第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟
信号傅里叶变换之间的关系
2.5 序列的 Z变换
2.6 利用 Z变换分析信号和系统的频域特性
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
我们知道信号和系统的分析方法有两种, 即时域
分析方法和频率分析方法 。 在模拟领域中, 信号一般
用连续变量时间 t的函数表示, 系统则用微分方程描述 。
为了在频率域进行分析, 用拉普拉斯变换和傅里叶变
换将时间域函数转换到频率域 。 而在时域离散信号和
系统中, 信号用序列表示, 其自变量仅取整数, 非整
数时无定义, 而系统则用差分方程描述 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
频域分析是用 Z变换或傅里叶变换这一数学工具 。 其中
傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换, 它和模拟域中
的傅里叶变换是不一样的, 但都是线性变换, 很多性
质是类似的 。
本章学习序列的傅里叶变换和 Z变换, 以及利用 Z
变换分析系统和信号频域特性 。 本章学习内容是本书
也是数字信号处理这一领域的基础 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
定义
( ) ( )j j n
n
X e x n e??
?
?
? ??
? ?
(2.2.1)
为序列 x(n)的傅里叶变换, 可以用 FT(Fourier
Transform)缩写字母表示 。 FT成立的充分必要条件是
序列 x(n)满足绝对可和的条件, 即满足下式,
()
n
xn
?
? ? ?
???
(2.2.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
为求 FT的反变换, 用 e jωn乘 (2.2.1)式两边, 并在
-π~π内对 ω进行积分, 得到
()
()
( ) [ ( ) ]
()
2 ( )
1
( ) ( )
2
j j m j n j n
n
j m n
n
j m n
j j m
X e e d x n e e d
x n e d
e d n m
x n X e e d
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?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
??
?
???
? ?
?
?
(2.2.3)
(2.2.4)
式中
因此
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式即是 FT的逆变换 。 (2.2.1)和 (2.2.4)式组成一对
傅里叶变换公式 。 (2.2.2)式是 FT存在的充分必要条件,
如果引入冲激函数, 一些绝对不可和的序列, 例如周
期序列, 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,
这部分内容在下面介绍 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.2.1 设 x(n)=RN(n),求 x(n)的 FT 1
0
/ 2 / 2 / 2
/ 2 / 2 / 2
( 1 ) / 2
( ) ( )
1 ( )
1 ( )
s i n ( / 2 )
s i n / 2
N
j j n j n
N
nn
j N j N j N j N
j j N j j
jN
X e R n e e
e e e e
e e e e
N
e
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? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
??
??
? ? ? ?
?
? ? ?
??
??
??
??
??
?
??
解,
(2.2.5)
设 N=4,幅度与相位随 ω变化曲线如图 2.2.1所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1,FT的周期性
在定义 (2.2.1)式中,n取整数,因此下式成立
( 2 )( ) ( ),j j M n
n
X e x n e? ? ?
?
??
? ? ?
? ?
M为整数 (2.2.6)
因此序列的傅里叶变换是频率 ω的周期函数, 周期
是 2π。 这样 X(ejω)可以展成傅里叶级数, 其实 (2.2.1)式
已经是傅里叶级数的形式, x(n)是其系数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.2 cosωn的波形
… …
－ 1 0 1 2 3 4
1
－ 1
… …
0
1
2
3
4
5
6
n n
( a ) ( b )
1
π2?? π)12( ?? M?
?c o s
M
n?c o s n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,线性
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) [ ( )],( ) [ ( )],
[ ( ) ( )] ( ) ( )
jj
jj
X e F T x n X e F T x n
F T a x n b x n a X e b X e
??
??
??
? ? ?
那么 设
式中 a,b为常数
3,时移与频移
设 X(e jω)=FT［ x(n)］, 那么
(2.2.7)
0
00
0
(
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
jn j
j n j
F T x n n e X e
F T e x n X e
? ?
? ? ?
?
?
??
?
(2.2.8)
(2.2.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,FT的对称性
在学习 FT的对称性以前, 先介绍什么是共轭对称
与共轭反对称以及它们的性质 。 设序列 xe(n)满足下式,
xe(n)=x*e(-n) (2.2.10)
则称 xe(n)为共轭对称序列 。 为研究共轭对称序列
具有什么性质, 将 xe(n)用其实部与虚部表示
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将上式两边 n用 -n代替, 并取共轭, 得到
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
对比上面两公式, 左边相等, 因此得到
xer(n)=xer(-n) (2.2.11)
xei(n)=-xei(-n) (2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数,
而虚部是奇函数 。 类似地, 可定义满足下式的称共轭
反对称序列
xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
将 x0(n)表示成实部与虚部如下式,
xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
可以得到
xor(n)=-xor(-n) (2.2.14)
xoi(n)-xoi(-n) (2.2.15)
即共轭反对称序列的实部是奇函数, 而虚部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.2.2 试分析 x(n)=e jωn的对称性
解,
将 x(n)的 n用 -n代替, 再取共轭得到,
x*(-n)= e jωn
因此 x(n)=x*(-n),满足 (2.2.10)式, x(n)是共轭对
称序列, 如展成实部与虚部, 得到
x(n)=cosωn+j sinωn
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶函数,
虚部是奇函数。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之
和表示, 即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16)
式中 xe(n),xo(n)可以分别用原序列 x(n)求出, 将
(2.2.16)式中的 n用 -n代替, 再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17)
利用 (2.2.16)和 (2.2.17)两式, 得到
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
?
?
? ? ?
? ? ?
(2.2.18)
(2.2.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
利用上面两式, 可以分别求出 xe(n)和 xo(n)。
对于频域函数 X(ejω)也有和上面类似的概念和结论,
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2.2.10)
式中 Xe(ejω)与 Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭
反对称部分, 它们满足
Xe(ejω) =X*e(e-jω) (2.2.21)
Xo(ejω) =-X*o(e-jω) (2.2.22)
同样有下面公式满足,
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
j j j
e
j j j
o
X e X e X e
X e X e X e
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
(2.2.23)
(2.2.24)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(a) 将序列 x(n)分成实部 xr(n)与虚部 xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行 FT,得到
X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( )
j j n
rr
n
j j n
o i r
n
X e FT x n x n e
X e FT jx n j x n e
??
??
?
?
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?
?
? ? ?
??
??
?
?
式中
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式中, xr(n)和 xi(n)都是实数序列, 容易
证明 Xe(ejω)满足 (2.2.21)式, 个有共轭对称性, 它的
实部是偶函数, 虚部是奇函数 。 Xo(ejω)满足 (2.2.22)
式, 具有共轭反对称性质, 其实部是奇函数, 虚
部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
最后得到结论,序列分成实部与虚部两部分, 实
部对称的 FT具有共轭对称性, 虚部和 j一起对应的 FT
具有共轭反对称性 。
(b) 将序列分成共轭对称部分 xe(n)和共轭反对称部
分 xo(n),即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25)
将 (2.2.18)式和 (2.2.19)式重定如下,
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
?
?
? ? ?
? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
将上面两式分别进行 FT,得到
FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ =Re［ X(ejω)］ =XR(ejω)
FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω)-X*(ejω)］ =jIm［ X(ejω)］
=jXI(ejω)
因此对 (2.2.25)式进行 FT得到,
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω) (2.2.26)
(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分 xe(n)对应着 FT
的实部 XR(ejω),而序列的共轭反对称部分 xo(n)对应着
FT的虚部 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
因为 h(n) 是实序列, 其 FT只有共轭对称部分
He(ejω),共轭反对称部分为零 。
H(ejω)=He(ejω)
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的 FT的实部是偶函数, 虚部是奇函数,
用公式表示为
HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照 (2.2.18)和 (2.2.19)式得到
h(n)=he(n)+ho(n)
he(n)=1/2［ h(n)+h(-n)］
ho(n)=1/2［ h(n)-h(-n)］
因为 h(n)是实因果序列,按照上面两式 he(n)和 ho(n)
可以用下式表示,
()ehn ?
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
?
?
??
(2.2.27)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
?
?
? ? ?
()ohn ?
(2.2.28)
实因果序列 h(n)分别用 he(n)和 ho(n)表示为
h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29)
h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n) (2.2.30)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,0
1,0
0,0
n
n
n
?
?
?
()un? ? (2.2.31)
例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数 xe(n)
和奇函数 xo(n)。
解,x(n)=xe(n)+xo(n)
按 (2.2.2)式得到
( 0 ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
?
?
??
()exn ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
?
?
?
?
?
按照 (2.2.28)式得到
( 0 ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
?
?
? ? ?
()oxn ?
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
?
?
?
??
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.3 例 2.2.3图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5,时域卷积定理
设 y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(e jω)=X(e jω)·H(e jω) (2.2.32)
证明
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m
jj
nm
j j k j k j
km
j k j k
km
jj
y n x m h n m
Y e F T y n x m h n m e
Y e h k e x m e e
h k e x m e
H e X e
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? ? ?
? ? ? ? ? ?
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??
? ? ? ? ? ?
??
??
?
?
?
?
??
??
??
令 k=n-m
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
该定理说明, 两序列卷积的 FT,服从相乘的关系 。
对于线性时不变系统输出的 FT等于输入信号的 FT乘以
单位脉冲响应 FT。 因此求系统的输出信号, 可以在时
域用卷积公式 (1.3.7)计算, 也可以在频域按照 (2.2.32)
式, 求出输出的 FT,再作逆 FT求出输出信号 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6,频域卷积定理
设 y(n)=x(n)·h(n) (2.2.33)
()11
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
22
( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( ) ]
2
j j j j j
j j n
n
j j n j n
n
Y e X e H e X e H e d
Y e x n h n e
x n H e e d e
?
? ? ? ? ? ?
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?
?
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?
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?
?
?
?
? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()
()
1
( ) ( ) [ ( ) ]
2
1
()
2
1
( ) * ( )
2
j j j n
n
jj
jj
Y e H e x n e d
H e Xe d
H e H e
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
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?
?
?
??
?
? ??
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?
?
?
?
??
?
7,帕斯维尔 (Parseval)定理
2
2
2
**
1
( ) (
2
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) )]
2
j
n
j j n
n n n
x n x e d
x n x n x n x n X e e d
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ?
? ? ? ?
(2.2.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
帕斯维尔定理告诉我们, 信号时域的总能量等于
频域的总能量 。 要说明一下, 这里频域总能量是指
|X(e jω)|2在一个周期中的积分再乘以 1/(2π)。 最后, 表
2.2.1综合了 FT的性质, 这些性质在分析问题和实际应
用中是很重要的 。
2
*
1
( ) ( )
2
11
( ) ( ) ( )
22
j j n
n
j j j
X e x n e d
X e X e d X e d
?
??
?
??
? ? ?
?
?
??
??
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3 周期序列的离散傅里叶级数
及傅里叶变换表示式
2.3.1周期序列的离散傅里叶级数
设 是以 N为周期的周期序列, 由于是周期
性的, 可以展成傅里叶级数
~()xn
2~
() j k nNk
k
x n a e
??
? ??
? ? (2.3.1)
式中 ak是傅里叶级数的系数 。 为求系数 ak,将上
式两边乘以, 并对 n在一个周期 N中求和 2
j mnNe ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.2)式的证明, 作为练习自己证明 。 因此
上式中, k和 n均取整数, 当 k或者 n变化时,
是周期为 N的周期函数, 可表示成
2 2 21 1 1~
()
0 0 0
21
()
0
( ) [
N N N
j m n j m n j k m n
N N N
kk
n n k k n
N
j k m n
N
n
x n e a e a e
e
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?? ?
?
??
?
??
?
? ? ? ? ?
?,
0,
N k m
km
?
?
(2.3.2)
21 ~
0
1 ()N j k mN
k
n
a x n eN
?? ?
?
? ?
-∞<k<∞ (2.3.3)
~ ()
kx k N a?
22()
,j k N n j k mNNe e l
??? ? ?
?
取整数
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式中 也是一个以 N为周期的周期序列, 称
为 的离散傅里叶级数, 用 DFS(Discrete Fourier
Series)表示 。 如对 (2.3.4)式两端乘以, 并对 k在
一个周期中求和, 得到
~()xk
~()xn
2j kl
Ne
?
2 2 2 21 1 1 1 1~ ~ ~ ()
0 0 0 0 0
( ) [ ( ) ] ( )
N N N N Nj k l j k n j k l j l k k
N N N N
k k k k k
X k e X n e e X n e
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
同样按照 (2.3.2)式, 得到
21~~
0
1( ) ( )N j k nN
k
x n x k eN
??
?
? ?
(2.3.5)
将 (2.3.4)式和 (2.3.5)式重写如下,
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.6)式和 (2.3.7)式称为一对 DFS。 (2.3.5)式表明将周
期序列分解成 N次谐波, 第 k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k,
k=0,1,2 … N-1,幅度为 。 其波分量的频率是
2π/N,幅度是 。 一个周期序列可以用其
DFS表示它的频谱分布规律 。
21~ ~ ~
0
21~ ~ ~
0
( ) [ ( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
N
j k n
N
n
N j k n
N
n
X k D F S x n x n e
x k I D F S x k x k e
N
?
?
?
?
?
? ?
?
??
??
?
?
(2.3.6)
(2.3.7)
~(1 / ) ( )N X k
~(1 / ) (1)NX
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.3.1设 x(n)=R4(n),将 x(n)以 N=8为周期, 进
行周期延拓, 得到如图 2.3.1(a)所示的周期序
列, 周期为 8,求 的 DFS。
解,按照 (2.3.4)式
~()xn ~()xn
273
~~
8 4
00
4
4
4
4
2 2 2
4 8 8 8
( ) ( )
1
1
1 ( )
1 ()
j k n kn
nn
jk
jk
j k j k j k
jk
j k j k j k j k
X k X n e e
e
e
e e e e
e e e e
? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
??
??
?
??
??
? ? ?
??
?
?
?
??
??
? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
其幅度特性 如图 2.3.1(b)所示 。
3
8
sin
2
sin
8
jk
k
e
k
?
?
?
?
?
~ ()Xk
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.1 例 2.3.1图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式
在模拟系统中,, 其傅里叶变换是在
Ω=Ωo处的单位冲激函数, 强度是 2π,即
0() jtax t e ??
0
0
( ) [ ( ) ]
2 ( )
jt jt
aaX j F T x t e e d t
??
? ? ??
??
? ? ?
? ? ? ?
?
(2.3.8)
对于时域离散系统中, x(n)=e jωon,2π/ωo为
有理数, 暂时假定其 FT的形式与 (2.3.8)式一样, 也是
在 ω=ω0处的单位冲激函数, 强度为 2π,但由于 n取
整数, 下式成立
00 ( 2 ),j n j r ne e r? ? ???
取整数
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式表示复指数序列的 FT是在 ω0± 2πr处的单位冲
激函数, 强度为 2π如科 2.3.2所示 。 但这种假定如果成
立, 要求按照 (2.2.4)式的逆变换必须存在, 且唯一等
于, 下面进行验证, 按照 (2.2.4)式
因此 e jω0n的 FT为
0
0( ) [ ] 2 ( 2 )
jnj
r
X e F T e r?? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ??
(2.3.9)
0jne ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.2 的 FT 0jne?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
观察图 2.3.2,在 ± π区间, 只包括一个单位冲激
函数, 等式右边为, 因此得到下式,
证明了 (2.3.9)式确定是 ejω0n的 FT,前面的暂时假定
是正确的 。
对于一般周期序列, 按 (2.3.4)式展开 DFS,
第 k次谐波为, 类似于复指数序列的 FT,
其 FT为, 因此 的 FT
如下式
0jne ?
001 ( ) [ ( ) ]
2
j n jj j ne X e e d I FT X e??? ??
? ?? ????
~()xn
2~( ( ) / ) j knNX x N e ?
~ 2[ 2 ( ) / ] ( 2 )
r
X k N k rN?? ? ? ??
??
??? ~()xn
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中 k=0,1,2 … N-1,如果让 k在 ± ∞之间变化, 上
式可简化成
~1
~
0
2 ( ) 2( ) [ ( )] ( 2 )Nj
kr
xkX e F T x n k r
NN
? ?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
~
21~~
0
22
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j
k
N
j k n
N
n
X e x k k
NN
x k x n e
?
?
??
??
?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
? (2.3.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( )
2
1
( 1 ) ( 1 )
2
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
1
()
1
j
j
x n u n
x n u n
x n x n u n u n n
Xe
e
?
?
?
?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
对 (a)式进行 FT,得到
( ) ( ) ( 2 )
1
( ) ( 2 )
1
jj
k
j
j
k
X e U e k
U e k
e
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.3.2求例 2.3.1中周期序列的 FT。
解,将例 2.3.1中得到的 代入 (2.3.10)式中
得到
~ ()Xk
3
8 sin( / 2 )( ) ( )
4 sin( / 8 ) 4
jkj
k
kX e e k
k
?? ? ? ???
?
? ?
? ??
???
其幅频特性如图 2.3.3所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.3 例 2.3.2图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
对比图 2.3.1,对于同一个周期信号, 其 DFS和 FT
分别取模的形状是一样的, 不同的是 FT用单位冲激函
数表示 (用带箭头的竖线表示 )。 因此周期序列的频谱
分布用其 DFS或者 FT表示都可以, 但画图时应注意单
位冲激函数的画法 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.3.3令, 2π/ω0为有理数,
求其 FT。
解,将 用欧拉公式展开
~
0( ) c o sx n n??
~()xn
00
~
0
00
00
1
( ) [ ]
2
( ) [c o s ]
1
2 [ ( 2 ) ( 2 )]
2
[( 2 ) ( 2 )]
j n j n
j
r
r
x n e e
X e F T n
rr
rr
??
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
g
(2.3.11)
按照 (2.3.9)式, 其 FT推导如下,
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式表明 cosω0n的 FT,是在 ω=± ω0处的单位冲激
函数, 强度为 π,且以 2π为周期进行延拓, 如图 2.3.4
所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.4 cosω0n的 FT
0 ω
0
－ ω
0
X (e
j ω
)
ω
π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟
信号傅里叶变换之间的关系
我们知道模拟信号 xa(t)的一对傅里叶变换式用下面
公式描述
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jt
aa
jt
aa
X j x t e d t
x t X j e d t
?
?
??
??
?
?
??
??
??
?
?
(2.4.1)
(2.4.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
这里 t与 Ω的域均在 ± ∞之间 。 从模拟信号幅度取
值考虑, 在第一章中遇到两种信号, 即连续信号和采
样信号, 它们之间的关系用 (1.5.2)式描述, 重写如下,
采样信号 和连续信号 xa(t),它们分虽的傅
里叶变换之间的关系, 由采样定理 (1.5.5)式描述, 重
写如下,
~
( ) ( ) ( )a a
n
x t x n T t n T?
?
? ? ?
???
~ ()
axt
~ 1
( ) ( )a as
n
x j x j j kT
?
? ? ?
? ? ? ? ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
下面我们研究如果时域离散信号 x(n),或称序列
x(n),是由对模拟信号 xa(t)采样产生的, 即在数值上
有有下面关系式成立,
x(n)=xa(nT) (2.4.3)
注意上面式中 n取整数, 否则无定义 。 x(n)的一对
傅里叶变换用 (2.2.1)式和 (2.2.4)式表示, 重写如下,
( ) ( )
1
( ) ( )
2
j j n
n
j j n
X e x n e
x n X e e d
??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(e jω)与 Xa(jΩ)之间有什么关系, 数字频率 ω与模
拟频率 Ω(f)之间有什么关系, 这在模拟信号数字处理中,
是很重要的问题 。 为分析上面提出的问题, 我们从
(2.4.3)式开始研究 。 将 t=nT代入 (2.4.2)式中, 得到
1( ) ( )
2
j nT
aax nT X j e d?
? ?
??
? ? ??
(2.4.4)
( 2 1 ) /
( 2 1 ) /
1( ) ( )
2
rT j n T
aa rT
r
x n T X j e d?
??
? ?
?
?? ? ?
? ? ?? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
令, 代入上式后, 再将 Ω′用 Ω
代替, 得到
2 r
T
??? ? ? ? /
2
/
/
/
12
( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
nT
j n T j r n
aa
T
r
nT
j n T
aa
T
r
x n T X j r e e d
T
x n T X j r e d
T
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
??
式中, 因为 r和 n均取整数, e-j2πrn=1,交换求和
号和积分号得到
(2.4.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
在第一章中曾得到结论, 如果序列是由一模拟信
号取样产生, 则序列的数字频率 ω与模拟信号的频率
Ω(f)成线性性关系, 如 (1.2.10)式所示, 重写如下,
ω=ΩT
式中 T是采样周期 T=1/fs,将 (1.2.10)式代入 (2.4.5)
式得到
1 1 2
( ) ( )
2
12
( ) ( )
jn
aa
r
j
a
r
x nT X j j r e d
T T T
X e X j j r
T T T
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
? ??
?
? ??
??
??
??
?
现在对比 (2.4.1)式和 (2.4.6)式, 得到
(2.4.6)
(2.4.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面 (2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换 X(ejω)和模
拟信号 xa(t)的傅里叶变换 Xa(jΩ)之间的关系式, 我们将
(2.4.7)式与 (1.5.5)式对比, 得到结论,序列的傅里叶
变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系, 与采样信
号, 模拟信号分别的 FT之间的关系一样, 都是 Xa(jΩ)
以周期 Ωs=2π/T进行周期延拓, 频率轴上取值的对应关
系用 (1.2.10)式表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
在一些文献中经常使用归一化频率 f′=f/fs或 Ω′=Ω/Ωs,
Ω′=ω/2π,因为 f′,Ω′和 ω′,都是无量纲, 刻度是一
样的, 将 f,Ω,ω,f′,Ω′,ω′的定标值对应关系用
图 2.4.1表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
－ 0, 5－ 1 0 0, 5 1
－ 0, 5－ 1 0 0, 5 1
－ 0, 5－ 1 0 0, 5 1
－ f
s
2
s
f?
f
s f
f ′
2
s
??
2
s
f
2
s
?
s
?
s
?? ?
? ?
?
? ?
0
0
0 π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.4.1设 xa(t)=cos(2πf0t),f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对 xa(t)进行采样, 得到采相信号 和时
域离散信号 x(n),求 xa(t)和 的傅里叶变换以及
x(n)的 FT。
解,
~ ()
axt
~ ()
axt
00
0
22
00
( ) [ ( ) ]
c o s 2
1
[]
2
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
aa
jt
j f t j f t jt
X j FT x t
f t e dt
e e e dt
ff
??
?
? ? ? ? ?
?
??
??
?
? ??
??
??
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
(2.4.8)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
Xa(jΩ)是 Ω=± 2πf0处的单位冲激函数, 强度为 π,
如图 2.4.2(a)所示 。 以 fs=200 Hz对 xa(t)进行采样得到采
样信号, 按照 (1.5.2)式, 与 xa(t)的关系式为
~ ()
axt
~ ()
axt
~
0( ) co s ( 2 ) ( )a
n
x t f n T t n T??
?
? ? ?
???
的傅里叶变换用 (1.5.5)式确定, 即以 Ωs=2πfs
为周期, 将 Xa(jΩ)周期延拓形成, 得到,
~ ()
axt
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
( ) [ ( ) ]
1
()
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
a a
as
k
ss
k
X j FT x t
X j jk
T
k f k f
T
?
? ? ? ?
??
?
? ??
?
? ??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? (2.4.9)
如图 2.4.2(b)所示。 将采样信号转换成序
列 x(n),用下式表示,
x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)
()aXj? ?
按照 (2.4.7)式, 得到 x(n)的 FT,实际上只要将
Ω=ω/T=ωfs代入 中即可 。
()aXj? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
将 fs=200 Hz,f0=50 Hz,代入上式, 求括弧中公
式为零时的 ω值, ω=2πk± π/2,因此 X(ejω)用下式表示,
00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]
j
s s s s
k
X e f k f f f k f fT? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
( ) [ ( 2 ) ( 2 )]22j
k
X e k kT? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ??
(2.4.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.4.2 例 2.4.1图
X
a
(j Ω )
0
Ω
0－ Ω
s
2
s
?
?
2
s
?
Ω
s
…
…
T
?
Ω
X
a
(j Ω )
＾
0
… …
ω
2
?
?
2
?
（ a ）
（ b ）
（ c ）
X (e
j ω
)
π
0
π2 f
0
π2 f
0
π2 f?
0
π2 f?
π
ππ? π2π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的 Z变换
2.5.1 Z变换的定义
序列 x(n)的 Z变换定义为
( ) ( ) n
n
X z x n z? ?
? ? ?
? ?
(2.5.1)
式中 z是一个复变量, 它所在的复平面称为 z平面 。
注意在定义中, 对 n求和是在 ± ∞之间求和, 可以称为
双边 Z变换 。 还有一种称为单边 Z变换的定义, 如下式
0
( ) ( ) n
n
X z x n z? ?
?
? ? (2.5.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
使 (2.5.3)式成立, Z变量取值的域称为收敛域 。 一
般收敛域用环状域表示
这种单边 Z变换的求和限是从零到无限大, 因此
对于因果序列, 用两种 Z变换定义计算出的结果是一
样的 。 本书中如不另外说明, 均用双边 Z变换对信号
进行分析和变换 。
(2.5.1)式 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛,
要求级数绝对可和, 即
()
n
n
xx
x n z
R z R
?
?
? ??
??
??
??
?
(2.5.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.5.1 Z变换的收敛域
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
常用的 Z变换是一个有理函数, 用两个多项式之
比表示
分子多项式 P(z)的根是 X(z)的零点, 分母多项式
Q(z)的根是 X(z)的极点 。 在极点处 Z变换不存在, 因
此收敛域中没有极点, 收敛域总是用极点限定其边界 。
对比序列的傅里叶变换定义 (2.2.1)式, 很容易得
到 FT和 ZT之间的关系, 用下式表示,
()()
()
PzXz
Qz?
( ) ( ) jj zeX e X z ?? ?? (2.5.4)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中 z=e jω表示在 z平面上 r=1的圆, 该圆称为单位
圆 。 (2.5.4)式表明单位圆上的 Z变换就是序列的傅里叶
变换 。 如果已知序列的 Z变换, 可用 (2.5.4)式, 很方
便的求出序列的 FT,条件是收敛域中包含单位圆 。
例 2.5.1 x(n)=u(n),求其 Z变换 。
解,
X(z)存在的条件是 |z-1|<1,因此收敛域为 |z|>1,
0
( ) ( ) nn
nn
X z u n z z
??
??
? ? ? ?
????
1
1()
1Xz z ?? ?
|z|>1
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
由 x(z)表达式表明, 极点是 z=1,单位圆上的 Z变
换不存在, 或者说收敛域不包含单位圆 。 因此其傅里
叶变换不存在, 更不能用 (2.5.4)式求 FT。 该序列的 FT
不存在, 但如果引进奇异函数 δ(ω),其傅里叶变换可
以表示出来 (见表 2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅
里叶变换不存在, 在一定收敛域内 Z变换是存在的 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
序列的特性决定其 Z变换收敛域, 了解序列特性与
收敛的一些一般关系, 对使用 Z变换是很有帮助的 。
1,有限长序列
如序列 x(n)满足下式,
x(n) n1≤n≤n2
x(n)=
0 其它
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
即序列 x(n)从 n1到 n2序列值不全为零, 此范围之
外序列值为零, 这样的序列称为有限长序列 。 其 Z
变换为
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z ?
?
? ?
设 x(n)为有界序列, 由于是有限项求和, 除 0与 ∞
丙点是否收敛与 n1,n2取值情况有关外, 整个 z平面均
收敛 。 如果 n1<0,则收敛域不包括 ∞点； 如 n2>0,则
收敛域不包括 z=0点； 如果是因果序列, 收敛域包括
z=∞点 。 具体有限长序列的收敛域表示如下,
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n1<0,n2≤0时, 0≤z＜ ∞
n1<0,n2>0时, 0<z＜ ∞
n1≥0,n2>0时, 0<z≤∞
例 2.5.2求 x(n)=RN(n)的 Z变换及其收敛域
解,
1
1
0
1( ) ( )
1
NN
nn
N
nn
zX z R n z z
z
???
??
?
? ?? ?
?? ? ?
???
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
这是一个因果的有限长序列, 因此收敛域为
0<z≤∞。 但由结果的分母可以看出似乎 z=1是 X(z)的极
点, 但同时分子多项式在 z=1时也有一个零点, 极零
点对消, X(z)在单位圆上仍存在, 求 RN(n)的 FT,可
将 z=ejω代入 X(z)得到, 其结果和例题 2.2.1中的结果
(2.2.5)公式是相同的 。
2,右序列
右序列是在 n≥n1时, 序列值不全为零, 而其它
n<n1,序列值全为零 。
0
( ) ( ) ( )n n n n n
n n n
X z a u n z a z x n z? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一项为有限长序列, 设 n1≤-1,其收敛域为 0≤|z|
＜ ∞。 第二项为因果序列, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞,
Rx-是第二项最小的收敛半径 。 将两收敛域相与, 其
收敛域为 Rx- <|z|<∞。 如果是因果序列, 收敛域定为
Rx- <|z|≤∞。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.3求 x(n)=anu(n)的 Z变换及其收敛域
解,
0
1( ) ( )
1
n n n n
n
nn
X z a u n z a z az
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ???
在收敛域中必须满足 |az-1|<1,因此收敛域为 |z|>|a|。
3,左序列
左序列是在 n≤n2时, 序列值不全为零, 而在 n>n1,
序列值全为零的序列 。 左序列的 Z变换表示为
2
( ) ( )
n
n
n
X z x n z ?
? ??
? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
如果 n2<0,z=0点收敛, z=∞点不收敛, 其收敛域是在
某一圆 (半径为 Rx+)的圆内, 收敛域为 0≤|z|<Rx+。 如果
n2>0,则收敛域为 0<|z|< Rx+ 。
例 2.5.4求 x(n)=-anu(-n-1)的 Z变换及其收敛域 。
1
1
( ) ( 1 )n n n n
nn
nn
n
X z a u n z a z
az
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
??
??
?
X(z)存在要求 |a-1 z|<1,即收敛域为 |z|<|a|
1
11
1( ),
11
azX z z a
a z a z
?
??
?? ? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列
之和, 其 Z变换表示为
1
12
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),0
( ) ( ),
n
n
n
x
n
n
x
nn
X z x n z X z X z
X z x n z Z R
X z x n z R Z
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(z)的收敛域是 X1(z)和 X2(z)收敛域的公共收敛区
域 。 如果 Rx+>Rx-,其收敛域为 Rx- <|z|< Rx+, 这是一
个环状域, 如果 Rx+ < Rx-, 两个收敛域没有公共区域,
X(z)没有收敛域, 因此 X(z)不存在 。
例 2.5.5 x(n)=a|n|,a为实数, 求 x(n)的 Z变换及其
收敛域 。
解,1
0
00
()
n n
n
n n n n
nn
n n n n
nn
X z a z
a z z z
a z z z
?
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
??
?
??
?
??
??
?
??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一部分收敛域为 |az|<1,得 |z|<|a|-1,第二部分收
敛域为 |az-1|<1,得到 |z|>|a|。 如果 |a|<1,两部分的公
共收敛域为 |a|<|z|<|a|-1,其 Z变换如下式,
1
2
1
1
()
11
1
,
( 1 ) ( 1 )
az
Xz
az az
a
az az
?
?
??
??
?
?
??
|a|<|z|<|a|-1
如果 |a|≥1,则无公共收敛域, 因此 X(z)不存在 。
当 0<a<1时, x(n)的波形及 X(z)的收敛域如图 2.5.2所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.5.2 例 2.5.5图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.3 逆 Z变换
已知序列的 Z变换及其收敛域, 求序列称为逆 Z变
换 。 序列的 Z变换及共逆 Z变换表示如下,
1
( ) ( ),
1
( ) ( ),(,)
2
n
xx
n
n
xx
c
X z x n z R z R
x n X z z dz c R R
j?
?
?
??
? ??
?
??
? ? ?
??
?
?? (2.5.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,用留数定理求逆 Z变换
如果 X(z)zn-1在围线 c内的极点用 zk表示, 根据留数
定理
111 ( ) R e [ ( ),]
2
nn
kc
k
X z z d z s X z z zj? ??? ???
(2.5.6)
式中 表示被积函数 X(z)zn-1在
极点 z=zk的留数, 逆 Z变换则是围线 c内所有的极点留
数之和 。
如果 zk是单阶极点, 则根据留数定理
11R e [ ( ),] ( ) ( )
k
nnk k z zs X z z z z z X z z?? ?? ? ?
(2.5.7)
1R e [ ( ),]n ks X z z z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
由 (2.5.8)式表明, 对于 N阶极点, 需要求 N-1次导
数, 这是比较麻烦的 。 如果 c内有多阶极点, 而 c外没
有多阶极点, 可以根据留数辅助定理改求 c外的所有极
点留数之和, 使问题简单化 。
设被积函数用 F(z)表示, 即
如果 zk是 N阶极点, 则根据留数定理
1
11
1
1R e [ ( ),] [ ( ) ( ) ]
( 1 ) ! k
N
n N n
k k z zN
ds X z z z z z X z z
N dz
?
??
?????
(2.5.8)
1( ) ( ) nF z X z z ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
F(z)在 z平面上有 N个极点, 在收敛域内的封闭曲
线 c将 z平面 上极点分成两部分,一部分是 c内极点,
设有 N1个极点, 用 z1k表示； 另一部分是 c外极点, 有
N2个, N=N1+N2,用 z2k表示 。 根据留数辅助定理下
式成立,
12 12
11
R e [ ( ),] R e [ ( ),]
NN
kk
kk
s F z z s F z z
??
????
(2.5.9)
注意 (2.5.9)式成立的条件是 F(z)的分母阶次比分子
阶次必须高二阶以上 。 设 X(z)=P(z)/Q(z),P(z)与 Q(z)
分别是 M与 N阶多项式 。 (2.5.9)式成立的条件是
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N-M-n+1≥2
因此要求 N-M-n≥1 (2.5.10)
如果 (2.5.10)式满足,c圆内极点中有多阶极点, 而 c
圆外极点没有多阶的, 可以按照 (2.5.9)式, 改求 c圆外
极点留数之和, 最后加一个负号 。
例 2.5.6 已知 X(z)=(1-az-1)-1,|z|>a,求其逆 Z变换
x(n)。
1 1 1
1
1
1
( ) ( 1 )
2
1
()
1
n
c
n
n
x n a z z d z
j
F z z
az
z
za
?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
为了用留数定理求解, 先找出 F(z)的极点, 极点
有,z=a; 当 n<0时 z=0共二个极点, 其中 z=0极点和 n的
取值有关 。 n≥0时, n=0不是极点 。 n<0时, z=0是一
个 n阶极点 。 因此分成 n≥0和 n<0两种情况求 x(n)。
n≥0 时,
( ) R e [ ( ),]
()
n
za
n
x n s F z a
z
za
za
a
?
?
??
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时, 增加 z=0的 n阶极点, 不易求留数, 采用
留数辅助定理求解, 检查 (2.5.10)式是否满足, 此处
n<0,只要 N-N≥0,(2.5.10)式就满足 。
图 2.5.4 例 2.5.6中 n<0时 F(z)极点分布
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.7已知, 求其逆
变换 x(n)。
解,该例题没有给定收敛域, 为求出唯一的原序
列 x(n),必须先确定收敛域 。 分析 X(z),得到其极点
分布如图 2.5.5所示 。 图中有二个极点 z=a和 z=a-1,这
样收敛域有三种选法, 它们是
(1) |z|>|a-1|,对应的 x(n)是右序列；
(2) |a|<|z|<|z-1|,对应的 x(n)是双边序列；
(3) |z|<|a|,对应的 x(n)是左序列 。
2
1
1( ),1
( 1 ) ( 1 )
aX z a
az az ?
???
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.5.5 例 2.5.7 X(z)极点分布图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
下面按照收敛域的不同求其 x(n)。
(1) 收敛域 |z|>|a-1|
2
1
1
2
1
1
()
( 1 ) ( 1 )
1
( ) ( )
n
n
a
F z z
az az
a
z
a z a z a
?
?
?
?
?
??
?
?
? ? ?
种收敛域是因果的右序列, 无须求 n<0时的 x(n)。
当 n≥0时, 围线积分 c内有二个极点 z=a和 z=a-1,因此
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
最后表示成,x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域 |z|<|a|
这种情况原序列是左序列, 无须计算 n≥0情况,
当 n≥0时, 围线积分 c内没有极点, 因此 x(n)=0。 n<0
时, c内只有一个极点 z=0,且是 n阶极点, 改求 c外极
点留数之和
1
1
22
1
1
( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( ) ( 1 ) ( ) ( )
nn
za za
nn
x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
z a az a z a z a
aa
?
?
?
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? ? ? ? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
最后将 x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(3) 收敛域 |a|<|z|<|a-1|
这种情况对应的 x(n)是双边序列。 根据被积函数
F(z),按 n≥0和 n<0两情况分别求 x(n)。
n≥0时, c内极点 z=a
x(n)=Res［ F(z),a］ =an
1
1
22
1
11
0,( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
nn
za za
n n n n
n x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
a z a z a a z a z a
a a a a
?
?
?
??? ?
??
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??
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? ? ? ? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时, c内极点有二个, 其中 z=0是 n阶极点,
改求 c外极点留数, c外极点只有 z=a-1,因此
x(n)=-Res［ F(z),a-1］ =a-n
最后将 x(n)表示为
an n≥0
x(n)= x(n)=a|n|
a-n n<0
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,幂级数法 (长除法 )
按照 Z变换定义 (2.5.1)式, 可以用长除法将 X(z)写
成幂级数形式, 级数的系数就是序列 x(n)。 要说明的
是, 如果 x(n)是右序列, 级数应是负幂级数； 如 x(n)
是左序列, 级数则是正幂级数 。
例 2.5.8已知 用长除法求其逆 Z
变换 x(n)。
解由收敛域判定这是一个右序列, 用长除法将其
展成负幂级数
1
1( ),
1X z z aaz ????
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1 2 2
1
1
1 2 2
22
1
1
1
az a z
az
az
az a z
az
??
?
?
??
?
? ? ? ???
?
?
???
1-az-1
()Xz
1 2 2 3 3
0
( ) 1
( ) ( )
nn
n
n
X z a z a z a z a z
x n a u n
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析 1 2 2 3 3
1
1
1 2 2
22
1
1
a z a z a z
az
az
a z a z
az
? ? ?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
例 2.5.9 已知求 其逆 Z变
换 x(n)。
解：由收敛域判定, x(n)是左序列, 用长除法将
X(z)展成正幂级数
1
1( ),
1X z z aaz ????
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,部分分式展开法
对于大多数单阶极点的序列, 常常用这种部分分
式展开法求逆 Z变换 。
设 x(n)的 Z变换 X(z)是有理函数, 分母多项式是 N阶,
分子多项式是 M阶, 将 X(z)展成一些简单的常用的部分
分式之和, 通过查表 (参考表 2.5.1)求得各部分的逆变换,
再相加即得到原序列 x(n)。 设 X(z)只有 N个一阶极点,
可展成正式
1
1 2 2( ) [ ]
( ) ( 1 )
nn
n
n
X z a z a z a z
x n a u n
?
? ? ?
? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
观察上式, X(z)/z在 z=0的极点留数就是系数 A0，
在 z=zm的极点留数就是系数 Am。
0
1
0
1
()
()
N
m
m m
N
m
m m
Az
X z A
zz
X z A A
z z z z
?
?
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?
??
?
?
?
(2.5.11)
(2.5.12)
0
()
R e [,0 ]
()
R e [,]mm
Xz
As
z
Xz
A s z
z
?
?
(2.5.13)
(2.5.14)
求出 Am系数 (m=0,1,2,…N)后, 很容易示求得 x(n)序列 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.10已知,求逆 Z变换。 1
12
5( ),2 3
16
zX z z
zz
?
??? ? ???
解
2
12
1 2 2
12
23
11
( ) 5 5 5
1 6 6 ( 2 )( 3 ) 2 3
( ) ( )
R e [,2 ] ( 2 ) 1
( ) ( )
R e [,3 ] ( 3 ) 1
( ) 1 1
( 2 ) ( 3 )
11
()
1 2 1 3
z
z
X z z A A
z z z z z z z z z
X z X z
A s z
zz
X z X z
A s z
zz
Xz
z z z
Xz
zz
?
??
?
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??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
因为收敛域为 2<|z|<3,第一部分极点是 z=2,因此
收敛域为 |z|>2。 第二部分极点 z=-3,收敛域应取 |z|<3。
查表 2.5.1得到
x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)
一些常见的序列的 Z变换可参考表 2.5.1。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
表 2.5.1 常见序列 Z变换
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
Z变换有许多重要的性质和定理, 下面进行介绍 。
1.线性
设 X(z)=ZT［ x(n)］,Rx-<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［ y(n)］,Ry- <|z|< Ry+
则 M(z)=ZT［ m(n)］
=aX(z)+bY(z),R m-<|z|<R m+ (2.5.15)
Rm+=max［ Rx+,Ry+］
Rm-=max［ Rx,Ry-］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
这里 M(z)的收敛域 (Rm-,Rm+)是 X(z)和 Y(z)的公式
收敛域, 如果没有公共收敛域, 例如当
R x+>R x->R y+>R y-时, 则 M(z)不存在 。
2,序列的移位
设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
则 ZT［ x(n-n0)］ =z-n0X(z),R x-<|z|<R x+ (2.5.16)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,乘以指数序列
设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
y(n)=anx(n),a为常数
则 Y(z)=ZT［ anx(n)］
=X(a-1 z) |a|R x-<|z|<|a|R x+ (2.5.17)
证明
11( ) ( ) ( )( ) ( )n n n
nn
Y z a x n z x n a z X a z
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
因为 Rx-<|a-1 z|<Rx+,得到 |a| Rx- <|z|<|a| Rx+ 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
11
1
()
[ ( ) ] ( ) [ ]
( ) ( )
[ ( ) ]
()
[ ( ) ]
nn
nn
nn
nn
dX z d d
x n z x n z
dz dz dz
nx n z z nx n z
z Z T nx n
dX z
Z T nx n z
dz
??
??
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? ? ? ? ? ?
?
??
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??
??
??
??
4.序列乘以 n
设
( ) [ ( )]
()
[ ( )]
xx
xx
X z Z T x n R z R
d X z
Z T n x n z R z R
dz
??
??
? ? ?
? ? ? ?
则 (2.5.18)
证明
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5.复序列的共轭
设
* * *
* * * *
* * * *
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ( )
xx
xx
nn
n
n
n
X z Z T x n R z R
X Z Z T X n R z R
Z T X n X n z x n Z
x n Z X Z
??
??
?
??
? ??
?
?
? ??
?
?
??
??
??
?
则
证明
(2.5.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6.初值定理
设 x(n)是因果序列, X(z)=ZT［ x(n)］
(0 ) l i m ( )xx X z??? (2.5.20)
12
0
( ) ( ) ( 0) ( 1 ) ( 2 )n
n
X z x n z x x z x z
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
证明
l i m ( ) (0 )x X z x?? ?
因此
7.终值定理
若 x(n)是因果序列, 其 Z变换的极点, 除可以有一
个一阶极点在 z=1上, 其它极点均在单位圆内, 则
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z? ? ???
(2.5.21)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( )] n
n
z X z x n x n z
?
?
? ? ?
? ? ? ??
证明
因为 x(n)是因果序列,
10
( ) 0,0
( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
nn
mm
x
mm
x n n
z X z x m z x m z??
??
? ? ?
??
? ? ? ???
因为 (z-1)X(z)在单位圆上无极点, 上式两端对 z=1
取极限
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
10
l i m ( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
l i m [ ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]
l i m ( 1 ) l i m ( )
nn
xx
mm
x
xx
z X z x m x m
x x x n
x x x x n
x n x n
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
终值定理也可用 X(z)在 z=1点的留数, 因为
1
li m ( 1 ) ( ) R e [ ( ),1 ]
( ) R e [ ( ),1 ]
x
z X z s X z
x s X z
?
??
?? (2.5.22) 因此
如果单位圆上,X(z)无极点，则 x(∞)=0。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
8,序列卷积
设
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ] ( ) ( ),
m in[,]
m a x[,]
xx
yy
y
y
n x n y n
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
W z Z T n X z Y z R z R
R R R
R R R
??
??
??
?
?
??
??
??
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
则
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
m
n
W z Z T x n y n
x m y n m z
x m y n m z
x m z Y z
X z Y z
??
?
? ?? ? ??
??
?
? ?? ? ??
?
?
? ??
??
??
??
?
??
??
??
?
证明
W(z)的收敛域就是 X(z)和 Y(z)的公共收敛域 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.11已知网络的单位取样响应 h(n)=anu(n),|a|<1，
网络输入序列 x(n)=u(n),求网络的输出序列 y(n)。
解,y(n)=h(n)*x(n)
求 y(n)可用二种方法, 一种直接求解线性卷积, 另
一种是用 Z变换法 。
0
1
0
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
,0
1
m
m
m
n
m
m
y n h m x n m
a u m u n m
a
an
a
?
? ??
?
?
??
?
??
??
?
? ? ?
?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
11
1
( 2 ) ( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( ) ],
1
1
( ) [ ( ) ],1
1
1
( ) ( ) ( ),1
( 1 ) ( 1 )
1
()
2 ( 1 ) ( )
n
n
c
y n h n x n
H z Z T a u n z a
az
X z Z T u n z
z
Y z H z X z z
z az
z
y n dz
z z a?
?
?
??
?
??
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
??
??
由收敛域判定 y(n)=0,n<0。
n≥0 y(n)=Res［ Y(z)z n-1,1］ +Res［ Y(z)z n-1,a］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析 11
1
11
1 1 1
1
( ) ( )
1
nn
n
aa
a a a
a
y n u n
a
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
将 y(n)表示为
9.复卷积定理
如果 ZT［ x(n)］ =X(z),R x-<|z|<R x+
ZT［ y(n)］ =Y(z),R y-<|z|<R y+
w(n)=x(n)y(n)
则
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
2
m a x(,) m in(,)
c
x y x y
xx
yy
z dv
W z X v Y
j v v
R R z R R
zz
R v R
RR
?
? ? ? ?
??
??
?
??
??
??
W(z)的收敛域
(2.5.24)式中 v平面上, 被积函数的收敛域为
(2.5.24)
(2.5.25)
(2.5.26)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
1
[ ( ) ] ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n
n
nn
c
n
n
c
n
c
W z x n y n z
X v v dv y n z
j
z dv
X v y n
j v v
z dv
X v Y
j v v
?
?
?
?
?
? ??
?
??
? ??
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
证明
由 X(z)收敛域和 Y(z)的收敛域, 得到
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.12已知 x(n)=u(n),y(n)=a|n|,若 w(n)=x(n)y(n)，
求 W(z)=ZT［ w(n)］
解,
m a x(,) m in (,)
xx
yy
x y x y
xx
yy
R v R
z
RR
v
R R z R R
zz
R v R
RR
??
??
? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
因此
1
1( ),1
1X z zz ?? ? ? ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
W(z)收敛域为 |a|<|z|≤∞；被积函数 v平面上收敛域
为 max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|),v平面上极点,a,a-1和
z,c内极点 z=a。
2
1
1
2
1
1
( ),
( 1 )( 1 )
1 ( 1 ) 1
()
2 ( 1 )( 1 )
1
c
a
Y z a z a
a z a z
a d v
Wz
uj a v a v v
z
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
?
??
1
1
( ) Re [ ( ),],
1
( ) ( )n
W z s F v a a z
az
w n a u n
?? ? ? ? ??
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
10.帕斯维尔 (Parseval)定理
利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理 。
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
1,1
xx
yx
x y x x
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
R R R R
??
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
那么
111( ) ( ) ( ) ( )
2 cn x n y n X v Y v d vjv?
?
? ? ?
?
? ? ?
?? ??
v平面上, c所在的收敛域为
11m a x (,) m in (,)
xx
yy
R v RRR??
??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
证明 令 w(n)=x(n)·y*(n)
按照 (2.5.24)式, 得到
11( ) [ ( )] ( ) (( ) )
2 c
zW z Z T w n X v Y v d v
jv?
? ? ??? ??
按照 (2.5.25)式, R x-R y-<|z|<R x+R y+,按照假
设, z=1在收敛域中, 令 z=1代入 W(z)中 。
1
1
1
11
( 1 ) ( ) ( )
2
( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( ) ( )
2
c
n
z
nn
c
n
W X v Y v dv
jv
W x n y n z x n y n
x n y n X v Y v dv
jv
?
?
??
?
??
? ? ?
?
? ?? ? ??
?
? ? ?
?
? ??
?
??
?
?
??
? ?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
如果 x(n)和 y(n)都满足绝对可和, 即单位圆上收敛,
在上式中令 v=e jω,得到
22
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
jj
n
j
n
x n y n X e Y e d
x n X e d
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ?
? ?(2.5.29)
令 x(n)=y(n)得到
上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维
尔定理 (2.2.34)式是相同的 。 (2.5.28)式还可以表示成下式,
2 11( ) ( ) ( )
2 cn
dzx n X z X z
jz?
?
?
? ? ?
?? ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.5 利用 Z变换解差分方程
在第一章中介绍了差分方程的递推解法, 下面介
绍 Z变换解法 。 这种方法将差分方程变成了代数方程,
使求解过程简单 。
设 N阶线性常系数差方程为
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
(2.5.30)
1.求稳态解
如果输入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞时加上的, n时
刻的 y(n)是稳态解, 对 (2.5.30)式求 Z变换, 得到
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
0
0
0
0
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) [ ( ) ]
NN
kk
kk
kk
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
a Y z z b X z z
bz
Y z X z
az
Y z H z X z
bz
Hz
az
y n Z T Y z
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
式中
(2.5.31)
(2.5.32)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,求暂态解
对于 N阶差分方程, 求暂态解必须已知 N个初始条
件 。 设 x(n)是因果序列, 即 x(n)=0,n<0,已知初始条件
y(-1),y(-2)…y(-N)。 对 (2.5.30)式进行 Z变换时, 注意这
里要用单边 Z变换 。 方程式的右边由于 x(n)是因果序列,
单边 Z变换与双边 Z变换是相同的 。 下面先求移位序列
的单边 Z变换 。
设
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
0
0
()
0
1
0
1
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] ( )
()
()
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
n
n
n
n
m n m
n
mk
km
m k k
k k m
mk
km
Y z y n z
Z T y n m u n y n m z
z y n m z
z y k z
z y k z y k z
z Y z y k z
?
?
?
?
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??
? ? ?
? ? ?
?
??
??
?
? ? ?
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
(2.5.33)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照 (2.5.33)式对 (2.5.30)式进行单边 Z变换
1
00
1
00
00
[ ( ) ( ) ] ( )
()
( ) ( )
k
NM
k l k
k
k i k k
MN
k k l
kk
k k i k
NN
kk
kk
kk
a z Y z y l z b X z z
b z a z y l z
Y z X z
a z a z
?
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
? ? ?
? ? ?
??
(2.5.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.13已知差分方程 y(n)=by(n-1)+x(n),式中
x(n)=anu(n),y(-1)=2,求 y(n)。
解：将已知差分方程进行 Z变换
1
1
( ) ( ) ( 1 ) ( )
2 ( )
()
1
Y z b z Y z b y X z
b X z
Yz
bz
?
?
? ? ? ?
?
?
?
式中,
1
1( ),
1X z z aaz ????
于是
1 1 1
21()
1 ( 1 )( 1 )
bYz
b z a z b z? ? ???? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
收敛域为 |z|>max(|a|,|b|),
1 1 11( ) 2 ( ),0n n ny n b a b n
ab
? ? ?? ? ? ?
?
式中第一项为零输入解, 第二项为零状态解 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6 利用 Z变换分析信号和系统
的频域特性
2.6.1 传输函数与系统函数
设系统初始状态为零, 输出端对输入为单位脉冲
序列 δ(n)的响应, 称为系统的单位脉中响应 h(n),对 h(n)
进行傅里叶变换得到 H(e jω)
( ) ( )j j n
n
H e h n e??
?
?
? ??
? ?
(2.6.1)
一般称 H(e jω)为系统的传输函数，它表征系统的
频率特性。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
设 h(n)进行 Z变换, 得到 H(z),一般称 H(z)为系统
的系统函数, 它表征了系统的复频域特性 。 对 N阶差
分方程 (1.4.2)式, 进行 Z变换, 得到系统函数的一般
表示式
0
0
()
()
()
M
i
i
i
N
i
i
i
bz
Yz
Hz
Xz
az
?
?
?
?
??
?
?
(2.6.2)
如果 H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1,H(e jω)与
H(z)之间关系如下式,
( ) ( ) jj zeH e H z ?? ??
(2.6.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和
稳定性
因果 (可实现 )系统其单位脉响应 h(n)一定满足当
n<0时, h(n)=0,那么其系统函数 H(z)的收敛域一定包
含 ∞点, 即 ∞点不是极点, 极点分布在某个圆的圆内,
收敛域在某个圆外 。
系统稳定要求, 对照 Z变换定义,
系统稳定要求收敛域包含单位圆 。 如果系统因果且稳
定, 收敛域包含 ∞点和单位圆, 那么收敛域可表示为
r<|z|≤∞,0<r<1
()
n
hn?
? ??
???
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.6.1已知 分析其因果
性和稳定性,
解,H(z)的极点为 z=a,z=a-1,如图 2.5.5所示 。
(1)收敛域 a-1<|z|≤∞,对应的系统是因果系统, 但由
于收敛域不包含单位圆, 因此是不稳定系统 。 单位脉
冲响应 h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题 2.5.7),这是一个因果
序列, 但不收敛 。
(2)收敛域 0≤|z|＜ a,对应的系统是非因果且不稳定系
统 。 其单位脉冲响应 h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题 2.5.7)，
这是一个非因果且不收敛的序列 。
2
1
1( ),0 1
( 1 ) ( 1 )
aH z a
az az?
?? ? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(3)收敛域 a<|z|<a-1,对应的系统是一个非因果系统,
但由于收敛域包含单位圆, 因此是稳定系统 。 其单位
脉冲响应 h(n)=a|n|,这是一个收敛的双边序列, 如图
2.6.1(a)所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.1 例 2.6.1图示
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性
将 (2.6.2)式因式分解, 得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
M
r
r
cz
H z A
dz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(2.6.4)
式中 A=b0/a0,上式中 cr是 H(z)的零点, dr是其极点 。
A参数影响传输函数的幅度大小, 影响系统特性的是零
点 cr和极点 d 的分布 。 下面我们采用几何方法研究系统
零极点分布对系统频率特性的影响 。
将 (2.6.4)式分子分母同乘以 z N+M,得到
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
() 1
1
()
()
()
()
()
()
M
r
NM r
N
r
r
M
j
r
j j N M r
N
j
r
r
zc
H z Az
zd
ec
H e Ae
ed
?
??
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
设系统稳定，将 z=e jω，得到传输函数
(2.6.5)
(2.6.6)
设 N=M,由 (2.6.6)式得到
1
1
()
()
()
M
j
r
j r
N
j
r
r
ec
H e A
ed
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(2.6.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
在 z平面上, ejω-cr用一根由零点 cr指向单位圆上 ejω
点 B的向量 表示, 同样 ejω-dr用内极点指向 ejω点 B
的向量 表示, 如图 2.6.2所示 。
rdB
uuur
rcB
uuur
j
rr
j
rr
c B e c
d B e d
?
?
??
??
uuur
uuur
和 分别称为零点矢量和极点矢量, 将它们用
极坐标表
rcB
uuur
rdB
uuur
r
r
j
rr
j
rr
c B c e
d B d e
?
?
?
?
uuur
uuur
表示式代入 (2.6.7)式, 得到
rcB
uuur
rdB
uuur
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()1
1
1
1
11
( ) ( )
()
()
N
r
j j jr
N
r
r
N
r
j r
N
r
r
NN
rr
rr
cB
H e A H e e
dB
cB
H e A
dB
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
??
u u ur
u u u r
(2.6.8)
(2.6.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
系统的传输特性或者信号的频率特性由 (2.6.8)式
和 (2.6.9)式确定 。 当频率 ω从零变化到 2π时, 这些向量
的终点 B沿单位圆逆时针旋转一周, 按照 (2.6.8)式 (2.6.9)
式, 分别估算出系统的幅度特性和相位特性 。 例如图
2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.2 频响的几何表示法
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2 已知 H(z)=z-1,分析其频率特性
解：由 H(z)=z-1,极点为 z=0,幅度特性
|H(e jω)|=1,相位特性 φ(ω)=-ω,频响如图 2.6.3所示 。
用几何方法也容易确定, 当 ω=0转到 ω=2π时, 极
点矢量的长度始终为 1。 由该例可以得到结论, 处于原
点处的零点或极点, 由于零点矢量长度或者是极点矢
量长度始终为 1,因此原点处的零极点不影响系统的频
率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.3 H(z)=z-1的频响
1
0
0
ω
ω
)(e
j ?
H
)(j ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 设一阶系统的差分方程为
y(n)=by(n-1)+x(n)
用几何法分析其幅度特性 。
解：由系统差分方程得到系统函数为
系统极点 z=b,零点 z=0,当 B点从 ω=0逆时旋转时,
在 ω=0点由于极点矢量长度最短, 形成波峰 。 在 ω=π时
形成波谷 。 z=0处零点不影响频响 。 极零点分布及幅度
特性如图 2.6.4所示 。
1
1( ) | z | >| b|
1
zHz
bz z b?????
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.4 例 2.6.3插图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.4 已知 H(z)=1-z-N,试定性画出系统的幅频特性 。
解,
H(z)的极点为 z=0,这是一个 N阶极点, 它不影响系
统的频响 。 零点有 N个, 由分子多项式的根决定
1( ) 1 NN
N
zH z z
z
? ?? ? ?
2
2
1 0,
,0,1,2,1
N N j k
jk
N
z z e
z e k N
?
?
? ? ?
? ? ? ?? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N个零点等间隔分布在单位圆上，设 N=8，极零点
分布如图 2.6.5所示。当 ω从零变化到 2π时，每遇到一个
零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成
峰值。幅度谷值点频率为,ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。
一般将具有如图 2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳
状滤波器。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性 。
解,
1
11
0
11( ) ( )
1 ( 1 )
NNN
nn
NN N
nn
zzR z R n z z
z z z
???
??
??
? ?? ?
??? ? ? ???
零点,
极点,
2
,0,1,2,1 ;
0 ( 1 ) 1
jk
Nz e k N
z N z
?
? ? ? ?? ?
? ? ?
设 N=8,z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点
分布及其幅频特性如图 2.6.6所示。
阶零点
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.6 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟
信号傅里叶变换之间的关系
2.5 序列的 Z变换
2.6 利用 Z变换分析信号和系统的频域特性
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
我们知道信号和系统的分析方法有两种, 即时域
分析方法和频率分析方法 。 在模拟领域中, 信号一般
用连续变量时间 t的函数表示, 系统则用微分方程描述 。
为了在频率域进行分析, 用拉普拉斯变换和傅里叶变
换将时间域函数转换到频率域 。 而在时域离散信号和
系统中, 信号用序列表示, 其自变量仅取整数, 非整
数时无定义, 而系统则用差分方程描述 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
频域分析是用 Z变换或傅里叶变换这一数学工具 。 其中
傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换, 它和模拟域中
的傅里叶变换是不一样的, 但都是线性变换, 很多性
质是类似的 。
本章学习序列的傅里叶变换和 Z变换, 以及利用 Z
变换分析系统和信号频域特性 。 本章学习内容是本书
也是数字信号处理这一领域的基础 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
定义
( ) ( )j j n
n
X e x n e??
?
?
? ??
? ?
(2.2.1)
为序列 x(n)的傅里叶变换, 可以用 FT(Fourier
Transform)缩写字母表示 。 FT成立的充分必要条件是
序列 x(n)满足绝对可和的条件, 即满足下式,
()
n
xn
?
? ? ?
???
(2.2.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
为求 FT的反变换, 用 e jωn乘 (2.2.1)式两边, 并在
-π~π内对 ω进行积分, 得到
()
()
( ) [ ( ) ]
()
2 ( )
1
( ) ( )
2
j j m j n j n
n
j m n
n
j m n
j j m
X e e d x n e e d
x n e d
e d n m
x n X e e d
??
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
? ? ?
?
?
?
?
??
? ? ?
?
?
?
??
? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
???
? ?
?
?
(2.2.3)
(2.2.4)
式中
因此
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式即是 FT的逆变换 。 (2.2.1)和 (2.2.4)式组成一对
傅里叶变换公式 。 (2.2.2)式是 FT存在的充分必要条件,
如果引入冲激函数, 一些绝对不可和的序列, 例如周
期序列, 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,
这部分内容在下面介绍 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.2.1 设 x(n)=RN(n),求 x(n)的 FT 1
0
/ 2 / 2 / 2
/ 2 / 2 / 2
( 1 ) / 2
( ) ( )
1 ( )
1 ( )
s i n ( / 2 )
s i n / 2
N
j j n j n
N
nn
j N j N j N j N
j j N j j
jN
X e R n e e
e e e e
e e e e
N
e
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
??
??
? ? ? ?
?
? ? ?
??
??
??
??
??
?
??
解,
(2.2.5)
设 N=4,幅度与相位随 ω变化曲线如图 2.2.1所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1,FT的周期性
在定义 (2.2.1)式中,n取整数,因此下式成立
( 2 )( ) ( ),j j M n
n
X e x n e? ? ?
?
??
? ? ?
? ?
M为整数 (2.2.6)
因此序列的傅里叶变换是频率 ω的周期函数, 周期
是 2π。 这样 X(ejω)可以展成傅里叶级数, 其实 (2.2.1)式
已经是傅里叶级数的形式, x(n)是其系数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.2 cosωn的波形
… …
－ 1 0 1 2 3 4
1
－ 1
… …
0
1
2
3
4
5
6
n n
( a ) ( b )
1
π2?? π)12( ?? M?
?c o s
M
n?c o s n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,线性
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) [ ( )],( ) [ ( )],
[ ( ) ( )] ( ) ( )
jj
jj
X e F T x n X e F T x n
F T a x n b x n a X e b X e
??
??
??
? ? ?
那么 设
式中 a,b为常数
3,时移与频移
设 X(e jω)=FT［ x(n)］, 那么
(2.2.7)
0
00
0
(
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
jn j
j n j
F T x n n e X e
F T e x n X e
? ?
? ? ?
?
?
??
?
(2.2.8)
(2.2.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,FT的对称性
在学习 FT的对称性以前, 先介绍什么是共轭对称
与共轭反对称以及它们的性质 。 设序列 xe(n)满足下式,
xe(n)=x*e(-n) (2.2.10)
则称 xe(n)为共轭对称序列 。 为研究共轭对称序列
具有什么性质, 将 xe(n)用其实部与虚部表示
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将上式两边 n用 -n代替, 并取共轭, 得到
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
对比上面两公式, 左边相等, 因此得到
xer(n)=xer(-n) (2.2.11)
xei(n)=-xei(-n) (2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数,
而虚部是奇函数 。 类似地, 可定义满足下式的称共轭
反对称序列
xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
将 x0(n)表示成实部与虚部如下式,
xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
可以得到
xor(n)=-xor(-n) (2.2.14)
xoi(n)-xoi(-n) (2.2.15)
即共轭反对称序列的实部是奇函数, 而虚部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.2.2 试分析 x(n)=e jωn的对称性
解,
将 x(n)的 n用 -n代替, 再取共轭得到,
x*(-n)= e jωn
因此 x(n)=x*(-n),满足 (2.2.10)式, x(n)是共轭对
称序列, 如展成实部与虚部, 得到
x(n)=cosωn+j sinωn
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶函数,
虚部是奇函数。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之
和表示, 即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16)
式中 xe(n),xo(n)可以分别用原序列 x(n)求出, 将
(2.2.16)式中的 n用 -n代替, 再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17)
利用 (2.2.16)和 (2.2.17)两式, 得到
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
?
?
? ? ?
? ? ?
(2.2.18)
(2.2.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
利用上面两式, 可以分别求出 xe(n)和 xo(n)。
对于频域函数 X(ejω)也有和上面类似的概念和结论,
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2.2.10)
式中 Xe(ejω)与 Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭
反对称部分, 它们满足
Xe(ejω) =X*e(e-jω) (2.2.21)
Xo(ejω) =-X*o(e-jω) (2.2.22)
同样有下面公式满足,
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
j j j
e
j j j
o
X e X e X e
X e X e X e
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
(2.2.23)
(2.2.24)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(a) 将序列 x(n)分成实部 xr(n)与虚部 xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行 FT,得到
X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( )
j j n
rr
n
j j n
o i r
n
X e FT x n x n e
X e FT jx n j x n e
??
??
?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
??
??
?
?
式中
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式中, xr(n)和 xi(n)都是实数序列, 容易
证明 Xe(ejω)满足 (2.2.21)式, 个有共轭对称性, 它的
实部是偶函数, 虚部是奇函数 。 Xo(ejω)满足 (2.2.22)
式, 具有共轭反对称性质, 其实部是奇函数, 虚
部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
最后得到结论,序列分成实部与虚部两部分, 实
部对称的 FT具有共轭对称性, 虚部和 j一起对应的 FT
具有共轭反对称性 。
(b) 将序列分成共轭对称部分 xe(n)和共轭反对称部
分 xo(n),即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25)
将 (2.2.18)式和 (2.2.19)式重定如下,
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
?
?
? ? ?
? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
将上面两式分别进行 FT,得到
FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ =Re［ X(ejω)］ =XR(ejω)
FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω)-X*(ejω)］ =jIm［ X(ejω)］
=jXI(ejω)
因此对 (2.2.25)式进行 FT得到,
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω) (2.2.26)
(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分 xe(n)对应着 FT
的实部 XR(ejω),而序列的共轭反对称部分 xo(n)对应着
FT的虚部 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
因为 h(n) 是实序列, 其 FT只有共轭对称部分
He(ejω),共轭反对称部分为零 。
H(ejω)=He(ejω)
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的 FT的实部是偶函数, 虚部是奇函数,
用公式表示为
HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照 (2.2.18)和 (2.2.19)式得到
h(n)=he(n)+ho(n)
he(n)=1/2［ h(n)+h(-n)］
ho(n)=1/2［ h(n)-h(-n)］
因为 h(n)是实因果序列,按照上面两式 he(n)和 ho(n)
可以用下式表示,
()ehn ?
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
?
?
??
(2.2.27)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
?
?
? ? ?
()ohn ?
(2.2.28)
实因果序列 h(n)分别用 he(n)和 ho(n)表示为
h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29)
h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n) (2.2.30)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,0
1,0
0,0
n
n
n
?
?
?
()un? ? (2.2.31)
例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数 xe(n)
和奇函数 xo(n)。
解,x(n)=xe(n)+xo(n)
按 (2.2.2)式得到
( 0 ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
?
?
??
()exn ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
?
?
?
?
?
按照 (2.2.28)式得到
( 0 ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
?
?
? ? ?
()oxn ?
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
?
?
?
??
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.3 例 2.2.3图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5,时域卷积定理
设 y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(e jω)=X(e jω)·H(e jω) (2.2.32)
证明
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m
jj
nm
j j k j k j
km
j k j k
km
jj
y n x m h n m
Y e F T y n x m h n m e
Y e h k e x m e e
h k e x m e
H e X e
??
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? ? ?
? ? ? ? ? ?
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??
? ? ? ? ? ?
??
??
?
?
?
?
??
??
??
令 k=n-m
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
该定理说明, 两序列卷积的 FT,服从相乘的关系 。
对于线性时不变系统输出的 FT等于输入信号的 FT乘以
单位脉冲响应 FT。 因此求系统的输出信号, 可以在时
域用卷积公式 (1.3.7)计算, 也可以在频域按照 (2.2.32)
式, 求出输出的 FT,再作逆 FT求出输出信号 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6,频域卷积定理
设 y(n)=x(n)·h(n) (2.2.33)
()11
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
22
( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( ) ]
2
j j j j j
j j n
n
j j n j n
n
Y e X e H e X e H e d
Y e x n h n e
x n H e e d e
?
? ? ? ? ? ?
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?
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?
?
?
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?
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??
?
?
?
?
? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()
()
1
( ) ( ) [ ( ) ]
2
1
()
2
1
( ) * ( )
2
j j j n
n
jj
jj
Y e H e x n e d
H e Xe d
H e H e
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
??
?
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?
?
?
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??
?
? ??
?
?
?
?
?
??
?
7,帕斯维尔 (Parseval)定理
2
2
2
**
1
( ) (
2
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) )]
2
j
n
j j n
n n n
x n x e d
x n x n x n x n X e e d
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ?
? ? ? ?
(2.2.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
帕斯维尔定理告诉我们, 信号时域的总能量等于
频域的总能量 。 要说明一下, 这里频域总能量是指
|X(e jω)|2在一个周期中的积分再乘以 1/(2π)。 最后, 表
2.2.1综合了 FT的性质, 这些性质在分析问题和实际应
用中是很重要的 。
2
*
1
( ) ( )
2
11
( ) ( ) ( )
22
j j n
n
j j j
X e x n e d
X e X e d X e d
?
??
?
??
? ? ?
?
?
??
??
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3 周期序列的离散傅里叶级数
及傅里叶变换表示式
2.3.1周期序列的离散傅里叶级数
设 是以 N为周期的周期序列, 由于是周期
性的, 可以展成傅里叶级数
~()xn
2~
() j k nNk
k
x n a e
??
? ??
? ? (2.3.1)
式中 ak是傅里叶级数的系数 。 为求系数 ak,将上
式两边乘以, 并对 n在一个周期 N中求和 2
j mnNe ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.2)式的证明, 作为练习自己证明 。 因此
上式中, k和 n均取整数, 当 k或者 n变化时,
是周期为 N的周期函数, 可表示成
2 2 21 1 1~
()
0 0 0
21
()
0
( ) [
N N N
j m n j m n j k m n
N N N
kk
n n k k n
N
j k m n
N
n
x n e a e a e
e
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?? ?
?
??
?
??
?
? ? ? ? ?
?,
0,
N k m
km
?
?
(2.3.2)
21 ~
0
1 ()N j k mN
k
n
a x n eN
?? ?
?
? ?
-∞<k<∞ (2.3.3)
~ ()
kx k N a?
22()
,j k N n j k mNNe e l
??? ? ?
?
取整数
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式中 也是一个以 N为周期的周期序列, 称
为 的离散傅里叶级数, 用 DFS(Discrete Fourier
Series)表示 。 如对 (2.3.4)式两端乘以, 并对 k在
一个周期中求和, 得到
~()xk
~()xn
2j kl
Ne
?
2 2 2 21 1 1 1 1~ ~ ~ ()
0 0 0 0 0
( ) [ ( ) ] ( )
N N N N Nj k l j k n j k l j l k k
N N N N
k k k k k
X k e X n e e X n e
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
同样按照 (2.3.2)式, 得到
21~~
0
1( ) ( )N j k nN
k
x n x k eN
??
?
? ?
(2.3.5)
将 (2.3.4)式和 (2.3.5)式重写如下,
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.6)式和 (2.3.7)式称为一对 DFS。 (2.3.5)式表明将周
期序列分解成 N次谐波, 第 k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k,
k=0,1,2 … N-1,幅度为 。 其波分量的频率是
2π/N,幅度是 。 一个周期序列可以用其
DFS表示它的频谱分布规律 。
21~ ~ ~
0
21~ ~ ~
0
( ) [ ( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
N
j k n
N
n
N j k n
N
n
X k D F S x n x n e
x k I D F S x k x k e
N
?
?
?
?
?
? ?
?
??
??
?
?
(2.3.6)
(2.3.7)
~(1 / ) ( )N X k
~(1 / ) (1)NX
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.3.1设 x(n)=R4(n),将 x(n)以 N=8为周期, 进
行周期延拓, 得到如图 2.3.1(a)所示的周期序
列, 周期为 8,求 的 DFS。
解,按照 (2.3.4)式
~()xn ~()xn
273
~~
8 4
00
4
4
4
4
2 2 2
4 8 8 8
( ) ( )
1
1
1 ( )
1 ()
j k n kn
nn
jk
jk
j k j k j k
jk
j k j k j k j k
X k X n e e
e
e
e e e e
e e e e
? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
??
??
?
??
??
? ? ?
??
?
?
?
??
??
? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
其幅度特性 如图 2.3.1(b)所示 。
3
8
sin
2
sin
8
jk
k
e
k
?
?
?
?
?
~ ()Xk
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.1 例 2.3.1图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式
在模拟系统中,, 其傅里叶变换是在
Ω=Ωo处的单位冲激函数, 强度是 2π,即
0() jtax t e ??
0
0
( ) [ ( ) ]
2 ( )
jt jt
aaX j F T x t e e d t
??
? ? ??
??
? ? ?
? ? ? ?
?
(2.3.8)
对于时域离散系统中, x(n)=e jωon,2π/ωo为
有理数, 暂时假定其 FT的形式与 (2.3.8)式一样, 也是
在 ω=ω0处的单位冲激函数, 强度为 2π,但由于 n取
整数, 下式成立
00 ( 2 ),j n j r ne e r? ? ???
取整数
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式表示复指数序列的 FT是在 ω0± 2πr处的单位冲
激函数, 强度为 2π如科 2.3.2所示 。 但这种假定如果成
立, 要求按照 (2.2.4)式的逆变换必须存在, 且唯一等
于, 下面进行验证, 按照 (2.2.4)式
因此 e jω0n的 FT为
0
0( ) [ ] 2 ( 2 )
jnj
r
X e F T e r?? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ??
(2.3.9)
0jne ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.2 的 FT 0jne?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
观察图 2.3.2,在 ± π区间, 只包括一个单位冲激
函数, 等式右边为, 因此得到下式,
证明了 (2.3.9)式确定是 ejω0n的 FT,前面的暂时假定
是正确的 。
对于一般周期序列, 按 (2.3.4)式展开 DFS,
第 k次谐波为, 类似于复指数序列的 FT,
其 FT为, 因此 的 FT
如下式
0jne ?
001 ( ) [ ( ) ]
2
j n jj j ne X e e d I FT X e??? ??
? ?? ????
~()xn
2~( ( ) / ) j knNX x N e ?
~ 2[ 2 ( ) / ] ( 2 )
r
X k N k rN?? ? ? ??
??
??? ~()xn
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中 k=0,1,2 … N-1,如果让 k在 ± ∞之间变化, 上
式可简化成
~1
~
0
2 ( ) 2( ) [ ( )] ( 2 )Nj
kr
xkX e F T x n k r
NN
? ?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
~
21~~
0
22
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j
k
N
j k n
N
n
X e x k k
NN
x k x n e
?
?
??
??
?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
? (2.3.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( )
2
1
( 1 ) ( 1 )
2
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
1
()
1
j
j
x n u n
x n u n
x n x n u n u n n
Xe
e
?
?
?
?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
对 (a)式进行 FT,得到
( ) ( ) ( 2 )
1
( ) ( 2 )
1
jj
k
j
j
k
X e U e k
U e k
e
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.3.2求例 2.3.1中周期序列的 FT。
解,将例 2.3.1中得到的 代入 (2.3.10)式中
得到
~ ()Xk
3
8 sin( / 2 )( ) ( )
4 sin( / 8 ) 4
jkj
k
kX e e k
k
?? ? ? ???
?
? ?
? ??
???
其幅频特性如图 2.3.3所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.3 例 2.3.2图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
对比图 2.3.1,对于同一个周期信号, 其 DFS和 FT
分别取模的形状是一样的, 不同的是 FT用单位冲激函
数表示 (用带箭头的竖线表示 )。 因此周期序列的频谱
分布用其 DFS或者 FT表示都可以, 但画图时应注意单
位冲激函数的画法 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.3.3令, 2π/ω0为有理数,
求其 FT。
解,将 用欧拉公式展开
~
0( ) c o sx n n??
~()xn
00
~
0
00
00
1
( ) [ ]
2
( ) [c o s ]
1
2 [ ( 2 ) ( 2 )]
2
[( 2 ) ( 2 )]
j n j n
j
r
r
x n e e
X e F T n
rr
rr
??
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
g
(2.3.11)
按照 (2.3.9)式, 其 FT推导如下,
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式表明 cosω0n的 FT,是在 ω=± ω0处的单位冲激
函数, 强度为 π,且以 2π为周期进行延拓, 如图 2.3.4
所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.3.4 cosω0n的 FT
0 ω
0
－ ω
0
X (e
j ω
)
ω
π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟
信号傅里叶变换之间的关系
我们知道模拟信号 xa(t)的一对傅里叶变换式用下面
公式描述
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jt
aa
jt
aa
X j x t e d t
x t X j e d t
?
?
??
??
?
?
??
??
??
?
?
(2.4.1)
(2.4.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
这里 t与 Ω的域均在 ± ∞之间 。 从模拟信号幅度取
值考虑, 在第一章中遇到两种信号, 即连续信号和采
样信号, 它们之间的关系用 (1.5.2)式描述, 重写如下,
采样信号 和连续信号 xa(t),它们分虽的傅
里叶变换之间的关系, 由采样定理 (1.5.5)式描述, 重
写如下,
~
( ) ( ) ( )a a
n
x t x n T t n T?
?
? ? ?
???
~ ()
axt
~ 1
( ) ( )a as
n
x j x j j kT
?
? ? ?
? ? ? ? ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
下面我们研究如果时域离散信号 x(n),或称序列
x(n),是由对模拟信号 xa(t)采样产生的, 即在数值上
有有下面关系式成立,
x(n)=xa(nT) (2.4.3)
注意上面式中 n取整数, 否则无定义 。 x(n)的一对
傅里叶变换用 (2.2.1)式和 (2.2.4)式表示, 重写如下,
( ) ( )
1
( ) ( )
2
j j n
n
j j n
X e x n e
x n X e e d
??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(e jω)与 Xa(jΩ)之间有什么关系, 数字频率 ω与模
拟频率 Ω(f)之间有什么关系, 这在模拟信号数字处理中,
是很重要的问题 。 为分析上面提出的问题, 我们从
(2.4.3)式开始研究 。 将 t=nT代入 (2.4.2)式中, 得到
1( ) ( )
2
j nT
aax nT X j e d?
? ?
??
? ? ??
(2.4.4)
( 2 1 ) /
( 2 1 ) /
1( ) ( )
2
rT j n T
aa rT
r
x n T X j e d?
??
? ?
?
?? ? ?
? ? ?? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
令, 代入上式后, 再将 Ω′用 Ω
代替, 得到
2 r
T
??? ? ? ? /
2
/
/
/
12
( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
nT
j n T j r n
aa
T
r
nT
j n T
aa
T
r
x n T X j r e e d
T
x n T X j r e d
T
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
??
式中, 因为 r和 n均取整数, e-j2πrn=1,交换求和
号和积分号得到
(2.4.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
在第一章中曾得到结论, 如果序列是由一模拟信
号取样产生, 则序列的数字频率 ω与模拟信号的频率
Ω(f)成线性性关系, 如 (1.2.10)式所示, 重写如下,
ω=ΩT
式中 T是采样周期 T=1/fs,将 (1.2.10)式代入 (2.4.5)
式得到
1 1 2
( ) ( )
2
12
( ) ( )
jn
aa
r
j
a
r
x nT X j j r e d
T T T
X e X j j r
T T T
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
? ??
?
? ??
??
??
??
?
现在对比 (2.4.1)式和 (2.4.6)式, 得到
(2.4.6)
(2.4.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面 (2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换 X(ejω)和模
拟信号 xa(t)的傅里叶变换 Xa(jΩ)之间的关系式, 我们将
(2.4.7)式与 (1.5.5)式对比, 得到结论,序列的傅里叶
变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系, 与采样信
号, 模拟信号分别的 FT之间的关系一样, 都是 Xa(jΩ)
以周期 Ωs=2π/T进行周期延拓, 频率轴上取值的对应关
系用 (1.2.10)式表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
在一些文献中经常使用归一化频率 f′=f/fs或 Ω′=Ω/Ωs,
Ω′=ω/2π,因为 f′,Ω′和 ω′,都是无量纲, 刻度是一
样的, 将 f,Ω,ω,f′,Ω′,ω′的定标值对应关系用
图 2.4.1表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
－ 0, 5－ 1 0 0, 5 1
－ 0, 5－ 1 0 0, 5 1
－ 0, 5－ 1 0 0, 5 1
－ f
s
2
s
f?
f
s f
f ′
2
s
??
2
s
f
2
s
?
s
?
s
?? ?
? ?
?
? ?
0
0
0 π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.4.1设 xa(t)=cos(2πf0t),f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对 xa(t)进行采样, 得到采相信号 和时
域离散信号 x(n),求 xa(t)和 的傅里叶变换以及
x(n)的 FT。
解,
~ ()
axt
~ ()
axt
00
0
22
00
( ) [ ( ) ]
c o s 2
1
[]
2
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
aa
jt
j f t j f t jt
X j FT x t
f t e dt
e e e dt
ff
??
?
? ? ? ? ?
?
??
??
?
? ??
??
??
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
(2.4.8)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
Xa(jΩ)是 Ω=± 2πf0处的单位冲激函数, 强度为 π,
如图 2.4.2(a)所示 。 以 fs=200 Hz对 xa(t)进行采样得到采
样信号, 按照 (1.5.2)式, 与 xa(t)的关系式为
~ ()
axt
~ ()
axt
~
0( ) co s ( 2 ) ( )a
n
x t f n T t n T??
?
? ? ?
???
的傅里叶变换用 (1.5.5)式确定, 即以 Ωs=2πfs
为周期, 将 Xa(jΩ)周期延拓形成, 得到,
~ ()
axt
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
( ) [ ( ) ]
1
()
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
a a
as
k
ss
k
X j FT x t
X j jk
T
k f k f
T
?
? ? ? ?
??
?
? ??
?
? ??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? (2.4.9)
如图 2.4.2(b)所示。 将采样信号转换成序
列 x(n),用下式表示,
x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)
()aXj? ?
按照 (2.4.7)式, 得到 x(n)的 FT,实际上只要将
Ω=ω/T=ωfs代入 中即可 。
()aXj? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
将 fs=200 Hz,f0=50 Hz,代入上式, 求括弧中公
式为零时的 ω值, ω=2πk± π/2,因此 X(ejω)用下式表示,
00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]
j
s s s s
k
X e f k f f f k f fT? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
( ) [ ( 2 ) ( 2 )]22j
k
X e k kT? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ??
(2.4.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.4.2 例 2.4.1图
X
a
(j Ω )
0
Ω
0－ Ω
s
2
s
?
?
2
s
?
Ω
s
…
…
T
?
Ω
X
a
(j Ω )
＾
0
… …
ω
2
?
?
2
?
（ a ）
（ b ）
（ c ）
X (e
j ω
)
π
0
π2 f
0
π2 f
0
π2 f?
0
π2 f?
π
ππ? π2π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的 Z变换
2.5.1 Z变换的定义
序列 x(n)的 Z变换定义为
( ) ( ) n
n
X z x n z? ?
? ? ?
? ?
(2.5.1)
式中 z是一个复变量, 它所在的复平面称为 z平面 。
注意在定义中, 对 n求和是在 ± ∞之间求和, 可以称为
双边 Z变换 。 还有一种称为单边 Z变换的定义, 如下式
0
( ) ( ) n
n
X z x n z? ?
?
? ? (2.5.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
使 (2.5.3)式成立, Z变量取值的域称为收敛域 。 一
般收敛域用环状域表示
这种单边 Z变换的求和限是从零到无限大, 因此
对于因果序列, 用两种 Z变换定义计算出的结果是一
样的 。 本书中如不另外说明, 均用双边 Z变换对信号
进行分析和变换 。
(2.5.1)式 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛,
要求级数绝对可和, 即
()
n
n
xx
x n z
R z R
?
?
? ??
??
??
??
?
(2.5.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.5.1 Z变换的收敛域
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
常用的 Z变换是一个有理函数, 用两个多项式之
比表示
分子多项式 P(z)的根是 X(z)的零点, 分母多项式
Q(z)的根是 X(z)的极点 。 在极点处 Z变换不存在, 因
此收敛域中没有极点, 收敛域总是用极点限定其边界 。
对比序列的傅里叶变换定义 (2.2.1)式, 很容易得
到 FT和 ZT之间的关系, 用下式表示,
()()
()
PzXz
Qz?
( ) ( ) jj zeX e X z ?? ?? (2.5.4)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中 z=e jω表示在 z平面上 r=1的圆, 该圆称为单位
圆 。 (2.5.4)式表明单位圆上的 Z变换就是序列的傅里叶
变换 。 如果已知序列的 Z变换, 可用 (2.5.4)式, 很方
便的求出序列的 FT,条件是收敛域中包含单位圆 。
例 2.5.1 x(n)=u(n),求其 Z变换 。
解,
X(z)存在的条件是 |z-1|<1,因此收敛域为 |z|>1,
0
( ) ( ) nn
nn
X z u n z z
??
??
? ? ? ?
????
1
1()
1Xz z ?? ?
|z|>1
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
由 x(z)表达式表明, 极点是 z=1,单位圆上的 Z变
换不存在, 或者说收敛域不包含单位圆 。 因此其傅里
叶变换不存在, 更不能用 (2.5.4)式求 FT。 该序列的 FT
不存在, 但如果引进奇异函数 δ(ω),其傅里叶变换可
以表示出来 (见表 2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅
里叶变换不存在, 在一定收敛域内 Z变换是存在的 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
序列的特性决定其 Z变换收敛域, 了解序列特性与
收敛的一些一般关系, 对使用 Z变换是很有帮助的 。
1,有限长序列
如序列 x(n)满足下式,
x(n) n1≤n≤n2
x(n)=
0 其它
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
即序列 x(n)从 n1到 n2序列值不全为零, 此范围之
外序列值为零, 这样的序列称为有限长序列 。 其 Z
变换为
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z ?
?
? ?
设 x(n)为有界序列, 由于是有限项求和, 除 0与 ∞
丙点是否收敛与 n1,n2取值情况有关外, 整个 z平面均
收敛 。 如果 n1<0,则收敛域不包括 ∞点； 如 n2>0,则
收敛域不包括 z=0点； 如果是因果序列, 收敛域包括
z=∞点 。 具体有限长序列的收敛域表示如下,
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n1<0,n2≤0时, 0≤z＜ ∞
n1<0,n2>0时, 0<z＜ ∞
n1≥0,n2>0时, 0<z≤∞
例 2.5.2求 x(n)=RN(n)的 Z变换及其收敛域
解,
1
1
0
1( ) ( )
1
NN
nn
N
nn
zX z R n z z
z
???
??
?
? ?? ?
?? ? ?
???
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
这是一个因果的有限长序列, 因此收敛域为
0<z≤∞。 但由结果的分母可以看出似乎 z=1是 X(z)的极
点, 但同时分子多项式在 z=1时也有一个零点, 极零
点对消, X(z)在单位圆上仍存在, 求 RN(n)的 FT,可
将 z=ejω代入 X(z)得到, 其结果和例题 2.2.1中的结果
(2.2.5)公式是相同的 。
2,右序列
右序列是在 n≥n1时, 序列值不全为零, 而其它
n<n1,序列值全为零 。
0
( ) ( ) ( )n n n n n
n n n
X z a u n z a z x n z? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一项为有限长序列, 设 n1≤-1,其收敛域为 0≤|z|
＜ ∞。 第二项为因果序列, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞,
Rx-是第二项最小的收敛半径 。 将两收敛域相与, 其
收敛域为 Rx- <|z|<∞。 如果是因果序列, 收敛域定为
Rx- <|z|≤∞。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.3求 x(n)=anu(n)的 Z变换及其收敛域
解,
0
1( ) ( )
1
n n n n
n
nn
X z a u n z a z az
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ???
在收敛域中必须满足 |az-1|<1,因此收敛域为 |z|>|a|。
3,左序列
左序列是在 n≤n2时, 序列值不全为零, 而在 n>n1,
序列值全为零的序列 。 左序列的 Z变换表示为
2
( ) ( )
n
n
n
X z x n z ?
? ??
? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
如果 n2<0,z=0点收敛, z=∞点不收敛, 其收敛域是在
某一圆 (半径为 Rx+)的圆内, 收敛域为 0≤|z|<Rx+。 如果
n2>0,则收敛域为 0<|z|< Rx+ 。
例 2.5.4求 x(n)=-anu(-n-1)的 Z变换及其收敛域 。
1
1
( ) ( 1 )n n n n
nn
nn
n
X z a u n z a z
az
??
??
? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
??
??
?
X(z)存在要求 |a-1 z|<1,即收敛域为 |z|<|a|
1
11
1( ),
11
azX z z a
a z a z
?
??
?? ? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列
之和, 其 Z变换表示为
1
12
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),0
( ) ( ),
n
n
n
x
n
n
x
nn
X z x n z X z X z
X z x n z Z R
X z x n z R Z
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(z)的收敛域是 X1(z)和 X2(z)收敛域的公共收敛区
域 。 如果 Rx+>Rx-,其收敛域为 Rx- <|z|< Rx+, 这是一
个环状域, 如果 Rx+ < Rx-, 两个收敛域没有公共区域,
X(z)没有收敛域, 因此 X(z)不存在 。
例 2.5.5 x(n)=a|n|,a为实数, 求 x(n)的 Z变换及其
收敛域 。
解,1
0
00
()
n n
n
n n n n
nn
n n n n
nn
X z a z
a z z z
a z z z
?
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
??
?
??
?
??
??
?
??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一部分收敛域为 |az|<1,得 |z|<|a|-1,第二部分收
敛域为 |az-1|<1,得到 |z|>|a|。 如果 |a|<1,两部分的公
共收敛域为 |a|<|z|<|a|-1,其 Z变换如下式,
1
2
1
1
()
11
1
,
( 1 ) ( 1 )
az
Xz
az az
a
az az
?
?
??
??
?
?
??
|a|<|z|<|a|-1
如果 |a|≥1,则无公共收敛域, 因此 X(z)不存在 。
当 0<a<1时, x(n)的波形及 X(z)的收敛域如图 2.5.2所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.5.2 例 2.5.5图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.3 逆 Z变换
已知序列的 Z变换及其收敛域, 求序列称为逆 Z变
换 。 序列的 Z变换及共逆 Z变换表示如下,
1
( ) ( ),
1
( ) ( ),(,)
2
n
xx
n
n
xx
c
X z x n z R z R
x n X z z dz c R R
j?
?
?
??
? ??
?
??
? ? ?
??
?
?? (2.5.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,用留数定理求逆 Z变换
如果 X(z)zn-1在围线 c内的极点用 zk表示, 根据留数
定理
111 ( ) R e [ ( ),]
2
nn
kc
k
X z z d z s X z z zj? ??? ???
(2.5.6)
式中 表示被积函数 X(z)zn-1在
极点 z=zk的留数, 逆 Z变换则是围线 c内所有的极点留
数之和 。
如果 zk是单阶极点, 则根据留数定理
11R e [ ( ),] ( ) ( )
k
nnk k z zs X z z z z z X z z?? ?? ? ?
(2.5.7)
1R e [ ( ),]n ks X z z z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
由 (2.5.8)式表明, 对于 N阶极点, 需要求 N-1次导
数, 这是比较麻烦的 。 如果 c内有多阶极点, 而 c外没
有多阶极点, 可以根据留数辅助定理改求 c外的所有极
点留数之和, 使问题简单化 。
设被积函数用 F(z)表示, 即
如果 zk是 N阶极点, 则根据留数定理
1
11
1
1R e [ ( ),] [ ( ) ( ) ]
( 1 ) ! k
N
n N n
k k z zN
ds X z z z z z X z z
N dz
?
??
?????
(2.5.8)
1( ) ( ) nF z X z z ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
F(z)在 z平面上有 N个极点, 在收敛域内的封闭曲
线 c将 z平面 上极点分成两部分,一部分是 c内极点,
设有 N1个极点, 用 z1k表示； 另一部分是 c外极点, 有
N2个, N=N1+N2,用 z2k表示 。 根据留数辅助定理下
式成立,
12 12
11
R e [ ( ),] R e [ ( ),]
NN
kk
kk
s F z z s F z z
??
????
(2.5.9)
注意 (2.5.9)式成立的条件是 F(z)的分母阶次比分子
阶次必须高二阶以上 。 设 X(z)=P(z)/Q(z),P(z)与 Q(z)
分别是 M与 N阶多项式 。 (2.5.9)式成立的条件是
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N-M-n+1≥2
因此要求 N-M-n≥1 (2.5.10)
如果 (2.5.10)式满足,c圆内极点中有多阶极点, 而 c
圆外极点没有多阶的, 可以按照 (2.5.9)式, 改求 c圆外
极点留数之和, 最后加一个负号 。
例 2.5.6 已知 X(z)=(1-az-1)-1,|z|>a,求其逆 Z变换
x(n)。
1 1 1
1
1
1
( ) ( 1 )
2
1
()
1
n
c
n
n
x n a z z d z
j
F z z
az
z
za
?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
为了用留数定理求解, 先找出 F(z)的极点, 极点
有,z=a; 当 n<0时 z=0共二个极点, 其中 z=0极点和 n的
取值有关 。 n≥0时, n=0不是极点 。 n<0时, z=0是一
个 n阶极点 。 因此分成 n≥0和 n<0两种情况求 x(n)。
n≥0 时,
( ) R e [ ( ),]
()
n
za
n
x n s F z a
z
za
za
a
?
?
??
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时, 增加 z=0的 n阶极点, 不易求留数, 采用
留数辅助定理求解, 检查 (2.5.10)式是否满足, 此处
n<0,只要 N-N≥0,(2.5.10)式就满足 。
图 2.5.4 例 2.5.6中 n<0时 F(z)极点分布
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.7已知, 求其逆
变换 x(n)。
解,该例题没有给定收敛域, 为求出唯一的原序
列 x(n),必须先确定收敛域 。 分析 X(z),得到其极点
分布如图 2.5.5所示 。 图中有二个极点 z=a和 z=a-1,这
样收敛域有三种选法, 它们是
(1) |z|>|a-1|,对应的 x(n)是右序列；
(2) |a|<|z|<|z-1|,对应的 x(n)是双边序列；
(3) |z|<|a|,对应的 x(n)是左序列 。
2
1
1( ),1
( 1 ) ( 1 )
aX z a
az az ?
???
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.5.5 例 2.5.7 X(z)极点分布图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
下面按照收敛域的不同求其 x(n)。
(1) 收敛域 |z|>|a-1|
2
1
1
2
1
1
()
( 1 ) ( 1 )
1
( ) ( )
n
n
a
F z z
az az
a
z
a z a z a
?
?
?
?
?
??
?
?
? ? ?
种收敛域是因果的右序列, 无须求 n<0时的 x(n)。
当 n≥0时, 围线积分 c内有二个极点 z=a和 z=a-1,因此
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
最后表示成,x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域 |z|<|a|
这种情况原序列是左序列, 无须计算 n≥0情况,
当 n≥0时, 围线积分 c内没有极点, 因此 x(n)=0。 n<0
时, c内只有一个极点 z=0,且是 n阶极点, 改求 c外极
点留数之和
1
1
22
1
1
( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( ) ( 1 ) ( ) ( )
nn
za za
nn
x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
z a az a z a z a
aa
?
?
?
? ? ?
?
??
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
最后将 x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(3) 收敛域 |a|<|z|<|a-1|
这种情况对应的 x(n)是双边序列。 根据被积函数
F(z),按 n≥0和 n<0两情况分别求 x(n)。
n≥0时, c内极点 z=a
x(n)=Res［ F(z),a］ =an
1
1
22
1
11
0,( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
nn
za za
n n n n
n x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
a z a z a a z a z a
a a a a
?
?
?
??? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时, c内极点有二个, 其中 z=0是 n阶极点,
改求 c外极点留数, c外极点只有 z=a-1,因此
x(n)=-Res［ F(z),a-1］ =a-n
最后将 x(n)表示为
an n≥0
x(n)= x(n)=a|n|
a-n n<0
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,幂级数法 (长除法 )
按照 Z变换定义 (2.5.1)式, 可以用长除法将 X(z)写
成幂级数形式, 级数的系数就是序列 x(n)。 要说明的
是, 如果 x(n)是右序列, 级数应是负幂级数； 如 x(n)
是左序列, 级数则是正幂级数 。
例 2.5.8已知 用长除法求其逆 Z
变换 x(n)。
解由收敛域判定这是一个右序列, 用长除法将其
展成负幂级数
1
1( ),
1X z z aaz ????
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1 2 2
1
1
1 2 2
22
1
1
1
az a z
az
az
az a z
az
??
?
?
??
?
? ? ? ???
?
?
???
1-az-1
()Xz
1 2 2 3 3
0
( ) 1
( ) ( )
nn
n
n
X z a z a z a z a z
x n a u n
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析 1 2 2 3 3
1
1
1 2 2
22
1
1
a z a z a z
az
az
a z a z
az
? ? ?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
例 2.5.9 已知求 其逆 Z变
换 x(n)。
解：由收敛域判定, x(n)是左序列, 用长除法将
X(z)展成正幂级数
1
1( ),
1X z z aaz ????
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,部分分式展开法
对于大多数单阶极点的序列, 常常用这种部分分
式展开法求逆 Z变换 。
设 x(n)的 Z变换 X(z)是有理函数, 分母多项式是 N阶,
分子多项式是 M阶, 将 X(z)展成一些简单的常用的部分
分式之和, 通过查表 (参考表 2.5.1)求得各部分的逆变换,
再相加即得到原序列 x(n)。 设 X(z)只有 N个一阶极点,
可展成正式
1
1 2 2( ) [ ]
( ) ( 1 )
nn
n
n
X z a z a z a z
x n a u n
?
? ? ?
? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
观察上式, X(z)/z在 z=0的极点留数就是系数 A0，
在 z=zm的极点留数就是系数 Am。
0
1
0
1
()
()
N
m
m m
N
m
m m
Az
X z A
zz
X z A A
z z z z
?
?
??
?
??
?
?
?
(2.5.11)
(2.5.12)
0
()
R e [,0 ]
()
R e [,]mm
Xz
As
z
Xz
A s z
z
?
?
(2.5.13)
(2.5.14)
求出 Am系数 (m=0,1,2,…N)后, 很容易示求得 x(n)序列 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.10已知,求逆 Z变换。 1
12
5( ),2 3
16
zX z z
zz
?
??? ? ???
解
2
12
1 2 2
12
23
11
( ) 5 5 5
1 6 6 ( 2 )( 3 ) 2 3
( ) ( )
R e [,2 ] ( 2 ) 1
( ) ( )
R e [,3 ] ( 3 ) 1
( ) 1 1
( 2 ) ( 3 )
11
()
1 2 1 3
z
z
X z z A A
z z z z z z z z z
X z X z
A s z
zz
X z X z
A s z
zz
Xz
z z z
Xz
zz
?
??
?
??
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? ? ? ? ? ? ? ?
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??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
因为收敛域为 2<|z|<3,第一部分极点是 z=2,因此
收敛域为 |z|>2。 第二部分极点 z=-3,收敛域应取 |z|<3。
查表 2.5.1得到
x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)
一些常见的序列的 Z变换可参考表 2.5.1。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
表 2.5.1 常见序列 Z变换
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
Z变换有许多重要的性质和定理, 下面进行介绍 。
1.线性
设 X(z)=ZT［ x(n)］,Rx-<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［ y(n)］,Ry- <|z|< Ry+
则 M(z)=ZT［ m(n)］
=aX(z)+bY(z),R m-<|z|<R m+ (2.5.15)
Rm+=max［ Rx+,Ry+］
Rm-=max［ Rx,Ry-］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
这里 M(z)的收敛域 (Rm-,Rm+)是 X(z)和 Y(z)的公式
收敛域, 如果没有公共收敛域, 例如当
R x+>R x->R y+>R y-时, 则 M(z)不存在 。
2,序列的移位
设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
则 ZT［ x(n-n0)］ =z-n0X(z),R x-<|z|<R x+ (2.5.16)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,乘以指数序列
设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
y(n)=anx(n),a为常数
则 Y(z)=ZT［ anx(n)］
=X(a-1 z) |a|R x-<|z|<|a|R x+ (2.5.17)
证明
11( ) ( ) ( )( ) ( )n n n
nn
Y z a x n z x n a z X a z
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
因为 Rx-<|a-1 z|<Rx+,得到 |a| Rx- <|z|<|a| Rx+ 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
11
1
()
[ ( ) ] ( ) [ ]
( ) ( )
[ ( ) ]
()
[ ( ) ]
nn
nn
nn
nn
dX z d d
x n z x n z
dz dz dz
nx n z z nx n z
z Z T nx n
dX z
Z T nx n z
dz
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
??
??
??
??
4.序列乘以 n
设
( ) [ ( )]
()
[ ( )]
xx
xx
X z Z T x n R z R
d X z
Z T n x n z R z R
dz
??
??
? ? ?
? ? ? ?
则 (2.5.18)
证明
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5.复序列的共轭
设
* * *
* * * *
* * * *
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ( )
xx
xx
nn
n
n
n
X z Z T x n R z R
X Z Z T X n R z R
Z T X n X n z x n Z
x n Z X Z
??
??
?
??
? ??
?
?
? ??
?
?
??
??
??
?
则
证明
(2.5.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6.初值定理
设 x(n)是因果序列, X(z)=ZT［ x(n)］
(0 ) l i m ( )xx X z??? (2.5.20)
12
0
( ) ( ) ( 0) ( 1 ) ( 2 )n
n
X z x n z x x z x z
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
证明
l i m ( ) (0 )x X z x?? ?
因此
7.终值定理
若 x(n)是因果序列, 其 Z变换的极点, 除可以有一
个一阶极点在 z=1上, 其它极点均在单位圆内, 则
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z? ? ???
(2.5.21)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( )] n
n
z X z x n x n z
?
?
? ? ?
? ? ? ??
证明
因为 x(n)是因果序列,
10
( ) 0,0
( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
nn
mm
x
mm
x n n
z X z x m z x m z??
??
? ? ?
??
? ? ? ???
因为 (z-1)X(z)在单位圆上无极点, 上式两端对 z=1
取极限
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
10
l i m ( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
l i m [ ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]
l i m ( 1 ) l i m ( )
nn
xx
mm
x
xx
z X z x m x m
x x x n
x x x x n
x n x n
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
终值定理也可用 X(z)在 z=1点的留数, 因为
1
li m ( 1 ) ( ) R e [ ( ),1 ]
( ) R e [ ( ),1 ]
x
z X z s X z
x s X z
?
??
?? (2.5.22) 因此
如果单位圆上,X(z)无极点，则 x(∞)=0。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
8,序列卷积
设
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ] ( ) ( ),
m in[,]
m a x[,]
xx
yy
y
y
n x n y n
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
W z Z T n X z Y z R z R
R R R
R R R
??
??
??
?
?
??
??
??
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
则
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
m
n
W z Z T x n y n
x m y n m z
x m y n m z
x m z Y z
X z Y z
??
?
? ?? ? ??
??
?
? ?? ? ??
?
?
? ??
??
??
??
?
??
??
??
?
证明
W(z)的收敛域就是 X(z)和 Y(z)的公共收敛域 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.11已知网络的单位取样响应 h(n)=anu(n),|a|<1，
网络输入序列 x(n)=u(n),求网络的输出序列 y(n)。
解,y(n)=h(n)*x(n)
求 y(n)可用二种方法, 一种直接求解线性卷积, 另
一种是用 Z变换法 。
0
1
0
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
,0
1
m
m
m
n
m
m
y n h m x n m
a u m u n m
a
an
a
?
? ??
?
?
??
?
??
??
?
? ? ?
?
?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
11
1
( 2 ) ( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( ) ],
1
1
( ) [ ( ) ],1
1
1
( ) ( ) ( ),1
( 1 ) ( 1 )
1
()
2 ( 1 ) ( )
n
n
c
y n h n x n
H z Z T a u n z a
az
X z Z T u n z
z
Y z H z X z z
z az
z
y n dz
z z a?
?
?
??
?
??
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
??
??
由收敛域判定 y(n)=0,n<0。
n≥0 y(n)=Res［ Y(z)z n-1,1］ +Res［ Y(z)z n-1,a］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析 11
1
11
1 1 1
1
( ) ( )
1
nn
n
aa
a a a
a
y n u n
a
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
将 y(n)表示为
9.复卷积定理
如果 ZT［ x(n)］ =X(z),R x-<|z|<R x+
ZT［ y(n)］ =Y(z),R y-<|z|<R y+
w(n)=x(n)y(n)
则
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
2
m a x(,) m in(,)
c
x y x y
xx
yy
z dv
W z X v Y
j v v
R R z R R
zz
R v R
RR
?
? ? ? ?
??
??
?
??
??
??
W(z)的收敛域
(2.5.24)式中 v平面上, 被积函数的收敛域为
(2.5.24)
(2.5.25)
(2.5.26)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
1
[ ( ) ] ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n
n
nn
c
n
n
c
n
c
W z x n y n z
X v v dv y n z
j
z dv
X v y n
j v v
z dv
X v Y
j v v
?
?
?
?
?
? ??
?
??
? ??
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
证明
由 X(z)收敛域和 Y(z)的收敛域, 得到
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.12已知 x(n)=u(n),y(n)=a|n|,若 w(n)=x(n)y(n)，
求 W(z)=ZT［ w(n)］
解,
m a x(,) m in (,)
xx
yy
x y x y
xx
yy
R v R
z
RR
v
R R z R R
zz
R v R
RR
??
??
? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
因此
1
1( ),1
1X z zz ?? ? ? ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
W(z)收敛域为 |a|<|z|≤∞；被积函数 v平面上收敛域
为 max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|),v平面上极点,a,a-1和
z,c内极点 z=a。
2
1
1
2
1
1
( ),
( 1 )( 1 )
1 ( 1 ) 1
()
2 ( 1 )( 1 )
1
c
a
Y z a z a
a z a z
a d v
Wz
uj a v a v v
z
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
?
??
1
1
( ) Re [ ( ),],
1
( ) ( )n
W z s F v a a z
az
w n a u n
?? ? ? ? ??
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
10.帕斯维尔 (Parseval)定理
利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理 。
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
1,1
xx
yx
x y x x
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
R R R R
??
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
那么
111( ) ( ) ( ) ( )
2 cn x n y n X v Y v d vjv?
?
? ? ?
?
? ? ?
?? ??
v平面上, c所在的收敛域为
11m a x (,) m in (,)
xx
yy
R v RRR??
??
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
证明 令 w(n)=x(n)·y*(n)
按照 (2.5.24)式, 得到
11( ) [ ( )] ( ) (( ) )
2 c
zW z Z T w n X v Y v d v
jv?
? ? ??? ??
按照 (2.5.25)式, R x-R y-<|z|<R x+R y+,按照假
设, z=1在收敛域中, 令 z=1代入 W(z)中 。
1
1
1
11
( 1 ) ( ) ( )
2
( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( ) ( )
2
c
n
z
nn
c
n
W X v Y v dv
jv
W x n y n z x n y n
x n y n X v Y v dv
jv
?
?
??
?
??
? ? ?
?
? ?? ? ??
?
? ? ?
?
? ??
?
??
?
?
??
? ?
?
?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
如果 x(n)和 y(n)都满足绝对可和, 即单位圆上收敛,
在上式中令 v=e jω,得到
22
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
jj
n
j
n
x n y n X e Y e d
x n X e d
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ?
? ?(2.5.29)
令 x(n)=y(n)得到
上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维
尔定理 (2.2.34)式是相同的 。 (2.5.28)式还可以表示成下式,
2 11( ) ( ) ( )
2 cn
dzx n X z X z
jz?
?
?
? ? ?
?? ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.5 利用 Z变换解差分方程
在第一章中介绍了差分方程的递推解法, 下面介
绍 Z变换解法 。 这种方法将差分方程变成了代数方程,
使求解过程简单 。
设 N阶线性常系数差方程为
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
(2.5.30)
1.求稳态解
如果输入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞时加上的, n时
刻的 y(n)是稳态解, 对 (2.5.30)式求 Z变换, 得到
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
0
0
0
0
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) [ ( ) ]
NN
kk
kk
kk
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
a Y z z b X z z
bz
Y z X z
az
Y z H z X z
bz
Hz
az
y n Z T Y z
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
式中
(2.5.31)
(2.5.32)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,求暂态解
对于 N阶差分方程, 求暂态解必须已知 N个初始条
件 。 设 x(n)是因果序列, 即 x(n)=0,n<0,已知初始条件
y(-1),y(-2)…y(-N)。 对 (2.5.30)式进行 Z变换时, 注意这
里要用单边 Z变换 。 方程式的右边由于 x(n)是因果序列,
单边 Z变换与双边 Z变换是相同的 。 下面先求移位序列
的单边 Z变换 。
设
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
0
0
()
0
1
0
1
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] ( )
()
()
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
n
n
n
n
m n m
n
mk
km
m k k
k k m
mk
km
Y z y n z
Z T y n m u n y n m z
z y n m z
z y k z
z y k z y k z
z Y z y k z
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
??
??
? ? ?
? ? ?
?
??
??
?
? ? ?
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
(2.5.33)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照 (2.5.33)式对 (2.5.30)式进行单边 Z变换
1
00
1
00
00
[ ( ) ( ) ] ( )
()
( ) ( )
k
NM
k l k
k
k i k k
MN
k k l
kk
k k i k
NN
kk
kk
kk
a z Y z y l z b X z z
b z a z y l z
Y z X z
a z a z
?
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
? ? ?
? ? ?
??
(2.5.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.5.13已知差分方程 y(n)=by(n-1)+x(n),式中
x(n)=anu(n),y(-1)=2,求 y(n)。
解：将已知差分方程进行 Z变换
1
1
( ) ( ) ( 1 ) ( )
2 ( )
()
1
Y z b z Y z b y X z
b X z
Yz
bz
?
?
? ? ? ?
?
?
?
式中,
1
1( ),
1X z z aaz ????
于是
1 1 1
21()
1 ( 1 )( 1 )
bYz
b z a z b z? ? ???? ? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
收敛域为 |z|>max(|a|,|b|),
1 1 11( ) 2 ( ),0n n ny n b a b n
ab
? ? ?? ? ? ?
?
式中第一项为零输入解, 第二项为零状态解 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6 利用 Z变换分析信号和系统
的频域特性
2.6.1 传输函数与系统函数
设系统初始状态为零, 输出端对输入为单位脉冲
序列 δ(n)的响应, 称为系统的单位脉中响应 h(n),对 h(n)
进行傅里叶变换得到 H(e jω)
( ) ( )j j n
n
H e h n e??
?
?
? ??
? ?
(2.6.1)
一般称 H(e jω)为系统的传输函数，它表征系统的
频率特性。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
设 h(n)进行 Z变换, 得到 H(z),一般称 H(z)为系统
的系统函数, 它表征了系统的复频域特性 。 对 N阶差
分方程 (1.4.2)式, 进行 Z变换, 得到系统函数的一般
表示式
0
0
()
()
()
M
i
i
i
N
i
i
i
bz
Yz
Hz
Xz
az
?
?
?
?
??
?
?
(2.6.2)
如果 H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1,H(e jω)与
H(z)之间关系如下式,
( ) ( ) jj zeH e H z ?? ??
(2.6.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和
稳定性
因果 (可实现 )系统其单位脉响应 h(n)一定满足当
n<0时, h(n)=0,那么其系统函数 H(z)的收敛域一定包
含 ∞点, 即 ∞点不是极点, 极点分布在某个圆的圆内,
收敛域在某个圆外 。
系统稳定要求, 对照 Z变换定义,
系统稳定要求收敛域包含单位圆 。 如果系统因果且稳
定, 收敛域包含 ∞点和单位圆, 那么收敛域可表示为
r<|z|≤∞,0<r<1
()
n
hn?
? ??
???
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.6.1已知 分析其因果
性和稳定性,
解,H(z)的极点为 z=a,z=a-1,如图 2.5.5所示 。
(1)收敛域 a-1<|z|≤∞,对应的系统是因果系统, 但由
于收敛域不包含单位圆, 因此是不稳定系统 。 单位脉
冲响应 h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题 2.5.7),这是一个因果
序列, 但不收敛 。
(2)收敛域 0≤|z|＜ a,对应的系统是非因果且不稳定系
统 。 其单位脉冲响应 h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题 2.5.7)，
这是一个非因果且不收敛的序列 。
2
1
1( ),0 1
( 1 ) ( 1 )
aH z a
az az?
?? ? ?
??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(3)收敛域 a<|z|<a-1,对应的系统是一个非因果系统,
但由于收敛域包含单位圆, 因此是稳定系统 。 其单位
脉冲响应 h(n)=a|n|,这是一个收敛的双边序列, 如图
2.6.1(a)所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.1 例 2.6.1图示
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性
将 (2.6.2)式因式分解, 得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
M
r
r
cz
H z A
dz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(2.6.4)
式中 A=b0/a0,上式中 cr是 H(z)的零点, dr是其极点 。
A参数影响传输函数的幅度大小, 影响系统特性的是零
点 cr和极点 d 的分布 。 下面我们采用几何方法研究系统
零极点分布对系统频率特性的影响 。
将 (2.6.4)式分子分母同乘以 z N+M,得到
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
() 1
1
()
()
()
()
()
()
M
r
NM r
N
r
r
M
j
r
j j N M r
N
j
r
r
zc
H z Az
zd
ec
H e Ae
ed
?
??
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
设系统稳定，将 z=e jω，得到传输函数
(2.6.5)
(2.6.6)
设 N=M,由 (2.6.6)式得到
1
1
()
()
()
M
j
r
j r
N
j
r
r
ec
H e A
ed
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(2.6.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
在 z平面上, ejω-cr用一根由零点 cr指向单位圆上 ejω
点 B的向量 表示, 同样 ejω-dr用内极点指向 ejω点 B
的向量 表示, 如图 2.6.2所示 。
rdB
uuur
rcB
uuur
j
rr
j
rr
c B e c
d B e d
?
?
??
??
uuur
uuur
和 分别称为零点矢量和极点矢量, 将它们用
极坐标表
rcB
uuur
rdB
uuur
r
r
j
rr
j
rr
c B c e
d B d e
?
?
?
?
uuur
uuur
表示式代入 (2.6.7)式, 得到
rcB
uuur
rdB
uuur
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()1
1
1
1
11
( ) ( )
()
()
N
r
j j jr
N
r
r
N
r
j r
N
r
r
NN
rr
rr
cB
H e A H e e
dB
cB
H e A
dB
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
??
u u ur
u u u r
(2.6.8)
(2.6.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
系统的传输特性或者信号的频率特性由 (2.6.8)式
和 (2.6.9)式确定 。 当频率 ω从零变化到 2π时, 这些向量
的终点 B沿单位圆逆时针旋转一周, 按照 (2.6.8)式 (2.6.9)
式, 分别估算出系统的幅度特性和相位特性 。 例如图
2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.2 频响的几何表示法
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2 已知 H(z)=z-1,分析其频率特性
解：由 H(z)=z-1,极点为 z=0,幅度特性
|H(e jω)|=1,相位特性 φ(ω)=-ω,频响如图 2.6.3所示 。
用几何方法也容易确定, 当 ω=0转到 ω=2π时, 极
点矢量的长度始终为 1。 由该例可以得到结论, 处于原
点处的零点或极点, 由于零点矢量长度或者是极点矢
量长度始终为 1,因此原点处的零极点不影响系统的频
率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.3 H(z)=z-1的频响
1
0
0
ω
ω
)(e
j ?
H
)(j ??
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 设一阶系统的差分方程为
y(n)=by(n-1)+x(n)
用几何法分析其幅度特性 。
解：由系统差分方程得到系统函数为
系统极点 z=b,零点 z=0,当 B点从 ω=0逆时旋转时,
在 ω=0点由于极点矢量长度最短, 形成波峰 。 在 ω=π时
形成波谷 。 z=0处零点不影响频响 。 极零点分布及幅度
特性如图 2.6.4所示 。
1
1( ) | z | >| b|
1
zHz
bz z b?????
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.4 例 2.6.3插图
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.4 已知 H(z)=1-z-N,试定性画出系统的幅频特性 。
解,
H(z)的极点为 z=0,这是一个 N阶极点, 它不影响系
统的频响 。 零点有 N个, 由分子多项式的根决定
1( ) 1 NN
N
zH z z
z
? ?? ? ?
2
2
1 0,
,0,1,2,1
N N j k
jk
N
z z e
z e k N
?
?
? ? ?
? ? ? ?? ?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N个零点等间隔分布在单位圆上，设 N=8，极零点
分布如图 2.6.5所示。当 ω从零变化到 2π时，每遇到一个
零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成
峰值。幅度谷值点频率为,ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。
一般将具有如图 2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳
状滤波器。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性 。
解,
1
11
0
11( ) ( )
1 ( 1 )
NNN
nn
NN N
nn
zzR z R n z z
z z z
???
??
??
? ?? ?
??? ? ? ???
零点,
极点,
2
,0,1,2,1 ;
0 ( 1 ) 1
jk
Nz e k N
z N z
?
? ? ? ?? ?
? ? ?
设 N=8,z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点
分布及其幅频特性如图 2.6.6所示。
阶零点
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.6 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性
