第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与
状态变量分析法
5.1 引言
5.2 用信号流图表示网络结构
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.5 状态变量分析法
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.1 引言
一般时域离散系统或网络可以用差分方程, 单位
脉冲响应以及系统函数进行描述 。 如果系统输入输出
服从 N阶差分方程
01
0
1
( ) ( ) ( )
()
()
()
1
MN
ii
ii
M
i
i
i
N
i
i
i
y n b x n i a y n i
bz
Yz
Hz
Xz
az
??
?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
??
?
?
其系统函数 H(z)为
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如,1
12
2 11
3 11
1
()
1 0,8 0,1 5
1,5 2,5
()
1 0,3 1 0,5
11
()
1 0,3 1 0,5
Hz
zz
Hz
zz
Hz
zz
??
??
??
?
??
?
??
??
??
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.2 用信号流图表示网络结构
观察 (5.1.1)式, 数字信号处理中有三种基本算法,
即乘法, 加法和单位延迟, 三种基本运算用流图表示
如图 5.2.1所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.2.1 三种基本运算的流图表示
z
－ 1
x ( n ) x ( n － 1 )
x ( n ) ax ( n )
a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
x ( n ) x ( n － 1 )z
－ 1
x ( n ) ax ( n )a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
和每个节点连接的有输入支路和输出支路, 节点
变量等于所有输入支路的输出之和 。 在图 5.2.2中,
12
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n x n a n a n
y n b n b n b n
??
??
? ? ?
? ? ?
??
???
? ? ? ?
?? ? ?
(5.2.1)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.2.2 信号流图
(a)基本信号流图； (b)非基本信号流图
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
不同的信号流图代表不同的运算方法, 而对于同
一个系统函数可以有很多种信号流图相对应 。 从基本
运算考虑, 满足 以下 条件, 称为基 本信号 流图
(Primitive Signal Flow Graghs)。
(1) 信号流图中所有支路都是基本的, 即支路增益
是常数或者是 z-1；
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.2.1 求图 5.2.2(a)信号流图决定的系统函数 H(z)。
解 将 5.2.1式进行 z变换，得到
1
12
1
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
W z W z z
W z W z z
W z X z a W z a W z
Y z b W z b W z b W z
?
?
?
??
? ? ? ?
?? ? ?
经过联立求解得到,
12
0 1 2
12
12
()()
( ) 1
Y z b b z b zHz
X z a z a z
??
??
????
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路, 因
此差分方程用下式描述,
0
( ) ( )
M
i
i
y n b x n i
?
???
其单位脉冲响应 h(n)是有限长的，按照 (5.2.2)式,
h(n)表示为
,0()
0,
nb n Mhn ???? ?
? 其它 n
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
另一类 IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路,
也就是说, 信号流图中存在环路 。 这类网络的单位脉
冲响应是无限长的 。 例如一个简单的一阶 IIR网络差分
方程为
y(n)=ay(n-1)+x(n)
其单位脉冲响应 h(n)=anu(n)。 这两类不同的网络结
构各有不同的特点, 下面分类叙述 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
1.直接型
对 N阶差分方程重写如下,
01
( ) ( ) ( )
MN
ii
ii
y n b x n i a y n i
??
? ? ? ???
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.1 IIR网络直接型结构
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
x ( n )
x ( n － 1 )
x ( n － 2 )
y ( n )
y ( n － 1 )
y ( n － 2 )
x ( n ) y ( n )b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
w
2
w
1
H
1
( z ) H
2
( z )
H
2
( z ) H
1
( z )
x ( n ) y ( n )
a
1
a
2
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
（ a ）
（ b ）
（ c ）
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数 H(z)为
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
5 3 11
4 4 8
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
画出该滤波器的直接型结构 。
解 由 H(z)写出差分方程如下,
5 3 1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 8 ( ) 4 ( 1 )
4 4 8
1 1 ( 2 ) 2 ( 3 )
y n y n y n y n x n x n
x n x n
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.2 例 5.3.1图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
－ 4
8
11
－ 2
45
43?
81
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
2,级联型
在 (5.1.2)式表示的系统函数 H(z)中, 公子分母均为
多项式, 且多项式的系数一般为实数, 现将分子分母
多项式分别进行因式分解, 得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
N
r
r
Cz
H z A
dz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(5.3.1)
形成一个二阶网络 Hj(z)； Hj(z)如下式,
12
0 1 2
12
12
() 1 j j jj
jj
zzHz
a z a z
? ? ???
??
???
??
(5.3.2)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中, β0j,β1j,β2j,α1j和 α2j均为实数 。 这 H(z)就
分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式, 如下式,
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中 Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统
函数, 每个 Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型
网络结构, 如图 5.3.3所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构
(a)直接型一阶网络结构； (b)直接型二阶网络结构
x ( n ) y ( n )
z － 1
x ( n ) y ( n )
z － 1
z － 1
( a )
( b )
j0?
j1?
j2?
j1?
j2?
j1? j1?
j0?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.3.2 设系统函数 H(z)如下式,
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
1 1, 2 5 0, 7 5 0, 1 2 5
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
试画出其级联型网络结构。
解 将 H(z)分子分母进行因式分解, 得到
1 1 2
1 1 2
( 2 0.379 ) ( 4 1.24 5.264 )()
( 1 0.25 ) ( 1 0.5 )
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
3.并联型
如果将级联形式的 H(z),展开部分分式形式, 得
到 IIR并联型结构 。
图 5.3.4 例 5.3.2图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
4
z － 1
－ 0, 3 7 90, 2 5
－ 1, 2 4
5, 2 6 4－ 0, 5
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中, Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络, 网络系
统均为实数 。 二阶网络的系统函数一般为
12( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z? ? ? ? ? ? ?
(5.3.4)
1
01
12
12
() 1 iii
ii
zHz
a z a z
?? ?
??
??
??
式中, β0i,β1i,α1i和 α2i都是实数 。 如果
a2i=0则构成一阶网络 。 由 (5.3.4)式, 其输出 Y(z)表示为
Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.3.3 画出例题 5.3.2中的 H(z)的并联型结构 。
解 将例 5.3.2中 H(z)展成部分分式形式,
1
1 1 2
8 1 6 2 0( ) 1 6
1 0, 5 1 0, 5
zHz
z z z
?
? ? ?
??? ? ?
? ? ?
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结
构如图 5.3.5所示。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.5 例 5.3.3图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
16
8
0, 5
20
－ 16
－ 0, 5
z
－ 1
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路, 即没有环路,
其单位脉冲响应是有限长的 。 设单位脉冲响应 h(n)长度
为 N,其系统函数 H(z)和差分方程为
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
n
n
N
m
H z h n z
y n h m x n m
?
?
?
?
?
?
??
?
?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
1.直接型
按照 H(z)或者差分方程直接画出结构图如图 5.4.1
所示 。 这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型
结构 。
图 5.4.1 FIR直接型网络结构
x ( n )
y ( n )
z － 1 z － 1 z － 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N － 2) h ( N － 1)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
2,级联型
将 H(z)进行因式分解, 并将共轭成对的零点放在一
起, 形成一个系数为实数的二阶形式, 这样级联型网
络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构, 其中
每一个因式都用直接型实现 。
例 5.4.1 设 FIR网络系统函数 H(z)如下式,
H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出 H(z)的直接型结构和级联型结构。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
解 将 H(z)进行因式分解, 得到,
H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图 5.4.2所示。
图 5.4.2 例 5.4.1图
z － 1 z － 1
z － 1
x ( n ) 0, 6
0, 5
1, 6
2
3
y ( n )
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1
0, 9 6 2 2, 8 1, 5
( a ) ( b )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
3,频率采样结构
频率域等间隔采样, 相应的时域信号会以采样点
数为周期进行周期性延拓, 如果在频率域采样点数 N大
于等于原序列的长度 M,则不会引起信号失真, 此时
原序列的 z变换 H(z)与频域采样值 H(k)满足下面关系式,
设 FIR滤皮器单位脉冲响应 h(n)长度为 M,系统函
数 H(z)=ZT［ h(n)］, (5.4.1)式中 H(k)用下式表示,
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
N
k
k N
HkH z z
N W z
?
?
??
?
?? ??
(5.4.1)
2( ) ( ),0,1,2,1jk
Nze
H k H z k N?
?
? ? ?? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
要求频率域采样点数 N≥M。 (5.4.1)式提供了一种称
为频率采样的 FIR网络结构 。 请读者分析 IIR滤波网络,
为什么不采用频率采样结构 。 将 (5.4.1)式写成下式,1
0
1
1
( ) ( ) ( )
( ) 1
()
()
1
N
ck
k
N
c
k k
N
H z H z H z
N
H z z
Hk
Hz
Wz
?
?
?
??
?
??
?
?
?
(5.4.2)
式中
Hc(z)是一个梳状滤皮网络 (参考第八章 ),其零点为
2
,0,1,2,1jk kNkNz e W k N? ?? ? ? ? ?? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.4.3 FIR滤波器频率采样结构
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
－ z
－ N
H ( 0 )
H ( 1 )
H ( N － 1 )
0
N
W
1?
N
W
1?? N
N
W
z
－ 1
N
1
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
(1) 在频率采样点 ωk,H(ejωk)=H(k), 只要调整
H(k)(即一阶网络 Hk(z)中乘法器的系数 H(k)),就可以有
效地调整频响特性, 使实际调整方便 。
(2)只要 h(n)长度 N相同, 对于任何频响形状, 其梳
状滤波器部分和 N一阶网络部分结构完全相同, 只是各
支路增益 H(k)不同 。 这样, 相同部分便于标准化, 模
块化 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
然而, 上述频率采样结构亦有两个缺点,
(1)系统稳定是靠位于单位圆上的 N个零极点对消来
保证的。
(2)结构中, H(k)和 W-kN一般为复数, 要求乘法器完
成复数乘法运算, 这对硬件实现是不方便的 。
为了克服上述缺点, 对频率采样结构作以下修正 。
首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点, 收
缩到半径为 r的圆上, 取 r<1且 r≈1。 此时 H(z)为
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
NN r
k
k N
HkH z r z
N rW z
?
?
??
?
?? ??
(5.4.3)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
另外, 由 DFT的共轭对称性知道, 如果 h(n)是实数
序列, 则其离散傅里叶变换 H(k)关于 N/2点共轭对称,
即 H(k)=H*(N-k)。 而且 W-kN=W-(N-k)N,我们将 hk(z)和
H N-k(z)合并为一个二阶网络, 并记为 Hk(z),则
1 ( ) 1
11
1
01
1 2 2
( ) ( )
()
11
( ) ( )
1 1 ( )
2
1 2 c o s ( )
k k N k
NN
kk
NN
kk
H k H N k
Hz
r W z r W z
H k H k
r W z r W z
a a z
r k z r z
N
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
?
??
??
?
??
??
?
?
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
显然, 二阶网络 Hk(z)的系数都为实数, 其结构如
图 5.4.4(a)所示 。 当 N为偶数时, h(z)可表示为
式中
0
1
2 R e [ ( ) ]
2 R e [ ( ) ]
k
k
kN
a H k
a rH k W
?
?? 1,2,3,,12
Nk ? ??? ?
1
12
01
11
1 2 21
()1 ( 0 )
2( ) ( 1 ) [ ]
211
1 2 co s ( )
N
NN kk
k
N
HH a a z
H z r z
N r z r z k z r z
N
?
?
?
?
??
???
?
? ? ? ?
?? ??
?
(5.4.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中, H(0)和 H(N/2)为实数 。 (5.4.4)式对应的频率
采样修正结构由 N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联
构成, 如图 5.4.4(b)所示 。
图 5.4.4 频率采样修正结构
α
1 k
α
0 k
z
－ 1
z
－ 1
－ r
2)
2
c os (2 k
N
r
?
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
H ( 0 )
z
－ N
－ r
Ｎ
r
1/ N
H
1
( z )
H
2
( z )
z
－ 1
－ r
H ( N / 2 )
( b )
( a )
)(
12
zH
N ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
当 N=奇数时, 只有一个采样值 H(0)为实数, H(z)
可表示为
1( 1 ) / 2
01
1
1 2 21
1 ( 0 )( ) ( 1 ) [ ]
21 1 2 co s ( )
N
NN kk
k
H a a zH z r z
N r z k z r z
N
?
??
?
?
???
?? ? ?
? ???
(5.4.5)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.5 状态变量分析法
1,状态方程和输出方程
状态变量分析法有两个基本方程, 即状态方程和
输出方程 。 状态方程把系统内部一些称为状态变量的
节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号
和那些状态变量联系起来 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.1是二阶网络基本信号流图, 有两个延时支路,
因此建立两个状态变量 w1(n)和 w2(n)。 下面建立流图中其
它节点 w′2和输出 y(n)与状态变量之间的关系 。
22
2 2 1 1 2
12
2 1 1 2 0 2
2 2 0 1 1 1 0 2 0
( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n a n a n x n
nn
y n b n b n b
b a b n b a b n b x n
??
? ? ?
??
? ? ?
??
? ??
? ? ? ? ?
??
?? ? ?
? ? ? ? ?
(5.5.1)
(5.5.2)
(5.5.3)
将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式,
11
22 21
01( 1 ) ( ) 0
()
( 1 ) ( ) 1
nn
xn
aa
?? ???? ? ? ? ??
????? ? ? ? ??
? ?? ??? ? ? ???
(5.5.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.1 二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
z
－ 1
b
0
b
1
b
2
w
1
w
2
w
2
′
－ a
1
－ a
2
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图,
两个延时支路输出节点定为状态变量 w1(n)和 w2(n)。 按
照信号流图写出以下方程,
11
1 11 1 12 2 1
22
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n a n a n b x n
nn
n a n a n b x n
y n c n c n d x n
??
? ? ?
??
? ? ?
??
? ??
? ? ? ?
? ??
? ? ? ?
? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.2 一般二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
b
1
b
2
c
1
c
2
d
a
22
a
12
a
21
w
1
( n )
w
2
( n )
w
1
′
w
2
′
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式,
11 121 1 1
2 2 221 22
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
aan n b
xn
n n baa
?? ???? ? ? ? ? ?
????? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ???
(5.5.6)
1 2 1 2( ) [ ][ ( ) ( )] ( )Ty n c c n n d x n????
(5.5.7)
再用矩阵符号表示,
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B x n
Y n C W n D x n
? ? ?
??
(5.5.8)
(5.5.9)
? ?
11 12
12
21 22
12
,
,
Taa
A B b b
aa
C c c D d
??
??? ?? ??
????
??????
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式 (5.5.8)和式 (5.5.9)分别称为图 5.5.2二阶网络的状
态方程和输出方程 。
如果系统中有 N个单位延时支路, M个输入信号：
x1(n),x2(n),…,xM(n),L个输出信号 y1(n),y2(n),…, yL(n)，
则状态方程和输出方程分别为
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B X n
Y n C W n D X n
? ? ?
??
(5.5.10)
(5.5.11)
式中
12
12
12
( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( )]
T
N
T
M
T
L
W n n n n
X n x n x n x n
Y n y n y n y n
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
,
,
NN
NN
N N N N N N N N
NN
NN
N N N N N N N N
a a a b b b
A a a a B b b b
a a a b b b
c c c d d d
C c c c D d d d
c c c d d d
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
图 5.5.3 状态变量分析法
y ( n )x ( n )
z － 1
W ( n ＋ 1) W ( n )
d
A
B C
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.1 建立图 5.5.4流图的状态方程和输出方程 。
图 5.5.4 例 5.5.1图
x ( n ) y ( n )
z － 1
a
1
b
0
z
－ 1
b
1
b
2
a
2
w
1
( n ＋ 1)
w
1
( n )
w
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
信号流图中有两个延时支路, 分别建立两个状态
变量 w1(n)和 w2(n)(如图 5.5.4所示 ),然后列出延时支路
输入端节点方程如下,
1 1 1 2 2
21
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
n a n a n x n
nn
? ? ?
??
? ? ? ?
??
将上式写成矩阵方程,
1211
22
( 1 ) ( ) 1
()
( 1 ) ( ) 010
aann
xn
?? ???? ? ? ? ??
????? ? ? ? ??
? ????? ? ? ???
(5.5.12)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法 输出信号 y(n)的方程推导如下,
y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)
将上面 w1(n+1)的方程代入上式,
y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)
=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)
1
1 0 1 2 0 2 0
2
()
( ) [,] ( )
()
n
y n a b b a b b b x n
n
?
?
??? ? ? ?
????
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.2直接写出图 5.5.4信号流图的 A,B,C和 D
参数矩阵 。
解
111 12
12
21 22 2
,,[,],baaA B C c c D daa b????? ? ? ? ?????
?? ??
要注意：从 wi(n)到输出节点可能不止一条通路,
要把所有通路增益加起来，即
1 1 1 0 2 2 0 0,c b a b c b a b? ? ? ?
d表示从输入节点到输出节点的通路增益, 这
里 d=d0,最后得到四个参数矩阵为
12 1,
1 0 0
aaAB? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.3 已知系统函数 H(z)为
1 1 2
1 1 2
2 ( 1 ) ( 1 1.44 0.7 )()
( 1 0.5 ) ( 1 0.9 0.81 )
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
(1)画出 H(z)的级联型网络结构；
(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。
1 1 2
1 1 2
( 1 ) 1 1, 4 4 0, 7( ) 2
1 0, 5 1 0, 9 0, 8 1
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?g
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.5 例 5.5.3图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
z － 1
－ 1, 4 1 4
0, 7
0, 9w
1
( n )
w 2 ( n )
w
3
( n )
－ 0, 5 － 1
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
在延时支路输出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和
w3(n)(如图 5.5.5所示 )。 写出状态变量
w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)
w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)
=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)
w3(n+1)=w2(n)
将以上三个方程写成矩阵方程,
11
22
33
( 1 ) ( )0,5 0 0 2
( 1 ) 1,5 0,9 0,8 1 ( ) 2 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
??
??
? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
输出方程为
y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)
将上面得到的 w2(n+1)方程代入上式, 得到,
y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)
将 y(n)写成矩阵方程, 即是要求的输出方程 。
y(n)=［ -1.5-0.514-0.11］［ w1(n)w2(n)w3(n)］ T+2x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.4 已知 FIR滤波网络系统函数 H(z)为
解画出直接型结构如图 5.5.6所示, 在延时支路输
出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和 w3(n)。 根据参数矩阵
中各元素的意义, 直接写出状态方程和输出方程如下,
3
0
() ii
i
H z a z ?
?
? ?
11
22
33
( 1 ) ( )0 0 0 1
( 1 ) 1 0 0 ( ) 1 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
??
??
?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
y(n)=［ a1 a2 a3］ ［ w1(n) w2(n) w3(n)］ T+a0x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.6 例 5.5.4图
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1w 1 ( n ) w 2 ( n )
a
1
a
2
a
3
a
0
w 3 ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
2,由状态变量分析法转换到输入输出分析法
把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下,
W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14)
y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15)
将上面两式进行 Z变换
zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16)
Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中 W(z)=［ W1(z)W2(z)…WN(z)］ T
Wi(z)=ZT［ wi(n)］
X(z)=ZT［ x(n)］
Y(z)=ZT［ y(n)］
由 (5.5.16)式得到,
W(z)=［ zI-A］ -1 BX(z) (5.5.18)
将上式代入 (5.5.17)式, 得到,
1
1
( ) [ ] ( ) ( )
()
( ) [ ]
()
Y z C zI A BX z d X z
Yz
H z C zI A B d
Xz
?
?
? ? ?
? ? ? ?(5.5.19)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下,
21
2 2 0 1 1 0 0
01 0
,
1
[ ],
AB
aa
C b a b b a b d b
?? ??
???? ??
?? ????
? ? ? ?
求该网络的系统函数 。
解
21
11
212
2
12
1
1
[]
1 01
[]
1()
11
( ) [ ]
z
z I A
a z a
za
z I A B
azz z a a
zz a z a
H z C z I A B d
?
?
???
??
??
?
??
??? ??
??
?? ??
???
????
??
?
??
?? ??
? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
系统频响决定于 H(z) 的零, 极 点 分 布 。 设
H(z)=B(z)/A(z),其极点为 A(z)=0的解 。 由 (5.5.19)式得
到,
A(z)多项式称为 A 矩阵的特征多项式, 其根为 A矩
阵的特征值, 因此 A矩阵的特征值就是 H(z)的极点 。 如
果 A矩阵全部特征值的模均小于 1,系统因果稳定, 否
则系统因果不稳定 。
2 1 2
0 1 2 0 1 2
2 1 2
1 2 1 21
b z b z b b b z b z
z a z a a z a z
??
??
? ? ? ???
? ? ? ?
( ) de t( )A z zI A?? (5.5.20)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
z2-3z+2=0
特征值 λ1=1,λ2=2
极点 z1=１, z2=2
将状态方程重写如下,
W(n+1)=AW(n)+Bx(n)
32
10
3 2
d et[ ] 0
1
A
z
z I A
z
???
? ??
??
?
? ? ?
?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
方程式左端是 n+1时刻的状态变量矢量, 右端是 n时
刻的状态变量矢量和输入 x(n)的线性组合 。 由起始值
W(n0),用递推法求出 W(n)的时域解,
n=n0时, W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0)
n=n0+1时, W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1)
=A［ AW(n0)+Bx(n0)］ +Bx(n0 +1)
=A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1)
…
n= n0 +k时 W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+
A k-1 Bx(n0+1)+…+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
令 n′=n0+k+1，则 00
0
0
1
0
1
1
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
nn l
i
nn
nn l
i
W n A W n A Bx n l
W n A W n A Bx n l
??
?? ?
?
?
? ?
?
??? ? ?
? ? ?
?
?
将 n′换成 n,则
(5.5.21)
为求单位脉冲响应, 将 (5.5.15)式中的 x(n)用 δ(n)
代替, W(n)用 (5.5.21))式中的零状态响应代替, 且令
n0=0,此时 y(n)=h(n),得到,
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
1
1
1
( ) ( ) ( )
00
( ) 0
0
n
l
l
n
h n C A B n l d n
n
h n d n
C A B n
??
?
?
?
? ? ?
? ?
?
???
?
?
?
?
(5.5.22)
(5.5.23)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.6 求图 5.5.7所示的 N阶 FIR格形网络的系统函
数以及单位脉冲响应 。
图 5.5.7 例 5.5.6图
z － 1z － 1
w
1
w
2
k
1
k
1
k
2
k
2
…
…
z － 1 z － 1
w
N － 1
k
N － 1
k
N － 1
w
N
k
N
x ( n ) y ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
解 首先建立状态变量 w1(n),w2(n),…,wN(n),如图所
示 。 这种网络没有反馈支路, 直接写出各参数矩阵,
1 2 1
1 2 3
1
[ 1 ]
[]
[ 1 ]
( ) ( )
T
N
N
B k k k
C k k k k
D
H z C zI A B D
?
?
? ???
? ???
?
? ? ?
设 N=2,则有
1
12
12
1
2
1 2 1
12
1 2 2
00
,[ 1 ]
10
[ ],[ 1 ]
0
[ ] [ 1 ] 1
1
[ ( 1 ) ] 1
1 ( 1 )
T
T
A B k
C k k D
z
zI A k z
z
k z k k z z
k k z k z
??
?
??
??
??
??
??
??
??
? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
将上式进行Ｚ反变换, 得单位取样响应,
h(n)=δ(n)+k1(1+k2)δ(n-1)+k2δ(n-2)
如果用 (5.5.22)式求 h(n),也得到同样的结果, 但
要求 A矩阵的 n-1次幂 。 关于求矩阵的幂, 请参考本书
附录 B。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
3,线性变换
下面研究在不改变系统传输函数的条件下, 如何
对状态变量进行线性变换 。 设 T是 N× N非奇异矩阵 。
系统中有 N个延时支路 。 令
G(k)=T-1W(k) (5.5.25)
G(k+1)=T-1W(k+1)
=T-1［ AW(k)+BX(k)］
=T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.26)
Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
按照 (5.5.26)式和 (5.5.27)式, 原来的状态矢量 W(k)变
成新的状态矢量 G(k),状态参数矩阵为 A′,B′,C′和 D′，
即
A′=T-1 AT
B′=T-1 B
C′=CT
D′=D
经过 (5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为
G(k+1)=A′G(k)+B′X(k) (5.5.29)
Y(k)=C′G(k)+D′X(k) (5.5.30)
(5.5.28)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
H′(z)=C′［ zI-A′］ -1 B′ +d′
=CT［ zI-T-1AT］ -1 T-1 B+d
=CT［ T-1(zI-A)T］ -1 T-1 B+d
=CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d
=C(zI-A)-1 B+d′=H(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.7设系统函数 H(z)=z-2,画出信号流图如图
5.5.8(a)所示 。 要求在保证 H(z)不变的情况下, 对状态
变量进行线性变换 。 设 T矩阵如下式所示,
11
12T
???
????
解 根据图 5.5.8(a)写出 z-2的参数矩阵
0 1 0
,
1 0 1
[ 1 0],0
AB
Cd
? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ?
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
按照 (5.5.28)式, 先求出 T-1,
1
11
21
11
2 4 1
,
1 2 1
T
A T AT B T B
?
??
???
? ??
???
?? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.8 例 5.5.7图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
w
2
( n ＋ 1)
z
－ 1
w
1
( n ＋ 1) w
1
( n )w
2
( n )
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
2
w
1
( n )
w
2
( n )
－ 1
－ 1
－ 2
4
w
1
( n ＋ 1)
w
2
( n ＋ 1)
( a )
( b )
结构与状态变量分析法
第 5章 时域离散系统的基本网络结构与
状态变量分析法
5.1 引言
5.2 用信号流图表示网络结构
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.5 状态变量分析法
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.1 引言
一般时域离散系统或网络可以用差分方程, 单位
脉冲响应以及系统函数进行描述 。 如果系统输入输出
服从 N阶差分方程
01
0
1
( ) ( ) ( )
()
()
()
1
MN
ii
ii
M
i
i
i
N
i
i
i
y n b x n i a y n i
bz
Yz
Hz
Xz
az
??
?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
??
?
?
其系统函数 H(z)为
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如,1
12
2 11
3 11
1
()
1 0,8 0,1 5
1,5 2,5
()
1 0,3 1 0,5
11
()
1 0,3 1 0,5
Hz
zz
Hz
zz
Hz
zz
??
??
??
?
??
?
??
??
??
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.2 用信号流图表示网络结构
观察 (5.1.1)式, 数字信号处理中有三种基本算法,
即乘法, 加法和单位延迟, 三种基本运算用流图表示
如图 5.2.1所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.2.1 三种基本运算的流图表示
z
－ 1
x ( n ) x ( n － 1 )
x ( n ) ax ( n )
a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
x ( n ) x ( n － 1 )z
－ 1
x ( n ) ax ( n )a
x
1
( n )
x
2
( n )
x
1
( n ) ＋ x
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
和每个节点连接的有输入支路和输出支路, 节点
变量等于所有输入支路的输出之和 。 在图 5.2.2中,
12
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n x n a n a n
y n b n b n b n
??
??
? ? ?
? ? ?
??
???
? ? ? ?
?? ? ?
(5.2.1)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.2.2 信号流图
(a)基本信号流图； (b)非基本信号流图
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
不同的信号流图代表不同的运算方法, 而对于同
一个系统函数可以有很多种信号流图相对应 。 从基本
运算考虑, 满足 以下 条件, 称为基 本信号 流图
(Primitive Signal Flow Graghs)。
(1) 信号流图中所有支路都是基本的, 即支路增益
是常数或者是 z-1；
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.2.1 求图 5.2.2(a)信号流图决定的系统函数 H(z)。
解 将 5.2.1式进行 z变换，得到
1
12
1
22
2 1 2 2 1
2 1 1 2 0 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
W z W z z
W z W z z
W z X z a W z a W z
Y z b W z b W z b W z
?
?
?
??
? ? ? ?
?? ? ?
经过联立求解得到,
12
0 1 2
12
12
()()
( ) 1
Y z b b z b zHz
X z a z a z
??
??
????
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路, 因
此差分方程用下式描述,
0
( ) ( )
M
i
i
y n b x n i
?
???
其单位脉冲响应 h(n)是有限长的，按照 (5.2.2)式,
h(n)表示为
,0()
0,
nb n Mhn ???? ?
? 其它 n
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
另一类 IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路,
也就是说, 信号流图中存在环路 。 这类网络的单位脉
冲响应是无限长的 。 例如一个简单的一阶 IIR网络差分
方程为
y(n)=ay(n-1)+x(n)
其单位脉冲响应 h(n)=anu(n)。 这两类不同的网络结
构各有不同的特点, 下面分类叙述 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构
1.直接型
对 N阶差分方程重写如下,
01
( ) ( ) ( )
MN
ii
ii
y n b x n i a y n i
??
? ? ? ???
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.1 IIR网络直接型结构
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
x ( n )
x ( n － 1 )
x ( n － 2 )
y ( n )
y ( n － 1 )
y ( n － 2 )
x ( n ) y ( n )b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
a
1
a
2
w
2
w
1
H
1
( z ) H
2
( z )
H
2
( z ) H
1
( z )
x ( n ) y ( n )
a
1
a
2
b
0
b
1
b
2
z
－ 1
z
－ 1
（ a ）
（ b ）
（ c ）
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数 H(z)为
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
5 3 11
4 4 8
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
画出该滤波器的直接型结构 。
解 由 H(z)写出差分方程如下,
5 3 1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 8 ( ) 4 ( 1 )
4 4 8
1 1 ( 2 ) 2 ( 3 )
y n y n y n y n x n x n
x n x n
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.2 例 5.3.1图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
－ 4
8
11
－ 2
45
43?
81
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
2,级联型
在 (5.1.2)式表示的系统函数 H(z)中, 公子分母均为
多项式, 且多项式的系数一般为实数, 现将分子分母
多项式分别进行因式分解, 得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
N
r
r
Cz
H z A
dz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(5.3.1)
形成一个二阶网络 Hj(z)； Hj(z)如下式,
12
0 1 2
12
12
() 1 j j jj
jj
zzHz
a z a z
? ? ???
??
???
??
(5.3.2)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中, β0j,β1j,β2j,α1j和 α2j均为实数 。 这 H(z)就
分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式, 如下式,
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中 Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统
函数, 每个 Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型
网络结构, 如图 5.3.3所示 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构
(a)直接型一阶网络结构； (b)直接型二阶网络结构
x ( n ) y ( n )
z － 1
x ( n ) y ( n )
z － 1
z － 1
( a )
( b )
j0?
j1?
j2?
j1?
j2?
j1? j1?
j0?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.3.2 设系统函数 H(z)如下式,
1 2 3
1 2 3
8 4 1 1 2()
1 1, 2 5 0, 7 5 0, 1 2 5
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
试画出其级联型网络结构。
解 将 H(z)分子分母进行因式分解, 得到
1 1 2
1 1 2
( 2 0.379 ) ( 4 1.24 5.264 )()
( 1 0.25 ) ( 1 0.5 )
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
3.并联型
如果将级联形式的 H(z),展开部分分式形式, 得
到 IIR并联型结构 。
图 5.3.4 例 5.3.2图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
4
z － 1
－ 0, 3 7 90, 2 5
－ 1, 2 4
5, 2 6 4－ 0, 5
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中, Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络, 网络系
统均为实数 。 二阶网络的系统函数一般为
12( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z? ? ? ? ? ? ?
(5.3.4)
1
01
12
12
() 1 iii
ii
zHz
a z a z
?? ?
??
??
??
式中, β0i,β1i,α1i和 α2i都是实数 。 如果
a2i=0则构成一阶网络 。 由 (5.3.4)式, 其输出 Y(z)表示为
Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.3.3 画出例题 5.3.2中的 H(z)的并联型结构 。
解 将例 5.3.2中 H(z)展成部分分式形式,
1
1 1 2
8 1 6 2 0( ) 1 6
1 0, 5 1 0, 5
zHz
z z z
?
? ? ?
??? ? ?
? ? ?
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结
构如图 5.3.5所示。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.3.5 例 5.3.3图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
16
8
0, 5
20
－ 16
－ 0, 5
z
－ 1
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路, 即没有环路,
其单位脉冲响应是有限长的 。 设单位脉冲响应 h(n)长度
为 N,其系统函数 H(z)和差分方程为
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
N
n
n
N
m
H z h n z
y n h m x n m
?
?
?
?
?
?
??
?
?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
1.直接型
按照 H(z)或者差分方程直接画出结构图如图 5.4.1
所示 。 这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型
结构 。
图 5.4.1 FIR直接型网络结构
x ( n )
y ( n )
z － 1 z － 1 z － 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N － 2) h ( N － 1)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
2,级联型
将 H(z)进行因式分解, 并将共轭成对的零点放在一
起, 形成一个系数为实数的二阶形式, 这样级联型网
络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构, 其中
每一个因式都用直接型实现 。
例 5.4.1 设 FIR网络系统函数 H(z)如下式,
H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出 H(z)的直接型结构和级联型结构。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
解 将 H(z)进行因式分解, 得到,
H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图 5.4.2所示。
图 5.4.2 例 5.4.1图
z － 1 z － 1
z － 1
x ( n ) 0, 6
0, 5
1, 6
2
3
y ( n )
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1
0, 9 6 2 2, 8 1, 5
( a ) ( b )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
3,频率采样结构
频率域等间隔采样, 相应的时域信号会以采样点
数为周期进行周期性延拓, 如果在频率域采样点数 N大
于等于原序列的长度 M,则不会引起信号失真, 此时
原序列的 z变换 H(z)与频域采样值 H(k)满足下面关系式,
设 FIR滤皮器单位脉冲响应 h(n)长度为 M,系统函
数 H(z)=ZT［ h(n)］, (5.4.1)式中 H(k)用下式表示,
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
N
k
k N
HkH z z
N W z
?
?
??
?
?? ??
(5.4.1)
2( ) ( ),0,1,2,1jk
Nze
H k H z k N?
?
? ? ?? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
要求频率域采样点数 N≥M。 (5.4.1)式提供了一种称
为频率采样的 FIR网络结构 。 请读者分析 IIR滤波网络,
为什么不采用频率采样结构 。 将 (5.4.1)式写成下式,1
0
1
1
( ) ( ) ( )
( ) 1
()
()
1
N
ck
k
N
c
k k
N
H z H z H z
N
H z z
Hk
Hz
Wz
?
?
?
??
?
??
?
?
?
(5.4.2)
式中
Hc(z)是一个梳状滤皮网络 (参考第八章 ),其零点为
2
,0,1,2,1jk kNkNz e W k N? ?? ? ? ? ?? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.4.3 FIR滤波器频率采样结构
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
－ z
－ N
H ( 0 )
H ( 1 )
H ( N － 1 )
0
N
W
1?
N
W
1?? N
N
W
z
－ 1
N
1
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
(1) 在频率采样点 ωk,H(ejωk)=H(k), 只要调整
H(k)(即一阶网络 Hk(z)中乘法器的系数 H(k)),就可以有
效地调整频响特性, 使实际调整方便 。
(2)只要 h(n)长度 N相同, 对于任何频响形状, 其梳
状滤波器部分和 N一阶网络部分结构完全相同, 只是各
支路增益 H(k)不同 。 这样, 相同部分便于标准化, 模
块化 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
然而, 上述频率采样结构亦有两个缺点,
(1)系统稳定是靠位于单位圆上的 N个零极点对消来
保证的。
(2)结构中, H(k)和 W-kN一般为复数, 要求乘法器完
成复数乘法运算, 这对硬件实现是不方便的 。
为了克服上述缺点, 对频率采样结构作以下修正 。
首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点, 收
缩到半径为 r的圆上, 取 r<1且 r≈1。 此时 H(z)为
1
1
0
1 ( )( ) ( 1 )
1
N
NN r
k
k N
HkH z r z
N rW z
?
?
??
?
?? ??
(5.4.3)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
另外, 由 DFT的共轭对称性知道, 如果 h(n)是实数
序列, 则其离散傅里叶变换 H(k)关于 N/2点共轭对称,
即 H(k)=H*(N-k)。 而且 W-kN=W-(N-k)N,我们将 hk(z)和
H N-k(z)合并为一个二阶网络, 并记为 Hk(z),则
1 ( ) 1
11
1
01
1 2 2
( ) ( )
()
11
( ) ( )
1 1 ( )
2
1 2 c o s ( )
k k N k
NN
kk
NN
kk
H k H N k
Hz
r W z r W z
H k H k
r W z r W z
a a z
r k z r z
N
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
?
??
??
?
??
??
?
?
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
显然, 二阶网络 Hk(z)的系数都为实数, 其结构如
图 5.4.4(a)所示 。 当 N为偶数时, h(z)可表示为
式中
0
1
2 R e [ ( ) ]
2 R e [ ( ) ]
k
k
kN
a H k
a rH k W
?
?? 1,2,3,,12
Nk ? ??? ?
1
12
01
11
1 2 21
()1 ( 0 )
2( ) ( 1 ) [ ]
211
1 2 co s ( )
N
NN kk
k
N
HH a a z
H z r z
N r z r z k z r z
N
?
?
?
?
??
???
?
? ? ? ?
?? ??
?
(5.4.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中, H(0)和 H(N/2)为实数 。 (5.4.4)式对应的频率
采样修正结构由 N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联
构成, 如图 5.4.4(b)所示 。
图 5.4.4 频率采样修正结构
α
1 k
α
0 k
z
－ 1
z
－ 1
－ r
2)
2
c os (2 k
N
r
?
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
H ( 0 )
z
－ N
－ r
Ｎ
r
1/ N
H
1
( z )
H
2
( z )
z
－ 1
－ r
H ( N / 2 )
( b )
( a )
)(
12
zH
N ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
当 N=奇数时, 只有一个采样值 H(0)为实数, H(z)
可表示为
1( 1 ) / 2
01
1
1 2 21
1 ( 0 )( ) ( 1 ) [ ]
21 1 2 co s ( )
N
NN kk
k
H a a zH z r z
N r z k z r z
N
?
??
?
?
???
?? ? ?
? ???
(5.4.5)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
5.5 状态变量分析法
1,状态方程和输出方程
状态变量分析法有两个基本方程, 即状态方程和
输出方程 。 状态方程把系统内部一些称为状态变量的
节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号
和那些状态变量联系起来 。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.1是二阶网络基本信号流图, 有两个延时支路,
因此建立两个状态变量 w1(n)和 w2(n)。 下面建立流图中其
它节点 w′2和输出 y(n)与状态变量之间的关系 。
22
2 2 1 1 2
12
2 1 1 2 0 2
2 2 0 1 1 1 0 2 0
( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n a n a n x n
nn
y n b n b n b
b a b n b a b n b x n
??
? ? ?
??
? ? ?
??
? ??
? ? ? ? ?
??
?? ? ?
? ? ? ? ?
(5.5.1)
(5.5.2)
(5.5.3)
将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式,
11
22 21
01( 1 ) ( ) 0
()
( 1 ) ( ) 1
nn
xn
aa
?? ???? ? ? ? ??
????? ? ? ? ??
? ?? ??? ? ? ???
(5.5.4)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.1 二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
z
－ 1
b
0
b
1
b
2
w
1
w
2
w
2
′
－ a
1
－ a
2
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图,
两个延时支路输出节点定为状态变量 w1(n)和 w2(n)。 按
照信号流图写出以下方程,
11
1 11 1 12 2 1
22
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n a n a n b x n
nn
n a n a n b x n
y n c n c n d x n
??
? ? ?
??
? ? ?
??
? ??
? ? ? ?
? ??
? ? ? ?
? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.2 一般二阶网络基本信号流图
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
b
1
b
2
c
1
c
2
d
a
22
a
12
a
21
w
1
( n )
w
2
( n )
w
1
′
w
2
′
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
将以上 w1(n+1),w2(n+1)和 y(n)写成矩阵形式,
11 121 1 1
2 2 221 22
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
aan n b
xn
n n baa
?? ???? ? ? ? ? ?
????? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ???
(5.5.6)
1 2 1 2( ) [ ][ ( ) ( )] ( )Ty n c c n n d x n????
(5.5.7)
再用矩阵符号表示,
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B x n
Y n C W n D x n
? ? ?
??
(5.5.8)
(5.5.9)
? ?
11 12
12
21 22
12
,
,
Taa
A B b b
aa
C c c D d
??
??? ?? ??
????
??????
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式 (5.5.8)和式 (5.5.9)分别称为图 5.5.2二阶网络的状
态方程和输出方程 。
如果系统中有 N个单位延时支路, M个输入信号：
x1(n),x2(n),…,xM(n),L个输出信号 y1(n),y2(n),…, yL(n)，
则状态方程和输出方程分别为
( 1 ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
W n A W n B X n
Y n C W n D X n
? ? ?
??
(5.5.10)
(5.5.11)
式中
12
12
12
( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( )]
T
N
T
M
T
L
W n n n n
X n x n x n x n
Y n y n y n y n
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
,
,
NN
NN
N N N N N N N N
NN
NN
N N N N N N N N
a a a b b b
A a a a B b b b
a a a b b b
c c c d d d
C c c c D d d d
c c c d d d
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
图 5.5.3 状态变量分析法
y ( n )x ( n )
z － 1
W ( n ＋ 1) W ( n )
d
A
B C
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.1 建立图 5.5.4流图的状态方程和输出方程 。
图 5.5.4 例 5.5.1图
x ( n ) y ( n )
z － 1
a
1
b
0
z
－ 1
b
1
b
2
a
2
w
1
( n ＋ 1)
w
1
( n )
w
2
( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
信号流图中有两个延时支路, 分别建立两个状态
变量 w1(n)和 w2(n)(如图 5.5.4所示 ),然后列出延时支路
输入端节点方程如下,
1 1 1 2 2
21
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
n a n a n x n
nn
? ? ?
??
? ? ? ?
??
将上式写成矩阵方程,
1211
22
( 1 ) ( ) 1
()
( 1 ) ( ) 010
aann
xn
?? ???? ? ? ? ??
????? ? ? ? ??
? ????? ? ? ???
(5.5.12)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法 输出信号 y(n)的方程推导如下,
y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)
将上面 w1(n+1)的方程代入上式,
y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)
=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)
1
1 0 1 2 0 2 0
2
()
( ) [,] ( )
()
n
y n a b b a b b b x n
n
?
?
??? ? ? ?
????
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.2直接写出图 5.5.4信号流图的 A,B,C和 D
参数矩阵 。
解
111 12
12
21 22 2
,,[,],baaA B C c c D daa b????? ? ? ? ?????
?? ??
要注意：从 wi(n)到输出节点可能不止一条通路,
要把所有通路增益加起来，即
1 1 1 0 2 2 0 0,c b a b c b a b? ? ? ?
d表示从输入节点到输出节点的通路增益, 这
里 d=d0,最后得到四个参数矩阵为
12 1,
1 0 0
aaAB? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.3 已知系统函数 H(z)为
1 1 2
1 1 2
2 ( 1 ) ( 1 1.44 0.7 )()
( 1 0.5 ) ( 1 0.9 0.81 )
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
(1)画出 H(z)的级联型网络结构；
(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。
1 1 2
1 1 2
( 1 ) 1 1, 4 4 0, 7( ) 2
1 0, 5 1 0, 9 0, 8 1
z z zHz
z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?g
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.5 例 5.5.3图
x ( n )
z － 1
2 y ( n )
z － 1
z － 1
－ 1, 4 1 4
0, 7
0, 9w
1
( n )
w 2 ( n )
w
3
( n )
－ 0, 5 － 1
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
在延时支路输出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和
w3(n)(如图 5.5.5所示 )。 写出状态变量
w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)
w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)
=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)
w3(n+1)=w2(n)
将以上三个方程写成矩阵方程,
11
22
33
( 1 ) ( )0,5 0 0 2
( 1 ) 1,5 0,9 0,8 1 ( ) 2 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
??
??
? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
输出方程为
y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)
将上面得到的 w2(n+1)方程代入上式, 得到,
y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)
将 y(n)写成矩阵方程, 即是要求的输出方程 。
y(n)=［ -1.5-0.514-0.11］［ w1(n)w2(n)w3(n)］ T+2x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.4 已知 FIR滤波网络系统函数 H(z)为
解画出直接型结构如图 5.5.6所示, 在延时支路输
出端建立状态变量 w1(n),w2(n)和 w3(n)。 根据参数矩阵
中各元素的意义, 直接写出状态方程和输出方程如下,
3
0
() ii
i
H z a z ?
?
? ?
11
22
33
( 1 ) ( )0 0 0 1
( 1 ) 1 0 0 ( ) 1 ( )
0 1 0 0( 1 ) ( )
nn
n n x n
nn
??
??
?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
y(n)=［ a1 a2 a3］ ［ w1(n) w2(n) w3(n)］ T+a0x(n)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.6 例 5.5.4图
y ( n )
x ( n ) z － 1 z － 1 z － 1w 1 ( n ) w 2 ( n )
a
1
a
2
a
3
a
0
w 3 ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
2,由状态变量分析法转换到输入输出分析法
把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下,
W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14)
y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15)
将上面两式进行 Z变换
zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16)
Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
式中 W(z)=［ W1(z)W2(z)…WN(z)］ T
Wi(z)=ZT［ wi(n)］
X(z)=ZT［ x(n)］
Y(z)=ZT［ y(n)］
由 (5.5.16)式得到,
W(z)=［ zI-A］ -1 BX(z) (5.5.18)
将上式代入 (5.5.17)式, 得到,
1
1
( ) [ ] ( ) ( )
()
( ) [ ]
()
Y z C zI A BX z d X z
Yz
H z C zI A B d
Xz
?
?
? ? ?
? ? ? ?(5.5.19)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下,
21
2 2 0 1 1 0 0
01 0
,
1
[ ],
AB
aa
C b a b b a b d b
?? ??
???? ??
?? ????
? ? ? ?
求该网络的系统函数 。
解
21
11
212
2
12
1
1
[]
1 01
[]
1()
11
( ) [ ]
z
z I A
a z a
za
z I A B
azz z a a
zz a z a
H z C z I A B d
?
?
???
??
??
?
??
??? ??
??
?? ??
???
????
??
?
??
?? ??
? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
系统频响决定于 H(z) 的零, 极 点 分 布 。 设
H(z)=B(z)/A(z),其极点为 A(z)=0的解 。 由 (5.5.19)式得
到,
A(z)多项式称为 A 矩阵的特征多项式, 其根为 A矩
阵的特征值, 因此 A矩阵的特征值就是 H(z)的极点 。 如
果 A矩阵全部特征值的模均小于 1,系统因果稳定, 否
则系统因果不稳定 。
2 1 2
0 1 2 0 1 2
2 1 2
1 2 1 21
b z b z b b b z b z
z a z a a z a z
??
??
? ? ? ???
? ? ? ?
( ) de t( )A z zI A?? (5.5.20)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
z2-3z+2=0
特征值 λ1=1,λ2=2
极点 z1=１, z2=2
将状态方程重写如下,
W(n+1)=AW(n)+Bx(n)
32
10
3 2
d et[ ] 0
1
A
z
z I A
z
???
? ??
??
?
? ? ?
?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
方程式左端是 n+1时刻的状态变量矢量, 右端是 n时
刻的状态变量矢量和输入 x(n)的线性组合 。 由起始值
W(n0),用递推法求出 W(n)的时域解,
n=n0时, W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0)
n=n0+1时, W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1)
=A［ AW(n0)+Bx(n0)］ +Bx(n0 +1)
=A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1)
…
n= n0 +k时 W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+
A k-1 Bx(n0+1)+…+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
令 n′=n0+k+1，则 00
0
0
1
0
1
1
0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
nn l
i
nn
nn l
i
W n A W n A Bx n l
W n A W n A Bx n l
??
?? ?
?
?
? ?
?
??? ? ?
? ? ?
?
?
将 n′换成 n,则
(5.5.21)
为求单位脉冲响应, 将 (5.5.15)式中的 x(n)用 δ(n)
代替, W(n)用 (5.5.21))式中的零状态响应代替, 且令
n0=0,此时 y(n)=h(n),得到,
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
1
1
1
( ) ( ) ( )
00
( ) 0
0
n
l
l
n
h n C A B n l d n
n
h n d n
C A B n
??
?
?
?
? ? ?
? ?
?
???
?
?
?
?
(5.5.22)
(5.5.23)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.6 求图 5.5.7所示的 N阶 FIR格形网络的系统函
数以及单位脉冲响应 。
图 5.5.7 例 5.5.6图
z － 1z － 1
w
1
w
2
k
1
k
1
k
2
k
2
…
…
z － 1 z － 1
w
N － 1
k
N － 1
k
N － 1
w
N
k
N
x ( n ) y ( n )
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
解 首先建立状态变量 w1(n),w2(n),…,wN(n),如图所
示 。 这种网络没有反馈支路, 直接写出各参数矩阵,
1 2 1
1 2 3
1
[ 1 ]
[]
[ 1 ]
( ) ( )
T
N
N
B k k k
C k k k k
D
H z C zI A B D
?
?
? ???
? ???
?
? ? ?
设 N=2,则有
1
12
12
1
2
1 2 1
12
1 2 2
00
,[ 1 ]
10
[ ],[ 1 ]
0
[ ] [ 1 ] 1
1
[ ( 1 ) ] 1
1 ( 1 )
T
T
A B k
C k k D
z
zI A k z
z
k z k k z z
k k z k z
??
?
??
??
??
??
??
??
??
? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
将上式进行Ｚ反变换, 得单位取样响应,
h(n)=δ(n)+k1(1+k2)δ(n-1)+k2δ(n-2)
如果用 (5.5.22)式求 h(n),也得到同样的结果, 但
要求 A矩阵的 n-1次幂 。 关于求矩阵的幂, 请参考本书
附录 B。
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
3,线性变换
下面研究在不改变系统传输函数的条件下, 如何
对状态变量进行线性变换 。 设 T是 N× N非奇异矩阵 。
系统中有 N个延时支路 。 令
G(k)=T-1W(k) (5.5.25)
G(k+1)=T-1W(k+1)
=T-1［ AW(k)+BX(k)］
=T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.26)
Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
按照 (5.5.26)式和 (5.5.27)式, 原来的状态矢量 W(k)变
成新的状态矢量 G(k),状态参数矩阵为 A′,B′,C′和 D′，
即
A′=T-1 AT
B′=T-1 B
C′=CT
D′=D
经过 (5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为
G(k+1)=A′G(k)+B′X(k) (5.5.29)
Y(k)=C′G(k)+D′X(k) (5.5.30)
(5.5.28)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
H′(z)=C′［ zI-A′］ -1 B′ +d′
=CT［ zI-T-1AT］ -1 T-1 B+d
=CT［ T-1(zI-A)T］ -1 T-1 B+d
=CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d
=C(zI-A)-1 B+d′=H(z)
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
例 5.5.7设系统函数 H(z)=z-2,画出信号流图如图
5.5.8(a)所示 。 要求在保证 H(z)不变的情况下, 对状态
变量进行线性变换 。 设 T矩阵如下式所示,
11
12T
???
????
解 根据图 5.5.8(a)写出 z-2的参数矩阵
0 1 0
,
1 0 1
[ 1 0],0
AB
Cd
? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ?
??
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
按照 (5.5.28)式, 先求出 T-1,
1
11
21
11
2 4 1
,
1 2 1
T
A T AT B T B
?
??
???
? ??
???
?? ? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ?
第 5章 时域离散系统的基本网络
结构与状态变量分析法
图 5.5.8 例 5.5.7图
x ( n ) y ( n )z
－ 1
w
2
( n ＋ 1)
z
－ 1
w
1
( n ＋ 1) w
1
( n )w
2
( n )
x ( n ) y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
2
w
1
( n )
w
2
( n )
－ 1
－ 1
－ 2
4
w
1
( n ＋ 1)
w
2
( n ＋ 1)
( a )
( b )
