第 1章 时域离散信号和时域离散系统
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
1.2 时域离散信号
1.3 时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程
1.5 模拟信号数字处理方法
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一个自变量或几个自变量的函数 。 如
果仅有一个自变量, 则称为一维信号；如果有两个以
上的自变量, 则称为多维信号 。 本书仅研究一维数字
信号处理的理论与技术 。 关于信号的自变量, 有多种
形式, 可以是时间, 距离, 温度, 电压等, 本书一般
地把信号看作时间的函数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
本章作为全书的基础, 主要学习时域离散信号的
表示方法和典型信号, 线性时不变系统的因果性和稳
定性, 以及系统的输入输出描述法, 线性常系数差分
方程的解法 。 最后介绍模拟信号数字处理方法 。
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1.2 时域离散信号
对模拟信号 xa(t)进行等间隔采样, 采样间隔为 T，
得到
( ) ( ),( 1,2,1 )a t n T ax t x n T n? ? ? ? ? ? ?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
这里 n取整数 。 对于不同的 n值, xa(nT)是一个有
序的数字序列,… xa(-T),xa(0),xa(T)…,该数字序列
就是时域离散信号 。 实际信号处理中, 这些数字序列
值按顺序放在存贮器中, 此时 nT代表的是前后顺序 。
为简化, 采样间隔可以不写, 形成 x(n)信号, x(n)可以
称为序列 。 对于具体信号, x(n)也代表第 n个序列值 。
需要说明的是, 这里 n取整数, 非整数时无定义, 另外,
在数值上它等于信号的采样值, 即
x(n)=xa(nT),-∞＜ n＜ ∞(1.2.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
信号随 n的变化规律可以用公式表示, 也可以用图
形表示 。 如果 x(n)是通过观测得到的一组离散数据, 则
其可以用集合符号表示, 例如,
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.1
1,单位采样序列 δ(n)
1,n=0
0,n≠0 (1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列, 特点是
仅在 n=0时取值为 1,其它均为零 。 它类似于模拟信号
和系统中的单位冲激函数 δ(t),但不同的是 δ(t)在 t=0时,
取值无穷大, t≠0时取值为零, 对时间 t的积分为 1。 单
位采样序列和单位冲激信号如图 1.2.1所示 。
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－ 1 0 1 2 3
1
n
δ ( n )
δ ( t )
t
0
( a ) ( b )
图 1.2.1
(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,单位阶跃序列 u(n)
1,n≥0
0,n＜ 0 (1.2.4)
单位阶跃序列如图 1.2.2所示 。 它类似于模拟信号
中的单位阶跃函数 u(t)。 δ(n)与 u(n)之间的关系如下式所
示,
δ(n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5)
(1.2.6)
令 n-k=m,代入上式得到
0
( ) ( )
k
u n n k?
?
?
???
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u ( n )
0 1 2 3
1
n
?
图 1.2.2 单位阶跃序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
3,矩形序列 RN(n)
1,0≤n≤N-1
0,其它 n (1.2.8)
上式中 N称为矩形序列的长度 。 当 N=4时, R4(n)的
波形如图 1.2.3所示 。 矩形序列可用单位阶跃序列表示,
如下式,
RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9)
( ) ( )
n
n
u n m?
? ??
? ?
(1.2.7)
RN(n)=
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
R
4
( n )
0 1 2 3
1
n
图 1.2.3 矩形序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
4,实指数序列
x(n)=anu(n),a为实数
如果 |a|<1,x(n)的幅度随 n的增大而减小, 称 x(n)为
收敛序列；如 |a|>1,则称为发散序列 。 其波形如图
1.2.4所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.4 实指数序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
5,正弦序列
x(n)=sin(ωn)
式中 ω称为正弦序列的数字域频率, 单位是弧度,
它表示序列变化的速率, 或者说表示相邻两个序列值
之间变化的弧度数 。 xa(t)
采样得到的, 那么
xa(t)=sin(Ωt)
xa (t)|t=nT=sin(ΩnT)
x(n)=sin(ωn)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
因为在数值上, 序列值与采样信号值相等, 因此
得到数字频率 ω与模拟角频率 Ω之间的关系为
ω=ΩT (1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义, 它表示凡是由模拟信号
采样得到的序列, 模拟角频率 Ω与序列的数字域频率 ω
成线性关系 。 由于采样频率 fs与采样周期 T互为倒数,
也可以表示成下式,
sf
? ?? (1.2.11)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
6,复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n
式中 ω0为数字域频率, 设 σ=0,用极坐标和实部虚
部表示如下式,
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于 n取整数, 下面等式成立,
e j(ω0+2πM)n= e jω0n,M=0,± 1,± 2…
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
7,
如果对所有 n存在一个最小的正整数 N，使下面等
式成立,
x(n)=x(n+N),-∞<n<∞ (1.2.12)
则称序列 x(n)为周期性序列，周期为 N，注意 N要
取整数。例如,
上式中，数字频率是 π/4，由于 n取整数，可以写成
下式,
( ) si n ( )4x n n??
( ) s i n ( ( 8 )4x n n???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表明 是周期为 8的周期序列, 也称正
弦序列, 如图 1.2.5所示 。 下面讨论一般正弦序列的周
期性 。
x(n)=Asin(ω0n+υ)
那么
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+υ)=Asin(ω0n+ω0N+υ)
x(n+N)=x(n)
sin( )4 n?
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图 1.2.5 正弦序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
则要求 N=(2π/ω0)k,式中 k与 N均取整数, 且 k的取
值要保证 N是最小的正整数, 满足这些条件, 正弦序列
才是以 N为周期的周期序列 。
种情况,
(1)当 2π/ ω0为整数时, k=1,正弦序列是以 2π/ ω0
为周期的周期序列 。 例如 sin(π/8)n,ω0 =π/8,2π/ ω0
=16,该正弦序列周期为 16。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) 2π/ ω0不是整数, 是一个有理数时, 设 2π/ ω0
=P/Q,式中 P,Q是互为素数的整数, 取 k=Q,那么 N=P，
则正弦序列是以 P为周期的周期序列 。 例如 sin(4/5)πn,
ω0 =(4/5)π,2π/ ω0 =5/2,k=2,该正弦序列是以 5为周
期的周期序列 。
(3)2π/ ω0是无理数, 任何整数 k都不能使 N为正整
数, 因此, 此时的正弦序列不是周期序列 。 例如, ω0
=1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列 。 对于复指数序列 ejω0 n
的周期性也有同样的分析结果 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
以上介绍了几种常用的典型序列, 对于任意序列,
常用单位采样序列的移位加权和表示, 即
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
?
? ? ?
???
(1.2.13)
式中
δ(n-m)= 1,n=m
0,n≠m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
这种任意序列的表示方法, 在信号分析中是一个
很有用的公式 。 例如,x(n)的波形如图 1.2.6所示, 可以
用 (1.2.13)式表示成,
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-
δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.2
在数字信号处理中, 序列有下面几种运算, 它们
是乘法, 加法, 移位, 翻转及尺度变换 。
1,
序列之间的乘法和加法, 是指它的同序号的序列
值逐项对应相乘和相加, 如图 1.2.7所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.7 序列的加法和乘法
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,移位,
设序列 x(n) 用图 1.2.8(a) 表示, 其移位序列 x(n-
n0)(当 n0 =2时 )用图 1.2.8(b)表示；当 n0 >0时称为 x(n)的
延时序列；当 n0 <0时, 称为 x(n)的超前序列 。 x(-n)则
是 x(n)的翻转序列, 用图 1.2.8(c)表示 。 x(mn)是 x(n)序
列每隔 m点取一点形成的, 相当于时间轴 n压缩了 m倍 。
当 m=2时, 其波形如图 1.2.8(d)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换
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1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为 x(n),经过规定的运算,
系统输出序列用 y(n)表示 。 设运算关系用 T［ ·］ 表示,
输出与输入之间关系用下式表示,
y(n)=T［ x(n)］ (1.3.1)
其框图如图 1.3.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.1 时域离散系统
y ( n )x ( n )
][ ?T
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统 。 设 x1(n)和
x2(n)分别作为系统的输入序列, 其输 出分别用 y1(n)和
y2(n)表示, 即
y1(n)=T［ x1(n)］, y2(n)=T［ x2(n)］
那么线性系统一定满足下面两个公式,
T［ x1(n)+x2(n)］ = y1(n)+y2(n) (1.3.2)
T［ a x1(n)］ =ay y1(n) (1.3.3)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
满足 (1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足 (1.3.3)
式称为线性系统的比列性或齐次性, 式中 a是常数 。 将
以上两个公式结合起来, 可表示成,
y(n)=T［ ax1(n)+bx2(n)］ =ay1(n)+by2(n) (1.3.4)
上式中, a和 b均是常数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.1 证明 y(n)=ax(n)+b(a和 b是常数 ),所代表的
系统是非线性系统 。
证明 y1(n)=T［ x1(n)］ =ax1(n)+b
y2(n)=T［ x2(n)］ =ax2(n)+b
y(n)=T［ x1(n)+x2(n)］ =ax1(n)+ax2(n)+b
y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此, 该系统不是线性系统 。 用同样方法可以证
明 所代表的系统是线性系统 。
0( ) ( ) sin( )4y n x n n
????
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.2
如果系统对输入信号的运算关系 T［ ·］ 在整个运
算过程中不随时间变化, 或者说系统对于输入信号的
响应与信号加于系统的时间无关, 则这种系统称为时
不变系统, 用公式表示如下,
y(n)=T［ x(n)］
y(n-n0)=T［ x(n-n0)］ (1.3.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.2检查 y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变
系统, 上式中 a和 b是常数 。
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b
y(n- n0)=T［ x(n- n0)］
因此该系统是时不变系统 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.3检查 y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变
系统 。
解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
T［ x(n- n0)］ =nx(n- n0)
y(n- n0)≠T［ x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统 。 同样方法可以证明
所代表的系统不是时不变
系统 。
0( ) ( ) sin( )4y n x n n
????
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.3
设系统的输入 x(n)=δ(n),系统输出 y(n)的初始状态
为零, 定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样
响应, 用 h(n)表示 。 换句话说, 单位取样响应即是系统
对于 δ(n)的零状态响应 。 用公式表示为
h(n)=T［ δ(n)］ (1.3.6)
h(n)和模拟系统中的 h(t)单位冲激响应相类似, 都
代表系统的时域特征 。
设系统的输入用 x(n)表示, 按照 (1.2.13)式表示成单
位采样序列移位加权和为
( ) ( ) ( )mx n x m n m?
?
? ? ?
???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
m
m
m
y n T x m n m
y n x m n m
y n T x m h n m
x n h n
?
?
?
? ??
?
? ??
?
? ??
??
??
??
??
?
?
?
根据线性系统的叠加性质
又根据时不变性质
(1.3.7)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
式中的符号, *” 代表卷积运算, (1.3.7)式表示线
性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取
样响应的卷积 。 只要知道系统的单位取样响应, 按照
(1.3.7)式, 对于任意输入 x(n)都可以求出系统的输出 。
下面介绍卷积运算的求解过程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
按照 (1.3.7)式,① 将 x(n)和 h(n)用 x(m)和 h(m)表示,
并将 h(m)进行翻转, 形成 h(-m)； ② 将 h(-m)移位 n,得
到 h(n-m)。 当 n>0时, 序列右移； n<0时, 序列左移；
③ 将 x(m)和 h(n-m)相同 m的序列值对应相乘后, 再相加 。
按照以上三个步骤可得到卷积结果 y(n)。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.4设 x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求 y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照 (1.3.7)式,
上式中矩形序列长度为 4,求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上, 下限, R4(m)的非
零值区间为,0≤m≤3,R4(n-m)的非零值区间为,0≤n-
m≤3,其乘积值的非零区间, 要求 m同时满足下面两个
不等式,
44( ) ( ) ( )
m
y n R m R n m
?
? ? ?
???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
0≤m≤3
n-3≤m≤n
因此,
0
3
3
0 3,( ) 1 1
4 6,( ) 1 7
n
m
mn
n y n n
n y n n
?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
当
当
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
卷积过程以及 y(n)波形如图 1.3.2所示, y(n)用公式
表示为
n+1 0≤n≤3
y(n)= 7-n 4≤n≤6
0 其它
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.2 例 1.3.4线性卷积
R
4
( n )
0 1 2 3
n
0－ 1
m
R
4
( － m )
－ 2－ 3
R
4
( n )
0 1 2 3
n
m
R
4
( m )
0－ 1 2 3
m
R
4
(1 － m )
－ 2 1
1
1
1
1
0－ 1 2 3
m
R
4
(2 － m )
1
1
0 2 3
n
y ( n )
1
1
2
3
4
4 5 6 7
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
卷积中主要运算是翻转, 移位, 相乘和相加, 这类
卷积称为序列的线性卷积 。 设两序列分别的长度是 N和
M,线性卷积后的序列长度为 (N+M-1)。
从交换律, 结合律和分配律 。 它们分别用公式表示如下,
x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8)
x(n)*［ h1(n)*h2(n)］ =(x(n)*h1(n))*h2(n) (1.3.9)
x(n)*［ h1(n)+h2(n)］ =x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
以上三个性质请自己证明 。 (1.3.8)式表示卷积服
从交换律 。 (1.3.9)和 (1.3.10)式分别表示其结合律和分
配律 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.3 卷积的结合律和分配律
h
1
( n ) h
2
( n )
h
1
( n ) h
2
( n )
y ( n )x ( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n ) ＋ h
2
( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n )
h
2
( n )
y ( n )x ( n )
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
*
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
再考查 (1.2.13)式, 它也是一个线性卷积公式, 它
表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序
列本身, 表示如下,
如果序列与一个移位的单位取样序列 δ(n-n0)进行线
性卷积, 就相当于将序列本身移位 n0(n0是整常数 ),如
下式表示,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
x n x m n m x n n??
?
? ? ?
? ? ? ??
(1.3.11)
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
y n x n n n
x m n n m
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ??
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式中只有当 m=n-n0时, 才可能有非零值, 因此
得到
y(n)=x(n- n0)
x(n- n0)=x(n)*δ(n- n0) (1.3.12)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.5在图 1.3.4中, h1(n)系统与 h2(n)系统级联, 设
x(n)=u(n)
h1(n)=δ(n)-δ(n-4)
h2(n)=anu(n),|a|<1
求系统的输出 y(n)。
图 1.3.4 例 1.3.5框图
h 1 ( n ) h 2 ( n )
y ( n )x ( n ) m ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
解先求第一级的输出 m(n),再求 y(n)。
m(n)=x(n)*h1(n)
=u(n)*［ δ(n)-δ(n-4)］
=u(n)*δ(n)-u(n)*δ(n-4)
=u(n)-u(n-4)
=R4(n)
y(n)=m(n)*h2(n)
=R4(n)*anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
=anu(n)*［ δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)］
=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)
还可以将 y(n)用下式表示
y(n)=δ(n)+(1+a)δ(n-1)+(1+a+a2)δ(n-2)+
u(n-3)
3
0
[]nk
k
aa?
?
?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.4
如果系统 n时刻的输出, 只取决于 n时刻以及 n时刻
以前的输入序列, 而和 n时刻以后的输入序列无关, 则
称该系统具有因果性质, 或称该系统为因果系统 。 如
果 n时刻的输出还取决于 n时刻以后的输入序列, 在时
间上违背了因果性, 系统无法实现, 则系统被称为非
因果系统 。 因此系统的因果性是指系统的可实现性 。
线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系
统的单位取样响应满足下式,
h(n)=0,n<0 (1.3.13)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
满足 (1.3.13)式的序列称为因果序列, 因此因果系
统的单位取样响应必然是因果序列 。 因果性系统的条
件 (1.3.13)式从概念上也容易理解, 因为单位取样响应
是输入为 δ(n)的零状态响应, 在 n=0时刻以前即 n<0时,
没有加入信号, 输出只能等于零, 因此得到因果性条
件 (1.3.13)式 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.5 非因果系统的延时实现
0 1 2
1
n
x ( n )
0 1－ 1
1
n
h ( n )
0 1 2
1
n
h ( n )
（ a ） （ b ） （ c ）
0 1 2
1
n
y ( n )
3－ 1
2
3
0 1 2
1
n
y ( n )
3
2
3
（ d ） （ e ）
′
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
所谓稳定系统, 是指系统有界输入, 系统输出也
是有界的 。 系统稳定的充分必要条件是系统的单位取
样响应绝对可和, 用公式表示为
()
n
hn?
???
??? (1.3.14)
证明 先证明充分性 。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
y n h k x n k
y n y k x n k
?
? ? ?
?
? ? ?
??
??
?
?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
因为输入序列 x(n)有界, 即
|x(n)|<B,-∞<n<∞,B为任意常数
如果系统的单位取样响应 h(n)满足 (1.3.14)式, 那
么输出 y(n)一定也是有界的, 即
|y(n)|<∞
( ) ( )
k
y n B h k
?
? ? ?
? ?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
下面用反证法证明其必要性 。 如果 h(n)不满足
(1.3.14)式, 即, 那么总可以找到一个或
若干个有界的输入引起无界的输出, 例如,
()
n
hn
?
? ??
???
()
,( ) 0
()
0,( ) 0
hn
hn
hn
hn
? ?
?
?
?
x(n)=
( ) ( ) ( )
()
( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
k
k k k
y n h k x n k
hk
y h k x n k h k h k
hk
?
? ??
?? ? ?
? ?? ? ?? ? ??
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
令 n=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.6 设 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应
h(n)=anu(n),式中 a是实常数, 试分析该系统的因果稳
定性 。
解 由于 n<0时,h(n)=0，所以系统是因果系统。
1
00
1( ) l i m l i m nNnn
NNn n n
ah n a a
a
? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?
?? ? ?? ? ?
只有当 |a|<1时
1()
1n hn a
?
? ? ?
? ??
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
因此系统稳定的条件是 |a|<1；否则, |a|≥1时, 系统
不稳定 。 系统稳定时, h(n)的模值随 n加大而减小, 此
时序列 h(n)称为收敛序列 。 如果系统不稳定, h(n)的模
值随 n加大而增大, 则称为发散序列 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.7 设系统的单位取样响应 h(n)=u(n),求对于
任意输入序列 x(n)的输出 y(n),并检验系统的因果
性和稳定性 。
h(n)=u(n)
y(n)=x(n)*h(n)=
因为当 n-k<0时,u(n-k)=0； n-k≥0时,u(n-k)=1，
因此，求和限为 k≤n，所以
( ) ( )
k
x k u n k
?
? ? ?
??
( ) ( )
n
k
y n x k
? ? ?
? ? (1.3.15)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表示该系统是一个累加器, 它将输入序列从
加上之时开始, 逐项累加, 一直加到 n时刻为止 。 下面
分析该系统的稳定性,
0
( ) ( )
nn
h n u n
??
? ? ? ?
? ? ???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程
描述一个系统, 可以不管系统内部的结构如何,
将系统看成一个黑盒子, 只描述或者研究系统输出和
输入之间的关系, 这种方法称为输入输出描述法 。 对
于模拟系统, 我们知道由微分方程描述系统输出输入
之间的关系 。 对于时域离散系统, 则用差分方程描述
或研究输出输入之间的关系 。 对于线性时不变系统,
经常用的是线性常系数差分方程, 本节主要介绍这类
差分方程及其解法 。 差分方程均指线性常系数差分方
程, 本书中不另说明 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.1
一个 N阶线性常系数差分方程用下式表示,
01
0
10
( ) ( ) ( )
( ) ( ),1
MN
ii
ii
NM
ii
ii
y n b x n i a y n i
a y n i b x n i a
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
(1.4.1)
(1.4.2)
或者
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
式中, x(n)和 y(n)分别是系统的输入序列和输出序
列, ai和 bi均为常数, 式中 y(n-i)和 x(n-i)项只有一次幂,
也没有相互交叉项, 故称为线性常系数差分方程 。 差
分方程的阶数是用方程 y(n-i)项中 i的取值最大与最小之
差确定的 。 在 (1.4.2)式中, y(n-i)项 i最大的取值为 N,i
的最小取值为零, 因此称为 N阶的差分方程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.2
已知系统的输入序列, 通过求解差分方程可以求
出输出序列 。 求解差分方程的基本方法有以下三种：
(1)经典解法 。
(2)递推解法 。
(3)变换域方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1.4.1)式表明, 已知输入序列和 N个初始条件, 则
可以求出 n时刻的输出；如果将该公式中的 n用 n+1代替,
可以求出 n+1时刻的输出, 因此 (1.4.1)式表示的差分方
程本身就是一个适合递推法求解的方程 。
例 1.4.1 设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,
输入序列 x(n)=δ(n),求输出序列 y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程, 需要一个初
始条件 。
(1) 设初始条件 y(-1)=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=ay(n-1)+x(n)
n=0时, y(0)=ay(-1)+δ(0)=1
n=1时, y(1)=ay(0)+δ(1)=a
n=2时, y(2)=ay(1)+δ(2)=a2
…
n=n时, y(n)=an
y(n)=anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2)设初始条件 y(-1)=1
n=0时, y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a
n=1时, y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a
n=2时, y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2
…
n=n时, y(n)=(1+a)an
y(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
该例表明, 对于同一个差分方程和同一个输入信
号, 因为初始条件不同, 得到的输出信号是不相同的 。
对于实际系统, 用递推解法求解, 总是由初始条件
向 n>0的方向递推, 是一个因果解 。 但对于差分方程,
其本身也可以向 n<0的方向递推, 得到的是非因果解 。
因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因
果系统, 还需要用初始条件进行限制 。 下面就是向 n<0
方向递推的例题 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.4.2 设差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中
x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0，求输出序列 y(n)
n=1时, n=0时, n=-1时, …n=-n时,
y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))
y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0
y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1
y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2
y(n-1)=-a n-1
将 n-1用 n代替, 得到
y(n)=-anu(-n-1)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.4.3 设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)
描述, 初始条件 y(-1)=1,试分析该系统是否是线性非
时变系统 。
解 如果系统具有线性非时变性质, 必须满足
(1.3.4)和 (1.3.5)两式 。 下面通过设输入信号 x1(n)=δ(n)，
x2(n)=δ(n-1)和 x3(n)=δ(n)+δ(n-1)来检验系统是否是线性
非时变系统 。
(1)x1(n)=δ(n),y1(-1)=1
y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)
这种情况和例 1.4.1(2)相同, 因此输出如下式,
y1(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) x2(n)=δ(n-1),y2(-1)=1
y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)
n=0时, n=1时, n=2时, …n=n时,
y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=a
y2(1)=a y2(0)+δ(0)=1+a2
y2(2)=a y2(1)+δ(1)=(1+ a2)a
y2(n)=(1+ a2)a n-1
y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+aδ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(3) x3(n)=δ(n)+δ(n-1); y3(-1)=1
y3(n)=a y3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)
n=0时, n=1时, n=2时, …n=n时,
y3(0)=a y3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a
y3(1)=a y3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2
y3(2)=a y3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+ a2)a
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)δ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
由情况 (1)和情况 (2),得到
y1(n)=T［ δ(n)］
y2(n)=T［ δ(n-1)］
y2(n)≠y1(n-1)
因此该系统不是时不变系统 。 再由情况 (3)得到
y3(n) =T［ δ(n)+δ(n-1)］
≠T［ δ(n)］ +T［ δ(n-1)］
y3(n)≠y1(n)+y2(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5 模拟信号数字处理方法
在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟
信号处理技术的许多优点, 因此人们往往希望将模拟
信号经过采样和量化编码形成数字信号, 再采用数字
信号处理技术进行处理；处理完毕, 如果需要, 再转
换成模拟信号, 这种处理方法称为模拟信号数字处理
方法 。 其原理框图如图 1.5.1所示 。 图中的预滤与平滑
所起的作用在后面介绍 。 本节主要介绍采样定理和采
样恢复 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.1 模拟信号数字处理框图
预滤 A / D C 数字信号处理 D / A C 平滑滤波
y a ( t )x a ( t )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.1 采样定理及 A/D变换器
对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过
一个电子开关 S。 设电子开关每隔周期 T合上一次, 每
次合上的时间为 τ<<T,在电子开关输出端得到其采样
信号 。
()axt?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.2 对模拟信号进行采样
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式中 δ(t)是单位冲激信号, 在上式中只有当 t=nT
时, 才可能有非零值, 因此写成下式,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
a aa
n
P t t n T
x t x t P t x t t n T
?
?
?
?
?
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??
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??
? ? ? ?
?
?
(1.5.1)
( ) ( ) ( )a a
n
x t x T t n T?
??
? ? ?
???
(1.5.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
我们知道在傅里叶变换中, 两信号在时域相乘的
傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积,
按照 (1.5.2)式, 推导如下,
设
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) 2 ( )
aa
aa
ks
k
X j F T x t
x j F T x t
P j F T P t
P j a k
??
?
??
??
?
? ? ?
??
??
??
? ? ? ? ?? (1.5.3)
按照 (1.5.1)式,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
式中, Ωs=2π/T,称为采样角频率, 单位是弧度 /秒,
/2
/2
11
()
2
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
1
( ) ( )
1
()
s
T
jk
k
T
s
k
aa
as
k
as
k
as
k
a t e dt
TT
P j k
T
X j X j P j
X j k d
T
X j k d
T
X j jk
T
?
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??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
??
?
?
(1.5.4)
(1.5.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频
率轴, 每间隔采样角频率 Ωs重复出现一次, 或者说采
样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 Ωs为周期, 进行
周期性延拓而成的 。
在图 1.5.3中, 设 xa(t)是带限信号, 最高截止频率
为 Ωc,其频谱 Xa(jΩ)如图 1.5.3(a)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.3 采样信号的频谱
0 Ω
c
－ Ω
c
X
a
(j Ω )
P ( jΩ )
－ Ω
s
Ω
s
Ω
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
Ω
c
Ω
s
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
＾
2
s
?
0
－ Ω
s
Ω
s
－ Ω
s
δ
2
s
?2
s
?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
()Gj??
1
,
2
1
0,
2
s
s
T ? ? ?
? ? ?
(1.5.6)
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( ) ]
1
( ) ( ),
2
1
( ) ( ),
2
a
aa
aa
a a c s
a a c s
Y j FT Y t X j G j
Y t F T Y j
Y t x t
Y t x t
?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
需要说明：一般频谱函数是复函数, 相加应是复
数相加, 图 1.5.3和图 1.5.4仅是示意图 。 一般称 fs/2为折
叠频率, 只有当信号最高频率不超过该频率时, 才不
会产生频率混叠现象, 否则超过 fs /2的频谱会折叠回来
形成混叠现象, 因此频率混叠均产生在 fs /2附近 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号, 采
样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期
进行周期性的延拓形成的, 用公式 (1.5.5)表示 。
(2)设连续信号 xa(t)属带限信号, 最高截止频率为
Ωc,如果采样角频率 Ωs≥2Ωc,那么让采样信号 x^a(t)通
过一个增益为 T,截止频率为 Ωs/2的理想低通滤波器,
可以唯一地恢复出原连续信号 xa(t)。 否则 Ωs<2Ωc会造
成采样信号中的频谱混叠现象, 不可能无失真地恢复
原连续信号 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.4 采样恢复
0
X
a
(j Ω )
Ω
＾
G (j Ω )
x
a
( t ) y
a
( t )
0
G (j Ω )
Ω
－ π/ T π/ T
0
X
a
(j Ω )
Ω
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.5 A/DC原理框图
采样 量化编码
x a ( t ) x ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
将模拟信号转换成数字信号由
A/DC(Analog/DigitalConverter)完成,A/DC的原理框图
如图 1.5.5所示。通过按等间隔 T对模拟信号进行采样，
得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看
作时域离散信号 (序列 )。设 A/DC有 M位，那么用 M位
二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信
号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一
个量化编码的过程。例如：模拟信号
xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中 f=50Hz，选采样频率
fs=200Hz，将 t=nT代入 Xa(t)中，得到采样数据,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1
( ) sin( 2 ),
8
50
sin( 2 )
20 0 8
1
sin( )
28
a
s
x nT fnT T
f
n
n
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
??
当 n=…0,1,2,3,…时, 得到序列 x(n)如下,
x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.2 将数字信号转换成模拟信号
下面由 (1.5.6)式表示的低通滤波器的传输函数 G(jΩ)
推导其单位冲激响应 g(t),
/2
/2
1
( ) ( )
2
1
2
si n( / 2 )
/2
si n( / )
()
/
s
s
jt
jt
s
s
g t G j e d
T e d
t
t
tT
gt
tT
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
因为 Ωs=2πfs=2π/T,因此 g(t)也可以用下式表示,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
将 (1.5.7)式表示的 g(t)和 (1.5.2)式表示的 x^a(t)代入
上式, 得到
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin( ( ) / )
()
( ) /
sin( ( ) / )
()
( ) /
()
aa
n
a
n
a
n
a
n
a
n
y t x nT nT g t d
x nT nT g t d
x nT g t nT
t nT T
x nT
t nT T
t nT T
x nT
a
t nT T
xt
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
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?
? ??
?
? ??
? ? ?
? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
? (1.5.8)
(1.5.9)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.6 内插函数 g(t)波形
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.7 理想恢复
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.8 D/AC方框图
解码 零阶保持 平滑滤波
x ( n ) x
a ( t )x a ( n T) x a ( t )
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
由时域离散信号 xa(nT)恢复模拟信号的过程是在
采样点内插的过程 。 理想低通滤波的方法是用 g(t)函
数作内插函数, 还可以用一阶线性函数作内插 。 零阶
保持器是将前一个采样值进行保持, 一直到下一个采
样值来到, 再跳到新的采样值并保持, 因此相当于进
行常数内插 。 零阶保持器的单位冲激函数 h(t)以及输
出波形如图 1.5.9所示 。 对 h(t)进行傅里叶变换, 得到
其传输函数,
0
/2
( ) ( )
s i n ( / 2 )
/2
T
j t j t
jT
H j h t e d t e d t
T
Te
T
?
? ? ? ?
??
??
? ? ?
?
?
?
??
(1.5.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.9 零阶保持器的输出波形
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
其幅度特性和相位特性如图 1.5.10所示 。 由该图看到
零阶保持器是一个低通滤波器, 能够起到将时域离散信
号恢复成模拟信号的作用 。 图中虚线表示理想低通滤波
器的幅度特性 。 零阶保持器的幅度特性与其有明显的差
别, 主要是在 |Ω|>π/T区域有较多的高频分量, 表现在时
域上, 就是恢复出的模拟信号是台阶形的 。 因此需要在
D/AC之后加平滑低通滤波器, 滤除多余的高频分量, 对
时间波形起平滑作用, 这也就是在图 1.5.1模拟信号数字
处理框中, 最后加平滑滤波的原因 。 虽然这种零阶保持
器恢复的模拟信号有些失真, 但简单, 易实现, 是经常
使用的方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.10 零阶保持器的频率特
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
1.2 时域离散信号
1.3 时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程
1.5 模拟信号数字处理方法
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一个自变量或几个自变量的函数 。 如
果仅有一个自变量, 则称为一维信号；如果有两个以
上的自变量, 则称为多维信号 。 本书仅研究一维数字
信号处理的理论与技术 。 关于信号的自变量, 有多种
形式, 可以是时间, 距离, 温度, 电压等, 本书一般
地把信号看作时间的函数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
本章作为全书的基础, 主要学习时域离散信号的
表示方法和典型信号, 线性时不变系统的因果性和稳
定性, 以及系统的输入输出描述法, 线性常系数差分
方程的解法 。 最后介绍模拟信号数字处理方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
对模拟信号 xa(t)进行等间隔采样, 采样间隔为 T，
得到
( ) ( ),( 1,2,1 )a t n T ax t x n T n? ? ? ? ? ? ?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
这里 n取整数 。 对于不同的 n值, xa(nT)是一个有
序的数字序列,… xa(-T),xa(0),xa(T)…,该数字序列
就是时域离散信号 。 实际信号处理中, 这些数字序列
值按顺序放在存贮器中, 此时 nT代表的是前后顺序 。
为简化, 采样间隔可以不写, 形成 x(n)信号, x(n)可以
称为序列 。 对于具体信号, x(n)也代表第 n个序列值 。
需要说明的是, 这里 n取整数, 非整数时无定义, 另外,
在数值上它等于信号的采样值, 即
x(n)=xa(nT),-∞＜ n＜ ∞(1.2.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
信号随 n的变化规律可以用公式表示, 也可以用图
形表示 。 如果 x(n)是通过观测得到的一组离散数据, 则
其可以用集合符号表示, 例如,
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.1
1,单位采样序列 δ(n)
1,n=0
0,n≠0 (1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列, 特点是
仅在 n=0时取值为 1,其它均为零 。 它类似于模拟信号
和系统中的单位冲激函数 δ(t),但不同的是 δ(t)在 t=0时,
取值无穷大, t≠0时取值为零, 对时间 t的积分为 1。 单
位采样序列和单位冲激信号如图 1.2.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
－ 1 0 1 2 3
1
n
δ ( n )
δ ( t )
t
0
( a ) ( b )
图 1.2.1
(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,单位阶跃序列 u(n)
1,n≥0
0,n＜ 0 (1.2.4)
单位阶跃序列如图 1.2.2所示 。 它类似于模拟信号
中的单位阶跃函数 u(t)。 δ(n)与 u(n)之间的关系如下式所
示,
δ(n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5)
(1.2.6)
令 n-k=m,代入上式得到
0
( ) ( )
k
u n n k?
?
?
???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
u ( n )
0 1 2 3
1
n
?
图 1.2.2 单位阶跃序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
3,矩形序列 RN(n)
1,0≤n≤N-1
0,其它 n (1.2.8)
上式中 N称为矩形序列的长度 。 当 N=4时, R4(n)的
波形如图 1.2.3所示 。 矩形序列可用单位阶跃序列表示,
如下式,
RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9)
( ) ( )
n
n
u n m?
? ??
? ?
(1.2.7)
RN(n)=
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
R
4
( n )
0 1 2 3
1
n
图 1.2.3 矩形序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
4,实指数序列
x(n)=anu(n),a为实数
如果 |a|<1,x(n)的幅度随 n的增大而减小, 称 x(n)为
收敛序列；如 |a|>1,则称为发散序列 。 其波形如图
1.2.4所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.4 实指数序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
5,正弦序列
x(n)=sin(ωn)
式中 ω称为正弦序列的数字域频率, 单位是弧度,
它表示序列变化的速率, 或者说表示相邻两个序列值
之间变化的弧度数 。 xa(t)
采样得到的, 那么
xa(t)=sin(Ωt)
xa (t)|t=nT=sin(ΩnT)
x(n)=sin(ωn)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
因为在数值上, 序列值与采样信号值相等, 因此
得到数字频率 ω与模拟角频率 Ω之间的关系为
ω=ΩT (1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义, 它表示凡是由模拟信号
采样得到的序列, 模拟角频率 Ω与序列的数字域频率 ω
成线性关系 。 由于采样频率 fs与采样周期 T互为倒数,
也可以表示成下式,
sf
? ?? (1.2.11)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
6,复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n
式中 ω0为数字域频率, 设 σ=0,用极坐标和实部虚
部表示如下式,
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于 n取整数, 下面等式成立,
e j(ω0+2πM)n= e jω0n,M=0,± 1,± 2…
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
7,
如果对所有 n存在一个最小的正整数 N，使下面等
式成立,
x(n)=x(n+N),-∞<n<∞ (1.2.12)
则称序列 x(n)为周期性序列，周期为 N，注意 N要
取整数。例如,
上式中，数字频率是 π/4，由于 n取整数，可以写成
下式,
( ) si n ( )4x n n??
( ) s i n ( ( 8 )4x n n???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表明 是周期为 8的周期序列, 也称正
弦序列, 如图 1.2.5所示 。 下面讨论一般正弦序列的周
期性 。
x(n)=Asin(ω0n+υ)
那么
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+υ)=Asin(ω0n+ω0N+υ)
x(n+N)=x(n)
sin( )4 n?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.5 正弦序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
则要求 N=(2π/ω0)k,式中 k与 N均取整数, 且 k的取
值要保证 N是最小的正整数, 满足这些条件, 正弦序列
才是以 N为周期的周期序列 。
种情况,
(1)当 2π/ ω0为整数时, k=1,正弦序列是以 2π/ ω0
为周期的周期序列 。 例如 sin(π/8)n,ω0 =π/8,2π/ ω0
=16,该正弦序列周期为 16。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) 2π/ ω0不是整数, 是一个有理数时, 设 2π/ ω0
=P/Q,式中 P,Q是互为素数的整数, 取 k=Q,那么 N=P，
则正弦序列是以 P为周期的周期序列 。 例如 sin(4/5)πn,
ω0 =(4/5)π,2π/ ω0 =5/2,k=2,该正弦序列是以 5为周
期的周期序列 。
(3)2π/ ω0是无理数, 任何整数 k都不能使 N为正整
数, 因此, 此时的正弦序列不是周期序列 。 例如, ω0
=1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列 。 对于复指数序列 ejω0 n
的周期性也有同样的分析结果 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
以上介绍了几种常用的典型序列, 对于任意序列,
常用单位采样序列的移位加权和表示, 即
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
?
? ? ?
???
(1.2.13)
式中
δ(n-m)= 1,n=m
0,n≠m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
这种任意序列的表示方法, 在信号分析中是一个
很有用的公式 。 例如,x(n)的波形如图 1.2.6所示, 可以
用 (1.2.13)式表示成,
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-
δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.2
在数字信号处理中, 序列有下面几种运算, 它们
是乘法, 加法, 移位, 翻转及尺度变换 。
1,
序列之间的乘法和加法, 是指它的同序号的序列
值逐项对应相乘和相加, 如图 1.2.7所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.7 序列的加法和乘法
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,移位,
设序列 x(n) 用图 1.2.8(a) 表示, 其移位序列 x(n-
n0)(当 n0 =2时 )用图 1.2.8(b)表示；当 n0 >0时称为 x(n)的
延时序列；当 n0 <0时, 称为 x(n)的超前序列 。 x(-n)则
是 x(n)的翻转序列, 用图 1.2.8(c)表示 。 x(mn)是 x(n)序
列每隔 m点取一点形成的, 相当于时间轴 n压缩了 m倍 。
当 m=2时, 其波形如图 1.2.8(d)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为 x(n),经过规定的运算,
系统输出序列用 y(n)表示 。 设运算关系用 T［ ·］ 表示,
输出与输入之间关系用下式表示,
y(n)=T［ x(n)］ (1.3.1)
其框图如图 1.3.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.1 时域离散系统
y ( n )x ( n )
][ ?T
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统 。 设 x1(n)和
x2(n)分别作为系统的输入序列, 其输 出分别用 y1(n)和
y2(n)表示, 即
y1(n)=T［ x1(n)］, y2(n)=T［ x2(n)］
那么线性系统一定满足下面两个公式,
T［ x1(n)+x2(n)］ = y1(n)+y2(n) (1.3.2)
T［ a x1(n)］ =ay y1(n) (1.3.3)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
满足 (1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足 (1.3.3)
式称为线性系统的比列性或齐次性, 式中 a是常数 。 将
以上两个公式结合起来, 可表示成,
y(n)=T［ ax1(n)+bx2(n)］ =ay1(n)+by2(n) (1.3.4)
上式中, a和 b均是常数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.1 证明 y(n)=ax(n)+b(a和 b是常数 ),所代表的
系统是非线性系统 。
证明 y1(n)=T［ x1(n)］ =ax1(n)+b
y2(n)=T［ x2(n)］ =ax2(n)+b
y(n)=T［ x1(n)+x2(n)］ =ax1(n)+ax2(n)+b
y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此, 该系统不是线性系统 。 用同样方法可以证
明 所代表的系统是线性系统 。
0( ) ( ) sin( )4y n x n n
????
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.2
如果系统对输入信号的运算关系 T［ ·］ 在整个运
算过程中不随时间变化, 或者说系统对于输入信号的
响应与信号加于系统的时间无关, 则这种系统称为时
不变系统, 用公式表示如下,
y(n)=T［ x(n)］
y(n-n0)=T［ x(n-n0)］ (1.3.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.2检查 y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变
系统, 上式中 a和 b是常数 。
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b
y(n- n0)=T［ x(n- n0)］
因此该系统是时不变系统 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.3检查 y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变
系统 。
解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
T［ x(n- n0)］ =nx(n- n0)
y(n- n0)≠T［ x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统 。 同样方法可以证明
所代表的系统不是时不变
系统 。
0( ) ( ) sin( )4y n x n n
????
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.3
设系统的输入 x(n)=δ(n),系统输出 y(n)的初始状态
为零, 定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样
响应, 用 h(n)表示 。 换句话说, 单位取样响应即是系统
对于 δ(n)的零状态响应 。 用公式表示为
h(n)=T［ δ(n)］ (1.3.6)
h(n)和模拟系统中的 h(t)单位冲激响应相类似, 都
代表系统的时域特征 。
设系统的输入用 x(n)表示, 按照 (1.2.13)式表示成单
位采样序列移位加权和为
( ) ( ) ( )mx n x m n m?
?
? ? ?
???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
m
m
m
y n T x m n m
y n x m n m
y n T x m h n m
x n h n
?
?
?
? ??
?
? ??
?
? ??
??
??
??
??
?
?
?
根据线性系统的叠加性质
又根据时不变性质
(1.3.7)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
式中的符号, *” 代表卷积运算, (1.3.7)式表示线
性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取
样响应的卷积 。 只要知道系统的单位取样响应, 按照
(1.3.7)式, 对于任意输入 x(n)都可以求出系统的输出 。
下面介绍卷积运算的求解过程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
按照 (1.3.7)式,① 将 x(n)和 h(n)用 x(m)和 h(m)表示,
并将 h(m)进行翻转, 形成 h(-m)； ② 将 h(-m)移位 n,得
到 h(n-m)。 当 n>0时, 序列右移； n<0时, 序列左移；
③ 将 x(m)和 h(n-m)相同 m的序列值对应相乘后, 再相加 。
按照以上三个步骤可得到卷积结果 y(n)。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.4设 x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求 y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照 (1.3.7)式,
上式中矩形序列长度为 4,求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上, 下限, R4(m)的非
零值区间为,0≤m≤3,R4(n-m)的非零值区间为,0≤n-
m≤3,其乘积值的非零区间, 要求 m同时满足下面两个
不等式,
44( ) ( ) ( )
m
y n R m R n m
?
? ? ?
???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
0≤m≤3
n-3≤m≤n
因此,
0
3
3
0 3,( ) 1 1
4 6,( ) 1 7
n
m
mn
n y n n
n y n n
?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
当
当
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
卷积过程以及 y(n)波形如图 1.3.2所示, y(n)用公式
表示为
n+1 0≤n≤3
y(n)= 7-n 4≤n≤6
0 其它
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.2 例 1.3.4线性卷积
R
4
( n )
0 1 2 3
n
0－ 1
m
R
4
( － m )
－ 2－ 3
R
4
( n )
0 1 2 3
n
m
R
4
( m )
0－ 1 2 3
m
R
4
(1 － m )
－ 2 1
1
1
1
1
0－ 1 2 3
m
R
4
(2 － m )
1
1
0 2 3
n
y ( n )
1
1
2
3
4
4 5 6 7
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
卷积中主要运算是翻转, 移位, 相乘和相加, 这类
卷积称为序列的线性卷积 。 设两序列分别的长度是 N和
M,线性卷积后的序列长度为 (N+M-1)。
从交换律, 结合律和分配律 。 它们分别用公式表示如下,
x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8)
x(n)*［ h1(n)*h2(n)］ =(x(n)*h1(n))*h2(n) (1.3.9)
x(n)*［ h1(n)+h2(n)］ =x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
以上三个性质请自己证明 。 (1.3.8)式表示卷积服
从交换律 。 (1.3.9)和 (1.3.10)式分别表示其结合律和分
配律 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.3 卷积的结合律和分配律
h
1
( n ) h
2
( n )
h
1
( n ) h
2
( n )
y ( n )x ( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n ) ＋ h
2
( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n )
h
2
( n )
y ( n )x ( n )
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
*
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
再考查 (1.2.13)式, 它也是一个线性卷积公式, 它
表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序
列本身, 表示如下,
如果序列与一个移位的单位取样序列 δ(n-n0)进行线
性卷积, 就相当于将序列本身移位 n0(n0是整常数 ),如
下式表示,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
x n x m n m x n n??
?
? ? ?
? ? ? ??
(1.3.11)
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
y n x n n n
x m n n m
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ??
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式中只有当 m=n-n0时, 才可能有非零值, 因此
得到
y(n)=x(n- n0)
x(n- n0)=x(n)*δ(n- n0) (1.3.12)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.5在图 1.3.4中, h1(n)系统与 h2(n)系统级联, 设
x(n)=u(n)
h1(n)=δ(n)-δ(n-4)
h2(n)=anu(n),|a|<1
求系统的输出 y(n)。
图 1.3.4 例 1.3.5框图
h 1 ( n ) h 2 ( n )
y ( n )x ( n ) m ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
解先求第一级的输出 m(n),再求 y(n)。
m(n)=x(n)*h1(n)
=u(n)*［ δ(n)-δ(n-4)］
=u(n)*δ(n)-u(n)*δ(n-4)
=u(n)-u(n-4)
=R4(n)
y(n)=m(n)*h2(n)
=R4(n)*anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
=anu(n)*［ δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)］
=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)
还可以将 y(n)用下式表示
y(n)=δ(n)+(1+a)δ(n-1)+(1+a+a2)δ(n-2)+
u(n-3)
3
0
[]nk
k
aa?
?
?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.4
如果系统 n时刻的输出, 只取决于 n时刻以及 n时刻
以前的输入序列, 而和 n时刻以后的输入序列无关, 则
称该系统具有因果性质, 或称该系统为因果系统 。 如
果 n时刻的输出还取决于 n时刻以后的输入序列, 在时
间上违背了因果性, 系统无法实现, 则系统被称为非
因果系统 。 因此系统的因果性是指系统的可实现性 。
线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系
统的单位取样响应满足下式,
h(n)=0,n<0 (1.3.13)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
满足 (1.3.13)式的序列称为因果序列, 因此因果系
统的单位取样响应必然是因果序列 。 因果性系统的条
件 (1.3.13)式从概念上也容易理解, 因为单位取样响应
是输入为 δ(n)的零状态响应, 在 n=0时刻以前即 n<0时,
没有加入信号, 输出只能等于零, 因此得到因果性条
件 (1.3.13)式 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.3.5 非因果系统的延时实现
0 1 2
1
n
x ( n )
0 1－ 1
1
n
h ( n )
0 1 2
1
n
h ( n )
（ a ） （ b ） （ c ）
0 1 2
1
n
y ( n )
3－ 1
2
3
0 1 2
1
n
y ( n )
3
2
3
（ d ） （ e ）
′
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
所谓稳定系统, 是指系统有界输入, 系统输出也
是有界的 。 系统稳定的充分必要条件是系统的单位取
样响应绝对可和, 用公式表示为
()
n
hn?
???
??? (1.3.14)
证明 先证明充分性 。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
y n h k x n k
y n y k x n k
?
? ? ?
?
? ? ?
??
??
?
?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
因为输入序列 x(n)有界, 即
|x(n)|<B,-∞<n<∞,B为任意常数
如果系统的单位取样响应 h(n)满足 (1.3.14)式, 那
么输出 y(n)一定也是有界的, 即
|y(n)|<∞
( ) ( )
k
y n B h k
?
? ? ?
? ?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
下面用反证法证明其必要性 。 如果 h(n)不满足
(1.3.14)式, 即, 那么总可以找到一个或
若干个有界的输入引起无界的输出, 例如,
()
n
hn
?
? ??
???
()
,( ) 0
()
0,( ) 0
hn
hn
hn
hn
? ?
?
?
?
x(n)=
( ) ( ) ( )
()
( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
k
k k k
y n h k x n k
hk
y h k x n k h k h k
hk
?
? ??
?? ? ?
? ?? ? ?? ? ??
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
令 n=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.6 设 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应
h(n)=anu(n),式中 a是实常数, 试分析该系统的因果稳
定性 。
解 由于 n<0时,h(n)=0，所以系统是因果系统。
1
00
1( ) l i m l i m nNnn
NNn n n
ah n a a
a
? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?
?? ? ?? ? ?
只有当 |a|<1时
1()
1n hn a
?
? ? ?
? ??
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
因此系统稳定的条件是 |a|<1；否则, |a|≥1时, 系统
不稳定 。 系统稳定时, h(n)的模值随 n加大而减小, 此
时序列 h(n)称为收敛序列 。 如果系统不稳定, h(n)的模
值随 n加大而增大, 则称为发散序列 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.3.7 设系统的单位取样响应 h(n)=u(n),求对于
任意输入序列 x(n)的输出 y(n),并检验系统的因果
性和稳定性 。
h(n)=u(n)
y(n)=x(n)*h(n)=
因为当 n-k<0时,u(n-k)=0； n-k≥0时,u(n-k)=1，
因此，求和限为 k≤n，所以
( ) ( )
k
x k u n k
?
? ? ?
??
( ) ( )
n
k
y n x k
? ? ?
? ? (1.3.15)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表示该系统是一个累加器, 它将输入序列从
加上之时开始, 逐项累加, 一直加到 n时刻为止 。 下面
分析该系统的稳定性,
0
( ) ( )
nn
h n u n
??
? ? ? ?
? ? ???
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程
描述一个系统, 可以不管系统内部的结构如何,
将系统看成一个黑盒子, 只描述或者研究系统输出和
输入之间的关系, 这种方法称为输入输出描述法 。 对
于模拟系统, 我们知道由微分方程描述系统输出输入
之间的关系 。 对于时域离散系统, 则用差分方程描述
或研究输出输入之间的关系 。 对于线性时不变系统,
经常用的是线性常系数差分方程, 本节主要介绍这类
差分方程及其解法 。 差分方程均指线性常系数差分方
程, 本书中不另说明 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.1
一个 N阶线性常系数差分方程用下式表示,
01
0
10
( ) ( ) ( )
( ) ( ),1
MN
ii
ii
NM
ii
ii
y n b x n i a y n i
a y n i b x n i a
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
(1.4.1)
(1.4.2)
或者
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
式中, x(n)和 y(n)分别是系统的输入序列和输出序
列, ai和 bi均为常数, 式中 y(n-i)和 x(n-i)项只有一次幂,
也没有相互交叉项, 故称为线性常系数差分方程 。 差
分方程的阶数是用方程 y(n-i)项中 i的取值最大与最小之
差确定的 。 在 (1.4.2)式中, y(n-i)项 i最大的取值为 N,i
的最小取值为零, 因此称为 N阶的差分方程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.2
已知系统的输入序列, 通过求解差分方程可以求
出输出序列 。 求解差分方程的基本方法有以下三种：
(1)经典解法 。
(2)递推解法 。
(3)变换域方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1.4.1)式表明, 已知输入序列和 N个初始条件, 则
可以求出 n时刻的输出；如果将该公式中的 n用 n+1代替,
可以求出 n+1时刻的输出, 因此 (1.4.1)式表示的差分方
程本身就是一个适合递推法求解的方程 。
例 1.4.1 设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,
输入序列 x(n)=δ(n),求输出序列 y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程, 需要一个初
始条件 。
(1) 设初始条件 y(-1)=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=ay(n-1)+x(n)
n=0时, y(0)=ay(-1)+δ(0)=1
n=1时, y(1)=ay(0)+δ(1)=a
n=2时, y(2)=ay(1)+δ(2)=a2
…
n=n时, y(n)=an
y(n)=anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2)设初始条件 y(-1)=1
n=0时, y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a
n=1时, y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a
n=2时, y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2
…
n=n时, y(n)=(1+a)an
y(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
该例表明, 对于同一个差分方程和同一个输入信
号, 因为初始条件不同, 得到的输出信号是不相同的 。
对于实际系统, 用递推解法求解, 总是由初始条件
向 n>0的方向递推, 是一个因果解 。 但对于差分方程,
其本身也可以向 n<0的方向递推, 得到的是非因果解 。
因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因
果系统, 还需要用初始条件进行限制 。 下面就是向 n<0
方向递推的例题 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.4.2 设差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中
x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0，求输出序列 y(n)
n=1时, n=0时, n=-1时, …n=-n时,
y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))
y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0
y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1
y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2
y(n-1)=-a n-1
将 n-1用 n代替, 得到
y(n)=-anu(-n-1)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
例 1.4.3 设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)
描述, 初始条件 y(-1)=1,试分析该系统是否是线性非
时变系统 。
解 如果系统具有线性非时变性质, 必须满足
(1.3.4)和 (1.3.5)两式 。 下面通过设输入信号 x1(n)=δ(n)，
x2(n)=δ(n-1)和 x3(n)=δ(n)+δ(n-1)来检验系统是否是线性
非时变系统 。
(1)x1(n)=δ(n),y1(-1)=1
y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)
这种情况和例 1.4.1(2)相同, 因此输出如下式,
y1(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) x2(n)=δ(n-1),y2(-1)=1
y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)
n=0时, n=1时, n=2时, …n=n时,
y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=a
y2(1)=a y2(0)+δ(0)=1+a2
y2(2)=a y2(1)+δ(1)=(1+ a2)a
y2(n)=(1+ a2)a n-1
y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+aδ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(3) x3(n)=δ(n)+δ(n-1); y3(-1)=1
y3(n)=a y3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)
n=0时, n=1时, n=2时, …n=n时,
y3(0)=a y3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a
y3(1)=a y3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2
y3(2)=a y3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+ a2)a
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)δ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
由情况 (1)和情况 (2),得到
y1(n)=T［ δ(n)］
y2(n)=T［ δ(n-1)］
y2(n)≠y1(n-1)
因此该系统不是时不变系统 。 再由情况 (3)得到
y3(n) =T［ δ(n)+δ(n-1)］
≠T［ δ(n)］ +T［ δ(n-1)］
y3(n)≠y1(n)+y2(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5 模拟信号数字处理方法
在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟
信号处理技术的许多优点, 因此人们往往希望将模拟
信号经过采样和量化编码形成数字信号, 再采用数字
信号处理技术进行处理；处理完毕, 如果需要, 再转
换成模拟信号, 这种处理方法称为模拟信号数字处理
方法 。 其原理框图如图 1.5.1所示 。 图中的预滤与平滑
所起的作用在后面介绍 。 本节主要介绍采样定理和采
样恢复 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.1 模拟信号数字处理框图
预滤 A / D C 数字信号处理 D / A C 平滑滤波
y a ( t )x a ( t )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.1 采样定理及 A/D变换器
对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过
一个电子开关 S。 设电子开关每隔周期 T合上一次, 每
次合上的时间为 τ<<T,在电子开关输出端得到其采样
信号 。
()axt?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.2 对模拟信号进行采样
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式中 δ(t)是单位冲激信号, 在上式中只有当 t=nT
时, 才可能有非零值, 因此写成下式,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
a aa
n
P t t n T
x t x t P t x t t n T
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(1.5.1)
( ) ( ) ( )a a
n
x t x T t n T?
??
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???
(1.5.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
我们知道在傅里叶变换中, 两信号在时域相乘的
傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积,
按照 (1.5.2)式, 推导如下,
设
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) 2 ( )
aa
aa
ks
k
X j F T x t
x j F T x t
P j F T P t
P j a k
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? ? ? ? ?? (1.5.3)
按照 (1.5.1)式,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
式中, Ωs=2π/T,称为采样角频率, 单位是弧度 /秒,
/2
/2
11
()
2
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
1
( ) ( )
1
()
s
T
jk
k
T
s
k
aa
as
k
as
k
as
k
a t e dt
TT
P j k
T
X j X j P j
X j k d
T
X j k d
T
X j jk
T
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?
(1.5.4)
(1.5.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频
率轴, 每间隔采样角频率 Ωs重复出现一次, 或者说采
样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 Ωs为周期, 进行
周期性延拓而成的 。
在图 1.5.3中, 设 xa(t)是带限信号, 最高截止频率
为 Ωc,其频谱 Xa(jΩ)如图 1.5.3(a)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.3 采样信号的频谱
0 Ω
c
－ Ω
c
X
a
(j Ω )
P ( jΩ )
－ Ω
s
Ω
s
Ω
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
Ω
c
Ω
s
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
＾
2
s
?
0
－ Ω
s
Ω
s
－ Ω
s
δ
2
s
?2
s
?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
()Gj??
1
,
2
1
0,
2
s
s
T ? ? ?
? ? ?
(1.5.6)
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( ) ]
1
( ) ( ),
2
1
( ) ( ),
2
a
aa
aa
a a c s
a a c s
Y j FT Y t X j G j
Y t F T Y j
Y t x t
Y t x t
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??
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第 1章 时域离散信号和时域离散系统
需要说明：一般频谱函数是复函数, 相加应是复
数相加, 图 1.5.3和图 1.5.4仅是示意图 。 一般称 fs/2为折
叠频率, 只有当信号最高频率不超过该频率时, 才不
会产生频率混叠现象, 否则超过 fs /2的频谱会折叠回来
形成混叠现象, 因此频率混叠均产生在 fs /2附近 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号, 采
样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期
进行周期性的延拓形成的, 用公式 (1.5.5)表示 。
(2)设连续信号 xa(t)属带限信号, 最高截止频率为
Ωc,如果采样角频率 Ωs≥2Ωc,那么让采样信号 x^a(t)通
过一个增益为 T,截止频率为 Ωs/2的理想低通滤波器,
可以唯一地恢复出原连续信号 xa(t)。 否则 Ωs<2Ωc会造
成采样信号中的频谱混叠现象, 不可能无失真地恢复
原连续信号 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.4 采样恢复
0
X
a
(j Ω )
Ω
＾
G (j Ω )
x
a
( t ) y
a
( t )
0
G (j Ω )
Ω
－ π/ T π/ T
0
X
a
(j Ω )
Ω
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.5 A/DC原理框图
采样 量化编码
x a ( t ) x ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
将模拟信号转换成数字信号由
A/DC(Analog/DigitalConverter)完成,A/DC的原理框图
如图 1.5.5所示。通过按等间隔 T对模拟信号进行采样，
得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看
作时域离散信号 (序列 )。设 A/DC有 M位，那么用 M位
二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信
号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一
个量化编码的过程。例如：模拟信号
xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中 f=50Hz，选采样频率
fs=200Hz，将 t=nT代入 Xa(t)中，得到采样数据,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1
( ) sin( 2 ),
8
50
sin( 2 )
20 0 8
1
sin( )
28
a
s
x nT fnT T
f
n
n
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
??
当 n=…0,1,2,3,…时, 得到序列 x(n)如下,
x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.2 将数字信号转换成模拟信号
下面由 (1.5.6)式表示的低通滤波器的传输函数 G(jΩ)
推导其单位冲激响应 g(t),
/2
/2
1
( ) ( )
2
1
2
si n( / 2 )
/2
si n( / )
()
/
s
s
jt
jt
s
s
g t G j e d
T e d
t
t
tT
gt
tT
?
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??
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??
?
?
?
?
?
?
因为 Ωs=2πfs=2π/T,因此 g(t)也可以用下式表示,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
将 (1.5.7)式表示的 g(t)和 (1.5.2)式表示的 x^a(t)代入
上式, 得到
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin( ( ) / )
()
( ) /
sin( ( ) / )
()
( ) /
()
aa
n
a
n
a
n
a
n
a
n
y t x nT nT g t d
x nT nT g t d
x nT g t nT
t nT T
x nT
t nT T
t nT T
x nT
a
t nT T
xt
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??
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
? (1.5.8)
(1.5.9)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.6 内插函数 g(t)波形
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.7 理想恢复
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.8 D/AC方框图
解码 零阶保持 平滑滤波
x ( n ) x
a ( t )x a ( n T) x a ( t )
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
由时域离散信号 xa(nT)恢复模拟信号的过程是在
采样点内插的过程 。 理想低通滤波的方法是用 g(t)函
数作内插函数, 还可以用一阶线性函数作内插 。 零阶
保持器是将前一个采样值进行保持, 一直到下一个采
样值来到, 再跳到新的采样值并保持, 因此相当于进
行常数内插 。 零阶保持器的单位冲激函数 h(t)以及输
出波形如图 1.5.9所示 。 对 h(t)进行傅里叶变换, 得到
其传输函数,
0
/2
( ) ( )
s i n ( / 2 )
/2
T
j t j t
jT
H j h t e d t e d t
T
Te
T
?
? ? ? ?
??
??
? ? ?
?
?
?
??
(1.5.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.9 零阶保持器的输出波形
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
其幅度特性和相位特性如图 1.5.10所示 。 由该图看到
零阶保持器是一个低通滤波器, 能够起到将时域离散信
号恢复成模拟信号的作用 。 图中虚线表示理想低通滤波
器的幅度特性 。 零阶保持器的幅度特性与其有明显的差
别, 主要是在 |Ω|>π/T区域有较多的高频分量, 表现在时
域上, 就是恢复出的模拟信号是台阶形的 。 因此需要在
D/AC之后加平滑低通滤波器, 滤除多余的高频分量, 对
时间波形起平滑作用, 这也就是在图 1.5.1模拟信号数字
处理框中, 最后加平滑滤波的原因 。 虽然这种零阶保持
器恢复的模拟信号有些失真, 但简单, 易实现, 是经常
使用的方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
图 1.5.10 零阶保持器的频率特
