第四章
受弯构件正截面承载
力计算
受弯构件：
同时受到弯矩 M
和剪力 V共同作用,而
N可以忽略的构件。
p p
l l l
M pl
V
p
4.1 概 述
? 受弯构件截面类型：梁、板
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
( e ) ( f ) ( g )
4.2 试验研究分析
4.2.1 梁的受力性能
4.2.2 梁正截面工作的三个阶段
（ 1）截面应力分布
?三个阶段
对适筋梁的试验：
L)41~31( L)41~31(P
L
应变测点
百分表
弯矩 M图
剪力 V图
P
可绘出跨中弯矩 M/Mu~f点等曲线如图：
第一阶段 —— 截面开裂前阶段。
第二阶段 —— 从截面开裂到纵向受拉钢筋
到屈服阶段 。
第三阶段 —— 破坏阶段 。
应变图
应力图
对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：
?y
My
fyAs
IIa
M
?sAs
II
?sAs
M
I
?c max
Mu
fyAs=Z
D
xf
IIIa
M
fyAs
III
?sAs
?t max
Mcr
Ia
ftk
Z
应变图
应力图
对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：
?y
My
fyAs
IIa
M
?sAs
II
?sAs
M
I
?c max
Mu
fyAs=Z
D
xf
IIIa
M
fyAs
III
?sAs
?t max
Mcr
Ia
ftk
Z
在弯矩作用下发生正截面受弯破坏；
在弯矩和剪力共同作用下发生斜截面受剪或
受弯破坏 。
? 本章要求掌握：单筋矩形截面, 双筋矩形截面,
单筋 T形截面正截面承载力计算 。
（ 2） 破坏特性
? 配筋率
0
s
bh
A??
纵向受力钢筋截面面积 As与截面有效面
积的百分比
4.2.3 配筋率对正截面破坏性质的影响
1,少筋梁：
? 一裂即断,由砼的抗拉强度控制,承载力很低。
? 破坏很突然,属脆性破坏。
? 砼的抗压承载力未充分利用。
? 设计不允许。
? < ?min
2,适筋梁：
? 一开裂,砼应力由裂缝截面处的钢筋承担,荷
截继续增加,裂缝不断加宽 。 受拉钢筋屈服,
压区砼压碎 。
? 破坏前裂缝, 变形有明显的发展,有破坏征
兆,属延性破坏 。
? 钢材和砼材料充分发挥 。
? 设计允许 。
?min ????max
3,超筋梁：
? 开裂,裂缝多而细, 钢筋应力不高,最终由于
压区砼压碎而崩溃 。
? 裂缝, 变形均不太明显,破坏具有脆性性质 。
? 钢材未充分发挥作用 。
? 设计不允许 。
? >?max
(a)
(b)
(c)
P P
P P
P P
P P
..
P P
...
P P
....
? 受弯小结
进行受弯构件截面各受力工作阶段的分析,可
以详细了解截面受力的全过程,而且为裂缝, 变形
及承载力的计算提供依据 。
Ia —— 抗裂计算的依据
II —— 正常工作状态,变形和裂缝宽度计算的依据 ;
IIIa —— 承载能力极限状态 ;
以 IIIa阶段作为承载力极限状态的计算依
据,并引入基本假定：
1,截面平均应变符合平截面假定；
2,不考虑受拉区未开裂砼的抗拉强度；
3,设定受压区砼的 ? — ?关系 (图 3-8)；
4,设定受拉钢筋的 ? — ?关系 (图 3-9)。
4.3 受弯构件正截面承载力的计算
4.3.1 基本假定
?
?cu0
fc
?0
砼
?
?
0
fy
fy
钢筋
4.3.2 受力分析
4.3.3 等效矩形应力图形
受压砼的应力图形从实际应力图 理想应力图
等效矩形应力图
－相对受压区高度令
0h
x??
xc— 实际受压区高度
x — 计算受压区高度,x = 0.8xc。
D D D
Mu Mu MuA
sfy Asfy Asfy
实际应力图 理想应力图 计算应力图
xc xc x
4.3.4 界限相对受压区高度与最小配筋率
（ 1）界限相对受压区高度
相对受压区高度
当 < 超筋梁破坏
b?
?
? b?
当 < 适筋梁破坏或少筋梁破坏
b??
（ 2）最小配筋率
min?
0?? X
0?? M
ysc1 fAbxf ??
)2( 0c1 xhbxfM ?? ?
)2( 0sy xhAfM ??
或
4.4 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4.4.1 基本公式与适用条件
引入相对受压区高度 ? 也可表为,
ys0c1 fAhbf ???
)5.01(20c1 ??? ?? bhfM
或
)5.01(0sy ??? hAfM
M —— 弯矩设计值。
h0—— 截面有效高度,h0 = h – as
单 排 布 筋 时 as=35mm
双排布筋时 as=60mm
要保证设计成适筋梁，则：
?min —— 最小配筋率,是由配有最少量钢筋 (As,min)
的钢筋混凝土梁其破坏弯矩不小于同样
截面尺寸的素砼梁确定的 。
? c35
? c40
?min????max
As,min= ?min bh
?min=0.15%
?min=0.2%
?max —— 最大配筋率,是适筋梁与超筋梁的界限配筋
率, 适筋梁和超筋梁的本质区别是受拉钢筋
是否屈服 。 钢筋初始屈服的同时,压区砼达
到极限压应变是这两种破坏的界限 。
从截面的应变分析可知,
?< ?b —— 适筋
?> ?b —— 超筋
?= ?b —— 界限
?cu
h0
?s
>?y
?<
? b
?>
? bh
0
? bh
0
?y
?s
<?y
由应变推出截面受压区高度与破坏形态的
关系是：
钢筋先屈服,然后砼压碎
钢筋未屈服,砼压碎破坏
当 ?s=?y
当 ?s>?y —— 适筋
当 ?s<?y —— 超筋
界限破坏
又 ?? =0.8 ?c
0 0 3 3.0
1
8.0
s
y
b
E
f
?
??
0 0 3 3.0
6.1
8.0
s
y
b
E
f
?
??
… 3 － 5
… 3 － 6
软钢：
硬钢：
故可推出软钢和硬钢的 ?b
由相对界限受压区高度 ?b可推出最大配筋率
?max及单筋矩形截面的最大受弯承载力 Mmax。
m a xs,y0bc1 Afhbf ????
y
c1
b
0
m a xs,
m a x f
f
bh
A ??? ???
?s= ?(1– 0.5?)
211 s?? ???
设
可得
故单筋矩形截面最大弯矩
)5.01( bb20c1m ax ??? ?? bhfM
20c1sb bhf???
?sb —— 截面最大的抵抗矩系数。
故限制超筋破坏发生的条件可以是：
???max
??? b,x ? xb
???sb
M ? Mmax
工程实践表明,当 ?在适当的比例时,梁, 板
的综合经济指标较好,故梁, 板的经济配筋率：
实心板
矩形板
T形梁
? = (0.4~0.8)%
? = (0.6~1.5)%
? = (0.9~1.8)%
截面设计：
截面校核：
As=?
b?h,fc,fy,M已知：
求：
b?h,fc,fy,As已知：
Mu=?求：
4.4.2 基本公式的应用
1,截面设计：
? 由结构力学分析确定弯矩的设计值 M
? 由跨高比确定截面初步尺寸
? 由受力特性及使用功能确定材性
? 由基本公式,(3-3)求 x
? 验算公式的适用条件 x ? xb (??? b)
? 由基本公式 (3-2) 求 As
m i n
0
??? ?? 验算bhA s?
? 选择钢筋直径和根数,布置钢筋
2,截面校核：
?求 x (或 ?)
? 验算适用条件
)( bbm i n
0
s ??? ??? 或和 xx
bh
A
?求 Mu
? 若 Mu ? M,则结构安全
当 ? < ?min
当 x > xb
Mu = Mcr = ?m ftw0
Mu = Mmax = α1fcbh02?b(1-0.5?b)
3,计算表格的制作和使用
由公式：
α1fcbh0?=Asfy
M =α1 fcbh02? (1－ 0.5?)
或 M = As fy h0(1－ 0.5?)
令 ?s = ?(1?0.5?)
?s = 1?0.5?
?,?s,?s之间存在一一对应的关系,可预先制
成表待查,因此对于设计题：
2
0c1
s bhf
M
?
? ?
对于校核题：
0c1
ys
bhf
fA
?? ?
?
y
0c1
s f
bhfA ???
)5.01(s ??? ?? s20c1u ?? bhfM ?
4.5.1 受压钢筋的应力
? 荷载效应较大,而提高材料强度和截面尺寸受
到限制；
?存在反号弯矩的作用；
? 由于某种原因,已配置了一定数量的受压钢筋 。
4.5 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4.5.2 基本计算公式与适用条件
基本假定及破坏形态与单筋相类似,以 IIIa作为
承载力计算模式 。 (如图 )
A?s f?y
M
As fy
??s=0.002
M
A?s f?y
As fy
A?s
As
(a) (b) (c) (d)
α1fc ?cu=0.0033
?s
α1fc b
a?s
as
h0
xx
由计算图式平衡条件可建立基本计算公式,
0?? X
0?? M
c1ysys bxffAfA ?????
)()2( s0ys0c1 ??????? ahfAxhbxfM ?
或,
0c1ysys ?? bhffAfA ????
)()5.01( s0ys20c1 ??????? ahfAbhfM ???
公式的适用条件：
???b
2as' ? x
条件 ???b 仍是保证受拉钢筋屈服,而 2as'?x 是
保证受压钢筋 As'达到抗压强度设计值 fy'。
但对于更高强度的钢材由于受砼极限压应变
的限值,fy'最多为 400N/mm2。
f 'y的取值：
受压钢筋 As?的利用程度与 ?s'有关,
当 x?2as'对 I,II级钢筋可以达到屈服强度,
4.5.3 基本公式的应用
截面设计
截面复核
? 截面设计：
又可分 As?和 As均未知的情况 I和已知 As ?
求 As‘的情况 II。
情况 I,已知,b?h,fcm,fy,fy ' 求 As及 As'
解, ? 验算是否能用单筋, Mmax= α1fc bh02?b(1?0.5?b)
当 M > Mmax且其他条件不能改变时,用双筋。
? 双筋用钢量较大,故 h0=h?as (50~60mm)
? 利用基本公式求解,
ysysc1 fAfAbxf ?????
)()2( s0ys0c1 ??????? ahfAxhbxfM ?
两个方程,三个未知数,无法求解。
? 截面尺寸及材料强度已定,先应充分发挥混凝
土的作用,不足部分才用受压钢筋 As?来补充 。
?令 x = xb = ?bh0
这样才能使 As+As?最省 。
将上式代入求得,
)(
)5.01(
s0y
bb
2
0c1
s ?
??
????
ahf
bhfMA ???
将 As?代入求得 As:
y
ys0bc1
s f
fAhbf
A
???
?
??
情况 II,已知,b?h,fcm,fy,fy ?,M 及 As',求 As：
解, 两个方程解两个未知数
由式 (3-21)求 x
)(
2
0c1
s0ys
s bhf
ahfAM
?
?
?????
?
s?? 211 ???
x = ? h0
当 2as?????b
y
ys0c1
s f
fAhbf
A
???
?
??
说明 As太少,应加大截面尺寸或按 As未知的
情况 I分别求 As及 As?。
当 ?> ?b
将上式求的 ?代入求 As
说明 As?过大,受压钢筋应力达不到 fy?,此时
可假定,
?? sax 2
)( s0y
s ?
?
?
ahf
MA
或当 As= 0的单筋求 As:
2
0c1
s bhf
M
?
? ?
取较小值。
令：
?
y
0c1
s f
hbfA ???
当 x < 2a's
双筋矩形截面的应力图形也可以采用分解的办法求解：
＋
＋
(a) (b) (c)
α1fcbx
M
α1fc
a?s
x
as
As fy
A?s f?y
M1
a?s A?
s f?y
As1 fyas
A?s
h
x
b
As
h
A?s
As1
b
h
As2
b
x
M2
α1fc
x
As2 fy
M = M1 + M2
As = As1 + As2
M1 = As ?fy?(h0?as)
M2 = M ? M1
2s22
0c1
2
2s Abhf
M ??? ?
?
?
双筋矩形截面梁的设计同样可以利用单筋
矩形梁的表格法 (?s,?,?s)。
图中,
式中,
? As1
? 截面复核,
已知,b?h,fc,fy,fy?,As,As?
解,求 x
截面处于适筋状态,将 x代入求得
)()2( s0ys0c1u ??????? ahfAxhbxfM ?
求,Mu
当 2as?x??bh0
)( s0ysu ??? ahfAM
截面此时 As?并未充分利用, 求得
及按单筋求得的 Mu取两者的较大值作为截面的 Mu。
截面处于超筋状态,应取 x = xb,求得：
)21()( bbc1s0ysu xbxfahfAM ??????? ?
只有当 Mu ? M时截面才安全。
当 x < 2as?，
当 x > ?bh0，
4.6.1 概述
? 矩形截面承载力计算时不考虑受拉区砼的贡
献, 可以将此部分挖去,以减轻自重,提高有
效承载力 。
? 矩形截面梁当荷载较大时可采用加受压钢筋
As‘的办法提高承载力,同样也可以不用钢筋
而增大压区砼的办法提高承载力 。
4.6 T形截面受弯构件正截面
承载力计算
? T形截面是指翼缘处于受压区的状态,同样是 T形
截面受荷方向不同,应分别按矩形和 T形考虑 。
2,T形截面翼缘计算宽度 bf'的取值,
T形截面 bf?越宽,h0越大,抗弯内力臂越大 。 但
实际压区应力分布如图所示 。 纵向压应力沿宽度
分布不均匀 。
办法,限制 bf'的宽度,使压应力分布均匀,并取 fc。
实际应力图块
实际中和轴
有效翼缘宽度
等效应力图块b?f
bf‘的取值与梁的跨度 l0,深的净距 sn,翼缘高度 hf?及
受力情况有关,,规范, 规定按表 4-5中的最小值取用 。
T型及倒 L形截面受弯构件翼缘计算宽度 bf
按计算跨度 l0考虑
按梁 (肋 )净距 Sn考虑
考虑情况
当 h?f / h0 ? 0.1
当 0.1>h?f/h0?0.05
当 h?f/h0 < 0.05
03
1l 031l 061l
T 型截面 倒 L形截面
肋形梁 (板 ) 独 立 梁 肋形梁 (板 )
b +
Sn
–––
2n
Sb?
––– b + 12hf –––
b + 12hf b + 6hf b + 5hf
b + 12hf b b + 5hf
按翼缘高
度 h?f考虑
4.6.2 基本公式与适用条件
T形截面根据其中性轴的位置不同分为两种类型 。
第一类 T形截面,中和轴在翼缘高度范围内,即
x ? h?f (图 a)
第二类 T形截面,中和轴在梁助内部通过,即
x > h?f (图 b)
(a) (b)
h?fb?f b?f
h?f
b b
AS AS
????
此时的平衡状态可以作为第一,二类 T形截
面的判别条件：
0?? X
0?? M
ffc1ys ??? hbffA ?
)2( f0ffc1
?
???? hhhbfM ?
两类 T型截面的界限状态是 x = hf?
ysfAM
fc b?
f
b? ??
sA
中和轴
判别条件：
形截面第一类 T)
2
( ff0ffc1 ?? ??
?
???? ?? hxhhhbfM ?
形截面第二类 T)
2
( ff0ffc1 ?? ??
?
???? ?? hxhhhbfM ?
? 截面复核时,
形截面第一类 Tfffc1ys ?? ????? ?? hxhbffA ?
形截面第二类 Tfffc1ys ?? ????? ?? hxhbffA ?
? 截面设计时,
?第一类 T形截面的计算公式,
与 bf'?h的矩形截面相同,
0?? X
0?? M
x bffA ?? fc1ys ?
)2( 0fc1 xhxbfM ??? ?
适用条件,
0
s
m i n bh
A?? ??
b?? ?
(一般能够满足。 )
?第二类 T形截面的计算公式,
0?? X
0?? M
)( ffc1c1ys ????? hbbfbxffA ??
)
2
(()
2
( f0ffc10c1
?
??????? hhb ) hbfxhbxfM ??
适用条件,
0
s
m i n bh
A?? ??
b?? ?
(一般能够满足。 )
4.6.3 基本公式的应用
截面设计
截面复核
?截面设计,
解, 首先判断 T形截面的类型,
比较与设计时由 )2( f0ffc1
?
??? hhhbfM ?
然后利用两类 T型截面的公式进行计算。
已知,b,h,bf',hf',fc,fy
求,As
?截面复核,
? 首先判别 T形截面的类型, 计算时由 Asfy 与
α1fcb?f h?f比较 。
? 然后利用两类 T形截面的公式进行计算 。
已知,b,h,bf',hf',fc,fy,As
求,Mu
··
b?f
b
x
h0 h
hf
As
fc
h 0
–h
? f/2
fc(b?f – b)h?f
As1fy
M1
fc
fcbx
h 0
–x
/2
As2fy
M2
＋
fc
fc(b?f – b)h?f
fcbxM
Asfy
·
b?f
b
x
As2 h0 h·
(a)
(b)
(c)
··
b?f
b
x
As1 h0 h
问题, 在 T形截面设计时,怎样利用单筋矩形截面的
表格 (?,?,?)。
M=M1 + M2
As=As1 + As2
)2()( f0ffc11
?
????? hhhbbfM ?
y
ffc1
1s
)(
f
hbbfA ???? ?
2
0c1
2
s2 bhf
M
?? ?
12 MMM ??
2?? ??
y
02c1
2s f
hbfA ???? ??
受弯构件正截面承载
力计算
受弯构件：
同时受到弯矩 M
和剪力 V共同作用,而
N可以忽略的构件。
p p
l l l
M pl
V
p
4.1 概 述
? 受弯构件截面类型：梁、板
( a ) ( b ) ( c ) ( d )
( e ) ( f ) ( g )
4.2 试验研究分析
4.2.1 梁的受力性能
4.2.2 梁正截面工作的三个阶段
（ 1）截面应力分布
?三个阶段
对适筋梁的试验：
L)41~31( L)41~31(P
L
应变测点
百分表
弯矩 M图
剪力 V图
P
可绘出跨中弯矩 M/Mu~f点等曲线如图：
第一阶段 —— 截面开裂前阶段。
第二阶段 —— 从截面开裂到纵向受拉钢筋
到屈服阶段 。
第三阶段 —— 破坏阶段 。
应变图
应力图
对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：
?y
My
fyAs
IIa
M
?sAs
II
?sAs
M
I
?c max
Mu
fyAs=Z
D
xf
IIIa
M
fyAs
III
?sAs
?t max
Mcr
Ia
ftk
Z
应变图
应力图
对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：
?y
My
fyAs
IIa
M
?sAs
II
?sAs
M
I
?c max
Mu
fyAs=Z
D
xf
IIIa
M
fyAs
III
?sAs
?t max
Mcr
Ia
ftk
Z
在弯矩作用下发生正截面受弯破坏；
在弯矩和剪力共同作用下发生斜截面受剪或
受弯破坏 。
? 本章要求掌握：单筋矩形截面, 双筋矩形截面,
单筋 T形截面正截面承载力计算 。
（ 2） 破坏特性
? 配筋率
0
s
bh
A??
纵向受力钢筋截面面积 As与截面有效面
积的百分比
4.2.3 配筋率对正截面破坏性质的影响
1,少筋梁：
? 一裂即断,由砼的抗拉强度控制,承载力很低。
? 破坏很突然,属脆性破坏。
? 砼的抗压承载力未充分利用。
? 设计不允许。
? < ?min
2,适筋梁：
? 一开裂,砼应力由裂缝截面处的钢筋承担,荷
截继续增加,裂缝不断加宽 。 受拉钢筋屈服,
压区砼压碎 。
? 破坏前裂缝, 变形有明显的发展,有破坏征
兆,属延性破坏 。
? 钢材和砼材料充分发挥 。
? 设计允许 。
?min ????max
3,超筋梁：
? 开裂,裂缝多而细, 钢筋应力不高,最终由于
压区砼压碎而崩溃 。
? 裂缝, 变形均不太明显,破坏具有脆性性质 。
? 钢材未充分发挥作用 。
? 设计不允许 。
? >?max
(a)
(b)
(c)
P P
P P
P P
P P
..
P P
...
P P
....
? 受弯小结
进行受弯构件截面各受力工作阶段的分析,可
以详细了解截面受力的全过程,而且为裂缝, 变形
及承载力的计算提供依据 。
Ia —— 抗裂计算的依据
II —— 正常工作状态,变形和裂缝宽度计算的依据 ;
IIIa —— 承载能力极限状态 ;
以 IIIa阶段作为承载力极限状态的计算依
据,并引入基本假定：
1,截面平均应变符合平截面假定；
2,不考虑受拉区未开裂砼的抗拉强度；
3,设定受压区砼的 ? — ?关系 (图 3-8)；
4,设定受拉钢筋的 ? — ?关系 (图 3-9)。
4.3 受弯构件正截面承载力的计算
4.3.1 基本假定
?
?cu0
fc
?0
砼
?
?
0
fy
fy
钢筋
4.3.2 受力分析
4.3.3 等效矩形应力图形
受压砼的应力图形从实际应力图 理想应力图
等效矩形应力图
－相对受压区高度令
0h
x??
xc— 实际受压区高度
x — 计算受压区高度,x = 0.8xc。
D D D
Mu Mu MuA
sfy Asfy Asfy
实际应力图 理想应力图 计算应力图
xc xc x
4.3.4 界限相对受压区高度与最小配筋率
（ 1）界限相对受压区高度
相对受压区高度
当 < 超筋梁破坏
b?
?
? b?
当 < 适筋梁破坏或少筋梁破坏
b??
（ 2）最小配筋率
min?
0?? X
0?? M
ysc1 fAbxf ??
)2( 0c1 xhbxfM ?? ?
)2( 0sy xhAfM ??
或
4.4 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4.4.1 基本公式与适用条件
引入相对受压区高度 ? 也可表为,
ys0c1 fAhbf ???
)5.01(20c1 ??? ?? bhfM
或
)5.01(0sy ??? hAfM
M —— 弯矩设计值。
h0—— 截面有效高度,h0 = h – as
单 排 布 筋 时 as=35mm
双排布筋时 as=60mm
要保证设计成适筋梁，则：
?min —— 最小配筋率,是由配有最少量钢筋 (As,min)
的钢筋混凝土梁其破坏弯矩不小于同样
截面尺寸的素砼梁确定的 。
? c35
? c40
?min????max
As,min= ?min bh
?min=0.15%
?min=0.2%
?max —— 最大配筋率,是适筋梁与超筋梁的界限配筋
率, 适筋梁和超筋梁的本质区别是受拉钢筋
是否屈服 。 钢筋初始屈服的同时,压区砼达
到极限压应变是这两种破坏的界限 。
从截面的应变分析可知,
?< ?b —— 适筋
?> ?b —— 超筋
?= ?b —— 界限
?cu
h0
?s
>?y
?<
? b
?>
? bh
0
? bh
0
?y
?s
<?y
由应变推出截面受压区高度与破坏形态的
关系是：
钢筋先屈服,然后砼压碎
钢筋未屈服,砼压碎破坏
当 ?s=?y
当 ?s>?y —— 适筋
当 ?s<?y —— 超筋
界限破坏
又 ?? =0.8 ?c
0 0 3 3.0
1
8.0
s
y
b
E
f
?
??
0 0 3 3.0
6.1
8.0
s
y
b
E
f
?
??
… 3 － 5
… 3 － 6
软钢：
硬钢：
故可推出软钢和硬钢的 ?b
由相对界限受压区高度 ?b可推出最大配筋率
?max及单筋矩形截面的最大受弯承载力 Mmax。
m a xs,y0bc1 Afhbf ????
y
c1
b
0
m a xs,
m a x f
f
bh
A ??? ???
?s= ?(1– 0.5?)
211 s?? ???
设
可得
故单筋矩形截面最大弯矩
)5.01( bb20c1m ax ??? ?? bhfM
20c1sb bhf???
?sb —— 截面最大的抵抗矩系数。
故限制超筋破坏发生的条件可以是：
???max
??? b,x ? xb
???sb
M ? Mmax
工程实践表明,当 ?在适当的比例时,梁, 板
的综合经济指标较好,故梁, 板的经济配筋率：
实心板
矩形板
T形梁
? = (0.4~0.8)%
? = (0.6~1.5)%
? = (0.9~1.8)%
截面设计：
截面校核：
As=?
b?h,fc,fy,M已知：
求：
b?h,fc,fy,As已知：
Mu=?求：
4.4.2 基本公式的应用
1,截面设计：
? 由结构力学分析确定弯矩的设计值 M
? 由跨高比确定截面初步尺寸
? 由受力特性及使用功能确定材性
? 由基本公式,(3-3)求 x
? 验算公式的适用条件 x ? xb (??? b)
? 由基本公式 (3-2) 求 As
m i n
0
??? ?? 验算bhA s?
? 选择钢筋直径和根数,布置钢筋
2,截面校核：
?求 x (或 ?)
? 验算适用条件
)( bbm i n
0
s ??? ??? 或和 xx
bh
A
?求 Mu
? 若 Mu ? M,则结构安全
当 ? < ?min
当 x > xb
Mu = Mcr = ?m ftw0
Mu = Mmax = α1fcbh02?b(1-0.5?b)
3,计算表格的制作和使用
由公式：
α1fcbh0?=Asfy
M =α1 fcbh02? (1－ 0.5?)
或 M = As fy h0(1－ 0.5?)
令 ?s = ?(1?0.5?)
?s = 1?0.5?
?,?s,?s之间存在一一对应的关系,可预先制
成表待查,因此对于设计题：
2
0c1
s bhf
M
?
? ?
对于校核题：
0c1
ys
bhf
fA
?? ?
?
y
0c1
s f
bhfA ???
)5.01(s ??? ?? s20c1u ?? bhfM ?
4.5.1 受压钢筋的应力
? 荷载效应较大,而提高材料强度和截面尺寸受
到限制；
?存在反号弯矩的作用；
? 由于某种原因,已配置了一定数量的受压钢筋 。
4.5 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4.5.2 基本计算公式与适用条件
基本假定及破坏形态与单筋相类似,以 IIIa作为
承载力计算模式 。 (如图 )
A?s f?y
M
As fy
??s=0.002
M
A?s f?y
As fy
A?s
As
(a) (b) (c) (d)
α1fc ?cu=0.0033
?s
α1fc b
a?s
as
h0
xx
由计算图式平衡条件可建立基本计算公式,
0?? X
0?? M
c1ysys bxffAfA ?????
)()2( s0ys0c1 ??????? ahfAxhbxfM ?
或,
0c1ysys ?? bhffAfA ????
)()5.01( s0ys20c1 ??????? ahfAbhfM ???
公式的适用条件：
???b
2as' ? x
条件 ???b 仍是保证受拉钢筋屈服,而 2as'?x 是
保证受压钢筋 As'达到抗压强度设计值 fy'。
但对于更高强度的钢材由于受砼极限压应变
的限值,fy'最多为 400N/mm2。
f 'y的取值：
受压钢筋 As?的利用程度与 ?s'有关,
当 x?2as'对 I,II级钢筋可以达到屈服强度,
4.5.3 基本公式的应用
截面设计
截面复核
? 截面设计：
又可分 As?和 As均未知的情况 I和已知 As ?
求 As‘的情况 II。
情况 I,已知,b?h,fcm,fy,fy ' 求 As及 As'
解, ? 验算是否能用单筋, Mmax= α1fc bh02?b(1?0.5?b)
当 M > Mmax且其他条件不能改变时,用双筋。
? 双筋用钢量较大,故 h0=h?as (50~60mm)
? 利用基本公式求解,
ysysc1 fAfAbxf ?????
)()2( s0ys0c1 ??????? ahfAxhbxfM ?
两个方程,三个未知数,无法求解。
? 截面尺寸及材料强度已定,先应充分发挥混凝
土的作用,不足部分才用受压钢筋 As?来补充 。
?令 x = xb = ?bh0
这样才能使 As+As?最省 。
将上式代入求得,
)(
)5.01(
s0y
bb
2
0c1
s ?
??
????
ahf
bhfMA ???
将 As?代入求得 As:
y
ys0bc1
s f
fAhbf
A
???
?
??
情况 II,已知,b?h,fcm,fy,fy ?,M 及 As',求 As：
解, 两个方程解两个未知数
由式 (3-21)求 x
)(
2
0c1
s0ys
s bhf
ahfAM
?
?
?????
?
s?? 211 ???
x = ? h0
当 2as?????b
y
ys0c1
s f
fAhbf
A
???
?
??
说明 As太少,应加大截面尺寸或按 As未知的
情况 I分别求 As及 As?。
当 ?> ?b
将上式求的 ?代入求 As
说明 As?过大,受压钢筋应力达不到 fy?,此时
可假定,
?? sax 2
)( s0y
s ?
?
?
ahf
MA
或当 As= 0的单筋求 As:
2
0c1
s bhf
M
?
? ?
取较小值。
令：
?
y
0c1
s f
hbfA ???
当 x < 2a's
双筋矩形截面的应力图形也可以采用分解的办法求解：
＋
＋
(a) (b) (c)
α1fcbx
M
α1fc
a?s
x
as
As fy
A?s f?y
M1
a?s A?
s f?y
As1 fyas
A?s
h
x
b
As
h
A?s
As1
b
h
As2
b
x
M2
α1fc
x
As2 fy
M = M1 + M2
As = As1 + As2
M1 = As ?fy?(h0?as)
M2 = M ? M1
2s22
0c1
2
2s Abhf
M ??? ?
?
?
双筋矩形截面梁的设计同样可以利用单筋
矩形梁的表格法 (?s,?,?s)。
图中,
式中,
? As1
? 截面复核,
已知,b?h,fc,fy,fy?,As,As?
解,求 x
截面处于适筋状态,将 x代入求得
)()2( s0ys0c1u ??????? ahfAxhbxfM ?
求,Mu
当 2as?x??bh0
)( s0ysu ??? ahfAM
截面此时 As?并未充分利用, 求得
及按单筋求得的 Mu取两者的较大值作为截面的 Mu。
截面处于超筋状态,应取 x = xb,求得：
)21()( bbc1s0ysu xbxfahfAM ??????? ?
只有当 Mu ? M时截面才安全。
当 x < 2as?，
当 x > ?bh0，
4.6.1 概述
? 矩形截面承载力计算时不考虑受拉区砼的贡
献, 可以将此部分挖去,以减轻自重,提高有
效承载力 。
? 矩形截面梁当荷载较大时可采用加受压钢筋
As‘的办法提高承载力,同样也可以不用钢筋
而增大压区砼的办法提高承载力 。
4.6 T形截面受弯构件正截面
承载力计算
? T形截面是指翼缘处于受压区的状态,同样是 T形
截面受荷方向不同,应分别按矩形和 T形考虑 。
2,T形截面翼缘计算宽度 bf'的取值,
T形截面 bf?越宽,h0越大,抗弯内力臂越大 。 但
实际压区应力分布如图所示 。 纵向压应力沿宽度
分布不均匀 。
办法,限制 bf'的宽度,使压应力分布均匀,并取 fc。
实际应力图块
实际中和轴
有效翼缘宽度
等效应力图块b?f
bf‘的取值与梁的跨度 l0,深的净距 sn,翼缘高度 hf?及
受力情况有关,,规范, 规定按表 4-5中的最小值取用 。
T型及倒 L形截面受弯构件翼缘计算宽度 bf
按计算跨度 l0考虑
按梁 (肋 )净距 Sn考虑
考虑情况
当 h?f / h0 ? 0.1
当 0.1>h?f/h0?0.05
当 h?f/h0 < 0.05
03
1l 031l 061l
T 型截面 倒 L形截面
肋形梁 (板 ) 独 立 梁 肋形梁 (板 )
b +
Sn
–––
2n
Sb?
––– b + 12hf –––
b + 12hf b + 6hf b + 5hf
b + 12hf b b + 5hf
按翼缘高
度 h?f考虑
4.6.2 基本公式与适用条件
T形截面根据其中性轴的位置不同分为两种类型 。
第一类 T形截面,中和轴在翼缘高度范围内,即
x ? h?f (图 a)
第二类 T形截面,中和轴在梁助内部通过,即
x > h?f (图 b)
(a) (b)
h?fb?f b?f
h?f
b b
AS AS
????
此时的平衡状态可以作为第一,二类 T形截
面的判别条件：
0?? X
0?? M
ffc1ys ??? hbffA ?
)2( f0ffc1
?
???? hhhbfM ?
两类 T型截面的界限状态是 x = hf?
ysfAM
fc b?
f
b? ??
sA
中和轴
判别条件：
形截面第一类 T)
2
( ff0ffc1 ?? ??
?
???? ?? hxhhhbfM ?
形截面第二类 T)
2
( ff0ffc1 ?? ??
?
???? ?? hxhhhbfM ?
? 截面复核时,
形截面第一类 Tfffc1ys ?? ????? ?? hxhbffA ?
形截面第二类 Tfffc1ys ?? ????? ?? hxhbffA ?
? 截面设计时,
?第一类 T形截面的计算公式,
与 bf'?h的矩形截面相同,
0?? X
0?? M
x bffA ?? fc1ys ?
)2( 0fc1 xhxbfM ??? ?
适用条件,
0
s
m i n bh
A?? ??
b?? ?
(一般能够满足。 )
?第二类 T形截面的计算公式,
0?? X
0?? M
)( ffc1c1ys ????? hbbfbxffA ??
)
2
(()
2
( f0ffc10c1
?
??????? hhb ) hbfxhbxfM ??
适用条件,
0
s
m i n bh
A?? ??
b?? ?
(一般能够满足。 )
4.6.3 基本公式的应用
截面设计
截面复核
?截面设计,
解, 首先判断 T形截面的类型,
比较与设计时由 )2( f0ffc1
?
??? hhhbfM ?
然后利用两类 T型截面的公式进行计算。
已知,b,h,bf',hf',fc,fy
求,As
?截面复核,
? 首先判别 T形截面的类型, 计算时由 Asfy 与
α1fcb?f h?f比较 。
? 然后利用两类 T形截面的公式进行计算 。
已知,b,h,bf',hf',fc,fy,As
求,Mu
··
b?f
b
x
h0 h
hf
As
fc
h 0
–h
? f/2
fc(b?f – b)h?f
As1fy
M1
fc
fcbx
h 0
–x
/2
As2fy
M2
＋
fc
fc(b?f – b)h?f
fcbxM
Asfy
·
b?f
b
x
As2 h0 h·
(a)
(b)
(c)
··
b?f
b
x
As1 h0 h
问题, 在 T形截面设计时,怎样利用单筋矩形截面的
表格 (?,?,?)。
M=M1 + M2
As=As1 + As2
)2()( f0ffc11
?
????? hhhbbfM ?
y
ffc1
1s
)(
f
hbbfA ???? ?
2
0c1
2
s2 bhf
M
?? ?
12 MMM ??
2?? ??
y
02c1
2s f
hbfA ???? ??
