第 6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念
6.2 模拟滤波器的设计
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器
6.5 数字高通, 带通和带阻滤波器的设计
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
6.1 数字滤波器的基本概念
1,数字滤波器的分类
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响
应分类, 可以分成无限脉冲响应 (IIR)滤波器和有限脉
冲响应 (FIR)滤波器 。 它们的系统函数分别为,
0
1
1
0
()
1
( ) ( )
M
r
r
r
N
k
k
k
N
n
n
bz
Hz
az
H z h n z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.1.1)
(6.1.2)
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
)(e
j ?
H
)(e
j ?
H
)(e
j ?
H
)(e
j ?
H
0
低通
0
高通
0
带通
0
带阻
?
?
?
?
π2?
π2?
π2?
π2?
π?
π?
π?
π?
π
π
π
π
π2
π2
π2
π2
2 数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 。
假设数字滤波器的传输函数 H(e jω)用下式表示,
()( ) ( )j j jH e H e e? ? ???
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求
通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB数表示, 通
带内允许的最大衰减用 αp表示, 阻带内允许的最小衰
减用 αs表示, αp和 αs分别定义为,
0
0
()
20 lg
()
()
20 lg
()
p
s
j
p j
j
s j
He
dB
He
He
dB
He
?
?
?
?
?
?
(6.1.3)
(6.1.4)
如将 |H(ej0)|归一化为 1,(6.1.3)和 (6.1.4)式则表示成,
2 0 l g ( )
2 0 l g ( )
p
s
j
p
j
s
H e d B
H e d B
?
?
?
?
??
??
(6.1.5)
(6.1.6)
3,数字滤波器设计方法概述
IIR滤波器和 FIR滤波器的设计方法是很不相同的 。
IIR滤波器设计方法有两类, 经常用的一类设计方法是
借助于模拟滤波器的设计方法进行的 。 其设计步骤是：
先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s),然后将 Ha(s)按
某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,
且有若干典型的模拟滤波器供我们选择, 如巴特沃斯
(Butterworth)滤波器, 切比雪夫 (Chebyshev)滤波器, 椭
圆 (Cauer)滤波器, 贝塞尔 (Bessel)滤波器等, 这些滤波
器都有严格的设计公式, 现成的曲线和图表供设计人
员使用 。
图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性
)(j
a
ΩH
Ω
Ω
Ω
Ω
低通
带通 带阻
高通
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
0 0
0c
1.模拟低通滤波器的设计指标
及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有 αp,Ωp,αs和 Ωs。 其中
Ωp和 Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率, αp是
通带 Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数, αs是阻带 Ω≥Ωs的最
小衰减系数, αp和 αs一般用 dB数表示 。 对于单调下降
的幅度特性, 可表示成,
2
2
2
2
()
10 lg
()
()
10 lg
()
a
p
ap
a
s
as
Hj
Hj
Hj
Hj
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.2.1)
(6.2.2)
如果 Ω=0处幅度已归一化到 1,即 |Ha(j0)|=1,αp和 αs
表示为
以上技术指标用图 6.2.2表示 。 图中 Ωc称为 3dB截止
频率, 因
2
2
10 lg ( )
10 lg ( )
p a p
s a s
Hj
Hj
?
?
? ? ?
? ? ?
(6.2.3)
(6.2.4)
( ) 1 / 2,2 0 l g ( ) 3a c a cH j H j d B? ? ? ? ?
图 6.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后, 需要设计一个传输函
数 Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标 αp和 αs，
一般滤波器的单位冲激响应为实数, 因此
2( ) ( ) ( )
( ) ( )
a a s j
aa
H j H s G s
H j H j
??
?
? ? ?
? ? ?(6.2.5)
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2用下
式表示,
2
2
1()
1 ( )
a
N
c
Hj ?? ?
?
?
(6.2.6)
图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N的关系
将幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2写成 s的函数,
2
1( ) ( )
1 ( )
aa
N
c
H s H s s
j
??
?
?
(6.2.7)
此式表明幅度平方函数有 2N个极点, 极点 sk用下式表示,
1 1 2 1()
2 2 2( 1 ) ( )
kj
NNk c cs j e ?
??
? ? ? ? ?(6.2.8)
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
为形成稳定的滤波器, 2N个极点中只取 s平面左半
平面的 N个极点构成 Ha(s),而右半平面的 N个极点构成
Ha(s)。 Ha(s)的表示式为
1
0
()
()
N
c
a N
k
k
Hs
ss
?
?
?
?
??
设 N=3,极点有 6个, 它们分别为
2
3
0
1
2
3
2
1
3
3
4
1
3
5
j
c
c
j
c
j
c
c
j
c
se
s
se
se
s
se
?
?
?
?
?
?
??
? ? ?
??
??
??
??
取 s平面左半平面的极点 s0,s1,s2组成 Ha(s),
3
22
33
()
( )( )( )
a
a jj
c c c
Hs
s s s?? ?
??
? ? ? ? ? ?
由于各滤波器的幅频特性不同, 为使设计统一,
将所有的频率归一化 。 这里采用对 3dB截止频率 Ωc归一
化, 归一化后的 Ha(s)表示为
式中, s/Ωc=jΩ/Ωc。
令 λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率；令 p=jλ,p称为归
一化复变量, 这样归一化巴特沃斯的传输函数为
1
0
1()
()
a N
k
k cc
Hs
ss?
?
?
?
???
(6.2.10)
1
0
1()
()
a N
k
k
Hp
pp
?
?
?
??
(6.2.11)
式中,pk为归一化极点，用下式表示,
将极点表示式 (6.2.12)代入 (6.2.11)式, 得到的 Ha(p)
的分母是 p的 N阶多项式, 用下式表示,
1 2 1()
22,0,1,,1
kj
Nkp e k N?
??
? ? ? ? ? ?(6.2.12)
/ 1 0
/ 1 0
2
2
1 ( ) 1 0
1 ( ) 1 0
p
s
ap N
c
aNs
c
?
??
?
?
??
?
将 Ω=Ωs代入 (6.2.6)式中, 再将 |Ha(jΩs)|2代入
(6.2.4)式中, 得到,
(6.2.14)
(6.2.15)
由 (6.2.14)和 (6.2.15)式得到,
/ 1 0
/ 1 0
1 0 1()
1 0 1
p
s
a
p N
a
s
? ??
??
令 10
10
1 0 1/,
1 0 1
p
s
a
s p s p s p ak?
?? ? ? ?
?
,则 N由下式表示,
lg
lg
sp
sp
kN
???
(6.2.16)
用上式求出的 N可能有小数部分, 应取大于等于 N
的最小整数 。 关于 3dB截止频率 Ωc,如果技术指标中没
有给出, 可以按照 (6.2.14) 式或 (6.2.15) 式求出, 由
(6.2.14)式得到,1
0.1
2
1
0.1 2
( 1 0 1 )
( 1 0 1 )
p
s
a
N
cp
a N
cs
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
由 (6.2.15)式得到,
(6.2.17)
(6.2.18)
总结以上, 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下,
(1)根据技术指标 Ωp,αp,Ωs和 αs,用 (6.2.16)式求出滤
波器的阶数 N。
(2)按照 (6.2.12)式, 求出归一化极点 pk,将 pk代入
(6.2.11)式, 得到归一化传输函数 Ha(p)。
(3)将 Ha(p)去归一化 。 将 p=s/Ωc代入 Ha(p),得到实
际的滤波器传输函数 Ha(s)。
表 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
例 6.2.1 已知通带截止频率 fp=5kHz,通带最大衰减
αp=2dB, 阻 带 截 止频 率 fs=12kHz, 阻 带最 小 衰 减
αs=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 。
解 (1) 确定阶数 N。
0.1
0.1
10 1
0.0242
10 1
2
2.4
2
lg 0.0242
4.25,5
lg 2.4
p
s
a
sp a
s
sp
p
k
f
f
NN
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
(2) 按照 (6.2.12)式, 其极点为
34
55
01
6
5
23
7
5
4
,
,
jj
j
j
j
s e s e
s e s e
se
??
?
?
?
??
??
?
按照 (6.2.11)式, 归一化传输函数为
4
0
1()
()
a
k
k
Hp
pp
?
?
??
上式分母可以展开成为五阶多项式, 或者将共轭
极点放在一起, 形成因式分解形式 。 这里不如直接查
表 6.2.1简单, 由 N=5,直接查表得到,
极点,-0.3090± j0.9511,-0.8090± j0.5878;
-1.0000
5 4 3 2
4 3 2 1 0
1()
aHp p b p b p b p b p b? ? ? ? ? ?
式
b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
(3) 为将 Ha(p)去归一化, 先求 3dB截止频率 Ωc。
按照 (6.2.17)式, 得到,
1
0.1 2
1
0.1 2
( 1 0 1 ) 2 5,2 7 5 5 /
( 1 0 1 ) 2 1 0,5 2 5 /
p
s
a N
cp
a N
sc
kra d s
kra d s
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
g
g
将 Ωc代入 (6.2.18)式, 得到,
将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中得到,
5
5 4 2 3 3 2 4 5
4 3 2
() 10ca
c c c c c
Hs s b s b s b s b s b?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
我们这里仅介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器的设计方法 。
图 6.2.5分别画出阶数 N为奇数与偶数时的切比雪夫 Ⅰ 型
滤波器幅频特性 。 其幅度平方函数用 A2(Ω)表示,
22
22
1
( ) ( )
1 ( )
a
N
p
A H j
C?
? ? ? ? ?
?
?
(6.2.19)
图 6.2.5 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器幅频特性
式中, ε为小于 1的正数, 表示通带内幅度波动的
程度, ε愈大, 波动幅度也愈大 。 Ωp称为通带截止频率 。
令 λ=Ω/Ωp,称为对 Ωp的归一化频率 。 CN(x)称为 N阶切
比雪夫多项式, 定义为
c o s ( a r c c o s ),1
()
( ),1N
N x x
Cx
c h N Ar c h x x
???
? ?
???
当 N=0时, C0(x)=1；
当 N=1时, C1(x)=x；
当 N=2时, C2(x)=2x 21；
当 N=3时, C3(x)=4x 33x。
由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为
C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20)
图 6.2.6示出了阶数 N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性 。
由图可见,
(1)切比雪夫多项式的过零点在 |x|≤1的范围内；
(2)当 |x|<1时, |CN(x)|≤1,在 |x|<1范围内具有等波纹性；
(3)当 |x|>1时, CN(x)是双曲线函数, 随 x单调上升 。
图 6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线
按照 (6.2.19)式, 平方幅度函数与三个参数即 ε,Ωp
和 N有关 。 其中 ε与通带内允许的波动大小有关, 定义
允许的通带波纹 δ用下式表示,
2
m a x
2
m in
2
m a x m in 2
()
1 0 lg
()
1
( ) 1,( )
1
A
A
A
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
(6.2.21)
因此
2
2 0, 1
1 0 l g ( 1 )
1 0 1?
??
?
??
??
(6.2.22)
图 6.2.7 切比雪夫 Ⅰ 型与巴特沃斯低通的 A2(Ω)曲线
设阻带的起始点频率 (阻带截止频率 )用 Ωs表示, 在
Ωs处的 A2(Ωs)用 (6.2.19)式确定,
2
22
1
()
1 ( )
s
s
N
P
A
C?
??
?
?
?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
2
11
( ) [ ( ) ] 1
()
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
N s s
s
s
s
sp
s
C c h N Arc h
A
Arc h
A
N
Arc h
Arc h
NA
??
??
??
?
??
? ? ?
?
?
???
? ? ? ???
? ??
(6.2.24)
(6.2.25)
可以解出
3dB截止频率用 Ωc表示,
2
22
2
1
()
2
( ) 1,
1
( ) [ ( ) ]
c
c
N c c
p
N c c
A
C
C c h N Arc h
? ? ?
??
?
??
?
??
?
? ? ?
按照 (6.2.19)式, 有
通常取 λc>1,因此
上式中仅取正号，得到 3dB截止频率计算公式,
11[ ( ) ]
cp c h Arc hN ?? ? ?
(6.2.26)
以上 Ωp,ε和 N确定后, 可以求出滤波器的极点, 并
确定 Ha(p),p=s/Ωp。 求解的过程请参考有关资料 。 下
面仅介绍一些有用的结果 。
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明,
2
22
1()
1 ( )
s
s
N
p
A
C?
?? ?
?
?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
s
s
sp
s
Arc h
A
N
Arc h
Arc h
NA
??
?
??
?
?
???
? ? ? ???
? ??
(6.2.24)
(6.2.25)
上式中仅取正号, 得到 3dB截止频率计算公式,
11[ ( ) ]
cp c h Arc hN ?? ? ?
(6.2.26)
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明,
21
s i n ( )
2
,1,2,3,,
21
co s ( )
2
ip
ip
i
ch
N
iN
i
ch
N
??
?
??
? ? ?
??
? ? ? ??
??
? ? ?
??
(6.2.27)
式中
22
2 2 2 2
11
()
1ii
pp
Arsh
N
s h s h
?
?
?
??
?
?
??
??
(6.2.28)
(6.2.28)式是一个椭圆方程, 长半轴为 Ωpchξ(在虚
轴上 ),短半轴为 Ωpshξ(在实轴上 )。 令 bΩp和 aΩp分别表
示长半轴和短半轴, 可推导出,
11
11
2
1
()
2
1
()
2
11
1
NN
NN
a
a
??
??
?
??
?
?
??
??
? ? ?
(6.2.29)
(6.2.30)
(6.2.31)
图 6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布
设 N=3,平方幅度函数的极点分布如图 6.2.8所示
(极点用 X表示 )。 为稳定, 用左半平面的极点构成 Ha(p)，
即
1
1()
()
a N
i
i
Hp
c p p
?
?
??
(6.2.32)
式中 c是待定系数 。 根据幅度平方函数 (6.2.19)式
可导出,c=ε·2 N-1,代入 (6.2.32)式, 得到归一化的
传输函数为
1
1
1
()
2 ( )
a N
N
i
i
Hp
pp? ?
?
?
???
(6.2.33a)
按照以上分析, 下面介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器设计步骤 。
1) 确定技术要求 αp,Ωp,αs和 Ωs
αp是 Ω=Ωp时的衰减系数,αs是 Ω=Ωs时的衰减系数，
它们为
去归一化后的传输函数为
1
1
()
2 ( )
N
p
a N
N
ip
i
Hs
sp? ?
?
?
?
? ? ??
(6.2.33b)
2
2
1
1 0 l g
()
1
1 0 l g
()
p
p
s
s
A
A
?
?
?
?
?
?
(6.2.34)
(6.2.35)
这里 αp就是前面定义的通带波纹 δ,见 (6.2.21)式 。
归一化频率
2) 求滤波器阶数 N和参数 ε
由 (6.2.19)式, 得到,
1,sps
p
?? ??? ?
2
2
2
2
1
1 ( )
()
1
1 ( )
()
Np
p
Ns
s
C
A
C
A
??
??
??
?
??
?
将以上两式代入 (6.2.34)式和 (6.2.35)式，得到,
0, 1 2 2 2 2
0, 1 2 2 2
0, 1
2
0, 1
1 0 1 ( ) 1 co s ( ar cc o s 1 ) 1
1 0 1 ( ) 1 ( )
1 0 1
()
1 0 1
p
s
s
p
Np
N s s
s
Cn
C ch N A r ch
ch N A r ch
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
令
0,1
1
1 0,1
1
1
1
1
1 0 1
1 0 1
[]
()
()
s
p
a
a
s
s
k
c h N A rc h k
A rc h k
N
A rc h
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.2.36)
(6.2.37)
这样, 先由 (6.2.36)式求出 k-11,代入 (6.2.37)式, 求
出阶数 N,最后取大于等于 N的最小整数 。
按照 (6.2.22)式求 ε,这里 αp=δ。
ε+2=10 0.1δ1
3) 求归一化传输函数 Ha(p)
为求 Ha(p), 先按照 (6.2.27) 式求出归一化极点
pk,k=1,2,:,N。
1
1
/
( 2 1 ) ( 2 1 )
s in [ ] c o s [ ]
22
1
()
2 ( )
( ) ( )
p
k
a N
N
i
i
a a p s
kk
p c h jch
NN
Hs
pp
H s H p
??
??
?
?
?
??
??
? ? ?
?
??
?
?
将极点 pk代入 (6.2.33)式，得到,
4) 将 Ha(p)去归一化，得到实际的 Ha(s)，即
(6.2.38)
(6.2.39)
例 6.2.2设计低通切比雪夫滤波器, 要求通带截止
频率 fp=3kHz,通带最大衰减 αp=0.1dB,阻带截止频率
fs=12kHz,阻带最小衰减 αs=60dB。
解
(1) 滤波器的技术要求,
0,1,2
60,2
1,4
p p p
p s s
s
ps
p
dB f
dB f
f
f
??
??
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
(2) 求阶数 N和 ε,
1
1
0.1
1
1 0.1
0.1 0.01
()
()
10 1
6553
10 1
( 65 53 ) 9,47
4,6,5
( 4 ) 2,06
10 1 10 1 0,15 26
s
p
p
s
a
a
a
Arch k
N
Arch
k
Arch
NN
Arch
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
(3) 求 Ha(p),
5
( 5 1 )
1
1()
0,15 26 2 ( )
a
i
i
Hp
pp?
?
?
???
由 (6.2.38)式求出 N=5时的极点 pi,代入上式, 得到,
22
11()
2, 4 4 2 ( 0, 5 3 8 9)( 0, 3 3 3 1 1, 1 9 4 9) 0, 8 7 2 0 0, 6 3 5 9aHp p p p p p?? ? ? ? ? ?
(4)将 Ha(p)去归一化, 得到,
/ 7 2 6 1 4
2 7 1 4
1
( ) ( )
( 1, 0 1 5 8 1 0 )( 6, 2 7 8 8 1 0 4, 2 4 5 9 1 0 )
1
1, 6 4 3 7 1 0 2, 2 5 9 5 1 0
pa a p s
H s H p
s s s
ss
???? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
g
4.模拟滤波器的频率变换 ——模拟高通, 带通, 带
阻滤波器的设计
为了防止符号混淆, 先规定一些符号如下,
1) 低通到高通的频率变换
λ和 η之间的关系为
上式即是低通到高通的频率变换公式, 如果已知
低通 G(jλ),高通 H(jη)则用下式转换,
1?
??
(6.2.41)
1( ) ( )H j G j ?
?
??
?
?
(6.2.40)
图 6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性
模拟高通滤波器的设计步骤如下,
(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 Ω′p，
阻带上限频率 Ω′s,通带最大衰减 αp,阻带最小衰减 αs。
(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照 (6.2.40)
式, 将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边
界频率, 各项设计指标为,
① 低通滤波器通带截止频率 Ωp=1/Ω′p；
② 低通滤波器阻带截止频率 Ωs=1/Ω′s；
③ 通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减仍为 αs。
(3)设计归一化低通滤波器 G(p)。
(4)求模拟高通的 H(s)。 将 G(p)按照 (6.2.40)式, 转
换成归一化高通 H(q),为去归一化, 将 q=s/Ωc代入 H(q)
中, 得
例 6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度
特性单调下降, fp处最大衰减为 3dB,阻带最小衰减
αs=15dB。
( ) ( )
cp
s
H s G p ?
?
?
(6.2.42)
解
① 高通技术要求,
fp=200Hz,αp=3dB;
fs=100Hz,αs=15dB
归一化频率
1,0, 5p sps
cc
f f
ff??? ? ? ?
② 低通技术要求,
1
1,2
3,1 5
ps
s
psd B d B
??
?
??
? ? ?
??
③ 设计归一化低通 G(p)。 采用巴特沃斯滤波器, 故
0,1
0,1
32
10 1
0.18
10 1
2
lg
2,47,3
lg
1
()
2 2 1
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
p p p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
④ 求模拟高通 H(s),
2) 低通到带通的频率变换
低通与带通滤波器的幅度特性如图 6.2.10所示 。
3
3 2 2 3( ) ( ) 22
2
cp
c c cs
cp
s
H s G p
s s s
f?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
??
1 1 2 2
2
0
/,/
/,/
s s s s
l l u u
lu
BB
BB
??
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
图 6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性
表 6.2.2 η与 λ的对应关系
由 η与 λ的对应关系, 得到,
22
0
22
0
1
u
p u l
??
?
?
??
? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
由表 6.2.2知 λp对应 ηu,代入上式中, 有
(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式 。 利用
该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率 。 下面
推导由归一化低通到带通的转换公式 。 由于
pj??
将 (6.2.43)式代入上式, 得到,
22
0
22
0
pj
q
p
q
??
?
?
?
?
?
?
将 q=jη代入上式, 得到,
为去归一化, 将 q=s/B代入上式, 得到,
2
2
()
()
( ) ( )
lu
ul
lu
ul
s
p
s
s
p
s
H s G p
??
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
(6.2.44)
(6.2.45)
上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式 。
下面总结模拟带通的设计步骤 。
(1)确定模拟带通滤波器的技术指标, 即,
带通上限频率 Ωu,带通下限频率 Ωl
下阻带上限频率 Ω s1,上阻带下限频率 Ω s2
通带中心频率 Ω20=ΩlΩu,通带宽度 B=ΩuΩl
与以上边界频率对应的归一化边界频率如下,
12
12
2
0
,,
,
s s l
s s l
u
u l u
B B B
B
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
??
(2) 确定归一化低通技术要求,
λs与 -λs的绝对值可能不相等, 一般取绝对值小的 λs，
这样保证在较大的 λs处更能满足要求 。
通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减亦为 αs。
(3) 设计归一化低通 G(p)。
(4) 由 (6.2.45)式直接将 G(p)转换成带通 H(s)。
2 2 2 2
2 0 1 0
21
1,,ssp s s
ss
? ? ? ?? ? ?
??
??? ? ? ?
例 6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽
B=2π× 200rad/s，中心频率 Ω0=2π× 1000rad/s，通带内最
大衰减 αp=3dB，阻带
Ωs1=2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s，阻带最小衰减
αs=15dB。
解 (1) 模拟带通的技术要求,
Ω0=2π× 1000rad/s,αp=3dB
Ω s1 =2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s,αs=15dB
B=2π× 200rad/s;
η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6
(2) 模拟归一化低通技术要求,
2 2 2 2
2 0 1 0
3
21
1,1, 8 3 3,1, 8 7 4ssps
ss
? ? ? ?? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?
取 λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。
(3)设计模拟归一化低通滤波器 G(p),
采用巴特沃斯型, 有
0,1
0,1
1 0 1
0,1 8
1 0 1
1,8 3 3
lg
2,8 3
lg
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
N
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ?
取 N=3,查表 6.2.1,得
2
32
()
1
()
2 2 1
( ) ( )
lu
ul
s
p
s
Gp
p p p
H s G p
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
(4) 求模拟带通 H(s),
2 3 6 5 2 2 4 2 3 3
00
4 2 2 2 4 6 1
0 0 0 0
( ) [ 2 ( 3 2 ) ( 4 )
( 3 2 ) 2 ]
SH s s B s B B s B B s
B s B s ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
3) 低通到带阻的频率变换
低通与带阻滤波器的幅频特性如图 6.2.11所示。
图 6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性
图中, Ωl和 Ωu分别是下通带截止频率和上通带截
止频率, Ωs1和 Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率,
Ω0为阻带中心频率, Ω20=ΩuΩl,阻带带宽 B=ΩuΩl,B
作为归一化参考频率 。 相应的归一化边界频率为
ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;
η20=ηuηl
表 6.2.3 η与 λ的对应关系
根据 η与 λ的对应关系, 可得到,
且 ηuηl=1,λp=1,(6.2.46)式称为低通到带阻的频率
变换公式 。 将 (6.2.46)式代入 p=jλ,并去归一化, 可得
上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变
换公式 。
22
0
??
??? ?
(6.2.46)
2 2 2
0
()ul
ul
s B sp
ss
? ? ???
? ? ? ? ?
(6.2.47)
22
0
( ) ( ) sB
p
s
H s G p
?
??
?
(6.2.48)
下面总结设计带阻滤波器的步骤,
(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求, 即,
下通带截止频率 Ωl,上通带截止频率 Ωu
阻带下限频率 Ωs1,阻带上限频率 Ωs2
阻带中心频率 Ω+20=ΩuΩl,阻带宽度 B=ΩuΩl
它们相应的归一化边界频率为
ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;
ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl
以及通带最大衰减 αp和阻带最小衰减 αs。
(2) 确定归一化模拟低通技术要求, 即,
取 λs和 λs的绝对值较小的 λs；通带最大衰减为 αp，
阻带最小衰减为 αs。
(3) 设计归一化模拟低通 G(p)。
(4) 按照 (6.2.48)式直接将 G(p)转换成带阻滤波器
H(s)。
12
2 2 2 2
1 0 2 0
1,,ssp s s
ss
??? ? ?
? ? ? ?? ? ? ???
例 6.2.5 设计模拟带阻滤波器, 其技术要求为,
Ωl=2π× 905rad/s,Ωs1=2π× 980rad/s,
Ωs2= 2π× 1020rad/s,Ωu=2π× 1105rad/s,αp=3dB,
αs=25dB。 试设计巴特沃斯带阻滤波器 。
解
(1) 模拟带阻滤波器的技术要求,
Ωl=2π× 905,Ωu=2π× 1105;
Ωs1=2π× 980,Ωs2=2π× 1020;
Ω20=ΩlΩu=4π+2× 1000025,B=ΩuΩl=2π× 200;
ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;
ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;
η20=ηlηu=25
(2) 归一化低通的技术要求,
2
22
10
1,4, 9 5,4, 9 5
3,2 5
s
p s s
s
ps d B d B
?
? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
?
??
(3)设计归一化低通滤波器 G(p),
0,1
0,1
2
10 1
0.0562
10 1
4.95
lg
1,8,2
lg
1
()
21
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
pp
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
?
??
(4) 带阻滤波器的 H(s)为
22
0
4 2 2 4
00
4 2 2 2 2 2 4
0 0 0
2( ) ( )
2 ( 2 ) 2sBp ss
ssH s G p
s B B s B s? ??
? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR
数字低通滤波器
为了保证转换后的 H(z)稳定且满足技术要求, 对转
换关系提出两点要求,
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍
是因果稳定的。
(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响,
s平面的虚轴映射 z平面的单位圆, 相应的频率之间成
线性关系 。
设模拟滤波器的传输函数为 Ha(s),相应的单位冲激
响应是 ha(t)
( ) [ ( ) ]aaH s L T h t?
设模拟滤波器 Ha(s)只有单阶极点, 且分母多项式
的阶次高于分子多项式的阶次, 将 Ha(s)用部分分式表
示,
1
()
N
i
a
i i
AHs
ss?? ??
(6.3.1)
式中 si为 Ha(s)的单阶极点 。 将 Ha(s)进行逆拉氏
变换得到 ha(t),
1
( ) ( )i
N
s nt
ai
i
h t A e u t
?
? ?
(6.3.2)
式中 u(t)是单位阶跃函数。对 ha(t)进行等间隔采样，
采样间隔为 T，得到,
1
( ) ( ) ( )i
N
s n T
ai
i
h n h n T A e u n T
?
?? ?
(6.3.3)
对上式进行 Z变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z),
1
1
() 1
i
N
i
sT
i
AHz
ez ??? ??
(6.3.4)
设 ha(t)的采样信号用 ha(t)表示,
^
( ) ( ) ( )a a
n
h t h t t n T?
?
? ? ?
???
对 进行拉氏变换，得到, ^ ()
aht
^^
( ) ( )
[ ( ) ]
()
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a
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H s h t e dt
h t nT e dt
nT e
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
式中 ha(nT)是 ha(t)在采样点 t=nT时的幅度值,
它与序列 h(n)的幅度值相等, 即 h(n)=ha(nT),因此
得到,
^ ( ) ( ) ( ) ( )
s T s T
s n T na
z e z e
nn
H s h n e h n z H z?? ??? ? ???
(6.3.5)
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z变
换之间的映射关系可用下式表示,
我们知道模拟信号 ha(t)的傅里叶变换 Ha(jΩ)和其采
样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足
(1.5.5)式，重写如下,
sTze? (6.3.6)
^ ()
aht
^ ()
aHj?
^
^
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
( ) ( )
sT
a
as
k
a
as
k
as
ze
k
H j H j jk
T
H s H s jk
T
H z H s jk
T
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?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
将 s=jΩ代入上式, 得
由 (6.3.5)式和 (6.3.8)式得到,
(6.3.7)
(6.3.8)
(6.3.9)
上式表明将模拟信号 ha(t)的拉氏变换在 s平面上沿
虚轴按照周期 Ωs=2π/T延拓后, 再按照 (6.3.6)式映射关
系, 映射到 z平面上, 就得到 H(z)。 (6.3.6)式可称为标
准映射关系 。 下面进一步分析这种映射关系 。 设
j
sj
z re ?
?? ? ?
?
按照 (6.3.6)式, 得到,
j T j Tre e e?? ??
因此得到,
Tre
T
?
?
? ?
? ??
? (6.3.10)
那么
ζ=0,r=1
ζ<0,r<1
ζ>0,r>1
另外, 注意到 z=esT是一个周期函数, 可写成
2(),j M T
s T T j T T Te e e e e M
?
?? ????? 为任意整数
图 6.3.1 z=esT,s平面与 z平面之间的映射关系
图 6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象
假设 没有频率混叠现象, 即满足
按照 (6.3.9)式, 并将关系式 s=jΩ代入, ω=ΩT,代
入得到,
令
^ ()
aHj?
( ) 0,/aH j T?? ? ? ?
1( ) ( ),j
aH e H jTT
? ? ????
1
1
( ) ( )
()
1
( ) ( / ),
i
a
N
i
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i
j
a
h n T h nT
TA
Hz
ez
H e H j T
?
? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
一般 Ha(s)的极点 si是一个复数, 且以共轭成对的形
式出现, 在 (6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起,
形成一个二阶基本节 。 如果模拟滤波器的二阶基本节
的形式为
1
1122
11()
s j
s
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
极点为 (6.3.11)
可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节 (只有实
数乘法 )的形式为
1
11
1
1
212
1
1 c o s
1 2 c o s
T
TT
z e T
z e T z e
?
??
??
???
??
? ? ?
(6.3.12)
如果模拟滤波器二阶基本节的形式为
1
11
1
1122
11
1
1
212
1
,
()
sin
1 2 c o s
T
TT
j
s
z e T
z e T z e
?
??
?
?
?
???
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
极点为 (6.3.13)
(6.3.14)
例 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数 Ha(s)为
用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成数字滤波器的系
统函数 H(z)。
解 首先将 Ha(s)写成部分分式,
2
0,5 0 1 2()
0,6 4 4 9 0,7 0 7 9aHs ss? ??
0, 3 2 2 4 0, 3 2 2 4()
0, 3 2 2 4 0, 7 7 7 2 0, 3 2 2 4 0, 7 7 7 2a
jjHs
s j s j
???
? ? ? ?
极点为
12(0, 3 2 2 4 0, 7 7 2 ),(0, 3 2 2 4 0, 7 7 7 2 )s j s j? ? ? ? ? ?
那么 H(z)的极点为
1212,s T s Tz e z e??
按照 (6.3.4)式, 并经过整理, 得到
设 T=1s时用 H1(z)表示, T=0.1s时用 H2(z)表示, 则
1
1 12
1
2 12
0,3 2 7 6
()
1 1,0 3 2 8 0,2 4 7
0,0 4 8 5
()
1 1,9 3 0 7 0,9 3 7 5
z
Hz
zz
z
Hz
zz
?
??
?
??
?
??
?
??
转换时, 也可以直接按照 (6.3.13),(6.3.14)式进行
转换 。 首先将 Ha(s)写成 (6.3.13)式的形式, 如极点
s1,2=ζ1± jΩ1,则
11
2 2 2 2
1 1 1 1 1
0, 5 0 1 2( ) 0, 6 4 4 9
( ) ( )aHs ss??
????
? ? ? ? ? ? ?
再按照 (6.3.14)式, H(z)为
1
11
1
1
212
1
s i n( ) 0, 6 4 4 9
1 2 c o s
T
TT
z e THz
z e T z e
?
??
??
????
??
? ? ?
图 6.3.3 例 6.3.1的幅度特性
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字
低通滤波器
正切变换实现频率压缩,
1
21ta n( )
2 TT? ? ?
(6.4.1)
式中 T仍是采样间隔, 当 Ω1从 π/T经过 0变化到
π/T时, Ω则由 ∞经过 0变化到 +∞,实现了 s平面上整
个虚轴完全压缩到 s1平面上虚轴的 ± π/T之间的转换 。
这样便有
1
11
2 1 2 1()
21
sT
sT
es th T
T T e
?
?
?? ? ?
?
(6.4.2)
再通过 转换到 z平面上, 得到,
1sTze?
1
1
21
1
2
2
z
s
Tz
s
T
z
s
T
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.4.3)
(6.4.4)
下面分析模拟频率 Ω和数字频率 ω之间的关系。
图 6.4.1 双线性变换法的映射关系
令 s=jΩ,z=e jω,并代入 (6.4.3)式中, 有
21
1
21
t a n
2
j
j
e
j
Te
T
?
?
?
?
?
?
??
?
?? (6.4.5)
图 6.4.2 双线性变换法的频率变换关系
图 6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
设
1
1
2
0 1 2
2
0 1 2
1
1
12
0 1 2
12
12
()
2
( ) ( ),
()
1
k
k
a k
k
a z
s
z
k
k
k
k
A A s A s A s
Hs
B B s B s B s
H z H s C
T
a a z a z a z
Hz
b z b z b z
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
表 6.4.1 系数关系表
例 6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法
将图 6.4.4所示的 RC低通滤波器转换成数字滤波器 。
解 首先按照图 6.4.4写出该滤波器的传输函数 Ha(s)
为
1( ),
aHs s RC
? ?
????
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函
数 H1(z)为
1 1() 1 THz ez?
?
??? ?
利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数
H2(z)为
1
1
1
1
2 121
21
12
( 1 )
( ) ( )
1
2
,
22
a z
s
T z
z
H z H s
az
TT
TT
?
??
??
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
H1(z)和 H2(z)的网络结构分别如图 6.4.5(a),(b)所示 。
图 6.4.5 例 6.4.1图 ——H1(z)和 H2(z)的网络结构
(a)H1(z); (b)H2(z)
下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR数字低通滤
波器的步骤 。
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频
率 ωp,通带衰减 αp,阻带截止频率 ωs,阻带衰减 αs。
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通
滤波器的技术指标。
21
t a n ( )
2
T
T
?
?
??
??
如果采用双线性变换法, 边界频率的转换关系为
图 6.4.6例 6.4.1 图 —— 数字滤波器 H1(z)和 H2(z)的幅频特性
(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通
滤波器。
(4)将模拟滤波器 Ha(s)，从 s平面转换到 z平面，得
到数字低通滤波器系统函数 H(z)。
例 6.4.2 设计低通数字滤波器, 要求在通带内频率
低于 0.2πrad时, 容许幅度误差在 1dB以内；在频率 0.3π
到 π之间的阻带衰减大于 15dB。 指定模拟滤波器采用巴
特沃斯低通滤波器 。 试分别用脉冲响应不变法和双线
性变换法设计滤波器 。
解
(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通的技术指标为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;
Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB
③ 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数 N及 3dB
截止频率 Ωc。
0.1
0.1
lg
lg
0.3
1.5
0.2
10 1
0.0 92
10 1
lg 0.0 92
5.8 84
lg 1.5
p
s
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
??
?
? ? ?
取 N=6。 为求 3dB截止频率 Ωc,将 Ωp和 αp代入 (6.2.17)
式, 得到 Ωc=0.7032rad/s,显然此值满足通带技术要求,
同时给阻带衰减留一定余量, 这对防止频率混叠有一
定好处 。
根据阶数 N=6,查表 6.2.1,得到归一化传输函数为
2 3 4 5 6
1()
1 3, 8 6 3 7 7, 4 6 4 1 9, 1 4 1 6 7, 4 6 4 1 3, 8 6 3 7aHp p p p p p p? ? ? ? ? ? ?
为去归一化，将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中，得到实际的
传输函数 Ha(s),
6
2
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6
6 5 4 3 2
()
3.86 37 7.46 41 9.14 16 7.46 41 3.86 37
0.1209
2.71 6 3.69 1 3.17 9 1.82 5 0.12 1 0.12 09
a
c c c c c c
Hs
s s s s s s
s s s s s s
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
④ 用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成 H(z)。 首先将
Ha(s)进行部分分式, 并按照 (6.3.11)式, (6.3.12)式, 或
者 (6.3.13)式和 (6.3.14)式, 得到,
11
1 2 1 2
1
12
0, 2 8 7 1 0, 4 4 6 6 2, 1 4 2 8 1, 1 4 5 4
()
1 0, 1 2 9 7 0, 6 9 4 9 1 1, 0 6 9 1 0, 3 6 9 9
1, 8 5 5 8 0, 6 3 0 4
1 0, 9 9 7 2 0, 2 5 7 0
zz
Hz
z z z z
z
zz
??
? ? ? ?
?
??
? ? ?
??
? ? ? ?
?
?
??
图 6.4.7 例 6.4.2图 ——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性
(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通技术指标仍为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
21
t an,1
2
2 t an 0,1 0,6 5 /,1
2 t an 0,1 5 1,0 1 9 /,1 5
pp
Pp
ss
T
T
r a d s d B
r a d s d B
?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
③ 设计巴特沃斯低通滤波器 。 阶数 N计算如下,
lg
lg
1.019
1.568
0.65
0.092
lg 0.09 2
5.306
lg 1.56 8
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
?
?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
取 N=6。 为求 Ωc,将 Ωs和 αs代入 (6.2.18)式中, 得
到 Ωc=0.7662rad/s。 这样阻带技术指标满足要求, 通
带指标已经超过 。
根据 N=6,查表 6.2.1得到的归一化传输函数 Ha(p)
与脉冲响应不变法得到的相同 。 为去归一化, 将 p=s/Ωc
代入 Ha(p),得实际的 Ha(s),
④ 用双线性变换法将 Ha(s)转换成数字滤波器 H(z),
2 2 2
0, 2 0 2 4()
( 0, 3 9 6 0, 5 8 7 1 ) ( 1, 0 8 3 0, 5 8 7 1 ) ( 1, 4 8 0 0, 5 8 7 1 )aHs s s s s s s? ? ? ? ? ? ?
1
1
16
1 2 1 21
2
1
12
0.0007378 ( 1 )
( ) ( )
( 1 1,2 6 8 0,7 0 5 1 ) ( 1 1,0 1 0 0,3 5 8 )
1
1 0,9 0 4 4 0,2 1 5 5
a z
s
z
z
H z H s
z z z z
zz
?
?
?
? ? ? ??
?
?
??
?
??
? ? ? ?
??
g
图 6.4.8 例 6.4.2图 ——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下,
(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标 。
(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需
类型模拟滤波器的技术指标, 转换公式为
21ta n
2T ???
(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低
通滤波器技术指标 (具体转换公式参考本章 6.2节 )。
(4)设计模拟低通滤波器 。
(5)将模拟低通通过频率变换, 转换成所需类型的
模拟滤波器 。
(6)采用双线性变换法, 将所需类型的模拟滤波器
转换成所需类型的数字滤波器 。
例 6.5.1 设计一个数字高通滤波器, 要求通带截止
频率 ωp=0.8πrad,通带衰减不大于 3 dB,阻带截止频
率 ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于 15dB。 希望采用巴特沃
斯型滤波器 。
解
(1)数字高通的技术指标为
ωp=0.8πrad,αp=3dB;
ωs=0.44πrad,αs=15dB
(2) 模拟高通的技术指标计算如下,
令 T=1,则有
12 t an 6, 1 5 5 /,3
2
1
2 t an 1, 6 5 5 /,3
2
p p p
s s s
r a d s d B
r a d s d B
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下,
1
0,16 3 /,3
6,15 5
1
0,60 4 /,15
1,65 5
pp
ss
ra d s dB
ra d s dB
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
将 Ωp和 Ωs对 3dB截止频率 Ωc归一化, 这里 Ωc=Ωp,
(4)设计归一化模拟低通滤波器 G(p)。 模拟低通滤
波器的阶数 N计算如下,
1,3.7 1sps
p
?? ?? ? ??
0,1
0,1
lg
lg
10 1
0.1803
10 1
3.71
1.31,2
p
s
sp
sp
sp
s
sp
p
k
N
k
NN
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
查表 6.2.1,得到归一化模拟低通传输函数 G(p)为
2
2
22
1
()
21
()
2
c
cc
Gp
pp
Gs
ss
?
??
?
?
? ? ? ?
为去归一化, 将 p=s/Ωc代入上式得到,
(5) 将模拟低通转换成模拟高通 。 将上式中 G(s)
的变量换成 1/s,得到模拟高通 Ha(s),
22
22
1( ) ( )
21
c
a
cc
sH s G
s ss
???
? ? ? ?
(6)用双线性变换法将模拟高通 H (s)转换成数字高
通 H(z),
1
1
12
1
( ) ( )a z
s
z
H z H s ?
?
??
?
?
实际上 (5),(6)两步可合并成一步, 即
1
1
11
2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
0, 1 0 6 ( 1 ) 0, 0 6 5 3 ( 1 )
()
1, 6 2 4 1, 9 4 7 0, 5 6 6 1 1, 1 9 9 0, 3 4 9
z
s
z
H z G s
zz
Hz
z z z z
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
例 6.5.2设计一个数字带通滤波器, 通带范围为
0.3πrad到 0.4πrad,通带内最大衰减为 3dB,0.2πrad以下
和 0.5πrad以上为阻带, 阻带内最小衰减为 18dB。 采用
巴特沃斯型模拟低通滤波器 。
解
(1)数字带通滤波器技术指标为
通带上截止频率
ωu=0.4πrad
通带下截止频率
ωl=0.3πrad
阻带上截止频率
ωs2=0.5πrad
阻带下截止频率
ωs1=0.2πrad
通带内最大衰减 αp=3dB，阻带内最小衰减 αs=18dB。
(2) 模拟带通滤波器技术指标如下,
设 T=1,则有
22
11
0
1
2 ta n 1.453 /
2
1
2 ta n 1.019 /
2
1
2 ta n 2 /
2
1
2 ta n 0.650 /
2
1.217 /
0.434 /
uu
ll
ss
ss
ul
ul
rad s
rad s
rad s
rad s
rad s
B rad s
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
(通带中心频率 )
(带宽 )
将以上边界频率对带宽 B归一化, 得到
ηu=3.348,ηl=2.348;
ηs2=4.608,ηs1=1.498;
η0=2.804
(3) 模拟归一化低通滤波器技术指标,
归一化阻带截止频率
22
20
2
2, 9 0 2ss
s
???
?
???
归一化通带截止频率
λp=1
αp=3dB,αs=18dB
(4) 设计模拟低通滤波器,
0.1
0.1
10 1
0.127
10 1
2.902
lg 0.127
1.940,2
lg 2.902
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
查表 6.2.1,得到归一化低通传输函数 G(p),
2
1()
21Gp pp? ??
(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通,
(6)通过双线性变换法将 Ha(s)转换成数字带通滤波
器 H(z)。 下面将 (5),(6)两步合成一步计算,
22
0
()
( ) ( )
ul
a s
p
s
H s G p
???
? ? ?
?
1
1
12
1
zs
z
?
?
??
?
将上式代入 (5)中的转换公式, 得
1
1
2 2 1 2 2 1 2
00
21
2
1
1 2 1 2
22
4( 1 ) ( 1 )
( ) 2( 1 )( )
5,4 8 4,5 7,4 8 1 6,3 1 3 5,1 8 8 0 6 1 9
0,8 6 8 ( 1 ) 1
z
s
u l u lz
s z z
p
sz
z z z z
zz
?
?
??
??
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
将上面的 p等式代入 G(p)中，得
24
1 2 3 4
0, 0 2 1 ( 1 2 )()
1 1, 4 9 1 2, 8 4 8 1, 6 8 1, 2 7 3
zzHz
z z z z
??
? ? ? ?
???
? ? ? ?
例 6.5.3设计一个数字带阻滤波器, 通带下限频率
ωl=0.19π,阻带下截止频率 ωs1=0.198π,阻带上截止频率
ωs2=0.202π,通带上限频率 ωu=0.21π,阻带最小衰减
αs=13dB,ωl和 ωu处衰减 αp=3dB。 采用巴特沃斯型 。
解
(1) 数字带阻滤波器技术指标,
ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;
ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB
(2) 模拟带阻滤波器的技术指标,
设 T=1,则有
1 1 2 2
11
2 t an 0, 6 1 5 /,2 t an 0, 6 8 5 /
22
11
2 t an 0, 6 1 5 /,2 t an 0, 6 8 5 /
22
l l u u
s s s s
r a d s r a d s
r a d s r a d s
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
阻带中心频率平方为
Ω20=ΩlΩu=0.421
阻带带宽为
B=Ωu-Ωl=0.07rad/s
将以上边界频率对 B归一化,
ηl=8.786,ηu=9.786,
ηs1=9.186,ηs2=9.386;
η20=ηlηu=85.98
(3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标,
按照 (6.2.48)式, 有
λp=1,αp=3dB
2
22
20
4, 4 3 4,1 3sss
s
dB?????? ? ??
(4) 设计模拟低通滤波器,
0.1
0.1
10 1
0.229
10 1
4.434
lg 0.229
0.99,1
lg 4.434
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
22
0
22
0
( ) ( )
a s B
p
s
sB
p
s
H s G p
?
??
?
??
?
(5) 将 G(p)转换成模拟阻带滤波器 Ha(s),
(6) 将 Ha(s)通过双线性变换, 得到数字阻带滤波器
H(z)。
1
1
2
1 2 2 1 2
0
2
2 2 1 2 2 1 21
2
001
12
122 (1 )
4 (1 ) (1 )
2 ( 1 )
4 ( 1 ) ( 1 )
0.96 9 ( 1 619 )
( ) ( )
1 1.56 9 0.93 9
z
s
z
zB
p
zz
sB z B
p
s z z
zz
H z G p
zz
?
?
?
??
?
???
?
?
??
???
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
1,零极点累试法
称为零极点累试法 。 在确定零极点位置时要注意,
(1)极点必须位于 z平面单位圆内, 保证数字滤波器
因果稳定；
(2)复数零极点必须共轭成对, 保证系统函数有理
式的系数是实的 。
图 6.6.1 例 6.6.1图
(a)零极点分布； (b)幅度特性
2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计 IIR数
字滤波器
设 IIR滤波器由 K个二阶网络级联而成，系统函数用
H(z)表示,
12
12
1
1()
1
K
ii
i ii
a z b zH z A
c z d z
??
??
?
???
???
(6.6.1)
式中, A是常数； ai,bi,ci,di是待求的系数； Hd(e jω)
是希望设计的滤波器频响 。 如果在 (0,π)区间取 N点数
字频率 ωi,i=1,2,:,N,在这 N点频率上, 比较 |Hd(e jω)|和
|H(e jω)|,写出两者的幅度平方误差 E为
2
1
[ ( ) ( ) ]ii
N
jj
d
i
E H e H e??
?
???
(6.6.2)
而在 (6.6.1)式中共有 (4K+1)个待定的系数, 求它们
的原则是使 E最小 。 下面我们研究采用 (6.6.1)式网络结
构, 如何求出 (4K+1)系数 。
按照 (6.6.2)式,E是 (4K+1)个未知数的函数，用下
式表示,
1 1 1 1 2
(,)
[] TK K K K
E E A
a b c d a a b c d
?
?
?
? ???
上式 θ表示 4K个系数组成的系数向量 。 为推导
公式方便, 令
2
1
()
,( )
(,) [ ]
i
i
j
j
i d d
N
id
i
He
H H H e
A
E A A H H
?
?
?
?
??
??? (6.6.3)
为选择 A使 E最小, 令
1
2
1
N
id d ef
i
gN
i
i
HH
AA
H
?
?
??
?
?
(6.6.4)
设 θk是 θ 的第 k个分量 (ak或 bk或 ck或 dk),
1
[,] 2 ( ),1,2,,4Ng i
g g i d
ikk
EA HA A A H k K?
?? ?
? ?? ? ? ? ? ?
?? ?
(6.6.5)
因为,式中 H*i表示对 Hi函数共轭 。 12[]
i i iH H H???
1
2
1
11
[ ] [ 2 R e [ ]]
2
2 [ ]
R e [ ]
i i i i
ii
k k k i k
ii
i
ii
k
H H H H
H H H
H
HH
H
HH
? ? ? ?
?
?
??
?
? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
(6.6.6)
将上式具体写成对 ak,bk,ck,dk的偏导, 得到,
2
11
1
12
R e[ ] R e[
1
R e[ ] R e[ ]
1
j j
i
ii i ii
i i i
k k i k
ii
ii ze
i k k i k i
HH H H
H H H
a H a
Hz
HH
H a a z b z
?
?
?? ?
?
?? ?
? ? ?
??
? ? ?
?
??
? ? ?
(6.6.7)
式中, k=1,2,3,:,K； i=1,2,3,:,N。
同理求得
2
12
1
12
2
12
R e[ ]
1
R e[ ]
1
R e[ ]
1
j i
i
j i
i
j i
i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
H z
H
b a z b z
H z
H
c c z d z
H z
H
d c z d z
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?
?
?? ?
?
?? ?
?
?? ?
?
?
? ? ?
?
??
? ? ?
?
??
? ? ?
(6.6.8)
(6.6.9)
(6.6.10)
由于系统函数是一个有理函数, 极, 零点均以共
轭成对的形式存在, 对于极点 z1,一定有下面关系,
1 1 1 1
11
11
11
2
1
11
( ) ( )
11
( ) ( )
11
j j j j
jj
j j j j
jj
e z e z e z e z
e z e z
z e e z e e
zz
z e e
zz
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
(6.6.11)
图 6.6.2 例 6.6.2图
(a)要求的幅度特性； (b)k=1,2时的幅度特性
例 6.6.2 设计低通数字滤波器, 其幅度特性如图
6.6.2(a)所示 。 截止频率 ωs=0.1πrad。
解 考虑到通带和过渡带的重要, 在 0~0.2π区间,
每隔 0.01π取一点 ωi值, 在 0.2π~π区间每隔 0.1π取一点 ωi
值, 并增加一点过渡带, 在 ω=0.1π处
|Hd(e jω)|=0.5。
1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π
0.5,ω=0.1π
0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π
0.0,ω=0.2π,0.3π,:,π
()jdHe?
N=29,取 k=1,系统函数为
12
11
12
11
1()
1
a z b zH z A
c z d z
??
??
???
??
待求的参数是 A,a1,b1,c1,d1。设初始值
θ=(0000.25)T经过 90
次迭代, 求得 E=1.2611,系统函数零, 极点位置为
零点 0.67834430± j0.73474418;
极点 0.75677793± j1.3213916
为使滤波器因果稳定, 将极点按其倒数搬入单位
圆内, 再进行 62次优化迭代, 求得结果为
零点 0.82191163± j0.56961501;
极点 0.89176390± j0.19181084;
Ag=0.11733978,E=0.56731
误差函数用下式表示,
1
( )( ( ) ( )i i i
N p
j j j
Pd
i
E W e H e H e? ? ?
?
???
(6.6.12)
3,在时域直接设计 IIR数字滤波器
设我们希望设计的 IIR数字滤波器的单位脉冲响应为
hd(n),要求设计一个单位脉冲响应 h(n)充分逼近 hd(n)。 下
面我们介绍这种设计方法 。
设滤波器是因果性的, 系统函数为
0
0
1
0
( ) ( )
M
i
i
ki
N
i k
i
bz
H z h k z
az
?
?
??
? ?
?
??
?
?
?
(6.6.13)
式中 a0=1,未知系数 ai和 bi共有 N+M+1个, 取 h(n)
的一段, 0≤n≤p-1,使其充分逼近 hd(n),用此原则求解
M+N+1个系数 。 将 (6.6.13)式改写为
1
0 0 0
0 0 0
()
()
p NM
k i i
ii
k i i
M N N M
k i i
ii
k i i
h k z a z b z
h k z a z b z
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
令 p=M+N+1,则
(6.6.14)
令上面等式两边 z的同幂次项的系数相等, 可得
到 N+M+1个方程,
h(0)=b0
h(0)a1+h(1)=b1
h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2
上式表明 h(n)是系数 ai,bi的非线性函数, 考虑到
i>M时, bi=0,一般表达式为,
0
0
( ),0
( ) 0,
k
jk
j
k
j
j
a h k j b k M
a h k j M k M N
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
(6.6.15)
(6.6.16)
设 x(n)为给定的输入信号, yd(n)是相应的希望的输
出信号, x(n)和 yd(n)长度分别为 M和 N,实际滤波器的
输出用 y(n)表示, 下面我们按照 y(n)和 yd(n)的最小均方
误差求解滤波器的最佳解, 设均方误差用 E表示,
1 2
0
1
2
00
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( ) ]
N
d
n
Nn
d
nm
E y n y n
h m x n m y n
?
?
?
??
??
? ? ?
?
??
(6.6.17)
(6.6.18)
上式中 x(n),0≤n≤M1； yd(n),0≤n≤N-1
为选择 h(n)使 E最小, 令
0,0,1,2,,1()E iNhi? ? ? ??? ??
由 (6.6.18)式得到
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
0 0 0
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
N N N
n n n
N N N
n n n
N N N
n n n
x n x n x n x n x n
x n x n x n x n N x n
x n x n x n x n N x n N
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ??
?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
1
0
1
0
1
0
( ) ( )
( 0 )
( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 )
( ) ( 1 )
N
d
n
N
d
n
N
d
n
y n x n
h
h y n x n
hN
y n x n N
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?
???
?? ?
? ?? ? ?
??
? ?
???
?
? ??
?
?
?
(6.6.20)
例 6.6.2设计数字滤波器, 要求在给定输入 x(n)=3,1
的情况下, 输出 yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。
解 设 h(n)长度为 p=4,按照 (6.6.20)式, 得
10 3 0 0 ( 0 ) 3.25
3 10 3 0 ( 1 ) 0.85
( 2 ) 0.310 3 10 3
( 3 ) 0.030 0 3 9
h
h
h
h
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ??
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
??
列出方程,
10h(0)+3h(1)=3.25
3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85
3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31
3h(2)+9h(3)=0.03
解联立方程, 得
h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109
将 h(n)以及 M=1,N=2代入 (6.6.15),(6.6.16)式中, 得
a1=0.1824,a2=0.1126
b0=0.3333,b1=0.0330
滤波器的系统函数为
1
12
0, 3 3 3 3 0, 0 3 3 0()
1 0, 1 8 2 4 0, 1 1 2 6
zHz
zz
?
??
??
??
相应的差分方程为
y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)
当 x(n)=3,1时, 输出 y(n)为
y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012,
将 y(n)与给定 yd(n)比较, y(n)的前五项与 yd(n)的前
五项很相近, y(n)在五项以后幅度值很小 。
6.1 数字滤波器的基本概念
6.2 模拟滤波器的设计
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR数字低通滤波器
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字低通滤波器
6.5 数字高通, 带通和带阻滤波器的设计
6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
6.1 数字滤波器的基本概念
1,数字滤波器的分类
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响
应分类, 可以分成无限脉冲响应 (IIR)滤波器和有限脉
冲响应 (FIR)滤波器 。 它们的系统函数分别为,
0
1
1
0
()
1
( ) ( )
M
r
r
r
N
k
k
k
N
n
n
bz
Hz
az
H z h n z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.1.1)
(6.1.2)
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
)(e
j ?
H
)(e
j ?
H
)(e
j ?
H
)(e
j ?
H
0
低通
0
高通
0
带通
0
带阻
?
?
?
?
π2?
π2?
π2?
π2?
π?
π?
π?
π?
π
π
π
π
π2
π2
π2
π2
2 数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 。
假设数字滤波器的传输函数 H(e jω)用下式表示,
()( ) ( )j j jH e H e e? ? ???
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求
通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB数表示, 通
带内允许的最大衰减用 αp表示, 阻带内允许的最小衰
减用 αs表示, αp和 αs分别定义为,
0
0
()
20 lg
()
()
20 lg
()
p
s
j
p j
j
s j
He
dB
He
He
dB
He
?
?
?
?
?
?
(6.1.3)
(6.1.4)
如将 |H(ej0)|归一化为 1,(6.1.3)和 (6.1.4)式则表示成,
2 0 l g ( )
2 0 l g ( )
p
s
j
p
j
s
H e d B
H e d B
?
?
?
?
??
??
(6.1.5)
(6.1.6)
3,数字滤波器设计方法概述
IIR滤波器和 FIR滤波器的设计方法是很不相同的 。
IIR滤波器设计方法有两类, 经常用的一类设计方法是
借助于模拟滤波器的设计方法进行的 。 其设计步骤是：
先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s),然后将 Ha(s)按
某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,
且有若干典型的模拟滤波器供我们选择, 如巴特沃斯
(Butterworth)滤波器, 切比雪夫 (Chebyshev)滤波器, 椭
圆 (Cauer)滤波器, 贝塞尔 (Bessel)滤波器等, 这些滤波
器都有严格的设计公式, 现成的曲线和图表供设计人
员使用 。
图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性
)(j
a
ΩH
Ω
Ω
Ω
Ω
低通
带通 带阻
高通
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
)(j
a
ΩH
0 0
0c
1.模拟低通滤波器的设计指标
及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有 αp,Ωp,αs和 Ωs。 其中
Ωp和 Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率, αp是
通带 Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数, αs是阻带 Ω≥Ωs的最
小衰减系数, αp和 αs一般用 dB数表示 。 对于单调下降
的幅度特性, 可表示成,
2
2
2
2
()
10 lg
()
()
10 lg
()
a
p
ap
a
s
as
Hj
Hj
Hj
Hj
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.2.1)
(6.2.2)
如果 Ω=0处幅度已归一化到 1,即 |Ha(j0)|=1,αp和 αs
表示为
以上技术指标用图 6.2.2表示 。 图中 Ωc称为 3dB截止
频率, 因
2
2
10 lg ( )
10 lg ( )
p a p
s a s
Hj
Hj
?
?
? ? ?
? ? ?
(6.2.3)
(6.2.4)
( ) 1 / 2,2 0 l g ( ) 3a c a cH j H j d B? ? ? ? ?
图 6.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后, 需要设计一个传输函
数 Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标 αp和 αs，
一般滤波器的单位冲激响应为实数, 因此
2( ) ( ) ( )
( ) ( )
a a s j
aa
H j H s G s
H j H j
??
?
? ? ?
? ? ?(6.2.5)
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2用下
式表示,
2
2
1()
1 ( )
a
N
c
Hj ?? ?
?
?
(6.2.6)
图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N的关系
将幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2写成 s的函数,
2
1( ) ( )
1 ( )
aa
N
c
H s H s s
j
??
?
?
(6.2.7)
此式表明幅度平方函数有 2N个极点, 极点 sk用下式表示,
1 1 2 1()
2 2 2( 1 ) ( )
kj
NNk c cs j e ?
??
? ? ? ? ?(6.2.8)
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
为形成稳定的滤波器, 2N个极点中只取 s平面左半
平面的 N个极点构成 Ha(s),而右半平面的 N个极点构成
Ha(s)。 Ha(s)的表示式为
1
0
()
()
N
c
a N
k
k
Hs
ss
?
?
?
?
??
设 N=3,极点有 6个, 它们分别为
2
3
0
1
2
3
2
1
3
3
4
1
3
5
j
c
c
j
c
j
c
c
j
c
se
s
se
se
s
se
?
?
?
?
?
?
??
? ? ?
??
??
??
??
取 s平面左半平面的极点 s0,s1,s2组成 Ha(s),
3
22
33
()
( )( )( )
a
a jj
c c c
Hs
s s s?? ?
??
? ? ? ? ? ?
由于各滤波器的幅频特性不同, 为使设计统一,
将所有的频率归一化 。 这里采用对 3dB截止频率 Ωc归一
化, 归一化后的 Ha(s)表示为
式中, s/Ωc=jΩ/Ωc。
令 λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率；令 p=jλ,p称为归
一化复变量, 这样归一化巴特沃斯的传输函数为
1
0
1()
()
a N
k
k cc
Hs
ss?
?
?
?
???
(6.2.10)
1
0
1()
()
a N
k
k
Hp
pp
?
?
?
??
(6.2.11)
式中,pk为归一化极点，用下式表示,
将极点表示式 (6.2.12)代入 (6.2.11)式, 得到的 Ha(p)
的分母是 p的 N阶多项式, 用下式表示,
1 2 1()
22,0,1,,1
kj
Nkp e k N?
??
? ? ? ? ? ?(6.2.12)
/ 1 0
/ 1 0
2
2
1 ( ) 1 0
1 ( ) 1 0
p
s
ap N
c
aNs
c
?
??
?
?
??
?
将 Ω=Ωs代入 (6.2.6)式中, 再将 |Ha(jΩs)|2代入
(6.2.4)式中, 得到,
(6.2.14)
(6.2.15)
由 (6.2.14)和 (6.2.15)式得到,
/ 1 0
/ 1 0
1 0 1()
1 0 1
p
s
a
p N
a
s
? ??
??
令 10
10
1 0 1/,
1 0 1
p
s
a
s p s p s p ak?
?? ? ? ?
?
,则 N由下式表示,
lg
lg
sp
sp
kN
???
(6.2.16)
用上式求出的 N可能有小数部分, 应取大于等于 N
的最小整数 。 关于 3dB截止频率 Ωc,如果技术指标中没
有给出, 可以按照 (6.2.14) 式或 (6.2.15) 式求出, 由
(6.2.14)式得到,1
0.1
2
1
0.1 2
( 1 0 1 )
( 1 0 1 )
p
s
a
N
cp
a N
cs
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
由 (6.2.15)式得到,
(6.2.17)
(6.2.18)
总结以上, 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下,
(1)根据技术指标 Ωp,αp,Ωs和 αs,用 (6.2.16)式求出滤
波器的阶数 N。
(2)按照 (6.2.12)式, 求出归一化极点 pk,将 pk代入
(6.2.11)式, 得到归一化传输函数 Ha(p)。
(3)将 Ha(p)去归一化 。 将 p=s/Ωc代入 Ha(p),得到实
际的滤波器传输函数 Ha(s)。
表 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
例 6.2.1 已知通带截止频率 fp=5kHz,通带最大衰减
αp=2dB, 阻 带 截 止频 率 fs=12kHz, 阻 带最 小 衰 减
αs=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 。
解 (1) 确定阶数 N。
0.1
0.1
10 1
0.0242
10 1
2
2.4
2
lg 0.0242
4.25,5
lg 2.4
p
s
a
sp a
s
sp
p
k
f
f
NN
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
(2) 按照 (6.2.12)式, 其极点为
34
55
01
6
5
23
7
5
4
,
,
jj
j
j
j
s e s e
s e s e
se
??
?
?
?
??
??
?
按照 (6.2.11)式, 归一化传输函数为
4
0
1()
()
a
k
k
Hp
pp
?
?
??
上式分母可以展开成为五阶多项式, 或者将共轭
极点放在一起, 形成因式分解形式 。 这里不如直接查
表 6.2.1简单, 由 N=5,直接查表得到,
极点,-0.3090± j0.9511,-0.8090± j0.5878;
-1.0000
5 4 3 2
4 3 2 1 0
1()
aHp p b p b p b p b p b? ? ? ? ? ?
式
b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
(3) 为将 Ha(p)去归一化, 先求 3dB截止频率 Ωc。
按照 (6.2.17)式, 得到,
1
0.1 2
1
0.1 2
( 1 0 1 ) 2 5,2 7 5 5 /
( 1 0 1 ) 2 1 0,5 2 5 /
p
s
a N
cp
a N
sc
kra d s
kra d s
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
g
g
将 Ωc代入 (6.2.18)式, 得到,
将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中得到,
5
5 4 2 3 3 2 4 5
4 3 2
() 10ca
c c c c c
Hs s b s b s b s b s b?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
我们这里仅介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器的设计方法 。
图 6.2.5分别画出阶数 N为奇数与偶数时的切比雪夫 Ⅰ 型
滤波器幅频特性 。 其幅度平方函数用 A2(Ω)表示,
22
22
1
( ) ( )
1 ( )
a
N
p
A H j
C?
? ? ? ? ?
?
?
(6.2.19)
图 6.2.5 切比雪夫 Ⅰ 型滤波器幅频特性
式中, ε为小于 1的正数, 表示通带内幅度波动的
程度, ε愈大, 波动幅度也愈大 。 Ωp称为通带截止频率 。
令 λ=Ω/Ωp,称为对 Ωp的归一化频率 。 CN(x)称为 N阶切
比雪夫多项式, 定义为
c o s ( a r c c o s ),1
()
( ),1N
N x x
Cx
c h N Ar c h x x
???
? ?
???
当 N=0时, C0(x)=1；
当 N=1时, C1(x)=x；
当 N=2时, C2(x)=2x 21；
当 N=3时, C3(x)=4x 33x。
由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为
C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20)
图 6.2.6示出了阶数 N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性 。
由图可见,
(1)切比雪夫多项式的过零点在 |x|≤1的范围内；
(2)当 |x|<1时, |CN(x)|≤1,在 |x|<1范围内具有等波纹性；
(3)当 |x|>1时, CN(x)是双曲线函数, 随 x单调上升 。
图 6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线
按照 (6.2.19)式, 平方幅度函数与三个参数即 ε,Ωp
和 N有关 。 其中 ε与通带内允许的波动大小有关, 定义
允许的通带波纹 δ用下式表示,
2
m a x
2
m in
2
m a x m in 2
()
1 0 lg
()
1
( ) 1,( )
1
A
A
A
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
(6.2.21)
因此
2
2 0, 1
1 0 l g ( 1 )
1 0 1?
??
?
??
??
(6.2.22)
图 6.2.7 切比雪夫 Ⅰ 型与巴特沃斯低通的 A2(Ω)曲线
设阻带的起始点频率 (阻带截止频率 )用 Ωs表示, 在
Ωs处的 A2(Ωs)用 (6.2.19)式确定,
2
22
1
()
1 ( )
s
s
N
P
A
C?
??
?
?
?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
2
11
( ) [ ( ) ] 1
()
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
N s s
s
s
s
sp
s
C c h N Arc h
A
Arc h
A
N
Arc h
Arc h
NA
??
??
??
?
??
? ? ?
?
?
???
? ? ? ???
? ??
(6.2.24)
(6.2.25)
可以解出
3dB截止频率用 Ωc表示,
2
22
2
1
()
2
( ) 1,
1
( ) [ ( ) ]
c
c
N c c
p
N c c
A
C
C c h N Arc h
? ? ?
??
?
??
?
??
?
? ? ?
按照 (6.2.19)式, 有
通常取 λc>1,因此
上式中仅取正号，得到 3dB截止频率计算公式,
11[ ( ) ]
cp c h Arc hN ?? ? ?
(6.2.26)
以上 Ωp,ε和 N确定后, 可以求出滤波器的极点, 并
确定 Ha(p),p=s/Ωp。 求解的过程请参考有关资料 。 下
面仅介绍一些有用的结果 。
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明,
2
22
1()
1 ( )
s
s
N
p
A
C?
?? ?
?
?
(6.2.23)
令 λs=Ωs/Ωp,由 λs>1,有
2
2
11
[ 1 ]
()
()
1 1 1
[ 1 ]
()
s
s
sp
s
Arc h
A
N
Arc h
Arc h
NA
??
?
??
?
?
???
? ? ? ???
? ??
(6.2.24)
(6.2.25)
上式中仅取正号, 得到 3dB截止频率计算公式,
11[ ( ) ]
cp c h Arc hN ?? ? ?
(6.2.26)
设 Ha(s)的极点为 si=ζi+jΩi,可以证明,
21
s i n ( )
2
,1,2,3,,
21
co s ( )
2
ip
ip
i
ch
N
iN
i
ch
N
??
?
??
? ? ?
??
? ? ? ??
??
? ? ?
??
(6.2.27)
式中
22
2 2 2 2
11
()
1ii
pp
Arsh
N
s h s h
?
?
?
??
?
?
??
??
(6.2.28)
(6.2.28)式是一个椭圆方程, 长半轴为 Ωpchξ(在虚
轴上 ),短半轴为 Ωpshξ(在实轴上 )。 令 bΩp和 aΩp分别表
示长半轴和短半轴, 可推导出,
11
11
2
1
()
2
1
()
2
11
1
NN
NN
a
a
??
??
?
??
?
?
??
??
? ? ?
(6.2.29)
(6.2.30)
(6.2.31)
图 6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布
设 N=3,平方幅度函数的极点分布如图 6.2.8所示
(极点用 X表示 )。 为稳定, 用左半平面的极点构成 Ha(p)，
即
1
1()
()
a N
i
i
Hp
c p p
?
?
??
(6.2.32)
式中 c是待定系数 。 根据幅度平方函数 (6.2.19)式
可导出,c=ε·2 N-1,代入 (6.2.32)式, 得到归一化的
传输函数为
1
1
1
()
2 ( )
a N
N
i
i
Hp
pp? ?
?
?
???
(6.2.33a)
按照以上分析, 下面介绍切比雪夫 Ⅰ 型滤波器设计步骤 。
1) 确定技术要求 αp,Ωp,αs和 Ωs
αp是 Ω=Ωp时的衰减系数,αs是 Ω=Ωs时的衰减系数，
它们为
去归一化后的传输函数为
1
1
()
2 ( )
N
p
a N
N
ip
i
Hs
sp? ?
?
?
?
? ? ??
(6.2.33b)
2
2
1
1 0 l g
()
1
1 0 l g
()
p
p
s
s
A
A
?
?
?
?
?
?
(6.2.34)
(6.2.35)
这里 αp就是前面定义的通带波纹 δ,见 (6.2.21)式 。
归一化频率
2) 求滤波器阶数 N和参数 ε
由 (6.2.19)式, 得到,
1,sps
p
?? ??? ?
2
2
2
2
1
1 ( )
()
1
1 ( )
()
Np
p
Ns
s
C
A
C
A
??
??
??
?
??
?
将以上两式代入 (6.2.34)式和 (6.2.35)式，得到,
0, 1 2 2 2 2
0, 1 2 2 2
0, 1
2
0, 1
1 0 1 ( ) 1 co s ( ar cc o s 1 ) 1
1 0 1 ( ) 1 ( )
1 0 1
()
1 0 1
p
s
s
p
Np
N s s
s
Cn
C ch N A r ch
ch N A r ch
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
令
0,1
1
1 0,1
1
1
1
1
1 0 1
1 0 1
[]
()
()
s
p
a
a
s
s
k
c h N A rc h k
A rc h k
N
A rc h
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.2.36)
(6.2.37)
这样, 先由 (6.2.36)式求出 k-11,代入 (6.2.37)式, 求
出阶数 N,最后取大于等于 N的最小整数 。
按照 (6.2.22)式求 ε,这里 αp=δ。
ε+2=10 0.1δ1
3) 求归一化传输函数 Ha(p)
为求 Ha(p), 先按照 (6.2.27) 式求出归一化极点
pk,k=1,2,:,N。
1
1
/
( 2 1 ) ( 2 1 )
s in [ ] c o s [ ]
22
1
()
2 ( )
( ) ( )
p
k
a N
N
i
i
a a p s
kk
p c h jch
NN
Hs
pp
H s H p
??
??
?
?
?
??
??
? ? ?
?
??
?
?
将极点 pk代入 (6.2.33)式，得到,
4) 将 Ha(p)去归一化，得到实际的 Ha(s)，即
(6.2.38)
(6.2.39)
例 6.2.2设计低通切比雪夫滤波器, 要求通带截止
频率 fp=3kHz,通带最大衰减 αp=0.1dB,阻带截止频率
fs=12kHz,阻带最小衰减 αs=60dB。
解
(1) 滤波器的技术要求,
0,1,2
60,2
1,4
p p p
p s s
s
ps
p
dB f
dB f
f
f
??
??
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
(2) 求阶数 N和 ε,
1
1
0.1
1
1 0.1
0.1 0.01
()
()
10 1
6553
10 1
( 65 53 ) 9,47
4,6,5
( 4 ) 2,06
10 1 10 1 0,15 26
s
p
p
s
a
a
a
Arch k
N
Arch
k
Arch
NN
Arch
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
(3) 求 Ha(p),
5
( 5 1 )
1
1()
0,15 26 2 ( )
a
i
i
Hp
pp?
?
?
???
由 (6.2.38)式求出 N=5时的极点 pi,代入上式, 得到,
22
11()
2, 4 4 2 ( 0, 5 3 8 9)( 0, 3 3 3 1 1, 1 9 4 9) 0, 8 7 2 0 0, 6 3 5 9aHp p p p p p?? ? ? ? ? ?
(4)将 Ha(p)去归一化, 得到,
/ 7 2 6 1 4
2 7 1 4
1
( ) ( )
( 1, 0 1 5 8 1 0 )( 6, 2 7 8 8 1 0 4, 2 4 5 9 1 0 )
1
1, 6 4 3 7 1 0 2, 2 5 9 5 1 0
pa a p s
H s H p
s s s
ss
???? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
g
4.模拟滤波器的频率变换 ——模拟高通, 带通, 带
阻滤波器的设计
为了防止符号混淆, 先规定一些符号如下,
1) 低通到高通的频率变换
λ和 η之间的关系为
上式即是低通到高通的频率变换公式, 如果已知
低通 G(jλ),高通 H(jη)则用下式转换,
1?
??
(6.2.41)
1( ) ( )H j G j ?
?
??
?
?
(6.2.40)
图 6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性
模拟高通滤波器的设计步骤如下,
(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 Ω′p，
阻带上限频率 Ω′s,通带最大衰减 αp,阻带最小衰减 αs。
(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照 (6.2.40)
式, 将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边
界频率, 各项设计指标为,
① 低通滤波器通带截止频率 Ωp=1/Ω′p；
② 低通滤波器阻带截止频率 Ωs=1/Ω′s；
③ 通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减仍为 αs。
(3)设计归一化低通滤波器 G(p)。
(4)求模拟高通的 H(s)。 将 G(p)按照 (6.2.40)式, 转
换成归一化高通 H(q),为去归一化, 将 q=s/Ωc代入 H(q)
中, 得
例 6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度
特性单调下降, fp处最大衰减为 3dB,阻带最小衰减
αs=15dB。
( ) ( )
cp
s
H s G p ?
?
?
(6.2.42)
解
① 高通技术要求,
fp=200Hz,αp=3dB;
fs=100Hz,αs=15dB
归一化频率
1,0, 5p sps
cc
f f
ff??? ? ? ?
② 低通技术要求,
1
1,2
3,1 5
ps
s
psd B d B
??
?
??
? ? ?
??
③ 设计归一化低通 G(p)。 采用巴特沃斯滤波器, 故
0,1
0,1
32
10 1
0.18
10 1
2
lg
2,47,3
lg
1
()
2 2 1
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
p p p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
④ 求模拟高通 H(s),
2) 低通到带通的频率变换
低通与带通滤波器的幅度特性如图 6.2.10所示 。
3
3 2 2 3( ) ( ) 22
2
cp
c c cs
cp
s
H s G p
s s s
f?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
??
1 1 2 2
2
0
/,/
/,/
s s s s
l l u u
lu
BB
BB
??
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
图 6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性
表 6.2.2 η与 λ的对应关系
由 η与 λ的对应关系, 得到,
22
0
22
0
1
u
p u l
??
?
?
??
? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
由表 6.2.2知 λp对应 ηu,代入上式中, 有
(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式 。 利用
该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率 。 下面
推导由归一化低通到带通的转换公式 。 由于
pj??
将 (6.2.43)式代入上式, 得到,
22
0
22
0
pj
q
p
q
??
?
?
?
?
?
?
将 q=jη代入上式, 得到,
为去归一化, 将 q=s/B代入上式, 得到,
2
2
()
()
( ) ( )
lu
ul
lu
ul
s
p
s
s
p
s
H s G p
??
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
(6.2.44)
(6.2.45)
上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式 。
下面总结模拟带通的设计步骤 。
(1)确定模拟带通滤波器的技术指标, 即,
带通上限频率 Ωu,带通下限频率 Ωl
下阻带上限频率 Ω s1,上阻带下限频率 Ω s2
通带中心频率 Ω20=ΩlΩu,通带宽度 B=ΩuΩl
与以上边界频率对应的归一化边界频率如下,
12
12
2
0
,,
,
s s l
s s l
u
u l u
B B B
B
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
??
(2) 确定归一化低通技术要求,
λs与 -λs的绝对值可能不相等, 一般取绝对值小的 λs，
这样保证在较大的 λs处更能满足要求 。
通带最大衰减仍为 αp,阻带最小衰减亦为 αs。
(3) 设计归一化低通 G(p)。
(4) 由 (6.2.45)式直接将 G(p)转换成带通 H(s)。
2 2 2 2
2 0 1 0
21
1,,ssp s s
ss
? ? ? ?? ? ?
??
??? ? ? ?
例 6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽
B=2π× 200rad/s，中心频率 Ω0=2π× 1000rad/s，通带内最
大衰减 αp=3dB，阻带
Ωs1=2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s，阻带最小衰减
αs=15dB。
解 (1) 模拟带通的技术要求,
Ω0=2π× 1000rad/s,αp=3dB
Ω s1 =2π× 830rad/s,Ωs2=2π× 1200rad/s,αs=15dB
B=2π× 200rad/s;
η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6
(2) 模拟归一化低通技术要求,
2 2 2 2
2 0 1 0
3
21
1,1, 8 3 3,1, 8 7 4ssps
ss
? ? ? ?? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?
取 λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。
(3)设计模拟归一化低通滤波器 G(p),
采用巴特沃斯型, 有
0,1
0,1
1 0 1
0,1 8
1 0 1
1,8 3 3
lg
2,8 3
lg
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
N
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ?
取 N=3,查表 6.2.1,得
2
32
()
1
()
2 2 1
( ) ( )
lu
ul
s
p
s
Gp
p p p
H s G p
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
(4) 求模拟带通 H(s),
2 3 6 5 2 2 4 2 3 3
00
4 2 2 2 4 6 1
0 0 0 0
( ) [ 2 ( 3 2 ) ( 4 )
( 3 2 ) 2 ]
SH s s B s B B s B B s
B s B s ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
3) 低通到带阻的频率变换
低通与带阻滤波器的幅频特性如图 6.2.11所示。
图 6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性
图中, Ωl和 Ωu分别是下通带截止频率和上通带截
止频率, Ωs1和 Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率,
Ω0为阻带中心频率, Ω20=ΩuΩl,阻带带宽 B=ΩuΩl,B
作为归一化参考频率 。 相应的归一化边界频率为
ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;
η20=ηuηl
表 6.2.3 η与 λ的对应关系
根据 η与 λ的对应关系, 可得到,
且 ηuηl=1,λp=1,(6.2.46)式称为低通到带阻的频率
变换公式 。 将 (6.2.46)式代入 p=jλ,并去归一化, 可得
上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变
换公式 。
22
0
??
??? ?
(6.2.46)
2 2 2
0
()ul
ul
s B sp
ss
? ? ???
? ? ? ? ?
(6.2.47)
22
0
( ) ( ) sB
p
s
H s G p
?
??
?
(6.2.48)
下面总结设计带阻滤波器的步骤,
(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求, 即,
下通带截止频率 Ωl,上通带截止频率 Ωu
阻带下限频率 Ωs1,阻带上限频率 Ωs2
阻带中心频率 Ω+20=ΩuΩl,阻带宽度 B=ΩuΩl
它们相应的归一化边界频率为
ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;
ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl
以及通带最大衰减 αp和阻带最小衰减 αs。
(2) 确定归一化模拟低通技术要求, 即,
取 λs和 λs的绝对值较小的 λs；通带最大衰减为 αp，
阻带最小衰减为 αs。
(3) 设计归一化模拟低通 G(p)。
(4) 按照 (6.2.48)式直接将 G(p)转换成带阻滤波器
H(s)。
12
2 2 2 2
1 0 2 0
1,,ssp s s
ss
??? ? ?
? ? ? ?? ? ? ???
例 6.2.5 设计模拟带阻滤波器, 其技术要求为,
Ωl=2π× 905rad/s,Ωs1=2π× 980rad/s,
Ωs2= 2π× 1020rad/s,Ωu=2π× 1105rad/s,αp=3dB,
αs=25dB。 试设计巴特沃斯带阻滤波器 。
解
(1) 模拟带阻滤波器的技术要求,
Ωl=2π× 905,Ωu=2π× 1105;
Ωs1=2π× 980,Ωs2=2π× 1020;
Ω20=ΩlΩu=4π+2× 1000025,B=ΩuΩl=2π× 200;
ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;
ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;
η20=ηlηu=25
(2) 归一化低通的技术要求,
2
22
10
1,4, 9 5,4, 9 5
3,2 5
s
p s s
s
ps d B d B
?
? ? ?
??
??
? ? ? ? ?
?
??
(3)设计归一化低通滤波器 G(p),
0,1
0,1
2
10 1
0.0562
10 1
4.95
lg
1,8,2
lg
1
()
21
p
s
sp
s
sp
p
sp
sp
k
k
NN
Gp
pp
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
?
??
(4) 带阻滤波器的 H(s)为
22
0
4 2 2 4
00
4 2 2 2 2 2 4
0 0 0
2( ) ( )
2 ( 2 ) 2sBp ss
ssH s G p
s B B s B s? ??
? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?
6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR
数字低通滤波器
为了保证转换后的 H(z)稳定且满足技术要求, 对转
换关系提出两点要求,
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍
是因果稳定的。
(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响,
s平面的虚轴映射 z平面的单位圆, 相应的频率之间成
线性关系 。
设模拟滤波器的传输函数为 Ha(s),相应的单位冲激
响应是 ha(t)
( ) [ ( ) ]aaH s L T h t?
设模拟滤波器 Ha(s)只有单阶极点, 且分母多项式
的阶次高于分子多项式的阶次, 将 Ha(s)用部分分式表
示,
1
()
N
i
a
i i
AHs
ss?? ??
(6.3.1)
式中 si为 Ha(s)的单阶极点 。 将 Ha(s)进行逆拉氏
变换得到 ha(t),
1
( ) ( )i
N
s nt
ai
i
h t A e u t
?
? ?
(6.3.2)
式中 u(t)是单位阶跃函数。对 ha(t)进行等间隔采样，
采样间隔为 T，得到,
1
( ) ( ) ( )i
N
s n T
ai
i
h n h n T A e u n T
?
?? ?
(6.3.3)
对上式进行 Z变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z),
1
1
() 1
i
N
i
sT
i
AHz
ez ??? ??
(6.3.4)
设 ha(t)的采样信号用 ha(t)表示,
^
( ) ( ) ( )a a
n
h t h t t n T?
?
? ? ?
???
对 进行拉氏变换，得到, ^ ()
aht
^^
( ) ( )
[ ( ) ]
()
st
a a
st
a
n
snT
H s h t e dt
h t nT e dt
nT e
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
式中 ha(nT)是 ha(t)在采样点 t=nT时的幅度值,
它与序列 h(n)的幅度值相等, 即 h(n)=ha(nT),因此
得到,
^ ( ) ( ) ( ) ( )
s T s T
s n T na
z e z e
nn
H s h n e h n z H z?? ??? ? ???
(6.3.5)
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z变
换之间的映射关系可用下式表示,
我们知道模拟信号 ha(t)的傅里叶变换 Ha(jΩ)和其采
样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足
(1.5.5)式，重写如下,
sTze? (6.3.6)
^ ()
aht
^ ()
aHj?
^
^
1
( ) ( )
1
( ) ( )
1
( ) ( )
sT
a
as
k
a
as
k
as
ze
k
H j H j jk
T
H s H s jk
T
H z H s jk
T
?
? ??
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
将 s=jΩ代入上式, 得
由 (6.3.5)式和 (6.3.8)式得到,
(6.3.7)
(6.3.8)
(6.3.9)
上式表明将模拟信号 ha(t)的拉氏变换在 s平面上沿
虚轴按照周期 Ωs=2π/T延拓后, 再按照 (6.3.6)式映射关
系, 映射到 z平面上, 就得到 H(z)。 (6.3.6)式可称为标
准映射关系 。 下面进一步分析这种映射关系 。 设
j
sj
z re ?
?? ? ?
?
按照 (6.3.6)式, 得到,
j T j Tre e e?? ??
因此得到,
Tre
T
?
?
? ?
? ??
? (6.3.10)
那么
ζ=0,r=1
ζ<0,r<1
ζ>0,r>1
另外, 注意到 z=esT是一个周期函数, 可写成
2(),j M T
s T T j T T Te e e e e M
?
?? ????? 为任意整数
图 6.3.1 z=esT,s平面与 z平面之间的映射关系
图 6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象
假设 没有频率混叠现象, 即满足
按照 (6.3.9)式, 并将关系式 s=jΩ代入, ω=ΩT,代
入得到,
令
^ ()
aHj?
( ) 0,/aH j T?? ? ? ?
1( ) ( ),j
aH e H jTT
? ? ????
1
1
( ) ( )
()
1
( ) ( / ),
i
a
N
i
sT
i
j
a
h n T h nT
TA
Hz
ez
H e H j T
?
? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
一般 Ha(s)的极点 si是一个复数, 且以共轭成对的形
式出现, 在 (6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起,
形成一个二阶基本节 。 如果模拟滤波器的二阶基本节
的形式为
1
1122
11()
s j
s
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
极点为 (6.3.11)
可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节 (只有实
数乘法 )的形式为
1
11
1
1
212
1
1 c o s
1 2 c o s
T
TT
z e T
z e T z e
?
??
??
???
??
? ? ?
(6.3.12)
如果模拟滤波器二阶基本节的形式为
1
11
1
1122
11
1
1
212
1
,
()
sin
1 2 c o s
T
TT
j
s
z e T
z e T z e
?
??
?
?
?
???
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
极点为 (6.3.13)
(6.3.14)
例 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数 Ha(s)为
用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成数字滤波器的系
统函数 H(z)。
解 首先将 Ha(s)写成部分分式,
2
0,5 0 1 2()
0,6 4 4 9 0,7 0 7 9aHs ss? ??
0, 3 2 2 4 0, 3 2 2 4()
0, 3 2 2 4 0, 7 7 7 2 0, 3 2 2 4 0, 7 7 7 2a
jjHs
s j s j
???
? ? ? ?
极点为
12(0, 3 2 2 4 0, 7 7 2 ),(0, 3 2 2 4 0, 7 7 7 2 )s j s j? ? ? ? ? ?
那么 H(z)的极点为
1212,s T s Tz e z e??
按照 (6.3.4)式, 并经过整理, 得到
设 T=1s时用 H1(z)表示, T=0.1s时用 H2(z)表示, 则
1
1 12
1
2 12
0,3 2 7 6
()
1 1,0 3 2 8 0,2 4 7
0,0 4 8 5
()
1 1,9 3 0 7 0,9 3 7 5
z
Hz
zz
z
Hz
zz
?
??
?
??
?
??
?
??
转换时, 也可以直接按照 (6.3.13),(6.3.14)式进行
转换 。 首先将 Ha(s)写成 (6.3.13)式的形式, 如极点
s1,2=ζ1± jΩ1,则
11
2 2 2 2
1 1 1 1 1
0, 5 0 1 2( ) 0, 6 4 4 9
( ) ( )aHs ss??
????
? ? ? ? ? ? ?
再按照 (6.3.14)式, H(z)为
1
11
1
1
212
1
s i n( ) 0, 6 4 4 9
1 2 c o s
T
TT
z e THz
z e T z e
?
??
??
????
??
? ? ?
图 6.3.3 例 6.3.1的幅度特性
6.4 用双线性变换法设计 IIR数字
低通滤波器
正切变换实现频率压缩,
1
21ta n( )
2 TT? ? ?
(6.4.1)
式中 T仍是采样间隔, 当 Ω1从 π/T经过 0变化到
π/T时, Ω则由 ∞经过 0变化到 +∞,实现了 s平面上整
个虚轴完全压缩到 s1平面上虚轴的 ± π/T之间的转换 。
这样便有
1
11
2 1 2 1()
21
sT
sT
es th T
T T e
?
?
?? ? ?
?
(6.4.2)
再通过 转换到 z平面上, 得到,
1sTze?
1
1
21
1
2
2
z
s
Tz
s
T
z
s
T
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.4.3)
(6.4.4)
下面分析模拟频率 Ω和数字频率 ω之间的关系。
图 6.4.1 双线性变换法的映射关系
令 s=jΩ,z=e jω,并代入 (6.4.3)式中, 有
21
1
21
t a n
2
j
j
e
j
Te
T
?
?
?
?
?
?
??
?
?? (6.4.5)
图 6.4.2 双线性变换法的频率变换关系
图 6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
设
1
1
2
0 1 2
2
0 1 2
1
1
12
0 1 2
12
12
()
2
( ) ( ),
()
1
k
k
a k
k
a z
s
z
k
k
k
k
A A s A s A s
Hs
B B s B s B s
H z H s C
T
a a z a z a z
Hz
b z b z b z
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
表 6.4.1 系数关系表
例 6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法
将图 6.4.4所示的 RC低通滤波器转换成数字滤波器 。
解 首先按照图 6.4.4写出该滤波器的传输函数 Ha(s)
为
1( ),
aHs s RC
? ?
????
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函
数 H1(z)为
1 1() 1 THz ez?
?
??? ?
利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数
H2(z)为
1
1
1
1
2 121
21
12
( 1 )
( ) ( )
1
2
,
22
a z
s
T z
z
H z H s
az
TT
TT
?
??
??
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
H1(z)和 H2(z)的网络结构分别如图 6.4.5(a),(b)所示 。
图 6.4.5 例 6.4.1图 ——H1(z)和 H2(z)的网络结构
(a)H1(z); (b)H2(z)
下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR数字低通滤
波器的步骤 。
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频
率 ωp,通带衰减 αp,阻带截止频率 ωs,阻带衰减 αs。
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通
滤波器的技术指标。
21
t a n ( )
2
T
T
?
?
??
??
如果采用双线性变换法, 边界频率的转换关系为
图 6.4.6例 6.4.1 图 —— 数字滤波器 H1(z)和 H2(z)的幅频特性
(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通
滤波器。
(4)将模拟滤波器 Ha(s)，从 s平面转换到 z平面，得
到数字低通滤波器系统函数 H(z)。
例 6.4.2 设计低通数字滤波器, 要求在通带内频率
低于 0.2πrad时, 容许幅度误差在 1dB以内；在频率 0.3π
到 π之间的阻带衰减大于 15dB。 指定模拟滤波器采用巴
特沃斯低通滤波器 。 试分别用脉冲响应不变法和双线
性变换法设计滤波器 。
解
(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通的技术指标为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;
Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB
③ 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数 N及 3dB
截止频率 Ωc。
0.1
0.1
lg
lg
0.3
1.5
0.2
10 1
0.0 92
10 1
lg 0.0 92
5.8 84
lg 1.5
p
s
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
??
?
? ? ?
取 N=6。 为求 3dB截止频率 Ωc,将 Ωp和 αp代入 (6.2.17)
式, 得到 Ωc=0.7032rad/s,显然此值满足通带技术要求,
同时给阻带衰减留一定余量, 这对防止频率混叠有一
定好处 。
根据阶数 N=6,查表 6.2.1,得到归一化传输函数为
2 3 4 5 6
1()
1 3, 8 6 3 7 7, 4 6 4 1 9, 1 4 1 6 7, 4 6 4 1 3, 8 6 3 7aHp p p p p p p? ? ? ? ? ? ?
为去归一化，将 p=s/Ωc代入 Ha(p)中，得到实际的
传输函数 Ha(s),
6
2
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6
6 5 4 3 2
()
3.86 37 7.46 41 9.14 16 7.46 41 3.86 37
0.1209
2.71 6 3.69 1 3.17 9 1.82 5 0.12 1 0.12 09
a
c c c c c c
Hs
s s s s s s
s s s s s s
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
④ 用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成 H(z)。 首先将
Ha(s)进行部分分式, 并按照 (6.3.11)式, (6.3.12)式, 或
者 (6.3.13)式和 (6.3.14)式, 得到,
11
1 2 1 2
1
12
0, 2 8 7 1 0, 4 4 6 6 2, 1 4 2 8 1, 1 4 5 4
()
1 0, 1 2 9 7 0, 6 9 4 9 1 1, 0 6 9 1 0, 3 6 9 9
1, 8 5 5 8 0, 6 3 0 4
1 0, 9 9 7 2 0, 2 5 7 0
zz
Hz
z z z z
z
zz
??
? ? ? ?
?
??
? ? ?
??
? ? ? ?
?
?
??
图 6.4.7 例 6.4.2图 ——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性
(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器 。
① 数字低通技术指标仍为
ωp=0.2πrad,αp=1dB;
ωs=0.3πrad,αs=15dB
② 模拟低通的技术指标为
21
t an,1
2
2 t an 0,1 0,6 5 /,1
2 t an 0,1 5 1,0 1 9 /,1 5
pp
Pp
ss
T
T
r a d s d B
r a d s d B
?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
③ 设计巴特沃斯低通滤波器 。 阶数 N计算如下,
lg
lg
1.019
1.568
0.65
0.092
lg 0.09 2
5.306
lg 1.56 8
sp
sp
s
sp
p
sp
k
N
k
N
?
?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
取 N=6。 为求 Ωc,将 Ωs和 αs代入 (6.2.18)式中, 得
到 Ωc=0.7662rad/s。 这样阻带技术指标满足要求, 通
带指标已经超过 。
根据 N=6,查表 6.2.1得到的归一化传输函数 Ha(p)
与脉冲响应不变法得到的相同 。 为去归一化, 将 p=s/Ωc
代入 Ha(p),得实际的 Ha(s),
④ 用双线性变换法将 Ha(s)转换成数字滤波器 H(z),
2 2 2
0, 2 0 2 4()
( 0, 3 9 6 0, 5 8 7 1 ) ( 1, 0 8 3 0, 5 8 7 1 ) ( 1, 4 8 0 0, 5 8 7 1 )aHs s s s s s s? ? ? ? ? ? ?
1
1
16
1 2 1 21
2
1
12
0.0007378 ( 1 )
( ) ( )
( 1 1,2 6 8 0,7 0 5 1 ) ( 1 1,0 1 0 0,3 5 8 )
1
1 0,9 0 4 4 0,2 1 5 5
a z
s
z
z
H z H s
z z z z
zz
?
?
?
? ? ? ??
?
?
??
?
??
? ? ? ?
??
g
图 6.4.8 例 6.4.2图 ——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下,
(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标 。
(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需
类型模拟滤波器的技术指标, 转换公式为
21ta n
2T ???
(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低
通滤波器技术指标 (具体转换公式参考本章 6.2节 )。
(4)设计模拟低通滤波器 。
(5)将模拟低通通过频率变换, 转换成所需类型的
模拟滤波器 。
(6)采用双线性变换法, 将所需类型的模拟滤波器
转换成所需类型的数字滤波器 。
例 6.5.1 设计一个数字高通滤波器, 要求通带截止
频率 ωp=0.8πrad,通带衰减不大于 3 dB,阻带截止频
率 ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于 15dB。 希望采用巴特沃
斯型滤波器 。
解
(1)数字高通的技术指标为
ωp=0.8πrad,αp=3dB;
ωs=0.44πrad,αs=15dB
(2) 模拟高通的技术指标计算如下,
令 T=1,则有
12 t an 6, 1 5 5 /,3
2
1
2 t an 1, 6 5 5 /,3
2
p p p
s s s
r a d s d B
r a d s d B
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下,
1
0,16 3 /,3
6,15 5
1
0,60 4 /,15
1,65 5
pp
ss
ra d s dB
ra d s dB
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
将 Ωp和 Ωs对 3dB截止频率 Ωc归一化, 这里 Ωc=Ωp,
(4)设计归一化模拟低通滤波器 G(p)。 模拟低通滤
波器的阶数 N计算如下,
1,3.7 1sps
p
?? ?? ? ??
0,1
0,1
lg
lg
10 1
0.1803
10 1
3.71
1.31,2
p
s
sp
sp
sp
s
sp
p
k
N
k
NN
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
查表 6.2.1,得到归一化模拟低通传输函数 G(p)为
2
2
22
1
()
21
()
2
c
cc
Gp
pp
Gs
ss
?
??
?
?
? ? ? ?
为去归一化, 将 p=s/Ωc代入上式得到,
(5) 将模拟低通转换成模拟高通 。 将上式中 G(s)
的变量换成 1/s,得到模拟高通 Ha(s),
22
22
1( ) ( )
21
c
a
cc
sH s G
s ss
???
? ? ? ?
(6)用双线性变换法将模拟高通 H (s)转换成数字高
通 H(z),
1
1
12
1
( ) ( )a z
s
z
H z H s ?
?
??
?
?
实际上 (5),(6)两步可合并成一步, 即
1
1
11
2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
0, 1 0 6 ( 1 ) 0, 0 6 5 3 ( 1 )
()
1, 6 2 4 1, 9 4 7 0, 5 6 6 1 1, 1 9 9 0, 3 4 9
z
s
z
H z G s
zz
Hz
z z z z
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
例 6.5.2设计一个数字带通滤波器, 通带范围为
0.3πrad到 0.4πrad,通带内最大衰减为 3dB,0.2πrad以下
和 0.5πrad以上为阻带, 阻带内最小衰减为 18dB。 采用
巴特沃斯型模拟低通滤波器 。
解
(1)数字带通滤波器技术指标为
通带上截止频率
ωu=0.4πrad
通带下截止频率
ωl=0.3πrad
阻带上截止频率
ωs2=0.5πrad
阻带下截止频率
ωs1=0.2πrad
通带内最大衰减 αp=3dB，阻带内最小衰减 αs=18dB。
(2) 模拟带通滤波器技术指标如下,
设 T=1,则有
22
11
0
1
2 ta n 1.453 /
2
1
2 ta n 1.019 /
2
1
2 ta n 2 /
2
1
2 ta n 0.650 /
2
1.217 /
0.434 /
uu
ll
ss
ss
ul
ul
rad s
rad s
rad s
rad s
rad s
B rad s
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
(通带中心频率 )
(带宽 )
将以上边界频率对带宽 B归一化, 得到
ηu=3.348,ηl=2.348;
ηs2=4.608,ηs1=1.498;
η0=2.804
(3) 模拟归一化低通滤波器技术指标,
归一化阻带截止频率
22
20
2
2, 9 0 2ss
s
???
?
???
归一化通带截止频率
λp=1
αp=3dB,αs=18dB
(4) 设计模拟低通滤波器,
0.1
0.1
10 1
0.127
10 1
2.902
lg 0.127
1.940,2
lg 2.902
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
查表 6.2.1,得到归一化低通传输函数 G(p),
2
1()
21Gp pp? ??
(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通,
(6)通过双线性变换法将 Ha(s)转换成数字带通滤波
器 H(z)。 下面将 (5),(6)两步合成一步计算,
22
0
()
( ) ( )
ul
a s
p
s
H s G p
???
? ? ?
?
1
1
12
1
zs
z
?
?
??
?
将上式代入 (5)中的转换公式, 得
1
1
2 2 1 2 2 1 2
00
21
2
1
1 2 1 2
22
4( 1 ) ( 1 )
( ) 2( 1 )( )
5,4 8 4,5 7,4 8 1 6,3 1 3 5,1 8 8 0 6 1 9
0,8 6 8 ( 1 ) 1
z
s
u l u lz
s z z
p
sz
z z z z
zz
?
?
??
??
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
将上面的 p等式代入 G(p)中，得
24
1 2 3 4
0, 0 2 1 ( 1 2 )()
1 1, 4 9 1 2, 8 4 8 1, 6 8 1, 2 7 3
zzHz
z z z z
??
? ? ? ?
???
? ? ? ?
例 6.5.3设计一个数字带阻滤波器, 通带下限频率
ωl=0.19π,阻带下截止频率 ωs1=0.198π,阻带上截止频率
ωs2=0.202π,通带上限频率 ωu=0.21π,阻带最小衰减
αs=13dB,ωl和 ωu处衰减 αp=3dB。 采用巴特沃斯型 。
解
(1) 数字带阻滤波器技术指标,
ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;
ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB
(2) 模拟带阻滤波器的技术指标,
设 T=1,则有
1 1 2 2
11
2 t an 0, 6 1 5 /,2 t an 0, 6 8 5 /
22
11
2 t an 0, 6 1 5 /,2 t an 0, 6 8 5 /
22
l l u u
s s s s
r a d s r a d s
r a d s r a d s
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
阻带中心频率平方为
Ω20=ΩlΩu=0.421
阻带带宽为
B=Ωu-Ωl=0.07rad/s
将以上边界频率对 B归一化,
ηl=8.786,ηu=9.786,
ηs1=9.186,ηs2=9.386;
η20=ηlηu=85.98
(3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标,
按照 (6.2.48)式, 有
λp=1,αp=3dB
2
22
20
4, 4 3 4,1 3sss
s
dB?????? ? ??
(4) 设计模拟低通滤波器,
0.1
0.1
10 1
0.229
10 1
4.434
lg 0.229
0.99,1
lg 4.434
p
s
sp
s
sp
p
k
NN
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ?
22
0
22
0
( ) ( )
a s B
p
s
sB
p
s
H s G p
?
??
?
??
?
(5) 将 G(p)转换成模拟阻带滤波器 Ha(s),
(6) 将 Ha(s)通过双线性变换, 得到数字阻带滤波器
H(z)。
1
1
2
1 2 2 1 2
0
2
2 2 1 2 2 1 21
2
001
12
122 (1 )
4 (1 ) (1 )
2 ( 1 )
4 ( 1 ) ( 1 )
0.96 9 ( 1 619 )
( ) ( )
1 1.56 9 0.93 9
z
s
z
zB
p
zz
sB z B
p
s z z
zz
H z G p
zz
?
?
?
??
?
???
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6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法
1,零极点累试法
称为零极点累试法 。 在确定零极点位置时要注意,
(1)极点必须位于 z平面单位圆内, 保证数字滤波器
因果稳定；
(2)复数零极点必须共轭成对, 保证系统函数有理
式的系数是实的 。
图 6.6.1 例 6.6.1图
(a)零极点分布； (b)幅度特性
2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计 IIR数
字滤波器
设 IIR滤波器由 K个二阶网络级联而成，系统函数用
H(z)表示,
12
12
1
1()
1
K
ii
i ii
a z b zH z A
c z d z
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???
???
(6.6.1)
式中, A是常数； ai,bi,ci,di是待求的系数； Hd(e jω)
是希望设计的滤波器频响 。 如果在 (0,π)区间取 N点数
字频率 ωi,i=1,2,:,N,在这 N点频率上, 比较 |Hd(e jω)|和
|H(e jω)|,写出两者的幅度平方误差 E为
2
1
[ ( ) ( ) ]ii
N
jj
d
i
E H e H e??
?
???
(6.6.2)
而在 (6.6.1)式中共有 (4K+1)个待定的系数, 求它们
的原则是使 E最小 。 下面我们研究采用 (6.6.1)式网络结
构, 如何求出 (4K+1)系数 。
按照 (6.6.2)式,E是 (4K+1)个未知数的函数，用下
式表示,
1 1 1 1 2
(,)
[] TK K K K
E E A
a b c d a a b c d
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上式 θ表示 4K个系数组成的系数向量 。 为推导
公式方便, 令
2
1
()
,( )
(,) [ ]
i
i
j
j
i d d
N
id
i
He
H H H e
A
E A A H H
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??? (6.6.3)
为选择 A使 E最小, 令
1
2
1
N
id d ef
i
gN
i
i
HH
AA
H
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??
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(6.6.4)
设 θk是 θ 的第 k个分量 (ak或 bk或 ck或 dk),
1
[,] 2 ( ),1,2,,4Ng i
g g i d
ikk
EA HA A A H k K?
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(6.6.5)
因为,式中 H*i表示对 Hi函数共轭 。 12[]
i i iH H H???
1
2
1
11
[ ] [ 2 R e [ ]]
2
2 [ ]
R e [ ]
i i i i
ii
k k k i k
ii
i
ii
k
H H H H
H H H
H
HH
H
HH
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(6.6.6)
将上式具体写成对 ak,bk,ck,dk的偏导, 得到,
2
11
1
12
R e[ ] R e[
1
R e[ ] R e[ ]
1
j j
i
ii i ii
i i i
k k i k
ii
ii ze
i k k i k i
HH H H
H H H
a H a
Hz
HH
H a a z b z
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(6.6.7)
式中, k=1,2,3,:,K； i=1,2,3,:,N。
同理求得
2
12
1
12
2
12
R e[ ]
1
R e[ ]
1
R e[ ]
1
j i
i
j i
i
j i
i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
i i
i ze
k k i k i
H z
H
b a z b z
H z
H
c c z d z
H z
H
d c z d z
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(6.6.8)
(6.6.9)
(6.6.10)
由于系统函数是一个有理函数, 极, 零点均以共
轭成对的形式存在, 对于极点 z1,一定有下面关系,
1 1 1 1
11
11
11
2
1
11
( ) ( )
11
( ) ( )
11
j j j j
jj
j j j j
jj
e z e z e z e z
e z e z
z e e z e e
zz
z e e
zz
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(6.6.11)
图 6.6.2 例 6.6.2图
(a)要求的幅度特性； (b)k=1,2时的幅度特性
例 6.6.2 设计低通数字滤波器, 其幅度特性如图
6.6.2(a)所示 。 截止频率 ωs=0.1πrad。
解 考虑到通带和过渡带的重要, 在 0~0.2π区间,
每隔 0.01π取一点 ωi值, 在 0.2π~π区间每隔 0.1π取一点 ωi
值, 并增加一点过渡带, 在 ω=0.1π处
|Hd(e jω)|=0.5。
1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π
0.5,ω=0.1π
0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π
0.0,ω=0.2π,0.3π,:,π
()jdHe?
N=29,取 k=1,系统函数为
12
11
12
11
1()
1
a z b zH z A
c z d z
??
??
???
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待求的参数是 A,a1,b1,c1,d1。设初始值
θ=(0000.25)T经过 90
次迭代, 求得 E=1.2611,系统函数零, 极点位置为
零点 0.67834430± j0.73474418;
极点 0.75677793± j1.3213916
为使滤波器因果稳定, 将极点按其倒数搬入单位
圆内, 再进行 62次优化迭代, 求得结果为
零点 0.82191163± j0.56961501;
极点 0.89176390± j0.19181084;
Ag=0.11733978,E=0.56731
误差函数用下式表示,
1
( )( ( ) ( )i i i
N p
j j j
Pd
i
E W e H e H e? ? ?
?
???
(6.6.12)
3,在时域直接设计 IIR数字滤波器
设我们希望设计的 IIR数字滤波器的单位脉冲响应为
hd(n),要求设计一个单位脉冲响应 h(n)充分逼近 hd(n)。 下
面我们介绍这种设计方法 。
设滤波器是因果性的, 系统函数为
0
0
1
0
( ) ( )
M
i
i
ki
N
i k
i
bz
H z h k z
az
?
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??
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?
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(6.6.13)
式中 a0=1,未知系数 ai和 bi共有 N+M+1个, 取 h(n)
的一段, 0≤n≤p-1,使其充分逼近 hd(n),用此原则求解
M+N+1个系数 。 将 (6.6.13)式改写为
1
0 0 0
0 0 0
()
()
p NM
k i i
ii
k i i
M N N M
k i i
ii
k i i
h k z a z b z
h k z a z b z
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令 p=M+N+1,则
(6.6.14)
令上面等式两边 z的同幂次项的系数相等, 可得
到 N+M+1个方程,
h(0)=b0
h(0)a1+h(1)=b1
h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2
上式表明 h(n)是系数 ai,bi的非线性函数, 考虑到
i>M时, bi=0,一般表达式为,
0
0
( ),0
( ) 0,
k
jk
j
k
j
j
a h k j b k M
a h k j M k M N
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? ? ? ? ?
?
?
(6.6.15)
(6.6.16)
设 x(n)为给定的输入信号, yd(n)是相应的希望的输
出信号, x(n)和 yd(n)长度分别为 M和 N,实际滤波器的
输出用 y(n)表示, 下面我们按照 y(n)和 yd(n)的最小均方
误差求解滤波器的最佳解, 设均方误差用 E表示,
1 2
0
1
2
00
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( ) ]
N
d
n
Nn
d
nm
E y n y n
h m x n m y n
?
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??
??
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??
(6.6.17)
(6.6.18)
上式中 x(n),0≤n≤M1； yd(n),0≤n≤N-1
为选择 h(n)使 E最小, 令
0,0,1,2,,1()E iNhi? ? ? ??? ??
由 (6.6.18)式得到
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1
0 0 0
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
N N N
n n n
N N N
n n n
N N N
n n n
x n x n x n x n x n
x n x n x n x n N x n
x n x n x n x n N x n N
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1
0
1
0
1
0
( ) ( )
( 0 )
( 1 ) ( ) ( 1 )
( 1 )
( ) ( 1 )
N
d
n
N
d
n
N
d
n
y n x n
h
h y n x n
hN
y n x n N
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(6.6.20)
例 6.6.2设计数字滤波器, 要求在给定输入 x(n)=3,1
的情况下, 输出 yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。
解 设 h(n)长度为 p=4,按照 (6.6.20)式, 得
10 3 0 0 ( 0 ) 3.25
3 10 3 0 ( 1 ) 0.85
( 2 ) 0.310 3 10 3
( 3 ) 0.030 0 3 9
h
h
h
h
?? ? ? ? ?
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? ? ? ??
?? ? ? ? ?
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?? ? ? ? ?
??
列出方程,
10h(0)+3h(1)=3.25
3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85
3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31
3h(2)+9h(3)=0.03
解联立方程, 得
h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109
将 h(n)以及 M=1,N=2代入 (6.6.15),(6.6.16)式中, 得
a1=0.1824,a2=0.1126
b0=0.3333,b1=0.0330
滤波器的系统函数为
1
12
0, 3 3 3 3 0, 0 3 3 0()
1 0, 1 8 2 4 0, 1 1 2 6
zHz
zz
?
??
??
??
相应的差分方程为
y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)
当 x(n)=3,1时, 输出 y(n)为
y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012,
将 y(n)与给定 yd(n)比较, y(n)的前五项与 yd(n)的前
五项很相近, y(n)在五项以后幅度值很小 。
