3.1 离散傅里叶变换的定义
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
第 3章 离散傅里叶变换 (DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设 x(n)是一个长度为 M的有限长序列, 则定义 x(n)
的 N点离散傅里叶变换为
1
0
( ) [ ( ) ] ( ),k =0,1,&,N- 1 ( 3.1.1)
N
kn
N
n
X k D FT x n x n W
?
?
?? ?
X(k)的离散傅里叶逆变换为
1
0
1( ) [ ( )] ( ),k = 0,1,&,N - 1 (3, 1, 2 )N kn
N
n
X k D F T x n X n WN
? ?
?
?? ?
式中，, N称为 DFT变换区间长度 N≥M,
通常称 (3.1.1)式和 (3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面
证明 IDFT［ X(k)］的唯一性。
把 (3.1.1)式代入 (3.1.2)式有
2j
Ne
?
11
00
11
()
00
1
[ ( )] [ ( ) ]
1
()
NN
m k kn
NN
km
NN
k m n
N
mk
ID F T X k x m W W
N
x m W
N
??
?
??
??
?
??
?
?
??
??
1
1,()
0,
0
1 {N m n M N Mk m n
N m n M N M
k
W
N
?
???
??
?
??
M为整数
M为整数
例 3.1.1 x(n)=R4(n), 求 x(n)的 8点和 16点 DFT
设变换区间 N=8,则
所以, 在变换区间上满足下式,
IDFT［ X(k)］ =x(n),0≤n≤N-1
由此可见, (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的 。
273
8
8
00
3
8
( ) ( )
sin( )
2
,0,1,,7
sin( )
8
j k n
kn
nN
jk
X k x n W e
k
ek
k
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ? ?
??
设变换区间 N=16,则 273
8
8
00
3
8
( ) ( )
sin( )
4
,0,1,,15
sin( )
16
j k n
kn
nN
jk
X k x n W e
k
ek
k
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ? ?
??
3.1.2 DFT和 Z变换的关系
设序列 x(n)的长度为 N,其 Z变换和 DFT分别为,
1
0
1
0
( ) [ ( )] ( )
( ) [ ( )] ( ) 0 k N - 1
N
n
n
N
kn
N
n
X z Z T x n x n z
X k D F T x n x n W
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
?
?
比较上面二式可得关系式
2
2
( ) ( ),0 k N - 1 ( 3,1,3 )
( ) ( ),0 k N - 1 ( 3,1,4 )
jk
Nze
j
k
N
X k X z
X k X z
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
图 3.1.1 X(k)与 X(e jω)的关系
3.1.3 DFT的隐含周期性
前面定义的 DFT变换对中, x(n)与 X(k)均为有限长
序列, 但由于 WknN的周期性, 使 (3.1.1)式和 (3.1.2)式
中的 X(k)隐含周期性, 且周期均为 N。 对任意整数 m,
总有
(),,,k k m NNNW W k m N?? 均为整数 所以 (3.1.1)式中, X(k)满足
1
()
0
1
0
( ) ( )
( ) ( )
N
k m N n
N
n
N
kn
N
n
X k m N x n W
x n W X k
?
?
?
?
?
??
??
?
?
同理可证明 (3.1.2)式中
x(n+mN)=x(n)
实际上, 任何周期为 N的周期序列 都可以看
作长度为 N的有限长序列 x(n)的周期延拓序列, 而 x(n)
则是 的一个周期, 即
~x
~x
~
~
( ) ( ) ( 3.1.5 )
( ) ( ) ( ) ( 3.1.6)
m
N
x n x n mN
x n x n R n
?
? ??
??
??
?
为了以后叙述方便,将 (3.1.5)式用如下形式表示,
~ ( ) ( ) (3, 1, 7 )
Nx n x n?
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
式中 x((n))N表示 x(n)以 N为周期的周期延拓序列,
((n))N表示 n对 N求余, 即如果
n=MN+n1,0≤n1≤N-1,M为整数,
则 ((n))N=n1
例如,~
55,( ) ( ),N x n x n??
则有
~
5
~
5
( 5 ) ( ( 5 ) ) ( 0)
( 6) ( ( 6) ) ( 1 )
x x x
x x x
??
??
所得结果附合图 2.1.2所示的周期延拓规律 。
如果 x(n)的长度为 N,且 (n)=x((n))N,则可写
出 (n)的离散傅里叶级数表示为
~x
~x
1 1 1~~
0 0 0
1~~
0
( ) ( ) (( )) ( )
11
( ) ( ) ( )
N N N
kn kn kn
N N N N
n n n
N
kn kn
NN
n
X k x n W x n W x n W
x n X k W X k W
NN
? ? ?
? ? ?
?
??
?
? ? ?
??
? ? ?
?
(3.1.8)
(3.1.9)
式中
~( ) ( ) ( )
NX k x k R k?
(3.1.10)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果 x1(n)和 x2(n)是两个有限长序列, 长度分别为
N1和 N2。
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中 a,b为常数, 即 N=max［ N1,N2］, 则 y(n)
的 N点 DFT为
Y(k)=DFT［ y(n)］ =aX1(k)+bX2［ k］,0≤k≤N-1(3.2.1)
其中 X1(k)和 X2(k)分别为 x1(n)和 x2(n)的 N点 DFT。
3.2.2 循环移位性质
1,序列的循环移位
设 x(n)为有限长序列, 长度为 N,则 x(n)的循环移
位定义为
y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
图 3.2.1 循环移位过程示意图
2,时域循环移位定理
设 x(n) 是长度为 N的有限长序列, y(n)为 x(n)的循
环移位, 即
y(n)=x((n+m))NRN(n)
则
Y(k)=DFT［ y(n)］
=W-km NX(k) (3.2.3)
其中 X(k)=DFT［ x(n)］,0≤k≤N-1。
证明,
1
0
1
0
( ) [ ( ) ]
( ( ) ) ( )
( ( ) )
N
kn
N N N
n
N
kn
NN
n
Y k DFT y n
x n m R n W
x n m W
?
?
?
?
?
??
??
?
?
令 n+m=n′,则有
1
()
1
( ) ( ( ) )
( ( ) )
Nm
k n m
NN
nm
Nm
kn kn
N N N
nm
Y k x n W
W x n W
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
由于上式中求和项 x((n′))NWkn′N以 N为周期, 所以
对其在任一周期上的求和结果相同 。 将上式的求和区
间改在主值区则得
1
1
0
( ) ( ( ) )
()
()
N
k m k n
N N N
n
N
k m k n
NN
n
km
N
Y k W x n W
W x n W
W X k
?
??
?
?
??
??
?
??
??
?
?
?
3,频域循环移位定理如果
X(k)=DFT［ x(n)］,0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k)
则 y(n)=IDFT［ Y(k)］ =WnlNx(n) (3.2.4)
3.2.3 循环卷积定理
有限长序列 x1(n)和 x2(n),长度分别为 N1和 N2,
N=max［ N1,N2 ］ 。 x1(n)和 x2(n)的 N点 DFT分别为,
X1(k)=DFT［ x1(n)］
X2(k)=DFT［ x2(b)］
如果
X(k)=X1(k)·X2(k)
则
1
1
0
( ) [ ( )] ( )( ( )) ( )
N
NN
m
x n ID F T X k x m n m R n
?
?
? ? ??
(3.2.5)
1
2
0
( ) [ ( )] ( )(( )) ( )
N
NN
m
x n ID F T X k x m n m R n
?
?
? ? ??
一般称 (3.2.5)式所表示的运算为 x1(n)与 x2(n)的循
环卷积 。 下面先证明 (3.2.5)式, 再说明其计算方法 。
证明,直接对 (3.2.5)式两边进行 DFT
11
12
00
11
12
00
( ) [ ( ) ]
[ ( ) ( ( ) ) ( ) ]
( ) ( ( ) )
NN
kn
N N N
nm
NN
kn
NN
nm
X k DFT x n
x m x n m R n W
x m x n m W
??
??
??
??
?
??
??
??
??
令 n-m=n′,则有
11
()
12
0
11
12
0
( ) ( ) (( ))
( ) (( ))
N N m
k n m
NN
m n m
N N m
km kn
N N N
m n m
X k x m x n W
x m W x n W
? ? ?
??
?? ? ?
? ? ?
?
?? ? ?
??
??
??
??
因为上式中 x2((n′))NW kn′N,以 N为周期, 所以对
其在任一个周期上求和的结果不变 。 因此
1
1
0
12
( ) ( )
( ) ( ),0 1
N
kn
N
m
X k x m W
X k X k k N
?
?
?
?
? ? ? ?
?
循环卷积过程中, 要求对 x2(m)循环反转, 循环移
位, 特别是两个 N长的序理的循环卷积长度仍为 N。 显
然与一般的线性卷积不同, 故称之为循环卷积, 记为
12
1
12
0
12
21
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
N
NN
m
x n x n x n
x m x n m R n
X k D F T x n
X k X k
X k X k
?
?
??
??
?
??
??
?
由于
所以
12
21
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
x n I D F T X k x n x n
x n x n
? ? ?
??
即循环卷积亦满足交换律。
作为习题请读者证明频域循环卷积定理,
如果 x(n)=x1(n)x2(n)
则
12
1
12
0
21
1
21
0
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
1
( ) ( ( ) ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
l
N
NN
l
X k D F T x n X k X k
N
X l X k l R k
N
X k X k X k
N
X l X k l R k
N
?
?
?
?
? ? ?
??
??
??
?
?
(3.2.6)
X1(k)=DFT［ x1(n)］
X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N-1
3.2.4 复共轭序列的 DFT
设 x*(n)是 x(n)的复共轭序列, 长度为 N
X(k)=DFT［ x(n)］
则
DFT［ x*(n)］ =X*(N-k),0≤k≤N-1 (3.2.7)
且
X(N)=X(0)
证明,根据 DFT的唯一性, 只要证明 (3.2.7)式右
边等于左边即可 。
1
()
0
1
()
0
1
0
( ) [ ( ) ]
()
()
[ ( ) ]
n
n
N
Nk
N
n
N
Nk
N
n
N
kn
N
n
X N k x n W
x n W
x n W
DFT x n
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
又由 X(k)的隐含周期性有 X(N)=X(0)
用同样的方法可以证明
DFT［ x*(N-n)］ =X*(k) (3.2.8)
图 3.2.2 循环卷积过程示意图
n, m
0 1 2 3 4 5 6 7
x
2
( n )
n
0 7
1
1
x
2
(( － m ))
N
R
N
( m )
0 7
1
x
2
((1 － m ))
N
R
N
( m )
0 7
1
m
m
x
2
((2 － m ))
N
R
N
( m )
0 1 2 3 4 5 6 7
1
m
0 1 2 3 4 5 6 7
n
1
2
3
4
x ( n )
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
3.2.5 DFT的共轭对称性
1,有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称 (或共
轭反对称 )序列, 下面用 xep(n)和 xop(n)分别表示有限长
共轭对称序列和共轭反对称序列, 则二者满足如下定
义式,
xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1 (3.2.9)
xop(n)=-x*op(N-m),0≤n≤N-1 (3.2.10)
当 N为偶数时, 将上式中的 n换成 N/2-n可得到
上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含
义 。 如图 3.2.3所示 。 图中 *表示对应点为序列取共轭
后的值 。
( ) ( ),0 1
2 2 2
( ) ( ),0 1
2 2 2
ep ep
o p o p
N N N
x n x n n
N N N
x n x n n
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样, 任何有限长序列 x(n)都可以表示成其共
轭对称分量和共轭反对称分量之和, 即
x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1 (3.2.11)
将上式中的 n换成 N-n,并取复共轭, 再将 (3.2.9)
式和 (3.2.10)式代入得到
x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)
=xep(n)-xop(n) (3.2.12)
xep(n)=1/2［ x(n)+x*(N-n)］ (3.2.13)
xop(n)=1/2［ x(n)-x*(N-n)］ (3.2.14)
2,DFT的共轭对称性
(1) 如果 x(n)=xr(n)+jxi(n)
其中
xr=Re［ x(n)］ =1/2［ x(n)+x*(n)］
jxi(n)=jIm［ x(n)］ =1/2［ x(n)-x*(n)］
由 (3.2.7)式和 (3.2.13)式可得
DFT［ xr(n)］ =1/2DFT［ x(n)+x*(n)］
=1/2［ X(k)+X*(N-k)］
=Xep(k)
由 (3.2.7)式和 (3.2.14)式得
DFT［ jxi(n)］ =1/2DFT［ x(n)-x*(n)］
=1/2［ X(k)-X*(N-k)］
=Xop(k)
由 DFT的线性性质即可得
X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k) (3.2.16)
其中
Xep(k)=DFT［ xr(n)］,X(k)的共轭对称分量
Xop(k)=DFT［ jxi(n)］,X(k)的共轭反对称分量
(2) 如果 x(n)=xep(n)+rop(n),0≤n≤N-1 (3.2.17)
其中
xep(n)=1/2［ x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共轭对称分量
xop(n)=1/2［ x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共轭反对称分量
由 (3.2.8)式得
DFT［ xep(n)］ =1/2DFT［ x(n)+x*(N-n)］
=1/2［ X(k)+X*(k)］
=Re［ X(k)］
DFT［ xop(n)］ =1/2DFT［ x(n)-x*(N-n)］
=1/2［ X(k)-X*(k)］
=jIm［ X(k)］
因此 X(k)=DFT［ x(n)］ =XR(k)+jXI(k)(3.2.18)
其中 XR(k)=Re［ X(k)］ =DFT［ xep(n)］
jXI(k)=jIm［ X(k)］ =DFT［ xop(n)］
设 x(n)是长度为 N的实序列, 且 X(k)=DFT［ x(n)］, 则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (3.2.19)
(2) 如果 x(n)=x(N-m)
则 X(k)实偶对称, 即
X(k)=X(N-k) (3.2.20)
(3) 如果 x(n)=-x(N-n),则 X(k)纯虚奇对称, 即
X(k)=-X(N-k) (3.2.21)
利用 DFT的共轭对称性, 通过计算一个 N点 DFT,
可以得到两个不同实序列的 N点 DFT,设 x1(n)和 x2(n)
为两个实序列, 构成新序列 x(n)如下,
x(n)=x1(n)+jx2(n)
对 x(n)进行 DFT,得到
X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k)
由 (3.2.16)式, (3.2.13)式和 (3.2.14)式得到
Xep(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(N-k)］
Xop(k)=DFT［ jx2(n)］ =1/2［ X(k)-X*(N-k)］
所以
X1(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(N-k)］
X2(k)=DFT［ x2(n)］ =-j1/2［ X(k)-X*(N-k)］
3.3 频率域采样
设任意序列 x(n)的 Z变换为
( ) ( ) n
n
X z x n z? ?
? ? ?
? ?
且 X(z)收敛域包含单位圆 (即 x(n)存在傅里叶变换 )。
在单位圆上对 X(z)等间隔采样 N点得到
2
2
( ) ( ) ( ),0 k N- 1 ( 3.3,1)
jk N
j k nN
ze n
X k X z x n e?
?? ?
? ? ??
? ? ? ??
xN(n)=IDFT［ X(k)］, 0≤n≤N-1
由 DFT与 DFS的关系可知, X(k)是 xN(n)以 N为周
期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 (k)的
值序列, 即
~x~x
~~
~
~~
1 ~
0
1
0
( ) ( ) [ ( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) [ ( ) ]
1
()
1
()
N
N
NN
N
kn
N
k
N
kn
N
k
X k X k DFS X n
X k X k R k
X n x n I DFS X k
X k W
N
X k W
N
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
将式 (3.3.1)代入上式得
1~
0
1
()
0
1
( ) [ ( ) ]
1
()
N
k m k n
NN
km
N
k m n
N
mk
x n x m W W
N
x m W
N
??
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
??
??
式中
1 1,
()
0
0
1 {N m n r N rk m n
N
k
W
N
? ??
?
?
??
为整数
其它 m
如果序列 x(n)的长度为 M,则只有当频域采样点
数 N≥M时, 才有
xN(n)=IDFT［ X(k)］ =x(n)
即可由频域采样 X(k)恢复原序列 x(n),否则产生时
域混叠现象 。 这就是所谓的频域采 样 +定理 。
1~
0
~
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
k
N N N
r
x n x n rN
x n x n R n x n rN R n
?
?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
(3.3.2)
(3.3.3)
下面推导用频域采样 X(k)表示 X(z)的内插公式和内
插函数 。 设序列 x(n)长度为 M,在频域 0~2π之间等间
隔采样 N点, N≥M,则有
2
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( ),0,1,2,,1
1
( ) ( ) [ ( ) ] ( )
jk
N
N
n
n
ze
N
kn
N
k
X z x n z
X k X z k N
x n X z X k X k W
N
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
??
?
?
式中
将上式代入 X(z)的表示式中得
11
00
11
00
1
1
0
1
( ) [ ( ) ]
1
()
11
()
1
NN
k n n
N
nk
NN
k n n
N
kn
k N NN
N
k
k N
X z X k W z
N
X k W z
N
Wz
Xk
N W z
??
?
??
??
??
??
???
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
上式中 W-Kn N=1,因此
1
1
0
1
1
0
11
( ) ( )
1
11
()
1
( ) ( ) ( )
NN
k
k N
N
k k
N
N
k
k
z
X z X k
N W z
z
z
N W z
X z X k z
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
式 (3.3.6)称为用 X(k)表示 X(z)的内插公式, φk(z)称
为内插函数 。 当 z=ejω时, (3.3.5)式和 (3.3.6)式就成为
x(n)的傅里叶变换 X(ejω)的内插函数和内插公式, 即
( 2 / )
1
0
11
()
1
( ) ( ) ( )
jN
k j k N
N
j
k
k
e
Ne
X e X k
?
??
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
? ?
进一步化简可得
1
0
1
()
2
2
( ) ( ) ( )
1 si n( / 2 )
()
si n( / 2 )
N
j
k
N
j
X e X k k
N
N
e
N
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
? (3.3.7)
(3.3.8)
3.4 DFT的应用举例
DFT的快速算法 FFT的出现, 使 DFT在数字通信,
语言信号处理, 图像处理, 功率谱估计, 仿真, 系
统分析, 雷达理论, 光学, 医学, 地震以及数值分
析等各个领域都得到广泛应用 。
3.4.1 用 DFT计算线性卷积
如果
1
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( )
L
LL
m
y n x n x n x m x n m R n
?
?
? ? ??e
11
22
( ) [ ( )]
( ) [ ( )]
X k D F T x n
X k D F T x n
?
?
0≤k≤L-1
则由时域循环卷积定理有
Y(k)=DFT［ y(n)］ =X1(k)X2(k),0≤k≤L-1
由此可见, 循环卷积既可在时域直接计算, 也可
以按照图 3.4.1所示的计算框图, 在频域计算 。 由于
DFT有快速算法 FFT,当 N很大时, 在频域计算的速
度快得多, 因而常用 DFT(FFT)计算循环卷积 。
图 3.4.1 用 DFT计算循环卷积
在实际应用中, 为了分析时域离散线性非移变系
统或者对序列进行滤波处理等, 需要计算两个序列的
线性卷积, 与计算循环卷积一样, 为了提高运算速度,
也希望用 DFT(FFT)计算线性卷积 。 而 DFT只能直接用
来计算循环卷积, 为此导出线卷积和循环卷积之间的
关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件 。
假设 h(n)和 x(n)都是有很长序列, 长度分别是 N和
M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下,
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
l
m
L
c L L
m
y n h n x n h m x n m
y n h n x n h m x n m R n
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?e
(3.4.1)
(3.4.2)
其中,L≥max［ N,M］
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
cL
mq
N
L
qm
y n h m x n m q L R n
h m x n m q L R n
??
? ? ??
??
? ?? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
( ( ) ) ( ),L
q
x n x n qL
?
? ??
???
对照式 (3.4.1)可以看出,上式中
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
l
m
c l L
q
h m x n q L M y n q L
y n y n q L R n
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
??
?
? (3.4.3)
图 3.4.2 线性卷积与循环卷积
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
h ( n ) x ( n )
n
L ＝ 6
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
n
L ＝ 8
6 7
h ( n ) x ( n )
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
n
L ＝ 1 0
6 7
h ( n ) x ( n )
（ d ）
（ e ）
( f )
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
n
N ＋ M － 1 ＝ 8
6 7
h ( n ) x ( n )*
n
M ＝ 5
0 1 2 3 4
1
x ( n )
n
N ＝ 4
0 1 2 3
1
h ( n )
（ a ）
（ b ）
（ c ）
8 9
*○
*○
*○
－ 1 8 9 10
图 3.4.3 用 DFT计算线性卷积框图
补
L － N
个
零
点
L
点
D F T
补
L － M
个
零
点
L
点
D F T
L 点
I D F T
y ( n )
h ( n )
x ( n )
设序列 h(n)长度为 N,x(n)为无限长序列 。 将 x(n)
均匀分段, 每段长度取 M,则
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
i
kM
x n x n
x n x n R n k M
?
?
?
? ? ?
?
于是, h(n)与 x(n)的线性卷积可表示为 0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
()
k
k
k
k
k
k
k
y n h n x n
h n x n
h n x n
yn
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
? (3.4.4)
图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图
M
0
N
M M
x
1
( n )x
0
( n ) x
2
( n )
N ＋ M － 1
N ＋ M － 1
y
0
( n )
y
1
( n )
N ＋ M － 1
y
2
( n )
2 M M
3 M ＋ N － 1
0
N － 1
y ( n ) ＝ y
0
( n ) ＋ y
1
( n ) ＋ y
2
( n ) ＋ …
n
n
n
n
n
n
h ( n )
3.4.2 用 DFT对信号进行谱分析
所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换 。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算
机进行计算, 使其应用受到限制, 而 DFT是一种时域
和频域均离散化的变换, 适合数值运算, 成分分析离
散信号和系统的有力工具 。
1,用 DFT对连续信号进行谱分析
工程实际中, 经常遇到的连续信号 xa(t),其频谱
函数 Xa(jΩ)也是连续函数 。
设连续信号 xa(t)持续时间和 Tp,最高频率为 fc,
如图 2.4.5所示 。 xa(t)的傅里叶变换为
对 xa(t)以采样间隔 T≤1/2fc(即 fs=1/T≥2fc)采样得
a(t)= Xa(nT)。 设共采样 N点, 并对 Xa(jf)作零阶近似
(t=nT,dt=T)得
2( ) [ ( )] ( ) jf
a a aX i f F T x t x t e t d t
?? ?
???? ?
1
2
0
( ) ( )
N
j f nT
a
n
X i f T x nT e ?
?
?
?
? ?
显然, Xa(jf)仍是 f的连续周期函数, a(t)和 X (jf)
如图 3.4.5(b)所示 。 对 X(jf)在区间 ［ 0,fs］ 上等间隔采
样 N点, 采样间隔为 F,如图 3.4.5(c)所示 。 参数 fs,
Tp,N和 F满足如下关系式,
1
1
s
p
f
F
N N T
F
T
??
?
由于 NT=Tp,所以
(3.4.5)
(3.4.6)
将 f=kF和式 (3.4.5)代入 X(jf)中可得 Xa(jf)
的采样
21
0
( ) ( )
N j k n
N
a
n
X jk F T x nT e
?? ?
?
? ?
0≤k≤N-1
( ) ( ),( ) ( )aaX k X j k f x n x n T??令 则
21
0
1
0
21
0
( ) ( ) [ ( ) ]
2
( ) ( ) ( )
1
[ ( ) ]
1
[ ( ) ]
N
j k n
N
a
n
N
n
N
e j k n
N
a
n
a
X k T x n e T DFT x n
x n Xa nT F Xa k e j k n
N
FN X k
N
I DFT X k
T
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
(3.4.8)
理想低能滤波器的单位冲击响应 ha(t)及其频响函
数 Ha(if)如图 3.4.6(a),(b)所示 。 图中
sin( )()
a
tht
t
?
??
图 3.4.6 用 DFT计算理想低通滤波器频响曲线
现在用 DFT来分析 ha(t)的频率响应特性 。 由于 ha(t)
的持续时间为无穷长, 所以要截取一段 Tp,假设 Tp=8
s,采样间隔 T=0.25 s(即采样速度 fs=4 Hz),采样点数
N=Tp/T=32。 此时频域采样间隔 F=1/NT=0.125 Hz。 则
H(k)=T·DFT［ h(n)］,0≤k≤31
其中 h(n)=ha(nT)R32(n)
在已知信号的最高频率 fc(即谱分析范围时 ),为了
避免在 DFT运算中发生频率混叠现象, 要求采样速率 fs
满足下式
fs＞ 2fc (3.4.9)
按照 (3.4.5)式, 谱分辨率 F=fs/N,如果保持采样
点数 N不变, 要提高谱的分辨率 (F减小 ),必须降低采
样速率, 采样速率的降低会引起谱分析范围减少 。 如
维持 fs不变, 为提高分辨率可以增加采样点数 N,因
为 NT=Tp,T=f-1s,只有增加对信号的观察时间 Tp,
才能增加 N。 Tp和 N可以按照下式进行选择,
2
1
c
p
f
N
F
T
F
?
?
(3.4.10)
(3.4.11)
例 3.4.1 对实信号进行谱分析, 要求谱分辨率 F≤10
Hz,信号最高频率 fc=2.5 kHz,试确定最小记录时间
TPmin,最大的采样间隔 Tmax,最少的采样点数 Nmin。
如果 fc不变, 要求谱分辨率增加一倍, 最少的采样点
九和最小的记录时间是多少?
解,
因此 TPmin=0.1 s,因为要求 fs≥2fc,所以
11 0.1
10PTsF? ? ?
3
m ax
m i n
11
0,2 1 0
2 2 2 5 0 0
2 2 2 5 0 0
500
10
c
c
Ts
f
f
N
F
?? ? ? ?
?
?
? ? ?
2,用 DFT对序列进行谱分析
我们已知道单位圆上的 Z变换就是序列傅里叶变换,
即
为使频率分辨率提高一倍, F=5 Hz,要求
m i n
m i n
2 250 0
1000
5
1
0.2
5
p
N
Ts
?
??
??
( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??
对周期为 N的周期序列, 由 (2.3.10)式知道,
其频谱函数为
用 DFT的隐含周期性知道, 截取 的主值序
列 x(n)= (n)RN(n),并进行 N点 DFT得到
~()xn
~~
21~ ~ ~
0
22
( ) [ ( )] ( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
j
k
N j kn
N
n
X e F T x n X k k
NN
X k D F S x n x n e
?
?
??
??
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
??
?
?
其中
~()xn
~()xn
~~( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
NNX k D F T x n D F T x n R n X k R k? ? ?
如果截取长度 M等于 (n)的整数个周期,即
M=mN,m为正整数,则
~x
~
21
~
0
2( 1 )
~
0
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
( ) 0,1,,1
MM
M
kn
M
MM
n
mN
kn
mN
n
x n x n R n
X k DF T x n x n e
x n e k mN
?
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?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
g
令 n=n′+rN,r=0,1,…,m-1,n′=0,1,…,N-1,则
2 ( )11
~
0
2211
00
21
0
21
0
( ) ( )
[ ( ) ]
()
()
n rN kmN
j
mN
M
rn
nmN
j k j rk
m N m
rn
m
j rk
m
r
m
j rk
m
r
X k x n rN e
x n e e
k
Xe
m
k
Xe
m
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?
????
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??
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??
?
?
?
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?
?
???
?
?
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??
??
?
?
21
0
,
0,
M j k r
m
r
me ?? ?
?
?? ?
??
因为
k/m=
k/m≠整数
如果 的周期预先不知道, 可先截取 M进行
DFT,即
( ),
()
0,
M
k
mX
Xk m
?
??
?
??
k/m=
k/m≠整数
~x
~
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )],0 1
MM
MM
x n x n R n
X k D F T x n k M
??
? ? ? ?
再将截取长度扩大一倍, 截取
~
22
22
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )],0 2 1
MM
MM
x n x n R n
X k D F T x n k M
??
? ? ? ?
图 3.4.7 单位圆与非单位圆采样
例如, 要求计算序列在半径为 r的圆上的频谱,
那么 N个等间隔采样点为,k=0,1,2,…,
N-1,zk点的频谱分量为
2jk
Nkz r e
??
21
0
( ) ( ) ( )
k
N jk
n N
k z z
n
X z X z x n r e
?? ?
?
?
?
?? ?
^ ( ) ( ) nx n x n r ??令 则
21 ^^
0
( ) ( ) [ ( ) ],0 1
N j k n
N
k
n
X z x n e DFT x n k N
?? ?
?
? ? ? ? ??
(3.4.12)
3,Chirp Z变换
设序列 x(n)长度为 N,要分析 z平面上 M点频谱采
样值, 分析点为 zk,k=0,1,2,…,M-1。
设 zk=AW-k,0≤k≤M-1
式中 A和 W为复数, 用极坐标形式表示为
0
0
00
0
0
00
j
j
j j kk
k
A A e
W W e
z A e W e
?
?
??
?
?
?
?
?
(3.4.13)
式中 A0和 W0为实数 。 当 k=0时有
000 jz A e ??
将 zk代入 Z变换公式得到
1
0
1
0
( ) ( ) [ ]
( ),0 1
N
kn
k
n
N
n k n
n
X z x n A W
x n A W k M
?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
利用下面的关系式,
2 2 21 [ ( ) ]
2nk n k k n? ? ? ? 得到,
2 2 2
2 2 2
2
2
1
[ ( ) ] / 2
0
1
/ 2 / 2 ( ) / 2
0
/2
/2
( ) ( )
()
( ) ( )
()
N
k n n k k n
n
N
k n n k n
n
nn
n
X z x n A W
W x n A W W
y n x n A W
h n W
?
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?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
令
2 1/2
0
( ) ( ) ( ),0 1
Nk
k
n
X z W y n h k n k M
?
?
? ? ? ? ??
(3.4.14)
图 3.4.8 Chrip-Z变换分析频率点分布图
图 3.4.9 Chirp z变换计算框图
h ( n )
x ( n ) y ( n ) X ( z k
)v ( n ) ＝ V ( k )
2
2
k
W2
2
nn
WA
?
图 3.4.10 Chirp-Z变换中 hL(n)序列的形成
由 (3.4.3)式知, y(n)○ h(n)是 V(n)的周期延拓序列
的主值序列, 延拓周期为 L,即
( ) ( ) ( ) ( )L
q
y n h n V n qL R n
?
? ??
???eg
综上所述, 可归纳出具体计算步骤如下,
(1) 形成 hL(n)序列
2
2( ) / 2
01
()
1
( ) [ ( )] 0 1
n
L
nL
L
W n M
hn
W M n L
H k D F T h n k L
?
??
? ? ? ??
? ?
? ? ???
? ? ? ?
(1)
(2)
2 /2
( ),0 1
()
0,1
nnx n A W n N
yn
N n L
??? ? ? ??
? ?
? ? ???
(3)
2
/2
( ) [ ( ) ] 0 1
( ) [ ( ) ( ) ],0 1
( ) ( ),0 1
k
k
Y k D FT y n n L
V n I D FT Y k H k n L
X z W V k k M
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
g
(4)
(5) 计算 ( ) ( )Y k H kg
(6)
(7)
与标准 DFT(FFT)算法相比较,Chirp-Z变换有以下
特点,
(1) 输入序列长度 N和输出序列长度不需要相等,
且二者均可以素数 。
(2) 分析频率点 zk的起始点 z0及相邻两点的夹角 φ0是
任意的 (即频率分辨率是任意的 ),因此可从任意频率
上开始, 对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析 。
(3) 谱分析路径可以是螺旋形的 。
(4) 当 A=1,M=N,时, zk均匀分布在单
位圆上, 此时 Chirp-Z变换就是序列的 DFT。
2j NWe??
4,用 DFT进行谱分析的误差问题
DFT(实际中用 FFT计算 )可用来对连续信号和数字
信号进行谱分析。
(1) 混叠现象。
(2) 栅栏效应。
(3) 截断效应。 根据傅里叶变换的频域卷积定理有
()
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
j j j
N
jj
N
Y e FT y n X e R e
X e R e d
? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
幅度谱 RN(ω)~ω曲线如图 3.4.11所示 (RN（ ω） 以
2π为周期, 只画低频部分 )。 图中, |ω|<2π/N的部分称
为主瓣, 其余部分称为旁瓣 。
例如, x(n)=cos(ω0n),ω0=π/4 其频谱为
其中
1
()2
( ) [ ( )]
s i n ( / 2)
( ) [ ( )] ( )
s i n ( / 2)
j
N
jjj
N N N
X e F T x n
N
R e F T R n e R e
?
?? ? ??
?
?
?
?
?
? ? ?
( ) [ ( 2 ) ( 2 )]44j
l
X e l l? ??? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ??
图 3.4.11 矩形窗函数的幅度谱
图 3.4.12 加矩形窗前后的频谱
c o s( )4 n?
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
第 3章 离散傅里叶变换 (DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设 x(n)是一个长度为 M的有限长序列, 则定义 x(n)
的 N点离散傅里叶变换为
1
0
( ) [ ( ) ] ( ),k =0,1,&,N- 1 ( 3.1.1)
N
kn
N
n
X k D FT x n x n W
?
?
?? ?
X(k)的离散傅里叶逆变换为
1
0
1( ) [ ( )] ( ),k = 0,1,&,N - 1 (3, 1, 2 )N kn
N
n
X k D F T x n X n WN
? ?
?
?? ?
式中，, N称为 DFT变换区间长度 N≥M,
通常称 (3.1.1)式和 (3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面
证明 IDFT［ X(k)］的唯一性。
把 (3.1.1)式代入 (3.1.2)式有
2j
Ne
?
11
00
11
()
00
1
[ ( )] [ ( ) ]
1
()
NN
m k kn
NN
km
NN
k m n
N
mk
ID F T X k x m W W
N
x m W
N
??
?
??
??
?
??
?
?
??
??
1
1,()
0,
0
1 {N m n M N Mk m n
N m n M N M
k
W
N
?
???
??
?
??
M为整数
M为整数
例 3.1.1 x(n)=R4(n), 求 x(n)的 8点和 16点 DFT
设变换区间 N=8,则
所以, 在变换区间上满足下式,
IDFT［ X(k)］ =x(n),0≤n≤N-1
由此可见, (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的 。
273
8
8
00
3
8
( ) ( )
sin( )
2
,0,1,,7
sin( )
8
j k n
kn
nN
jk
X k x n W e
k
ek
k
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ? ?
??
设变换区间 N=16,则 273
8
8
00
3
8
( ) ( )
sin( )
4
,0,1,,15
sin( )
16
j k n
kn
nN
jk
X k x n W e
k
ek
k
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ? ? ?
??
3.1.2 DFT和 Z变换的关系
设序列 x(n)的长度为 N,其 Z变换和 DFT分别为,
1
0
1
0
( ) [ ( )] ( )
( ) [ ( )] ( ) 0 k N - 1
N
n
n
N
kn
N
n
X z Z T x n x n z
X k D F T x n x n W
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?
?
?
比较上面二式可得关系式
2
2
( ) ( ),0 k N - 1 ( 3,1,3 )
( ) ( ),0 k N - 1 ( 3,1,4 )
jk
Nze
j
k
N
X k X z
X k X z
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
图 3.1.1 X(k)与 X(e jω)的关系
3.1.3 DFT的隐含周期性
前面定义的 DFT变换对中, x(n)与 X(k)均为有限长
序列, 但由于 WknN的周期性, 使 (3.1.1)式和 (3.1.2)式
中的 X(k)隐含周期性, 且周期均为 N。 对任意整数 m,
总有
(),,,k k m NNNW W k m N?? 均为整数 所以 (3.1.1)式中, X(k)满足
1
()
0
1
0
( ) ( )
( ) ( )
N
k m N n
N
n
N
kn
N
n
X k m N x n W
x n W X k
?
?
?
?
?
??
??
?
?
同理可证明 (3.1.2)式中
x(n+mN)=x(n)
实际上, 任何周期为 N的周期序列 都可以看
作长度为 N的有限长序列 x(n)的周期延拓序列, 而 x(n)
则是 的一个周期, 即
~x
~x
~
~
( ) ( ) ( 3.1.5 )
( ) ( ) ( ) ( 3.1.6)
m
N
x n x n mN
x n x n R n
?
? ??
??
??
?
为了以后叙述方便,将 (3.1.5)式用如下形式表示,
~ ( ) ( ) (3, 1, 7 )
Nx n x n?
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
式中 x((n))N表示 x(n)以 N为周期的周期延拓序列,
((n))N表示 n对 N求余, 即如果
n=MN+n1,0≤n1≤N-1,M为整数,
则 ((n))N=n1
例如,~
55,( ) ( ),N x n x n??
则有
~
5
~
5
( 5 ) ( ( 5 ) ) ( 0)
( 6) ( ( 6) ) ( 1 )
x x x
x x x
??
??
所得结果附合图 2.1.2所示的周期延拓规律 。
如果 x(n)的长度为 N,且 (n)=x((n))N,则可写
出 (n)的离散傅里叶级数表示为
~x
~x
1 1 1~~
0 0 0
1~~
0
( ) ( ) (( )) ( )
11
( ) ( ) ( )
N N N
kn kn kn
N N N N
n n n
N
kn kn
NN
n
X k x n W x n W x n W
x n X k W X k W
NN
? ? ?
? ? ?
?
??
?
? ? ?
??
? ? ?
?
(3.1.8)
(3.1.9)
式中
~( ) ( ) ( )
NX k x k R k?
(3.1.10)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果 x1(n)和 x2(n)是两个有限长序列, 长度分别为
N1和 N2。
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中 a,b为常数, 即 N=max［ N1,N2］, 则 y(n)
的 N点 DFT为
Y(k)=DFT［ y(n)］ =aX1(k)+bX2［ k］,0≤k≤N-1(3.2.1)
其中 X1(k)和 X2(k)分别为 x1(n)和 x2(n)的 N点 DFT。
3.2.2 循环移位性质
1,序列的循环移位
设 x(n)为有限长序列, 长度为 N,则 x(n)的循环移
位定义为
y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
图 3.2.1 循环移位过程示意图
2,时域循环移位定理
设 x(n) 是长度为 N的有限长序列, y(n)为 x(n)的循
环移位, 即
y(n)=x((n+m))NRN(n)
则
Y(k)=DFT［ y(n)］
=W-km NX(k) (3.2.3)
其中 X(k)=DFT［ x(n)］,0≤k≤N-1。
证明,
1
0
1
0
( ) [ ( ) ]
( ( ) ) ( )
( ( ) )
N
kn
N N N
n
N
kn
NN
n
Y k DFT y n
x n m R n W
x n m W
?
?
?
?
?
??
??
?
?
令 n+m=n′,则有
1
()
1
( ) ( ( ) )
( ( ) )
Nm
k n m
NN
nm
Nm
kn kn
N N N
nm
Y k x n W
W x n W
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
由于上式中求和项 x((n′))NWkn′N以 N为周期, 所以
对其在任一周期上的求和结果相同 。 将上式的求和区
间改在主值区则得
1
1
0
( ) ( ( ) )
()
()
N
k m k n
N N N
n
N
k m k n
NN
n
km
N
Y k W x n W
W x n W
W X k
?
??
?
?
??
??
?
??
??
?
?
?
3,频域循环移位定理如果
X(k)=DFT［ x(n)］,0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k)
则 y(n)=IDFT［ Y(k)］ =WnlNx(n) (3.2.4)
3.2.3 循环卷积定理
有限长序列 x1(n)和 x2(n),长度分别为 N1和 N2,
N=max［ N1,N2 ］ 。 x1(n)和 x2(n)的 N点 DFT分别为,
X1(k)=DFT［ x1(n)］
X2(k)=DFT［ x2(b)］
如果
X(k)=X1(k)·X2(k)
则
1
1
0
( ) [ ( )] ( )( ( )) ( )
N
NN
m
x n ID F T X k x m n m R n
?
?
? ? ??
(3.2.5)
1
2
0
( ) [ ( )] ( )(( )) ( )
N
NN
m
x n ID F T X k x m n m R n
?
?
? ? ??
一般称 (3.2.5)式所表示的运算为 x1(n)与 x2(n)的循
环卷积 。 下面先证明 (3.2.5)式, 再说明其计算方法 。
证明,直接对 (3.2.5)式两边进行 DFT
11
12
00
11
12
00
( ) [ ( ) ]
[ ( ) ( ( ) ) ( ) ]
( ) ( ( ) )
NN
kn
N N N
nm
NN
kn
NN
nm
X k DFT x n
x m x n m R n W
x m x n m W
??
??
??
??
?
??
??
??
??
令 n-m=n′,则有
11
()
12
0
11
12
0
( ) ( ) (( ))
( ) (( ))
N N m
k n m
NN
m n m
N N m
km kn
N N N
m n m
X k x m x n W
x m W x n W
? ? ?
??
?? ? ?
? ? ?
?
?? ? ?
??
??
??
??
因为上式中 x2((n′))NW kn′N,以 N为周期, 所以对
其在任一个周期上求和的结果不变 。 因此
1
1
0
12
( ) ( )
( ) ( ),0 1
N
kn
N
m
X k x m W
X k X k k N
?
?
?
?
? ? ? ?
?
循环卷积过程中, 要求对 x2(m)循环反转, 循环移
位, 特别是两个 N长的序理的循环卷积长度仍为 N。 显
然与一般的线性卷积不同, 故称之为循环卷积, 记为
12
1
12
0
12
21
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
N
NN
m
x n x n x n
x m x n m R n
X k D F T x n
X k X k
X k X k
?
?
??
??
?
??
??
?
由于
所以
12
21
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
x n I D F T X k x n x n
x n x n
? ? ?
??
即循环卷积亦满足交换律。
作为习题请读者证明频域循环卷积定理,
如果 x(n)=x1(n)x2(n)
则
12
1
12
0
21
1
21
0
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
1
( ) ( ( ) ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
l
N
NN
l
X k D F T x n X k X k
N
X l X k l R k
N
X k X k X k
N
X l X k l R k
N
?
?
?
?
? ? ?
??
??
??
?
?
(3.2.6)
X1(k)=DFT［ x1(n)］
X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N-1
3.2.4 复共轭序列的 DFT
设 x*(n)是 x(n)的复共轭序列, 长度为 N
X(k)=DFT［ x(n)］
则
DFT［ x*(n)］ =X*(N-k),0≤k≤N-1 (3.2.7)
且
X(N)=X(0)
证明,根据 DFT的唯一性, 只要证明 (3.2.7)式右
边等于左边即可 。
1
()
0
1
()
0
1
0
( ) [ ( ) ]
()
()
[ ( ) ]
n
n
N
Nk
N
n
N
Nk
N
n
N
kn
N
n
X N k x n W
x n W
x n W
DFT x n
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
又由 X(k)的隐含周期性有 X(N)=X(0)
用同样的方法可以证明
DFT［ x*(N-n)］ =X*(k) (3.2.8)
图 3.2.2 循环卷积过程示意图
n, m
0 1 2 3 4 5 6 7
x
2
( n )
n
0 7
1
1
x
2
(( － m ))
N
R
N
( m )
0 7
1
x
2
((1 － m ))
N
R
N
( m )
0 7
1
m
m
x
2
((2 － m ))
N
R
N
( m )
0 1 2 3 4 5 6 7
1
m
0 1 2 3 4 5 6 7
n
1
2
3
4
x ( n )
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
3.2.5 DFT的共轭对称性
1,有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称 (或共
轭反对称 )序列, 下面用 xep(n)和 xop(n)分别表示有限长
共轭对称序列和共轭反对称序列, 则二者满足如下定
义式,
xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1 (3.2.9)
xop(n)=-x*op(N-m),0≤n≤N-1 (3.2.10)
当 N为偶数时, 将上式中的 n换成 N/2-n可得到
上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含
义 。 如图 3.2.3所示 。 图中 *表示对应点为序列取共轭
后的值 。
( ) ( ),0 1
2 2 2
( ) ( ),0 1
2 2 2
ep ep
o p o p
N N N
x n x n n
N N N
x n x n n
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样, 任何有限长序列 x(n)都可以表示成其共
轭对称分量和共轭反对称分量之和, 即
x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1 (3.2.11)
将上式中的 n换成 N-n,并取复共轭, 再将 (3.2.9)
式和 (3.2.10)式代入得到
x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)
=xep(n)-xop(n) (3.2.12)
xep(n)=1/2［ x(n)+x*(N-n)］ (3.2.13)
xop(n)=1/2［ x(n)-x*(N-n)］ (3.2.14)
2,DFT的共轭对称性
(1) 如果 x(n)=xr(n)+jxi(n)
其中
xr=Re［ x(n)］ =1/2［ x(n)+x*(n)］
jxi(n)=jIm［ x(n)］ =1/2［ x(n)-x*(n)］
由 (3.2.7)式和 (3.2.13)式可得
DFT［ xr(n)］ =1/2DFT［ x(n)+x*(n)］
=1/2［ X(k)+X*(N-k)］
=Xep(k)
由 (3.2.7)式和 (3.2.14)式得
DFT［ jxi(n)］ =1/2DFT［ x(n)-x*(n)］
=1/2［ X(k)-X*(N-k)］
=Xop(k)
由 DFT的线性性质即可得
X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k) (3.2.16)
其中
Xep(k)=DFT［ xr(n)］,X(k)的共轭对称分量
Xop(k)=DFT［ jxi(n)］,X(k)的共轭反对称分量
(2) 如果 x(n)=xep(n)+rop(n),0≤n≤N-1 (3.2.17)
其中
xep(n)=1/2［ x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共轭对称分量
xop(n)=1/2［ x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共轭反对称分量
由 (3.2.8)式得
DFT［ xep(n)］ =1/2DFT［ x(n)+x*(N-n)］
=1/2［ X(k)+X*(k)］
=Re［ X(k)］
DFT［ xop(n)］ =1/2DFT［ x(n)-x*(N-n)］
=1/2［ X(k)-X*(k)］
=jIm［ X(k)］
因此 X(k)=DFT［ x(n)］ =XR(k)+jXI(k)(3.2.18)
其中 XR(k)=Re［ X(k)］ =DFT［ xep(n)］
jXI(k)=jIm［ X(k)］ =DFT［ xop(n)］
设 x(n)是长度为 N的实序列, 且 X(k)=DFT［ x(n)］, 则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (3.2.19)
(2) 如果 x(n)=x(N-m)
则 X(k)实偶对称, 即
X(k)=X(N-k) (3.2.20)
(3) 如果 x(n)=-x(N-n),则 X(k)纯虚奇对称, 即
X(k)=-X(N-k) (3.2.21)
利用 DFT的共轭对称性, 通过计算一个 N点 DFT,
可以得到两个不同实序列的 N点 DFT,设 x1(n)和 x2(n)
为两个实序列, 构成新序列 x(n)如下,
x(n)=x1(n)+jx2(n)
对 x(n)进行 DFT,得到
X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k)
由 (3.2.16)式, (3.2.13)式和 (3.2.14)式得到
Xep(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(N-k)］
Xop(k)=DFT［ jx2(n)］ =1/2［ X(k)-X*(N-k)］
所以
X1(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(N-k)］
X2(k)=DFT［ x2(n)］ =-j1/2［ X(k)-X*(N-k)］
3.3 频率域采样
设任意序列 x(n)的 Z变换为
( ) ( ) n
n
X z x n z? ?
? ? ?
? ?
且 X(z)收敛域包含单位圆 (即 x(n)存在傅里叶变换 )。
在单位圆上对 X(z)等间隔采样 N点得到
2
2
( ) ( ) ( ),0 k N- 1 ( 3.3,1)
jk N
j k nN
ze n
X k X z x n e?
?? ?
? ? ??
? ? ? ??
xN(n)=IDFT［ X(k)］, 0≤n≤N-1
由 DFT与 DFS的关系可知, X(k)是 xN(n)以 N为周
期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 (k)的
值序列, 即
~x~x
~~
~
~~
1 ~
0
1
0
( ) ( ) [ ( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) [ ( ) ]
1
()
1
()
N
N
NN
N
kn
N
k
N
kn
N
k
X k X k DFS X n
X k X k R k
X n x n I DFS X k
X k W
N
X k W
N
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
将式 (3.3.1)代入上式得
1~
0
1
()
0
1
( ) [ ( ) ]
1
()
N
k m k n
NN
km
N
k m n
N
mk
x n x m W W
N
x m W
N
??
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
??
??
式中
1 1,
()
0
0
1 {N m n r N rk m n
N
k
W
N
? ??
?
?
??
为整数
其它 m
如果序列 x(n)的长度为 M,则只有当频域采样点
数 N≥M时, 才有
xN(n)=IDFT［ X(k)］ =x(n)
即可由频域采样 X(k)恢复原序列 x(n),否则产生时
域混叠现象 。 这就是所谓的频域采 样 +定理 。
1~
0
~
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
k
N N N
r
x n x n rN
x n x n R n x n rN R n
?
?
?
? ? ?
??
? ? ?
?
?
(3.3.2)
(3.3.3)
下面推导用频域采样 X(k)表示 X(z)的内插公式和内
插函数 。 设序列 x(n)长度为 M,在频域 0~2π之间等间
隔采样 N点, N≥M,则有
2
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( ),0,1,2,,1
1
( ) ( ) [ ( ) ] ( )
jk
N
N
n
n
ze
N
kn
N
k
X z x n z
X k X z k N
x n X z X k X k W
N
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
??
?
?
式中
将上式代入 X(z)的表示式中得
11
00
11
00
1
1
0
1
( ) [ ( ) ]
1
()
11
()
1
NN
k n n
N
nk
NN
k n n
N
kn
k N NN
N
k
k N
X z X k W z
N
X k W z
N
Wz
Xk
N W z
??
?
??
??
??
??
???
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
上式中 W-Kn N=1,因此
1
1
0
1
1
0
11
( ) ( )
1
11
()
1
( ) ( ) ( )
NN
k
k N
N
k k
N
N
k
k
z
X z X k
N W z
z
z
N W z
X z X k z
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
式 (3.3.6)称为用 X(k)表示 X(z)的内插公式, φk(z)称
为内插函数 。 当 z=ejω时, (3.3.5)式和 (3.3.6)式就成为
x(n)的傅里叶变换 X(ejω)的内插函数和内插公式, 即
( 2 / )
1
0
11
()
1
( ) ( ) ( )
jN
k j k N
N
j
k
k
e
Ne
X e X k
?
??
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
? ?
进一步化简可得
1
0
1
()
2
2
( ) ( ) ( )
1 si n( / 2 )
()
si n( / 2 )
N
j
k
N
j
X e X k k
N
N
e
N
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
? (3.3.7)
(3.3.8)
3.4 DFT的应用举例
DFT的快速算法 FFT的出现, 使 DFT在数字通信,
语言信号处理, 图像处理, 功率谱估计, 仿真, 系
统分析, 雷达理论, 光学, 医学, 地震以及数值分
析等各个领域都得到广泛应用 。
3.4.1 用 DFT计算线性卷积
如果
1
1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( )
L
LL
m
y n x n x n x m x n m R n
?
?
? ? ??e
11
22
( ) [ ( )]
( ) [ ( )]
X k D F T x n
X k D F T x n
?
?
0≤k≤L-1
则由时域循环卷积定理有
Y(k)=DFT［ y(n)］ =X1(k)X2(k),0≤k≤L-1
由此可见, 循环卷积既可在时域直接计算, 也可
以按照图 3.4.1所示的计算框图, 在频域计算 。 由于
DFT有快速算法 FFT,当 N很大时, 在频域计算的速
度快得多, 因而常用 DFT(FFT)计算循环卷积 。
图 3.4.1 用 DFT计算循环卷积
在实际应用中, 为了分析时域离散线性非移变系
统或者对序列进行滤波处理等, 需要计算两个序列的
线性卷积, 与计算循环卷积一样, 为了提高运算速度,
也希望用 DFT(FFT)计算线性卷积 。 而 DFT只能直接用
来计算循环卷积, 为此导出线卷积和循环卷积之间的
关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件 。
假设 h(n)和 x(n)都是有很长序列, 长度分别是 N和
M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下,
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
l
m
L
c L L
m
y n h n x n h m x n m
y n h n x n h m x n m R n
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?e
(3.4.1)
(3.4.2)
其中,L≥max［ N,M］
1
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
cL
mq
N
L
qm
y n h m x n m q L R n
h m x n m q L R n
??
? ? ??
??
? ?? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
( ( ) ) ( ),L
q
x n x n qL
?
? ??
???
对照式 (3.4.1)可以看出,上式中
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
l
m
c l L
q
h m x n q L M y n q L
y n y n q L R n
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
??
?
? (3.4.3)
图 3.4.2 线性卷积与循环卷积
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
h ( n ) x ( n )
n
L ＝ 6
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
n
L ＝ 8
6 7
h ( n ) x ( n )
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
n
L ＝ 1 0
6 7
h ( n ) x ( n )
（ d ）
（ e ）
( f )
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
n
N ＋ M － 1 ＝ 8
6 7
h ( n ) x ( n )*
n
M ＝ 5
0 1 2 3 4
1
x ( n )
n
N ＝ 4
0 1 2 3
1
h ( n )
（ a ）
（ b ）
（ c ）
8 9
*○
*○
*○
－ 1 8 9 10
图 3.4.3 用 DFT计算线性卷积框图
补
L － N
个
零
点
L
点
D F T
补
L － M
个
零
点
L
点
D F T
L 点
I D F T
y ( n )
h ( n )
x ( n )
设序列 h(n)长度为 N,x(n)为无限长序列 。 将 x(n)
均匀分段, 每段长度取 M,则
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
i
kM
x n x n
x n x n R n k M
?
?
?
? ? ?
?
于是, h(n)与 x(n)的线性卷积可表示为 0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
()
k
k
k
k
k
k
k
y n h n x n
h n x n
h n x n
yn
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
? (3.4.4)
图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图
M
0
N
M M
x
1
( n )x
0
( n ) x
2
( n )
N ＋ M － 1
N ＋ M － 1
y
0
( n )
y
1
( n )
N ＋ M － 1
y
2
( n )
2 M M
3 M ＋ N － 1
0
N － 1
y ( n ) ＝ y
0
( n ) ＋ y
1
( n ) ＋ y
2
( n ) ＋ …
n
n
n
n
n
n
h ( n )
3.4.2 用 DFT对信号进行谱分析
所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换 。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算
机进行计算, 使其应用受到限制, 而 DFT是一种时域
和频域均离散化的变换, 适合数值运算, 成分分析离
散信号和系统的有力工具 。
1,用 DFT对连续信号进行谱分析
工程实际中, 经常遇到的连续信号 xa(t),其频谱
函数 Xa(jΩ)也是连续函数 。
设连续信号 xa(t)持续时间和 Tp,最高频率为 fc,
如图 2.4.5所示 。 xa(t)的傅里叶变换为
对 xa(t)以采样间隔 T≤1/2fc(即 fs=1/T≥2fc)采样得
a(t)= Xa(nT)。 设共采样 N点, 并对 Xa(jf)作零阶近似
(t=nT,dt=T)得
2( ) [ ( )] ( ) jf
a a aX i f F T x t x t e t d t
?? ?
???? ?
1
2
0
( ) ( )
N
j f nT
a
n
X i f T x nT e ?
?
?
?
? ?
显然, Xa(jf)仍是 f的连续周期函数, a(t)和 X (jf)
如图 3.4.5(b)所示 。 对 X(jf)在区间 ［ 0,fs］ 上等间隔采
样 N点, 采样间隔为 F,如图 3.4.5(c)所示 。 参数 fs,
Tp,N和 F满足如下关系式,
1
1
s
p
f
F
N N T
F
T
??
?
由于 NT=Tp,所以
(3.4.5)
(3.4.6)
将 f=kF和式 (3.4.5)代入 X(jf)中可得 Xa(jf)
的采样
21
0
( ) ( )
N j k n
N
a
n
X jk F T x nT e
?? ?
?
? ?
0≤k≤N-1
( ) ( ),( ) ( )aaX k X j k f x n x n T??令 则
21
0
1
0
21
0
( ) ( ) [ ( ) ]
2
( ) ( ) ( )
1
[ ( ) ]
1
[ ( ) ]
N
j k n
N
a
n
N
n
N
e j k n
N
a
n
a
X k T x n e T DFT x n
x n Xa nT F Xa k e j k n
N
FN X k
N
I DFT X k
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
(3.4.8)
理想低能滤波器的单位冲击响应 ha(t)及其频响函
数 Ha(if)如图 3.4.6(a),(b)所示 。 图中
sin( )()
a
tht
t
?
??
图 3.4.6 用 DFT计算理想低通滤波器频响曲线
现在用 DFT来分析 ha(t)的频率响应特性 。 由于 ha(t)
的持续时间为无穷长, 所以要截取一段 Tp,假设 Tp=8
s,采样间隔 T=0.25 s(即采样速度 fs=4 Hz),采样点数
N=Tp/T=32。 此时频域采样间隔 F=1/NT=0.125 Hz。 则
H(k)=T·DFT［ h(n)］,0≤k≤31
其中 h(n)=ha(nT)R32(n)
在已知信号的最高频率 fc(即谱分析范围时 ),为了
避免在 DFT运算中发生频率混叠现象, 要求采样速率 fs
满足下式
fs＞ 2fc (3.4.9)
按照 (3.4.5)式, 谱分辨率 F=fs/N,如果保持采样
点数 N不变, 要提高谱的分辨率 (F减小 ),必须降低采
样速率, 采样速率的降低会引起谱分析范围减少 。 如
维持 fs不变, 为提高分辨率可以增加采样点数 N,因
为 NT=Tp,T=f-1s,只有增加对信号的观察时间 Tp,
才能增加 N。 Tp和 N可以按照下式进行选择,
2
1
c
p
f
N
F
T
F
?
?
(3.4.10)
(3.4.11)
例 3.4.1 对实信号进行谱分析, 要求谱分辨率 F≤10
Hz,信号最高频率 fc=2.5 kHz,试确定最小记录时间
TPmin,最大的采样间隔 Tmax,最少的采样点数 Nmin。
如果 fc不变, 要求谱分辨率增加一倍, 最少的采样点
九和最小的记录时间是多少?
解,
因此 TPmin=0.1 s,因为要求 fs≥2fc,所以
11 0.1
10PTsF? ? ?
3
m ax
m i n
11
0,2 1 0
2 2 2 5 0 0
2 2 2 5 0 0
500
10
c
c
Ts
f
f
N
F
?? ? ? ?
?
?
? ? ?
2,用 DFT对序列进行谱分析
我们已知道单位圆上的 Z变换就是序列傅里叶变换,
即
为使频率分辨率提高一倍, F=5 Hz,要求
m i n
m i n
2 250 0
1000
5
1
0.2
5
p
N
Ts
?
??
??
( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??
对周期为 N的周期序列, 由 (2.3.10)式知道,
其频谱函数为
用 DFT的隐含周期性知道, 截取 的主值序
列 x(n)= (n)RN(n),并进行 N点 DFT得到
~()xn
~~
21~ ~ ~
0
22
( ) [ ( )] ( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
j
k
N j kn
N
n
X e F T x n X k k
NN
X k D F S x n x n e
?
?
??
??
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
??
?
?
其中
~()xn
~()xn
~~( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
NNX k D F T x n D F T x n R n X k R k? ? ?
如果截取长度 M等于 (n)的整数个周期,即
M=mN,m为正整数,则
~x
~
21
~
0
2( 1 )
~
0
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
( ) 0,1,,1
MM
M
kn
M
MM
n
mN
kn
mN
n
x n x n R n
X k DF T x n x n e
x n e k mN
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
g
令 n=n′+rN,r=0,1,…,m-1,n′=0,1,…,N-1,则
2 ( )11
~
0
2211
00
21
0
21
0
( ) ( )
[ ( ) ]
()
()
n rN kmN
j
mN
M
rn
nmN
j k j rk
m N m
rn
m
j rk
m
r
m
j rk
m
r
X k x n rN e
x n e e
k
Xe
m
k
Xe
m
?
??
?
?
????
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
??
?
?
21
0
,
0,
M j k r
m
r
me ?? ?
?
?? ?
??
因为
k/m=
k/m≠整数
如果 的周期预先不知道, 可先截取 M进行
DFT,即
( ),
()
0,
M
k
mX
Xk m
?
??
?
??
k/m=
k/m≠整数
~x
~
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )],0 1
MM
MM
x n x n R n
X k D F T x n k M
??
? ? ? ?
再将截取长度扩大一倍, 截取
~
22
22
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )],0 2 1
MM
MM
x n x n R n
X k D F T x n k M
??
? ? ? ?
图 3.4.7 单位圆与非单位圆采样
例如, 要求计算序列在半径为 r的圆上的频谱,
那么 N个等间隔采样点为,k=0,1,2,…,
N-1,zk点的频谱分量为
2jk
Nkz r e
??
21
0
( ) ( ) ( )
k
N jk
n N
k z z
n
X z X z x n r e
?? ?
?
?
?
?? ?
^ ( ) ( ) nx n x n r ??令 则
21 ^^
0
( ) ( ) [ ( ) ],0 1
N j k n
N
k
n
X z x n e DFT x n k N
?? ?
?
? ? ? ? ??
(3.4.12)
3,Chirp Z变换
设序列 x(n)长度为 N,要分析 z平面上 M点频谱采
样值, 分析点为 zk,k=0,1,2,…,M-1。
设 zk=AW-k,0≤k≤M-1
式中 A和 W为复数, 用极坐标形式表示为
0
0
00
0
0
00
j
j
j j kk
k
A A e
W W e
z A e W e
?
?
??
?
?
?
?
?
(3.4.13)
式中 A0和 W0为实数 。 当 k=0时有
000 jz A e ??
将 zk代入 Z变换公式得到
1
0
1
0
( ) ( ) [ ]
( ),0 1
N
kn
k
n
N
n k n
n
X z x n A W
x n A W k M
?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
利用下面的关系式,
2 2 21 [ ( ) ]
2nk n k k n? ? ? ? 得到,
2 2 2
2 2 2
2
2
1
[ ( ) ] / 2
0
1
/ 2 / 2 ( ) / 2
0
/2
/2
( ) ( )
()
( ) ( )
()
N
k n n k k n
n
N
k n n k n
n
nn
n
X z x n A W
W x n A W W
y n x n A W
h n W
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
令
2 1/2
0
( ) ( ) ( ),0 1
Nk
k
n
X z W y n h k n k M
?
?
? ? ? ? ??
(3.4.14)
图 3.4.8 Chrip-Z变换分析频率点分布图
图 3.4.9 Chirp z变换计算框图
h ( n )
x ( n ) y ( n ) X ( z k
)v ( n ) ＝ V ( k )
2
2
k
W2
2
nn
WA
?
图 3.4.10 Chirp-Z变换中 hL(n)序列的形成
由 (3.4.3)式知, y(n)○ h(n)是 V(n)的周期延拓序列
的主值序列, 延拓周期为 L,即
( ) ( ) ( ) ( )L
q
y n h n V n qL R n
?
? ??
???eg
综上所述, 可归纳出具体计算步骤如下,
(1) 形成 hL(n)序列
2
2( ) / 2
01
()
1
( ) [ ( )] 0 1
n
L
nL
L
W n M
hn
W M n L
H k D F T h n k L
?
??
? ? ? ??
? ?
? ? ???
? ? ? ?
(1)
(2)
2 /2
( ),0 1
()
0,1
nnx n A W n N
yn
N n L
??? ? ? ??
? ?
? ? ???
(3)
2
/2
( ) [ ( ) ] 0 1
( ) [ ( ) ( ) ],0 1
( ) ( ),0 1
k
k
Y k D FT y n n L
V n I D FT Y k H k n L
X z W V k k M
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
g
(4)
(5) 计算 ( ) ( )Y k H kg
(6)
(7)
与标准 DFT(FFT)算法相比较,Chirp-Z变换有以下
特点,
(1) 输入序列长度 N和输出序列长度不需要相等,
且二者均可以素数 。
(2) 分析频率点 zk的起始点 z0及相邻两点的夹角 φ0是
任意的 (即频率分辨率是任意的 ),因此可从任意频率
上开始, 对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析 。
(3) 谱分析路径可以是螺旋形的 。
(4) 当 A=1,M=N,时, zk均匀分布在单
位圆上, 此时 Chirp-Z变换就是序列的 DFT。
2j NWe??
4,用 DFT进行谱分析的误差问题
DFT(实际中用 FFT计算 )可用来对连续信号和数字
信号进行谱分析。
(1) 混叠现象。
(2) 栅栏效应。
(3) 截断效应。 根据傅里叶变换的频域卷积定理有
()
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
j j j
N
jj
N
Y e FT y n X e R e
X e R e d
? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
幅度谱 RN(ω)~ω曲线如图 3.4.11所示 (RN（ ω） 以
2π为周期, 只画低频部分 )。 图中, |ω|<2π/N的部分称
为主瓣, 其余部分称为旁瓣 。
例如, x(n)=cos(ω0n),ω0=π/4 其频谱为
其中
1
()2
( ) [ ( )]
s i n ( / 2)
( ) [ ( )] ( )
s i n ( / 2)
j
N
jjj
N N N
X e F T x n
N
R e F T R n e R e
?
?? ? ??
?
?
?
?
?
? ? ?
( ) [ ( 2 ) ( 2 )]44j
l
X e l l? ??? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ??
图 3.4.11 矩形窗函数的幅度谱
图 3.4.12 加矩形窗前后的频谱
c o s( )4 n?
