负定，其中
0
)(1
21
e
T
T
X
PPAA
PPAAQ
Q
近稳定的条件。
状态处大范围渐为试求取该系统在平衡系统的状态方程例：已知线性定常离散也可以取为半正定。
于零，则矩阵Ｑ沿任一解的序列不恒等
－（２） 如果 )()()( kQXkXkXV
T
＝０Ｐ
－１
－１
＝解得Ｐ
－１０
０－１
＝
ＰＰ
ＰＰ
－
０
０
ＰＰ
ＰＰ
０
０
，有＝－，由解：选取Ｑ＝
１２
２
１
１１
２２２１
１２１１
２
１
２２２１
１２１１
２
１
PPAA
T
0
))((
0
2
2
1
２２
１２２２１
１２１１
２
１
１１
２
２
２
１
２
２
２２
１－ １－
１
ＰＰ
ＰＰ
１－
－１
Ｐ
１－
－１
０
０
１－
－１
而Ｐ＝
－１
－１
＝Ｐ
1
1
1
1
1
0))((
0)(
2
1
2
1
1
2
或解得
１－ １－
１－
２２
１
２
１
P
,
)2(
,,,)1(
:)(,:
1,1
21
求出
＝－
＝－
由离散
＝－或
＝－连续定常由一般正半定正定选取矩阵的步骤如下做李氏函数线性系统小结综合有
PPAA
QPPAA
PPAA
QPPAA
xV
T
T
T
T
.)()5(
)(
,)4(
.,
,
,P( 3 )
半定验证其是否是负定或负求出即为李氏函数后求出矩阵的各个元素确定出矩阵件下准则的条在满足上述的关系利用是正定对称矩阵的要求根据
xV
PXXxV
P
P
S y l v e s t er
T
$6 应用李雅普诺夫方法分析非线性系统的稳定性线性系统渐近稳定渐近稳定的。因此，非态，它可能是局部内非渐近稳定的平衡状系统中，在大范围稳定的。然而在非线性大范围内也是渐近渐近稳定的，则它必在衡状态是局部在线性系统中，如果平
.
025.0
:
2
其相平面如右图所示统的运动方程为不同。例如，某线性系性的涵义又有所性与线性系统渐近稳定
XXXX
稳定条件的李氏点周围最大范围内满足坐标原故通常总是设法找出在定的性质部稳由于非线性系统具有局性是局部的近稳定该非线性系统具有的渐因此穷远轨迹都将趋于无从阴影区域外出发的相都将趋于原点但在阴影区域内的相轨迹是渐近稳定的为鞍点。焦点原点为稳定系统有两个奇点
,
,
,.
,)0,0()0,2(,
)0,2(),0,0(
对又设即衡状态为坐标原点设已知该系统的一个平维向量为其中程为若非线性系统的运动方如下：
对此简述已经有了一些方法特殊情况下但在数的方法尚无统一的选取李氏函下在一般情况对非线性系统来说然而函数
)(,0)0(,
,
f ( x ),X
,,
.,
,,.
xff
nX
一,克拉索夫斯基方法数。其中可作为该系统的李氏函而且标量函数下都是负定的在所有充要条件是赫米特矩阵处渐近稳定的则该系统在平衡状态的一阶偏导数是连续的于
( x ) f ( x )*fV ( x )
,X
F ( x )( x )*F( x )F
0
),3,2,1(
e
i
X
niX?
n
n
n
xxx
xxx
xxx
n
2
n
1
n
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
fff
fff
fff
F ( x )
是正定的。显然时，对于时，
由于仅当的正定性。证明：
的渐近稳定。则平衡状态是大范围内时，有共轭转置矩阵。如果的及分别为矩阵及
)()(*)(
0)(0
0)0(0
)()(*)()1(
)()(*
)()()(*)(*
xfxfxV
xfX
fXX
xfxfxV
xfxf
X
xfxFxfxF
e
氏函数。
是该系统的李的，
是渐近稳定故系统的平衡状态是负定的。负定，故由于的符号性）（
)()(*)(
0
)()(
)()(
)(*
)()()(*)(*
)()(*)()(*( x )V
)()()(
)(
( x )f
)( 2
xfxfxV
X
xVxF
xfxFxf
xfxFxFxf
xfxfxfxf
xfxFXxF
dt
dx
x
xf
dt
xdf
xV
e
可能是稳定的。本方法提出的要求，也统即使不满足件，对于某些非线性系稳定的充分条态，本方法给出的只是的一个平衡状注意：对于非线性系统构造李氏函数。
判定其稳定性并试用克拉索夫斯基定理其中举书上例子：非线性系统的方程式为例
0
)(
)(X
)(.1
2
2
2
121
2
2
2
112
2
1
a
XXaXX
XXaXX
X
2
2
2
121
21
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
121
2
2
2
112
2
1
321
213
x
f
F ( x )
)(
)(
( x )f
( x )f
f ( x )
0
axaxxx
xxaxax
x
f
x
f
x
f
x
f
XXaXX
XXaXX
X
e
解：
2
2
2
1 2 1
2 1
2
2
2
1
2
2
2
1 2 1
2 1
2
2
2
1
2
2
2
1 2 1
2 1
2
2
2
1
6 2 4
4 2 6
(x) F
6 2 4
4 2 6
3 2 1
2 1 3
F(x) (x) * F (x) F
ax ax x ax
x ax ax ax
Sylvester
ax ax x ax
x ax ax ax
ax ax x x
x x ax ax
准则 由
.X
V ( x ),
.
0)()()(*)(
:
.F ( x ),( x )F
0)(12
16)62)(26(
026
e
32
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
11
是全局渐近稳定的故时当是正定的而李氏函数是负定的故是正定的由此可见
X
xxaxxxfxfxV
xxa
xxaaxaxaxax
axax
.0X
,2
e
3
2212
11
时的稳定性试分析平衡状态已知例
XXXX
XX
3
221
1
2
1
( x)f
( x)f
f ( x),
XXX
X
解
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
621
12
( x )F
-
621
12
311
01
310
11
F ( x )( x )*F
311
01
x
f
F ( x )
x
x
xx
x
x
f
x
f
x
f
x
f
.X
)(,
0)(
)()(*)(
:
.0X
01231)62(2
02
e
23
221
2
1
e
2
2
2
22
1
是大范围内的渐近稳定时当而李氏函数为处是渐近稳定的
xVX
xxxx
xfxfxV
xx
其中有不是时间的显函数，则的显函数，而是状态向量数，并假定表示一个假想的李氏函为平衡状态，用设变量梯度法二
XVx
x
V
x
x
V
x
x
V
V
XV
V
XtxfX
T
n
n
e
2
2
1
1
:
0),,(
..
二,变量梯度法关，可用下法计算：上式的积分值于路径无的线积分来求取，即：可以作为是，李氏函数为李氏函数的梯度。于
x
0
1
1
)(V dxV
V
V
V
V
x
V
x
V
V
T
n
n
就必须使矩阵数的线积分来求取标量函向量函数方向上的分量，要由在是其中
VV
XVV
dxV
dxVdxVV
ii
xxxxxxx
nn
xxx xxxxx
nnn
),,(
0
)0(
0
)0,(
0
2211
112211
321 43112
),,3,2,1,(
x
V
x
V
:,
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
F
i
j
j
i
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
nji?
即是对称矩阵
为负定或至少为负半定限制求出，由按假设步骤如下：定理。确定李氏函数的还必须满足李氏稳定性和度等于零，当然维旋的问题，使其的问题就转化成求一个理论的标量函数于是，满足李氏稳定性
V
VVXVV
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
V
V
V
T
nnnnn
nn
nn
)3(
( 2 )
)1(
VV
n
2211
2222121
1212111
确定渐近稳定的范围应用公式求结果重新校核
，故需要按所得的上步可能改变了必须是对称的。但矩阵待定系数中的个旋度方程确定应用
)7(
( 6 )
( 5 )
2
)1(
( 4 )
1
0
1?
x
ij
dxVV
V
V
Fa
V
nn
问题。并分析该系统的稳定性造李氏函数，试应用变量梯度法来构运动方程为例：已知非线性系统的
22
2
2
111
2x
xx
xxx
2121
121111
2 xxa
xaxa
V
V 的梯度为解：设
2
1
2
1
111221
2121
21
2
221
2
1
111221
221211212111
2
:,,,
.,21
,021
2)21(
1,0
)2()(V
x
x
V
V
V
Vaaa
xxxx
Vxx
xxxxV
aaa
XxxaXxaxaXV
T
得到中代入将的限制条件是负定则如果则取于是有
.F,
20
01
0
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
为对称阵所以满足旋度方程又得到
X
V
X
V
X
V
X
V
F
X
V
X
V
.
,21,
,
0
2
1
V
21
2
2
2
1
x
0
22
x
0
11
21
是渐近稳定的给定系统的范围内在因此它是一个李氏函数正定
xx
V
xxdxVdxV
