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逻辑代数基本概念
逻辑代数又称布尔代数，是 19世纪中叶英国数学家布尔首先提出来的。
它是研究数字逻辑电路的数学工具。
在这里我们是从应用的角度来介绍逻辑代数的一些基本概念、基本理论及逻辑函数的化简，以便读者掌握分析和设计数字逻辑电路所需的数学工具。
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逻辑代数基本概念
2.1.1逻辑变量和逻辑函数
逻辑代数是用来处理逻辑运算的代数 。
参与逻辑运算的变量称为逻辑变量,
用字母来表示 。 逻辑变量只有 0,1两种取值,而且在逻辑运算中 0和 1不再表示具体数量的大小,而只是表示两种不同的状态 。
逻辑函数是由若干逻辑变量 A,B,C、
D … 经过有限的逻辑运算所决定的输出 F。
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逻辑代数基本概念
2.1.2 基本逻辑运算
逻辑代数中的逻辑变量运算只有
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算。
任何复杂的逻辑运算都可以通过这三种基本逻辑运算来实现。
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逻辑代数基本概念
1.“与,逻辑运算
与逻辑运算又叫逻辑乘 。 其定义是：
当且仅当决定事件 F发生的各种条件 A、
B,C … 均具备时,这件事才发生,
这种因果关系称为,与,逻辑关系,
即,与,逻辑运算 。
两个变量的,与,运算的逻辑关系可以用函数式表示为：
F = A∩B = A B
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逻辑代数基本概念
与门的逻辑符号
“与”逻辑的真值表
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逻辑代数基本概念
“与”逻辑的波形表示
“与,逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：,与,门的输入信号中是否有
,0”,若输入有,0”，输出就是
,0”，只有当输入全为,1”,输出才是,1”。
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逻辑代数基本概念
2.“或,逻辑运算
,或,逻辑运算又叫逻辑加 。 其定义是：在决定事件 F发生的各种条件中只要有一个或一个以上条件具备时,
这件事就发生,这种因果关系称为
,或,逻辑运算关系 。
两个变量的,或,运算可以用函数式表示为：
F = A∪B = A + B
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逻辑代数基本概念
或门的逻辑符号
“或”逻辑的真值表
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逻辑代数基本概念
或门的波形
“或,逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：,或,门的输入信号中是否有
,1”,若输入有,1”,输出就是
,1”；只有当输入全为,0”时,输出才是,0”。
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逻辑代数基本概念
3．,非,逻辑运算
,非,逻辑运算又称,反相,运算,或称,求补,运算 。 其定义是：当决定事件发生的条件 A具备时,事件 F不发生 ; 条件 A不具备时,事件 F才发生 。 这种因果关系叫,非,逻辑运算 。 它的函数式为
F =
A
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逻辑代数基本概念
“非,门的逻辑符号
“非,逻辑的真值表
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逻辑代数基本概念
2.1.3导出逻辑运算
1,与非逻辑运算
实现先,与,后,非,的逻辑运算就是与非逻辑运算 。 其逻辑函数式如下,
“与非,门的逻辑符号
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逻辑代数基本概念
“与非,逻辑的真值表
“与非,逻辑运算可进行这样的逻辑判断：,与非,门输入信号中是否有
,0”,输入有,0”,输出就是,1”;
只有当输入全为,1”时,输出才是
,0”。
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逻辑代数基本概念
2．,或非,逻辑运算
实现先,或,后,非,的逻辑运算,
就是,或非,逻辑运算 。 其逻辑函数式如下：
“或非,门的逻辑符号
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逻辑代数基本概念
“或非,逻辑的真值表
“或非,逻辑运算可进行这样的逻辑判断：,或非,门的输入信号中是否有,1”,若输入有,1”,输出就是
,0”;只有当输入全为,0”时,输出才是,1”。
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逻辑代数基本概念
3．,与或非,逻辑运算
,与或非,逻辑运算的逻辑函数式如下
“与或非,门的逻辑符号
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逻辑代数基本概念
4．,异或,逻辑运算
用先,非,再,与,后,或,的逻辑运算,实现如下逻辑函数式的称为
,异或,逻辑运算 。
“异或,门的逻辑符号
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逻辑代数基本概念
“异或,逻辑运算的真值表
“异或,逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：,异或,门的两个输入信号是否相同,两个输入信号相同时,
输出为,0”; 两个输入信号不相同时,
输出为,1”。
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逻辑代数基本概念
“异或,逻辑运算的结果与输入变量取值为 0的个数无关 ; 与输入变量取值为 1的个数有关 。 变量取值为 1的个数为奇数,则输出为 1; 变量取值为
1的个数为偶数,则输出为 0。
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逻辑代数基本概念
5．,同或,逻辑运算
同或逻辑的逻辑函数式为,
“同或,门的逻辑符号
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逻辑代数基本概念
“同或,逻辑的真值表
对于,同或,逻辑来说,它的输出结果与变量值为 1的个数无关,而和变量值为 0的个数有关 。 变量值为 0的个数为偶数时,则输出为 1; 变量值为 0的个数为奇数时,则输出为 0。
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逻辑函数的表示方法
表示逻辑函数的方法有多种：逻辑表达式,真值表,波形图,逻辑图和卡诺图 。
1,逻辑表达式
逻辑表达式是由逻辑变量和,与,,
,或,,,非,三种逻辑运算符号构成的式子 。 同一个逻辑函数可以有不同的逻辑表达式,它们之间是可以相互转换的 。
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逻辑函数的表示方法
可以证明，以下 4个表达式是等价的：
也就是说，同一个逻辑函数的表达式不是唯一的。
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逻辑函数的表示方法
2,真值表
真值表是由逻辑函数输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
n个输入变量有 2种取值组合,在列真值表时,为避免遗漏和重复,变量取值按二进制数递增规律排列。
一个逻辑函数的真值表是惟一的。
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逻辑函数的表示方法
例 2.1,学生自习有两个教室,大教室能容纳两个班学生,小教室能容纳一个班的学生。
为节省能源,尽量少开灯。试列出三个班是不同的班级自习和有效使用教室的真值表。
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逻辑函数的表示方法
3,逻辑图
将逻辑表达式中的逻辑运算关系，
用对应的逻辑符号表示出来,就构成函数的逻辑图。
由于表达式不是惟一的，逻辑图也不是惟一的。
表达式为 F = A B + C D 的逻辑图：
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逻辑函数的表示方法
4,波形图
用变量随时间变化的波形,反映逻辑函数输入变量和输出函数之间变化的对应关系,称为逻辑函数的波形图 。
逻辑函数确定后，它的波形图就是确定的。
在相同输入的情况下，完整的表示逻辑函数输入输出关系的波形图是惟一的。
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逻辑函数的表示方法
5,卡诺图
逻辑函数的卡诺图是真值表的图形表示法 。
它是将逻辑函数的逻辑变量分为行,
列两组纵横排列,两组变量数最多差一个 。 每组变量的取值组合按循环码规律排列 。
这种反映变量取值组合与函数值关系的方格图,称为逻辑函数的卡诺图
同一函数的卡诺图是惟一的 。
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逻辑函数的表示方法
三变量和四变量卡诺图：
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逻辑代数的定理和规则
2.2.1逻辑代数的基本定律
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逻辑代数的定理和规则
2.2.2,常用公式吸收律 1,(a)A+AB =A ; (b) A(A+B)=A
证明 （ a） A + A B = A·1 + A B（ 自等律 ）
= A (1 + B) （ 分配律 ）
= A·1 （ 0-1 律 ）
= A （ 自等律 ）
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逻辑代数的定理和规则
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逻辑代数的定理和规则
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逻辑代数的定理和规则
2.2.4.逻辑代数的三个规则
1,代入规则
任何一个含有逻辑变量 X的逻辑函数式中,如果将函数式中所有出现 X的位置,都代之以一个逻辑函数 F,则等式仍然成立 。 这个规则称为代入规则 。
例：因为,A(A+B)=A
所以,(A+B)(A+B+C+D)=A+B
又例,因为：
所以：
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逻辑代数的定理和规则
2,反演规则
任何一个逻辑函数式 F,如果将 F式中所有的,·”变为,+”,,+”变为
,·”,,1”变为,0”,,0”变为
,1”,原变量变为反变量,反变量变为原变量,运算顺序保持不变,即可得到函数 F的反函数 。
求反函数：
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逻辑代数的定理和规则
求反函数：
需要注意的是,在利用反演规则求反函数时,要注意原来运算符号的顺序不能弄错,必须按照先,与,后
,或,的顺序 。 因此,上例中的或项,
要加括号 。 当,与,项变为,或,项时,也应加括号 。
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逻辑代数的定理和规则
若有两个函数相等,F1 = F 2,则它们的反函数也相等：
已知：
证明：
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逻辑代数的定理和规则
3,对偶规则
将逻辑函数式 F中所有逻辑符号,·”
变为,+,,,+,变为,·”,逻辑常量,0”变为,1”,,1”变为,0”，
而所有的逻辑变量和运算顺序保持不变,所得到的新的逻辑函数式称为 F
的对偶式 。
求对偶式：
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逻辑代数的定理和规则
若有两个函数式相等,F1 = F2,则它们的对偶式也相等 。 即等式的对偶式也相等,这就是对偶规则 。
前面介绍的逻辑代数的定理中,每个公式的式 （ a） 和式 （ b） 都是互为对偶式,因此,证明了 （ a） 式成立,（ b） 式也一定成立 。
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逻辑函数的标准表达式
逻辑函数的表达式可以有多种形式,
但是每个逻辑函数的标准表达式是唯一的 。 标准表达式有两种形式：
标准与或式及标准或与式 。
2.3.1标准与或式
标准与或式也称为最小项表达式 。
最小项：由函数的全部变量以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,所组成的与项,称为逻辑函数的最小项 。
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逻辑函数的标准表达式
最小项通常用 mi来表示 。 其下标 i是这样确定的：把最小项中的原变量记为 1,反变量记为 0,变量取值按顺序排列成二进制数 。 那么这个二进制数的等值十进制数就是下标 i。
如最小项 ABC用 m7表示 。
函数的标准,与或,式 （ 最小项表达式 ） 是由函数值为 1的那些最小项相
,或,所组成 。
F（ A,B,C） = m0·D0+ m1·D1+ m2·D2+
m3·D3+ m4·D4+ m5·D5+ m6·D6+ m7·D7
其中 Di就是相应的最小项对应的函数值 。
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逻辑函数的标准表达式
写出和以下真值表对应的最小项表达式：
对应的最小项表达式是：
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逻辑函数的标准表达式
最小项具有如下三个主要性质：
对于任意一个最小项,只有一组变量值使最小项取值为 1。
任意两个不同的最小项之积必为 0,即：
mi﹒ mj = 0
n个变量的所有 2n个最小项之和必为 1,即式中符号,∑,表示最小项求和。
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逻辑函数的标准表达式
非标准表达式到标准表达式的转换：
如果函数 F不是一个标准与或式,对于每个与项,可以通过基本公式来增添所缺少的变量,再进行合并：
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逻辑函数的标准表达式
2.3.2.标准或与式
1,最大项
由逻辑函数的全部变量以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次所组成的或项称为函数的最大项,用 Mi表示 。
M的脚标 i 是这样确定的：把最大项中的 原变量记为 0,反变量记为 1,变量取值按顺序排列成二进制数 。 那么这个二进制数的等值十进制数就是下标 i 。
在由真值表写最大项时,变量取值为 0
写原变量,变量取值为 1写反变量 。
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逻辑函数的标准表达式
最大项具有下列三个主要性质：
对于任意一个最大项,只有一组变量取值可使其值为 0。
任意两个最大项之和必为 1,即：
Mi + Mj = 1 (i ≠ j )
n个变量的所有 2n个最大项之积必为 0，
即：
12
0i
i
n
0M
一个三变量函数 f(A,B,C)的最大项
A+B+C表示为 M0。
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逻辑函数的标准表达式
3,标准或与式
全部由最大项之积组成的函数式称为标准,或与,式,又叫标准,和之积,
式,或称最大项表达式 。
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逻辑函数的标准表达式
写出和以下真值表对应的最大项表达式：
对应的最大项表达式是：
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逻辑函数的标准表达式
或与式到最大项表达式的转换：
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逻辑函数的标准表达式
最小项和最大项的关系：
下标相同的最小项和最大项互为反函数 。
同一逻辑函数既可以表示为标准与或式,也可以表示为标准或与式 。 如：
F =m2+m3+m4+m7=∑m(2,3,4,7)
= M0?M1?M5?M6 =∏ M(0,1,5,6)
一个逻辑函数的最小项集合与它的最大项集合,互为补集 。 因此已知函数的标准与或式,就可以很方便的写出它的标准或与式 。
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逻辑函数的标准表达式
2.3.3不完全确定的逻辑函数
对于有些逻辑函数,某些输入组合是不会发生的,或者某些输入组合的输出是不必关心的 。
对于这些输入组合所对应的输出是可以任意指定的,而不会影响函数的正常输出 。 这些输入组合称为任意项 。
这样的函数称为不完全确定的逻辑函数 。
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逻辑函数的标准表达式
例,设电路输入为一位十进制数的
8421BCD码,当输入代码中含有偶数个 1时,输出为 1,否则输出为 0。 试列出电路的真值表,写出标准与或式 。
真值表：
F(A,B,C,D) = ∑m (0,3,5,6、
9) + ∑d (10,11,12,13,14,15)
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逻辑函数的标准表达式
任意项的另一种表示：
任意项也可用一个衡等于 0的式子来表示,此等式称为约束条件 。 例如,
4变量函数的约束条件为 AB+AC=0 时,
就表示任意项为 ∑ d (10,11,12、
13,14,15) 。
这个条件要求,变量 A,B和 A,C不能同时为零,此时的 D可以任意 。
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逻辑函数的化简方法
2.4.1.逻辑函数式的化简目标
同一个逻辑函数可以有多种函数式的表达形式 。 一种形式的函数表达式对应于一种逻辑电路 。
为使实现给定逻辑功能的电路简单,
经济,快速,可靠,就要寻找最佳函数式 。
对于,与或,（,或与,） 表达式来说,最简表达式就是要求表达式中的项数最少 。 每项的变量数也最少 。
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逻辑函数的化简方法
2.4.2.代数化简法
用代数法化简逻辑函数的实质是反复运用逻辑代数的公式和规则,消去表达式中的多余项和多余变量,以达到最简的目的 。
在用代数法化简逻辑函数时,往往要依靠经验和技巧,带有一定的试凑性 。
最经常使用的公式有：结合律,交换律,分配律,常用公式中的几个吸收律等 。
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逻辑函数的化简方法
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逻辑函数的化简方法
P59 北京邮电大学 huimin@bupt.edu.cn2009-8-21
逻辑函数的化简方法
简化以下函数：
ABAC
BCA
BCBA
ABCBA
CCABCBA
A B CCABCBAF
)(
)(
)(
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逻辑函数的化简方法
2.4.3.卡诺图法化简逻辑函数
1,卡诺图的构成及特点
前面我们已经讲过卡诺图是真值表的图形表示法,它把函数变量分为两组纵横排列,n个变量组成 2n个小方格,
每个小方格对应一个最小项或最大项,
二变量,三变量函数,四变量函数和五变量函数的卡诺图,以及相应的最小项在卡诺图上面的分布如图所示 。
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逻辑函数的化简方法
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逻辑函数的化简方法
四变量卡诺图：
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逻辑函数的化简方法
五变量卡诺图：
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逻辑函数的化简方法
逻辑函数的卡诺图表示
1） 从真值表到卡诺图
由逻辑函数的真值表或逻辑表达式作该逻辑函数卡诺图的基本方法是：
根据逻辑函数中变量的数目 n,画出 n 个变量的卡诺图 ；
在真值表中输出为 1的最小项所对应的卡诺图的 mi小方格中填入 1,或者在真值表输出为 0的最大项所对应的
Mi的小方格填入 0,就是该函数的卡诺图 。
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逻辑函数的化简方法
例：画出三人表决器所对应的逻辑函数的真值表 。
相应的卡诺图是：
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逻辑函数的化简方法
2） 由标准与或式填卡诺图
由标准与或式填卡诺图时,对于函数式中所包含的最小项的方格中填 1，
所包含无关项的方格中填 d,其余各小方格中填 0。
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逻辑函数的化简方法
例,画 出 以 下 逻 辑 函 数 的 卡 诺 图,
F1(A,B,C,D)=∑m(1,3,6,9,12,13,15) ;
F2(A,B,C,D)=∑m(1,3,5,9,12,15)+∑d(2,13)
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逻辑函数的化简方法
3） 由标准或与式填卡诺图
由标准或与式填卡诺图时,对于函数式中所包含的确定最大项的方格中填 0,所包含无关项的方格中填 d，
其余各小方格中填 1。
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逻辑函数的化简方法
画出以下逻辑函数的卡诺图：
F3(A,B,C,D) =∏M(4,6,7,12,14,15) ;
F4(A,B,C,D) =∏M(0,4,5,9,12,15)?∏d(3,8,10)
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逻辑函数的化简方法
4） 由非标准与或式填卡诺图
对于每个与项中不带非的变量,和卡诺图中相应变量取值为 1的行或列对应,每个带非的变量,和卡诺图中相应变量取值为 0的行或列对应 。 在这些行,列相交的小格内填 1；
对于每个与项都按以上方法填图,如果小格已经有 1就不再重填 。
所有没有填 1的格内填入 0。
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逻辑函数的化简方法
例 2.19 填写函数的卡诺图
解：先画出 3变量的卡诺图 。 由于 A=B=1
时,F=1。 故在 A=B=1的各小方格内填 1。
同理,应在 B=0,C=1的各小方格内填 1；
还要在 A=1,C=0的各小方格内填 1。 余各格填 0。
P72 北京邮电大学 huimin@bupt.edu.cn2009-8-21
逻辑函数的化简方法
5） 由非标准或与式填卡诺图
对于每个或项中不带非的变量,和卡诺图中相应变量取值为 0的行或列对应,每个带非的变量,和卡诺图中相应变量取值为 1的行或列对应 。 在这些行,列相交的小格内填 0；
对于每个与项都按以上方法填图,如果小格已经有 0就不再重填 。
所有没有填 0的格内填入 1。
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逻辑函数的化简方法的卡诺图：
在填卡诺图时,对于 A=B=C=0的各小方格内填 0,对于 A=D=1,C=0的各小方格内填 0，
还要在 A=0,B=C=D=1的小方格内填 0,其余的格内填 1。
P74 北京邮电大学 huimin@bupt.edu.cn2009-8-21
逻辑函数的化简方法
卡诺图化简逻辑函数的基本原理
用卡诺图化简逻辑函数的依据是：
吸收律 ABAAB
及重叠律 A+A+A=A
每 2m个相邻格,可以合并为一项 。 合并项由这些格中取值相同的变量组成：变量值为 1的变量写为原变量,变量值为 0
的变量写为反变量 。
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逻辑函数的化简方法
在以下的卡诺图中,m0和 m1是相邻项,
相同取值的变量是 A=0 B=0 C=0,合并项是 CBA
相邻项 m0 m2 m8 m10的相同取值是 B=0
和 D＝ 0,合并项是 DB
化简表达式是 DBCBAF
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逻辑函数的化简方法
2,卡诺图化简单输出逻辑函数的步骤
用卡诺图化简单输出逻辑函数的步骤如下：
(1),根据给定逻辑函数填画卡诺图 ;
(2),由给定集成电路类型或设计要求,决定是圈 1写最简,与或,式,还是圈 0写最简,或与,式 ;
(3),先圈彼此相邻的 2m个 1(或 0)格组成的只有一个合并方向的合并项,再圈剩余
1(或 0)格组成的合并项,每个新合并项至少包括 1个未被圈过的 1(或 0)格,直到把所有的 1(或 0)格圈完,且合并项数目最少 ;
(4),读合并项写最简函数式 。
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逻辑函数的化简方法
例 2.20化简函数 F(A,B,C,D)=∑m( 2、
3,6,7,12,13,14,15)为最简,
与或,式 。
只有两个,一个合并方向,的合并项,
简化结果,CAABF
CAABF
最简式全部由只有一个合并方向的合并项组成,结果是唯一的 。
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逻辑函数的化简方法
化简函数 F(A,B,C,D)=∑m( 0,4,5、
8,9,11,13,15) 为最简,与或,式 。
最简式为：
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逻辑函数的化简方法
例 2.22 化简函数 F(A,B,C,D)=∑m(1、
5,7,8,9,10,11,14,15) 为最简,
与或,式 。
可以有三种结果：
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逻辑函数的化简方法
化简函数 F(A,B,C,D)=∏M(0,2,3、
4,6,12,13)为最简,或与,式 。
最简,或与,式为：
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逻辑函数的化简方法
化简函数
有两个最简或与式：
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逻辑函数的化简方法
4,用卡诺图法化简不完全确定的逻辑函数
在不完全确定的逻辑函数中含有约束项，约束项所对应的输出函数值可以是 0，也可以是 1。因此，在化简不完全确定的逻辑函数时，可以利用这些约束项，有助于逻辑函数的化简。为此，在卡诺图中圈画质蕴涵项时，可根据需要包括约束项，这时把约束项当 1(或 0)处理,但不能从约束项出发来圈画质蕴涵项 。
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逻辑函数的化简方法
化简函数
化简结果：
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逻辑函数的化简方法
5,卡诺图化简多输出逻辑函数
由于多输出电路本身是一个整体,
因此,在化简多输出函数时,首先应注意各输出函数共有的最小项
(或最大项 )的整体化简,看是否各输出皆可作同样化简,即寻求各输出函数的共用项,以求全局上最简,
而不是各个输出函数最简 。
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逻辑函数的化简方法
用卡诺图化简多输出函数的步骤如下：
1） 根据给定的多输出函数填画复合卡诺图；
2） 先圈各输出函数中单个 1(或单个 0)，
或圈只有某一个输出函数有 1(或 0)的 1(或 0)
格组成的特殊合并项；
3） 从复合卡诺图中有两个或两个以上函数所公有的 1格 (或 0格 )出发,圈公共合并项,这时对某一个输出函数来说不一定是最简；
4） 圈画剩余 1格 (或 0格 )组成的合并项,并尽可能组成函数的公用项使多输出函数的总项数最少 。
5） 写各输出函数的最简,与或,式,或者最简,或与,式 。
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逻辑函数的化简方法
化简多输出函数：
F1(A,B,C,D)=∑m( 5,7,8,9,10,11,13)
F2(A,B,C,D)=∑m( 1,7,11,15)
F3(A,B,C,D)=∑m( 1,6,7,8,9,10,11)
为最简,与或,式
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逻辑函数的化简方法
多输出函数的最简与或式,
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逻辑函数的化简方法
化简多输出函数,
F1(A,B,C,D)=∑m( 3,4,6,7,12,14,15)
F2(A,B,C,D)=∑m( 0,1,3,4,5,7,9,12)
F3(A,B,C,D)=∑m( 2,3,7,9,11)
为最简,与或,式 。
P89 北京邮电大学 huimin@bupt.edu.cn2009-8-21
逻辑函数的化简方法
多输出函数的最简与或式：
