第六章 矩阵位移法
6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，
借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系
结构受力、变形等计算的方法 。
理论基础：位移法
分析工具：矩阵
计算手段：计算机
基本思想,
?化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作 单元,
单元的连接点称作 结点,
?单元分析
对单元和结点编码,
6
3
4
5
1
2
1
3
5 6
4
2
e单元杆端力
?集零为整 ------ 整体分析
单元杆端力结点外力 ?
单元杆端位移?
结点外力 ? 单元杆端位移
(杆端位移 =结点位移 )
结点外力 ? 结点位移
基本未知量,结点位移
6.2 矩阵位移法解连续梁
一,离散化
----整体编码
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
ll ?1 ll ?2
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
1 2 ----单元编码
1,2,3 ----结点编码
(1),(2),(3) ----结点位移编码
结点位移逆时针为整,
结点力逆时针为整,
二,单元分析
建立单元杆端力和单元杆端位移的关系,
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
ll ?1 ll ?2
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
----单元杆端力
1,2----局部编码
单元分析的目的,
e1?
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e
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----单元杆端位移? ?
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1
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单元杆端力和单元杆端位移
逆时针为正,
e1?
ei
e
eF1
eF2
e2?
1
2二,单元分析
建立单元杆端力和单元杆端位移的关系,
----单元杆端力
1,2----局部编码
单元分析的目的,
? ?
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e
e
e
F
FF
2
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----单元杆端位移? ?
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e
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42
24
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简记为 ? ? ? ? ? ?eee kF ?? ---单元刚度方程
其中 称作 单元刚度矩阵 (简称作单刚 )??ek
二,单元分析
单元刚度矩阵中元素的物理意义
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eF1 eF2
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简记为 ? ? ? ? ? ?eee kF ?? ---单元刚度方程
其中 称作 单元刚度矩阵 (简称作单刚 )??ek
? ? ?
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ee
ee
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ee
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ii
ii
kk
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42
24
2221
1211
eijk
---发生 位移时在
i端所需加的杆端力, 0,1 ??
eiej ??
单元刚度矩阵性质,对称矩阵
三,整体分析
整体分析的目的,
建立结点力与结点位移的关系,
3312211111 ??? kkkP ???
简记为 ? ? ? ?? ??? kP
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
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k
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22k 32
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13k 23k
33k
21k
3322221212 ??? kkkP ???
3332321313 ??? kkkP ???
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kkk
kkk
kkk
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P
P
---结构刚度方程
--结构刚度矩阵 (总刚 )??k
11111 kk ?
1
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121k
12121 kk ? 031 ?k
11212 kk ? 21112222 kkk ?? 22132 kk ?
013 ?k 21223 kk ? 22233 kk ?
1
112k 122k
1
112k 122k
211k
221k
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333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
k
简记为 ? ? ? ?? ??? kP ---结构刚度方程
--结构刚度矩阵 (总刚 )??k
11111 kk ? 12121 kk ? 031 ?k
11212 kk ? 21112222 kkk ?? 22132 kk ?
013 ?k 21223 kk ? 22233 kk ?
单元刚度矩阵中元素的物理意义
ijk
---发生 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力,
,1?j?
结构刚度矩阵性质,对称矩阵
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
?
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=1
11k 31
k
=1
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?
12k
=1
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22k 32
k
13k 23k
33k
21k
1
111k
121k
1
112k 122k
1
112k 122k
211k
221k
? ?
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333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
k
简记为 ? ? ? ?? ??? kP
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
?
---结构刚度方程
--结构刚度矩阵 (总刚 )??k
11111 kk ? 12121 kk ? 031 ?k
11212 kk ? 21112222 kkk ?? 22132 kk ?
013 ?k 21223 kk ? 22233 kk ?
单元刚度矩阵中元素的 物理意义
ijk
---发生 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力,
,1?j?
结构刚度矩阵 性质,对称矩阵
总刚的形成方法 ---“对号入座”
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?k
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1
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kkk
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2
1
21
2
1
321
111k 112k
121k 122k
3
2
1
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22
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12
2
112
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kkk
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32
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2
211k?
221k
212k
222k0
0
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
?? ? ? ?? ??? kP
四,计算杆端力
计算结点位移
? ? ? ? ? ?eee kF ?? 计算杆端力
? ? ? ?? ??? kP
四,计算杆端力
计算结点位移
? ? ? ? ? ?eee kF ?? 计算杆端力
kN.m6
11?i 22 ?i
kN.m3 kN.m3
例, 计算图示梁,作弯矩图
解, 1.离散化
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)2.计算总刚,总荷
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3.解方程,求位移
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24/11
6/1
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4.求杆端力
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五,(零位移 )边界条件处理
方法, 先处理法后处理法
kN.m6
11?i 22 ?i
kN.m3 3P
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
后处理法, 置 0置 1法
乘大数法
(1)置 0置 1法
0
0 0 1 0
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2
1
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11?i 22 ?i
kN.m3
作弯矩图
练习,
11?i 22 ?i
kN.m3
作弯矩图
练习,
1 2 3
(1) (2) (3)
1 2
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kN.m6
11?i 22 ?i
kN.m3 3P
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
五,(零位移 )边界条件处理
方法, 先处理法后处理法
后处理法, 置 0置 1法
乘大数法
(1)置 0置 1法
(2)乘大数法
若,则将总刚主对角
元素 乘以大数 N.0?i?
iik
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2
1
3
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PN ?
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第三个方程变为,
3321 840 PN ??????? ???
)8/()40( 2133 NP ?????? ???
03 ??
e1?
EI
11 ?i 32 ?i
kN.m10作业,
1.作图示结构弯矩图
2.推导图示单元的单刚
e2?
eF1
eF2l
3.计算图示梁总刚中元素 44k
23k 25k
l 2l 3l 2l l
EI 2EI 3EI 4EI 5EI
4.思考题
(1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵?
(2).荷载不作用于结点上时怎么办?
(3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?
6.1 概 述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，
借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系
结构受力、变形等计算的方法 。
理论基础：位移法
分析工具：矩阵
计算手段：计算机
基本思想,
?化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作 单元,
单元的连接点称作 结点,
?单元分析
对单元和结点编码,
6
3
4
5
1
2
1
3
5 6
4
2
e单元杆端力
?集零为整 ------ 整体分析
单元杆端力结点外力 ?
单元杆端位移?
结点外力 ? 单元杆端位移
(杆端位移 =结点位移 )
结点外力 ? 结点位移
基本未知量,结点位移
6.2 矩阵位移法解连续梁
一,离散化
----整体编码
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
ll ?1 ll ?2
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
1 2 ----单元编码
1,2,3 ----结点编码
(1),(2),(3) ----结点位移编码
结点位移逆时针为整,
结点力逆时针为整,
二,单元分析
建立单元杆端力和单元杆端位移的关系,
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
ll ?1 ll ?2
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
----单元杆端力
1,2----局部编码
单元分析的目的,
e1?
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单元杆端力和单元杆端位移
逆时针为正,
e1?
ei
e
eF1
eF2
e2?
1
2二,单元分析
建立单元杆端力和单元杆端位移的关系,
----单元杆端力
1,2----局部编码
单元分析的目的,
? ?
?
?
?
?
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e
e
e
F
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2
1
----单元杆端位移? ?
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1
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42
24
?
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简记为 ? ? ? ? ? ?eee kF ?? ---单元刚度方程
其中 称作 单元刚度矩阵 (简称作单刚 )??ek
二,单元分析
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e1?
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eF1
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1
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eF1 eF2
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1
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1
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24
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简记为 ? ? ? ? ? ?eee kF ?? ---单元刚度方程
其中 称作 单元刚度矩阵 (简称作单刚 )??ek
? ? ?
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??
ee
ee
ee
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ii
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kkk
42
24
2221
1211
eijk
---发生 位移时在
i端所需加的杆端力, 0,1 ??
eiej ??
单元刚度矩阵性质,对称矩阵
三,整体分析
整体分析的目的,
建立结点力与结点位移的关系,
3312211111 ??? kkkP ???
简记为 ? ? ? ?? ??? kP
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
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1?
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=1
11k 31
k
=1
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12k
=1
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22k 32
k
13k 23k
33k
21k
3322221212 ??? kkkP ???
3332321313 ??? kkkP ???
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333231
232221
131211
3
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1
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?
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kkk
kkk
kkk
p
P
P
---结构刚度方程
--结构刚度矩阵 (总刚 )??k
11111 kk ?
1
111k
121k
12121 kk ? 031 ?k
11212 kk ? 21112222 kkk ?? 22132 kk ?
013 ?k 21223 kk ? 22233 kk ?
1
112k 122k
1
112k 122k
211k
221k
? ?
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?
?
?
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?
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333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
k
简记为 ? ? ? ?? ??? kP ---结构刚度方程
--结构刚度矩阵 (总刚 )??k
11111 kk ? 12121 kk ? 031 ?k
11212 kk ? 21112222 kkk ?? 22132 kk ?
013 ?k 21223 kk ? 22233 kk ?
单元刚度矩阵中元素的物理意义
ijk
---发生 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力,
,1?j?
结构刚度矩阵性质,对称矩阵
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
?
1?
?
=1
11k 31
k
=1
2?
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12k
=1
3?
?
22k 32
k
13k 23k
33k
21k
1
111k
121k
1
112k 122k
1
112k 122k
211k
221k
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333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
k
简记为 ? ? ? ?? ??? kP
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
?
---结构刚度方程
--结构刚度矩阵 (总刚 )??k
11111 kk ? 12121 kk ? 031 ?k
11212 kk ? 21112222 kkk ?? 22132 kk ?
013 ?k 21223 kk ? 22233 kk ?
单元刚度矩阵中元素的 物理意义
ijk
---发生 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力,
,1?j?
结构刚度矩阵 性质,对称矩阵
总刚的形成方法 ---“对号入座”
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?k
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1
22
1
21
1
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1
111
kk
kkk
21
2
1
21
2
1
321
111k 112k
121k 122k
3
2
1
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2
22
2
21
2
12
2
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kk
kkk
21
2
1
32
3
2
211k?
221k
212k
222k0
0
1P 2P 3P
ii ?1 ii ?2
1 21 2 3
1? 2? 3
?? ? ? ?? ??? kP
四,计算杆端力
计算结点位移
? ? ? ? ? ?eee kF ?? 计算杆端力
? ? ? ?? ??? kP
四,计算杆端力
计算结点位移
? ? ? ? ? ?eee kF ?? 计算杆端力
kN.m6
11?i 22 ?i
kN.m3 kN.m3
例, 计算图示梁,作弯矩图
解, 1.离散化
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)2.计算总刚,总荷
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840
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k
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42
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2
1
21
2
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482k
21
2
1
32
3
2
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3
3
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3.解方程,求位移
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24/11
6/1
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4.求杆端力
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0
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0
84
482F0
6
3
五,(零位移 )边界条件处理
方法, 先处理法后处理法
kN.m6
11?i 22 ?i
kN.m3 3P
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
后处理法, 置 0置 1法
乘大数法
(1)置 0置 1法
0
0 0 1 0
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0122
024
3
2
1
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11?i 22 ?i
kN.m3
作弯矩图
练习,
11?i 22 ?i
kN.m3
作弯矩图
练习,
1 2 3
(1) (2) (3)
1 2
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2
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P
P
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3
2
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1
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kN.m6
11?i 22 ?i
kN.m3 3P
1 2
1 2 3
(1) (2) (3)
五,(零位移 )边界条件处理
方法, 先处理法后处理法
后处理法, 置 0置 1法
乘大数法
(1)置 0置 1法
(2)乘大数法
若,则将总刚主对角
元素 乘以大数 N.0?i?
iik
?
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2
1
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4122
024
PN ?
?
?
第三个方程变为,
3321 840 PN ??????? ???
)8/()40( 2133 NP ?????? ???
03 ??
e1?
EI
11 ?i 32 ?i
kN.m10作业,
1.作图示结构弯矩图
2.推导图示单元的单刚
e2?
eF1
eF2l
3.计算图示梁总刚中元素 44k
23k 25k
l 2l 3l 2l l
EI 2EI 3EI 4EI 5EI
4.思考题
(1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵?
(2).荷载不作用于结点上时怎么办?
(3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?
