1
麦克斯韦速率分布率
2
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全
是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，
气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律
叫 麦克斯韦速率分布律 。
按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用
某一速率区间内分子数占总分子数的百分比 来表示分
子按速率的分布规律。
1.将速率从 分割成很多相等的速率区间。??0
一、速率分布函数
例如速率间隔取 10m/s,
整个速率分为 0— 10； 10— 20； … 等区间。
NN /?区间内的概率为在 vvv ???
2.总分子数为 N,区间内的在 vvv ??? N?分子数为
3
o v
vN
N
?
?
v?
则可了解分子按速率分布的情况。
NN /?
2.总分子数为 N,区间内的在 vvv ??? N?分子数为
区间内的概率为在 vvv ???
NN /? 与
v有关，不同 v 附近概率不同。
v? 有关，速率间隔大概率大
3,dvv ?? 速率间隔很小
该区间内分子数为 dN，
在该速率区间内分子的概率
dvNdN ?
写成等式 dvvfNdN )(?
4
N d v
dNvf ?)(
dvvfNdN )(?
速率分布函数的物理意义,表示在速率 v 附近，单位
速率区间内分子数占总分子数的百分比，或单位速率
区间内分子出现的概率。
有限区间内的概率为在 21 vv ? dvvf
N
N v
v?
?? 2
1
)(
速率分布函数
表示分布在 区间内的分子
数占总分子数的百分比（或概率）
dvvv ??
区间内的分子数为在 dvvv ?? dvvNfdN )(?
区间内的分子数为在 21 vv ? ?? ??? 2
1
2
1
)(v
v
v
v
dvvNfdNN
区间内的总速率在 dvvv ?? dvvN v fv dN )(?
区间内的总速率在 21 vv ? ?? ? 2
1
)(v
v
dvvN v fdNv
5
区间内的分子数为在 21 vv ? ?? ??? 2
1
2
1
)(v
v
v
v
dvvNfdNN
区间内的总速率在 21 vv ? ?? ? 2
1
)(v
v
dvvN v fdNv
:21 区间内的平均速率在 vv ?
N
dNv
v
?
? ?
?
?
?
2
1
2
1
v
v
v
v
N f ( v ) d v
N v f ( v ) d v
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2
1
2
1
v
v
v
v
f ( v ) d v
v f ( v ) d v
同理：
N
dNv
v
?
? ?
2
2
?
?
?
2
1
2
1
2
v
v
v
v
N f ( v ) d v
f ( v ) d vNv
?
?
?
2
1
2
1
2
v
v
v
v
f ( v ) d v
f ( v ) d vv
6
??0 )( dvvf
:,,0 21 则有取 ??? vv
由于全部分子百分之百地分布在由 0到 ?的整个速
率范围内，
?? N NdN0
1?
归一化条件
dvve
kT
m
N
dN kTmvv 222
3
2
2
4
?
?
?
?
?
?
??
?
?
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略
时，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子
数的比率为：
二、麦克斯韦速率分布定律
1.麦克斯韦速率分布定律的内容
7
dvve
kT
m
N
dN kTmvv 222
3
2
2
4
?
?
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3
2
2
4 ve
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m
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mv?
?
?
?
?
?
??
?
?麦克斯韦速率分布函数
dvo v
)(vf
v vv ??
)(vf
1,f(v)~v曲线
讨论：
,0)( 0 ?? vfv 时 0)( ??? vfv 时
2.在 f(v)~v曲线下的面积为该速
率区间内分子出现的概率：
N
Ndvvfvv
v
??? ?? )(
N
dNdvvf ?)(
8
在 f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归一化条件。
o v
)(vf
dvvf )(0??
?? N dNN 01 1?? NN
?
?
?
0
dv
N d v
dN
o v
)(vf
pv
3.最可几速率 vP
物理意义, 若把整个
速率范围划分为许多
相等的小区间，则分
布在 vP所在 区间的分
子数比率最大。
9
o v
)(vf
pv
将 f(v) 对 v 求导，令一次导数为零, 0
)( ?
dv
vdf
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
mvf kTmv?
?
?
??
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?? ve kTmv 22/2 02
22/2 2 ??
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kT
vmev kTmv
021
2
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m
kTv
p
2?
最可几速率：
由
AN
Rk ? 和 mNM
Am o l ?
m
kTv
p
2?
AmN
RT2?
m o lM
RT2?
m olM
RT41.1?
10
讨论：
1） vP与温度 T的关系 m
kTv
p
2?
??? pvT
曲线的峰值右移,由
于曲线下面积为 1不变，
所以峰值降低。
12 TT ?
o v
)(vf
1pv 2pv
2T
1T
o v
)(vf
1pv2pv
2m
1m
??? pvm
曲线的峰值左移,由
于曲线下面积为 1不变，
所以峰值升高。
12 mm ?
2） vP与 分子质量 m的关系
11
气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？
平均速率：
v1.平均速率
利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平均
速率等物理量。
2.麦克斯韦速率分布定律的应用
,
2
1
2
1
?
?
?
v
v
v
v
f ( v ) d v
v f ( v ) d v
v?,,,0 21 则有取 ??? vv
?
?
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?
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0
0
f ( v ) d v
v f ( v ) d v
v ???
0 )( dvvvf
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32
2/3 2
2
4 dvve
kT
m kTmv
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m
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8?
m
kTv
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8?
12
m
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8?
m olM
RTv
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上下同乘 NA有：
m olM
RT59.1?
2v2.方均根速率
,
2
1
2
1
2
2
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v
v
v
v
f ( v ) d v
f ( v ) d vv
v?,,,0 21 则有取 ??? vv
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m
kT3?
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0
42
2/3 2
2
4 dvve
kT
m kTmv
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?
m
kTv 32 ?
m o lM
RT3?方均根速率
m olM
RT73.1?
13
o v
)(vf
pv 2vv
3.三种速率的比较
三种速率统计值有不同的应用：
在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算分
子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子
的平均平动动能时，要用到方均根速率。
m olM
RTv 32 ?
m olM
RTv
?
8?
m ol
p M
RTv 2?
麦克斯韦速率分布率
2
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全
是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，
气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律
叫 麦克斯韦速率分布律 。
按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用
某一速率区间内分子数占总分子数的百分比 来表示分
子按速率的分布规律。
1.将速率从 分割成很多相等的速率区间。??0
一、速率分布函数
例如速率间隔取 10m/s,
整个速率分为 0— 10； 10— 20； … 等区间。
NN /?区间内的概率为在 vvv ???
2.总分子数为 N,区间内的在 vvv ??? N?分子数为
3
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vN
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则可了解分子按速率分布的情况。
NN /?
2.总分子数为 N,区间内的在 vvv ??? N?分子数为
区间内的概率为在 vvv ???
NN /? 与
v有关，不同 v 附近概率不同。
v? 有关，速率间隔大概率大
3,dvv ?? 速率间隔很小
该区间内分子数为 dN，
在该速率区间内分子的概率
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写成等式 dvvfNdN )(?
4
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dNvf ?)(
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速率分布函数的物理意义,表示在速率 v 附近，单位
速率区间内分子数占总分子数的百分比，或单位速率
区间内分子出现的概率。
有限区间内的概率为在 21 vv ? dvvf
N
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速率分布函数
表示分布在 区间内的分子
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时，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子
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二、麦克斯韦速率分布定律
1.麦克斯韦速率分布定律的内容
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讨论：
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2.在 f(v)~v曲线下的面积为该速
率区间内分子出现的概率：
N
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8
在 f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归一化条件。
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3.最可几速率 vP
物理意义, 若把整个
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讨论：
1） vP与温度 T的关系 m
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曲线的峰值右移,由
于曲线下面积为 1不变，
所以峰值降低。
12 TT ?
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曲线的峰值左移,由
于曲线下面积为 1不变，
所以峰值升高。
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2） vP与 分子质量 m的关系
11
气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？
平均速率：
v1.平均速率
利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平均
速率等物理量。
2.麦克斯韦速率分布定律的应用
,
2
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13
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3.三种速率的比较
三种速率统计值有不同的应用：
在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算分
子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子
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