第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点
本节主要介绍 FIR滤波器具有线性相位的条件及幅
度特性以及零点, 网络结构的特点 。
1,线性相位条件
对于长度为 N的 h(n),传输函数为
1
0
()
( ) ( )
( ) ( )
N
j j n
n
jj
g
H e h n e
H e H e
??
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
(7.1.1)
(7.1.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
式中, Hg(ω)称为幅度特性, θ(ω)称为相位特性 。
注意, 这里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)为 ω的实函数, 可
能取负值, 而 |H(ejω)|总是正值 。 H(ejω)线性相位是指
θ(ω)是 ω的线性函数, 即
θ(ω)=τω,τ为常数 (7.1.3)
如果 θ(ω)满足下式,
θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4)
严格地说, 此时 θ(ω)不具有线性相位, 但以上两
种情况都满足群时延是一个常数, 即
()d
d
?? ?
? ??
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
也称这种情况为线性相位 。 一般称满足 (7.1.3)式是
第一类线性相位；满足 (7.1.4)式为第二类线性相位 。
下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：
h(n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称, 即
h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)
满足第二类线性相位的条件是,h(n)是实序列且对
(N-1)/2奇对称, 即
h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1) 第一类线性相位条件证明,
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( 1 )
N
n
n
N
n
n
H z h n z
H z h N n z
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
将 (7.1.5)式代入上式得
令 m=N-n-1,则有
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
N m N m
mm
N
H z h m z z h m z
H z z H z
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
?
??
(7.1.7)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
按照上式可以将 H(z)表示为
1
( 1 ) 1 ( 1 )
0
1 1 11
()
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ [ ] ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
?
将 z=e jω代入上式，得到,
1 1
()
2
0
1
0
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( 1 )
2
N N
j
j
n
N
g
n
N
H e e h n n
N
H h n n
N
?
?
?
??
? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ?
?
? 按照 (7.1.2)式, 幅度函数 Hg(ω)和相位函数分别为
(7.1.8)
(7.1.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2) 第二类线性相位条件证明,
11
00
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
nn
nn
NN
N m N m
nn
N
H z h n z h N n z
H z h m z z h m z
H z z H z
??
??
??
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
(7.1.10)
令 m=N-n-1,则有
同样可以表示为
1
( 1 ) 1 ( 1 )
0
1 1 11
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1 1
2
0
1 1
22
0
1
( ) ( ) ( ) sin[ ( ) ]
2
1
( ) sin[ ( ) ]
2
j
N N
j
j
ze
n
N N
jj
n
N
H e H z je h n n
N
e h n n
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
??
?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
因此, 幅度函数和相位函数分别为
1
0
1
( ) ( ) s i n [ ( )]
2
1
( ) ( )
22
N
g
n
N
H h n n
N
Q
??
?
??
?
?
?
??
?
? ? ?
? (7.1.11)
(7.1.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,线性相位 FIR滤波器幅度特性 Hg(ω)的特点
1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数
按照 (7.1.8)式, 幅度函数 H g(ω)为
1
0
1( ) ( ) co s [( ) ]
2
N
g
n
NH h n n???
?
????
式中, h(n)对 (N-1)/2偶对称, 余弦项也对 (N-1)/2偶
对称, 可以以 (N-1)/2为中心, 把两两相等的项进行合并,
由于 N是奇数, 故余下中间项 n=(N-1)/2。 这样幅度函数
表示为
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
( 3 ) / 2
0
( 1) / 2
0
( 1) / 2
0
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s
22
( ) ( ) c o s
N
g
n
N
g
n
N
g
n
NN
H h h n n
NN
H h h m n
H a n n
??
??
??
?
?
?
?
?
?
??
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
?
令 m=(N-1)/2-n,则有
(7.1.13)
1
( 0 ) ( )
2
11
( ) 2 ( ),1,2,3,,
22
N
ah
NN
a n h n n
??
??
?
?
???
? ? ? ? ? ?
??
(7.1.14)
式中
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
按照 (7.1.13)式, 由于式中 cosωn项对 ω=0,π,2π皆为
偶对称, 因此幅度特性的特点是对 ω=0,π,2π是偶对称的 。
2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数
推导情况和前面 N=奇数相似, 不同点是由于 N=偶
数, Hg(ω)中没有单独项, 相等的项合并成 N/2项 。
1
0
1
2
0
1
( ) ( ) c o s[( ) ]
2
1
2 ( ) c o s[ ( ) ]
2
N
g
n
N
n
N
H h n n
N
h n n
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数
将 (7.1.11)式重写如下,
令 m=N/2-n,则有
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
( ) 2 ( ),1,2,,) ]
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H b n n
NN
b n h n n
??
??
?
?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
(7.1.15)
(7.1.16)
1
0
1( ) ( ) s i n [ ( )]
2
N
g
n
NH h n n???
?
????
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数
类似上面 3)情况, 推导如下,
令 m=(N-1)/2-n,则有
( 1 ) / 2
1
( ) ( ) s i n
11
( ) 2 ( ),1,2,,
22
N
g
n
H c n n
NN
c n h n n
??
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
? (7.1.17)
(7.1.18)
11
2
00
11( ) ( ) s i n [ ( ) ] 2 ( ) s i n [ ) ]
22
N
N
g
nn
NNH h n n h n n? ? ?
??
??
??? ? ? ???
令 m=N/2-n,则有
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) sin [ ( ) ]
22
1
( ) ( ) sin [ ( ) ]
2
( ) 2 ( ),1,2,3,
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H d n n
NN
d n h n n
??
??
?
?
? ? ?
??
? ? ? ? ??
?
?
(7.1.19)
(7.1.20)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器零点分布特点
第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足
(7.1.7)式和 (7.1.10)式, 综合起来用下式表示,
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ??? (7.1.21)
图 7.1.1 线性相位 FIR滤波器零点分布
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,线性相位 FIR滤波器网络结构
设 N为偶数, 则有
1
11 2
00
2
11
22
( 1)
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
N
NN
n n n
Nnm
n
NN
n N m
nm
H z h n z h n z h n z
H z h n z h N m z
h n h N n
?
??
? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
令 m=N-n-1,则有
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
( 1)
0
( 1) 1
2
1
( 1) 2
0
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( 1 )
2
N
n N n
n
N
N
n N n
n
H z h n z z
N
H z h n z z h z
?
? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
?
?
(7.1.22)
如果 N为奇数，则将中间项 h［ (N-1)/2］单独列出,
(7.1.23)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.1.2 第一类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.1.3 第二类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数
－ 1 － 1 － 1 － 1
－ 1
－ 1 － 1 － 1 － 1
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器
设希望设计的滤波器传输函数为 Hd(ejω),hd(n)是与
其对应的单位脉冲响应, 因此
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jj
dd
n
j j n
dd
H e h n e
h n H e e d
??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
相应的单位取样响应 h-d(n)为
,
()
0,
ja
cj
d
c
e
He
?
? ??
? ? ?
?? ??
? ?
????
(7.2.1)
1 s i n ( ( ) )()
2 ( )
c
c
j a j n c
d
nah n e e d
na
? ??
?
??
??
??
?
???
??
(7.2.2)
为了构造一个长度为 N的线性相位滤波器, 只有将
h-d(n)截取一段, 并保证截取的一段对 (N-1)/2对称 。 设
截取的一段用 h(n)表示, 即
h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
我们实际实现的滤波器的单位取样响应为 h(n),长
度为 N,其系统函数为 H(z),
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
?
?
?
? ?
图 7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
以上就是用窗函数法设计 FIR滤波器的思路 。 另外,
我们知道 Hd(e jω)是一个以 2π为周期的函数, 可以展为
傅氏级数, 即
( ) ( )j j n
dd
n
H e h n e??
?
?
? ? ?
? ?
对 (7.2.3)式进行傅里叶变换, 根据复卷积定理, 得到,
(1( ) ( ) ( )
2
j j j
dNH e H e R e d
?? ? ? ?
? ??
?
?? ?
(7.2.4)
式中, Hd(e jω)和 RN(e jω)分别是 hd(n)和 RN(n)
的傅里叶变换, 即
111 ( 1)
2
00
sin( / 2( ) ( ) ( )
sin( / 2 )
NN jN
j j n j n ja
N N N
nn
NR e R n e e e R e?? ? ? ?? ?
?
?? ??
? ? ?
??
? ? ? ???
(7.2.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
s i n ( / 2 1( ),
s i n ( / 2 ) 2N
NNR ???
?
???
RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将 Ha(ejω)写成下式,
( ) ( )j j addH e H e??? ??
按照 (7.2.1)式, 理想低通滤波器的幅度特性 Hd(ω)为
1,
()
0,
c
d
c
H
??
?
? ? ?
???
? ?
????
将 Hd(e jω)和 RN(e jω)代入 (7.2.4)式, 得到,
()1( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
j j a j a
dN
ja
dN
H e H e R e d
e H R d
?
? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
??
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
将 H(ejω)写成下式,
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
j j a
dN
H e H e
H H R d
??
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
??? (7.2.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.2 矩形窗对理想低通
幅度特性的影响
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
通过以上分析可知, 对 hd(n)加矩形窗处理后,
H(ω)和原理想低通 Hd(ω)差别有以下两点,
(1)在理想特性不连续点 ω=ωc附近形成过渡带 。 过
渡带的宽度, 近似等于 RN(ω)主瓣宽度, 即 4π/N。
(2)通带内增加了波动, 最大的峰值在 ωc-2π/N处 。
阻带内产生了余振, 最大的负峰在 ωc+2π/N处 。
在主瓣附近, 按照 (7.2.5)式, RN(ω)可近似为
s i n ( / 2 ) s i n()
/2N
NxRN
x
??
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
下面介绍几种常用的窗函数 。 设
h(n)=hd(n)w(n)
式中 w(n)表示窗函数 。
1,矩形窗 (Rectangle Window)
wR(n)=RN(n)
前面已分析过, 按照 (7.2.5)式, 其频率响应为
1 ( 1)
2sin ( / 2 )()
sin ( / 2 )
jNj
R
NW e e ?? ?
?
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,三角形窗 (Bartlett Window)
21
,0 ( 1 )
12
()
21
2,( 1 ) 1
12
Br
n
nN
N
n
n
N n N
N
?
?
? ? ??
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ??
(7.2.8)
其频率响应为
1()
2 2
sin( )
4( ) [ ]
2 sin( / 2 )
Nj
j
Br
N
NW e e ??? ?
?
???
? (7.2.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,汉宁 (Hanning)窗 ——升余弦窗
1
2
11
22
2
( ) 0,5 [ 1 c o s ( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
2
( ) [ ( ) ] { 0,5 ( ) 0,2 5 [ ( )
1
2
( ) ] } ( )
1
Hn N
N
j
j
R N R
j
Hn Hn R R
NN
jj
R Hn
n
n R n
N
W e FT R n W e
W e FT W n W W
N
W e W e
N
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
??
??
?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
当 N1时,N-1≈N,
22( ) 0,5 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( ) ]
Hn R R RW W W WNN
??? ? ? ?? ? ? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.3 汉宁窗的幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,哈明 (Hamming)窗 ——改进的升余弦窗
2( ) [ 0.54 0.46 c o s( ) ] ( )
1H m N
nn R n
N
?? ??
?
(7.2.11)
其频域函数 WHm (e jω)为
22
( ) ( )
11( ) 0, 5 4 ( ) 0, 2 3 ( ) 0, 2 3 ( )
22
( ) 0, 5 4 ( ) 0, 2 3 ( ) 0, 2 3 ( )
11
jj
jj NN
H m R R R
j
H m R R R
W e W e W e W e
W W e W W
NN
??
??
??
? ??
? ? ?
??
??? ? ?
? ? ? ? ?
??
其幅度函数 WHm(ω)为
当 N>>1时, 可近似表示为
22( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
Bl R R Rn W W WNN
??? ? ? ?? ? ? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
5,布莱克曼 (Blackman)窗
24( ) [ 0,4 2 0,5 c o s 0,0 8 c o s ] ( )
11Bl N
nnn R n
NN
??? ? ? ?
??
(7.2.13)
其频域函数为
22
( ) ( )
11
R
22
( ) ( )
11
( ) 0,4 2 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( ) ]
0,0 4 [ ( ) ( ) ]
jjjj
NN
Bl R R
jj
NN
RR
W e W e W e W e
W e W e
??
????
??
??
??
??
??
??
? ? ?
??
其幅度函数为
22
( ) 0.42 ( ) 0.25 [ ( ) ( ) ]
11
44
0.04 [ ( ) ( ) ]
11
Bl R R R
RR
W W W W
NN
WW
NN
??
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??(7.2.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.4 常用的窗函数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.5
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性 (N=51,ωc=0.5π)
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
6,凯塞 — 贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)
0
0
2
2
0
1
()
( ),0 1
()
2
1 ( 1 )
1
1
( ) 1 ( ( ) )
!2
k
k
k
I
n n N
I
n
N
x
Ix
k
?
?
?
??
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?? ?
式中
I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数, 可用下面级数计算,
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
一般 I0(x)取 15~25项, 便可以满足精度要求 。 α参
数可以控制窗的形状 。 一般 α加大, 主瓣加宽, 旁瓣幅
度减小, 典型数据为 4<α<9。 当 α=5.44时, 窗函数接近
哈明窗 。 α=7.865时, 窗函数接近布莱克曼窗 。 凯塞窗
的幅度函数为
( 1 ) / 2
1
( ) ( 0) 2 ( ) co s
N
k k k
n
W n n? ? ? ?
?
?
?? ?
(7.2.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表 7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表 7.2.2 六种窗函数的基本参数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
下面介绍用窗函数设计 FIR滤波器的步骤 。
(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应
hd(n)。 如果给出待求滤波器的频响为 Hd(ejω),那么单
位取样响应用下式求出,
1( ) ( )
2
jj
ddh n H e e d
? ??
? ?? ?? ?
221
0
1( ) ( )M j k j k nMM
Md
k
h n H e eM
???
?
? ?
(7.2.17)
(7.2.18)
根据频率采样定理, hM(n)与 hd(n)应满足如下关系,
( ) ( )Md
r
h n h n r M
?
? ??
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
例如, 理想低通滤波器如 (7.2.1)式所示, 求出单位
取样响应 hd(n)如 (7.2.2)式, 重写如下,
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求, 选择窗函数
的形式, 并估计窗口长度 N。 设待求滤波器的过渡带用
Δω表示, 它近似等于窗函数主瓣宽度 。
(3) 计算滤波器的单位取样响应 h(n),
h(n)=hd(n)w(n)
s i n ( ( ))()
()
c
d
nhn
n
??
??
??
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(4)验算技术指标是否满足要求 。 设计出的滤波器
频率响应用下式计算,
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e??
?
?
?
? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
例 7.2.1 用矩形窗, 汉宁窗和布莱克曼窗设计 FIR低
通滤波器, 设 N=11,ωc=0.2πrad。
解 用理想低通作为逼近滤波器, 按照 (7.2.2)式, 有
s i n ( ( ))
( ),0 1 0
()
1
( 1 ) 5
2
s i n ( 0,2 ( 5 ))
( ),0 1 0
( 5 )
c
d
d
n
h n n
n
N
n
h n n
n
??
??
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
用汉宁窗设计,
( ) ( ) ( ),0 10
2
( ) 0,5 ( 1 c o s )
10
d H n
Hn
h n h n n n
n
n
?
?
?
? ? ?
??
用布莱克曼窗设计,
11
( ) ( ) ( )
22
( ) ( 0,42 0,5 c o s 0,08 c o s ) ( )
10 10
d B l
Bl
h n h n n
nn
n R n
?
??
?
?
? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.7 例 7.2.1的低通幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器
设待设计的滤波器的传输函数用 Hd(ejω)表示, 对它
在 ω=0到 2π之间等间隔采样 N点, 得到 Hd(k),
2
21
0
( ) ( ),0,1,2,,1
1
( ) ( ),0,1,2,,1
j
dd
k
D
N
j k n
N
d
k
H k H e k N
h n H k e k N
N
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
再对 N点 Hd(k)进行 IDFT，得到 h(n),
(7.3.1)
(7.3.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
式中,h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，
其系统函数 H(z)为
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
?
?
?
? ?
1
2
0 1
1 ( )()
1
N N
d
jkk
N
z H kHz
N ez ?
? ?
? ?
??
?
?
(7.3.3)
(7.3.4)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件
FIR滤波器具有线性相位的条件是 h(n)是实序列,
且满足 h(n)=h(N-n-1),在此基础上我们已推导出其传
输函数应满足的条件是,
()
( ) ( )
1
()
2
( ) ( 2 ),
( ) ( 2 ),
jj
dg
gg
gg
H e H e
N
H H N
H H N
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
(7.3.5)
(7.3.6)
(7.3.7)
奇数
偶数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
在 ω=0~2π之间等间隔采样 N点,
2,0,1,2,,1
k k k NN
?? ? ? ? ? ? ?
将 ω=ωk代入 (7.3.4)~(7.3.7)式中, 并写成 k的函数,
()( ) ( )
1 2 1
()
2
jk
dgH k H k e
NN
k k k
NN
?
?
??
?
??
? ? ?
(7.3.8)
(7.3.9)
( ) ( ),
( ) ( ),
gg
gg
H k H N k k
H k H N k k
? ? ?
? ? ? ?
奇数
偶数
(7.3.10)
(7.3.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
设用理想低通作为希望设计的滤波器, 截止频率
为 ωc,采样点数 N,Hg(k)和 θ(k)用下面公式计算,
N=奇数时,
( ) ( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
1
( ),0,1,2,,1
g g c
g c c c
H k H N k k k
H k k k k N k
N
k k k N
N
??
?
?? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?? ? ? ? ? ? ?
??
(7.3.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
N=偶数时,( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
( ) 1,0,1,2,,
1
( ),0,1,2,,1
gc
g c c c
gc
H k k k
H k k k k N k
H N k k k
N
k k k N
N
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
(7.3.13)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,逼近误差及其改进措施
如果待设计的滤波器为 Hd(ejω),对应的单位取样响
应为 hd(n),
1
( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??
?
??
?
? ?
则由频率域采样定理知道, 在频域 0~2π之间等间
隔采样 N点, 利用 IDFT得到的 h(n)应是 hd(n)以 N为周期,
周期性延拓乘以 RN(ω),即
( ) ( ) ( )dN
r
h n h n r N R n
?
? ? ?
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
由采样定理表明, 频率域等间隔采样 H(k),经过
IDFT得到 h(n),其 Z变换 H(z)和 H(k)的关系为
1
2
0 1
1
0
1
2
1 ( )
()
1
2
( ) ( ) ( )
1 si n( / 2 )
()
si n( / 2 )
N N
j
k N
N
j
k
N
j
z H k
Hz
N
ez
H e H k k
N
N
e
N
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
例 7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器,
要 求 截 止 频 率 ωc=π/2rad, 采 样 点 数 N=33, 选用
h(n)=h(N-1-n)情况 。
解 用理想低通作为逼近滤波器 。 按照 (7.3.12)式,
( ) ( 3 3 ) 1,0,1,2,,8
( ) 0,9,1 0,,2 3,2 4
32
( ),0,1,2,,3 2
33
gg
g
H k H k k
H k k
k k k??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
对理想低通幅度特性采样情况如图 7.3.2所示 。 将采
样得到的
()() jkdgH H k e ??
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.2 对理想低通进行采样
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.3 例 7.3.1的幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.4 例 7.3.1—— (N=65)有两个过渡点幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
如果用 E(ejω)表示 Hd(ejω)和所设计滤波器 H(ejω)之间
的频响误差
E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω) (7.4.1)
其均方误差为
22 1 ()
2
je E e d? ?
?
??
?
? ?
(7.4.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1,切比雪夫最佳一致逼近准则
设希望设计的滤波器幅度特性为 Hd(ω),实际设计
的滤波器幅度特性为 Hg(ω),其加权误差 E(ω)用下式表
示,
E(ω)=W(ω)［ Hd(ω)-Hg(ω)］ (7.4.3)
为设计具有线性相位的 FIR滤波器, 其单位脉冲响
应 h(n)或幅度特性必须满足一定条件 。 假设设计的是
h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况,
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
1
( 1 )
2
0
( ) ( )
( ) ( ) c o s
N
j
j
g
N
g
n
H e e H
H a n n
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
将 Hg(ω)代入 (7.4.3)式, 则
0
( ) ( )[ ( ) ( ) co s ]
M
d
n
E W H a n n? ? ? ?
?
?? ?
(7.4.4)
式中 M=(N-1)/2。 最佳一致逼近的问题是选择
M+1个系数 a(n),使加权误差 E(ω)的最大值为最小,
即
m i n [ m ax ( ) ]A E? ??
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
该定理指出最佳一致逼近的充要条件是 E(ω)在 A上
至少呈现 M+2个, 交错,, 使得
1
0 1 2 1
( ) ( )
( ) m ax ( )
,
ii
i
A
M
EE
EE
A
?
??
??
? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
? ? ? ?? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位 FIR滤波器
设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器,
其幅度特性为
1,0
()
0,
p
d
s
H
??
?
? ? ?
???
? ?
???
如果我们知道了 A上的 M+2个交错点频率：
ω0,ω1,:,ωM+1,按照 (7.4.4)式, 并根据交错点组准则, 可
写出
0
( ) [ ( ) ( ) c o s ] ( 1 )
m a x ( ),0,1,2 1
M
k
k d k k
n
A
W H a n n
E k M
?
? ? ? ?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?(7.4.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
将 (7.4.5)式写成矩阵形式,
00
0
11
1
22
2
1
1
1
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
( 1 )
1 c o s c o s
()
M
MM
M
M
W
M
W
M
W
M
W
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
??
???
??
???
???
??
???
??
?? ?
???
????
(0 )
(0 )
(0 )
M
a
a
a
a
?
??
??
??
??
???
?
??
??
??
????
0
1
2
1
()
()
()
()
()
d
d
d
dM
dM
H
H
H
H
H
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
?
??
??
??
????
(7.4.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1)在频域等间隔取 M+2个频率 ω0,ω1,:,ωM+1,作为
交错点组的初始值 。 按下式计算 ρ值,
1
0
1
0
1
0,
()
( 1 ) / ( )
1
( 1 )
c o s c o s
M
k d k
k
M
k
kk
k
M
k
k
i i k ik
aH
aW
a
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
(7.4.7)
(7.4.8)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
一般初始值 ωi并不是最佳的极值频率, ρ也不是最
优估计误差, 它是相对于初始值产生的偏差 。 然后利
用拉格朗日 (Lagrange)插值公式, 求出 Hg(ω),即
0
0
0,
[]
c o s c o s
()
c o s c o s
( ) ( 1 ),0,1,2,,
()
1
( 1 )
c o s c o s
M
k
k
k k
g M
k
k k
k
k d k
k
M
k
k
i i k ik
C
H
C H k M
W
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
?
(7.4.9)
(7.4.10)
(7.4.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2)对上次确定的 ω0,ω1,:,ωM+1中每一点, 都检查其
附近是否存在某一频率 |E(ω)|>ρ,如有, 再在该点附近
找出局部极值点, 并用该点代替原来的点 。
(3)利用和第二步相同的方法, 把各频率处使
|E(ω)|>|ρ|的点作为新的局部极值点, 从而又得到一组
新的交错点组 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.4.2 雷米兹算法流程图
给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
得用 （ 7, 4, 7 )式计算偏差 ρ
得用 （ 7, 4, 9 )式计算 H
d
( ω )
计算误差函数 E ( ω ),以及局部极
值点频率，在这些点上满足
得到一组新的交错点组频率
极值点是 M ＋ 2
个还是 M ＋ 3 个？
极值频
率相对上次是
否变化？
得到最佳一致逼近的
H
d
( ω )
结束
舍掉两个端点中使偏
差较小的一个
M ＋ 3
M ＋ 2
不变
?E ( ω ) ρ
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器的四种类型统一表示式
在 7.1节, 我们已推导出线性相位的四种情况, 它
们的幅度特性 H-g(ω)分别如下式,
0
0
0
( 1 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s,
2
( 2 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
( 3 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) si n,
2
( 4 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
M
g
n
M
g
ni
M
g
n
M
g
n
h n h N n N
N
H a n n M
h n h N n N
N
H b n n M
h n h N n N
N
H c n n M
h n h N n N
N
H d n n M
??
?
??
??
?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
奇数
奇数
偶
数
偶
数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
经过推导可把 H-g(ω)统一表示为
Hg(ω)=Q(ω)P(ω) (7.4.13)
式中, P(ω)是系数不同的余弦组合式, Q(ω)是不
同的常数, 四种情况的 Q(ω)和 P(ω)如表 7.4.1所示 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表 7.4.1 线性相位 FIR滤波器四种情况
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表中, 和 与原系数 b(n),c(n)
和 d(n)之间关系如下,
~()bn ~()cn ~ ()dn
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0 ) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
b b b
b n b n b n
b M b M
nM
?
??
?
?
?
? ? ??
?
?
???
?
? ??? ???
(7.4.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
~~
~~
~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 2 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
2
1
( 1 ) ( 2 )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,2
c c c
c n c n c n
c M c M
c M c M
nM
?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
?
??
?
?
? ? ? ? ?
?
??
(7.4.15)
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
d d d
d n d n d n
d M d M
nM
?
??
?
?
?
? ? ??
?
?
???
?
? ? ? ? ???
(7.4.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
将 (7.4.13)式代入 (7.4.3)式, 得到,
^
^
()
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]
()
( ) ( ) ( )
()
()
()
d
d
d
d
H
E W H P Q W Q P
Q
W W Q
H
H
Q
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
(7.4.17)
(7.4.18)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
输入滤波器技术要求：
N, H
d
( ω ),W ( ω )
给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
调用 R e m e z 算法程序求解
最佳极值频率和 P ( ω ) 系数
按要求的滤波器类型求出：
W ( ω ), H
d
( ω ),P ( ω )
＾ ＾
计算单位脉冲响应 h ( n )
输出最佳误差和 h ( n )
图 7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位
FIR滤波器程序框图
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较
首先, 从性能上来说, IIR滤波器传输函数的极点
可位于单位圆内的任何地方, 因此可用较低的阶数获
得高的选择性, 所用的存贮单元少, 所以经济而效率
高 。 但是这个高效率是以相位的非线性为代价的 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
从结构上看, IIR滤波器必须采用递归结构, 极点
位置必须在单位圆内, 否则系统将不稳定 。
从设计工具看, IIR滤波器可以借助于模拟滤波器
的成果, 因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可
供准确计算, 计算工作量比较小, 对计算工具的要求
不高 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点
本节主要介绍 FIR滤波器具有线性相位的条件及幅
度特性以及零点, 网络结构的特点 。
1,线性相位条件
对于长度为 N的 h(n),传输函数为
1
0
()
( ) ( )
( ) ( )
N
j j n
n
jj
g
H e h n e
H e H e
??
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
(7.1.1)
(7.1.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
式中, Hg(ω)称为幅度特性, θ(ω)称为相位特性 。
注意, 这里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)为 ω的实函数, 可
能取负值, 而 |H(ejω)|总是正值 。 H(ejω)线性相位是指
θ(ω)是 ω的线性函数, 即
θ(ω)=τω,τ为常数 (7.1.3)
如果 θ(ω)满足下式,
θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4)
严格地说, 此时 θ(ω)不具有线性相位, 但以上两
种情况都满足群时延是一个常数, 即
()d
d
?? ?
? ??
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
也称这种情况为线性相位 。 一般称满足 (7.1.3)式是
第一类线性相位；满足 (7.1.4)式为第二类线性相位 。
下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：
h(n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称, 即
h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)
满足第二类线性相位的条件是,h(n)是实序列且对
(N-1)/2奇对称, 即
h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1) 第一类线性相位条件证明,
1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( 1 )
N
n
n
N
n
n
H z h n z
H z h N n z
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
将 (7.1.5)式代入上式得
令 m=N-n-1,则有
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
N m N m
mm
N
H z h m z z h m z
H z z H z
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
?
??
(7.1.7)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
按照上式可以将 H(z)表示为
1
( 1 ) 1 ( 1 )
0
1 1 11
()
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ [ ] ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
?
将 z=e jω代入上式，得到,
1 1
()
2
0
1
0
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( 1 )
2
N N
j
j
n
N
g
n
N
H e e h n n
N
H h n n
N
?
?
?
??
? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ? ?
?
? 按照 (7.1.2)式, 幅度函数 Hg(ω)和相位函数分别为
(7.1.8)
(7.1.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2) 第二类线性相位条件证明,
11
00
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
nn
nn
NN
N m N m
nn
N
H z h n z h N n z
H z h m z z h m z
H z z H z
??
??
??
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
(7.1.10)
令 m=N-n-1,则有
同样可以表示为
1
( 1 ) 1 ( 1 )
0
1 1 11
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1 1
2
0
1 1
22
0
1
( ) ( ) ( ) sin[ ( ) ]
2
1
( ) sin[ ( ) ]
2
j
N N
j
j
ze
n
N N
jj
n
N
H e H z je h n n
N
e h n n
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
??
?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
因此, 幅度函数和相位函数分别为
1
0
1
( ) ( ) s i n [ ( )]
2
1
( ) ( )
22
N
g
n
N
H h n n
N
Q
??
?
??
?
?
?
??
?
? ? ?
? (7.1.11)
(7.1.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,线性相位 FIR滤波器幅度特性 Hg(ω)的特点
1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数
按照 (7.1.8)式, 幅度函数 H g(ω)为
1
0
1( ) ( ) co s [( ) ]
2
N
g
n
NH h n n???
?
????
式中, h(n)对 (N-1)/2偶对称, 余弦项也对 (N-1)/2偶
对称, 可以以 (N-1)/2为中心, 把两两相等的项进行合并,
由于 N是奇数, 故余下中间项 n=(N-1)/2。 这样幅度函数
表示为
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
( 3 ) / 2
0
( 1) / 2
0
( 1) / 2
0
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s
22
( ) ( ) c o s
N
g
n
N
g
n
N
g
n
NN
H h h n n
NN
H h h m n
H a n n
??
??
??
?
?
?
?
?
?
??
? ? ?
??
? ? ?
?
?
?
?
令 m=(N-1)/2-n,则有
(7.1.13)
1
( 0 ) ( )
2
11
( ) 2 ( ),1,2,3,,
22
N
ah
NN
a n h n n
??
??
?
?
???
? ? ? ? ? ?
??
(7.1.14)
式中
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
按照 (7.1.13)式, 由于式中 cosωn项对 ω=0,π,2π皆为
偶对称, 因此幅度特性的特点是对 ω=0,π,2π是偶对称的 。
2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数
推导情况和前面 N=奇数相似, 不同点是由于 N=偶
数, Hg(ω)中没有单独项, 相等的项合并成 N/2项 。
1
0
1
2
0
1
( ) ( ) c o s[( ) ]
2
1
2 ( ) c o s[ ( ) ]
2
N
g
n
N
n
N
H h n n
N
h n n
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数
将 (7.1.11)式重写如下,
令 m=N/2-n,则有
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
( ) 2 ( ),1,2,,) ]
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H b n n
NN
b n h n n
??
??
?
?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
(7.1.15)
(7.1.16)
1
0
1( ) ( ) s i n [ ( )]
2
N
g
n
NH h n n???
?
????
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数
类似上面 3)情况, 推导如下,
令 m=(N-1)/2-n,则有
( 1 ) / 2
1
( ) ( ) s i n
11
( ) 2 ( ),1,2,,
22
N
g
n
H c n n
NN
c n h n n
??
?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
? (7.1.17)
(7.1.18)
11
2
00
11( ) ( ) s i n [ ( ) ] 2 ( ) s i n [ ) ]
22
N
N
g
nn
NNH h n n h n n? ? ?
??
??
??? ? ? ???
令 m=N/2-n,则有
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) sin [ ( ) ]
22
1
( ) ( ) sin [ ( ) ]
2
( ) 2 ( ),1,2,3,
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H d n n
NN
d n h n n
??
??
?
?
? ? ?
??
? ? ? ? ??
?
?
(7.1.19)
(7.1.20)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器零点分布特点
第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足
(7.1.7)式和 (7.1.10)式, 综合起来用下式表示,
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ??? (7.1.21)
图 7.1.1 线性相位 FIR滤波器零点分布
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,线性相位 FIR滤波器网络结构
设 N为偶数, 则有
1
11 2
00
2
11
22
( 1)
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
N
NN
n n n
Nnm
n
NN
n N m
nm
H z h n z h n z h n z
H z h n z h N m z
h n h N n
?
??
? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
令 m=N-n-1,则有
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
( 1)
0
( 1) 1
2
1
( 1) 2
0
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( 1 )
2
N
n N n
n
N
N
n N n
n
H z h n z z
N
H z h n z z h z
?
? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
?
?
(7.1.22)
如果 N为奇数，则将中间项 h［ (N-1)/2］单独列出,
(7.1.23)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.1.2 第一类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.1.3 第二类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数
－ 1 － 1 － 1 － 1
－ 1
－ 1 － 1 － 1 － 1
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器
设希望设计的滤波器传输函数为 Hd(ejω),hd(n)是与
其对应的单位脉冲响应, 因此
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jj
dd
n
j j n
dd
H e h n e
h n H e e d
??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
相应的单位取样响应 h-d(n)为
,
()
0,
ja
cj
d
c
e
He
?
? ??
? ? ?
?? ??
? ?
????
(7.2.1)
1 s i n ( ( ) )()
2 ( )
c
c
j a j n c
d
nah n e e d
na
? ??
?
??
??
??
?
???
??
(7.2.2)
为了构造一个长度为 N的线性相位滤波器, 只有将
h-d(n)截取一段, 并保证截取的一段对 (N-1)/2对称 。 设
截取的一段用 h(n)表示, 即
h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
我们实际实现的滤波器的单位取样响应为 h(n),长
度为 N,其系统函数为 H(z),
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
?
?
?
? ?
图 7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
以上就是用窗函数法设计 FIR滤波器的思路 。 另外,
我们知道 Hd(e jω)是一个以 2π为周期的函数, 可以展为
傅氏级数, 即
( ) ( )j j n
dd
n
H e h n e??
?
?
? ? ?
? ?
对 (7.2.3)式进行傅里叶变换, 根据复卷积定理, 得到,
(1( ) ( ) ( )
2
j j j
dNH e H e R e d
?? ? ? ?
? ??
?
?? ?
(7.2.4)
式中, Hd(e jω)和 RN(e jω)分别是 hd(n)和 RN(n)
的傅里叶变换, 即
111 ( 1)
2
00
sin( / 2( ) ( ) ( )
sin( / 2 )
NN jN
j j n j n ja
N N N
nn
NR e R n e e e R e?? ? ? ?? ?
?
?? ??
? ? ?
??
? ? ? ???
(7.2.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
s i n ( / 2 1( ),
s i n ( / 2 ) 2N
NNR ???
?
???
RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将 Ha(ejω)写成下式,
( ) ( )j j addH e H e??? ??
按照 (7.2.1)式, 理想低通滤波器的幅度特性 Hd(ω)为
1,
()
0,
c
d
c
H
??
?
? ? ?
???
? ?
????
将 Hd(e jω)和 RN(e jω)代入 (7.2.4)式, 得到,
()1( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
j j a j a
dN
ja
dN
H e H e R e d
e H R d
?
? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
??
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
将 H(ejω)写成下式,
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
j j a
dN
H e H e
H H R d
??
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
??? (7.2.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.2 矩形窗对理想低通
幅度特性的影响
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
通过以上分析可知, 对 hd(n)加矩形窗处理后,
H(ω)和原理想低通 Hd(ω)差别有以下两点,
(1)在理想特性不连续点 ω=ωc附近形成过渡带 。 过
渡带的宽度, 近似等于 RN(ω)主瓣宽度, 即 4π/N。
(2)通带内增加了波动, 最大的峰值在 ωc-2π/N处 。
阻带内产生了余振, 最大的负峰在 ωc+2π/N处 。
在主瓣附近, 按照 (7.2.5)式, RN(ω)可近似为
s i n ( / 2 ) s i n()
/2N
NxRN
x
??
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
下面介绍几种常用的窗函数 。 设
h(n)=hd(n)w(n)
式中 w(n)表示窗函数 。
1,矩形窗 (Rectangle Window)
wR(n)=RN(n)
前面已分析过, 按照 (7.2.5)式, 其频率响应为
1 ( 1)
2sin ( / 2 )()
sin ( / 2 )
jNj
R
NW e e ?? ?
?
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,三角形窗 (Bartlett Window)
21
,0 ( 1 )
12
()
21
2,( 1 ) 1
12
Br
n
nN
N
n
n
N n N
N
?
?
? ? ??
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ??
(7.2.8)
其频率响应为
1()
2 2
sin( )
4( ) [ ]
2 sin( / 2 )
Nj
j
Br
N
NW e e ??? ?
?
???
? (7.2.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,汉宁 (Hanning)窗 ——升余弦窗
1
2
11
22
2
( ) 0,5 [ 1 c o s ( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
2
( ) [ ( ) ] { 0,5 ( ) 0,2 5 [ ( )
1
2
( ) ] } ( )
1
Hn N
N
j
j
R N R
j
Hn Hn R R
NN
jj
R Hn
n
n R n
N
W e FT R n W e
W e FT W n W W
N
W e W e
N
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
??
??
?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
当 N1时,N-1≈N,
22( ) 0,5 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( ) ]
Hn R R RW W W WNN
??? ? ? ?? ? ? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.3 汉宁窗的幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,哈明 (Hamming)窗 ——改进的升余弦窗
2( ) [ 0.54 0.46 c o s( ) ] ( )
1H m N
nn R n
N
?? ??
?
(7.2.11)
其频域函数 WHm (e jω)为
22
( ) ( )
11( ) 0, 5 4 ( ) 0, 2 3 ( ) 0, 2 3 ( )
22
( ) 0, 5 4 ( ) 0, 2 3 ( ) 0, 2 3 ( )
11
jj
jj NN
H m R R R
j
H m R R R
W e W e W e W e
W W e W W
NN
??
??
??
? ??
? ? ?
??
??? ? ?
? ? ? ? ?
??
其幅度函数 WHm(ω)为
当 N>>1时, 可近似表示为
22( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
Bl R R Rn W W WNN
??? ? ? ?? ? ? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
5,布莱克曼 (Blackman)窗
24( ) [ 0,4 2 0,5 c o s 0,0 8 c o s ] ( )
11Bl N
nnn R n
NN
??? ? ? ?
??
(7.2.13)
其频域函数为
22
( ) ( )
11
R
22
( ) ( )
11
( ) 0,4 2 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( ) ]
0,0 4 [ ( ) ( ) ]
jjjj
NN
Bl R R
jj
NN
RR
W e W e W e W e
W e W e
??
????
??
??
??
??
??
??
? ? ?
??
其幅度函数为
22
( ) 0.42 ( ) 0.25 [ ( ) ( ) ]
11
44
0.04 [ ( ) ( ) ]
11
Bl R R R
RR
W W W W
NN
WW
NN
??
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??(7.2.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.4 常用的窗函数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.5
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性 (N=51,ωc=0.5π)
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
6,凯塞 — 贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)
0
0
2
2
0
1
()
( ),0 1
()
2
1 ( 1 )
1
1
( ) 1 ( ( ) )
!2
k
k
k
I
n n N
I
n
N
x
Ix
k
?
?
?
??
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?? ?
式中
I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数, 可用下面级数计算,
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
一般 I0(x)取 15~25项, 便可以满足精度要求 。 α参
数可以控制窗的形状 。 一般 α加大, 主瓣加宽, 旁瓣幅
度减小, 典型数据为 4<α<9。 当 α=5.44时, 窗函数接近
哈明窗 。 α=7.865时, 窗函数接近布莱克曼窗 。 凯塞窗
的幅度函数为
( 1 ) / 2
1
( ) ( 0) 2 ( ) co s
N
k k k
n
W n n? ? ? ?
?
?
?? ?
(7.2.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表 7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表 7.2.2 六种窗函数的基本参数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
下面介绍用窗函数设计 FIR滤波器的步骤 。
(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应
hd(n)。 如果给出待求滤波器的频响为 Hd(ejω),那么单
位取样响应用下式求出,
1( ) ( )
2
jj
ddh n H e e d
? ??
? ?? ?? ?
221
0
1( ) ( )M j k j k nMM
Md
k
h n H e eM
???
?
? ?
(7.2.17)
(7.2.18)
根据频率采样定理, hM(n)与 hd(n)应满足如下关系,
( ) ( )Md
r
h n h n r M
?
? ??
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
例如, 理想低通滤波器如 (7.2.1)式所示, 求出单位
取样响应 hd(n)如 (7.2.2)式, 重写如下,
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求, 选择窗函数
的形式, 并估计窗口长度 N。 设待求滤波器的过渡带用
Δω表示, 它近似等于窗函数主瓣宽度 。
(3) 计算滤波器的单位取样响应 h(n),
h(n)=hd(n)w(n)
s i n ( ( ))()
()
c
d
nhn
n
??
??
??
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(4)验算技术指标是否满足要求 。 设计出的滤波器
频率响应用下式计算,
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e??
?
?
?
? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
例 7.2.1 用矩形窗, 汉宁窗和布莱克曼窗设计 FIR低
通滤波器, 设 N=11,ωc=0.2πrad。
解 用理想低通作为逼近滤波器, 按照 (7.2.2)式, 有
s i n ( ( ))
( ),0 1 0
()
1
( 1 ) 5
2
s i n ( 0,2 ( 5 ))
( ),0 1 0
( 5 )
c
d
d
n
h n n
n
N
n
h n n
n
??
??
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
用汉宁窗设计,
( ) ( ) ( ),0 10
2
( ) 0,5 ( 1 c o s )
10
d H n
Hn
h n h n n n
n
n
?
?
?
? ? ?
??
用布莱克曼窗设计,
11
( ) ( ) ( )
22
( ) ( 0,42 0,5 c o s 0,08 c o s ) ( )
10 10
d B l
Bl
h n h n n
nn
n R n
?
??
?
?
? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.2.7 例 7.2.1的低通幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器
设待设计的滤波器的传输函数用 Hd(ejω)表示, 对它
在 ω=0到 2π之间等间隔采样 N点, 得到 Hd(k),
2
21
0
( ) ( ),0,1,2,,1
1
( ) ( ),0,1,2,,1
j
dd
k
D
N
j k n
N
d
k
H k H e k N
h n H k e k N
N
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
再对 N点 Hd(k)进行 IDFT，得到 h(n),
(7.3.1)
(7.3.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
式中,h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，
其系统函数 H(z)为
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
?
?
?
? ?
1
2
0 1
1 ( )()
1
N N
d
jkk
N
z H kHz
N ez ?
? ?
? ?
??
?
?
(7.3.3)
(7.3.4)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件
FIR滤波器具有线性相位的条件是 h(n)是实序列,
且满足 h(n)=h(N-n-1),在此基础上我们已推导出其传
输函数应满足的条件是,
()
( ) ( )
1
()
2
( ) ( 2 ),
( ) ( 2 ),
jj
dg
gg
gg
H e H e
N
H H N
H H N
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
(7.3.5)
(7.3.6)
(7.3.7)
奇数
偶数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
在 ω=0~2π之间等间隔采样 N点,
2,0,1,2,,1
k k k NN
?? ? ? ? ? ? ?
将 ω=ωk代入 (7.3.4)~(7.3.7)式中, 并写成 k的函数,
()( ) ( )
1 2 1
()
2
jk
dgH k H k e
NN
k k k
NN
?
?
??
?
??
? ? ?
(7.3.8)
(7.3.9)
( ) ( ),
( ) ( ),
gg
gg
H k H N k k
H k H N k k
? ? ?
? ? ? ?
奇数
偶数
(7.3.10)
(7.3.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
设用理想低通作为希望设计的滤波器, 截止频率
为 ωc,采样点数 N,Hg(k)和 θ(k)用下面公式计算,
N=奇数时,
( ) ( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
1
( ),0,1,2,,1
g g c
g c c c
H k H N k k k
H k k k k N k
N
k k k N
N
??
?
?? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?? ? ? ? ? ? ?
??
(7.3.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
N=偶数时,( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
( ) 1,0,1,2,,
1
( ),0,1,2,,1
gc
g c c c
gc
H k k k
H k k k k N k
H N k k k
N
k k k N
N
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
(7.3.13)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,逼近误差及其改进措施
如果待设计的滤波器为 Hd(ejω),对应的单位取样响
应为 hd(n),
1
( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??
?
??
?
? ?
则由频率域采样定理知道, 在频域 0~2π之间等间
隔采样 N点, 利用 IDFT得到的 h(n)应是 hd(n)以 N为周期,
周期性延拓乘以 RN(ω),即
( ) ( ) ( )dN
r
h n h n r N R n
?
? ? ?
???
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
由采样定理表明, 频率域等间隔采样 H(k),经过
IDFT得到 h(n),其 Z变换 H(z)和 H(k)的关系为
1
2
0 1
1
0
1
2
1 ( )
()
1
2
( ) ( ) ( )
1 si n( / 2 )
()
si n( / 2 )
N N
j
k N
N
j
k
N
j
z H k
Hz
N
ez
H e H k k
N
N
e
N
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
例 7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器,
要 求 截 止 频 率 ωc=π/2rad, 采 样 点 数 N=33, 选用
h(n)=h(N-1-n)情况 。
解 用理想低通作为逼近滤波器 。 按照 (7.3.12)式,
( ) ( 3 3 ) 1,0,1,2,,8
( ) 0,9,1 0,,2 3,2 4
32
( ),0,1,2,,3 2
33
gg
g
H k H k k
H k k
k k k??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
对理想低通幅度特性采样情况如图 7.3.2所示 。 将采
样得到的
()() jkdgH H k e ??
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.2 对理想低通进行采样
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.3 例 7.3.1的幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.3.4 例 7.3.1—— (N=65)有两个过渡点幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
如果用 E(ejω)表示 Hd(ejω)和所设计滤波器 H(ejω)之间
的频响误差
E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω) (7.4.1)
其均方误差为
22 1 ()
2
je E e d? ?
?
??
?
? ?
(7.4.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1,切比雪夫最佳一致逼近准则
设希望设计的滤波器幅度特性为 Hd(ω),实际设计
的滤波器幅度特性为 Hg(ω),其加权误差 E(ω)用下式表
示,
E(ω)=W(ω)［ Hd(ω)-Hg(ω)］ (7.4.3)
为设计具有线性相位的 FIR滤波器, 其单位脉冲响
应 h(n)或幅度特性必须满足一定条件 。 假设设计的是
h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况,
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
1
( 1 )
2
0
( ) ( )
( ) ( ) c o s
N
j
j
g
N
g
n
H e e H
H a n n
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
将 Hg(ω)代入 (7.4.3)式, 则
0
( ) ( )[ ( ) ( ) co s ]
M
d
n
E W H a n n? ? ? ?
?
?? ?
(7.4.4)
式中 M=(N-1)/2。 最佳一致逼近的问题是选择
M+1个系数 a(n),使加权误差 E(ω)的最大值为最小,
即
m i n [ m ax ( ) ]A E? ??
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
该定理指出最佳一致逼近的充要条件是 E(ω)在 A上
至少呈现 M+2个, 交错,, 使得
1
0 1 2 1
( ) ( )
( ) m ax ( )
,
ii
i
A
M
EE
EE
A
?
??
??
? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
? ? ? ?? ? ?
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位 FIR滤波器
设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器,
其幅度特性为
1,0
()
0,
p
d
s
H
??
?
? ? ?
???
? ?
???
如果我们知道了 A上的 M+2个交错点频率：
ω0,ω1,:,ωM+1,按照 (7.4.4)式, 并根据交错点组准则, 可
写出
0
( ) [ ( ) ( ) c o s ] ( 1 )
m a x ( ),0,1,2 1
M
k
k d k k
n
A
W H a n n
E k M
?
? ? ? ?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?(7.4.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
将 (7.4.5)式写成矩阵形式,
00
0
11
1
22
2
1
1
1
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
( 1 )
1 c o s c o s
()
M
MM
M
M
W
M
W
M
W
M
W
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
??
???
??
???
???
??
???
??
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???
????
(0 )
(0 )
(0 )
M
a
a
a
a
?
??
??
??
??
???
?
??
??
??
????
0
1
2
1
()
()
()
()
()
d
d
d
dM
dM
H
H
H
H
H
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
?
??
??
??
????
(7.4.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1)在频域等间隔取 M+2个频率 ω0,ω1,:,ωM+1,作为
交错点组的初始值 。 按下式计算 ρ值,
1
0
1
0
1
0,
()
( 1 ) / ( )
1
( 1 )
c o s c o s
M
k d k
k
M
k
kk
k
M
k
k
i i k ik
aH
aW
a
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
(7.4.7)
(7.4.8)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
一般初始值 ωi并不是最佳的极值频率, ρ也不是最
优估计误差, 它是相对于初始值产生的偏差 。 然后利
用拉格朗日 (Lagrange)插值公式, 求出 Hg(ω),即
0
0
0,
[]
c o s c o s
()
c o s c o s
( ) ( 1 ),0,1,2,,
()
1
( 1 )
c o s c o s
M
k
k
k k
g M
k
k k
k
k d k
k
M
k
k
i i k ik
C
H
C H k M
W
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
?
(7.4.9)
(7.4.10)
(7.4.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2)对上次确定的 ω0,ω1,:,ωM+1中每一点, 都检查其
附近是否存在某一频率 |E(ω)|>ρ,如有, 再在该点附近
找出局部极值点, 并用该点代替原来的点 。
(3)利用和第二步相同的方法, 把各频率处使
|E(ω)|>|ρ|的点作为新的局部极值点, 从而又得到一组
新的交错点组 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.4.2 雷米兹算法流程图
给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
得用 （ 7, 4, 7 )式计算偏差 ρ
得用 （ 7, 4, 9 )式计算 H
d
( ω )
计算误差函数 E ( ω ),以及局部极
值点频率，在这些点上满足
得到一组新的交错点组频率
极值点是 M ＋ 2
个还是 M ＋ 3 个？
极值频
率相对上次是
否变化？
得到最佳一致逼近的
H
d
( ω )
结束
舍掉两个端点中使偏
差较小的一个
M ＋ 3
M ＋ 2
不变
?E ( ω ) ρ
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器的四种类型统一表示式
在 7.1节, 我们已推导出线性相位的四种情况, 它
们的幅度特性 H-g(ω)分别如下式,
0
0
0
( 1 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s,
2
( 2 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
( 3 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) si n,
2
( 4 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
M
g
n
M
g
ni
M
g
n
M
g
n
h n h N n N
N
H a n n M
h n h N n N
N
H b n n M
h n h N n N
N
H c n n M
h n h N n N
N
H d n n M
??
?
??
??
?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
奇数
奇数
偶
数
偶
数
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
经过推导可把 H-g(ω)统一表示为
Hg(ω)=Q(ω)P(ω) (7.4.13)
式中, P(ω)是系数不同的余弦组合式, Q(ω)是不
同的常数, 四种情况的 Q(ω)和 P(ω)如表 7.4.1所示 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表 7.4.1 线性相位 FIR滤波器四种情况
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表中, 和 与原系数 b(n),c(n)
和 d(n)之间关系如下,
~()bn ~()cn ~ ()dn
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0 ) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
b b b
b n b n b n
b M b M
nM
?
??
?
?
?
? ? ??
?
?
???
?
? ??? ???
(7.4.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
~~
~~
~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 2 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
2
1
( 1 ) ( 2 )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,2
c c c
c n c n c n
c M c M
c M c M
nM
?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
?
??
?
?
? ? ? ? ?
?
??
(7.4.15)
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
d d d
d n d n d n
d M d M
nM
?
??
?
?
?
? ? ??
?
?
???
?
? ? ? ? ???
(7.4.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
将 (7.4.13)式代入 (7.4.3)式, 得到,
^
^
()
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]
()
( ) ( ) ( )
()
()
()
d
d
d
d
H
E W H P Q W Q P
Q
W W Q
H
H
Q
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
(7.4.17)
(7.4.18)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
输入滤波器技术要求：
N, H
d
( ω ),W ( ω )
给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
调用 R e m e z 算法程序求解
最佳极值频率和 P ( ω ) 系数
按要求的滤波器类型求出：
W ( ω ), H
d
( ω ),P ( ω )
＾ ＾
计算单位脉冲响应 h ( n )
输出最佳误差和 h ( n )
图 7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位
FIR滤波器程序框图
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
图 7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较
首先, 从性能上来说, IIR滤波器传输函数的极点
可位于单位圆内的任何地方, 因此可用较低的阶数获
得高的选择性, 所用的存贮单元少, 所以经济而效率
高 。 但是这个高效率是以相位的非线性为代价的 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
从结构上看, IIR滤波器必须采用递归结构, 极点
位置必须在单位圆内, 否则系统将不稳定 。
从设计工具看, IIR滤波器可以借助于模拟滤波器
的成果, 因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可
供准确计算, 计算工作量比较小, 对计算工具的要求
不高 。
