1
熵和熵增加原理
2
S = k ln ? (k为玻尔兹曼常数）
对于系统的某一宏观态，有一个 ?值与之对应，
因而也就有一个 S值与之对应，
克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。
1.熵的引入
一、熵和熵增加原理
12 SSS ???
当状态由状态 ‘ 1?变化到状态 ‘ 2?时系统的熵增量：
12 lnln ???? kk
1
2ln
?
?? k
1887年玻尔兹曼用下面的公式定义的 熵 S来表示系
统无序性的大小：
熵是系统状态的函数。
3
在卡诺定理表达式中，采用了讨论热机时系统吸
多少热或放多少热的说法。本节将统一用系统吸热表
示，放热可以说成是吸的热量为负（即回到第一定律
的约定），卡诺定理表达式为,
1
2
1
2 11
T
T
Q
Q ?????
0
T
Q2
1i i
i ??
?
系统从热源 T1吸热 Q1，从 T2吸热 Q2（ < 0）。上式
又可写为：
?克劳修斯熵公式
0
2
2
1
1 ??
T
QQ
推广到一般情形，可将右图所示过程划
分成许多小过程，
0
2
1
??
?
n
i i
i
T
Q
同样有 克劳修斯不等式
0?? TQd
或
4
可逆过程,
0?? TQd
可以证明，积分
?
x
x T
Qd
0
的值与从平衡态 X0到 X的路径无关，
只由初、终两平衡态 X0,X所决定。
为系统与温度为 T的热源接触时所吸收的
热量，对于可逆过程 T也等于系统的温度。
Qd
0?? TQd
T
Qd这意味着 是全微分，记作
dSTQd ?
T为系统温度
熵的微分定义式
S称作熵，是状态函数
对于状态 A和 B，有：
R
B
AAB T
QdSS )(??? 熵的积分定义式
系统处于 B态和 A态的熵差，等于沿 A,B之间任意
一可逆路径 R的热温商的积分,
5
0? ?TQd
0)()( ?? ?? A
B RI
B
A T
Qd
T
Qd
0)()( ?? ?? RB
AI
B
A T
Qd
T
Qd
I
B
AAB T
QdSS )(???
IT
QddS )(?
由 A到 B沿不可逆路径热温
商的积分小于两态熵差。
对于包含不 可逆过程 的循环有
假定闭合路径如图所示，
将可逆过程翻转，得
对微小过程
P
V
A I
BR上式可写为
利用熵的积分定义式
R
B
AAB T
QdSS )(??? 得,
注意,对不可逆过程来说，
系统的温度和热源温度不
相同，所以上式中的 T必
须是热源的温度而不是系
统本身的温度。
6
“=”对应于可逆过程,, >,对应于不可逆过程。
将可逆过程和不可逆过程的公式结合在一起，有：
????? BAAB TQdSSS
T
QddS ?
微小过程
热力学第二定律
数学表达式
2.熵增加原理
0?? TQddS
对于绝热过程,可得0?Qd
系统从一个平衡态经一绝热过程到达另一平衡态，
它的熵永不减少。如果过程是可逆的，则熵的数值不
变；如果过程是不可逆的，则熵的数值增加。
熵增加原理
孤立系统中所发生的过程必然是绝热的，故熵增
加原理还可表述为,孤立系统的熵永不减小 。
7
若系统是不绝热的，则可将系统和外界看作一复
合系统，此复合系统是绝热的，则有：
由于自然界中一切真实过程都是不可逆的，所以孤立系
统内所发生的过程的方向就是熵增加的方向。
(dS)复合 =dS系统 +dS外界
若系统经绝热过程后熵不变，则此过程是可逆的；若熵
增加，则此过程是不可逆的。
注意,熵增加原理只适用于孤立系统。对非孤立系统
熵可增加也可减少。
例如，一杯水，它不断被外界吸收热量，变成冰，它
的熵就减少了。
由 S =kln ?，熵增加原理可解释为,一个孤立系统发
生的过程总是从微观状态数小的状态变化到大的状态 。
— 可判断过程的性质
—— 可判断过程的方向
8
例如,绝热容器中 A,B 两物体相接触，,这
两个物体组成一个系统。
BA TT ?
AT BTQ?
A B
A向 B传热过程为不可逆绝热过程。
设微小时间 ?t 内传热 ?Q
A的熵变
B的熵变
A
A T
QS ?? ??
B
B T
QS ?? ?
系统熵变 BA SSS ??? ??
BA T
Q
T
Q ?? ??? ?
?
??
?
? ??
AB TT
Q 11?
对任意微小时间内熵是增加的，
对整个过程熵也是增加的。
孤立系统、不可逆
过程 熵总是增加的 。
,BA TT ?? 0?? S?
9
3.对于可逆绝热过程，
012 ???? SSS 熵 S 不变。,0?Qd
2.如果系统分为几部分，系统的熵变为各部分熵变之和。
BA SSS ??? ??
4.对于 不可逆 绝热过程,自发过程熵总是增加的。
012 ??? SSS?
5.由
R
B
AAB T
QdSS )(??? 计算初、终两态熵的改变时，其
积分路线代表连接这初、终两态的任一可逆过程。
3.熵的主要性质
1.熵是状态函数，与过程无关。熵是描述平衡态参量
的函数。
T
QdS ??? II
I
只是可逆过程中的熵增。
10
S是状态函数。在给定的初态和终态之间，系统
无论通过何种方式变化（经可逆过程或不可逆过程），
熵的改变量一定相同。
R
B
AAB T
QdSS )(???
当系统由初态 A通过一可逆过程 R到达终态 B时求熵
变的方法：直接用 来计算。
（ 2）可设计一个连接同样初终两态的任意一个可逆
过程 R，再利用 来计算。
R
B
AAB T
QdSS )(???
当系统由初态 A通过一不可逆过程到达终态 B时求熵变
的方法：
（ 1）把熵作为状态参量的函数表达式推导出来，再将
初、终两态的状态参量值代入，从而算出熵变。
4.熵变的计算
pdVdET dS ??
11
?例 1? 已知在 P=1.013?105 Pa 和 T=273.15 K下，
1.00 kg冰融化为水的融解热为 ?h =334 kJ/kg。试
求 1.00kg冰融化为水时的熵变。
1.00kg冰融化为水时的熵变为：
KkJT hmTQQdTT QdSS /22.11 2
1
2
112
???????? ??
解,在本题条件下，冰水共存。若有热源供热则发
生冰向水的等温相变。利用温度为 273.15+dT的热源
供热，使冰转变为水的过程成为可逆过程。
?? ????? BA TATQQdTT QdS 1BA
可逆等温过程：
可逆等容过程：
?? ??? BA pT dTCTQdS ?BA
可逆等压过程：
?? ??? BA vT dTCTQdS ?BA
12
?例 2? 计算理想气体绝热自由膨胀的熵变。
对理想气体，由于焦尔定律，
膨胀前后温度 T0不变。为计算
这一不可逆过程的熵变，设想
系统从初态（ T0,V1）到终态
（ T0,V2）经历一可逆等温膨
胀过程，可借助此可逆过程
（如图）求两态熵差。
P
VV1 V2
1
2
解,气体绝热自由膨胀，有：
?Q=0 ?W=0 dU=0
P d VP d VdEQd ????
?? ???? 21
0
2
112 T
P d V
T
QdSS
0ln
1
22
1
??? ? VVRVdVR ??
?S > 0证实了理想气体绝
热自由膨胀是不可逆的。
13
1.熵是大量微观粒子热运动所引起的无序性的量度。
2.熵越大，状态几率越大。
3.熵是热力学系统状态几率或无序度的量度。
4.熵越大无序度越高。
5.绝热系统、实际过程熵总是增大的。
6.可逆绝热循环过程熵不变。
S = k ln ?
7.孤立系统中一切实际过程是从状态几率小向状态
几率大的转变过程，一切实际过程，都是不可逆的，
并向着熵增加的方向进行。
5.熵的物理意义
14
?熵的增加是能量退化的量度。
6.关于熵进一步讨论
如图当 A物体下降 ?h时，水温
由 T--T+?T，这个过程中重力
势能 Mg?h全部变成水的内能。
要利用这一能量只能利用热机。
若周围温度为 T0则这部分能量
能对外作功的最大值为：
能作的功少了，一部分能量放入到低温热库。再也不能
被利用了。这部分不能被利用的能量称为退化的能量。
)1( 0
TT
ThMghMgA
??
??????? 卡?
M AA
AT+?T
m
15
)1( 0
TT
ThMghMgA
??
??????? 卡?
退化的能量
)1( 0
TT
ThMghMgE
d ????????
以重物及水为孤立系统，其熵变：
T
Tcm
T
dQSSS ????????? 0水
重物水
T
TTcm
T
ThMgE
d
00 ???? ST ??
0
C为
比热
对外能作的最大的功值
M AA
AT+?T
m TcmhMg ???)( 0TThMg ??
16
1）退化的能量是与熵成正比的；
每利用一份能量，就会得到一定的惩罚 --把一部
分本来可以利用的能量变为退化的能量；可以证明：
退化的能量实际上就是环境污染的代名词。节约能源
就是保护环境。而保护环境就是保护人类的生存条件，
非同小可。
2）自然界的实际过程都是不可逆过程，即熵增加的过
程，大量能源的使用加速了这一过程。而熵的增加导
致了世界混乱度的增加。
注意：
热源温度愈高它所输出的热能转变为功的潜力就
愈大，即较高温度的热能有较高的品质。当热量从高温
热源不可逆的传到低温热源时，尽管能量在数量上守恒，
但能量品质降低。
一切不可逆过程实际上都是能量品质降低的过程，
热力学第二定律提供了估计能量品质的方法。
17
?熵是事物无序度的量度 ?? lnkS
因为熵是与微观状态的对数成正比的，微观状态
数越大，混乱度就越大。信息量越小。
相反熵减小则有序度增加。以一个 N个分子的物质
系统为例：让其冷却，放出热量，先是碰撞次数减少，
引起混乱的平均速率减小。继而变为液体时这时分子
以振动为主，平动为辅，位置相对固定，有序度增加，
温度再降低时，分子在平衡位置附近振动更加序。
事实上平衡态是最无序。最无信息量，最缺活力
的状态。
?耗散结构杂谈
人们发现无机界、无生命的世界总是从有序向无序变化，
但生命现象却越来越有序，生物由低级向高级发展、进化。
以致出现人类这样高度有序的生物。意大利科学家普里高津
提出了耗散结构理论，解释了这个问题。
18
开放系统 ---与外界有物质和能量的交换的系统
原来生命是一开放系统。其熵变由两部分组成。
iS?
系统自身产生的熵，总为正值。
eS?
与外界交换的熵流，其值可正可负。
当系统远离平衡态时系统不断消耗能
源与物质，从熵流中获取负熵，从而使系
统在较高层次保持有序。正如薛定谔指出
来的：
ie SSS ?????
?生命之所以免于死亡，其主要原因就在于他能不断
地获得负熵’。
19
感冒：起因 ---运动或劳累过后，身体消耗大量能量，
产生大量废热（体内熵大增）如能迅速排除，人相
安无事。 但如此时或吹风、或着凉
皮肤，并下令皮肤毛细血管收缩阻止身体散热，
这样体内原有积熵排不出，还进一步产生积熵，以
致积熵过剩。熵是无序度的量度。因此人体内二千
多化学反应开始混乱 --使人头痛、发烧、畏寒畏冷、
全身无力。抵抗力减弱 …,.人因此感冒了,
,皮肤感到过凉，
此信息传到大脑的调温中心 ---丘脑，进行调温以暖
中医说, 内有虚火,外感风寒,
西医说, 感冒了,有炎症, 物理说,
如何治疗呢?
中医说,
西医说, 物理说,
发汗清热,
退热消炎
积熵过剩,
消除积熵,
20
癌症,由于各种原因,致使体内某一部分的混乱度大幅
度增长,以致破坏了细胞再生时的基因密码的有序遗
传,细胞无控制地生长,产生毒素,进一步破坏人体的
有序,直到熵趋近无穷大 ---死亡到来,
修养与健康,患得患失、气量狭小、爱生气的人易患癌
症不易长寿。人要, 淡薄名利, 。此方是做人的根本。
改革开放的正确性：热二律告诉我们，一个孤立的
社会系统，由于自身的不可逆过程（能源、交通、
犯罪等），熵将趋于极大，信息量极小，没有生机、
贫穷落后。
耗散结构告诉我们，一个开放的社会，通过输入
入能源、信息、新技术，输出自已的产品、技术等，
才能使社会在更高层次保持有序。人民曰报曾多次撰
文讲过此理。
熵和熵增加原理
2
S = k ln ? (k为玻尔兹曼常数）
对于系统的某一宏观态，有一个 ?值与之对应，
因而也就有一个 S值与之对应，
克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。
1.熵的引入
一、熵和熵增加原理
12 SSS ???
当状态由状态 ‘ 1?变化到状态 ‘ 2?时系统的熵增量：
12 lnln ???? kk
1
2ln
?
?? k
1887年玻尔兹曼用下面的公式定义的 熵 S来表示系
统无序性的大小：
熵是系统状态的函数。
3
在卡诺定理表达式中，采用了讨论热机时系统吸
多少热或放多少热的说法。本节将统一用系统吸热表
示，放热可以说成是吸的热量为负（即回到第一定律
的约定），卡诺定理表达式为,
1
2
1
2 11
T
T
Q
Q ?????
0
T
Q2
1i i
i ??
?
系统从热源 T1吸热 Q1，从 T2吸热 Q2（ < 0）。上式
又可写为：
?克劳修斯熵公式
0
2
2
1
1 ??
T
推广到一般情形，可将右图所示过程划
分成许多小过程，
0
2
1
??
?
n
i i
i
T
Q
同样有 克劳修斯不等式
0?? TQd
或
4
可逆过程,
0?? TQd
可以证明，积分
?
x
x T
Qd
0
的值与从平衡态 X0到 X的路径无关，
只由初、终两平衡态 X0,X所决定。
为系统与温度为 T的热源接触时所吸收的
热量，对于可逆过程 T也等于系统的温度。
Qd
0?? TQd
T
Qd这意味着 是全微分，记作
dSTQd ?
T为系统温度
熵的微分定义式
S称作熵，是状态函数
对于状态 A和 B，有：
R
B
AAB T
QdSS )(??? 熵的积分定义式
系统处于 B态和 A态的熵差，等于沿 A,B之间任意
一可逆路径 R的热温商的积分,
5
0? ?TQd
0)()( ?? ?? A
B RI
B
A T
Qd
T
Qd
0)()( ?? ?? RB
AI
B
A T
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T
Qd
I
B
AAB T
QdSS )(???
IT
QddS )(?
由 A到 B沿不可逆路径热温
商的积分小于两态熵差。
对于包含不 可逆过程 的循环有
假定闭合路径如图所示，
将可逆过程翻转，得
对微小过程
P
V
A I
BR上式可写为
利用熵的积分定义式
R
B
AAB T
QdSS )(??? 得,
注意,对不可逆过程来说，
系统的温度和热源温度不
相同，所以上式中的 T必
须是热源的温度而不是系
统本身的温度。
6
“=”对应于可逆过程,, >,对应于不可逆过程。
将可逆过程和不可逆过程的公式结合在一起，有：
????? BAAB TQdSSS
T
QddS ?
微小过程
热力学第二定律
数学表达式
2.熵增加原理
0?? TQddS
对于绝热过程,可得0?Qd
系统从一个平衡态经一绝热过程到达另一平衡态，
它的熵永不减少。如果过程是可逆的，则熵的数值不
变；如果过程是不可逆的，则熵的数值增加。
熵增加原理
孤立系统中所发生的过程必然是绝热的，故熵增
加原理还可表述为,孤立系统的熵永不减小 。
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若系统是不绝热的，则可将系统和外界看作一复
合系统，此复合系统是绝热的，则有：
由于自然界中一切真实过程都是不可逆的，所以孤立系
统内所发生的过程的方向就是熵增加的方向。
(dS)复合 =dS系统 +dS外界
若系统经绝热过程后熵不变，则此过程是可逆的；若熵
增加，则此过程是不可逆的。
注意,熵增加原理只适用于孤立系统。对非孤立系统
熵可增加也可减少。
例如，一杯水，它不断被外界吸收热量，变成冰，它
的熵就减少了。
由 S =kln ?，熵增加原理可解释为,一个孤立系统发
生的过程总是从微观状态数小的状态变化到大的状态 。
— 可判断过程的性质
—— 可判断过程的方向
8
例如,绝热容器中 A,B 两物体相接触，,这
两个物体组成一个系统。
BA TT ?
AT BTQ?
A B
A向 B传热过程为不可逆绝热过程。
设微小时间 ?t 内传热 ?Q
A的熵变
B的熵变
A
A T
QS ?? ??
B
B T
QS ?? ?
系统熵变 BA SSS ??? ??
BA T
Q
T
Q ?? ??? ?
?
??
?
? ??
AB TT
Q 11?
对任意微小时间内熵是增加的，
对整个过程熵也是增加的。
孤立系统、不可逆
过程 熵总是增加的 。
,BA TT ?? 0?? S?
9
3.对于可逆绝热过程，
012 ???? SSS 熵 S 不变。,0?Qd
2.如果系统分为几部分，系统的熵变为各部分熵变之和。
BA SSS ??? ??
4.对于 不可逆 绝热过程,自发过程熵总是增加的。
012 ??? SSS?
5.由
R
B
AAB T
QdSS )(??? 计算初、终两态熵的改变时，其
积分路线代表连接这初、终两态的任一可逆过程。
3.熵的主要性质
1.熵是状态函数，与过程无关。熵是描述平衡态参量
的函数。
T
QdS ??? II
I
只是可逆过程中的熵增。
10
S是状态函数。在给定的初态和终态之间，系统
无论通过何种方式变化（经可逆过程或不可逆过程），
熵的改变量一定相同。
R
B
AAB T
QdSS )(???
当系统由初态 A通过一可逆过程 R到达终态 B时求熵
变的方法：直接用 来计算。
（ 2）可设计一个连接同样初终两态的任意一个可逆
过程 R，再利用 来计算。
R
B
AAB T
QdSS )(???
当系统由初态 A通过一不可逆过程到达终态 B时求熵变
的方法：
（ 1）把熵作为状态参量的函数表达式推导出来，再将
初、终两态的状态参量值代入，从而算出熵变。
4.熵变的计算
pdVdET dS ??
11
?例 1? 已知在 P=1.013?105 Pa 和 T=273.15 K下，
1.00 kg冰融化为水的融解热为 ?h =334 kJ/kg。试
求 1.00kg冰融化为水时的熵变。
1.00kg冰融化为水时的熵变为：
KkJT hmTQQdTT QdSS /22.11 2
1
2
112
???????? ??
解,在本题条件下，冰水共存。若有热源供热则发
生冰向水的等温相变。利用温度为 273.15+dT的热源
供热，使冰转变为水的过程成为可逆过程。
?? ????? BA TATQQdTT QdS 1BA
可逆等温过程：
可逆等容过程：
?? ??? BA pT dTCTQdS ?BA
可逆等压过程：
?? ??? BA vT dTCTQdS ?BA
12
?例 2? 计算理想气体绝热自由膨胀的熵变。
对理想气体，由于焦尔定律，
膨胀前后温度 T0不变。为计算
这一不可逆过程的熵变，设想
系统从初态（ T0,V1）到终态
（ T0,V2）经历一可逆等温膨
胀过程，可借助此可逆过程
（如图）求两态熵差。
P
VV1 V2
1
2
解,气体绝热自由膨胀，有：
?Q=0 ?W=0 dU=0
P d VP d VdEQd ????
?? ???? 21
0
2
112 T
P d V
T
QdSS
0ln
1
22
1
??? ? VVRVdVR ??
?S > 0证实了理想气体绝
热自由膨胀是不可逆的。
13
1.熵是大量微观粒子热运动所引起的无序性的量度。
2.熵越大，状态几率越大。
3.熵是热力学系统状态几率或无序度的量度。
4.熵越大无序度越高。
5.绝热系统、实际过程熵总是增大的。
6.可逆绝热循环过程熵不变。
S = k ln ?
7.孤立系统中一切实际过程是从状态几率小向状态
几率大的转变过程，一切实际过程，都是不可逆的，
并向着熵增加的方向进行。
5.熵的物理意义
14
?熵的增加是能量退化的量度。
6.关于熵进一步讨论
如图当 A物体下降 ?h时，水温
由 T--T+?T，这个过程中重力
势能 Mg?h全部变成水的内能。
要利用这一能量只能利用热机。
若周围温度为 T0则这部分能量
能对外作功的最大值为：
能作的功少了，一部分能量放入到低温热库。再也不能
被利用了。这部分不能被利用的能量称为退化的能量。
)1( 0
TT
ThMghMgA
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??????? 卡?
M AA
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15
)1( 0
TT
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退化的能量
)1( 0
TT
ThMghMgE
d ????????
以重物及水为孤立系统，其熵变：
T
Tcm
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重物水
T
TTcm
T
ThMgE
d
00 ???? ST ??
0
C为
比热
对外能作的最大的功值
M AA
AT+?T
m TcmhMg ???)( 0TThMg ??
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1）退化的能量是与熵成正比的；
每利用一份能量，就会得到一定的惩罚 --把一部
分本来可以利用的能量变为退化的能量；可以证明：
退化的能量实际上就是环境污染的代名词。节约能源
就是保护环境。而保护环境就是保护人类的生存条件，
非同小可。
2）自然界的实际过程都是不可逆过程，即熵增加的过
程，大量能源的使用加速了这一过程。而熵的增加导
致了世界混乱度的增加。
注意：
热源温度愈高它所输出的热能转变为功的潜力就
愈大，即较高温度的热能有较高的品质。当热量从高温
热源不可逆的传到低温热源时，尽管能量在数量上守恒，
但能量品质降低。
一切不可逆过程实际上都是能量品质降低的过程，
热力学第二定律提供了估计能量品质的方法。
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?熵是事物无序度的量度 ?? lnkS
因为熵是与微观状态的对数成正比的，微观状态
数越大，混乱度就越大。信息量越小。
相反熵减小则有序度增加。以一个 N个分子的物质
系统为例：让其冷却，放出热量，先是碰撞次数减少，
引起混乱的平均速率减小。继而变为液体时这时分子
以振动为主，平动为辅，位置相对固定，有序度增加，
温度再降低时，分子在平衡位置附近振动更加序。
事实上平衡态是最无序。最无信息量，最缺活力
的状态。
?耗散结构杂谈
人们发现无机界、无生命的世界总是从有序向无序变化，
但生命现象却越来越有序，生物由低级向高级发展、进化。
以致出现人类这样高度有序的生物。意大利科学家普里高津
提出了耗散结构理论，解释了这个问题。
18
开放系统 ---与外界有物质和能量的交换的系统
原来生命是一开放系统。其熵变由两部分组成。
iS?
系统自身产生的熵，总为正值。
eS?
与外界交换的熵流，其值可正可负。
当系统远离平衡态时系统不断消耗能
源与物质，从熵流中获取负熵，从而使系
统在较高层次保持有序。正如薛定谔指出
来的：
ie SSS ?????
?生命之所以免于死亡，其主要原因就在于他能不断
地获得负熵’。
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感冒：起因 ---运动或劳累过后，身体消耗大量能量，
产生大量废热（体内熵大增）如能迅速排除，人相
安无事。 但如此时或吹风、或着凉
皮肤，并下令皮肤毛细血管收缩阻止身体散热，
这样体内原有积熵排不出，还进一步产生积熵，以
致积熵过剩。熵是无序度的量度。因此人体内二千
多化学反应开始混乱 --使人头痛、发烧、畏寒畏冷、
全身无力。抵抗力减弱 …,.人因此感冒了,
,皮肤感到过凉，
此信息传到大脑的调温中心 ---丘脑，进行调温以暖
中医说, 内有虚火,外感风寒,
西医说, 感冒了,有炎症, 物理说,
如何治疗呢?
中医说,
西医说, 物理说,
发汗清热,
退热消炎
积熵过剩,
消除积熵,
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癌症,由于各种原因,致使体内某一部分的混乱度大幅
度增长,以致破坏了细胞再生时的基因密码的有序遗
传,细胞无控制地生长,产生毒素,进一步破坏人体的
有序,直到熵趋近无穷大 ---死亡到来,
修养与健康,患得患失、气量狭小、爱生气的人易患癌
症不易长寿。人要, 淡薄名利, 。此方是做人的根本。
改革开放的正确性：热二律告诉我们，一个孤立的
社会系统，由于自身的不可逆过程（能源、交通、
犯罪等），熵将趋于极大，信息量极小，没有生机、
贫穷落后。
耗散结构告诉我们，一个开放的社会，通过输入
入能源、信息、新技术，输出自已的产品、技术等，
才能使社会在更高层次保持有序。人民曰报曾多次撰
文讲过此理。
