1
能量按自由度均分原理
理想气体的内能
2
一、能量按自由度均分原理
分子平均平动动能,kT2
3?
2
2
1 vm
t ??
将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分
子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。
考虑分子的能量时，要考虑分子各种运动的能量。
作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为
分子是刚性的。
气体分子除平动外,还有转动和分子内原子之间的振动。
1.自由度
在力学中,自由度 是指决定一个物体的空间位置所
需要的独立坐标数,
所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的 最少的坐
标数 。
—— 描述物体运动自由程度的物理量。
3
例如,x
轮船在海平面上行驶，要描
写轮船的位置至少需要两维坐
标，则自由度为 2。
飞机在天空中飞翔，要描写
飞机的空间位置至少需要三维
坐标，则自由度为 3。
但对于火车在轨道上行驶时
自由度是多少呢？
自由度是 1，由于受到轨道限
制有一维坐标不独立。
物体沿一维直线运动，最少
只需一个坐标，则自由度数为 1。
4
z
y
x
o
2.两个刚性质点
描写其质心位置需 3个平
动自由度，
描写其绕 x,y轴转动需 2个转动自
由度，绕 z轴的转动能量可不计，
3?t
2?r
总自由度数,523 ????? rti
1,一个质点
3?t
z
y
x
),,( zyxP
o
描写它的空间位置，需要 3
个平动自由度，
3.三个或三个以上的刚性质点
633 ????? rti3?t 3?r平动自由度转动自由度 总自由度
5
对于理想气体在常温下，分子内各原子间的距
离认为不变，只有平动自由度、转动自由度。
2.气体分子自由度
1.单原子分子气体
例如,He,Ne,Ar。 其模型可用一个质点来代替。
平动自由度 3?t
转动自由度 0?r 303 ????? rti总自由度
2.刚性双原子分子气体
例如,氢气（ H2）、氧气（ O2）等为双原子分子气
体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。
平动自由度 3?t
转动自由度 2?r 523 ????? rti总自由度
6
3.刚性多原子分子气体
例如,二氧化碳气体（ CO2）、水蒸气（ H2O）、甲
烷气体（ CH4）等为多原子分子气体。其模型可用多
个刚性质点来代替。
平动自由度 3?t
转动自由度 3?r
633 ????? rti总自由度
3.分子动能按自由度均分的统计规律
分子平均平动动能,kT2
3?
2222
zyx vvvv ???? 222 zyx vvv ??
且
2
2
1 vm
t ??
2
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3
xvm?2
2
1 vm
t ??
)(21 222 zyx vvvm ???
7
,2323 2 kTvm x ??
22
2
1
2
1
zy vmvm ?
在 x 方向上平均分配了 kT / 2 的能量。
同理,在 x, y,z方向上均分配了一份 kT/2的能量，kT2
1?
kTvm x 2121 2 ?
2
2
3
xvm?2
2
1 vm
t ??
)(21 222 zyx vvvm ???
推广到转动等其它运动形式，得 能量按自由度均分定理
在温度为 T的平衡态下，气体分子每个自
由度的平均动能都相等，都等于 。kT
21
8
平动动能 转动动能
使平动动能与转动动能达到相同，即每个自由度上也
平均分配了 kT/2能量。
分子有 i 个自由度，其平均动能就有 i份 kT/2 的能量 。
分子平均总动能：
kTik
2
??
由于分子的激烈碰撞（几亿次 /秒），使平动动能
与转动动能不断转换，
说明：
1）该定理是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。
2）是由于大量分子无规则碰撞的结果。
能量按自由度均分原理,在温度为 T的平衡态下，气
体分子每个自由度的平均动能都相等，都于 。kT
21
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4.气体分子的能量
?对于理想气体而言，分子间的作用力忽略不计，分
子与分子间的势能为零。
?由于只考虑常温状态，分子内的原子间的距离可认为
不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。
一个气体分子的能量为：
kTik 2??
理想气体：
气体内能：所有气体分子的动能和势能的总和。
理想气体内能：所有分子的动能总和。
1.一个分子的能量为,
kTik
2
??
二、理想气体的内能
10
1.一个分子的能量为,
2,1 mol气体分子的能量为, RT
i
2?kTNiE A2?
kTik 2??
3.M 千 克气体的内能为：
RTiRTi
M
ME
m o l
?
22
??
对于一定量的理
想气体，它的内
能只是温度的函
数而且与热力学
温度成正比。
单原子分子气体
刚性双原子分子气体
刚性多原子分子气体
RTE ?23?
RTE ?25?
RTE ?26?
当温度变化 ?T时
TRiE ??? ?2
当温度变化 dT时
R d TidE ?2?
思考：单位体积与
单位质量的内能又
各为多少？
能量按自由度均分原理
理想气体的内能
2
一、能量按自由度均分原理
分子平均平动动能,kT2
3?
2
2
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将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分
子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。
考虑分子的能量时，要考虑分子各种运动的能量。
作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为
分子是刚性的。
气体分子除平动外,还有转动和分子内原子之间的振动。
1.自由度
在力学中,自由度 是指决定一个物体的空间位置所
需要的独立坐标数,
所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的 最少的坐
标数 。
—— 描述物体运动自由程度的物理量。
3
例如,x
轮船在海平面上行驶，要描
写轮船的位置至少需要两维坐
标，则自由度为 2。
飞机在天空中飞翔，要描写
飞机的空间位置至少需要三维
坐标，则自由度为 3。
但对于火车在轨道上行驶时
自由度是多少呢？
自由度是 1，由于受到轨道限
制有一维坐标不独立。
物体沿一维直线运动，最少
只需一个坐标，则自由度数为 1。
4
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2.两个刚性质点
描写其质心位置需 3个平
动自由度，
描写其绕 x,y轴转动需 2个转动自
由度，绕 z轴的转动能量可不计，
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总自由度数,523 ????? rti
1,一个质点
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描写它的空间位置，需要 3
个平动自由度，
3.三个或三个以上的刚性质点
633 ????? rti3?t 3?r平动自由度转动自由度 总自由度
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对于理想气体在常温下，分子内各原子间的距
离认为不变，只有平动自由度、转动自由度。
2.气体分子自由度
1.单原子分子气体
例如,He,Ne,Ar。 其模型可用一个质点来代替。
平动自由度 3?t
转动自由度 0?r 303 ????? rti总自由度
2.刚性双原子分子气体
例如,氢气（ H2）、氧气（ O2）等为双原子分子气
体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。
平动自由度 3?t
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3.刚性多原子分子气体
例如,二氧化碳气体（ CO2）、水蒸气（ H2O）、甲
烷气体（ CH4）等为多原子分子气体。其模型可用多
个刚性质点来代替。
平动自由度 3?t
转动自由度 3?r
633 ????? rti总自由度
3.分子动能按自由度均分的统计规律
分子平均平动动能,kT2
3?
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同理,在 x, y,z方向上均分配了一份 kT/2的能量，kT2
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推广到转动等其它运动形式，得 能量按自由度均分定理
在温度为 T的平衡态下，气体分子每个自
由度的平均动能都相等，都等于 。kT
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平动动能 转动动能
使平动动能与转动动能达到相同，即每个自由度上也
平均分配了 kT/2能量。
分子有 i 个自由度，其平均动能就有 i份 kT/2 的能量 。
分子平均总动能：
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2
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由于分子的激烈碰撞（几亿次 /秒），使平动动能
与转动动能不断转换，
说明：
1）该定理是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。
2）是由于大量分子无规则碰撞的结果。
能量按自由度均分原理,在温度为 T的平衡态下，气
体分子每个自由度的平均动能都相等，都于 。kT
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4.气体分子的能量
?对于理想气体而言，分子间的作用力忽略不计，分
子与分子间的势能为零。
?由于只考虑常温状态，分子内的原子间的距离可认为
不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。
一个气体分子的能量为：
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理想气体：
气体内能：所有气体分子的动能和势能的总和。
理想气体内能：所有分子的动能总和。
1.一个分子的能量为,
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二、理想气体的内能
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1.一个分子的能量为,
2,1 mol气体分子的能量为, RT
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2?kTNiE A2?
kTik 2??
3.M 千 克气体的内能为：
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对于一定量的理
想气体，它的内
能只是温度的函
数而且与热力学
温度成正比。
单原子分子气体
刚性双原子分子气体
刚性多原子分子气体
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当温度变化 ?T时
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思考：单位体积与
单位质量的内能又
各为多少？
